Cote n° 161-6 · batch 2 · pages 21–33 · Transcription · Graphes, icosaèdre [etc.] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1973-vers 1977] — le groupe « Dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques » (161-1 à 162-6) est daté [après 1961-vers 1977]
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en haut à gauche, une colonne de symboles reliés par des traits verticaux sans flèche, et à côté un petit diagramme fléché ; on les donne tels quels, sans décider ce que les traits signifient

\[\begin{array}{c} \boldsymbol{\mu}_5 \\ \vert \\ \boldsymbol{\mu}_5^{*} \\ \vert \\ \mathbb{V}_5 \\ \vert \\ \mathbb{Z}[\tfrac{1}{4}] \end{array}\] la dernière ligne se lit \(\mathbb{Z}[\tfrac14]\) ; on attendrait \(\mathbb{Z}[\tfrac15]\), mais le chiffre a la forme d'un 4. Les lettres \(\mathbb{V}\) sont tracées doublées, comme \(\boldsymbol{\mu}\)

LaTeX source
\begin{tikzcd}
 & \mathrm{Ic}_{Q} \arrow[d] \\
 & \mathbb{V}_{5s} \arrow[d] \\
\mathbb{V}_5 & S \arrow[l] \arrow[u, bend left=40]
\end{tikzcd}

l'indice \(5s\) de \(\mathbb{V}_{5s}\) est une lecture douteuse ; la flèche courbe remonte de \(S\) vers \(\mathbb{V}_{5s}\), à côté de la flèche descendante. \(\mathbb{V}_5\) est celui de la colonne de gauche

\[\cos'(D_i, D_j)^2 + \cos'(D_i, D_j)\]

\(\cos'(D_i, D_j)\) indépendant de \(i, j\) pour \(i \neq j\), soit \(c\)

\(c\)

« dans \(SO(Q)\) » et « fini » sont des ajouts interlinéaires de sa main ; « \(/S\) » est une lecture douteuse

dans la marge gauche : un icosaèdre dessiné en perspective ; plus bas un cercle traversé de deux diamètres presque confondus, puis un cercle avec un diamètre prolongé hors du cercle et deux points marqués sur le bord dans la marge gauche, un icosaèdre dessiné en perspective : un contour hexagonal, quatre sommets intérieurs et les arêtes qui les joignent, quelques arêtes cachées en tirets. plus bas dans la marge, un cercle traversé d'un faisceau de traits presque confondus, à peu près verticaux, issus d'un même point du haut du cercle, et d'un trait oblique double qui les croise ; le haut du cercle est doublé d'un second arc à droite. plus bas encore, un cercle avec un diamètre prolongé hors du cercle des deux côtés (vers le haut jusqu'au cercle précédent), une corde horizontale qui le coupe en un point marqué, et deux points marqués sur le bord, en haut ; à gauche, un arc intérieur descend du point marqué de gauche.

icosaèdre projectif — icosaèdre

\[1 - \gamma = \gamma^2, \qquad 2 - \gamma = 1 + \gamma^2, \qquad \gamma^2 + \gamma - 1 = 0\] la lettre notée ici \(\gamma\) est un \(\gamma\) ou un \(r\) bouclé ; elle est le nombre d'or inverse, racine de \(\gamma^2+\gamma-1=0\), comme le \(c\) plus haut

\[\cos\alpha = \frac{\struck{4}\gamma/2}{1 - \gamma/2} = \frac{\gamma}{2-\gamma} = a + b\gamma = \frac{1}{5}(2\gamma + 1) = \frac{1}{\sqrt{5}}\] la dernière égalité est entourée ; un signe biffé la précède

\[\begin{aligned} \cos 2\alpha &= \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 2\,\frac{\gamma^2}{4 - 4\gamma + \gamma^2} - 1 \\ &= \frac{2(1-\gamma)}{4 - 4\gamma + 1 - \gamma} - 1 = \frac{2 - 2\gamma}{5(1-\gamma)} - 1 = \frac{2}{5} - 1 = -\frac{3}{5} \end{aligned}\] \[\frac{2}{25}\,\underbrace{[4\gamma^2 + 4\gamma + 1]}_{4 - 4\gamma + 4\gamma + 1} - 1\]

\[\frac{B(x,y)^2}{Q(x)Q(y)} - 2 = -\frac{6}{5} \qquad\qquad 2\cos 2\alpha = -\frac{6}{5}\]

\[\boxed{B(x,y)^2 = \frac{4}{5}\,Q(x)Q(y)}\]

\[2a + (2b - 1 \uncertain{-a})\gamma + b\gamma^2 = 0, \qquad \gamma^2 + \Bigl(-2 + \frac{1}{b} + \frac{a}{b}\Bigr)\gamma - \frac{2a}{b} = 0\] \[-\frac{2a}{b} = -1, \quad \boxed{b = 2a}, \qquad -2 + \frac{1}{2a} + \frac{1}{2} = 1, \qquad a = \frac{1}{5},\ b = \frac{2}{5}\]

en car. 2, on fait \(B(x,y)^2 = 0\)

les deux lignes qui suivent sont d'une encre plus pâle \[\cos' 2\alpha = 2\cos 2\alpha = 2(2\cos^2\alpha - 1) = (2\cos\alpha)^2 - 2, \qquad \frac{1}{2a} = \frac{5}{2}, \qquad a = \frac{1}{5}\]

donc si l'on […] \(\cos'^2\) […]

ceci signifie : \(y \perp x\) \(y \parallel x\)

\[\tfrac{1}{2}B = B' \qquad\qquad \boxed{B'(x,y)^2 = \frac{1}{5}\,Q(x)Q(y)}\] sous « \(\frac12 B = B'\) », trois segments issus d'un même point sous « \(\frac12 B = B'\) », trois segments issus d'un même point : deux épais, terminés par un point, et un fin entre eux.

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la page, écrite dans l'autre sens de la feuille, est barrée de deux longs traits en croix ; elle se lit entièrement dessous

\(E\) topos

\(C\) petite catégorie

alors \(\underline{\mathrm{Hom}}(C^{\circ}, E) = \pi(C, E)\) un topos

Si on a un morphisme \(C \xrightarrow{f} C'\), \(g : E \to E'\) d'où \(g^{*} : E' \to E\), on conclut un foncteur \(\pi(f, g) : \pi(C, E) \to \pi(C', E')\) \[\pi(f, g)^{*} = (u' \mapsto g^{*} \circ u' \circ f^{\circ}), \qquad \pi(f, g)_{*} = (u' \mapsto g_{*} f_{*}^{(E)})\] vérifier l'expression donnée en \(\pi(f, g)_{*}\) … qui est le foncteur image inverse associé à un morphisme de topos \[\pi(f, g) : \pi(C, E) \longrightarrow \pi(\uncertain{C'}, E')\] la première lettre de \(\pi(C', E')\) ressemble ici à un \(E\) ; une ligne plus haut la même flèche est écrite \(\pi(C,E) \to \pi(C',E')\)

de sorte que \(\pi(C, E)\) dépend de façon covariante de \((C, E)\) [i.e. est un 2-foncteur \((\mathrm{Cat}) \times (\mathrm{Top}) \to (\mathrm{Top})\)]

On va définir un morphisme de topos fonctoriel en \(C, E\) \[\text{(1)}\qquad \boxed{\gamma = \gamma(C, E) : \pi(C, E) \longrightarrow \hat{C} \times_{\mathrm{top}} E}\] en définissant les composantes \[\begin{aligned} \gamma_1 &= \gamma_1(C, E) : \pi(C, E) \to \hat{C} \\ \gamma_2 &= \gamma_2(C, E) : \pi(C, E) \to E \end{aligned}\] par \[\gamma_1^{*} : \hat{C} \to \pi(C, E) \quad \text{défini par} \quad F \mapsto [X \mapsto F(X)_E]\] où \(\hat{C} = \pi(C, P)\), \(P\) topos ponctuel ; i.e. \(\gamma_1 = \pi(\mathrm{id}_C, p_E)\), où \(p_E : E \to P\) « unique » morphisme de topos ; \[\gamma_2^{*} : E \to \pi(C, E), \qquad X \mapsto (i \mapsto X)\] où \(E \simeq \pi(C_0, \uncertain{E})\), \(C_0\) catégorie ponctuelle ; \(\gamma_2^{*}(X)\) est le foncteur constant de valeur \(X\), i.e. \(\gamma_2 = \pi(p_C, \mathrm{id}_E)\), \(p_C : C \to C_0\) unique morphisme de topos.

Question \(\gamma(C, E)\) est-il toujours une équivalence ?

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\(X\) espace topologique compact \(C_1\) [triangulable compact de dim \(\leq 1\)]

\(S\) surface orientée

Nous voulons étudier les classes d'isotopie des plongements (modérés …) \(X \xrightarrow{\varphi} S\)

Pour tout tel plongement \(\varphi\), et pour tout sommet de non isolé topologique de \(X\), il y a un ordre circulaire \(\omega_x(\varphi)\) sur l'ens. des arêtes (orientation) issues de \(x\) induit par \(\varphi\) de [donnée vide si le sommet \(x\) est un bout, i.e. s'il n'y a qu'une seule arête issue de \(x\) ; sinon, il y […] a \(\nu_x \geq 3\) telles arêtes, et […] l'ens. des ordres circulaires possibles est un ens. \(\Omega_x(X)\) à \((\nu_x - 1)!\) éléments]. « topologique » est ajouté au-dessus de la ligne ; « \(\omega_x(\varphi)\) » aussi, avec un trait qui le rattache à « ordre »

On trouve ainsi un invariant \[\omega(\varphi) = (\omega_x(\varphi))_{x \in X'_0} \in \prod_{x \in X'_0} \Omega_x(X)\] sous \(X'_0\) : « ens. des sommets de \(X\) qui ne sont ni isolés ni des bouts »

On a une appl. \[\mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S) \xrightarrow{\ \omega\ } \prod_{x \in X'_0} \Omega_x(X) \overset{\mathrm{df}}{=} \Omega(X)\] et notre propos est d'étudier les fibres de \(\omega\), \(\mathrm{Pl}^{\alpha}_{\mathrm{isot}}(X, S)\), plus généralement, pour \(X\) et un \(\alpha = (\alpha_x)_{x \in X'_0} \in \struck{\ill{}}\ \Omega(X)\) fixés, d'étudier pour la \(S\) les plongements \(\varphi : X \hookrightarrow S\) tels que \(\omega(\varphi) = \alpha\).

Pour ceci, […] Définissons pour le plongement « le » voisinage tubulaire fidèle fermé de celui-ci. On trouve

Th 1 Pour \(\alpha\) fixé, ce voisinage tubulaire est […] ne dépend, à homéomorphismes près induisant l'identité sur \(X\) [de façon unique à isotopie près] que de \(\alpha\), soit \(\mathcal{U}_{\alpha}\), et non de \(S\). Donc On trouve donc une application \[\mathrm{Pl}^{\alpha}_{\mathrm{isot}}(X, S) \longrightarrow \mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(\mathcal{U}_{\alpha}, S)\] Celle-ci est une bijection

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Ce théorème ramène essentiellement l'étude de \(\mathrm{Pl}^{\alpha}_{\mathrm{isot}}\) à celle de \(\mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(\mathcal{U}_{\alpha}, S)\). Pour faire cette étude, on doit pouvoir donner un procédé pour décrire combinatoirement \(\mathcal{U}_{\alpha}\) en termes de \(\alpha\). Notons

Prop \(\mathcal{U}_{\alpha} - X = \mathcal{V}_{\alpha}\) a des composantes connexes \(\mathcal{V}^{i}_{\alpha}\) qui sont le bord de \(\mathcal{V}_{\alpha}\) est des produits \(S^1 \times \struck{\ill{}}\,[1, 2[\) et […] le filtre des avec \(\mathrm{bord}(\mathcal{U}_{\alpha}) \cap \mathcal{V}^{i}_{\alpha} \simeq S^1 \times \{1\}\), le filtre des voisinages de \(X\) dans \(\mathcal{U}_{\alpha}\) induisant sur \(\mathcal{V}^{i}_{\alpha}\) le filtre des voisinages de \(S^1 \times \{1\}\) dans \(S^1 \times\, ]0, 2[\). \(S^1\) est glosé « cercle » ; la borne de \([1,2[\) et de \(]0,2[\) est récrite sur un autre chiffre, et le passage biffé de la deuxième ligne est lourdement raturé. Les indices \(\{1\}\) et \(]0,2[\) sont donnés tels qu'écrits

le nb des \(\mathcal{V}^{i}_{\alpha}\) est \(b_1(X) + 1\) si \(X\) connexe non vide ? Cela donne en général \(b_1(X) + b_0(X)\)

Donc

Donc la surface \(S\), pour un plongement donné de \(\mathcal{U}_{\alpha}\), peut se décrire comme \(\mathcal{U}_{\alpha}\) déduite de \(\mathcal{U}_{\alpha}\) en lui collant une variété orientée à bord \(\mathcal{U}'\) [compacte ssi \(S\) est compacte] — savoir \(\overline{S - \varphi(\mathcal{U}_{\alpha})}\) — à \(\mathcal{U}_{\alpha}\), par un isom. de \(\partial\,\mathcal{U}'\) avec \(-\partial\,\mathcal{U}_{\alpha} \simeq\) la ligne s'arrête sur « \(\simeq\) »

à gauche, plusieurs croquis : une grande courbe fermée contenant deux disques accolés, une boucle et une petite figure ramifiée ; plus bas, un anneau (deux courbes fermées emboîtées) avec une petite boucle attachée au bord intérieur ; en marge, un autre anneau, où le disque intérieur porte « dans le » à gauche, un grand croquis : une grande courbe fermée contenant un disque (avec un trait intérieur, comme un rayon), un second domaine arrondi accolé au premier par-dessous et à droite, une boucle en pétale attachée à ce second domaine, une petite figure ramifiée (une tige double portant des branches en doigts) attachée au premier disque, et, à part, un court trait oblique. plus bas, un anneau : une grande courbe presque fermée (ouverte à gauche) entourant un ovale, avec une petite boucle attachée au bord intérieur, qui monte jusqu'à la courbe extérieure. en marge gauche, au milieu de la note oblique, un autre anneau : deux cercles emboîtés ; le disque intérieur porte « dans le ».

Le Pb de trouver \(\mathrm{Pl}^{\alpha}_{\mathrm{isot}}(S)\) […] […] i.e. de trouver, à homéom. isom. près ⌜induisant l'identité sur \(X\)⌝, tous les plongements de \(X\) dans une surface […] orientée, on peut déjà envisager la solution de ce Pb : il s'agit de trouver les façons possibles d'écrire \[I \times S^1 \qquad (I = \pi_0(\mathcal{V}_{\alpha}))\] (\(I\) étant l'ens. d'indices fini discret) comme espace des bords orienté d'une surface à bord [connexe ou non] [NB \(\overline{M}\) si \(\mathcal{U}'_{\alpha}\) […] connexe, […] composantes connexes de […] \(\mathcal{U}'_{\alpha}\) […] rencontrent le bord […] alors \(S\) […] ([…])] \(S\) est connexe. « induisant l'identité sur \(X\) » est une lecture de l'ajout interlinéaire, qui est serré et en partie douteux ; « \(= \pi_0(\mathcal{V}_\alpha)\) » est écrit au-dessus de \(I\)

Donc la classification est donnée aussi \(\{\)relativement\(\}\) aux \(\mathcal{U}'\) quant à leur […]

NB \(\mathcal{U}'_{\alpha}\) non nécessairement connexe, mais on peut supposer que ses composantes connexes ont un bord (en tt cas toute composante connexe de \(S\) rencontre \(X\))

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« connexe » est ajouté au-dessus de la ligne

Si on se borne aux \(S\) « algébriques » (compactes moins ens. fini), une telle \(\mathcal{U}'_{\lambda}\) sera connue quand on connaît

[NB Comme il y aura tjrs un homéom. orienté de \(\mathcal{U}'_{\lambda}\) sur elle-même […], […] isotope à l'identité, qui échange entre eux de façon prescrite les éléments du bord, on n'a pas à s'en faire pour préciser la correspondance entre […] composantes du bord et les éléments de \(I_{\lambda}\)] « orienté » et « composantes » sont ajoutés au-dessus de la ligne

En fait, en termes de \(g_{\lambda}\), \(\beta_{\lambda}\), on construit \(\mathcal{U}'_{\lambda}\) en prenant la surface […] sans bord orientée compacte de genre \(g\), soit \(S_g\), on y prend \(I_{\lambda}\) rondelles disjointes \(D_j\) (\(j \in I_{\lambda}\)), et […] \(\beta_{\lambda}\) points […] un ens. fini \(P_{\lambda}\) de cardinal \(\beta_{\lambda}\) non rencontré par \(\bigcup_{j \in I_{\lambda}} D_j\), et prend \[\mathcal{U}'_{\lambda} = S_g - \bigcup_{j \in I_{\lambda}} \mathring{D}_j - P_{\lambda}\]

Sauf si […] les \(\mathcal{U}'_{\lambda}\) compactes, i.e. \(\beta_{\lambda} = 0\)

Soit \(S_{\alpha, \pi, g, \beta}\) la surface ainsi construite à l'aide de \[\begin{cases} \alpha \in \Omega(X) & [\text{d'où } I = I(\alpha), \text{ à expliciter combinatoirement}] \\ \pi \text{ partition de } I \text{ en } (I_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} & \\ (g_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} \in \mathbb{N}^{\Lambda} & \\ (\beta_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} \in \mathbb{N}^{\Lambda} & \end{cases}\] devant les deux \(\mathbb{N}^{\Lambda}\), un premier symbole est lourdement biffé

On a donc un plongement canonique \[X \xrightarrow{\ \varphi_{\alpha, \pi, g, \beta}\ } S_{\alpha, \pi, g, \beta}\]

NB \(S_{\alpha, \pi, g, \beta}\) a \(\beta = \sum_{\lambda} \beta_{\lambda}\) bouts. Le genre calculé en genre, il doit être quelque chose \(\sum_{\lambda \in \Lambda} g_{\lambda} + \gamma(\alpha)\), \(\gamma(\alpha)\) un entier (le genre de \(\mathcal{U}_{\alpha}\)) — vérifier la note marginale est reliée par un trait à l'accolade des quatre données ; la lettre du nombre de bouts y est la même que dans le texte, lue \(\beta\) partout ici, mais elle pourrait être un \(\nu\) (cf. \(\nu_x\) page 24)

On trouve donc (S surfaces orientées algébriques)

Th 2 Tout plongement \(X \to S\) est isomorphe à un \(\varphi_{\alpha, \pi, g, \beta}\) pour \(\alpha, \pi, g, \beta\) convenables, uniquement déterminés … la phrase s'arrête au bas de la page

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Donc on trouve, pour \(S\) fixé, une application \[\mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S) \longrightarrow \text{l'ensemble des systèmes } \alpha, \pi, g, \nu \text{ associés à } X\] (à expliciter combinatoirement) ici la lettre du nombre de bouts est nettement un \(\nu\) ; c'est celle que la page 26 écrit d'un trait qu'on a lu \(\beta\)

et on est donc ramené à étudier, pour \(\rho = \alpha, \pi, g, \nu\) fixé, l'ens. des \(\mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S; \rho)\) qui correspondent à \(\rho\) (non vide ssi \(S \simeq S_{\rho} \overset{\mathrm{df}}{=} S_{\alpha, \pi, g, \nu}\)). Or on a une application Isot « restriction à \(X\) » \[(*)\qquad \mathrm{Isot}(S_{\rho}, S) \xrightarrow{\ r\ } \mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S; \rho)\] qui, d'après ce qui vient d'être vu, est surjective. l'appel \((*)\) est le nôtre : la page encadre la flèche entre deux barres verticales, et c'est à elle que renvoie plus bas « les deux membres de \((*)\) ». Au-dessus de « ce qui vient », un ajout interlinéaire « et précisé … »

ce qui va suivre donnera …

Il reste :

La question b) est classique et résolue : \(\mathrm{Isot}(S_{\rho}, S)\) est un torseur à droite sous \(\mathrm{Autext}(\pi_1(S_{\rho}))\) (ou à g. sous \(\mathrm{Autext}(\pi_1(S))\)) [du moins si \(S_{\rho}\) est compacte i.e. \(\sum_{\lambda \in \Lambda} \nu_{\lambda} = 0\) i.e. les \(\nu_{\lambda}\) nuls …]. Donc la question a) se ramène à la suivante : « à droite » et « (ou à g. sous \(\mathrm{Autext}(\pi_1(S))\)) » sont ajoutés au-dessus de la ligne. Deux longs traits obliques traversent la suite de la page ; ils ne biffent pas le texte, qui est repris page 28

Soit \(f : S_{\rho} \xrightarrow{\sim} S_{\rho}\) un homéomorphisme, dont la classe d'homotopie est déterminée par l'[…] extérieur induit par \(f\) sur \(\pi_1(S_{\rho}) = G_{\rho}\), soit \(E(f) \in \mathrm{Autext}(G_{\rho})\), soit \(E(f)\) considérons \(f \vert X = f_X\). Quelle relation y a-t-il entre \(E(f)\), \(E(g)\) assurant que \(f_X \overset{\mathrm{isot}}{\simeq} g_X\) ?

NB

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\begin{tikzcd}
G_{\rho} \arrow[r, bend left=20, "\bar{f}"] \arrow[r, bend right=20, "\bar{g}"'] & G_{\rho} \\
\pi_1(X) \arrow[u] \arrow[ur, no head, bend right=30] &
\end{tikzcd}

croquis en marge gauche, rattaché à « NB » par un trait : deux flèches parallèles \(G_\rho \rightrightarrows G_\rho\) marquées \(\bar f, \bar g\), une flèche montante de \(\pi_1(X)\) vers le premier \(G_\rho\), et une courbe sans tête de \(\pi_1(X)\) au second

Notons que le groupe \[G = \mathrm{Isot}_{o}(S, S) \qquad [\simeq G_{\rho} = \mathrm{Isot}_{o}(S_{\rho}, S_{\rho})]\] opère sur les deux membres de \((*)\), et c'est clair \(r\) commutant à l'opération de ce groupe. D'autre part, comme pour le premier membre est un torseur sous \(G\), donc, choisissant \(f : S_{\alpha} \simeq S\), si \(r(f) = f_X = f \vert X\) […] son image, et \(H\) son stabilisateur, on a que \(r\) s'identifie à l'application \(G \to G/H\). Donc on

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et finalement on arrive aux 2 questions suivantes

On peut évidemment supposer \(S = S_{\rho}\) donc \(G = G_{\rho}\), et \(f = \varphi_{\rho} : X \to S_{\rho}\), dans la question dernière

au-dessus de b), un ajout interlinéaire « \(\nu'\), \(\rho^k\) … » reste obscur

Tout ceci semble […] un \(X\) compact (\(\in \mathrm{Ob}\, C_1\)) plutôt que d'un couple \(X \subset S_{\rho}\), \(S_{\rho}\) surface orientée avec […] (connexe)

La réponse à a) est classique (du moins si \(S_{\rho}\) compacte) : […] L'homomorphisme canon. \[G \longrightarrow \mathrm{Autext}(\pi_1(S, s))\] est un isom., et \(G\) est donc le groupe de Teichmüller de […] \(S\). Reste à trouver (pour un \(X \underset{\varphi}{\subset} S\) plongé dans \(S\)) quels sont les \(h \in G\) tels que \(h\varphi \underset{\mathrm{isot}}{\simeq} \varphi\).

Cas particulier (\(X\) connexe et) \(\pi_1(X) \to \pi_1(S)\) surjectif (sauf erreur, ça signifie que la partition \(\pi\) de \(I\) est discrète (\(\Lambda = I\)) et que les \(g_{\lambda}\) et les \(\nu_{\lambda}\) sont nuls — i.e. que \(S_{\rho}\) est déduit de \(\rho\) simplement en « bouchant simplement […] par des rondelles ») : plongements normaux*. Alors \[h\varphi \underset{\mathrm{isot}}{\simeq} \varphi \;\Longrightarrow\; h\varphi \underset{\mathrm{homot}}{\simeq} \varphi\] donc

LaTeX source
\begin{tikzcd}
\pi_1(X) \arrow[r, hook, "c"] \arrow[dr] & \pi_1(S) \arrow[d, "\pi_1(h)"] \\
 & \pi_1(S)
\end{tikzcd}

sous \(\pi_1(X)\) un trait vertical court, sans tête ni but, à côté de la diagonale

\[\pi_1(h) \circ c \simeq c \quad \text{mod automorphismes intérieurs}\] donc \(\pi_1(h)\) est un automorphisme intérieur, \(c\) étant surjectif, en gros. si \(X\) connexe

* […] faisant […] préciser […]

Cela nous donne en particulier les plongements dans \(S^2\) (car tt plongement homéom. orienté de \(S^2\) sur lui-même est isotope à l'identité). l'exposant de \(S^2\), aux deux occurrences, a la forme d'un 1 ; c'est la sphère que l'argument demande, le cercle n'ayant pas de sens ici. « homéom. orienté » est écrit au-dessus du mot biffé

Ils sont classifiés par les \(\alpha\) tels que \(\gamma(\alpha)\) [le genre de \(\tilde{\mathcal{U}}_{\alpha}\) déduit de \(\mathcal{U}_{\alpha}\) par le procédé dit qui donne […] un

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plongement normal\() = 0\). Il faut donner une certaine condition simple sur \(\alpha\) pour qu'il en soit ainsi. la phrase commencée au bas de la page 28 se ferme ici : « \(\gamma(\alpha)\) [le genre de \(\tilde{\mathcal{U}}_\alpha\) …] \(= 0\) »

Question Supposons que \(h \in G\) soit tel que pour toute composante connexe \(X_i\) de \(X\), désignant par \(\varphi_i : X_i \to S\) le plongement induit, \[\pi_1(h \varphi_i) = \pi_1(h) \circ \pi_1(\varphi_i) \in \struck{\ill{}}\ \mathrm{Homext}(\pi_1(X_i), \pi_1(S))\] soit égal à \(\pi_1(\varphi_i)\). Alors a-t-on (condition évidemment nécessaire pour que \(h \circ \varphi\) soit isotope à \(\varphi\), donc i.e. \(h \in H\)) ; alors a-t-on \(h \in H\) ? la question est tenue par un trait vertical en marge gauche. Dans \(\pi_1(h\varphi_i)\), un \(\varphi\) surchargé précède le \(h\) ; « Homext » est écrit au-dessus d'un mot biffé

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\[\mathcal{G}/\mathcal{H} \simeq \mathfrak{X} \qquad \pi_1(\mathcal{H}) \to \pi_1(\mathcal{G}) \to \pi_1(\mathfrak{X}) \to \pi_0(\mathcal{H}) \to \pi_0(\mathcal{G}) \to \pi_0(\mathfrak{X})\] une longue accolade marquée « ?? » court au-dessus de la suite, de \(\pi_1(\mathcal{G})\) jusque vers \(\pi_0(\mathfrak{X})\), où elle finit en flèche. Les lettres \(\mathcal{G}\), \(\mathcal{H}\), \(\mathfrak{X}\) rendent une ronde, une cursive et un \(X\) à double jambage

\(\pi_1(\mathcal{G}) \to \pi_1(\mathcal{H})\) les homéom. \(h\) tels que \(h \vert X = \text{identité}\) \[\mathcal{H} = \mathrm{Aut}(S / X)\] le groupe top. la ligne sur les \(h\) tels que \(h\vert X = \mathrm{id}\) est reliée par un trait à \(\mathcal{H}\) ; le reste de la page est blanc

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Graphes \((S, A, R, \sigma)\) [\(S\) sommets, \(A\) arêtes, \(R\) relation d'incidence orientée, \(\sigma\) symétrie] \([R \subset S \times A]\) ce premier essai est encadré et hachuré

Graphe \(S\) : ensemble \(S\) avec partie \(A\) de \(S \times S\), stable par symétrie

\[\text{Graphes}\quad (S, A, A' \xrightarrow{\ \varphi = (\varphi_1, \varphi_2) = (\varphi_1, \varphi_1 \circ \sigma)\ } S \times S, \sigma) \;\;\langle\simeq\rangle\;\; (S, R \subset A \times A, L \to A, \sigma)\] sous la formule, des légendes fléchées : \(S\) « sommets », \(A\) « arêtes orientées », sous \(\varphi\) un mot surchargé […], \(\sigma\) « symétrie dans \(A\) » ; une accolade renvoie à « [arêtes non circulaires isolées] » ; \(R\) « stable par sym. », \(L\) « arêtes bouclées »

\(G\) groupe des symétries du graphe \(G \simeq \mathrm{Perm}(S) \times \mathrm{Perm}(A)\)

Supposons que \(G\) est transitif sur \(A\) et sur \(S\).

Alors […] ou bien tous les points sommets sont isolés (et les arêtes non circulaires isolées) dans le graphe et partant formé de deux ensembles \(S\), \(A\), \(A' = \emptyset\), et un automorphisme d'ordre 2 dans \(A\) […] sans point fixe ; l'action de \(G\). Donc \[\mathrm{Aut}\,\Gamma = \mathrm{Perm}(S) \times \underbrace{\mathrm{Aut}(A, \sigma)}\] pour les sommets isolés Si \(A_1 = A/\sigma\), on trouve que \(\mathrm{Aut}(A, \sigma) \simeq \mathrm{Perm}(A_1) \cdot (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{A_1}\) (produit semi-direct)

la suite de la page, jusqu'au crochet final, est traversée de deux longs traits obliques parallèles ; elle se lit dessous

[b) ou bien tous les sommets sont il y a des sommets non isolés, […]. Dans ce cas, il y a des arêtes non circulaires isolées […] toutes les arêtes sont non isolées circulaires [car il y en a non isolées]. Il est possible Ou bien toutes les arêtes sont circulaires, dans ce cas \(\varphi\) se réduit à une application surjective \[\varphi : A \longrightarrow S\] compatible avec \(\sigma\) \([\varphi\sigma x = \varphi x]\) il existe des arêtes non isolées circulaires

[…] \(A\) Choisissons \(a \in A\), donc \(A \simeq G/G_a^{=H}\) (groupe d'isotropie) et si \(s = \varphi(a)\), \(S \simeq G/G_s^{=H'}\), \(G_s \supset G_a\). L'application \(\sigma : A \to A\) correspond à la donnée d'un élément de \(\dot{\sigma} \in \mathrm{Norm}(G_a)/G_a\), \(\dot{\sigma}\) d'ordre 2 ; le fait que \(\varphi\) […] est compatible avec \(\sigma\) signifie que \(\sigma \in G_s = H'\), le fait que \(\sigma\) opère sans pts fixes signifie que \(\sigma \notin H\) […] ; donc on a \[\left\{ \begin{array}{l} \boxed{G \supset H' \supset H} \quad \text{et} \\ \boxed{\dot{\sigma} \in (H' \cap \mathrm{Norm}_G(H))/H \qquad \dot{\sigma}^2 = 1,\ \dot{\sigma} \neq 1} \end{array} \right.\] entre les deux lignes de l'accolade, une ligne biffée : \(\sigma \in H' \cap \mathrm{Norm}_G(H) \cap \complement(\ldots)\,H\), dont l'argument du complémentaire est noyé sous les ratures

Le fait que \(G\) opère fidèlement sur \(\Gamma\) signifie que \[\bigcap_{g \in G} g H g^{-1} = \{1\}\]

Si on a une telle situation ]

33

il existe des arêtes non circulaires c) Ou bien il y a des arêtes non circulaires, ou alors les arêtes sont non circulaires, on trouve alors \[\underset{a}{A} \xrightarrow[\text{source}]{\ \varphi_1\ } \underset{s}{S}, \qquad \left\{ \begin{array}{l} \sigma : A \to A \\ \sigma^2 = \mathrm{id},\ \sigma \text{ ss pt fixe} \end{array} \right.\] sous \(A\) et \(S\), « \(\ni a\) », « \(\ni s\) »

\[\boxed{G \supset \underset{G_a}{H'} \supset \underset{G_s}{H} \qquad \dot{\sigma} \in \mathrm{Norm}_G(H)/H \qquad \dot{\sigma}^2 = 1 \qquad \dot{\sigma} \neq 1}\] sous \(H'\) et \(H\), des signes d'égalité verticaux renvoient à \(G_a\) et \(G_s\). C'est l'inverse de la page 32, où \(A \simeq G/G_a\) avec \(G_a = H\) et \(S \simeq G/G_s\) avec \(G_s = H'\) ; on transcrit tel qu'écrit

Si on veut que \(G\) opère fidèlement, on […] doit avoir \[\boxed{\bigcap_{g \in G} g^{-1} H g = \{1\}}\]

Exprimons la condition que \(\forall\ \varphi : A \to S \times S\) est injectif [donc que \(\Gamma\) est un « schéma simplicial de dim. 1 », donné par une ensemble de parties de cardinal 2 de l'ens. \(S\)] i.e. que l'application \[\begin{aligned} G/H &\longrightarrow G/H' \times G/H' \\ gH &\longmapsto gH',\ g\sigma H' \end{aligned}\] donc à prouver que si \(g, g' \in G\) tels que \(g'^{-1}g \in H'\), \(\sigma^{-1}(g'^{-1}g)\sigma \in H'\), alors […] \(g'^{-1}g \in H\), i.e. \[\boxed{H' \cap \dot{\sigma}^{-1} H' \dot{\sigma} \subset H}\] le \(\forall\) devant \(\varphi\) est surchargé ; la phrase attend « … est injective » après l'application, qui n'est pas écrit

le reste de la page est blanc