Fonds Grothendieck, cote n° 2, pages 1–20

Classique pour les Courbes

Le titre est de lui : il est encadré au crayon sur la chemise qui ouvre le lot (page 1), laquelle ne porte rien d'autre. Au-dessus de l'encadré, biffé de longs traits obliques : ~~Fonctorialité des variances~~ ~~de R.R.~~

X courbe non singulière.

E anneau des classes de faisceaux cohérents mod. les (F) - (F') - (F''), \rightarrow suite exacte 0 \to F' \to F \to F'' \to 0 où

E_{0} noyau de l'le mot, abrégé, n'a pas été lu ; il commence par un g et se termine en -ti. ()

\mathcal{D} sous-anneau engendré par les faisceaux définis du type k_{x} ; \mathcal{D} = groupe des diviseurs. {}^{*}C'est l'annulateur de E_{0}, donc un idéal.

N sous-groupe de E engendré par les (F) - (F') - (F'').

\mathcal{D} \cap N diviseurs « f-équivalents » à 0, ~~identiques à~~le préfixe entre guillemets est une haste bouclée ; il pourrait aussi bien être un l pour « linéairement », ou le signe \int que la page 3 emploie pour la caractéristique.

\mathcal{L} groupe des diviseurs équivalents à 0.

\Phi sous-algèbre de E engendrée par les ~~faisceaux~~ loc. libres \simeq algèbre des classes de fibrés vectoriels,

\Phi_{N} (quotient de \Phi par le sous-groupe (= idéal) engendré par les c(E), c(E'), )

{}^{*} E = \Phi + \mathcal{D}, \Phi \cap \mathcal{D} = 0

{}^{*} E/N \simeq \Phi/\Phi_{N} \simeq \mathbb{Z} + \mathfrak{P} (1)

{}^{*}

(1) \mathbb{Z} + \mathfrak{P} \to E/N fait correspondre à (1,0) la classe de \underline{\mathcal{O}}_{X}, et sur \mathfrak{P} déduit par passage au quotient de l'injection \mathcal{D} \subset E.

Proposition. N est engendré par les c(E) - c(E') - c(E''), où E' \to E \to E'' \to 0 est une suite exacte de fibrés vectoriels, et les c(E) - c(F) - c\bigl(\underline{\mathcal{O}}_{X}(E)/f\,\underline{\mathcal{O}}_{X}(F)\bigr), où E et F sont des fibrés linéaires et f : F \to E un , i.e. f \in H^{0}(X, \underline{\mathcal{O}}_{X}(F^{*} \otimes E)).

En d'autres termes, les \lambda(D + D') - \lambda(D') - \ill{}, où D et D' diviseurs, et où \lambda(\Delta) est la classe du faisceau inversible ou fibré vectoriel associé au diviseur \Delta. Ce qui se ramène à D \geqslant 0.

un mot de huit ou neuf lettres, commençant par L-i et finissant en -tion précédant la proposition est équivalente aux suivantes : \mathcal{D} + N = E_{0}, \qquad \mathcal{D} \cap N = \mathcal{L}, \qquad \struck{\Phi + N = E}, \qquad \Phi \cap N = \Phi_{N} .

Définition de l'application E \longrightarrow \mathbb{Z} + \mathfrak{P} :

sur \mathcal{D} : coïncide avec l'application canonique \mathcal{D} \to \mathfrak{P} ; sur \Phi : soit E un fibré vectoriel, fibre de type k^{n} et de classe de Chern c^{1}(E) \in \mathfrak{P} ; on prend h(E) = (n,\, c^{1}(E)).

Soit F un faisceau algébrique cohérent, c(F) \in \mathbb{Z} + \mathfrak{P} ; on voit que \begin{equation*} \int(F) \;=\; K_{1}\!\left( c(F) \cdot \left(1 - \tfrac{1}{2}K\right) \right) \qquad (K \in \mathfrak{P}) \tag{1} \end{equation*} où K est la classe canonique ; K_{1} est la forme linéaire sur \mathbb{Z} + \mathfrak{P} qui est 0 sur \mathbb{Z}, et sur \mathfrak{P} l'application « degré » \mathfrak{P} \to \mathbb{Z}. Pour vérifier (1), il suffit de le vérifier pour F = k_{x} et pour F = \underline{\mathcal{O}}_{X}.

Le symbole \int est, sur le feuillet, une haste bouclée en forme de s long ; c'est la caractéristique d'Euler-Poincaré que la formule calcule. Le symbole \mathfrak{P} est un capitale cursive barrée d'un trait horizontal, distincte du \mathcal{L} de la page 2.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathfrak{P} & \mathcal{D} \arrow[rd] & & \\ \mathcal{L} = \mathcal{D} \cap N \arrow[ru] \arrow[rd, "?"'] & & \mathcal{D} + N = E_{0} \arrow[r] & E \\ & N \arrow[ru] & & \end{tikzcd}

Sur le feuillet, \mathfrak{P} surmonte \mathcal{D} ; deux accolades embrassent la partie droite du dessin, celle du haut portant \Phi, celle du bas \mathbb{Z}, et sous celle du bas : « E/N classes de faisceaux ».

X ~~préschéma~~ [noethérien] admettant ~~aussi~~ un Module inversible ample, \dim X \leqslant 1.

K^{\bullet}(X) augmenté vers H^{0}(X, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}^{\pi_{0}(X)}, \quad E \rightsquigarrow (\mathrm{rg}_{i}(E))_{i \in \pi_{0}(X)}.

L'idéal d'augmentation I(X), on a aussi \left. \begin{array}{l} \text{si } x \in I(X),\ \ill{} \\[2pt] \gamma^{i}(x) = 0 \quad \text{pour } i \geqslant 2 \end{array} \right\} \qquad F^{i}_{\gamma}(K^{\bullet}(X)) = 0 \ \text{si } i \geqslant 2 .

Donc K^{\bullet}(X) \simeq \mathbb{Z}^{\pi_{0}(X)} \times K^{(1)}(X), \qquad K^{(1)}(X) = \mathrm{Pic}(X) \simeq \prod_{i \in \pi_{0}(X)} \mathrm{Pic}(X_{i}), ~~Donc E~~ K^{\bullet}(X) entièrement déterminé comme \lambda-anneau augmenté ; par les \mathrm{Pic}(X_{i}), i \in \pi_{0}(X).

Si E est un ~~fibré vectoriel~~ faisceau loc. libre de rang 0 sur X, \mathrm{cl}(E) = \bigl[\mathrm{rg}(E),\, c^{1}(E)\bigr] \qquad \text{où } c^{1}(E) = \det(E), \Bigl[\ \text{i.e.}\quad \mathrm{cl}(E) = \sum_{i} \mathrm{rg}_{i}(E)\cdot 1_{i} + \bigl[\mathrm{cl}(\det E) - 1\bigr] = \sum_{i} \bigl(\mathrm{rg}_{i}(E) - 1\bigr) 1_{i} + \mathrm{cl}(\det E)\ \Bigr] la ligne d'au-dessus porte, insérée, (\mathrm{rg}_{i}(E))_{i \in I}.

On a B^{\bullet}(X) = \mathbb{Z}^{\pi_{0}(X)} \times \mathrm{Pic}(X), et K^{\bullet}(X) \xrightarrow{\ c\ } B^{\bullet}(X) est l'identité, avec les identifications précédentes.

K_{\bullet}(X) augmenté vers \mathbb{Z}^{\pi_{0}^{(1)}(X)}, \quad F \rightsquigarrow (\mathrm{lg}_{i}(F))_{i \in \pi_{0}^{(1)}(X)} [\pi_{0}^{(1)}(X) = ens. des composantes irréductibles de \dim 1].

Le noyau est K_{0}(X) ; il est isomorphe à \mathbb{Z}^{k^{(0)}(X)} \times \mathrm{Pic}'(X) \;=\; \mathbb{Z}^{k^{(0)}(X)} \times \prod_{i \in \pi_{0}^{(1)}(X)} K_{0}(X_{i}) sous l'indice du produit il écrit « des composantes connexes de \dim 1 », et il souligne « \dim 1 » deux fois.

Pour écrire les opérations de variance entre K^{\bullet}(X) et K_{\bullet}(X), ( et 1 de K_{\bullet}(X) pour simplifier l'écriture.) X courbe.

(a 1^{\circ}) \dim X = 0.

Les opérations de K^{\bullet}(X) . 1 \in K_{\bullet}(X) donné par : \mathrm{lg}(1) = (\mu_{i}) \in \mathbb{Z} \qquad \text{seul invariant de la situation} ici c^{\bullet} = \mathrm{ch}^{\bullet} = \mathrm{id}_{K} ? K^{\bullet}(X) \xrightarrow{\ \mathrm{rg}\ } \mathbb{Z}, \qquad K_{\bullet}(X) \xrightarrow{\ \mathrm{lg}\ } \mathbb{Z} (isomorphismes de \lambda-anneaux), et K^{\bullet}(X) \rightsquigarrow K_{\bullet}(X) : pour 2 choix !

2^{\circ}) \dim X = 1. on a les invariants suivants :

a)L'ens. fini K = \pi_{0}(X) des comp. irréd. de X ; b)les ; \delta \in K_{0}(X) ; (\mu_{i})_{i \in K} (dans \mathrm{lg}_{i}(\underline{\mathcal{O}}_{X})), \bigl(= 1 - \sum \mu_{i} 1_{i}\bigr) les deux lignes de ce point sont réunies par une accolade sur le feuillet ; c)Le groupe K^{(1)} = \mathrm{Pic}(X) ; d)Le groupe K^{\varepsilon}_{(0)} = K_{(0)}(X_{i}), \prod_{i \in K} K^{i}_{(0)} ; d)D'autres : u_{i} : K^{(1)} \to K^{\varepsilon}_{(0)}, i \in K, L \rightsquigarrow \mathrm{cl}\bigl((L-1)\underline{\mathcal{O}}_{X_{i}}\bigr).

un invariant, dépendant du choix la classe de l'élément 1 de K_{\bullet}(X)

on écrit comment K^{\bullet}(X) = \mathbb{Z} \times K^{(1)} \xrightarrow[\ = \mathrm{id}\ ]{\ c^{\bullet} = \mathrm{ch}^{\bullet}\ } B^{\bullet}(X) \simeq \mathbb{Z} \times K^{(1)} , K_{\bullet}(X) = \mathbb{Z}^{K} \times K_{(0)} \ \struck{\ill{}} \ = \ B_{\bullet}(X) \simeq \mathbb{Z}^{K} \times K_{(0)} . K^{\bullet}(X) \rightsquigarrow K_{\bullet}(X) : il suffit pour définir des K_{\bullet}(X) opérations de degré filtrant \geqslant 1 [], \mathbb{Z}^{K} \longrightarrow K_{(0)}, \qquad \struck{\ill{}} \qquad \xi \rightsquigarrow \bigl(\uncertain{\lambda_{i}}\, u_{i}(\xi)\bigr)_{i \in K} .

Homo. de K^{\bullet}(X) dans K_{\bullet}(X), défini par 1_{\bullet} \in K_{\bullet}(X) défini par 1_{\bullet} = \sum \mu_{i}\, 1_{i} + \delta_{\varepsilon} . Alors u(n, \xi) \;=\; \sum n\,\mu_{i}\, 1_{i} \;+\; \Bigl( n\,\delta_{\varepsilon} + \sum \mu_{i}\, u_{i}(\xi) \Bigr), \qquad n \in \mathbb{Z},\ \xi \in K^{(1)} .

~~on définit de même K_{\bullet}(X) \xrightarrow{\ c_{\bullet} = \mathrm{ch}_{\bullet}\ } B_{\bullet}(X), c_{\bullet}(\xi_{\bullet}) = \ill{}~~le bas du feuillet est barré de longues obliques ; la formule qu'elles traversent fait intervenir les \mathrm{lg}_{i}(\xi_{i}) et une soustraction de \sum \ill{}\, 1_{i}, et n'a pas été lue.

Contre-exemples

Le mot est de lui : il est seul, en haut à droite de la chemise qui ouvre le second lot (page 8).

X \xrightarrow{\ i\ } X \times \mathbb{P}^{r}, \qquad F \otimes L . \underline{K}(X \times \mathbb{P}^{r}) = \underline{K}(X) \otimes \underline{K}(\mathbb{P}^{r}) \big/ \bigl(\xi = 1 - L^{-1}\bigr) . i_{!}(x) = p^{!}(x) \otimes q^{!}(\xi^{r}) = x \otimes \xi^{r}, \widetilde{C}(i_{!}(x)) = \widetilde{C}(x \otimes \xi^{r}) = \widetilde{C}(x) * \widetilde{C}(\xi^{r}) .

\underline{K}(X) \to \underline{K}(X \times \mathbb{P}^{r}) est injectif ; on a le carré

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \underline{K}(X) \arrow[r, "\text{inj.}"] \arrow[d, "\widetilde{c}_{X}"'] & \underline{K}(X \times \mathbb{P}^{r}) \arrow[d, "\widetilde{c}_{X \times \mathbb{P}^{r}}"] \\ \widetilde{A}(X) \arrow[r] & \widetilde{A}(X \times \mathbb{P}^{r}) \end{tikzcd}

p_{*} i_{*}(x) = (p i)_{*}\, x = x.

\xi^{r} = \sum_{i=0}^{r} \binom{r}{i} (-1)^{i} L^{-i}, \qquad \widetilde{C}(\xi^{r}) = \prod_{i=0}^{r} (1 - i\eta)^{(-1)^{i} \binom{r}{i}} . \widetilde{C}(i_{!}(x)) = \prod_{i=0}^{r} \Bigl[\, \widetilde{C}(x) * (1 - i\eta) \,\Bigr]^{(-1)^{i} \binom{r}{i}} \struck{= \prod_{i=0}^{r} \Bigl[ (1 - i\xi)^{\varepsilon(x)} \sum_{i=0}^{\infty} C^{i}(x) \Bigr]}

\widetilde{C}(x) * (1 - i\eta) = \widetilde{C}(x) * \bigl[1,\ 1 - i\eta\bigr] - \widetilde{C}(x) = \Bigl[\ \varepsilon(x),\ 1 + \cdots + \sum_{j=0}^{k} C^{j}(x)\,(-i\eta)^{k-j}\ \Bigr] une accolade court sous le dernier terme et porte « k terme C^{k} de la seconde : \widetilde{C}(x) * [1,\, 1 - i\eta] » ; le milieu de cette glose n'a pas été lu.

\widetilde{C}(\xi^{r}) = 1 + (-1)^{r+1}(r-1)!\ \eta^{r}, d'où \widetilde{C}(i_{!}(x)) = \widetilde{C}(x) * \Bigl(1 + (-1)^{r+1}(r-1)!\ \eta^{r}\Bigr) = \Bigl(1 + (-1)^{r+1}(r-1)!\ \eta^{r}\Bigr)^{\varepsilon(x)} \Bigl( C(x) * \bigl(1 + (-1)^{r+1}(r-1)!\ \eta^{r}\bigr) \Bigr) = 1 + \sum_{i=1}^{\infty} Q_{i}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{i}(x);\ 0, \ldots, \uncertain{\alpha^{(i/r)}}, 0, \ldots, 0\bigr) les exposants (-1)^{r+1} de ce bloc sont écrits (-1)^{r-1} à la page suivante ; la page ne tranche pas.

b_{\gamma} = 1 - L(-\gamma), 1 - b_{\gamma} = L(-\gamma)

Or Q_{i} en contenant singulier ; en dehors, sachant que (\eta^{r})^{n} = 0 si n > 1. Donc on trouve Q_{i}(\cdots) = \begin{cases} 0 & \text{si } i < r, \\[4pt] (-1)^{r-1}(r-1)!\ Q^{(r)}_{i-r}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{i}(x)\bigr) & \end{cases} où Q^{(r)}_{i-r}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{i}(x)\bigr) est le coefficient de ( de poids i - r) d^{r} dans Q_{i}(c^{1}, \ldots, c^{i};\, d^{1}, \ldots, d^{i}) (r \leqslant i) ( Attention ).

\widetilde{C}(i_{!}(x)) = 1 + (-1)^{r-1}(r-1)!\ \eta^{r} \Bigl[\ \varepsilon(x) + \sum_{i=0}^{\infty} Q^{(r)}_{i}\bigl(c^{1}(x), \ldots, c^{i}(x)\bigr) \Bigr]

Comparons avec R.R. \widetilde{C}(i_{!}(x)) = \struck{\ill{}}\ (i_{*})_{r}\bigl(\widetilde{C}(x)\bigr). On voit que (i_{*})_{r}\Bigl[\ \eta \sum_{0}^{\infty} x^{i} \Bigr] = 1 + (-1)^{r-1}(r-1)!\ \eta^{r} \Bigl[\ 1 + \sum_{i=0}^{\infty} Q^{(r)}_{i}\bigl(x^{i}, \ldots, x^{i}\bigr) \Bigr]

N.B. Q^{(r)}_{0}(c^{1}, \ldots, c^{r}) = 0, i.e. Q_{r}^{\sharp}(c^{1} \ldots c^{r};\, 0, \ldots, 0, d^{r}) = 0, i.e. (1 + c^{1} \ill{} - c^{r}) * (1 + d^{r}) à filtration \geqslant r+1.

De on voit Q^{(r)}_{1}(c^{1}) - \struck{\ill{}} = -\ \frac{(r+1-1)!}{(r-1)!\,(1-1)!}\ c^{1} = -\,r\,c^{1} .

les coefficients numériques le (r-1)! provenant des Q^{(r)}_{i}.

Conséquence. Soit dans Y un hyperplan, x' \in A^{1}(X) sa classe ; on a \widetilde{C}_{X}(Y) = \bigl(1 - \struck{c^{1}(x)}\ x'\bigr)^{-1} = \sum x'^{\,n} , \widetilde{C}_{X \times \mathbb{P}^{r}}\bigl(i_{!}(\underline{\mathcal{O}}_{Y})\bigr) = \widetilde{C}_{X \times \mathbb{P}^{r}}(Y \times \mathbb{P}^{r}) = 1 + (-1)^{r-1}(r-1)! \sum_{i=1}^{\infty} Q^{(r)}_{i}\bigl(x',\, (x')^{2}, \ldots, (x')^{i}\bigr) = 1 + (-1)^{r-1}(r-1)!\ \eta^{r} \sum_{i=1}^{\infty} Q^{(r)}_{i}\bigl(x',\, (x')^{2}, \ldots, (x')^{i}\bigr) une accolade sous la somme porte c_{i,r}\,(x')^{r}.

Si donc (r-1)!\,x' = 0, \widetilde{C}_{X \times \mathbb{P}^{r}}(Y \times \mathbb{P}^{r}) = \uncertain{0}, donc pour prendre Y' soit x' = 0.

Le dernier membre est lu 0 ; l'argument attendrait 1, et la page ne tranche pas.

Modules sur un topos annelé où un groupe opère

Le titre est de l'éditeur : ces quatre feuillets ne sont précédés d'aucune chemise inscrite dans ce lot, et leur sujet n'est pas celui des « Contre-exemples » qui précèdent.

\mathcal{X} Topos annelé, \mathcal{O}_{\mathcal{X}} = \mathcal{O} son anneau (supposé commutatif).

Pour tout groupe G, on considère la catégorie A(\mathcal{X}, G) des Modules sur \mathcal{X} où G opère. On a, pour un homomorphisme u : G \to G', un homomorphisme de restriction u^{*} : A(\mathcal{X}, G') \longrightarrow A(\mathcal{X}, G) et un homomorphisme u_{*} : A(\mathcal{X}, G) \longrightarrow A(\mathcal{X}, G') . Lorsque u est injectif, on a un isomorphisme canonique u^{*} u_{*}(F) \simeq F^{(G'/G)} \quad \ill{} Si on se borne aux sous-catégories pleines formées des Modules loc. libres, resp. libres de type fini, resp. loc. libres de type fini) sur \mathcal{O}[G], elles sont stables par les foncteurs précédents. Elles par les foncteurs que définit maintenant.

Dans A(\mathcal{X}, G) on a l'opération \otimes (commutative et associative),

on a les isomorphismes fonctoriels u^{*}(F' \otimes G') \simeq u^{*}(F') \otimes u^{*}(G') et pour u_{*} la « formule de projection » u_{*}\bigl(F \otimes u^{*}(G')\bigr) \simeq u_{*}(F) \otimes G' .

[On a aussi les opérations \lambda^{i} (et les opérations tensorielles) qui . Mais il est désirable plus bas des opérations \otimes]

on définit le produit tensoriel « extérieur » : F \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, G), \qquad G \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, H), F \boxtimes G = \mathrm{pr}_{1}^{*}(F) \otimes \mathrm{pr}_{2}^{*}(G) \ \in\ \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, H \times G) . les inverses u^{*}(F \boxtimes G) \simeq u^{*}(F) \boxtimes u^{*}(G), F \otimes G \ \rightsquigarrow \ = (\mathrm{diag}_{G})^{*}(F \boxtimes G) .

On désigne par u_{pq} : \mathfrak{S}_{p} \times \mathfrak{S}_{q} \longrightarrow \mathfrak{S}_{p+q} l'injection canonique, et on pose, pour F \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, p), G \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, q) : F * G = u_{pq\,*}\bigl(F \boxtimes G\bigr) \ \in\ \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X}, p+q) . L'opération F * G est « commutative » et « ass. ».

A(\mathcal{X}, p) abrège A(\mathcal{X}, \mathfrak{S}_{p}) ; son \mathfrak{S} est un S bouclé.

Formules \bigl[F, G \in \mathrm{Ob}\ A(\mathcal{X})\bigr] : T^{n}(F + G) \simeq \coprod_{p+q=n} T^{p}(F) * T^{q}(G), T^{m}\bigl(T^{n}(F)\bigr) \simeq w_{m,n}^{*}\bigl(T^{mn}(F)\bigr), T^{m}(F \otimes G) \simeq T^{m}(F) \otimes T^{m}(G) \bigl[\ w_{m,n} : \mathfrak{S}_{m} \longrightarrow \mathfrak{S}_{\ill{}} \ \ill{} \text{convenable} \ \bigr]

Nous les Modules F ayant la \mathcal{O}_{\mathcal{X}}(\mathfrak{S}_{n}) la propriété suivante : (*) F \rightsquigarrow le les faisceaux u_{pq\,*}\bigl(F_{p_{1} p_{2} \ldots p_{r}}\bigr) \qquad \Bigl(\sum p_{i} = n,\ \ill{},\ p_{i} \geqslant 0,\ r \in \mathbb{N}\Bigr) des faisceaux loc. \bigl(\mathfrak{S}_{p_{1}} \times \mathfrak{S}_{p_{2}} \times \cdots \times \mathfrak{S}_{p_{r}}\bigr).

Cas des schémas

Les mots sont de lui : la chemise qui ouvre le troisième lot (page 19) porte « Cas des schémas », souligné, puis le sommaire de ce qui suit — « Filtration des \lambda-anneaux, classes de Chern universelles ; \lambda-anneaux "spéciaux" i.e. avec éléments "géométriques" ; Application », suivi d'un signe de validation.

K \lambda-anneau spécial, (x_{s})_{s \in S} famille de générateurs (pour la structure)

On introduit \lambda K \xrightarrow{\ \rho\ } \widetilde{A} (\widetilde{A}, ).

Il n'y a plus d'applications universelles, et avec l'aide des x_{s}, on

E Ne que structure S +, * et

Exemple : considérons B le spécial engendré par générateurs X_{s} (s \in S) soumis à (X_{s} \varepsilon(s)), i.e. \lambda^{i}(X_{s}) = 0 \ \text{si } i > \varepsilon(s), \qquad \lambda^{\varepsilon(s)}(X_{s}) \ \text{inversible} . D'où B = \mathbb{Z}\Bigl[\bigl(\lambda^{i}(X_{s})\bigr)_{s \in S,\ 1 \leqslant i \leqslant \varepsilon(s)}\Bigr] \Bigl[\bigl(\lambda^{\varepsilon(s)}(X_{s})\bigr)^{-1}\Bigr] . Prenons y = la famille (X_{s})_{s \in S}. CB = \mathbb{Z}\Bigl[\bigl(C^{i}_{s}\bigr)_{\struck{\ill{}}}\Bigr], \qquad \ill{} \quad \widetilde{C}(X_{s}) = \Bigl[\varepsilon(s),\ 1 + C^{1}_{s} \cdots \ill{}\Bigr] . Il y a sur \widetilde{C}B une filtration, d'

\gamma-filtration \widetilde{C}K, GK = \mathrm{gr}\,K, \psi_{K} : GK \to G\widetilde{C}K \simeq CK

Proposition 1.

Proposition 2. \varphi_{K} : GK \longleftarrow CK, \varphi_{K}\psi_{K} = (-1)^{i}\,(i-1)! \cdot \mathrm{id}

Le bas de ce feuillet est une suite serrée d'énoncés dont seuls les symboles portent ; la prose qui les relie n'a pas été lue.