Cote n° 2, pages 1–20 — Transcription

Cote n° 2 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Théorème de Riemann-Roch / RR [Riemann-Roch] Notes Antiques (antérieur[es à] 1958) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [1957]
Édition de démonstration

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Classique pour les Courbes

Le titre est de lui : il est encadré au crayon sur la chemise qui ouvre le lot (page 1), laquelle ne porte rien d'autre. Au-dessus de l'encadré, biffé de longs traits obliques : Fonctorialité des variances Énoncé de R.R.

2$X$ courbe non singulière.

$E$ anneau des classes de faisceaux cohérents mod. les $(F) - (F') - (F'')$, […] $\rightarrow$ suite exacte $0 \to F' \to F \to F'' \to 0$.

$E_{0}$ noyau de l'augmentation (rang) […] $F$ à supports discrets

$\mathcal{D}$ sous-anneau engendré par les faisceaux définis du type $k_{x}$ ; $\mathcal{D}$ = groupe des diviseurs. ${}^{*}$C'est l'annulateur de $E_{0}$, donc un idéal.

$N$ sous-groupe de $E$ engendré par les $(F) - (F') - (F'')$.

$\mathcal{D} \cap N$ […] diviseurs « $f$-équivalents » à $0$, ${}^{*}$[…] ⌜identiques⌝ :le préfixe entre guillemets est une haste bouclée ; il pourrait aussi bien être un $l$ pour « linéairement », ou le signe $\int$ que la page 3 emploie pour la caractéristique.

$\mathcal{L}$ groupe des diviseurs équivalents à $0$.

$\Phi$ sous-algèbre de $E$ engendrée par les faisceaux loc. libres $\simeq$ algèbre des classes de fibrés vectoriels, […]

$\Phi_{N}$ (quotient de $\Phi$ par le sous-groupe ($=$ idéal) engendré par les $c(E) - c(E') -{}$ $c(E'')$)

${}^{*}$ $E = \Phi + \mathcal{D}$, $\Phi \cap \mathcal{D} = 0$

${}^{*}$ $E/N \simeq \Phi/\Phi_{N} \simeq \mathbb{Z} + \mathfrak{P}$ (1)

${}^{*}$ […]

(1) $\mathbb{Z} + \mathfrak{P} \to E/N$ fait correspondre à $(1,0)$ la classe de $\underline{\mathcal{O}}_{X}$, et sur $\mathfrak{P}$ se déduit par passage au quotient de l'injection $\mathcal{D} \subset E$.

Proposition. $N$ est engendré par les $c(E) - c(E') - c(E'')$, où $0 \to E' \to E \to E'' \to 0$ est une suite exacte de fibrés vectoriels, et les \[c(E) - c(F) - c\bigl(\underline{\mathcal{O}}_{X}(E)/f\,\underline{\mathcal{O}}_{X}(F)\bigr),\] où $E$ et $F$ sont des fibrés linéaires et $f : F \to E$ un homomorphisme non nul, i.e. $f \in H^{0}(X, \underline{\mathcal{O}}_{X}(F^{*} \otimes E))$.

Ces derniers éléments sont aussi ceux de la forme $\lambda(D + D') - \lambda(D') -{}$ […], où $D$ et $D'$ diviseurs […], $\lambda(\Delta)$ est la classe du faisceau inversible ou fibré vectoriel associé au diviseur $\Delta$. On peut se borner à $D \geqslant 0$.

3L'assertionle mot commence par L- et finit en -tion ; le sens (les énoncés étoilés qui précèdent la proposition) le désigne plus que le tracé. précédant la proposition est équivalente aux suivantes : \[\mathcal{D} + N = E_{0}, \qquad \mathcal{D} \cap N = \mathcal{L}, \qquad \Phi + N = E, \qquad \Phi \cap N = \Phi_{N} .\] les quatre égalités sont l'une sous l'autre ; la troisième est suivie d'un mot biffé, […].

Définition de l'application $E \longrightarrow \mathbb{Z} + \mathfrak{P}$ :

sur $\mathcal{D}$ : coïncide avec l'application canonique $\mathcal{D} \to \mathfrak{P}$ ;
sur $\Phi$ : soit $E$ un fibré vectoriel, fibre type $k^{n}$ et de classe de Chern $c^{1}(E) \in \mathfrak{P}$ ; on prend $h(E) = (n,\, c^{1}(E))$.

Soit $F$ un faisceau algébrique cohérent, $c(F) \in \mathbb{Z} + \mathfrak{P}$ ; on voit que \[\begin{equation*} \int(F) \;=\; K_{1}\!\left( c(F) \cdot \left(1 - \tfrac{1}{2}K\right) \right) \qquad (K \in \mathfrak{P}) \tag{1} \end{equation*}\] où $K$ est la classe canonique ; $K_{1}$ est la forme linéaire sur $\mathbb{Z} + \mathfrak{P}$ qui est $0$ sur $\mathbb{Z}$, et sur $\mathfrak{P}$ l'application « degré » $\mathfrak{P} \to \mathbb{Z}$. Pour vérifier (1), il suffit de le vérifier pour $F = k_{x}$ et pour $F = \underline{\mathcal{O}}_{X}$.

Le symbole $\int$ est, sur le feuillet, une haste bouclée en forme de $s$ long ; c'est la caractéristique d'Euler-Poincaré que la formule calcule. Le symbole $\mathfrak{P}$ est un capitale cursive barrée d'un trait horizontal, distincte du $\mathcal{L}$ de la page 2.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathfrak{P} & \mathcal{D} \arrow[rd] & & \\
\mathcal{L} = \mathcal{D} \cap N \arrow[ru] \arrow[rd, "?"'] & & \mathcal{D} + N = E_{0} \arrow[r] & E \\
& N \arrow[ru] & &
\end{tikzcd}

Sur le feuillet, $\mathfrak{P}$ surmonte $\mathcal{D}$ ; deux accolades embrassent la partie droite du dessin, celle du haut portant $\Phi$, celle du bas $\mathbb{Z}$, et sous celle du bas : « $E/N$ classes de faisceaux ».

4$X$ préschéma [noethérien] avec ⌜admettant⌝ un Module inversible ample, $\dim X \leqslant 1$.

$K^{\bullet}(X)$ augmenté vers $H^{0}(X, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}^{\pi_{0}(X)}$, $\quad E \rightsquigarrow (\mathrm{rg}_{i}(E))_{i \in \pi_{0}(X)}$.

L'idéal d'augmentation ⌜$I(X)$⌝ est de carré nul ; \[\left. \begin{array}{l} \text{si } x \in I(X),\ \text{on a} \\[2pt] \gamma^{i}(x) = 0 \quad \text{pour } i \geqslant 2 \end{array} \right\} \qquad F^{i}_{\gamma}(K^{\bullet}(X)) = 0 \ \text{si } i \geqslant 2 .\]

Donc \[K^{\bullet}(X) \simeq \mathbb{Z}^{\pi_{0}(X)} \times K^{(1)}(X), \qquad K^{(1)}(X) = \mathrm{Pic}(X) \simeq \prod_{i \in \pi_{0}(X)} \mathrm{Pic}(X_{i}),\] Donc $E$ $K^{\bullet}(X)$ entièrement déterminé, ⌜comme $\lambda$-anneau augmenté ;⌝ à isom. près, par le […] des $\mathrm{Pic}(X_{i})$, $i \in \pi_{0}(X)$. au-dessus de $K^{(1)}(X) = \mathrm{Pic}(X)$ il ajoute […] $\simeq \prod_{i \in \pi_{0}(X)} K^{(1)}(X_{i})$.

Si $E$ est un fibré vectoriel faisceau loc. libre de rang $0$ […] sur $X$, […] \[\mathrm{cl}(E) = \bigl[\mathrm{rg}(E),\, c^{1}(E)\bigr] \qquad \text{où } c^{1}(E) = \det(E),\] \[\Bigl[\ \text{i.e.}\quad \mathrm{cl}(E) = \sum_{i} \mathrm{rg}_{i}(E)\cdot 1_{i} + \bigl[\mathrm{cl}(\det E) - 1\bigr] = \sum_{i} \bigl(\mathrm{rg}_{i}(E) - 1\bigr) 1_{i} + \mathrm{cl}(\det E)\ \Bigr]\] la ligne d'au-dessus porte, insérée, $(\mathrm{rg}_{i}(E))_{i \in I}$.

On a $B^{\bullet}(X) = \mathbb{Z}^{\pi_{0}(X)} \times \mathrm{Pic}(X)$, et $K^{\bullet}(X) \xrightarrow{\ c\ } B^{\bullet}(X)$ est l'identité, avec les identifications précédentes.

$K_{\bullet}(X)$ augmenté vers $\mathbb{Z}^{\pi_{0}^{(1)}(X)}$, $\quad F \rightsquigarrow (\mathrm{lg}_{i}(F))_{i \in \pi_{0}^{(1)}(X)}$ [$\pi_{0}^{(1)}(X)$ = ens. des composantes irréductibles de $\dim 1$].

Le noyau est $K_{0}(X)$ ; il est isomorphe à \[\mathbb{Z}^{k^{(0)}(X)} \times \mathrm{Pic}'(X) \;=\; \mathbb{Z}^{k^{(0)}(X)} \times \prod_{i \in \pi_{0}^{(1)}(X)} K_{0}(X_{i})\] sous l'indice du produit il écrit « ens. des comp. conn. de $\dim 1$ » ; dans le crochet de la ligne précédente, « $\dim 1$ » est souligné deux fois.

6Pour écrire les opérations de $K^{\bullet}(X)$ sur $K_{\bullet}(X)$ ⌜et l'élément $1$ de $K_{\bullet}(X)$⌝, (nous pouvons supposer, pour simplifier l'écriture) $X$ connexe.

(a $1^{\circ}$) $\dim X = 0$. \[K^{\bullet}(X) \xrightarrow[\sim]{\ \mathrm{rg}\ } \mathbb{Z} \quad \text{isom. de $\lambda$-anneaux}, \qquad K_{\bullet}(X) \xrightarrow[\sim]{\ \mathrm{lg}\ } \mathbb{Z}\] Les opérations de $K^{\bullet}(X)$ sur $K_{\bullet}(X)$ : pas $2$ choix ! $1 \in K_{\bullet}(X)$ donné par \[\mathrm{lg}(1) = \mu \in \mathbb{Z} \qquad \text{seul invariant de la situation}\] « $\mu \in \mathbb{Z}$ » est entouré. ici $c^{\bullet} = \mathrm{ch}^{\bullet} = \mathrm{id}_{K^{\bullet}}$. […] on définit $c_{\bullet} = \mathrm{ch}_{\bullet} = \mathrm{id}_{K_{\bullet}}$ ?

$2^{\circ}$) $\dim X = 1$. On a les invariants suivants :

a)L'ens. fini $K = K(X)$ des comp. irréd. de $X$ ;
b)La famille $(\mu_{i})_{i \in K}$ (des $\mathrm{lg}_{i}(\underline{\mathcal{O}}_{X})$) ; $\delta \in K_{0}(X)$ $\bigl(= 1 - \sum \mu_{i} 1_{i}\bigr)$ les deux lignes de ce point sont réunies par une accolade sur le feuillet ; une flèche les renvoie à la note marginale ci-dessous. ;
c)Le groupe $K^{(1)} = \mathrm{Pic}(X)$ ;
b)Le groupe $K^{\varepsilon}_{(0)} = K_{(0)}(X_{i})$ […] $= \prod_{i \in K} K^{i}_{(0)}$ ;
d)[…] $u_{i} : K^{(1)} \to K^{\varepsilon}_{(0)}$, […] $i \in K$ (savoir i.e. $u_{i} : K^{(1)} \to K_{(0)}$ $L \rightsquigarrow \mathrm{cl}\bigl((L-1)\underline{\mathcal{O}}_{X_{i}}\bigr)$ ).

un invariant, dépendant du […] choix […] la classe […] de l'élément $1$ de $K_{\bullet}(X)$

Avec cela, on écrit \[K^{\bullet}(X) \simeq \mathbb{Z} \times K^{(1)} \xrightarrow[\ = \mathrm{id}\ ]{\ c^{\bullet} = \mathrm{ch}^{\bullet}\ } B^{\bullet}(X) \simeq \mathbb{Z} \times K^{(1)} ,\] \[K_{\bullet}(X) \simeq \mathbb{Z}^{K} \times K_{(0)} \ = \ B_{\bullet}(X) \simeq \mathbb{Z}^{K} \times K_{(0)} .\] au-dessus du facteur $K^{(1)}$ de la première ligne il écrit « canonique » ; dans la seconde, une flèche biffée précède le signe $=$. isom. « naturel » [compatible aux changements de base] — pour la première ligne ; isom. non naturel […] — pour la seconde.

Opérations de $K^{\bullet}(X)$ sur $K_{\bullet}(X)$ : il suffit pour tout $\xi \in K^{(1)}$ de définir dans $K_{\bullet}(X)$ une opération […], de degré filtrant $\geqslant 1$ [dans le cas actuel] […] la filtration de $1$ i.e. un homom. \[\mathbb{Z}^{K} \longrightarrow K_{(0)} ;\] […] on prendra \[(l_{i})_{i \in K} \rightsquigarrow \bigl(l_{i}\, u_{i}(\xi)\bigr)_{i \in K} .\]

7Homom. de $K^{\bullet}(X)$ dans $K_{\bullet}(X)$, défini par $1_{\bullet} \in K_{\bullet}(X)$ défini par \[1_{\bullet} = \sum \mu_{i}\, 1_{i} + \delta_{\varepsilon} .\] Alors on a \[u(n, \xi) \;=\; \sum n\,\mu_{i}\, 1_{i} \;+\; \Bigl( n\,\delta_{\varepsilon} + \sum \mu_{i}\, u_{i}(\xi) \Bigr), \qquad n \in \mathbb{Z},\ \xi \in K^{(1)} .\]

On ne définit […] […] $K_{\bullet}(X) \xrightarrow{\ c_{\bullet} = \mathrm{ch}_{\bullet}\ } B_{\bullet}(X)$, $c_{\bullet}(\xi_{\bullet}) = \bigl[\, (\mathrm{lg}_{i}(\xi_{\bullet})),\ \xi_{\bullet} - \sum \mathrm{lg}_{i}(\xi_{\bullet})\, 1_{i} - \cdots$ce passage est encadré au crayon et barré de longues obliques ; la dernière formule s'arrête sur un signe $-$, et un $\xi_{\bullet}$ biffé précède le crochet.

Contre-exemples

Le mot est de lui : il est seul, en haut à droite de la chemise qui ouvre le second lot (page 8).

9\[X \xrightarrow{\ i\ } X \times \mathbb{P}^{r}, \qquad F \otimes L .\] \[\underline{K}(X \times \mathbb{P}^{r}) = \underline{K}(X) \otimes \underline{K}(\mathbb{P}^{r}) \big/ \bigl(\xi = 1 - L^{-1}\bigr) .\] \[i_{!}(x) = p^{!}(x) \otimes q^{!}(\xi^{r}) = x \otimes \xi^{r},\] \[\widetilde{C}(i_{!}(x)) = \widetilde{C}(x \otimes \xi^{r}) = \widetilde{C}(x) * \widetilde{C}(\xi^{r}) .\]

$\underline{K}(X) \to \underline{K}(X \times \mathbb{P}^{r})$ est injectif ; on a le carré

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\underline{K}(X) \arrow[r, "\text{inj.}"] \arrow[d, "\widetilde{c}_{X}"'] & \underline{K}(X \times \mathbb{P}^{r}) \arrow[d, "\widetilde{c}_{X \times \mathbb{P}^{r}}"] \\
\widetilde{A}(X) \arrow[r] & \widetilde{A}(X \times \mathbb{P}^{r})
\end{tikzcd}

$p_{*} i_{*}(x) = (p i)_{*}\, x = x$.

\[\xi^{r} = \sum_{i=0}^{r} \binom{r}{i} (-1)^{i} L^{-i}, \qquad \widetilde{C}(\xi^{r}) = \prod_{i=0}^{r} (1 - i\eta)^{(-1)^{i} \binom{r}{i}} .\] \[\widetilde{C}(i_{!}(x)) = \prod_{i=0}^{r} \Bigl[\, \widetilde{C}(x) * (1 - i\eta) \,\Bigr]^{(-1)^{i} \binom{r}{i}}\] \[\struck{= \prod_{i=0}^{r} \Bigl[ (1 - i\xi)^{\varepsilon(x)} \sum_{i=0}^{\infty} C^{i}(x) \Bigr]}\]

\[\widetilde{C}(x) * (1 - i\eta) = \widetilde{C}(x) * \bigl[1,\ 1 - i\eta\bigr] - \widetilde{C}(x) = \Bigl[\ \varepsilon(x),\ 1 + \cdots + \sum_{j=0}^{k} C^{j}(x)\,(-i\eta)^{k-j}\ \Bigr]\] une accolade court sous le dernier terme et porte « $k$-ième terme en $C^{k}$ de la seconde […] : $\widetilde{C}(x) * [1,\, 1 - i\eta]$ ».

\[\widetilde{C}(\xi^{r}) = 1 + (-1)^{r-1}(r-1)!\ \eta^{r},\] d'où \[\widetilde{C}(i_{!}(x)) = \widetilde{C}(x) * \Bigl(1 + (-1)^{r-1}(r-1)!\ \eta^{r}\Bigr)\] \[= \Bigl(1 + (-1)^{r-1}(r-1)!\ \eta^{r}\Bigr)^{\varepsilon(x)} \Bigl( C(x) * \bigl(1 + (-1)^{r-1}(r-1)!\ \eta^{r}\bigr) \Bigr)\] \[= 1 + \sum_{i=1}^{\infty} Q_{i}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{i}(x);\ 0, \ldots, \uncertain{\alpha^{(i/r)}}, 0, \ldots, 0\bigr)\] les exposants $(-1)^{r-1}$ de ce bloc sont écrits petits, le signe réduit à un point ; ils sont lus comme à la page suivante, où ils sont nets.

$b_{\gamma} = 1 - L(-\gamma)$, $1 - b_{\gamma} = L(-\gamma)$

Or $Q_{i}$ […]cette dernière ligne, en bas du feuillet, est reprise mot pour mot en tête de la page suivante.

11Or $Q_{i}$ […] […] termes […] […] un argument après le singulier ; en dehors, sachant que $(\eta^{r})^{n} = 0$ si $n > 1$. Donc on trouve \[Q_{i}(\cdots) = \begin{cases} 0 & \text{si } i < r, \\[4pt] (-1)^{r-1}(r-1)!\ Q^{(r)}_{i-r}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{i}(x)\bigr) & \end{cases}\] où $Q^{(r)}_{i-r}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{i}(x)\bigr)$ est le coefficient de $d^{r}$⌜ ([…] […] de poids $i - r$)⌝ dans $Q_{i}(c^{1}, \ldots, c^{i};\, d^{1}, \ldots, d^{i})$ ($r \leqslant i$) (Attention, […], […] compte tenu que $(\eta^{r})^{n} = 0$ pour $n > 1$).la parenthèse est rattachée par un trait à l'insertion qui précède.

\[\widetilde{C}(i_{!}(x)) = 1 + (-1)^{r-1}(r-1)!\ \eta^{r} \Bigl[\ \varepsilon(x) + \sum_{i=0}^{\infty} Q^{(r)}_{i}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{i}(x)\bigr) \Bigr]\]

Comparons avec R.R. $\widetilde{C}(i_{!}(x)) = \struck{\ill{}}\ (i_{*})_{r}\bigl(\widetilde{C}(x)\bigr)$. On voit que \[(i_{*})_{r}\Bigl[\ n,\ \sum_{0}^{\infty} x^{i} \Bigr] = 1 + (-1)^{r-1}(r-1)!\ \eta^{r} \Bigl[\ n + \sum_{i=0}^{\infty} Q^{(r)}_{i}\bigl(x^{1}, \ldots, x^{i}\bigr) \Bigr]\]

N.B. $Q^{(r)}_{0}(c^{1}, \ldots, c^{r}) = 0$, i.e. $Q_{r}^{\sharp}(c^{1} \ldots c^{r};\, 0, \ldots, 0, d^{r}) = 0$, i.e. $(1 + c^{1} + \cdots + c^{r}) * (1 + d^{r})$ est de filtration $\geqslant r+1$.

De là, on voit \[Q^{(r)}_{1}(c^{1}) - \struck{\ill{}} = -\ \frac{(r+1-1)!}{(r-1)!\,(1-1)!}\ c^{1} = -\,r\,c^{1} .\]

[…] […] […] que, pour […], s'il y a de la torsion dans $A(X)$, l'homom. $(i_{*})_{r}$ […] injectif, il […] […] des coefficients numériques (dus surtout à $(r-1)!$ qui […] provenant des $Q^{(r)}_{i}$.

13Conséquence. Soit dans $X$ un hyperplan, […] […] de $X$ ⌜à composantes disjointes⌝ ; ⌜$x' \in A^{1}(X)$ sa classe⌝ ; on a \[\widetilde{C}_{X}(Y) = \bigl(1 - \struck{c^{1}(x)}\ x'\bigr)^{-1} = \sum x'^{\,n} ,\] \[\widetilde{C}_{X \times \mathbb{P}^{r}}\bigl(i_{!}(\underline{\mathcal{O}}_{Y})\bigr) = \widetilde{C}_{X \times \mathbb{P}^{r}}(Y \times \mathbb{P}^{r}) = \struck{1 + (-1)^{r-1}(r-1)! \sum_{i=1}^{\infty} Q^{(r)}_{i}\bigl(x', \ldots\bigr)}\] \[= 1 + (-1)^{r-1}(r-1)!\ \eta^{r} \sum_{i=1}^{\infty} Q^{(r)}_{i}\bigl(x',\, (x')^{2}, \ldots, (x')^{i}\bigr)\] une accolade sous la somme porte $c_{i,r}\,(x')^{r}$ ; sous la ligne, un départ biffé $1 + \sum$.

Si donc $(r-1)!\,x' = 0$, […] […] $\widetilde{C}_{X \times \mathbb{P}^{r}}(Y \times \mathbb{P}^{r}) = 0$, sans que pour […] $Y'$ on ait nécessairement $x' = 0$. Cas le plus simple : $r = 3$, $X$ une courbe elliptique.

Ce bloc est encadré d'un trait à gauche et en bas, et traversé d'une longue oblique au crayon. Le dernier membre de la formule est écrit $0$ ; l'argument attendrait $1$ pour une classe multiplicative, et la page ne tranche pas.

N.B. Il ne semble pas […] qu'il […] […] dans $\underline{K}(X)$ […] que […] $c^{1}(x)$ soit de torsion, […] $(r-1)!$, sans que $x$ soit nul. Mais $y = i_{!}(x)$ a la propriété que $\widetilde{C}(\struck{\ill{}}\,y) = 0$, mais $y \neq 0$. Exemple le plus simple : $X$ = courbe elliptique, $x \in \underline{K}(X)$ […] classe de diviseurs de degré zéro [p. ex. $x = (a) - (0)$, où $a \in X$ est tel que $a + a = 0$, $a \neq 0$], et $r = 3$. On a alors dans $\mathbb{P}^{3} \times X$ les coefficients […] deux […] […] […] de la classe de Chern sont nuls ; sans que elle soit nulle.les trois dernières lignes sont soulignées au crayon.

Modules sur un topos annelé où un groupe opère

Le titre est de l'éditeur : ces quatre feuillets ne sont précédés d'aucune chemise inscrite dans ce lot, et leur sujet n'est pas celui des « Contre-exemples » qui précèdent.

15[…] $\mathcal{X}$ Topos annelé, $\mathcal{O}_{\mathcal{X}} = \mathcal{O}$ son anneau (supposé commutatif).

Pour tout groupe $G$, on considère la catégorie \[A(\mathcal{X}, G)\] des Modules sur $\mathcal{X}$ où $G$ opère. On a, pour un homom. $u : G \to G'$, un foncteur de restriction \[u^{*} : A(\mathcal{X}, G') \longrightarrow A(\mathcal{X}, G)\] et un homomorphisme extension \[u_{*} : A(\mathcal{X}, G) \longrightarrow A(\mathcal{X}, G') .\] Lorsque $u$ est injectif, alors on a dans un isomorphisme ⌜fonctoriel⌝ canonique \[u^{*} u_{*}(F) \simeq F^{(G'/G)}\] Si on se borne aux sous-catégories qui sont formées des Modules libres (resp. loc. libres, resp. libres de type fini, resp. loc. libres de type fini) sur $\mathcal{O}[G]$, elles sont stables par les foncteurs précédents. Elles le sont également par les foncteurs que nous définissons maintenant.

Dans $A(\mathcal{X}, G)$ on a l'opération $\otimes$ (commutative et associative), pour un homom. $u : G \to G'$

16on a les isom. fonctoriels \[u^{*}(F' \otimes G') \simeq u^{*}(F') \otimes u^{*}(G'),\] et pour $u_{*}$ on a la « formule de projection » \[u_{*}\bigl(F \otimes u^{*}(G')\bigr) \simeq u_{*}(F) \otimes G' .\]

[On a aussi les opérations $\lambda^{i}$ (et autres opérations tensorielles) que nous déduirons plus bas des opérations $\otimes$]

« Produit tensoriel externe » \[F \boxtimes G \qquad F \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, G), \quad G \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, H),\] \[F \boxtimes G = \mathrm{pr}_{1}^{*}(F) \otimes \mathrm{pr}_{2}^{*}(G) \ \in\ \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, H \times G) .\] Est compatible avec les images inverses \[(u \times v)^{*}(F \boxtimes G) \simeq u^{*}(F) \boxtimes v^{*}(G)\] et redonne $F \otimes G$ par \[F \otimes G = (\mathrm{diag}_{G})^{*}(F \boxtimes G) .\]

On pose \[A(\mathcal{X}, p) = A(\mathcal{X}, \mathfrak{S}_{p}) \qquad p \in \mathbb{N} .\] Alors tout homom. $u : \mathfrak{S}_{p} \to \mathfrak{S}_{q}$ donne des foncteurs \[A(\mathcal{X}, p) \xleftarrow{\ u^{*}\ } A(\mathcal{X}, q), \qquad A(\mathcal{X}, p) \xrightarrow{\ u_{*}\ } A(\mathcal{X}, q) ,\] avec transitivité pour $u$. Éventuellement introduire aussi les $A(\mathcal{X}; p_{1}, \ldots, p_{r}) = A(\mathcal{X}, \mathfrak{S}_{p_{1}} \times \cdots \times \mathfrak{S}_{p_{r}})$. $A(\mathcal{X}, p)$ abrège $A(\mathcal{X}, \mathfrak{S}_{p})$ ; son $\mathfrak{S}$ est un $S$ bouclé.

17On désigne par \[u_{pq} : \mathfrak{S}_{p} \times \mathfrak{S}_{q} \longrightarrow \mathfrak{S}_{p+q}\] l'injection canonique, et on pose, pour $F \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, p)$, $G \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, q)$ : \[F * G = u_{pq\,*}\bigl(F \boxtimes G\bigr) \ \in\ \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, p+q) .\] L'opération $F * G$ est « commutative » et « ass. » dans un sens évident. On peut donc ⌜Utilisant le⌝ définir « catégorie graduée » $(A(\mathcal{X}, p))_{p \in \mathbb{N}}$ devient un « Anneau gradué » ; […] plus loin les « structures d'anneaux » sur les anneaux homologiques $A(\mathcal{X}, p)$ séparément.

Exemple On définit d'autre part les \[T^{n}(F) = F^{\otimes n} \qquad \bigl(F \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X})\bigr)\] muni […] défini de $A(\mathcal{X}, n)$ plus précisément.

[…] $F \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, m)$, alors $T^{n}(F) = F^{\otimes n}$ est un $\mathcal{O}_{\mathcal{X}}$-Module […] groupe d'opérateurs $\mathfrak{S}_{m} \times \mathfrak{S}_{n}$, et utilisant […] on obtientce dernier paragraphe est encadré et barré de deux obliques ; une flèche le renvoie à « opér. diagonales », écrit sous le cadre.

18Formules $\bigl[F, G \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X})\bigr]$ : \[T^{n}(F + G) \simeq \coprod_{p+q=n} T^{p}(F) * T^{q}(G),\] \[T^{m}\bigl(T^{n}(F)\bigr) \simeq w_{m,n}^{*}\bigl(T^{mn}(F)\bigr),\] \[T^{m}(F \otimes G) \simeq T^{m}(F) \otimes T^{m}(G)\] \[\bigl[\ w_{m,n} : \mathfrak{S}_{m} \longrightarrow \mathfrak{S}_{mn} \ \text{convenable} \ \bigr]\]

Nous nous intéressons aux $\mathcal{O}_{\mathcal{X}}(\mathfrak{S}_{n})$-Modules $F$ ayant la propriété suivante :

($*$) $F$ est la somme de faisceaux de la forme $u_{pq\,*}\bigl(F_{p_{1} p_{2} \ldots p_{r}}\bigr)$ $\bigl(\sum_{1}^{r} p_{i} = n,\ r \in \mathbb{N}\bigr)$ (biffé dans la parenthèse : $p, q \geqslant 0$), où les $F_{p_{1} \ldots p_{r}}$ sont des faisceaux libres sur $\mathcal{O}_{\mathcal{X}}(\mathfrak{S}_{p_{1}} \times \mathfrak{S}_{p_{2}} \times \cdots \times \mathfrak{S}_{p_{r}})$. On dit que $F$ est admissible s'il satisfait loc. la condition précédente. (N.B. Si $F$ satisfait […] […] et est de type fini, il en est […] de même […] des $F_{p_{1} \ldots p_{r}}$ […] induits par les $u_{p_{1} \ldots p_{r}}$ et des faisceaux triviaux sur les $\mathfrak{S}_{p_{1}} \times \cdots \times \mathfrak{S}_{p_{r}}$. le passage barré est enfermé dans un cadre que traversent deux obliques ; au bas, une incise entourée et biffée, […] loc. libres […] $\mathfrak{S}_{*}$-libres, est remplacée par ce qui suit : « induits par les $u_{p_{1} \ldots p_{r}}$ et des faisceaux […] sur les $\mathfrak{S}_{p_{1}} \times \cdots \times \mathfrak{S}_{p_{r}}$ ».

Cas des schémas

Les mots sont de lui : la chemise qui ouvre le troisième lot (page 19) porte « Cas des schémas », souligné, puis le sommaire de ce qui suit — « Filtration des $\lambda$-anneaux, classes de Chern universelles ; $\lambda$-anneaux "spéciaux" i.e. avec éléments "géométriques" ; Application », suivi d'un signe de validation.

20$K$ $\lambda$-anneau […] [[…]] spécial, $(x_{s})_{s \in S}$ base ⌜famille⌝ de générateurs (pour la structure) géométriques ; pour $s \in S$ soit $\varepsilon(s) = \mathrm{rg}\, x_{s}$.

On introduit un $\lambda$-homom. $K \xrightarrow{\ \rho\ } \widetilde{A}$ ($\widetilde{A}$, anneau […] gradué) tel que $\rho^{i}(x_{s}) = 0$ pour $i > \varepsilon(s)$.

Il n'y a alors plus d'applications universelles, et une relation […] $= CK$, $\widetilde{C} : K \to \widetilde{CK}$ ⌜[relative à l'ens. des $x_{s}$, on se donne]⌝.

[Ne dépend que de la structure $S$ par $+$, $*$ et $\lambda^{i}$, et y joint $1$ ; […] $\in K$]

Exemple : considérons […] $B$ le $\lambda$-anneau ⌜spécial⌝ engendré par des générateurs $X_{s}$ ($s \in S$) soumis à : […] ($X_{s}$ géométrique de rg $\varepsilon(s)$), i.e. \[\lambda^{i}(X_{s}) = 0 \ \text{si } i > \varepsilon(s), \qquad \lambda^{\varepsilon(s)}(X_{s}) \ \text{est inversible} .\] D'où \[B = \mathbb{Z}\Bigl[\bigl(\lambda^{i}(X_{s})\bigr)_{s \in S,\ 1 \leqslant i \leqslant \varepsilon(s)}\Bigr] \Bigl[\bigl(\lambda^{\varepsilon(s)}(X_{s})^{-1}\bigr)\Bigr] .\] Prenons $y =$ la famille $(X_{s})_{s \in S}$. Alors on a \[CB = \mathbb{Z}\Bigl[\bigl(C^{i}_{s}\bigr)_{s \in S,\ 1 \leqslant i \leqslant \varepsilon(s)}\Bigr], \qquad \widetilde{C}_{B} : B \to \widetilde{CB} \ \text{\uncertain{induit}},\] \[\widetilde{C}(X_{s}) = \Bigl[\varepsilon(s),\ 1 + C^{1}_{s} + \cdots + C^{\varepsilon(s)}_{s}\Bigr] .\] des indices biffés sont noircis dans les $C^{i}_{s}$ de ces deux lignes.

Il y a sur $\widetilde{CB}$ une filtration, d'où par image inverse par $\widetilde{C}_{B}$ une filtration de $\lambda$-anneau sur $B$ : compatible avec la structure d'anneau, stable par les $\lambda^{i}$.

Le $\lambda$-anneau $B$ satisfait est solution d'un pb universel, ce qui permet de définir […] […] des $\lambda$-anneaux $u$ :

LaTeX source

\begin{tikzcd}
B \arrow[r, "u"] \arrow[d, "\widetilde{C}_{B}"'] & K \arrow[d, "\widetilde{C}_{K}"] \\
\widetilde{CB} \arrow[r, "\widetilde{u}"] & \widetilde{CK}
\end{tikzcd}

le carré porte la marque ($*$) à gauche.

[…] par hypothèse est surjectif. L'image par $u$ de la filtration mise sur $B$ est une filtration, compatible avec la structure d'anneau, stable pour $\lambda$. On voit donc en outre que $\widetilde{C}_{K}$ est compatible avec les filtrations, d'où un homom. canonique \[\psi_{K} : GK \longrightarrow G\widetilde{CK} \simeq CK .\]

Remarque. Il est facile de voir que la filtration mise sur $K$ ne dépend que de la partie $T$ de $K$ engendrée par les $x_{s}$, comme il a été dit. Elle a une propriété fonctorielle évidente …

Remarquons que $K$ est augmenté (comme $B$, cela par $\varepsilon(X_{s}) = \varepsilon(s)$), compatible avec les opérations. Définissons […] pour $x \in K$, $i \geqslant 0$

Proposition 1. Pour $x \in K$, on a $\gamma^{i}(x - \varepsilon(x)) \in K^{(i)}$ ($i$ quelconque $\geqslant 0$). Posons $c^{i}_{K}(x) = \gamma^{i}(x - \varepsilon(x)) \bmod K^{(i+1)} \in G^{i}(K)$, alors $\widetilde{c}_{K}(x) = \bigl[\varepsilon(x),\ \sum_{0}^{\infty} c^{i}(x)\bigr]$. Alors $\widetilde{c}_{K}$ est un $\lambda$-homom. de $K$ dans $\widetilde{GK}$.

Vérification immédiate. / Donc $\widetilde{c}$ définit un homom. d'anneaux gradués \[\varphi_{K} : GK \longleftarrow CK\] rendant commutatif

LaTeX source

\begin{tikzcd}
K \arrow[r, "\widetilde{C}_{K}"] \arrow[dr, "\widetilde{c}_{K}"'] & \widetilde{CK} \arrow[d, "\widetilde{\varphi}_{K}"] \\
& \widetilde{GK}
\end{tikzcd}

Les homom. […] réciproques sont fonctoriels dans un sens évident.

Proposition 2. On a On a, en degré $i$ : $\psi_{K}\varphi_{K} = (-1)^{i}\,(i-1)! \cdot \mathrm{id}$, $\varphi_{K}\psi_{K} = (-1)^{i}\,(i-1)! \cdot \mathrm{id}$.