Cote n° 161-4 · batch 2 · pages 21–31 · Transcription · Introduction à géométrie algébrique : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [après 1961] — le groupe « Dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques » (161-1 à 162-6) est daté [après 1961-vers 1977]
Édition de démonstration

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21Topologie des spectres

Remarque : espace noethérien \(=\) tout espace quasicompact tel que a) tout sous-espace fermé ait un nb fini de comp. irréductibles b) toute suite décroissante de sous-espaces fermés est stationnaire.

Composantes connexes d'un espace top. n'ayant qu'un nb fini de composantes irréductibles (p.ex. noeth.) — plus gén. où l'ens. des comp. irréd. est loc. fini.

Topologie […] \(A_f\) […] \(X_f\). L'espace topologique \(\operatorname{Spec} A\) pour \(A\) noethérien.

base de topologie formée des \(X_f\) / homéomorphismes \(X_f \simeq \operatorname{Spec} A_f\)

L'espace topologique \(\operatorname{Spec} A\) pour \(A\) noethérien […]

Cf. \(u : A \to B\), \(Y = \operatorname{Spec} A \xleftarrow{\ \varphi\ } X = \operatorname{Spec} B\) \[\begin{cases} \varphi(x_{\mathfrak{p}}) = y_{\varphi^{-1}(\mathfrak{p})} \\ \varphi^{-1}(V(J)) = V(u(J)B) \\ \varphi^{-1}(Y_f) = X_{u(f)} \end{cases}\] dans la dernière ligne l'indice est surchargé : \(\varphi(f)\) corrigé, semble-t-il, en \(u(f)\) ; même surcharge sous le \(V(J)\) de la deuxième ligne

Ex a) \(u : A \to B\) surjectif, \(\varphi\) imm. fermée.

b) \(u : A \to A_f\) \(\varphi\) immersion ouverte \(\operatorname{Spec}(A_f) \simeq X_f\)

dans les deux cas, les ext. résiduelles sont triviales, cas \(A \to B\) un épim. d'anneaux [i.e. \(\mathfrak{X} \to \mathfrak{Y}\) un monomorphisme d'esp. alg. affines]

c) \(\operatorname{Spec} \prod_{I} A_i \simeq \coprod_i \operatorname{Spec}(A_i)\), \(X \simeq \dot{\coprod_i} X_i\)

d) Attention, le foncteur \(\mathfrak{X} \to \operatorname{Spec} \mathfrak{X}\) ne commute pas aux produits ou produits fibrés [vrai sur un corps alg. clos] \[\lvert \operatorname{Spec} \mathfrak{X} \times_S \mathfrak{Y} \rvert \longrightarrow \lvert \operatorname{Spec}(\mathfrak{X}) \rvert \times_{\lvert \operatorname{Spec} S \rvert} \lvert \operatorname{Spec} \mathfrak{Y} \rvert\] est une surjection, mais non pas injection : la […] fibre de \(x, y\) […] est le spectre : \(x \times_S y \simeq \operatorname{Spec} k(x) \otimes_{k(s)} k(y)\) [qui est \(\neq \emptyset\)].

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \mathfrak{X} \times_S \mathfrak{Y} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
x \in \mathfrak{X} \arrow[dr, no head] & & \mathfrak{Y} \ni y \arrow[dl, no head] \\
& S \ni s &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& K' \text{ corps} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\
k(x) \arrow[dr, no head] & & k(y) \arrow[dl, no head] \\
& k(s) &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& Z = V_{K'} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\
V_{k(x)} \to V_A & & V_B \leftarrow V_{k(y)} \\
x \to X \arrow[dr] & & Y \leftarrow y \arrow[dl, no head] \\
& S = V_k &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& C \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\
A \arrow[dr, no head] & & B \arrow[dl, no head] \\
& k &
\end{tikzcd}

donne exemple du produit \(\mathbb{E}^1 \times \mathbb{E}^1\) les quatre croquis sont redessinés : à gauche, le produit \(Z = V_{K'}\) de deux points \(x\), \(y\) au-dessus de \(S = V_k\) ; au centre les algèbres correspondantes ; à droite le produit fibré et le corps composé \(K'\) de \(k(x)\) et \(k(y)\) sur \(k(s)\) ; les traits sans flèche sont ceux de la page

Mais (Sur un corps alg. clos, [pour esp. alg. définis de t.f.] le Spec Maximal commute aux produits finis [formation des pts ensembliste], mais sa top. n'est pas la topologie produit.

22Prerequisites for the courses I and II

I) Introduction to A.G. : Category theory, basic algebra including some commutative algebra. Bourbaki is a good reference. Most facts we are using will be recalled.

II) Introduction to algebraic groups. Familiarity with the basic notions of A.G. will be assumed.

A.G. is a messy subject, even more foundations, we cannot give anything like a detailed exposition of all of it in our summer course. We will have to give rather a survey of some key points, being rather sketchy for proofs — most of which are straightforward. We can fill in whatever is required. Homework will be necessary for those who do not have already a fair background.

Question is how to relate the two courses. The content of I are prerequisites for II!

(1) \(k\) \[P_I = k[(T_i)_{i \in I}] \qquad\qquad I, J \text{ finis ou infinis}\] \[k^I \simeq \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(P_I, k) \qquad \struck{\text{l'esp. affine sur } k \text{ de dim } I \ \ill{}}\] \[f \in P_I, \quad x = (x_i)_{i \in I} \in k^I \qquad f(x) = \varepsilon_x(f)\] \[(1) \qquad F_j(t) = 0 \quad j \in J \qquad\qquad V((F_j))\] la première ligne s'écrit à la page \(P[(T_i)_{i \in I}]\), sans doute pour \(k[\ldots]\)

(2) (a) pt de vue arithmétique : très différent suivant la nature de \(k\) : …, \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\)

(3) (b) pt de vue géométrique, issu de la géométrie sur \(\mathbb{R}\) et sur \(\mathbb{C}\) : on considère les solutions de (1) dans toute extension \(k\)-algèbre \(k'\) ; et comment elles varient ; et les propriétés de (1) qui sont stables par de tels changements… \[\mathbb{E}^I_k : k' \longmapsto k'^I \qquad \mathbb{E}^I_k(k') = k'^I\] \[V_S(k') \subset \mathbb{E}^I_k(k') \qquad\qquad V_S \subset \mathbb{E}^I_k \begin{cases} \text{étude indépendante du plongement} \\ \text{étude du plongement} \end{cases}\]

23Sous-espace algébrique fermé de \(\mathbb{E}^I_k\) \(=\) espace alg. affine

(4) \(V_S = V_J\) \(J\) idéal engendré, c'est le syst. d'équations le plus naturel.

référence au « th. de la base » de Hilbert (\(k\) corps […] ou gén., noeth.) \(\Longrightarrow k[T_1 \ldots T_n]\) noeth. \[A_J = P_I / J\] \[\begin{array}{ccc} k'^I & \simeq & \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(P_I, k') \\ \cup & & \cup \\ V_J(k') & \simeq & \{ u : P_I \to k' \mid u(J) = 0 \ \struck{\ill{}} \ (\text{i.e. s'annule sur les } F_j) \} \\ & & \wr\! \mid \\ & & \operatorname{Hom}_k(A_J, k') \end{array}\]

[…] Les foncteurs de \(\mathcal{C}\) […] forme \(V_S\) ([…] \(S\) convenable) sont, à isom. près, les foncteurs représentables \(V_A\) — donner un isom. entre \(V_A\) et un \(V_S\) […] revient au même que de se donner un isom \(A \simeq P_I / J\) (\(J\) idéal engendré par \(S\)) […] ; on donne un plongement […] \(V_S\) fermé de \(\mathbb{E}_k\) ? [Plus précisément, […] plongement \(V_A \hookrightarrow \mathbb{E}^I\) correspond à un épimorphisme d'anneaux \(P_I \to A\) (mais un tel épimorphisme n'est pas en général surjectif…] identifiés aux hom. surjectifs \(P_I \to A\), on revient aux systèmes de générateurs \((a_i)_{i \in I}\) de \(A\) comme une algèbre sur \(k\). utilisant la notion de foncteurs représentables — Rmq le passage entre \(V_S\) et le crochet est surchargé : une ligne biffée, puis la phrase « se donner un plongement » récrite au-dessus ; seul ce qui survit est lu

(5) Cor La cat. des espaces alg. affines sur \(k\) est antiéquivalente à celle des algèbres sur \(A\)sic : on attend « sur \(k\) ». Ceux qui se plongent comme sous-espaces alg. fermés dans quelque \(\mathbb{E}^n_k\) (\(n\) entier \(\geqslant 0\) fini) sont ceux correspondant aux \(A\) qui sont des \(k\)-alg. de type fini de type fini.

Les […] sous-espaces algébriques de \(\mathbb{E}^I_k\) correspondent aux idéaux de \(P_I\). […] [\(J\) connu quand on connaît \(V_J\)…] \[V_J \subset V_{J'} \Longleftrightarrow J' \subset J \qquad \Longleftarrow \quad \Bigl\{ J = \{ f \in P_I \mid f(x) = 0 \ \forall\, k'/k \text{ et } x \in V_J(k') \} \Bigr.\]

24(6) Ce qui se passe si on se restreint au cas où \(k'\) est un corps [on est tenté de le faire du moins si \(k\) est un corps]. […] Soit \(V'_S = V_S \mid\) corps sur \(k\) \[V'_{S} = V'_{J} = V'_{\widetilde{J}}\] les trois indices portaient d'abord un « corps » biffé : \(V_{\text{corps}, S} = V_{\text{corps}, J} = V_{\text{corps}, \widetilde{J}}\), récrit avec l'accent Donc \(J \mapsto V'_J\) n'est plus injective. Mais sa restriction à l'ens des idéaux \(J\) tels que \(J = \widetilde{J}\) l'est, car \[\widetilde{J} = \{ f \in P_I \mid f(x) = 0 \ \forall x \in V_J(k'),\ k'/k \text{ un corps} \}\] [Cela signifie équivaut à l'énoncé suivant d'AC

Prop (\(\forall J \subset P_I\) idéal) \(\widetilde{J}\) est l'intersection des noyaux des hom. de \(P_I / J\) dans des corps

\(\Updownarrow\)

\(\forall\) anneau \(A\), l'intersection des hom. de \(A\) dans des corps [i.e. l'intersection des idéaux premiers] est l'ens. des éléments nilpotents.] Donc \[\widetilde{J} \subset \widetilde{J}' \Longleftrightarrow V(J') \subset V(J)\] Mêmes conclusions (si on se borne [pour \(I\) fini] : the sous-catégorie \(\mathcal{C}\) de la catégorie des \(k\)-algèbres réduites pourvu que […] […] finis que \(k\) soit assez grand […], l'analogue de la propr. précédente reste valable

(6') (p. ex. \(\mathcal{C}\) contient les extensions de corps,] ou […] si \(I\) est fini, s'il contient les ext. finies des corps résiduels de \(k\), — p. ex. on aura : \(k\) si \(k\) est un corps alg. clos…) Nullstellensatz Dans une alg. de t.f. sur un corps \(k\), tt idéal premier (radical) est intersection d'idéaux maximaux […] […] algébriques […]…

(7) Importance des […] […]

(8) \[A \simeq \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(k[T], A) \simeq \operatorname{Hom}(V_A, \mathbb{E}^1_k)\] \[/ \qquad A \text{ l'\emph{anneau des fonctions sur l'espace algébrique affine}} \ X.\] [Si \(A = P_I / J\), \(f \in A\) se relève en \(g \in P_I\), alors \(\longleftrightarrow\) \[V_A(k') \xrightarrow{\ f_{k'}\ } k' \quad \text{est induit par} \quad \mathbb{E}^I(k') = k'^I \xrightarrow{\ g_{k'}\ } \quad \text{défini par } g ]\] La structure d'anneau de \(A\) provient de la structure d'anneau sur le foncteur \(\mathbb{E}^1_k\). abond. de \(A\) — définir \(f \in A\) : \(f(x)\) pour \(x \in V_A(k')\) ; \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\), \((fg)(x) = f(x) g(x)\) […] la marge gauche, écrite en biais et surchargée, n'est lue qu'en partie

25feuillet au crayon, d'une autre main de travail que les pages qui l'entourent (topos, et non espaces algébriques affines) ; il est barré de longs traits diagonaux croisés, et n'est lu que par fragments ; les flèches sont redessinées

\begin{tikzcd}[column sep=large]
X/F \arrow[d, "\wr" description, no head] & X'/F' \arrow[d, no head] \\
\underline{\operatorname{Hom}}_X(F, \mathbb{L}_X) \arrow[r] & X' \\
X \arrow[u, hook] \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

\(\underline{\operatorname{Hom}}\) […] \(F\) \(\mathfrak{X} / \underline{\operatorname{Hom}}(F, \mathbb{L})\) \(X/F\)

\(E\) un ordinal […] \(\{0 < 1\}\) […] […]

\(E\) […] […] sommes des \(E_{X'}\) […] \[\struck{\textstyle\prod} \ \operatorname{Hom}(X', I_{X'})^E \qquad\qquad \operatorname{Hom}(X', I_{X'}^E)\] \[(P \amalg P)^E \qquad \struck{\ill{}}\] Topos associé à l'espace compact \(I^E\) la lettre notée \(\mathbb{L}_X\) est un \(\mathbb{L}\) ou un \(\mathcal{L}\) cursif, non tranché

26Sous-espace algébrique fermé d'un […] \(=\) espace algébrique affine.

(9) \(\varprojlim\) dans la catégorie \(\mathrm{Aff}_k\) des espaces algébriques affines sur \(k\).

Correspond aux \(\varinjlim\) dans la catégorie \(\mathrm{Alg}_k\) des \(k\)-algèbres.

Bien adapté : l'interprétation de \(C\) comme sous-catégorie pleine de \(\widehat{C}\).

* Produits de schémas \(\Longleftrightarrow\) « sommes » de \(k\)-algèbres \(A_i\) (\(i \in I\)) \[A = \bigotimes_{i \in I} A_i\] Cas particulier : Objet final \(e_k = V_k\). Sections sur \(k\) (ou \(V_k\), ou \(e_k\)) \(=\) pts à valeurs dans \(k\) […]

* Produit fibré \(\Longleftrightarrow\) Produit tensoriel \(B \otimes_A C\)

[produit dans \(C_{/S}\)] (« somme » dans \(\mathrm{Alg}_A\))

\(\Updownarrow\) Changement de base \(C_{/S} \to C_{/S'}\), adjoint à droite du foncteur « oubli de \(S'\) au profit de \(S\) »

\begin{tikzcd}
X \arrow[d] & X' \arrow[l] \arrow[d] & T \arrow[dl] \arrow[ll, bend right=30] \\
S & S' \arrow[l] &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
B \arrow[r] & B' \arrow[r, dashed] & C' \\
A \arrow[u] \arrow[r] & A' \arrow[u] \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

le \(T\) est surchargé, peut-être biffé ; sa flèche courbe vers \(X\) et la flèche pointillée \(B' \dashrightarrow C'\) sont celles de la page

Interprétation en termes de foncteurs : « restriction » du foncteur des \(k\)-algèbres à \(k'\)-algèbres (ou des \(A\)-algèbres à \(A'\)-algèbres)

Cela donne toutes les \(\varprojlim\). Autres exemples :

* Noyaux de doubles flèches \(X \underset{v}{\overset{u}{\rightrightarrows}} Y\) \[\operatorname{Ker}(u, v) \simeq X \times_{(Y \times Y)} \Delta_Y\]

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "{(u, v)}"] & Y \times Y \\
K \arrow[u] \arrow[r] & Y \arrow[u, "\Delta_Y"']
\end{tikzcd}

Conoyaux de doubles flèches […] \(B \underset{v}{\overset{u}{\leftleftarrows}} A\) \[\simeq B / \text{idéal engendré par les } u(x) - v(x)\] [

\begin{tikzcd}
B \arrow[d] & A \otimes A \arrow[l, "{(u, v)}"'] \arrow[d] \\
C = ? & A \arrow[l]
\end{tikzcd}

\(x \otimes y \mapsto xy\) : morphisme surjectif ayant noyau engendré par \(x \otimes 1 - 1 \otimes x\)

* limites projectives filtrantes : correspond aux limites inductives filtrantes dans \(\mathrm{Alg}_k\), qui se construisent ensemblistement.

Exemple Noyau d'un hom. de groupes algébriques affines sur \(k\) \[G \longrightarrow G'\] Ex \(\mathrm{Sl}(n)_k = \operatorname{Ker}\bigl(\mathrm{Gl}(n)_k \xrightarrow{\ \det\ } \mathbb{G}_{m,k}\bigr)\). […]

27\(G\) opère sur \(X\), stabilisateur d'un \(x \in X(k) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{Aff}_k}(e_k, X)\) \[g \longmapsto g.x\]

\begin{tikzcd}
G \arrow[r] & X \\
G_{(x)} \arrow[u] \arrow[r] & e_k \arrow[u]
\end{tikzcd}

le coin inférieur gauche porte d'abord une autre lettre, noircie, puis \(G_{(x)}\) récrit dessous

\(I\).

Si on veut le sous-groupe de stabilité de plusieurs éléments \(x_i \in X_i(k)\), \(G\) opérant sur les \(X_i\), on prend \(\bigcap_i G_{x_i}\) (cas particulier de produit fibré) où on fait opérer \(G\) sur \(X = \prod X_i\), et on prend le stabilisateur de \(x = (x_i)_{i \in I} \in X(k)\).

(10) \(\varinjlim\) dans \(\mathrm{Aff}_k\) : Ne s'interprète pas de façon commode en termes de \(\widehat{\mathrm{Aff}_k} \simeq \underline{\operatorname{Hom}}(\mathrm{Alg}_k, (\mathrm{Ens}))\), et n'a pas beaucoup de sens géométrique, sauf en des cas très particuliers.

[Exemple \(G = \mathrm{Gl}(n)_k\), \(B = \mathrm{Tr}(n)_k \subset G\), alors \(B\) définit une relation d'équivalence dans \(G\), et le quotient \(G/B\) dans \(\mathrm{Aff}_k\) est \(e_k\) — ce qui est idiot !] définir la relation d'équivalence définie par un sous-groupe […] d'un groupe […]

Correspond : \(\varprojlim\) dans \(\mathrm{Alg}_k\). Ce sont les \(\varprojlim\) ensemblistes (nous fait une belle jambe !)

* Sommes dans \(\mathrm{Aff}_k\). Correspond aux produits dans \(\mathrm{Alg}_k\). Seules les sommes finies (\(\Longleftrightarrow\) produits finis) ont une interprétation géométrique simple. \[X_i \longrightarrow X \qquad (i \in I)\] Attention, \(\coprod_i X_i(k') \to X(k')\) n'est pas bijective pour \(\forall\, k'\), i.e. \[\coprod_i \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(A_i, k') \longrightarrow \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}\Bigl(A = \prod A_i,\ k'\Bigr)\] est seulement injective si \(k' \neq 0\) […], non pas bijective. (Un hom. de \(A\) dans \(k'\) « consiste » en la donnée d'une famille d'idempotents \(e_i\) de \(k'\) (\(i \in I\)), de somme 1 et deux à deux orthogonaux, et d'hom. \(A_i \to k' / (1 - e_i) k'\) … Mais

28\(k'\) est « connexe » i.e. si on les seules décomposition de \(1 \in k'\), (on a \(I \neq \emptyset\) et) sont les triviales, l'une étant 1, […] (p. ex. \(k'\) intègre, […] ou \(k'/\mathrm{Nil}_{k'}\) intègre, […] ou si \(k'\) anneau local…) alors les applications envisagées sont bijectives. équivalent à la notion de connexité dans une catégorie… — Exemple : \(k'\) intègre

Si \(I = \emptyset\), on trouve un objet initial dans \(\mathrm{Aff}_k\) \[\emptyset_k = V_0 \quad (\text{algèbre nulle sur } k)\] \[\emptyset_k(k') = \begin{cases} \emptyset & \text{si } k' \neq 0 \quad \text{i.e. } V_{k'} \not\simeq \emptyset_k \\ \{e\} & \text{si } k' = 0 \end{cases} \qquad\qquad \emptyset_k(k') = \operatorname{Hom}(V_{k'}, \emptyset_k)\] On. […] « \(I \neq \emptyset\) » est ajouté au-dessus de la ligne, avec un renvoi ; « \(\emptyset_k(k') = \operatorname{Hom}(V_{k'}, \emptyset_k)\) » est écrit sous la formule, relié par un signe \(=\) vertical

Donc c'est un objet initial strict. On l'appelle le \(k\)-espace algébrique vide (objet objets de catégorie…,

(*) Conoyaux \(\operatorname{Coker}(u, v : R \rightrightarrows X)\)

correspond à \(\operatorname{Ker}(u, v : A \rightrightarrows B)\)

mais n'a pas beaucoup de sens. O.K. si \(R\) est une « relation d'équivalence » dans \(X\) et si \(R\) fini sur \(X\) par \(u\), i.e. \(B\) une \(A\)-algèbre finie. On reviendra dessus avec la question des passages au quotient.

Sous-espaces algébriques fermés d'un espace algébrique affine \(\mathfrak{X} \simeq V_A\) : ils correspondent aux idéaux de \(A\), avec relation d'ordre renversée.

(11) Spectre d'une \(k\)-algèbre \(A\) : espace sous-jacent. \[A \longleftrightarrow \mathfrak{X} = V_A\] On va associer un objet géométrique

(a) Ensemble sous-jacent : ensemble […] des « lieux » (loci) « de » pts géométriques de \(\mathfrak{X}\) \(\Longleftrightarrow\) ensemble […] \(\operatorname{Spec}(A)\) des idéaux premiers de \(A\) le chiffre cerclé est surchargé (« 1 » suivi d'un second chiffre repassé) ; « \(\operatorname{Spec}(A)\) » est ajouté au-dessus de la dernière ligne

29La connaissance de l'ensemble \(X\) et de la famille des corps \((k(x))_{x \in X}\) (corps résiduels […] des pts de \(\operatorname{Spec} A\) ou \(\operatorname{Spec}(\mathfrak{X})\) — k(x) représente le foncteur \(k'\) (corps variable sur \(k\)) \(\longmapsto\) ens. des points éléments de \(\mathfrak{X}(k')\) associés pour le lieu \(k(x)\)).

(b) Topologie sur \(X\) (les fermés sont les) \(V(S) \subset X\) associés aux parties \(S = (f_\alpha)\) de \(A\), […] un point géom. à valeurs dans \(k'\) est dans \(V(S)\) […] si \(f_\alpha(u) = 0\) pour tout \(\alpha\). On a \(V(S) = V(J_S)\) si \[V(S) = \text{ensemble des idéaux premiers de } A \text{ qui contiennent } S.\] On a \(V(S) = V(J_S)\), \(J_S\) idéal engendré, et même \(V(S) = V(\widetilde{J}_S)\). Donc Il est bon de se borner aux idéaux, et même aux idéaux « radicaux ». L'ensemble des On voit que \(V(S) = V(S')\) (resp. \(V(S) \subset V(S')\)) signifie, vu des notations précédentes, que \(V'_S = V'_{S'}\) (restrictions aux corps) ou encore que (resp. \(V'_S \subset V'_{S'}\)), donc \(\widetilde{J}_S = \widetilde{J}_{S'}\) (resp. \(\widetilde{J}_S \supset \widetilde{J}_{S'}\)) : car prouvons en fait que \(\widetilde{J}_S\) est l'intersection des idéaux premiers qui contiennent \(A\)sic : on attend « qui contiennent \(S\) ». \[\struck{V(\textstyle\sum J)} \quad V\Bigl(\bigcup_{i \in I} S_i\Bigr) = V\Bigl(\sum J_i\Bigr) = \bigcap_i V(S_i) = \bigcap_i V(J_i) \qquad I \text{ quelc.}\] (NB une intersection somme de deux idéaux […] radicaux n'est pas nécessairement un idéal radical) \[V\Bigl(\bigcap_i J_i\Bigr) = V\Bigl(\prod J_i\Bigr) = \bigcup_i V(J_i) \qquad I \text{ fini}\] [NB \(\prod_i J_i \subset \bigcap_i J_i\), il faut prouver que tt idéal premier qui contient l'intersection (resp. produit) des \(J_i\) contient un des \(J_i\), on raisonne par l'absurde (i.e. si \(\exists f_i \in J_i \setminus \mathfrak{p}\)), on en forme […] \(A/\mathfrak{p}\) qui n'a pas de diviseurs de zéro \(\prod f_i\) […] \(\in \prod J_i\) et \(\notin \mathfrak{p}\), absurde] l'un d'eux est nul

Donc on a une topologie. Si \(x \in X\) correspond à \(\mathfrak{p}_x \subset A\), alors \(\overline{\{x\}}\) est le plus petit fermé \(V(J)\) qui contient \(x\), i.e. tel que \(J \subset \mathfrak{p}_x\), donc […] c'est \(V(\mathfrak{p}_x)\). \(x \in \overline{\{y\}} \Longleftrightarrow \overline{\{x\}} \subset \overline{\{y\}} \Longleftrightarrow \mathfrak{p}_x \supset \mathfrak{p}_y\)

Espace […] quasi-compact ([…])

[\(X_f = X - V(f)\) est ouvert (le lieu des \(u \in \mathfrak{X}(k)\) […] dans \(X_f\) est \(f(u) \neq 0\)), et les \(X_f\) forment une base de la topologie de \(X\), stable par intersections finies (\(X_1 = X\), \(X_{fg} = X_f \cap X_g\)). plus bas

30[\(X\) quasi-compact \(\Longleftrightarrow\) si \(A = \sum_{i \in I} J_i\), \(\exists J\) fini \(\subset I\), \(A = \sum_{i \in J} J_i\).

[…]

Si \(J\) est un idéal de \(A\), \(\operatorname{Spec}(A/J) = Y \subset X\) est un sous-espace topologique fermé de \(X\). On trouve […] \(Y\) ne change pas si on remplace \(J\) par \(\widetilde{J}\), donc […] tout sous-espace fermé de \(X\) est toujours homéo. au spectre d'un anneau réduit.

Prop Si \(A\) est réduit, \(X = \operatorname{Spec} A\) irréductible \(\Longleftrightarrow\) \(A\) intègre.

En effet, \(\operatorname{Spec} A\) irréductible \[\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} \begin{cases} X \neq \emptyset \\ X = X' \cup X'' \Rightarrow X' = X \text{ ou } X'' = X \quad (X', X'' \text{ fermés}) \end{cases}\] \[\text{i.e.} \quad \begin{cases} A \neq 0 \\ \text{i.e. } J' . J'' = 0 \Rightarrow J' \text{ ou } J'' \text{ nul} \end{cases}\]

Corollaire Soit \(A\) quelconque, \(A\) a une correspondance biunivoque les parties fermées irréductibles de \(A\) sont les \(V(\mathfrak{p})\), \(\mathfrak{p}\) idéal premier de \(A\) (correspondance biunivoque renversant l'ordre) et si \(x\) correspond à \(\mathfrak{p}\), alors \(V(\mathfrak{p})\) est égal à \(\overline{\{x\}}\). En particulier, \(X\) est sobre.

NB L'espace topologique \(\operatorname{Spec} A\) ne dépend que de la structure d'anneau de \(A\), i.e. de \(\mathbb{Z}\)-algèbre…

Spectre d'une \(k\)-algèbre : faisceau d'anneaux

On ne peut reconstituer \(A\) à partir du seul espace topologique \(X = \operatorname{Spec} A\) !

Faisceaux sur \(X\) : \(\forall f \in A\), ensemble \(P(f)\)

\(\forall f, g \in A\) tels que \(X_f \subset X_g\), une restriction \(P(g) \to P(f)\) \[\begin{aligned} &\text{i.e. } V(f) \supset V(g) \\ &\text{i.e. } \widetilde{fA} \subset \widetilde{gA} \\ &\text{i.e. } f \in \widetilde{gA} \\ &\text{i.e. } \begin{cases} \exists n \in \mathbb{N}, \\ h \in A \end{cases} f^n = gh \qquad \Big| \text{ écrivons } f \prec g \end{aligned}\] avec transitivité si \(f, g, h\) tels que \(f \prec g \prec h\) et identification si \(f = g\)

Avec \(\forall f \in A\) et \((f_i)_{i \in I}\), \(f_i \in I\) tels que \[\begin{aligned} &X_f = \bigcup X_{f_i} \\ &\text{i.e. } V(f) = \bigcap V(f_i) \\ &\text{i.e. } \widetilde{fA} = \widetilde{\textstyle\sum f_i A} \\ &\text{i.e. } \begin{cases} \forall i \ f_i \prec f \\ \exists n \in \mathbb{N} \text{ et } (h_i)_{i \in I} \text{ avec } f^n = \sum f_i h_i \end{cases} \end{aligned}\] on veut exactitude dans \[P(f) \longrightarrow \prod_i P(f_i) \rightrightarrows \prod_{ij} P(f_i f_j)\] \(\operatorname{Spec}(A_f) \simeq X_f\) (homéomorphisme) — 10') Fonctorialité de […] \(\operatorname{Spec} A\) tr. d'anneaux — 11) « \(f_i \in I\) » est sur la page, pour \(i \in I\). Ce que porte la marge gauche : en haut, « \(\operatorname{Spec}(A_f) \simeq X_f\) (homéomorphisme) », fermé à droite par un crochet à l'encre noire dont la pointe entre dans le texte à hauteur de la fin du Corollaire (« \(X\) est sobre ») ; une flèche fine part de ce bloc, descend le long du bord de la feuille et aboutit au bas de la rubrique « 10') Fonctorialité … », que des traits cernent, « 11) » cerclé à côté. Aucun trait ne quitte la feuille. Que cet énoncé soit celui de la ligne b) de la page 21 (« \(\operatorname{Spec}(A_f) \simeq X_f\) ») est une inférence de l'éditeur, tirée du contenu, et non un renvoi de la page

31[NB On peut supposer \(I\) fini si on y tient]

Soit \(M\) un \(A\)-module. On définit, pour \(f \in A\) \[M_f = \varinjlim_n (M, n) \qquad \text{où} \qquad (M, n) \xrightarrow{\ f^{n'-n}\ } (M, n') \quad \text{si } n' \geqslant n, \qquad (M,n) = M\] Donc les éléments de \(M_f\) sont les \(m/f^n\), avec règles de calcul habituelles. C'est la solution au pb universel d'envoyer \(M\) dans un \(A\)-module où \(f\) opère de façon inversible. \[M \xrightarrow{\ i_f\ } M_f\]

Lemme Si \(f \prec g\), \(\exists\) un unique hom. de \(M_g\) dans \(M_f\) compatible avec \(i_g\), \(i_f\)

\begin{tikzcd}
& M \arrow[dl, "i_g"'] \arrow[d, "i_f"] \\
M_g \arrow[r, "i_{f,g}"'] & M_f
\end{tikzcd}

En effet, \(f\) devenant inversible dans \(M_f\) et \(f^n = gh\) aussi, \(g\) devient inversible dans \(M_f\), et ceci est l'assertion.

Cor Transitivité : on a un préfaisceau \(\widetilde{M}\) sur la base des […], catégorie rigide […] \(A^\circ\). En fait, c'est un préfaisceau de modules sur le préfaisceau d'anneaux \(f \mapsto A_f\).

NB \(A_f\) une \(A\)-algèbre, \(A_f \to A_g\) hom. d'algèbres, \(M_f\) un \(A_f\)-module [\(A_f\) […] ; \(M_f \simeq M \otimes_A A_f\)] ; si \(g \prec f\), \(M_g = (M_f)_g\) […] des transitivités

[…] Le préfaisceau précédent est un faisceau. \[M_f \longrightarrow \prod M_{f_i} \rightrightarrows \prod M_{f_i f_j} \qquad \text{exact si } f_i \prec f \text{ et } f^n = \sum f_i h_i\] On est ramené au cas où \(f = 1\) […] \(M_f\) (car \(f \succ g\) implique \((M_f)_g \simeq M_g\))

…

En particulier, \(X\) est annelé par \(\widetilde{A}\), noté \(\underline{\mathcal{O}}_X\), faisceau […] d'anneaux (et même de \(A\)-algèbres).

Fibres du faisceau \(M_{\mathfrak{p}}\), \(A_{\mathfrak{p}} =\) [\(S \subset A\) stable par multiplication donc filtrant pour […] \(\succ\), donc \(MS^{-1} = \varinjlim_{f \in S} M_f = \{ \frac{x}{f^n} \ldots\) règles de calcul…] \[A_{\mathfrak{p}} = \underline{\mathcal{O}}_{X,x} \quad \text{anneau local}\]