Cote n° 161-6 · batch 2 · pages 21–33 · Transcription · Graphes, icosaèdre [etc.] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1973-vers 1977] — le groupe « Dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques » (161-1 à 162-6) est daté [après 1961-vers 1977]
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en haut à gauche, une colonne de symboles reliés par des traits verticaux sans flèche, et à côté un petit diagramme fléché ; on les donne tels quels, sans décider ce que les traits signifient

\[\begin{array}{c} \boldsymbol{\mu}_5 \\ \vert \\ \boldsymbol{\mu}_5^{*} \\ \vert \\ \mathbb{V}_5 \\ \vert \\ \mathbb{Z}[\tfrac{1}{4}] \end{array}\] la dernière ligne se lit \(\mathbb{Z}[\tfrac14]\) ; on attendrait \(\mathbb{Z}[\tfrac15]\), mais le chiffre a la forme d'un 4. Les lettres \(\mathbb{V}\) sont tracées doublées, comme \(\boldsymbol{\mu}\)

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\begin{tikzcd}
 & \mathrm{Ic}_{Q} \arrow[d] \\
 & \mathbb{V}_{5s} \arrow[d] \\
\mathbb{V}_5 & S \arrow[l] \arrow[u, bend left=40]
\end{tikzcd}

l'indice \(5s\) de \(\mathbb{V}_{5s}\) est une lecture douteuse ; la flèche courbe remonte de \(S\) vers \(\mathbb{V}_{5s}\), à côté de la flèche descendante. \(\mathbb{V}_5\) est celui de la colonne de gauche

\[\cos'(D_i, D_j)^2 + \cos'(D_i, D_j)\]

\(\cos'(D_i, D_j)\) indépendant de \(i, j\) pour \(i \neq j\), soit \(c\)

\(c\)

« dans \(SO(Q)\) » et « fini » sont des ajouts interlinéaires de sa main ; « \(/S\) » est une lecture douteuse

dans la marge gauche : un icosaèdre dessiné en perspective ; plus bas un cercle traversé de deux diamètres presque confondus, puis un cercle avec un diamètre prolongé hors du cercle et deux points marqués sur le bord

icosaèdre projectif — icosaèdre

\[1 - \gamma = \gamma^2, \qquad 2 - \gamma = 1 + \gamma^2, \qquad \gamma^2 + \gamma - 1 = 0\] la lettre notée ici \(\gamma\) est un \(\gamma\) ou un \(r\) bouclé ; elle est le nombre d'or inverse, racine de \(\gamma^2+\gamma-1=0\), comme le \(c\) plus haut

\[\cos\alpha = \frac{\struck{4}\gamma/2}{1 - \gamma/2} = \frac{\gamma}{2-\gamma} = a + b\gamma = \frac{1}{5}(2\gamma + 1) = \frac{1}{\sqrt{5}}\] la dernière égalité est entourée ; un signe biffé la précède

\[\begin{aligned} \cos 2\alpha &= \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 2\,\frac{\gamma^2}{4 - 4\gamma + \gamma^2} - 1 \\ &= \frac{2(1-\gamma)}{4 - 4\gamma + 1 - \gamma} - 1 = \frac{2 - 2\gamma}{5(1-\gamma)} - 1 = \frac{2}{5} - 1 = -\frac{3}{5} \end{aligned}\] \[\frac{2}{25}\,\underbrace{[4\gamma^2 + 4\gamma + 1]}_{4 - 4\gamma + 4\gamma + 1} - 1\]

\[\frac{B(x,y)^2}{Q(x)Q(y)} - 2 = -\frac{6}{5} \qquad\qquad 2\cos 2\alpha = -\frac{6}{5}\]

\[\boxed{B(x,y)^2 = \frac{4}{5}\,Q(x)Q(y)}\]

\[2a + (2b - 1 \uncertain{-a})\gamma + b\gamma^2 = 0, \qquad \gamma^2 + \Bigl(-2 + \frac{1}{b} + \frac{a}{b}\Bigr)\gamma - \frac{2a}{b} = 0\] \[-\frac{2a}{b} = -1, \quad \boxed{b = 2a}, \qquad -2 + \frac{1}{2a} + \frac{1}{2} = 1, \qquad a = \frac{1}{5},\ b = \frac{2}{5}\]

en car. 2, on fait \(B(x,y)^2 = 0\)

les deux lignes qui suivent sont d'une encre plus pâle \[\cos' 2\alpha = 2\cos 2\alpha = 2(2\cos^2\alpha - 1) = (2\cos\alpha)^2 - 2, \qquad \frac{1}{2a} = \frac{5}{2}, \qquad a = \frac{1}{5}\]

donc si l'on […] \(\cos'^2\) […]

ceci signifie : \(y \perp x\) \(y \parallel x\)

\[\tfrac{1}{2}B = B' \qquad\qquad \boxed{B'(x,y)^2 = \frac{1}{5}\,Q(x)Q(y)}\] sous « \(\frac12 B = B'\) », trois segments issus d'un même point

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la page, écrite dans l'autre sens de la feuille, est barrée de deux longs traits en croix ; elle se lit entièrement dessous

\(E\) topos

\(C\) petite catégorie

alors \(\underline{\mathrm{Hom}}(C^{\circ}, E) = \pi(C, E)\) un topos

Si on a un morphisme \(C \xrightarrow{f} C'\), \(g : E \to E'\) d'où \(g^{*} : E' \to E\), on conclut un foncteur \(\pi(f, g) : \pi(C, E) \to \pi(C', E')\) \[\pi(f, g)^{*} = (u' \mapsto g^{*} \circ u' \circ f^{\circ}), \qquad \pi(f, g)_{*} = (u' \mapsto g_{*} f_{*}^{(E)})\] vérifier l'expression donnée en \(\pi(f, g)_{*}\) … qui est le foncteur image inverse associé à un morphisme de topos \[\pi(f, g) : \pi(C, E) \longrightarrow \pi(\uncertain{C'}, E')\] la première lettre de \(\pi(C', E')\) ressemble ici à un \(E\) ; une ligne plus haut la même flèche est écrite \(\pi(C,E) \to \pi(C',E')\)

de sorte que \(\pi(C, E)\) dépend de façon covariante de \((C, E)\) [i.e. est un 2-foncteur \((\mathrm{Cat}) \times (\mathrm{Top}) \to (\mathrm{Top})\)]

On va définir un morphisme de topos fonctoriel en \(C, E\) \[\text{(1)}\qquad \boxed{\gamma = \gamma(C, E) : \pi(C, E) \longrightarrow \hat{C} \times_{\mathrm{top}} E}\] en définissant les composantes \[\begin{aligned} \gamma_1 &= \gamma_1(C, E) : \pi(C, E) \to \hat{C} \\ \gamma_2 &= \gamma_2(C, E) : \pi(C, E) \to E \end{aligned}\] par \[\gamma_1^{*} : \hat{C} \to \pi(C, E) \quad \text{défini par} \quad F \mapsto [X \mapsto F(X)_E]\] où \(\hat{C} = \pi(C, P)\), \(P\) topos ponctuel ; i.e. \(\gamma_1 = \pi(\mathrm{id}_C, p_E)\), où \(p_E : E \to P\) « unique » morphisme de topos ; \[\gamma_2^{*} : E \to \pi(C, E), \qquad X \mapsto (i \mapsto X)\] où \(E \simeq \pi(C_0, \uncertain{E})\), \(C_0\) catégorie ponctuelle ; \(\gamma_2^{*}(X)\) est le foncteur constant de valeur \(X\), i.e. \(\gamma_2 = \pi(p_C, \mathrm{id}_E)\), \(p_C : C \to C_0\) unique morphisme de topos.

Question \(\gamma(C, E)\) est-il toujours une équivalence ?

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\(X\) espace topologique compact \(C_1\) [triangulable compact de dim \(\leq 1\)]

\(S\) surface orientée

Nous voulons étudier les classes d'isotopie des plongements (modérés …) \(X \xrightarrow{\varphi} S\)

Pour tout tel plongement \(\varphi\), et pour tout sommet de non isolé topologique de \(X\), il y a un ordre circulaire \(\omega_x(\varphi)\) sur l'ens. des arêtes (orientation) issues de \(x\) induit par \(\varphi\) de [donnée vide si le sommet \(x\) est un bout, i.e. s'il n'y a qu'une seule arête issue de \(x\) ; sinon, il y […] a \(\nu_x \geq 3\) telles arêtes, et […] l'ens. des ordres circulaires possibles est un ens. \(\Omega_x(X)\) à \((\nu_x - 1)!\) éléments]. « topologique » est ajouté au-dessus de la ligne ; « \(\omega_x(\varphi)\) » aussi, avec un trait qui le rattache à « ordre »

On trouve ainsi un invariant \[\omega(\varphi) = (\omega_x(\varphi))_{x \in X'_0} \in \prod_{x \in X'_0} \Omega_x(X)\] sous \(X'_0\) : « ens. des sommets de \(X\) qui ne sont ni isolés ni des bouts »

On a une appl. \[\mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S) \xrightarrow{\ \omega\ } \prod_{x \in X'_0} \Omega_x(X) \overset{\mathrm{df}}{=} \Omega(X)\] et notre propos est d'étudier les fibres de \(\omega\), \(\mathrm{Pl}^{\alpha}_{\mathrm{isot}}(X, S)\), plus généralement, pour \(X\) et un \(\alpha = (\alpha_x)_{x \in X'_0} \in \struck{\ill{}}\ \Omega(X)\) fixés, d'étudier pour la \(S\) les plongements \(\varphi : X \hookrightarrow S\) tels que \(\omega(\varphi) = \alpha\).

Pour ceci, […] Définissons pour le plongement « le » voisinage tubulaire fidèle fermé de celui-ci. On trouve

Th 1 Pour \(\alpha\) fixé, ce voisinage tubulaire est […] ne dépend, à homéomorphismes près induisant l'identité sur \(X\) [de façon unique à isotopie près] que de \(\alpha\), soit \(\mathcal{U}_{\alpha}\), et non de \(S\). Donc On trouve donc une application \[\mathrm{Pl}^{\alpha}_{\mathrm{isot}}(X, S) \longrightarrow \mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(\mathcal{U}_{\alpha}, S)\] Celle-ci est une bijection

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Ce théorème ramène essentiellement l'étude de \(\mathrm{Pl}^{\alpha}_{\mathrm{isot}}\) à celle de \(\mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(\mathcal{U}_{\alpha}, S)\). Pour faire cette étude, on doit pouvoir donner un procédé pour décrire combinatoirement \(\mathcal{U}_{\alpha}\) en termes de \(\alpha\). Notons

Prop \(\mathcal{U}_{\alpha} - X = \mathcal{V}_{\alpha}\) a des composantes connexes \(\mathcal{V}^{i}_{\alpha}\) qui sont le bord de \(\mathcal{V}_{\alpha}\) est des produits \(S^1 \times \struck{\ill{}}\,[1, 2[\) et […] le filtre des avec \(\mathrm{bord}(\mathcal{U}_{\alpha}) \cap \mathcal{V}^{i}_{\alpha} \simeq S^1 \times \{1\}\), le filtre des voisinages de \(X\) dans \(\mathcal{U}_{\alpha}\) induisant sur \(\mathcal{V}^{i}_{\alpha}\) le filtre des voisinages de \(S^1 \times \{1\}\) dans \(S^1 \times\, ]0, 2[\). \(S^1\) est glosé « cercle » ; la borne de \([1,2[\) et de \(]0,2[\) est récrite sur un autre chiffre, et le passage biffé de la deuxième ligne est lourdement raturé. Les indices \(\{1\}\) et \(]0,2[\) sont donnés tels qu'écrits

le nb des \(\mathcal{V}^{i}_{\alpha}\) est \(b_1(X) + 1\) si \(X\) connexe non vide ? Cela donne en général \(b_1(X) + b_0(X)\)

Donc

Donc la surface \(S\), pour un plongement donné de \(\mathcal{U}_{\alpha}\), peut se décrire comme \(\mathcal{U}_{\alpha}\) déduite de \(\mathcal{U}_{\alpha}\) en lui collant une variété orientée à bord \(\mathcal{U}'\) [compacte ssi \(S\) est compacte] — savoir \(\overline{S - \varphi(\mathcal{U}_{\alpha})}\) — à \(\mathcal{U}_{\alpha}\), par un isom. de \(\partial\,\mathcal{U}'\) avec \(-\partial\,\mathcal{U}_{\alpha} \simeq\) la ligne s'arrête sur « \(\simeq\) »

à gauche, plusieurs croquis : une grande courbe fermée contenant deux disques accolés, une boucle et une petite figure ramifiée ; plus bas, un anneau (deux courbes fermées emboîtées) avec une petite boucle attachée au bord intérieur ; en marge, un autre anneau, où le disque intérieur porte « dans le »

Le Pb de trouver \(\mathrm{Pl}^{\alpha}_{\mathrm{isot}}(S)\) […] […] i.e. de trouver, à homéom. isom. près [induisant l'identité sur \(X\)], tous les plongements de \(X\) dans une surface […] orientée, on peut déjà envisager la solution de ce Pb : il s'agit de trouver les façons possibles d'écrire \[I \times S^1 \qquad (I = \pi_0(\mathcal{V}_{\alpha}))\] (\(I\) étant l'ens. d'indices fini discret) comme espace des bords orienté d'une surface à bord [connexe ou non] [NB \(\overline{M}\) si \(\mathcal{U}'_{\alpha}\) […] connexe, […] composantes connexes de […] \(\mathcal{U}'_{\alpha}\) […] rencontrent le bord […] alors \(S\) […] ([…])] \(S\) est connexe. « induisant l'identité sur \(X\) » est une lecture de l'ajout interlinéaire, qui est serré et en partie douteux ; « \(= \pi_0(\mathcal{V}_\alpha)\) » est écrit au-dessus de \(I\)

Donc la classification est donnée aussi \(\{\)relativement\(\}\) aux \(\mathcal{U}'\) quant à leur […]

NB \(\mathcal{U}'_{\alpha}\) non nécessairement connexe, mais on peut supposer que ses composantes connexes ont un bord (en tt cas toute composante connexe de \(S\) rencontre \(X\))

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« connexe » est ajouté au-dessus de la ligne

Si on se borne aux \(S\) « algébriques » (compactes moins ens. fini), une telle \(\mathcal{U}'_{\lambda}\) sera connue quand on connaît

[NB Comme il y aura tjrs un homéom. orienté de \(\mathcal{U}'_{\lambda}\) sur elle-même […], […] isotope à l'identité, qui échange entre eux de façon prescrite les éléments du bord, on n'a pas à s'en faire pour préciser la correspondance entre […] composantes du bord et les éléments de \(I_{\lambda}\)] « orienté » et « composantes » sont ajoutés au-dessus de la ligne

En fait, en termes de \(g_{\lambda}\), \(\beta_{\lambda}\), on construit \(\mathcal{U}'_{\lambda}\) en prenant la surface […] sans bord orientée compacte de genre \(g\), soit \(S_g\), on y prend \(I_{\lambda}\) rondelles disjointes \(D_j\) (\(j \in I_{\lambda}\)), et […] \(\beta_{\lambda}\) points […] un ens. fini \(P_{\lambda}\) de cardinal \(\beta_{\lambda}\) non rencontré par \(\bigcup_{j \in I_{\lambda}} D_j\), et prend \[\mathcal{U}'_{\lambda} = S_g - \bigcup_{j \in I_{\lambda}} \mathring{D}_j - P_{\lambda}\]

Sauf si […] les \(\mathcal{U}'_{\lambda}\) compactes, i.e. \(\beta_{\lambda} = 0\)

Soit \(S_{\alpha, \pi, g, \beta}\) la surface ainsi construite à l'aide de \[\begin{cases} \alpha \in \Omega(X) & [\text{d'où } I = I(\alpha), \text{ à expliciter combinatoirement}] \\ \pi \text{ partition de } I \text{ en } (I_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} & \\ (g_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} \in \mathbb{N}^{\Lambda} & \\ (\beta_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} \in \mathbb{N}^{\Lambda} & \end{cases}\] devant les deux \(\mathbb{N}^{\Lambda}\), un premier symbole est lourdement biffé

On a donc un plongement canonique \[X \xrightarrow{\ \varphi_{\alpha, \pi, g, \beta}\ } S_{\alpha, \pi, g, \beta}\]

NB \(S_{\alpha, \pi, g, \beta}\) a \(\beta = \sum_{\lambda} \beta_{\lambda}\) bouts. Le genre calculé en genre, il doit être quelque chose \(\sum_{\lambda \in \Lambda} g_{\lambda} + \gamma(\alpha)\), \(\gamma(\alpha)\) un entier (le genre de \(\mathcal{U}_{\alpha}\)) — vérifier la note marginale est reliée par un trait à l'accolade des quatre données ; la lettre du nombre de bouts y est la même que dans le texte, lue \(\beta\) partout ici, mais elle pourrait être un \(\nu\) (cf. \(\nu_x\) page 24)

On trouve donc (S surfaces orientées algébriques)

Th 2 Tout plongement \(X \to S\) est isomorphe à un \(\varphi_{\alpha, \pi, g, \beta}\) pour \(\alpha, \pi, g, \beta\) convenables, uniquement déterminés … la phrase s'arrête au bas de la page

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Donc on trouve, pour \(S\) fixé, une application \[\mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S) \longrightarrow \text{l'ensemble des systèmes } \alpha, \pi, g, \nu \text{ associés à } X\] (à expliciter combinatoirement) ici la lettre du nombre de bouts est nettement un \(\nu\) ; c'est celle que la page 26 écrit d'un trait qu'on a lu \(\beta\)

et on est donc ramené à étudier, pour \(\rho = \alpha, \pi, g, \nu\) fixé, l'ens. des \(\mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S; \rho)\) qui correspondent à \(\rho\) (non vide ssi \(S \simeq S_{\rho} \overset{\mathrm{df}}{=} S_{\alpha, \pi, g, \nu}\)). Or on a une application Isot « restriction à \(X\) » \[(*)\qquad \mathrm{Isot}(S_{\rho}, S) \xrightarrow{\ r\ } \mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S; \rho)\] qui, d'après ce qui vient d'être vu, est surjective. l'appel \((*)\) est le nôtre : la page encadre la flèche entre deux barres verticales, et c'est à elle que renvoie plus bas « les deux membres de \((*)\) ». Au-dessus de « ce qui vient », un ajout interlinéaire « et précisé … »

ce qui va suivre donnera …

Il reste :

La question b) est classique et résolue : \(\mathrm{Isot}(S_{\rho}, S)\) est un torseur à droite sous \(\mathrm{Autext}(\pi_1(S_{\rho}))\) (ou à g. sous \(\mathrm{Autext}(\pi_1(S))\)) [du moins si \(S_{\rho}\) est compacte i.e. \(\sum_{\lambda \in \Lambda} \nu_{\lambda} = 0\) i.e. les \(\nu_{\lambda}\) nuls …]. Donc la question a) se ramène à la suivante : « à droite » et « (ou à g. sous \(\mathrm{Autext}(\pi_1(S))\)) » sont ajoutés au-dessus de la ligne. Deux longs traits obliques traversent la suite de la page ; ils ne biffent pas le texte, qui est repris page 28

Soit \(f : S_{\rho} \xrightarrow{\sim} S_{\rho}\) un homéomorphisme, dont la classe d'homotopie est déterminée par l'[…] extérieur induit par \(f\) sur \(\pi_1(S_{\rho}) = G_{\rho}\), soit \(E(f) \in \mathrm{Autext}(G_{\rho})\), soit \(E(f)\) considérons \(f \vert X = f_X\). Quelle relation y a-t-il entre \(E(f)\), \(E(g)\) assurant que \(f_X \overset{\mathrm{isot}}{\simeq} g_X\) ?

NB

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\begin{tikzcd}
G_{\rho} \arrow[r, bend left=20, "\bar{f}"] \arrow[r, bend right=20, "\bar{g}"'] & G_{\rho} \\
\pi_1(X) \arrow[u] \arrow[ur, no head, bend right=30] &
\end{tikzcd}

croquis en marge gauche, rattaché à « NB » par un trait : deux flèches parallèles \(G_\rho \rightrightarrows G_\rho\) marquées \(\bar f, \bar g\), une flèche montante de \(\pi_1(X)\) vers le premier \(G_\rho\), et une courbe sans tête de \(\pi_1(X)\) au second

Notons que le groupe \[G = \mathrm{Isot}_{o}(S, S) \qquad [\simeq G_{\rho} = \mathrm{Isot}_{o}(S_{\rho}, S_{\rho})]\] opère sur les deux membres de \((*)\), et c'est clair \(r\) commutant à l'opération de ce groupe. D'autre part, comme pour le premier membre est un torseur sous \(G\), donc, choisissant \(f : S_{\alpha} \simeq S\), si \(r(f) = f_X = f \vert X\) […] son image, et \(H\) son stabilisateur, on a que \(r\) s'identifie à l'application \(G \to G/H\). Donc on

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et finalement on arrive aux 2 questions suivantes

On peut évidemment supposer \(S = S_{\rho}\) donc \(G = G_{\rho}\), et \(f = \varphi_{\rho} : X \to S_{\rho}\), dans la question dernière

au-dessus de b), un ajout interlinéaire « \(\nu'\), \(\rho^k\) … » reste obscur

Tout ceci semble […] un \(X\) compact (\(\in \mathrm{Ob}\, C_1\)) plutôt que d'un couple \(X \subset S_{\rho}\), \(S_{\rho}\) surface orientée avec […] (connexe)

La réponse à a) est classique (du moins si \(S_{\rho}\) compacte) : […] L'homomorphisme canon. \[G \longrightarrow \mathrm{Autext}(\pi_1(S, s))\] est un isom., et \(G\) est donc le groupe de Teichmüller de […] \(S\). Reste à trouver (pour un \(X \underset{\varphi}{\subset} S\) plongé dans \(S\)) quels sont les \(h \in G\) tels que \(h\varphi \underset{\mathrm{isot}}{\simeq} \varphi\).

Cas particulier (\(X\) connexe et) \(\pi_1(X) \to \pi_1(S)\) surjectif (sauf erreur, ça signifie que la partition \(\pi\) de \(I\) est discrète (\(\Lambda = I\)) et que les \(g_{\lambda}\) et les \(\nu_{\lambda}\) sont nuls — i.e. que \(S_{\rho}\) est déduit de \(\rho\) simplement en « bouchant simplement […] par des rondelles ») : plongements normaux*. Alors \[h\varphi \underset{\mathrm{isot}}{\simeq} \varphi \;\Longrightarrow\; h\varphi \underset{\mathrm{homot}}{\simeq} \varphi\] donc

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\begin{tikzcd}
\pi_1(X) \arrow[r, hook, "c"] \arrow[dr] & \pi_1(S) \arrow[d, "\pi_1(h)"] \\
 & \pi_1(S)
\end{tikzcd}

sous \(\pi_1(X)\) un trait vertical court, sans tête ni but, à côté de la diagonale

\[\pi_1(h) \circ c \simeq c \quad \text{mod automorphismes intérieurs}\] donc \(\pi_1(h)\) est un automorphisme intérieur, \(c\) étant surjectif, en gros. si \(X\) connexe

* […] faisant […] préciser […]

Cela nous donne en particulier les plongements dans \(S^2\) (car tt plongement homéom. orienté de \(S^2\) sur lui-même est isotope à l'identité). l'exposant de \(S^2\), aux deux occurrences, a la forme d'un 1 ; c'est la sphère que l'argument demande, le cercle n'ayant pas de sens ici. « homéom. orienté » est écrit au-dessus du mot biffé

Ils sont classifiés par les \(\alpha\) tels que \(\gamma(\alpha)\) [le genre de \(\tilde{\mathcal{U}}_{\alpha}\) déduit de \(\mathcal{U}_{\alpha}\) par le procédé dit qui donne […] un

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plongement normal\() = 0\). Il faut donner une certaine condition simple sur \(\alpha\) pour qu'il en soit ainsi. la phrase commencée au bas de la page 28 se ferme ici : « \(\gamma(\alpha)\) [le genre de \(\tilde{\mathcal{U}}_\alpha\) …] \(= 0\) »

Question Supposons que \(h \in G\) soit tel que pour toute composante connexe \(X_i\) de \(X\), désignant par \(\varphi_i : X_i \to S\) le plongement induit, \[\pi_1(h \varphi_i) = \pi_1(h) \circ \pi_1(\varphi_i) \in \struck{\ill{}}\ \mathrm{Homext}(\pi_1(X_i), \pi_1(S))\] soit égal à \(\pi_1(\varphi_i)\). Alors a-t-on (condition évidemment nécessaire pour que \(h \circ \varphi\) soit isotope à \(\varphi\), donc i.e. \(h \in H\)) ; alors a-t-on \(h \in H\) ? la question est tenue par un trait vertical en marge gauche. Dans \(\pi_1(h\varphi_i)\), un \(\varphi\) surchargé précède le \(h\) ; « Homext » est écrit au-dessus d'un mot biffé

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\[\mathcal{G}/\mathcal{H} \simeq \mathfrak{X} \qquad \pi_1(\mathcal{H}) \to \pi_1(\mathcal{G}) \to \pi_1(\mathfrak{X}) \to \pi_0(\mathcal{H}) \to \pi_0(\mathcal{G}) \to \pi_0(\mathfrak{X})\] une longue accolade marquée « ?? » court au-dessus de la suite, de \(\pi_1(\mathcal{G})\) jusque vers \(\pi_0(\mathfrak{X})\), où elle finit en flèche. Les lettres \(\mathcal{G}\), \(\mathcal{H}\), \(\mathfrak{X}\) rendent une ronde, une cursive et un \(X\) à double jambage

\(\pi_1(\mathcal{G}) \to \pi_1(\mathcal{H})\) les homéom. \(h\) tels que \(h \vert X = \text{identité}\) \[\mathcal{H} = \mathrm{Aut}(S / X)\] le groupe top. la ligne sur les \(h\) tels que \(h\vert X = \mathrm{id}\) est reliée par un trait à \(\mathcal{H}\) ; le reste de la page est blanc

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Graphes \((S, A, R, \sigma)\) [\(S\) sommets, \(A\) arêtes, \(R\) relation d'incidence orientée, \(\sigma\) symétrie] \([R \subset S \times A]\) ce premier essai est encadré et hachuré

Graphe \(S\) : ensemble \(S\) avec partie \(A\) de \(S \times S\), stable par symétrie

\[\text{Graphes}\quad (S, A, A' \xrightarrow{\ \varphi = (\varphi_1, \varphi_2) = (\varphi_1, \varphi_1 \circ \sigma)\ } S \times S, \sigma) \;\;\langle\simeq\rangle\;\; (S, R \subset A \times A, L \to A, \sigma)\] sous la formule, des légendes fléchées : \(S\) « sommets », \(A\) « arêtes orientées », sous \(\varphi\) un mot surchargé […], \(\sigma\) « symétrie dans \(A\) » ; une accolade renvoie à « [arêtes non circulaires isolées] » ; \(R\) « stable par sym. », \(L\) « arêtes bouclées »

\(G\) groupe des symétries du graphe \(G \simeq \mathrm{Perm}(S) \times \mathrm{Perm}(A)\)

Supposons que \(G\) est transitif sur \(A\) et sur \(S\).

Alors […] ou bien tous les points sommets sont isolés (et les arêtes non circulaires isolées) dans le graphe et partant formé de deux ensembles \(S\), \(A\), \(A' = \emptyset\), et un automorphisme d'ordre 2 dans \(A\) […] sans point fixe ; l'action de \(G\). Donc \[\mathrm{Aut}\,\Gamma = \mathrm{Perm}(S) \times \underbrace{\mathrm{Aut}(A, \sigma)}\] pour les sommets isolés Si \(A_1 = A/\sigma\), on trouve que \(\mathrm{Aut}(A, \sigma) \simeq \mathrm{Perm}(A_1) \cdot (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{A_1}\) (produit semi-direct)

la suite de la page, jusqu'au crochet final, est traversée de deux longs traits obliques parallèles ; elle se lit dessous

[b) ou bien tous les sommets sont il y a des sommets non isolés, […]. Dans ce cas, il y a des arêtes non circulaires isolées […] toutes les arêtes sont non isolées circulaires [car il y en a non isolées]. Il est possible Ou bien toutes les arêtes sont circulaires, dans ce cas \(\varphi\) se réduit à une application surjective \[\varphi : A \longrightarrow S\] compatible avec \(\sigma\) \([\varphi\sigma x = \varphi x]\) il existe des arêtes non isolées circulaires

[…] \(A\) Choisissons \(a \in A\), donc \(A \simeq G/G_a^{=H}\) (groupe d'isotropie) et si \(s = \varphi(a)\), \(S \simeq G/G_s^{=H'}\), \(G_s \supset G_a\). L'application \(\sigma : A \to A\) correspond à la donnée d'un élément de \(\dot{\sigma} \in \mathrm{Norm}(G_a)/G_a\), \(\dot{\sigma}\) d'ordre 2 ; le fait que \(\varphi\) […] est compatible avec \(\sigma\) signifie que \(\sigma \in G_s = H'\), le fait que \(\sigma\) opère sans pts fixes signifie que \(\sigma \notin H\) […] ; donc on a \[\left\{ \begin{array}{l} \boxed{G \supset H' \supset H} \quad \text{et} \\ \boxed{\dot{\sigma} \in (H' \cap \mathrm{Norm}_G(H))/H \qquad \dot{\sigma}^2 = 1,\ \dot{\sigma} \neq 1} \end{array} \right.\] entre les deux lignes de l'accolade, une ligne biffée : \(\sigma \in H' \cap \mathrm{Norm}_G(H) \cap \complement(\ldots)\,H\), dont l'argument du complémentaire est noyé sous les ratures

Le fait que \(G\) opère fidèlement sur \(\Gamma\) signifie que \[\bigcap_{g \in G} g H g^{-1} = \{1\}\]

Si on a une telle situation ]

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il existe des arêtes non circulaires c) Ou bien il y a des arêtes non circulaires, ou alors les arêtes sont non circulaires, on trouve alors \[\underset{a}{A} \xrightarrow[\text{source}]{\ \varphi_1\ } \underset{s}{S}, \qquad \left\{ \begin{array}{l} \sigma : A \to A \\ \sigma^2 = \mathrm{id},\ \sigma \text{ ss pt fixe} \end{array} \right.\] sous \(A\) et \(S\), « \(\ni a\) », « \(\ni s\) »

\[\boxed{G \supset \underset{G_a}{H'} \supset \underset{G_s}{H} \qquad \dot{\sigma} \in \mathrm{Norm}_G(H)/H \qquad \dot{\sigma}^2 = 1 \qquad \dot{\sigma} \neq 1}\] sous \(H'\) et \(H\), des signes d'égalité verticaux renvoient à \(G_a\) et \(G_s\). C'est l'inverse de la page 32, où \(A \simeq G/G_a\) avec \(G_a = H\) et \(S \simeq G/G_s\) avec \(G_s = H'\) ; on transcrit tel qu'écrit

Si on veut que \(G\) opère fidèlement, on […] doit avoir \[\boxed{\bigcap_{g \in G} g^{-1} H g = \{1\}}\]

Exprimons la condition que \(\forall\ \varphi : A \to S \times S\) est injectif [donc que \(\Gamma\) est un « schéma simplicial de dim. 1 », donné par une ensemble de parties de cardinal 2 de l'ens. \(S\)] i.e. que l'application \[\begin{aligned} G/H &\longrightarrow G/H' \times G/H' \\ gH &\longmapsto gH',\ g\sigma H' \end{aligned}\] donc à prouver que si \(g, g' \in G\) tels que \(g'^{-1}g \in H'\), \(\sigma^{-1}(g'^{-1}g)\sigma \in H'\), alors […] \(g'^{-1}g \in H\), i.e. \[\boxed{H' \cap \dot{\sigma}^{-1} H' \dot{\sigma} \subset H}\] le \(\forall\) devant \(\varphi\) est surchargé ; la phrase attend « … est injective » après l'application, qui n'est pas écrit

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