Fonds Grothendieck, cote n° 161-6, pages 21–33

en haut à gauche, une colonne de symboles reliés par des traits verticaux sans flèche, et à côté un petit diagramme fléché ; on les donne tels quels, sans décider ce que les traits signifient

\begin{array}{c} \boldsymbol{\mu}_5 \\ \vert \\ \boldsymbol{\mu}_5^{*} \\ \vert \\ \mathbb{V}_5 \\ \vert \\ \mathbb{Z}[\tfrac{1}{4}] \end{array} la dernière ligne se lit \mathbb{Z}[\tfrac14] ; on attendrait \mathbb{Z}[\tfrac15], mais le chiffre a la forme d'un 4. Les lettres \mathbb{V} sont tracées doublées, comme \boldsymbol{\mu}

\begin{tikzcd} & \mathrm{Ic}_{Q} \arrow[d] \\ & \mathbb{V}_{5s} \arrow[d] \\ \mathbb{V}_5 & S \arrow[l] \arrow[u, bend left=40] \end{tikzcd}

l'indice 5s de \mathbb{V}_{5s} est une lecture douteuse ; la flèche courbe remonte de S vers \mathbb{V}_{5s}, à côté de la flèche descendante. \mathbb{V}_5 est celui de la colonne de gauche

\cos'(D_i, D_j)^2 + \cos'(D_i, D_j)

\cos'(D_i, D_j) indépendant de i, j pour i \neq j, soit c

a)\exists des icos. loc. \uncertain{q} = c tels que c donné c^2 + c - 1 = 0 b)Deux icos. sont loc. conjugués par SO(Q) c)Le groupe d'isotropie d'un icosaèdre dans SO(Q) (groupe des automorphismes d'un icosaèdre) est fini étale /S, et ses fibres géom. isom. au groupe alterné à 5 lettres.

« dans SO(Q) » et « fini » sont des ajouts interlinéaires de sa main ; « /S » est une lecture douteuse

dans la marge gauche : un icosaèdre dessiné en perspective ; plus bas un cercle traversé de deux diamètres presque confondus, puis un cercle avec un diamètre prolongé hors du cercle et deux points marqués sur le bord

icosaèdre projectif — icosaèdre

1 - \gamma = \gamma^2, \qquad 2 - \gamma = 1 + \gamma^2, \qquad \gamma^2 + \gamma - 1 = 0 la lettre notée ici \gamma est un \gamma ou un r bouclé ; elle est le nombre d'or inverse, racine de \gamma^2+\gamma-1=0, comme le c plus haut

\cos\alpha = \frac{\struck{4}\gamma/2}{1 - \gamma/2} = \frac{\gamma}{2-\gamma} = a + b\gamma = \frac{1}{5}(2\gamma + 1) = \frac{1}{\sqrt{5}} la dernière égalité est entourée ; un signe biffé la précède

\begin{aligned} \cos 2\alpha &= \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 2\,\frac{\gamma^2}{4 - 4\gamma + \gamma^2} - 1 \\ &= \frac{2(1-\gamma)}{4 - 4\gamma + 1 - \gamma} - 1 = \frac{2 - 2\gamma}{5(1-\gamma)} - 1 = \frac{2}{5} - 1 = -\frac{3}{5} \end{aligned} \frac{2}{25}\,\underbrace{[4\gamma^2 + 4\gamma + 1]}_{4 - 4\gamma + 4\gamma + 1} - 1

\frac{B(x,y)^2}{Q(x)Q(y)} - 2 = -\frac{6}{5} \qquad\qquad 2\cos 2\alpha = -\frac{6}{5}

\boxed{B(x,y)^2 = \frac{4}{5}\,Q(x)Q(y)}

2a + (2b - 1 \uncertain{-a})\gamma + b\gamma^2 = 0, \qquad \gamma^2 + \Bigl(-2 + \frac{1}{b} + \frac{a}{b}\Bigr)\gamma - \frac{2a}{b} = 0 -\frac{2a}{b} = -1, \quad \boxed{b = 2a}, \qquad -2 + \frac{1}{2a} + \frac{1}{2} = 1, \qquad a = \frac{1}{5},\ b = \frac{2}{5}

en car. 2, on fait B(x,y)^2 = 0

les deux lignes qui suivent sont d'une encre plus pâle \cos' 2\alpha = 2\cos 2\alpha = 2(2\cos^2\alpha - 1) = (2\cos\alpha)^2 - 2, \qquad \frac{1}{2a} = \frac{5}{2}, \qquad a = \frac{1}{5}

donc si l'on \cos'^2

ceci signifie : ~~y \perp x~~ y \parallel x

\tfrac{1}{2}B = B' \qquad\qquad \boxed{B'(x,y)^2 = \frac{1}{5}\,Q(x)Q(y)} sous « \frac12 B = B' », trois segments issus d'un même point

la page, écrite dans l'autre sens de la feuille, est barrée de deux longs traits en croix ; elle se lit entièrement dessous

E topos

C petite catégorie

alors \underline{\mathrm{Hom}}(C^{\circ}, E) = \pi(C, E) un topos

Si on a un morphisme C \xrightarrow{f} C', g : E \to E' d'où g^{*} : E' \to E, on conclut un foncteur \pi(f, g) : \pi(C, E) \to \pi(C', E') \pi(f, g)^{*} = (u' \mapsto g^{*} \circ u' \circ f^{\circ}), \qquad \pi(f, g)_{*} = (u' \mapsto g_{*} f_{*}^{(E)}) vérifier l'expression donnée en \pi(f, g)_{*} … qui est le foncteur image inverse associé à un morphisme de topos \pi(f, g) : \pi(C, E) \longrightarrow \pi(\uncertain{C'}, E') la première lettre de \pi(C', E') ressemble ici à un E ; une ligne plus haut la même flèche est écrite \pi(C,E) \to \pi(C',E')

de sorte que \pi(C, E) dépend de façon covariante de (C, E) [i.e. est un 2-foncteur (\mathrm{Cat}) \times (\mathrm{Top}) \to (\mathrm{Top})]

On va définir un morphisme de topos ~~fonctoriel~~ en C, E \text{(1)}\qquad \boxed{\gamma = \gamma(C, E) : \pi(C, E) \longrightarrow \hat{C} \times_{\mathrm{top}} E} en définissant les composantes \begin{aligned} \gamma_1 &= \gamma_1(C, E) : \pi(C, E) \to \hat{C} \\ \gamma_2 &= \gamma_2(C, E) : \pi(C, E) \to E \end{aligned} par \gamma_1^{*} : \hat{C} \to \pi(C, E) \quad \text{défini par} \quad F \mapsto [X \mapsto F(X)_E] où \hat{C} = \pi(C, P), P topos ponctuel ; i.e. \gamma_1 = \pi(\mathrm{id}_C, p_E), où p_E : E \to P « unique » morphisme de topos ; \gamma_2^{*} : E \to \pi(C, E), \qquad X \mapsto (i \mapsto X) où E \simeq \pi(C_0, \uncertain{E}), C_0 catégorie ponctuelle ; \gamma_2^{*}(X) est le foncteur constant de valeur X, i.e. \gamma_2 = \pi(p_C, \mathrm{id}_E), p_C : C \to C_0 unique morphisme de topos.

Question \gamma(C, E) est-il toujours une équivalence ?

a)~~Exemple~~ ~~Supposons~~ On note que \pi(C, E) transforme sommes en un des deux arguments en sommes, et de même pour \hat{C} \times E (C \mapsto \hat{C} transformant sommes en sommes). Donc on est ramené à traiter le cas C connexe. b)C un groupoïde — fini par supposition connexe. Alors \hat{C} \simeq B_G, G un groupe, \pi(C, E) \simeq B_{G_E} (catégorie des objets de E avec G opérant), ok c)E = \hat{D}, alors \pi(C, E) \cong \widehat{C \times D}, et \gamma(C, E) est le morph. de topos ~~fonctoriel~~ évident \widehat{C \times D} \to \hat{C} \times \hat{D}

X espace topologique ~~compact~~ C_1 [triangulable compact de dim \leq 1]

S surface orientée

Nous voulons étudier les classes d'isotopie des plongements (modérés …) X \xrightarrow{\varphi} S

Pour tout tel plongement \varphi, et pour tout sommet de non isolé topologique de X, il y a un ordre ~~circulaire~~ \omega_x(\varphi) sur l'ens. des arêtes (orientation) issues de x induit par \varphi de [donnée vide si le sommet x est un bout, i.e. s'il n'y a qu'une seule arête issue de x ; sinon, il y a \nu_x \geq 3 telles arêtes, et l'ens. des ordres circulaires possibles est un ens. \Omega_x(X) à (\nu_x - 1)! éléments]. « topologique » est ajouté au-dessus de la ligne ; « \omega_x(\varphi) » aussi, avec un trait qui le rattache à « ordre »

On trouve ainsi un invariant \omega(\varphi) = (\omega_x(\varphi))_{x \in X'_0} \in \prod_{x \in X'_0} \Omega_x(X) sous X'_0 : « ens. des sommets de X qui ne sont ni isolés ni des bouts »

On a une appl. \mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S) \xrightarrow{\ \omega\ } \prod_{x \in X'_0} \Omega_x(X) \overset{\mathrm{df}}{=} \Omega(X) et notre propos est d'étudier les fibres de \omega, \mathrm{Pl}^{\alpha}_{\mathrm{isot}}(X, S), plus généralement, pour X et un \alpha = (\alpha_x)_{x \in X'_0} \in \struck{\ill{}}\ \Omega(X) fixés, d'étudier pour la S les plongements \varphi : X \hookrightarrow S tels que \omega(\varphi) = \alpha.

Pour ceci, Définissons pour le plongement « le » voisinage tubulaire ~~fidèle~~ fermé de celui-ci. On trouve

Th 1 Pour \alpha fixé, ce voisinage tubulaire ~~est~~ ne dépend, à homéomorphismes près induisant l'identité sur X [de façon unique à isotopie près] que de \alpha, soit \mathcal{U}_{\alpha}, et non de S. ~~Donc~~ On trouve donc une application \mathrm{Pl}^{\alpha}_{\mathrm{isot}}(X, S) \longrightarrow \mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(\mathcal{U}_{\alpha}, S) Celle-ci est une bijection

Ce théorème ramène essentiellement l'étude de \mathrm{Pl}^{\alpha}_{\mathrm{isot}} à celle de \mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(\mathcal{U}_{\alpha}, S). Pour faire cette étude, on doit pouvoir donner un procédé pour décrire combinatoirement \mathcal{U}_{\alpha} en termes de \alpha. Notons

Prop \mathcal{U}_{\alpha} - X = \mathcal{V}_{\alpha} a des composantes connexes \mathcal{V}^{i}_{\alpha} qui sont ~~le bord de \mathcal{V}_{\alpha} est~~ des produits S^1 \times \struck{\ill{}}\,[1, 2[ et ~~le filtre des~~ avec \mathrm{bord}(\mathcal{U}_{\alpha}) \cap \mathcal{V}^{i}_{\alpha} \simeq S^1 \times \{1\}, le filtre des voisinages de X dans \mathcal{U}_{\alpha} induisant sur \mathcal{V}^{i}_{\alpha} le filtre des voisinages de S^1 \times \{1\} dans S^1 \times\, ]0, 2[. S^1 est glosé « cercle » ; la borne de [1,2[ et de ]0,2[ est récrite sur un autre chiffre, et le passage biffé de la deuxième ligne est lourdement raturé. Les indices \{1\} et ]0,2[ sont donnés tels qu'écrits

le nb des \mathcal{V}^{i}_{\alpha} est b_1(X) + 1 si X connexe non vide ? Cela donne en général b_1(X) + b_0(X)

~~Donc~~

Donc la surface S, pour un plongement donné de \mathcal{U}_{\alpha}, peut se décrire comme ~~\mathcal{U}_{\alpha}~~ déduite de \mathcal{U}_{\alpha} en lui collant une variété orientée à bord \mathcal{U}' [compacte ssi S est compacte] — savoir \overline{S - \varphi(\mathcal{U}_{\alpha})} — à \mathcal{U}_{\alpha}, par un isom. de \partial\,\mathcal{U}' avec -\partial\,\mathcal{U}_{\alpha} \simeq la ligne s'arrête sur « \simeq »

à gauche, plusieurs croquis : une grande courbe fermée contenant deux disques accolés, une boucle et une petite figure ramifiée ; plus bas, un anneau (deux courbes fermées emboîtées) avec une petite boucle attachée au bord intérieur ; en marge, un autre anneau, où le disque intérieur porte « dans le »

Le Pb de trouver \mathrm{Pl}^{\alpha}_{\mathrm{isot}}(S) i.e. de trouver, à ~~homéom.~~ isom. près induisant l'identité sur X, tous les plongements de X dans une surface orientée, on peut déjà envisager la solution de ce Pb : il s'agit de trouver les façons possibles d'écrire I \times S^1 \qquad (I = \pi_0(\mathcal{V}_{\alpha})) (I étant l'ens. d'indices fini discret) comme espace des bords orienté d'une surface à bord [connexe ou non] ~~[NB \overline{M} si \mathcal{U}'_{\alpha} connexe, composantes connexes de \mathcal{U}'_{\alpha} rencontrent le bord alors S ()]~~ S est connexe. « induisant l'identité sur X » est une lecture de l'ajout interlinéaire, qui est serré et en partie douteux ; « = \pi_0(\mathcal{V}_\alpha) » est écrit au-dessus de I

Donc la classification est donnée aussi \{relativement\} aux \mathcal{U}' quant à leur

NB \mathcal{U}'_{\alpha} non nécessairement connexe, mais on peut supposer que ses composantes connexes ont un bord (en tt cas toute composante connexe de S rencontre X)

a)On donne une partition \pi de I en parties (I_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} b)Pour tout \lambda, on donne une ~~variété~~ surface orientée connexe à bord \mathcal{U}'_{\lambda}, et un isom. \partial\,\mathcal{U}'_{\lambda} \simeq -I_{\lambda} \times S^1.

« connexe » est ajouté au-dessus de la ligne

Si on se borne aux S « algébriques » (compactes moins ens. fini), une telle \mathcal{U}'_{\lambda} sera connue quand on connaît

a)Le genre g_{\lambda} de la surface compacte sans bord obtenue en « rajoutant les points à l'infini » (i.e. les bouts) et en contractant chaque composante du bord en un point b)Le nb de bouts \beta_{\lambda} de \mathcal{U}'_{\lambda}.

[NB Comme il y aura tjrs un homéom. orienté de \mathcal{U}'_{\lambda} sur elle-même ~~, isotope à l'identité,~~ qui échange entre eux de façon prescrite les éléments du bord, on n'a pas à s'en faire pour préciser la correspondance entre composantes du bord et les ~~éléments de I_{\lambda}~~] « orienté » et « composantes » sont ajoutés au-dessus de la ligne

En fait, en termes de g_{\lambda}, \beta_{\lambda}, on construit \mathcal{U}'_{\lambda} en prenant la surface sans bord orientée compacte de genre g, soit S_g, on y prend I_{\lambda} rondelles disjointes D_j (j \in I_{\lambda}), et ~~\beta_{\lambda} points~~ un ens. fini P_{\lambda} de cardinal \beta_{\lambda} non rencontré par \bigcup_{j \in I_{\lambda}} D_j, et prend \mathcal{U}'_{\lambda} = S_g - \bigcup_{j \in I_{\lambda}} \mathring{D}_j - P_{\lambda}

Sauf si les \mathcal{U}'_{\lambda} compactes, i.e. \beta_{\lambda} = 0

Soit S_{\alpha, \pi, g, \beta} la surface ainsi construite à l'aide de \begin{cases} \alpha \in \Omega(X) & [\text{d'où } I = I(\alpha), \text{ à expliciter combinatoirement}] \\ \pi \text{ partition de } I \text{ en } (I_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} & \\ (g_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} \in \mathbb{N}^{\Lambda} & \\ (\beta_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} \in \mathbb{N}^{\Lambda} & \end{cases} devant les deux \mathbb{N}^{\Lambda}, un premier symbole est lourdement biffé

On a donc un plongement canonique X \xrightarrow{\ \varphi_{\alpha, \pi, g, \beta}\ } S_{\alpha, \pi, g, \beta}

NB S_{\alpha, \pi, g, \beta} a \beta = \sum_{\lambda} \beta_{\lambda} bouts. Le genre calculé en genre, il doit être quelque chose \sum_{\lambda \in \Lambda} g_{\lambda} + \gamma(\alpha), \gamma(\alpha) un entier (le genre de \mathcal{U}_{\alpha}) — vérifier la note marginale est reliée par un trait à l'accolade des quatre données ; la lettre du nombre de bouts y est la même que dans le texte, lue \beta partout ici, mais elle pourrait être un \nu (cf. \nu_x page 24)

On trouve donc (S surfaces orientées algébriques)

Th 2 Tout plongement X \to S est isomorphe à un \varphi_{\alpha, \pi, g, \beta} pour \alpha, \pi, g, \beta convenables, uniquement déterminés … la phrase s'arrête au bas de la page

Donc on trouve, pour S fixé, une application \mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S) \longrightarrow \text{l'ensemble des systèmes } \alpha, \pi, g, \nu \text{ associés à } X (à expliciter combinatoirement) ici la lettre du nombre de bouts est nettement un \nu ; c'est celle que la page 26 écrit d'un trait qu'on a lu \beta

et on est donc ramené à étudier, pour \rho = \alpha, \pi, g, \nu fixé, l'ens. des \mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S; \rho) qui correspondent à \rho (non vide ssi S \simeq S_{\rho} \overset{\mathrm{df}}{=} S_{\alpha, \pi, g, \nu}). Or on a une application ~~Isot~~ « restriction à X » (*)\qquad \mathrm{Isot}(S_{\rho}, S) \xrightarrow{\ r\ } \mathrm{Pl}_{\mathrm{isot}}(X, S; \rho) qui, d'après ce qui vient d'être vu, est surjective. l'appel (*) est le nôtre : la page encadre la flèche entre deux barres verticales, et c'est à elle que renvoie plus bas « les deux membres de (*) ». Au-dessus de « ce qui vient », un ajout interlinéaire « et précisé … »

ce qui va suivre donnera …

~~Il reste :~~

a)étudier quelles sont les fibres de cette application, i.e. b)Déterminer l'ens. \mathrm{Isot}(S_{\rho}, S)

La question b) est classique et résolue : \mathrm{Isot}(S_{\rho}, S) est un torseur à droite sous \mathrm{Autext}(\pi_1(S_{\rho})) (ou à g. sous \mathrm{Autext}(\pi_1(S))) [du moins si S_{\rho} est compacte i.e. \sum_{\lambda \in \Lambda} \nu_{\lambda} = 0 i.e. les \nu_{\lambda} nuls …]. ~~Donc la question a) se ramène à la suivante :~~ « à droite » et « (ou à g. sous \mathrm{Autext}(\pi_1(S))) » sont ajoutés au-dessus de la ligne. Deux longs traits obliques traversent la suite de la page ; ils ne biffent pas le texte, qui est repris page 28

Soit f : S_{\rho} \xrightarrow{\sim} S_{\rho} un homéomorphisme, dont la classe d'homotopie est déterminée par l' extérieur induit par f sur \pi_1(S_{\rho}) = G_{\rho}, soit E(f) \in \mathrm{Autext}(G_{\rho}), ~~soit E(f)~~ considérons f \vert X = f_X. Quelle relation y a-t-il entre E(f), E(g) assurant que f_X \overset{\mathrm{isot}}{\simeq} g_X ?

\begin{tikzcd} G_{\rho} \arrow[r, bend left=20, "\bar{f}"] \arrow[r, bend right=20, "\bar{g}"'] & G_{\rho} \\ \pi_1(X) \arrow[u] \arrow[ur, no head, bend right=30] & \end{tikzcd}

croquis en marge gauche, rattaché à « NB » par un trait : deux flèches parallèles G_\rho \rightrightarrows G_\rho marquées \bar f, \bar g, une flèche montante de \pi_1(X) vers le premier G_\rho, et une courbe sans tête de \pi_1(X) au second

Notons que le groupe G = \mathrm{Isot}_{o}(S, S) \qquad [\simeq G_{\rho} = \mathrm{Isot}_{o}(S_{\rho}, S_{\rho})] opère sur les deux membres de (*), et c'est clair r commutant à l'opération de ce groupe. D'autre part, ~~comme~~ pour le premier membre est un torseur sous G, donc, choisissant f : S_{\alpha} \simeq S, si r(f) = f_X = f \vert X son image, et H son stabilisateur, on a que r s'identifie à l'application G \to G/H. Donc on

et finalement on arrive aux 2 questions suivantes

a)Déterminer G = \mathrm{Isot}(S, S) b)Déterminer le sous-groupe H de G formé des h : S \to S tels que h \circ f \vert X \overset{\mathrm{isot}}{\simeq} f.

On peut évidemment supposer S = S_{\rho} donc G = G_{\rho}, et f = \varphi_{\rho} : X \to S_{\rho}, dans la question dernière

a)Déterminer G_{\rho} = \mathrm{Isot}(S_{\rho}, S_{\rho}) S_{\rho} surface de genre moins b)Déterminer le sous-groupe H_{\rho} \subset G_{\rho} des h \in G_{\rho} tels que ~~h \vert X \simeq~~ h \circ \varphi_{\rho} \simeq \varphi_{\rho}

au-dessus de b), un ajout interlinéaire « \nu', \rho^k … » reste obscur

Tout ceci semble un X compact (\in \mathrm{Ob}\, C_1) plutôt que d'un couple X \subset S_{\rho}, S_{\rho} surface orientée avec (connexe)

La réponse à a) est classique (du moins si S_{\rho} compacte) : L'homomorphisme canon. G \longrightarrow \mathrm{Autext}(\pi_1(S, s)) est un isom., et G est donc le groupe de Teichmüller de S. Reste à trouver (pour un X \underset{\varphi}{\subset} S plongé dans S) quels sont les h \in G tels que h\varphi \underset{\mathrm{isot}}{\simeq} \varphi.

Cas particulier (X connexe et) \pi_1(X) \to \pi_1(S) surjectif (sauf erreur, ça signifie que la partition \pi de I est discrète (\Lambda = I) et que les g_{\lambda} et les \nu_{\lambda} sont nuls — i.e. que S_{\rho} est déduit de \rho simplement en « bouchant simplement par des rondelles ») : plongements normaux*. Alors h\varphi \underset{\mathrm{isot}}{\simeq} \varphi \;\Longrightarrow\; h\varphi \underset{\mathrm{homot}}{\simeq} \varphi donc

\begin{tikzcd} \pi_1(X) \arrow[r, hook, "c"] \arrow[dr] & \pi_1(S) \arrow[d, "\pi_1(h)"] \\ & \pi_1(S) \end{tikzcd}

sous \pi_1(X) un trait vertical court, sans tête ni but, à côté de la diagonale

\pi_1(h) \circ c \simeq c \quad \text{mod automorphismes intérieurs} donc \pi_1(h) est un automorphisme intérieur, c étant surjectif, en gros. si X connexe

* faisant préciser

Cela nous donne en particulier les plongements dans S^2 (car tt ~~plongement~~ homéom. orienté de S^2 sur lui-même est isotope à l'identité). l'exposant de S^2, aux deux occurrences, a la forme d'un 1 ; c'est la sphère que l'argument demande, le cercle n'ayant pas de sens ici. « homéom. orienté » est écrit au-dessus du mot biffé

Ils sont classifiés par les \alpha tels que \gamma(\alpha) [le genre de \tilde{\mathcal{U}}_{\alpha} déduit de \mathcal{U}_{\alpha} par le procédé dit qui donne un

plongement normal) = 0. Il faut donner une certaine condition simple sur \alpha pour qu'il en soit ainsi. la phrase commencée au bas de la page 28 se ferme ici : « \gamma(\alpha) [le genre de \tilde{\mathcal{U}}_\alpha …] = 0 »

Question Supposons que h \in G soit tel que pour toute composante connexe X_i de X, désignant par \varphi_i : X_i \to S le plongement induit, \pi_1(h \varphi_i) = \pi_1(h) \circ \pi_1(\varphi_i) \in \struck{\ill{}}\ \mathrm{Homext}(\pi_1(X_i), \pi_1(S)) soit égal à \pi_1(\varphi_i). ~~Alors a-t-on~~ (condition évidemment nécessaire pour que h \circ \varphi soit isotope à \varphi, ~~donc~~ i.e. h \in H) ; alors a-t-on h \in H ? la question est tenue par un trait vertical en marge gauche. Dans \pi_1(h\varphi_i), un \varphi surchargé précède le h ; « Homext » est écrit au-dessus d'un mot biffé

\mathcal{G}/\mathcal{H} \simeq \mathfrak{X} \qquad \pi_1(\mathcal{H}) \to \pi_1(\mathcal{G}) \to \pi_1(\mathfrak{X}) \to \pi_0(\mathcal{H}) \to \pi_0(\mathcal{G}) \to \pi_0(\mathfrak{X}) une longue accolade marquée « ?? » court au-dessus de la suite, de \pi_1(\mathcal{G}) jusque vers \pi_0(\mathfrak{X}), où elle finit en flèche. Les lettres \mathcal{G}, \mathcal{H}, \mathfrak{X} rendent une ronde, une cursive et un X à double jambage

~~\pi_1(\mathcal{G}) \to \pi_1(\mathcal{H})~~ les homéom. h tels que h \vert X = \text{identité} \mathcal{H} = \mathrm{Aut}(S / X) le groupe top. la ligne sur les h tels que h\vert X = \mathrm{id} est reliée par un trait à \mathcal{H} ; le reste de la page est blanc

~~Graphes (S, A, R, \sigma) [S sommets, A arêtes, R relation d'incidence orientée, \sigma symétrie] [R \subset S \times A]~~ ce premier essai est encadré et hachuré

~~Graphe S : ensemble S avec partie A de S \times S, stable par symétrie~~

\text{Graphes}\quad (S, A, A' \xrightarrow{\ \varphi = (\varphi_1, \varphi_2) = (\varphi_1, \varphi_1 \circ \sigma)\ } S \times S, \sigma) \;\;\langle\simeq\rangle\;\; (S, R \subset A \times A, L \to A, \sigma) sous la formule, des légendes fléchées : S « sommets », A « arêtes orientées », sous \varphi un mot surchargé , \sigma « symétrie dans A » ; une accolade renvoie à « [arêtes non circulaires isolées] » ; R « stable par sym. », L « arêtes bouclées »

G groupe des symétries du graphe G \simeq \mathrm{Perm}(S) \times \mathrm{Perm}(A)

Supposons que G est transitif sur A et sur S.

Alors ou bien tous les ~~points~~ sommets sont isolés (et les arêtes non circulaires isolées) dans le graphe et partant formé de deux ensembles S, A, A' = \emptyset, et un automorphisme d'ordre 2 dans A sans point fixe ; ~~l'action de G. Donc~~ \mathrm{Aut}\,\Gamma = \mathrm{Perm}(S) \times \underbrace{\mathrm{Aut}(A, \sigma)} pour les sommets isolés Si A_1 = A/\sigma, on trouve que \mathrm{Aut}(A, \sigma) \simeq \mathrm{Perm}(A_1) \cdot (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{A_1} (produit semi-direct)

la suite de la page, jusqu'au crochet final, est traversée de deux longs traits obliques parallèles ; elle se lit dessous

[b) ou bien ~~tous les sommets sont~~ il y a des sommets non isolés, . Dans ce cas, il y a des arêtes non circulaires isolées toutes les arêtes sont non isolées circulaires [car il y en a non isolées]. ~~Il est possible~~ Ou bien toutes les arêtes sont circulaires, dans ce cas \varphi se réduit à une application surjective \varphi : A \longrightarrow S compatible avec \sigma [\varphi\sigma x = \varphi x] il existe des arêtes non isolées circulaires

A Choisissons a \in A, donc A \simeq G/G_a^{=H} (groupe d'isotropie) et si s = \varphi(a), S \simeq G/G_s^{=H'}, G_s \supset G_a. L'application \sigma : A \to A correspond à la donnée d'un élément de \dot{\sigma} \in \mathrm{Norm}(G_a)/G_a, \dot{\sigma} d'ordre 2 ; le fait que \varphi est compatible avec \sigma signifie que \sigma \in G_s = H', le fait que \sigma opère sans pts fixes signifie que \sigma \notin H ; donc on a \left\{ \begin{array}{l} \boxed{G \supset H' \supset H} \quad \text{et} \\ \boxed{\dot{\sigma} \in (H' \cap \mathrm{Norm}_G(H))/H \qquad \dot{\sigma}^2 = 1,\ \dot{\sigma} \neq 1} \end{array} \right. entre les deux lignes de l'accolade, une ligne biffée : ~~\sigma \in H' \cap \mathrm{Norm}_G(H) \cap \complement(\ldots)\,H~~, dont l'argument du complémentaire est noyé sous les ratures

Le fait que G opère fidèlement sur \Gamma signifie que \bigcap_{g \in G} g H g^{-1} = \{1\}

Si on a une telle situation ]

il existe des arêtes non circulaires c) Ou bien il y a des arêtes non circulaires, ou alors les arêtes sont non circulaires, on trouve alors \underset{a}{A} \xrightarrow[\text{source}]{\ \varphi_1\ } \underset{s}{S}, \qquad \left\{ \begin{array}{l} \sigma : A \to A \\ \sigma^2 = \mathrm{id},\ \sigma \text{ ss pt fixe} \end{array} \right. sous A et S, « \ni a », « \ni s »

\boxed{G \supset \underset{G_a}{H'} \supset \underset{G_s}{H} \qquad \dot{\sigma} \in \mathrm{Norm}_G(H)/H \qquad \dot{\sigma}^2 = 1 \qquad \dot{\sigma} \neq 1} sous H' et H, des signes d'égalité verticaux renvoient à G_a et G_s. C'est l'inverse de la page 32, où A \simeq G/G_a avec G_a = H et S \simeq G/G_s avec G_s = H' ; on transcrit tel qu'écrit

Si on veut que G opère fidèlement, on doit avoir \boxed{\bigcap_{g \in G} g^{-1} H g = \{1\}}

Exprimons la condition que \forall\ \varphi : A \to S \times S est injectif [donc que \Gamma est un « schéma simplicial de dim. 1 », donné par une ensemble de parties de cardinal 2 de l'ens. S] i.e. que l'application \begin{aligned} G/H &\longrightarrow G/H' \times G/H' \\ gH &\longmapsto gH',\ g\sigma H' \end{aligned} donc à prouver que si g, g' \in G tels que g'^{-1}g \in H', \sigma^{-1}(g'^{-1}g)\sigma \in H', alors g'^{-1}g \in H, i.e. \boxed{H' \cap \dot{\sigma}^{-1} H' \dot{\sigma} \subset H} le \forall devant \varphi est surchargé ; la phrase attend « … est injective » après l'application, qui n'est pas écrit

le reste de la page est blanc