Fonds Grothendieck, cote n° 18, pages 21–40

Généralisation de la formule fondamentale au cas d'un morphisme propre quelconque

Ces feuillets n'ont pas de couverture : le titre reprend mot pour mot la première phrase de la page 22, qui n'est pas un titre de sa main. Ce qu'il généralise est la formule fondamentale établie aux pages 16 à 20 du lot précédent ; la page 21 est un feuillet étranger et l'argument ne s'interrompt donc qu'en apparence.

On généralise la formule fondamentale — au cas d'un morphisme propre quelconque f : X \longrightarrow Y variétés ~~algébriques~~ holomorphes, purement de codimension relative p :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] H^{2i}(X, \mathbb{C}) \arrow[r, "f^{\mathrm{top}}_{*}"] \arrow[d, "\wr"'] & H^{2i-2p}(Y, \mathbb{C}) \arrow[d, "\wr"] \\ H^{2i}(X, \Omega^{\bullet}_{X}) \arrow[r, "\frac{1}{(2i\pi)^{p}} f^{\mathrm{an}}_{*}"] & H^{2i-2p}(Y, \Omega^{\bullet}_{Y}) \end{tikzcd}

Ce carré est encadré. Les exposants des H sont repris à l'encre par dessus une première écriture et ne se lisent pas avec certitude : à gauche 2i, à droite un exposant plus long où l'on croit lire 2i-2p. Le décalage de degré est celui qu'impose l'image directe d'un morphisme propre de codimension relative p, mais la page ne le dit pas.

D'où généralisation analogue pour des variétés algébriq. sur \mathbb{C} la phrase s'achève sur des points de suspension.

\mathbb{C}, on a un objet canonique de \xi de T_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}) la lettre entre « de » et T_{\mathbb{C}} est surchargée et ne se lit pas.

[T_{\mathbb{C}} torseur fondamental associé à \mathbb{C}].

H^{i}(X, \mathbb{Q}(0)) \longrightarrow H^{i}(X_{\mathrm{top}}, \mathbb{Z})

L'hom. H^{i}(X'', \mathbb{Q}(0)) \to H^{i}(Y'', \mathbb{Q}(0)) défini par une correspondance, à l'aide de par \xi \in a^{n}(X \times Y) est celui défini par la classe P_{\mathrm{top}}(\xi) \left[ = \left(\frac{1}{2i\pi}\right)^{n} P_{\mathrm{alg}}(\xi) \right] : \boxed{\ \xi(y)(x) = \mathrm{pr}^{\mathrm{top}}_{2*}\left( \mathrm{pr}^{*}_{1}(x)\, P_{\mathrm{top}}(\xi) \right)\ }

Considérons l'isomorphisme canonique (pour X, i donnés) \xi_{\mathbb{C}}\left(H^{i}(X, \mathbb{Q}(0))\right) = \xi\left(H^{i}(X, \mathbb{Q}(0))\right) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C} \ \xrightarrow{\ \sim\ }\ H^{*i}(X, \Omega^{*}_{X}) = \xi_{\mathbb{C}, \infty}\left(H^{i}(X, \mathbb{Q}(0))\right) sous le membre de gauche il écrit H^{i}(X_{\mathrm{top}}, \mathbb{C}) avec un signe =, et au-dessus de la flèche « car Hodge-coh. ».

Cet isom. est fonctoriel ~~H^{i}(X, \mathbb{Q}(0))~~.

En effet, ~~Pour le rendre canonique, il faut~~ x \longmapsto \mathrm{pr}^{\mathrm{top}}_{2*}\left( \mathrm{pr}^{*}_{1}(x)\, P_{\mathrm{top}}(\xi) \right) = \mathrm{pr}^{\mathrm{top}}_{2*}\left( \mathrm{pr}^{\mathrm{an}}_{1}(x) \left(\tfrac{1}{2i\pi}\right)^{n} P_{\mathrm{alg}}(\xi) \right) = \left(\tfrac{1}{2i\pi}\right)^{-n} \mathrm{pr}^{\mathrm{alg}}_{2*}\left( \mathrm{pr}^{*}_{1}(x) \left(\tfrac{1}{2i\pi}\right)^{n} P_{\mathrm{alg}}(\xi) \right) les exposants -n et n des deux facteurs 1/2i\pi sont écrits ainsi, et le premier \mathrm{pr}_{1} porte l'exposant « an » là où les autres portent une étoile.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] H^{i}(X, \mathbb{C}) \arrow[r, "\xi_{\mathbb{C}}(\xi)"] \arrow[d, "\mathrm{can}"'] & H^{i'}(Y, \mathbb{C}) \arrow[d, "\mathrm{can}"] \\ H^{p}(X, \Omega^{\bullet}_{X}) \arrow[r, "\xi_{\mathbb{C},\infty}(\xi)"] & H^{i'}(Y, \Omega^{\bullet}_{Y}) \end{tikzcd}

sous la flèche du haut il écrit « défini par P_{\mathrm{top}}(\xi) = (\frac{1}{2i\pi})^{n} P_{\mathrm{alg}}(\xi) », sous celle du bas « défini par P_{\mathrm{alg}}(\xi), = (\frac{1}{2i\pi})^{n} \xi(\xi) » ; deux flèches ondulées portent les deux lois déjà écrites plus haut, la seconde étant x \mapsto \mathrm{pr}^{\mathrm{alg}}_{2*}(\mathrm{pr}_{1}^{*}(x) P_{\mathrm{alg}}(\xi)) avec « alg » souligné.

Cette vérification purement analytique \longrightarrow topologique (avec chgt de coord. analytiques)

Ouf !

Soit K un corps top. isomorphe à \mathbb{C} [isom. non choisi !]

Alors on a le foncteur mult. \xi = \xi_{K} sur la catégorie des motifs sur K, à valeurs les \mathbb{Z}-modules, et isom. \xi \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_{\ell} \ \xrightarrow{\ \alpha_{1}\ }\ \xi_{\ell} \qquad \xi \otimes_{\mathbb{Z}} K \ \xrightarrow{\ \alpha_{2}\ }\ \xi_{K}

Considérons \xi\left(H^{2}(\mathbb{P}^{1}, \mathbb{Z}(0))\right) = \xi\left(\mathbb{Z}(-1)\right) c'est isomorphe à \mathbb{Z}, l'isom. n'étant pas ni déterminé les gén. Le choix d'un tel isom. revient à celui d'une orientation sur \mathbb{P}^{1}_{K} « orientation » est souligné, non biffé.

[puisqu'en naturelle une variété ~~algébrique~~ réelle, iso., isomorphe à S^{2}), on a = , au choix de l'une des ~~deux structures~~ orientées sur \mathbb{P}^{1}_{K}, provenant du ~~choix d'un~~ choix d'un isom. K \simeq \mathbb{C}, i.e. le choix d'une des racines de -1 dans K. Comme \pi \in \mathbb{R} \subset \mathbb{R} ~~\mathbb{R}~~ est bien déterminé comme

élément de K, on voit que le choix ainsi fait permet d'écrire \alpha_{\infty}(u) = \frac{1}{2\sqrt{-1}\,\pi}\, v v est le générateur canonique de H^{2}(\mathbb{P}^{1}, \Omega^{1}).

Pour les choix ~~différents~~ différents de topologie sur K de K , on trouve ainsi les éléments primitifs de H^{u}(\mathbb{P}^{1}, \Omega^{u}). les deux exposants sont écrits d'un même trait bref que rien ne permet de lire.

Si K est un corps ~~top.~~ isomorphe à \mathbb{R} [l'isom. étant d'ailleurs d'ailleurs unique], on définit encore, par choix de la ~~compactification~~ clôture alg. algébrique de \mathbb{R}, un foncteur \xi = \xi_{K} = \xi_{K} à valeurs dans les \mathbb{Z}-modules mais avec op. de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{R}}/\mathbb{R}), ~~et des isom.~~ un dual sur \mathbb{Z}, les \xi_{\otimes}-réseaux \xi(M) pour , obtenons dans \prod_{\ell} M_{\ell} = M_{\ell} \times M_{\infty \mathbb{C}} valeurs : \mathbb{R} \hookrightarrow \mathbb{C}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} La page s'arrête sur une ligne de deux ou trois mots que rien ne permet de lire. Le produit \prod_{\ell} M_{\ell} \times M_{\infty\mathbb{C}} est le premier état, sur ces feuillets, du module adélique que le lot 3 écrira M^{\mathbb{A}_{\mathbb{C}}}.

Corps de base topologique \simeq \mathbb{R} ou \mathbb{C} (foncteurs de Hodge et De Rham dans ce cas)

Le titre est de lui : ces quatre lignes occupent seules le haut à droite du feuillet 30, par ailleurs vierge. Ce feuillet sert de couverture à ce qui suit et n'est pas transcrit comme page, d'où le saut de 28 à 31. « typ. » y abrège « topologique », et « De » est biffé puis réécrit dans « DeRham ».

~~Corps~~ Corps de base topologique donné : \mathbb{R} ou \mathbb{C} cette ligne, soulignée, est en tête du feuillet ; elle reprend le titre de la couverture.

K corps topologique donné \simeq \mathbb{C} (il y a donc deux isom. avec \mathbb{C}, mais on on en choisit un) j. cas \mathbb{R}.

M motif sur K. Alors D ~~DR(M)~~ De De Rham pour X lisse projectif sur K, X(K) est une variété topologique (K-analytique compacte), d'où d'où H^{*}(X, \mathbb{Q}), et on définit ainsi ~~le foncteur~~ le Betti Betti \mathrm{Betti}(M) sur les motifs sur K. \mathrm{Betti}(\mathrm{Betti}(M) \otimes_{\mathbb{Q}} K ~~\simeq~~ correspond à H^{*}(X, K). Par l'argument par habituel, ce dernier est isomorphe canon. la coh. coh. de De R., d'où \mathrm{Betti}(M)_{K} \simeq DR\struck{(\subseteq DR(M)} \qquad \text{($\otimes$-isom.\ can.)} la parenthèse du membre de droite est biffée en cours d'écriture et reprise en DR(M) ; c'est cette dernière forme qui est utilisée plus bas.

Ceci met sur (à K-modules) DR(M) ~~(M)~~ une structure réelle, dont le sous- réel réel est \mathrm{Betti}(M)_{\mathbb{R}} ; sauf à l'isomorphisme. La donnée de la filtration canonique de DR(M), et \sigma, permettent de ~~façon~~ unique de splitter cette filtration ~~-cation~~, de façon à déterminer DR(M) une bi bigraduation compatible avec les degrés totaux, et redonnant la filtration à l'aide des premiers degrés. Le choix d'un isom. u K \to \mathbb{C} met, pourtant, pas beaucoup de , une

le naturel structure ~~complexe~~ sur I DR(M) ; mais noter que la bigraduation déduite ainsi par transport de structure de celle de Hodge ne dépend pas de (donc, si on remplace u(z) par \overline{u(z)}, elle n'est pas topologie la symétrique !).

un troisième u(K) DR(M_{\mathbb{C}}) \xrightarrow{\ \sigma\ } M_{\mathbb{C}} \xrightarrow{\ \sigma\ } DR(M)_{\mathbb{C}}, les structures ~~la filtration~~ composé avec \sigma, ou \overline{\sigma}, introduisant un K-isom. DR(M_{\mathbb{C}}) \simeq DR(M), DR(M), conservant les \mathbb{Q}-structures, et ~~renversant~~ (à filtration) filtration.

Néanmoins, si on regarde, pour un motif donné M, le motif \otimes(M_{\mathbb{C}}) (\subseteq à l'autre), les ne sont

~~Supp.~~ Soit maintenant K K_{0} = \mathbb{R}, et considérons les motifs M ~~sur~~ \mathbb{R}. Choisissons une clôture alg. K de K_{0} = \mathbb{R}. ~~Alors~~ Alors DR(M)_{K} = DR(M_{K}) est muni de deux ~~fois~~ façons d'une \mathbb{R}-structure : la première déduite de DR(M) par \mathbb{R} \to K, et puis : la contre-structure donnée plus haut. Soit \sigma l'automorphisme de la conjugaison complexe définie plus haut, (N.B. \sigma \sigma ne respecte pas la ~~bigraduation~~ filtration), \tau celle déduite par DR(M)_{K} \simeq DR(M_{K}) (donc \sigma respecte la filtration W W) — \sigma et \tau sont ~~semi-linéaires~~. ~~Alors~~ Alors \sigma et \tau commutent, en d'autres termes DR(M_{K})^{\tau}\ \left(= H^{*}(X(K), \mathbb{R}) \text{ si } M = M^{*}(X)\right) est stable par \tau : en effet, \tau n'est autre par l'automorphisme de H^{*}(X(K), \mathbb{R}) défini par l'automorphisme \tau_{X} de X(K) ! Alors \sigma\tau = \tau\sigma = f_{\mathbb{R}} l'automorphisme de ~~H^{\bullet}~~ H^{*}(X(K), K) \simeq DR(\mathrm{Mot}^{*}(X))

défini par l'automorphisme ~~\tau_{X}~~ \tau_{X} de X(K)). Ainsi, un motif sur \mathbb{R} définit :

Une structure de ~~Hodge~~ Hodge V V sur K Un automorphisme devant devant V_{K} K — qui est , cet automorphisme étant étant « réel » i.e. qui transforme V_{\mathbb{R}} en V_{\mathbb{R}}, et antilinéaire et i.e. transforme V en \overline{V}

Ces deux dernières étant tant assujetties à la condition

(f_{\mathbb{R}}) \sigma échange la filtration naturelle, i.e. qu'il échange échange que la filtration donnée et l'opposée

En termes de « bonnes structures de Hodge », on peut exprimer aussi b) en disant qu'il s'agit d'un isom. de la structure de ~~Hodge~~ Hodge V avec la structure de Hodge « conjuguée » « - » : c'est le Frobenius réel.

Soit G le groupe de de Galois motivique de M sur \mathbb{R}. Alors f_{\mathbb{R}} correspond à un élément f_{\mathbb{R}} \in G(\mathbb{Q}) \ \struck{G(\mathbb{Q})} « Weil » Frobenius réel réel. C'est un élément d'ordre 2.

Son image dans G/G^{0} ~~G/G^{0}~~ engendre ce groupe. Cet élément normalise i : S_{\mathbb{R}} ~~\to~~ ~~: S_{\mathbb{R}}~~ \longrightarrow G_{\mathbb{R}}, de façon précise f_{\mathbb{R}}\, i(\lambda)\, f_{\mathbb{R}}^{-1} = i\left(\struck{\ill{}}\, i(\struck{\ill{}}\, \lambda')\right) où \lambda \mapsto \lambda' est la symétrie canonique de S_{\mathbb{R}} la formule est écrite deux fois l'une sur l'autre ; seule la seconde version, avec \lambda', est cohérente avec la note marginale et avec la page 36.

Donc sur U_{\mathbb{R}} (*) \qquad f_{\mathbb{R}}\, i(\lambda)\, f_{\mathbb{R}}^{-1} = i(\lambda^{-1}) \qquad (\lambda \in U_{\mathbb{R}}\ \struck{\ill{}})

Le foncteur M \mapsto (~~struct.~~ structure de Hodge associée, avec f_{\mathbb{R}}) est pleinement fidèle des conj. de Hodge.

Les éléments de DR(M) ~~(M)~~ sont les éléments de DR(M)_{K} \simeq V \otimes_{\mathbb{Q}} K z de la forme z = x + iy (x, y \in V_{\mathbb{R}}) avec x = fx, y = -fy (ce qu'on exprime \tau z = z i.e. \sigma\tau z = z i.e. \sigma z = f(z)) \mathbb{Q}-structure de

~~Cela~~ ~~\pm~~ Donc l'espace DR( ~~DR(M)~~ admet une ~~façon~~ naturelle ~~structure~~ peut peut le en x + iy, x, y \in V, x = fx, y = -fy. ~~-fy.~~ Soit W cet espace, il mérite le ~~nom~~ de sous- espace de Betti tordu de DR(M).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] H^{*}(X(K), \mathbb{Q}) = V \arrow[r, hook] & DR(M)_{K} \simeq DR(M_{K}) \\ H^{*}(X(\mathbb{R}), \mathbb{Q}) = V \cap W = V^{f} \arrow[u, hook] & W \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

Il écrit les deux inclusions verticales par des \cup ; le membre de gauche de la ligne du bas porte encore « = W^{f} » suivi d'un ~~\mathbb{C}~~.

Il est stable par f. Mais la formation ne commute-t-elle comme il faut pour \otimes ? Oui.

On a ainsi un ~~deuxième~~ deuxième foncteur fibre M un foncteur Betti : sur \mathbb{Q}, ~~\mathbb{Q}~~, mais il est isomorphe premier, V \simeq V^{+} + V^{-}, \qquad W = W^{+} + W^{-+} + W^{-}, et utilisant les isomorphismes V^{+} \simeq W^{+} ~~\simeq W^{+}~~, V^{-} \simeq W^{-} canoniques.

Les isom. V \to W f. par l'automorphisme de DR(M_{K}) \simeq V_{K} \simeq W_{K} \cdot W_{K} qui est l'identité sur V^{+}_{K}, et la multiplication par i sur V^{-}_{K} ; Cependant, ce Donc n'est pas ~~compatibl.~~ compatible avec

Betti et \Pi et ~~Betti~~ un isom., l'un est déduit de l' de l'autre en tordant par le cocycle défini par f_{\mathbb{R}} « Betti » est réécrit une seconde fois au-dessus de « déduit ».

Ce feuillet et les deux suivants sont à l'encre bleue et écrits au net ; ils se lisent presque de bout en bout, à la différence des pages 24 à 28.

L'élément \alpha \in P(\mathbb{C}) est est relié à f_{\infty} par \overline{\alpha} = f_{\infty}\, \alpha donc ~~f_{\infty}~~ à priori f_{\infty} = 1 \iff \struck{\iff} \alpha \in P(\mathbb{R}) \ \text{ i.e. } \ \mathbb{R}(\alpha) = \mathbb{R}

Comme on a la relation f f_{\infty} et f^{-1}_{\infty} = \mu, cette condition implique f_{1} = f_{2} f_{1} = f_{2} = \frac{1}{2}i, i.e. dont conj. de Hodge f G^{0} \xrightarrow{\ \varepsilon\ } G_{m} tout ce passage, quatre lignes, est barré d'un long trait horizontal ; ce qui suit le reprend sous une autre forme.

Or on vérifie aussitôt tôt \boxed{\ \varepsilon(f_{\infty})\, \varepsilon(f_{\infty}) = -1\ } ce qui nous montre qu'on qu'on — types \boxed{\ f_{\infty} \neq 1 \neq 1 \ \text{ i.e. } \ \mathbb{R}(\alpha) = \mathbb{C}\ } (si M contient le motif de Tate)

Si M contient le le motif de Tate, on voit que f_{\infty} = 1 \Rightarrow f_{1} = f_{2} ~~1 = f_{2}~~ i.e. f_{1} = f_{2} = \frac{1}{2}i, donc en vertu de la conj. de ~~Hodge~~ Hodge, il faut que ou bien bien G^{\delta} = \{e\} G^{0} = \mathrm{Im}\, f_{1}, donc ou bien ici G ici G = G isogène \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, donc ~~G = \{e\}~~ ~~= \{e\}~~

[N.B. si G si G est discret, on sait que G = 1 ~~donnera on f_{\infty}~~ bien ici G = G_{m}/\mu_{n}, n \geqslant 1, f_{\infty} \notin G^{0}(\mathbb{Q})], \mathbb{Q}(-n) ; on trouve

M est engendré engendré par bien. Donc on trouve = que \begin{align} \left(f_{\infty} = 1\right) &\iff \left(\mathbb{R}(\alpha) = \mathbb{R} \ \struck{\mathbb{R}(\alpha) = \mathbb{R}}\right) \notag \\ &\iff M \text{ est engendré par } \mathbb{Q}(-2n), \text{ pour quelques } n \geqslant 0 \notag \end{align} \Updownarrow G \simeq G_{m} \quad \text{ou} \quad G \simeq \{e\}

N.B. f_{\infty} ne peut être autre que si G^{0} = \mathrm{Im}\, \varepsilon i ~~= \mathrm{Im}\, \varepsilon i~~, ce qui implique que M est contenu dans engendré par \mathbb{Q} tordu et par et par \mathbb{Q}(2). Je reviens dire que G est ce G est comm. uniquement conj. de Hodge

Motifs sur \mathbb{R}

M catégorie \otimes des motifs sur \mathbb{R}, G = \mathbb{R}, G = \mathrm{Aut}_{\otimes}(T_{B}) groupe de Galois associé. Il souligne \mathrm{Aut}_{\otimes}, comme plus bas \mathrm{Isom}_{\otimes} et \mathrm{Norm} : c'est sa façon de marquer le foncteur, et non une lecture douteuse. Le soulignement n'est pas reproduit, la transcription le réservant à l'apparat.

Notons qu'on a un \otimes-automorphisme ~~automorphisme~~ d'ordre 2 de T_{B}, qui sur la catégorie \mathcal{V}_{\mathbb{R}} ~~\mathcal{V}_{\mathbb{R}}~~ des var. proj. lisses X sur \mathbb{R} revient à l'automorphisme de ~~des~~ H^{*}(X(\mathbb{C}), \mathbb{Q}) défini par l'autom. x \mapsto \overline{x} de X ~~X(\mathbb{C})~~. D'où \boxed{\ f_{\mathbb{R}\infty} \in G(\mathbb{Q})\ \struck{G(\mathbb{Q})}\ } \qquad (f_{\infty}^{2} = 1) (« frobenius réel »). On ~~retrouve~~ retrouve ~~le sous-espace~~ ~~H^{*}_{DR}(X) de H^{*}(X, \mathbb{C})~~ = + si + si \sigma_{M} est la conjugaison complexe de M \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} [i.e. ~~i.e.~~ M \in \mathrm{ob}\,\mathrm{Rep}(G)], alors la conjugaison \tau_{M} associée ~~associée~~ à la structure réelle T_{DR}(M) \subset M \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} n'est autre ~~autre~~ que \tau_{M} = (f_{\infty})_{M}\ \struck{(f_{\infty})_{M}}\ \sigma_{M} = \sigma_{M}\, (f_{\infty})_{M}

Donc on retrouve qu'on a f_{\infty} ~~f_{\infty}~~ la structure mixte sur M \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}, donc aussi le torseur P = \mathrm{Isom}_{\otimes}\ \struck{\mathrm{Isom}_{\otimes}}\ \left(T_{B} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{R},\ T_{DR}\right) sur G_{\mathbb{R}} : c'est celui défini ~~défini~~ par le 1-cocycle normalisé sur \Gamma = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, à valeurs ~~dans~~ ~~dans~~ G(\mathbb{C}), dont la valeur en l'élément \neq e est f_{\infty}. La La forme tordue correspondante de G s'obtient en ~~prenant~~ prenant sur G_{\mathbb{C}} la de descente associée : \mathrm{int}(f_{\infty}) \times_{\mathbb{R}} \sigma_{\mathbb{C}}. ~~On a dit~~

~~donc, pour~~ La relation entre ~~f_{\infty}~~ f_{\infty} et j : S_{\mathbb{R}}\ \struck{\to S_{\mathbb{R}}}\ \longrightarrow G_{\mathbb{R}} est que \boxed{\ f_{\infty}\, j(\lambda)\, f_{\infty}^{-1} = \struck{j(\ill{})} = j(\uncertain{\lambda'})\ } i.e. \lambda \mapsto \lambda' est l'automorphisme can. de S_{\mathbb{R}} (donnant \lambda \mapsto \overline{\lambda} sur S_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{C}^{*})

D'autre part, on aura ici ~~ici~~ \beta \in Q(\mathbb{R}) \subset P'(\ \struck{)} \subset P'(\mathbb{R}) donc \mathbb{R}(\gamma) = \mathbb{R}(\beta, \gamma) = \mathbb{R}(\beta, \alpha) = \mathbb{R}(\beta, \alpha) = \mathbb{R}(\alpha) et par suite \mathbb{R}(\gamma) = \mathbb{R}(\alpha) qui est donc = \mathbb{C} ~~sauf~~ ~~sauf~~ dans le cas exceptionnel précisé plus haut.

Remarque Soit M un motif sur \mathbb{R}, ~~\mathbb{R},~~ correspondant à une T_{B}(M). Alors on on ne peut avoir f_{\infty M} = \mathrm{id}_{M} que si M est une somme directe de puissances tensorielles de \mathbb{Q}(2).

Ce qui suit, jusqu'au bas du feuillet, est encadré puis annulé par trois longs traits diagonaux. Le calcul se lit néanmoins et il est transcrit.

La relation f_{\infty}\, j(\lambda)\, f_{\infty}^{-1} = j(\lambda') ~~j(\lambda')~~ indique, faisant \lambda = C \in S_{\mathbb{R}} ~~C \in S(\mathbb{R}~~ f_{\infty}\, C\, f_{\infty}^{-1} = C' = C^{-1} = \eta\, C \qquad (\eta = i(-1)) d'où f_{\infty} \in \mathrm{Norm}_{G_{\mathbb{R}}}\left(\mathrm{im}_{G_{\mathbb{R}}}(C, C^{-1})\right) ~~K' = \mathrm{Norm}_{G_{\mathbb{R}}}(C, C^{-1}) \supset \mathrm{Norm}_{G_{\mathbb{R}}}(C) = K~~ [= \mathrm{Ker}\,\varepsilon\,/\,\dot{i}(\mu_{2})], et les images \dot{f}_{\infty}, \dot{C} de f_{\infty}, C,

Considérons G/i(\mu_{\ill{}}) = \dot{G}

donc \dot{f}_{\infty} \in \mathrm{Norm}\ \struck{\mathrm{Norm}}_{\dot{G}_{\mathbb{R}}}\left(\dot{C}, \dot{C}^{-1}\right) \overset{\mathrm{df}}{=} K' \dot{K} = \mathrm{Norm}\ \struck{\mathrm{Norm}}_{\dot{G}_{\mathbb{R}}}\left(\dot{C}\right) \subset K'

Soit K un corps topologique ~~-gique~~ isomorphe à \mathbb{C}, X un schéma algébrique défini ~~sur~~ sur K. Alors X_{\mathrm{top}} est défini, si X est non sing. et aussi H^{*}(X_{\mathrm{top}}, K). ~~(\ )~~ D'autre part, la cohomologie de Hodge est définie, , soit H^{*}(X) [indépendant de la structure topologique de K]. Alors le choix d'un isom. top. u : K \to ~~\to~~ \mathbb{C} définit un isomorphisme H^{*}(X_{\mathrm{top}}, K) \ \xrightarrow{\ \sim\ }\ \struck{(K)} \ \xrightarrow{\ \sim\ }\ H^{*}(X) et on vérifie aussitôt que cet isomorphisme ne dépend pas du choix de de u. [En d'autres termes, si K = \mathbb{C}, alors les de deux homomorphismes

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] H^{*}(X_{\mathrm{top}}, \mathbb{C}) \arrow[r] \arrow[rd] & H^{*}(X) \arrow[d] \\ {} & H^{*}(X^{c}) \end{tikzcd}

la flèche verticale porte à droite « (antilinéaire ~~linéaire~~) » et à gauche la mention « non commut. ».

(où c : \mathbb{C} \to \mathbb{C} est la conjugaison complexe) sont ~~conjugués~~ déduits l'un de l'autre par extension de c aux ~~aux~~ coefficients de H^{*}(X_{\mathrm{top}}, \mathbb{C})]

Cela nous permet, notant u : \mathbb{R} \to \mathbb{C}, de définir ~~H^{*}(X_{\mathrm{to}}~~ H^{*}(X_{\mathrm{top}}, \mathbb{R}) \hookrightarrow H^{*}(X) (même si X définie) un homom. injectif contenu

~~Supposons~~ X projective ~~et lisse~~ non singulière, alors le choix d'un ~~isom.~~ ~~isom.~~ top. u : K \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{C} définit une décomposition \varphi : \coprod_{p,q} H^{q}(X, \struck{H^{q}(X,}\ \Omega^{p}_{X}) \ \xrightarrow{\ \sim\ }\ H^{*}(X) compatible avec la ~~filt.~~ filtration de H^{*}(X). On vérifie encore que \varphi ~~ou \varphi~~ est indépendant du choix de u.

~~\mathbb{R}~~ notant H^{*}(X_{?}, \mathbb{R}) ~~de K)~~ anti H^{*}(X)^{-} = \sqrt{-1}\, H^{*}(X)^{+}

Enfin, supposons maintenant que K soit isomorphe à \mathbb{R} [on peut supposer, ou K = \mathbb{R}, ce \mathbb{R} n'ayant pas d'automorphismes non triviaux] ] soit K' une clôture algébrique de K, \pi = \mathbb{Z}/2\struck{;} = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} son groupe de Galois, X lisse [~~projectif~~] sur K K. Alors on peut expliquer ce qui précède : ~~H^{*}(X_{\mathrm{top}}, \mathbb{R}) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{*}(X) \otimes_{K} K'~~, on trouve cette ligne est écrite puis entièrement biffée, une première parenthèse « , \mathbb{R}) » étant déjà raturée en cours d'écriture ; ce qui suit la remplace. \left[\ \varphi_{K'} : \coprod_{p,q} H^{q}(X, \struck{\Omega\,}(X, \Omega^{p}_{X}) \otimes_{K} K' \ \xrightarrow{\ \sim\ }\ H^{*}(X \struck{\ }) \otimes_{K} K'\ \right] et d'après ce qui été vu plus haut, ~~ces~~ ces isomorphismes commutent à \pi, donc proviennent d'un isomorphisme \varphi : \coprod_{p,q} H^{q}(\struck{;}\ H^{q}(X, \Omega^{p}_{X}) \ \xrightarrow{\ \sim\ }\ H^{*}(X)

En résumé, chaque fois que X est projectif non singulier sur un corps ~~top.~~ top. loc. compact ~~compact~~ archimédien, on a une décomposition \varphi comme dessus de H^{*}(X), , compatible avec la filtration. Si on pose ~~pose~~ H^{p,q}(X) = \varphi\left(H^{q}(X, \Omega^{p}_{X})\right) \subset F^{p} H^{q}(X)

Si K n'est pas ~~pas~~ topologique, alors pour tout choix d'une ~~une~~ topologie localement archimédienne T sur K, on déduit

\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) opérant via son opération sur X_{\mathbb{C}\,\mathrm{top}} compact et sur \mathbb{C} dans \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}, \simeq H^{*}(X_{\mathbb{C}\,\mathrm{top}}, \mathbb{R})^{\pi} \simeq H^{*}(X_{\mathrm{top}} = X_{\mathbb{C}\,\mathrm{top}}/\pi_{0}\,;\, \mathbb{R}), ~~= H^{*}(\xi, \mathbb{C}\,\mathrm{top}, \mathbb{R})^{-}~~

H^{*}(X)_{T} = \struck{H^{*}(X} = H^{*}(X) \otimes_{K} \widehat{K}_{T}. une décomposition : \boxed{\ \varphi_{T} : \coprod_{p,q} H^{q}(X, \struck{\Omega\,}(X, \Omega^{p}_{X})_{T} \ \longrightarrow\ H^{*}(X)_{T}\ }

Cela permet de ~~défin.~~ définir H^{p,q}_{T}(X) = \varphi_{T} \struck{=} \varphi_{T}\left(H^{q}(X, \Omega^{p}_{X})_{T}\right) \cap H^{*}(X) \ \subset\ F^{p}\!\left(H^{q}(X)\right) qui est un sous-K-espace ~~espace~~ vectoriel de H^{q}(X), défini canoniquement ~~par~~ par la donnée de T. Nous pouvons de = H^{p,q}_{T}(X, \mathbb{R}) = \varphi_{T} \struck{=} \varphi_{T}\left(H^{q}(X, \Omega^{p}_{X})_{T}\right) \cap H^{*}(X_{T}, \mathbb{R}) \cap H^{*}(X) ~~c'est un sous-espace vectoriel de H^{q}(X)~~ c'est un \widehat{K}_{T} : ~~\widehat{K}_{T} \simeq \mathbb{C}~~ si \widehat{K}_{T} \simeq \mathbb{R}, (c'est un ~~\mathbb{R}_{T}~~ \mathbb{R}_{T}-espace vectoriel), si si \mathbb{R}_{T} = \struck{\mathbb{R}_{T}} = \mathbb{R} \cap K, \qquad \text{donc } \widehat{K}_{T} \simeq \mathbb{C} [sous-corps réel pour T ~~r T~~] ; à fortiori, on obtient ainsi ainsi , K_{r} \simeq \bigcap_{T} \mathbb{R}_{T} \ \struck{= \mathbb{R}_{T}} \ \simeq\ \text{plus grand sous-corps tot.\ réel de } K [N.B. K_{r} est une ext. ~~algéb.~~ algébrique corps premier \mathbb{Q}.]

Le feuillet s'arrête là, aux deux tiers de la page. Rien ne se poursuit au feuillet 41, qui est une couverture de sa main ouvrant un tout autre développement (lot suivant).