Cote n° 18, pages 21–40

Cote n° 18 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Motifs et théorie de Hodge : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1969-vers 1972]
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Généralisation de la formule fondamentale au cas d'un morphisme propre quelconque

Ces feuillets n'ont pas de couverture : le titre reprend mot pour mot la première phrase de la page 22, qui n'est pas un titre de sa main. Ce qu'il généralise est la formule fondamentale établie aux pages 16 à 20 du lot précédent ; la page 21 est un feuillet étranger et l'argument ne s'interrompt donc qu'en apparence.

On généralise la formule fondamentale — au cas d'un morphisme propre quelconque \[f : X \longrightarrow Y\] […] variétés algébriques holomorphes, purement de codimension relative $p$ :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{2i}(X, \mathbb{C}) \arrow[r, "f^{\mathrm{top}}_{*}"] \arrow[d, "\wr"'] & H^{2i-2p}(Y, \mathbb{C}) \arrow[d, "\wr"] \\
H^{2i}(X, \Omega^{\bullet}_{X}) \arrow[r, "\frac{1}{(2i\pi)^{p}} f^{\mathrm{an}}_{*}"] & H^{2i-2p}(Y, \Omega^{\bullet}_{Y})
\end{tikzcd}

Ce carré est encadré. Les exposants des $H$ sont repris à l'encre par dessus une première écriture et ne se lisent pas avec certitude : à gauche $2i$, à droite un exposant plus long où l'on croit lire $2i-2p$. Le décalage de degré est celui qu'impose l'image directe d'un morphisme propre de codimension relative $p$, mais la page ne le dit pas.

D'où généralisation […] analogue pour des variétés algébriq. sur $\mathbb{C}$ la phrase s'achève sur des points de suspension.

$\mathbb{C}$, on a un objet canonique de $\xi$ […] de $T_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z})$ la lettre entre « de » et $T_{\mathbb{C}}$ est surchargée et ne se lit pas.

[$T_{\mathbb{C}}$ torseur fondamental associé à $\mathbb{C}$].

\[H^{i}(X, \mathbb{Q}(0)) \longrightarrow H^{i}(X_{\mathrm{top}}, \mathbb{Z})\]

L'hom. $H^{i}(X'', \mathbb{Q}(0)) \to H^{i}(Y'', \mathbb{Q}(0))$ défini [par une correspondance, à l'aide de] […] par $\xi \in a^{n}(X \times Y)$ est celui défini par la classe $P_{\mathrm{top}}(\xi) \left[ = \left(\frac{1}{2i\pi}\right)^{n} P_{\mathrm{alg}}(\xi) \right]$ : \[\boxed{\ \xi(y)(x) = \mathrm{pr}^{\mathrm{top}}_{2*}\left( \mathrm{pr}^{*}_{1}(x)\, P_{\mathrm{top}}(\xi) \right)\ }\]

Considérons l'isomorphisme can[onique] (pour $X$, $i$ donnés) \[\xi_{\mathbb{C}}\left(H^{i}(X, \mathbb{Q}(0))\right) = \xi\left(H^{i}(X, \mathbb{Q}(0))\right) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C} \ \xrightarrow{\ \sim\ }\ H^{*i}(X, \Omega^{*}_{X}) = \xi_{\mathbb{C}, \infty}\left(H^{i}(X, \mathbb{Q}(0))\right)\] sous le membre de gauche il écrit $H^{i}(X_{\mathrm{top}}, \mathbb{C})$ avec un signe $=$, et au-dessus de la flèche « car […] Hodge-coh. ».

Cet isom. […] est fonctoriel […] $H^{i}(X, \mathbb{Q}(0))$.

En effet, […] Pour le rendre canonique, il faut […] \[x \longmapsto \mathrm{pr}^{\mathrm{top}}_{2*}\left( \mathrm{pr}^{*}_{1}(x)\, P_{\mathrm{top}}(\xi) \right) = \mathrm{pr}^{\mathrm{top}}_{2*}\left( \mathrm{pr}^{\mathrm{an}}_{1}(x) \left(\tfrac{1}{2i\pi}\right)^{n} P_{\mathrm{alg}}(\xi) \right)\] \[= \left(\tfrac{1}{2i\pi}\right)^{-n} \mathrm{pr}^{\mathrm{alg}}_{2*}\left( \mathrm{pr}^{*}_{1}(x) \left(\tfrac{1}{2i\pi}\right)^{n} P_{\mathrm{alg}}(\xi) \right)\] les exposants $-n$ et $n$ des deux facteurs $1/2i\pi$ sont écrits ainsi, et le premier $\mathrm{pr}_{1}$ porte l'exposant « an » là où les autres portent une étoile.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{i}(X, \mathbb{C}) \arrow[r, "\xi_{\mathbb{C}}(\xi)"] \arrow[d, "\mathrm{can}"'] & H^{i'}(Y, \mathbb{C}) \arrow[d, "\mathrm{can}"] \\
H^{p}(X, \Omega^{\bullet}_{X}) \arrow[r, "\xi_{\mathbb{C},\infty}(\xi)"] & H^{i'}(Y, \Omega^{\bullet}_{Y})
\end{tikzcd}

sous la flèche du haut il écrit « défini par $P_{\mathrm{top}}(\xi) = (\frac{1}{2i\pi})^{n} P_{\mathrm{alg}}(\xi)$ », sous celle du bas « défini par $P_{\mathrm{alg}}(\xi)$, $= (\frac{1}{2i\pi})^{n} \xi(\xi)$ » ; deux flèches ondulées portent les deux lois déjà écrites plus haut, la seconde étant $x \mapsto \mathrm{pr}^{\mathrm{alg}}_{2*}(\mathrm{pr}_{1}^{*}(x) P_{\mathrm{alg}}(\xi))$ avec « alg » souligné.

Cette vérification […] purement analytique $\longrightarrow$ topologique (avec chgt de coord. analytiques)

Ouf !

Soit $K$ un corps top. isomorphe à $\mathbb{C}$ [isom. non choisi !]

Alors on a le foncteur [mult.] $\xi = \xi_{K}$ sur la catégorie des motifs sur $K$, à valeurs […] les $\mathbb{Z}$-modules, et […] isom. \[\xi \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_{\ell} \ \xrightarrow{\ \alpha_{1}\ }\ \xi_{\ell} \qquad \xi \otimes_{\mathbb{Z}} K \ \xrightarrow{\ \alpha_{2}\ }\ \xi_{K}\]

Considérons \[\xi\left(H^{2}(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{Z}(0))\right) = \xi\left(\mathbb{Z}(-1)\right)\] c'est isomorphe à $\mathbb{Z}$, l'isom. n'étant pas […] [ni déterminé les gén.] Le choix d'un tel isom. revient à celui d'une orientation sur $\mathbb{P}^{1}_{K}$ « orientation » est souligné, non biffé.

[puisqu'en […] […] naturelle une variété algébrique réelle, iso., isomorphe à $S^{2}$), on a […] $=$ […], au choix de l'une des deux structures orientées sur $\mathbb{P}^{1}_{K}$, provenant du choix d'un choix d'un isom. $K \simeq \mathbb{C}$, i.e. le choix d'une des […] racines de $-1$ dans $K$. Comme $\pi \in \mathbb{R} \subset \mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ est bien déterminé comme

élément de $K$, on voit que le choix ainsi fait permet d'écrire \[\alpha_{\infty}(u) = \frac{1}{2\sqrt{-1}\,\pi}\, v\] […] $v$ est le générateur canonique de $H^{2}(\mathbb{P}^{1}, \Omega^{1})$.

Pour les choix différents différents de topologie sur $K$ […] de $K$ […], on trouve ainsi […] les éléments primitifs de $H^{u}(\mathbb{P}^{1}, \Omega^{u})$. les deux exposants sont écrits d'un même trait bref que rien ne permet de lire.

Si $K$ est un corps top. isomorphe à $\mathbb{R}$ [l'isom. étant d'ailleurs d'ailleurs unique], on définit encore, par choix de la compactification clôture alg. algébrique de $\mathbb{R}$, un foncteur $\xi = \xi_{K} = \xi_{K}$ à valeurs dans les $\mathbb{Z}$-modules [mais avec op. de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{R}}/\mathbb{R})$], et […] des isom. un dual sur $\mathbb{Z}$, les $\xi_{\otimes}$-réseaux [$\xi(M)$] pour […], obtenons dans \[\prod_{\ell} M_{\ell} = M_{\ell} \times M_{\infty \mathbb{C}}\] [valeurs : $\mathbb{R} \hookrightarrow \mathbb{C}$, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$] […] […] La page s'arrête sur une ligne de deux ou trois mots que rien ne permet de lire. Le produit $\prod_{\ell} M_{\ell} \times M_{\infty\mathbb{C}}$ est le premier état, sur ces feuillets, du module adélique que le lot 3 écrira $M^{\mathbb{A}_{\mathbb{C}}}$.

Corps de base topologique $\simeq \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ (foncteurs de Hodge et De Rham dans ce cas)

Le titre est de lui : ces quatre lignes occupent seules le haut à droite du feuillet 30, par ailleurs vierge. Ce feuillet sert de couverture à ce qui suit et n'est pas transcrit comme page, d'où le saut de 28 à 31. « typ. » y abrège « topologique », et « De » est biffé puis réécrit dans « DeRham ».

Corps Corps de base topologique donné : $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ cette ligne, soulignée, est en tête du feuillet ; elle reprend le titre de la couverture.

$K$ corps topologique donné $\simeq$ […] $\mathbb{C}$ (il y a donc deux isom. avec $\mathbb{C}$, mais on […] on en choisit un) $j$. […] cas $\mathbb{R}$.

$M$ motif sur $K$. Alors $D$ $DR(M)$ [De] [De Rham] pour […] $X$ lisse projectif sur $K$, $X(K)$ est une […] variété topologique […] ($K$-analytique compacte), d'où d'où $H^{*}(X, \mathbb{Q})$, et on définit ainsi le foncteur le Betti Betti $\mathrm{Betti}(M)$ sur les motifs sur $K$. $\mathrm{Betti}(\mathrm{Betti}(M) \otimes_{\mathbb{Q}} K$ $\simeq$ correspond à $H^{*}(X, K)$. Par l'argument par habituel, ce dernier est isomorphe canon. […] la coh. coh. de De R., d'où \[\mathrm{Betti}(M)_{K} \simeq DR\struck{(\subseteq DR(M)} \qquad \text{($\otimes$-isom.\ can.)}\] la parenthèse du membre de droite est biffée en cours d'écriture et reprise en $DR(M)$ ; c'est cette dernière forme qui est utilisée plus bas.

Ceci met sur [(à $K$-modules)] $DR(M)$ $(M)$ une structure réelle, dont le sous-[…] réel réel est $\mathrm{Betti}(M)_{\mathbb{R}}$ ; sauf à l'isomorphisme. La donnée de la filtration canonique de $DR(M)$, et $\sigma$, permettent […] de façon unique de splitter cette filtration -cation, de façon à déterminer […] $DR(M)$ une bi bigraduation compatible avec les degrés totaux, et […] redonnant la filtration […] à l'aide des premiers degrés. Le choix d'un isom. $u$ $K \to \mathbb{C}$ met, pourtant, pas beaucoup de […], une

[le naturel] structure complexe sur $I$ $DR(M)$ ; mais […] noter que la bigraduation déduite ainsi par transport de structure de celle de Hodge ne […] dépend pas de […] (donc, si on remplace […] $u(z)$ par $\overline{u(z)}$, elle n'est pas topologie […] la symétrique !).

un troisième $u(K)$ […] $DR(M_{\mathbb{C}}) \xrightarrow{\ \sigma\ } M_{\mathbb{C}} \xrightarrow{\ \sigma\ } DR(M)_{\mathbb{C}}$, les structures […] […] la filtration composé avec $\sigma$, ou $\overline{\sigma}$, introduisant un $K$-isom. $DR(M_{\mathbb{C}}) \simeq DR(M), DR(M)$, conservant les $\mathbb{Q}$-structures, et renversant [(à filtration)] filtration.

Néanmoins, si on regarde, pour un motif donné $M$, le motif $\otimes(M_{\mathbb{C}})$ ($\subseteq$ à l'autre), les […] ne […] sont […]

Supp. Soit maintenant $K$ $K_{0} = \mathbb{R}$, et considérons les motifs $M$ sur $\mathbb{R}$. Choisissons […] une clôture alg. $K$ de $K_{0} = \mathbb{R}$. Alors Alors \[DR(M)_{K} = DR(M_{K})\] est muni de deux fois façons d'une $\mathbb{R}$-structure : la première déduite de $DR(M)$ par $\mathbb{R} \to K$, et puis : la contre-structure donnée plus haut. Soit $\sigma$ l'aut[omorphisme] de la conjugaison complexe définie plus haut, (N.B. $\sigma$ […] $\sigma$ ne respecte pas la bigraduation [filtration]), $\tau$ celle déduite par […] $DR(M)_{K} \simeq DR(M_{K})$ (donc $\sigma$ respecte la filtration $W$ […] $W$) — $\sigma$ et $\tau$ sont semi-linéaires. Alors Alors $\sigma$ et $\tau$ commutent, en d'autres termes […] \[DR(M_{K})^{\tau}\ \left(= H^{*}(X(K), \mathbb{R}) \text{ si } M = M^{*}(X)\right)\] est stable par $\tau$ : en effet, $\tau$ n'est autre […] par l'aut[omorphisme] de […] $H^{*}(X(K), \mathbb{R})$ défini par l'aut[omorphisme] $\tau_{X}$ de […] $X(K)$ ! Alors $\sigma\tau = \tau\sigma = f_{\mathbb{R}}$ […] l'aut[omorphisme] de $H^{\bullet}$ $H^{*}(X(K), K) \simeq DR(\mathrm{Mot}^{*}(X))$

défini par l'aut[omorphisme] $\tau_{X}$ $\tau_{X}$ de $X(K)$). Ainsi, un motif sur $\mathbb{R}$ définit […] :

Une structure de Hodge Hodge [$V$] $V$ sur $K$
Un automorphisme […] [devant devant] […] [$V_{K}$] […] $K$ — qui est […], cet automorphisme étant étant « réel » i.e. qui transforme $V_{\mathbb{R}}$ en $V_{\mathbb{R}}$, et […] antilinéaire et i.e. transforme $V$ en $\overline{V}$

[…] Ces deux dernières étant tant assujetties à la condition

($f_{\mathbb{R}}$) $\sigma$ […] échange la filtration naturelle, i.e. qu'il échange échange que la filtration donnée et l'opposée

En termes de « bonnes structures de Hodge », on peut […] [exprimer] aussi b) en disant qu'il s'agit […] d'un isom. de la structure de Hodge Hodge $V$ avec la structure de Hodge […] « conjuguée » [« $-$ »] : c'est le Frobenius réel.

Soit $G$ le groupe de […] de Galois motivique de $M$ sur $\mathbb{R}$. Alors $f_{\mathbb{R}}$ correspond à […] un élément \[f_{\mathbb{R}} \in G(\mathbb{Q}) \ \struck{G(\mathbb{Q})}\] « Weil » Frobenius réel réel. C'est un élément d'ordre 2.

Son image dans $G/G^{0}$ $G/G^{0}$ engendre ce groupe. Cet élément normalise $i : S_{\mathbb{R}}$ $\to$ $: S_{\mathbb{R}}$ $\longrightarrow G_{\mathbb{R}}$, de façon précise \[f_{\mathbb{R}}\, i(\lambda)\, f_{\mathbb{R}}^{-1} = i\left(\struck{\ill{}}\, i(\struck{\ill{}}\, \lambda')\right)\] où $\lambda \mapsto \lambda'$ est la symétrie canonique de $S_{\mathbb{R}}$ la formule est écrite deux fois l'une sur l'autre ; seule la seconde version, avec $\lambda'$, est cohérente avec la note marginale et avec la page 36.

Donc sur $U_{\mathbb{R}}$ […] \[(*) \qquad f_{\mathbb{R}}\, i(\lambda)\, f_{\mathbb{R}}^{-1} = i(\lambda^{-1}) \qquad (\lambda \in U_{\mathbb{R}}\ \struck{\ill{}})\]

Le foncteur $M \mapsto$ (struct. structure de Hodge associée, avec $f_{\mathbb{R}}$) est pleinement fidèle […] […] […] des conj. de Hodge.

Les éléments de $DR(M)$ $(M)$ sont les éléments de $DR(M)_{K} \simeq V \otimes_{\mathbb{Q}} K$ […] $z$ de la forme $z = x + iy$ ($x, y \in V_{\mathbb{R}}$) avec $x = fx$, $y = -fy$ [(ce qu'on exprime $\tau z = z$ i.e. $\sigma\tau z = z$ i.e. $\sigma z = f(z)$)] $\mathbb{Q}$-structure de […]

Cela $\pm$ Donc l'espace $DR($ $DR(M)$ admet une façon naturelle […] […] structure […] peut peut le […] […] en $x + iy$, $x, y \in V$, $x = fx$, $y = -fy$. $-fy$. Soit $W$ cet espace, il mérite le nom de sous-[…] espace de Betti [tordu] de $DR(M)$.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{*}(X(K), \mathbb{Q}) = V \arrow[r, hook] & DR(M)_{K} \simeq DR(M_{K}) \\
H^{*}(X(\mathbb{R}), \mathbb{Q}) = V \cap W = V^{f} \arrow[u, hook] & W \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

Il écrit les deux inclusions verticales par des $\cup$ ; le membre de gauche de la ligne du bas porte encore « $= W^{f}$ » suivi d'un $\mathbb{C}$.

Il est stable par $f$. Mais la formation […] ne […] commute-t-elle comme il faut pour $\otimes$ ? Oui.

On a ainsi un deuxième deuxième foncteur fibre […] $M$ [un foncteur Betti] : […] sur $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Q}$, mais il est isomorphe […] premier, […] […] […] […] […] \[V \simeq V^{+} + V^{-}, \qquad W = W^{+} + W^{-+} + W^{-},\] et utilisant les isomorphismes $V^{+} \simeq W^{+}$ $\simeq W^{+}$, $V^{-} \simeq W^{-}$ canoniques.

Les isom. $V \to W$ […] [$f$.] […] par l'automorphisme de $DR(M_{K}) \simeq V_{K} \simeq W_{K} \cdot W_{K}$ qui est l'identité sur $V^{+}_{K}$, et la multiplication par $i$ sur $V^{-}_{K}$ ; [Cependant, ce] Donc n'est pas compatibl. compatible avec […] […]

[[…] Betti et $\Pi$ et Betti un […] […] isom., l'un est déduit […] de l'[…] de l'autre en tordant par le cocycle défini par $f_{\mathbb{R}}$] « Betti » est réécrit une seconde fois au-dessus de « déduit ».

Ce feuillet et les deux suivants sont à l'encre bleue et écrits au net ; ils se lisent presque de bout en bout, à la différence des pages 24 à 28.

L'élément $\alpha \in P(\mathbb{C})$ est […] est relié à $f_{\infty}$ par \[\overline{\alpha} = f_{\infty}\, \alpha\] donc $f_{\infty}$ à priori \[f_{\infty} = 1 \iff \struck{\iff} \alpha \in P(\mathbb{R}) \ \text{ i.e. } \ \mathbb{R}(\alpha) = \mathbb{R}\]

Comme on a la relation $f$ […] $f_{\infty}$ et $f^{-1}_{\infty} = \mu$, cette condition implique $f_{1} = f_{2}$ […] $f_{1} = f_{2} = \frac{1}{2}i$, i.e. […] dont conj. de Hodge $f$ […] $G^{0} \xrightarrow{\ \varepsilon\ } G_{m}$ tout ce passage, quatre lignes, est barré d'un long trait horizontal ; ce qui suit le reprend sous une autre forme.

Or on vérifie aussitôt tôt \[\boxed{\ \varepsilon(f_{\infty})\, \varepsilon(f_{\infty}) = -1\ }\] ce qui nous montre qu'on qu'on — types \[\boxed{\ f_{\infty} \neq 1 \neq 1 \ \text{ i.e. } \ \mathbb{R}(\alpha) = \mathbb{C}\ }\] (si $M$ contient le motif de Tate)

Si $M$ contient […] le le motif de Tate, on voit que $f_{\infty} = 1 \Rightarrow f_{1} = f_{2}$ $1 = f_{2}$ i.e. $f_{1} = f_{2} = \frac{1}{2}i$, donc en vertu de la conj. de Hodge Hodge, il faut que […] ou bien bien $G^{\delta} = \{e\}$ […] $G^{0} = \mathrm{Im}\, f_{1}$, donc ou bien ici $G$ ici $G = G$ isogène […] $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, donc […] $G = \{e\}$ $= \{e\}$ […]

[N.B. si $G$ si $G$ est discret, on sait que […] […] […] $G = 1$ […] donnera on $f_{\infty}$ bien ici $G = G_{m}/\mu_{n}$, $n \geqslant 1$, $f_{\infty} \notin G^{0}(\mathbb{Q})$], […] $\mathbb{Q}(-n)$ ; on trouve

$M$ est […] engendré engendré par […] […] bien. Donc on trouve […] $=$ […] que […] \[\begin{align} \left(f_{\infty} = 1\right) &\iff \left(\mathbb{R}(\alpha) = \mathbb{R} \ \struck{\mathbb{R}(\alpha) = \mathbb{R}}\right) \notag \\ &\iff M \text{ est engendré par } \mathbb{Q}(-2n), \text{ pour quelques } n \geqslant 0 \notag \end{align}\] \[\Updownarrow\] \[G \simeq G_{m} \quad \text{ou} \quad G \simeq \{e\}\]

N.B. $f_{\infty}$ ne peut être autre que si $G^{0} = \mathrm{Im}\, \varepsilon i$ $= \mathrm{Im}\, \varepsilon i$, ce qui implique que $M$ est […] [contenu dans […]] […] engendré par $\mathbb{Q}$ tordu et par […] et par $\mathbb{Q}(2)$. Je reviens […] dire que $G$ est ce $G$ est comm. uniquement conj. de Hodge

Motifs sur $\mathbb{R}$

$M$ catégorie [$\otimes$] des motifs sur $\mathbb{R}$, $G = \mathbb{R}$, $G = \mathrm{Aut}_{\otimes}(T_{B})$ groupe de Galois associé. Il souligne $\mathrm{Aut}_{\otimes}$, comme plus bas $\mathrm{Isom}_{\otimes}$ et $\mathrm{Norm}$ : c'est sa façon de marquer le foncteur, et non une lecture douteuse. Le soulignement n'est pas reproduit, la transcription le réservant à l'apparat.

Notons qu'on a un $\otimes$-automorphisme automorphisme d'ordre 2 de $T_{B}$, qui sur la catégorie $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}$ $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}$ des var. proj. lisses $X$ sur $\mathbb{R}$ revient à l'automorphisme de des $H^{*}(X(\mathbb{C}), \mathbb{Q})$ défini par l'autom. $x \mapsto \overline{x}$ de $X$ $X(\mathbb{C})$. D'où \[\boxed{\ f_{\mathbb{R}\infty} \in G(\mathbb{Q})\ \struck{G(\mathbb{Q})}\ } \qquad (f_{\infty}^{2} = 1)\] (« frobenius réel »). On retrouve retrouve le sous-espace $H^{*}_{DR}(X)$ de $H^{*}(X, \mathbb{C})$ $= +$ si $+$ si $\sigma_{M}$ est la conjugaison complexe de $M \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}$ [i.e. i.e. $M \in \mathrm{ob}\,\mathrm{Rep}(G)$], alors la conjugaison $\tau_{M}$ associée associée à la structure réelle $T_{DR}(M) \subset M \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}$ n'est autre autre que \[\tau_{M} = (f_{\infty})_{M}\ \struck{(f_{\infty})_{M}}\ \sigma_{M} = \sigma_{M}\, (f_{\infty})_{M}\]

Donc on retrouve qu'on a $f_{\infty}$ $f_{\infty}$ la structure mixte sur $M \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$, donc aussi […] le torseur \[P = \mathrm{Isom}_{\otimes}\ \struck{\mathrm{Isom}_{\otimes}}\ \left(T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{R},\ T_{DR}\right)\] sur $G_{\mathbb{R}}$ : c'est celui défini défini par le 1-cocycle […] normalisé sur $\Gamma = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, à valeurs dans dans $G(\mathbb{C})$, dont la valeur en l'élément $\neq e$ est $f_{\infty}$. La La forme tordue correspondante de $G$ s'obtient en prenant prenant sur $G_{\mathbb{C}}$ la […] de descente associée : […] […] $\mathrm{int}(f_{\infty}) \times_{\mathbb{R}} \sigma_{\mathbb{C}}$. On a dit

donc, pour La relation entre $f_{\infty}$ $f_{\infty}$ et \[j : S_{\mathbb{R}}\ \struck{\to S_{\mathbb{R}}}\ \longrightarrow G_{\mathbb{R}}\] est que \[\boxed{\ f_{\infty}\, j(\lambda)\, f_{\infty}^{-1} = \struck{j(\ill{})} = j(\uncertain{\lambda'})\ }\] i.e. $\lambda \mapsto \lambda'$ est l'automorphisme can. de $S_{\mathbb{R}}$ (donnant $\lambda \mapsto \overline{\lambda}$ sur $S_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{C}^{*}$)

D'autre part, on aura ici ici \[\beta \in Q(\mathbb{R}) \subset P'(\ \struck{)} \subset P'(\mathbb{R})\] donc \[\mathbb{R}(\gamma) = \mathbb{R}(\beta, \gamma) = \mathbb{R}(\beta, \alpha) = \mathbb{R}(\beta, \alpha) = \mathbb{R}(\alpha)\] et par suite \[\mathbb{R}(\gamma) = \mathbb{R}(\alpha)\] qui est donc $= \mathbb{C}$ sauf sauf dans le cas exceptionnel précisé plus haut.

Remarque Soit $M$ un motif sur $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}$, correspondant à une […] […] $T_{B}(M)$. Alors on on ne peut avoir $f_{\infty M} = \mathrm{id}_{M}$ que si $M$ est une somme directe de puissances tensorielles de $\mathbb{Q}(2)$.

Ce qui suit, jusqu'au bas du feuillet, est encadré puis annulé par trois longs traits diagonaux. Le calcul se lit néanmoins et il est transcrit.

La relation $f_{\infty}\, j(\lambda)\, f_{\infty}^{-1} = j(\lambda')$ $j(\lambda')$ indique, faisant $\lambda = C \in S_{\mathbb{R}}$ $C \in S(\mathbb{R}$ \[f_{\infty}\, C\, f_{\infty}^{-1} = C' = C^{-1} = \eta\, C \qquad (\eta = i(-1))\] d'où \[f_{\infty} \in \mathrm{Norm}_{G_{\mathbb{R}}}\left(\mathrm{im}_{G_{\mathbb{R}}}(C, C^{-1})\right)\] $K' = \mathrm{Norm}_{G_{\mathbb{R}}}(C, C^{-1}) \supset \mathrm{Norm}_{G_{\mathbb{R}}}(C) = K$ […] $[= \mathrm{Ker}\,\varepsilon\,/\,\dot{i}(\mu_{2})]$, et […] les images $\dot{f}_{\infty}$, $\dot{C}$ de $f_{\infty}$, $C$,

Considérons $G/i(\mu_{\ill{}}) = \dot{G}$

donc \[\dot{f}_{\infty} \in \mathrm{Norm}\ \struck{\mathrm{Norm}}_{\dot{G}_{\mathbb{R}}}\left(\dot{C}, \dot{C}^{-1}\right) \overset{\mathrm{df}}{=} K'\] \[\dot{K} = \mathrm{Norm}\ \struck{\mathrm{Norm}}_{\dot{G}_{\mathbb{R}}}\left(\dot{C}\right) \subset K'\]

[…]

Soit $K$ un corps topologique -gique isomorphe à $\mathbb{C}$, $X$ un schéma algébrique défini sur sur $K$. Alors $X_{\mathrm{top}}$ est défini, [si $X$ est non sing.] et aussi $H^{*}(X_{\mathrm{top}}, K)$. $(\ )$ D'autre part, [la cohomologie] de Hodge est définie, […], soit $H^{*}(X)$ [indépendant de la structure topologique […] de $K$]. Alors le choix d'un isom. top. $u : K \to$ $\to$ $\mathbb{C}$ définit un isomorphisme \[H^{*}(X_{\mathrm{top}}, K) \ \xrightarrow{\ \sim\ }\ \struck{(K)} \ \xrightarrow{\ \sim\ }\ H^{*}(X)\] et on vérifie aussitôt que cet isomorphisme ne dépend pas du choix de de $u$. [En d'autres termes, si $K = \mathbb{C}$, alors les de deux homomorphismes

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H^{*}(X_{\mathrm{top}}, \mathbb{C}) \arrow[r] \arrow[rd] & H^{*}(X) \arrow[d] \\
{} & H^{*}(X^{c})
\end{tikzcd}

la flèche verticale porte à droite « (antilinéaire linéaire) » et à gauche la mention « non commut. ».

(où $c : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ est la conjugaison complexe) sont conjugués déduits l'un de l'autre par extension de $c$ aux aux coefficients de $H^{*}(X_{\mathrm{top}}, \mathbb{C})$]

Cela nous permet, notant […] $u : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$, de définir $H^{*}(X_{\mathrm{to}}$ $H^{*}(X_{\mathrm{top}}, \mathbb{R}) \hookrightarrow H^{*}(X)$ (même si $X$ […] définie) [un homom. injectif contenu […]]

Supposons $X$ projective et lisse […] non singulière, alors le choix d'un isom. isom. top. $u : K \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{C}$ définit une décomposition […] \[\varphi : \coprod_{p,q} H^{q}(X, \struck{H^{q}(X,}\ \Omega^{p}_{X}) \ \xrightarrow{\ \sim\ }\ H^{*}(X)\] compatible avec la filt. filtration de $H^{*}(X)$. On vérifie encore que $\varphi$ ou $\varphi$ est indépendant du choix de $u$.

[…] $\mathbb{R}$ notant $H^{*}(X_{?}, \mathbb{R})$ […] de […] $K$) anti[…] $H^{*}(X)^{-} = \sqrt{-1}\, H^{*}(X)^{+}$

Enfin, supposons maintenant que $K$ soit isomorphe à $\mathbb{R}$ [on peut supposer, ou $K = \mathbb{R}$, ce $\mathbb{R}$ n'ayant pas d'automorphismes non triviaux] ] soit $K'$ une clôture algébrique de $K$, $\pi = \mathbb{Z}/2\struck{;} = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ son groupe de Galois, $X$ lisse [projectif] sur $K$ $K$. Alors on peut expliquer ce qui précède : $H^{*}(X_{\mathrm{top}}, \mathbb{R}) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{*}(X) \otimes_{K} K'$, on trouve cette ligne est écrite puis entièrement biffée, une première parenthèse « $, \mathbb{R})$ » étant déjà raturée en cours d'écriture ; ce qui suit la remplace. \[\left[\ \varphi_{K'} : \coprod_{p,q} H^{q}(X, \struck{\Omega\,}(X, \Omega^{p}_{X}) \otimes_{K} K' \ \xrightarrow{\ \sim\ }\ H^{*}(X \struck{\ }) \otimes_{K} K'\ \right]\] et d'après ce qui […] été vu plus haut, ces ces isomorphismes […] commutent à $\pi$, donc proviennent d'un isomorphisme […] \[\varphi : \coprod_{p,q} H^{q}(\struck{;}\ H^{q}(X, \Omega^{p}_{X}) \ \xrightarrow{\ \sim\ }\ H^{*}(X)\]

En résumé, chaque fois que $X$ est projectif non singulier sur un corps top. top. loc. compact compact archimédien, on a une décomposition $\varphi$ comme dessus de $H^{*}(X)$, […], compatible avec la filtration. Si on pose pose \[H^{p,q}(X) = \varphi\left(H^{q}(X, \Omega^{p}_{X})\right) \subset F^{p} H^{q}(X)\]

Si $K$ n'est pas pas topologique, alors pour tout choix d'une une topologie localement archimédienne $T$ sur $K$, on déduit […]

[…] $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$) […] opérant via son opération sur $X_{\mathbb{C}\,\mathrm{top}}$ compact et sur $\mathbb{C}$ dans $\otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$, $\simeq H^{*}(X_{\mathbb{C}\,\mathrm{top}}, \mathbb{R})^{\pi} \simeq H^{*}(X_{\mathrm{top}} = X_{\mathbb{C}\,\mathrm{top}}/\pi_{0}\,;\, \mathbb{R})$, $= H^{*}(\xi, \mathbb{C}\,\mathrm{top}, \mathbb{R})^{-}$

\[H^{*}(X)_{T} = \struck{H^{*}(X} = H^{*}(X) \otimes_{K} \widehat{K}_{T}.\] une décomposition : \[\boxed{\ \varphi_{T} : \coprod_{p,q} H^{q}(X, \struck{\Omega\,}(X, \Omega^{p}_{X})_{T} \ \longrightarrow\ H^{*}(X)_{T}\ }\]

Cela permet de défin. définir \[H^{p,q}_{T}(X) = \varphi_{T} \struck{=} \varphi_{T}\left(H^{q}(X, \Omega^{p}_{X})_{T}\right) \cap H^{*}(X) \ \subset\ F^{p}\!\left(H^{q}(X)\right)\] qui est un sous-$K$-espace espace vectoriel de $H^{q}(X)$, défini canoniquement par par la donnée de $T$. Nous pouvons de $=$ \[H^{p,q}_{T}(X, \mathbb{R}) = \varphi_{T} \struck{=} \varphi_{T}\left(H^{q}(X, \Omega^{p}_{X})_{T}\right) \cap H^{*}(X_{T}, \mathbb{R}) \cap H^{*}(X)\] c'est […] […] un sous-espace vectoriel de $H^{q}(X)$ c'est […] un […] $\widehat{K}_{T}$ : $\widehat{K}_{T} \simeq \mathbb{C}$ si $\widehat{K}_{T} \simeq \mathbb{R}$, […] […] (c'est un […] $\mathbb{R}_{T}$ $\mathbb{R}_{T}$-espace vectoriel), si […] si \[\mathbb{R}_{T} = \struck{\mathbb{R}_{T}} = \mathbb{R} \cap K, \qquad \text{donc } \widehat{K}_{T} \simeq \mathbb{C}\] [sous-corps […] réel pour $T$ $r$ $T$] ; à fortiori, […] […] […] on […] obtient ainsi ainsi […] […], […] \[K_{r} \simeq \bigcap_{T} \mathbb{R}_{T} \ \struck{= \mathbb{R}_{T}} \ \simeq\ \text{plus grand sous-corps tot.\ réel de } K\] [N.B. $K_{r}$ est une ext. algéb. algébrique […] corps premier $\mathbb{Q}$.]

Le feuillet s'arrête là, aux deux tiers de la page. Rien ne se poursuit au feuillet 41, qui est une couverture de sa main ouvrant un tout autre développement (lot suivant).

Généralisation de la formule fondamentale au cas d'un morphisme propre quelconque

Corps de base topologique \(\simeq \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) (foncteurs de Hodge et De Rham dans ce cas)