Fonds Grothendieck, cote n° 161-4, pages 21–31

Topologie des spectres

Remarque : espace noethérien = ~~tout~~ espace quasicompact tel que a) tout sous-espace fermé ait un nb fini de comp. irréductibles b) toute suite décroissante de sous-espaces fermés est stationnaire.

Composantes connexes d'un espace top. n'ayant qu'un nb fini de composantes irréductibles (p.ex. noeth.) — plus gén. où l'ens. des comp. irréd. est loc. fini.

~~Topologie A_f X_f. L'espace topologique \operatorname{Spec} A pour A noethérien.~~

base de topologie formée des X_f ~~/ homéomorphismes X_f \simeq \operatorname{Spec} A_f~~

L'espace topologique \operatorname{Spec} A pour A noethérien

Cf. u : A \to B, Y = \operatorname{Spec} A \xleftarrow{\ \varphi\ } X = \operatorname{Spec} B \begin{cases} \varphi(x_{\mathfrak{p}}) = y_{\varphi^{-1}(\mathfrak{p})} \\ \varphi^{-1}(V(J)) = V(u(J)B) \\ \varphi^{-1}(Y_f) = X_{u(f)} \end{cases} dans la dernière ligne l'indice est surchargé : \varphi(f) corrigé, semble-t-il, en u(f) ; même surcharge sous le V(J) de la deuxième ligne

Ex a) u : A \to B surjectif, \varphi imm. fermée.

b) u : A \to A_f \varphi immersion ouverte \operatorname{Spec}(A_f) \simeq X_f

dans les deux cas, les ext. résiduelles sont triviales, cas A \to B un épim. d'anneaux [i.e. \mathfrak{X} \to \mathfrak{Y} un monomorphisme d'esp. alg. affines]

c) \operatorname{Spec} \prod_{I} A_i \simeq \coprod_i \operatorname{Spec}(A_i), X \simeq \dot{\coprod_i} X_i

d) Attention, le foncteur \mathfrak{X} \to \operatorname{Spec} \mathfrak{X} ne commute pas aux produits ou produits fibrés [vrai sur un corps alg. clos] \lvert \operatorname{Spec} \mathfrak{X} \times_S \mathfrak{Y} \rvert \longrightarrow \lvert \operatorname{Spec}(\mathfrak{X}) \rvert \times_{\lvert \operatorname{Spec} S \rvert} \lvert \operatorname{Spec} \mathfrak{Y} \rvert est une surjection, mais non pas injection : la fibre de x, y est le spectre : x \times_S y \simeq \operatorname{Spec} k(x) \otimes_{k(s)} k(y) [qui est \neq \emptyset].

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \mathfrak{X} \times_S \mathfrak{Y} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ x \in \mathfrak{X} \arrow[dr, no head] & & \mathfrak{Y} \ni y \arrow[dl, no head] \\ & S \ni s & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & K' \text{ corps} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\ k(x) \arrow[dr, no head] & & k(y) \arrow[dl, no head] \\ & k(s) & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & Z = V_{K'} \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\ V_{k(x)} \to V_A & & V_B \leftarrow V_{k(y)} \\ x \to X \arrow[dr] & & Y \leftarrow y \arrow[dl, no head] \\ & S = V_k & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & C \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\ A \arrow[dr, no head] & & B \arrow[dl, no head] \\ & k & \end{tikzcd}

donne exemple du produit \mathbb{E}^1 \times \mathbb{E}^1 les quatre croquis sont redessinés : à gauche, le produit Z = V_{K'} de deux points x, y au-dessus de S = V_k ; au centre les algèbres correspondantes ; à droite le produit fibré et le corps composé K' de k(x) et k(y) sur k(s) ; les traits sans flèche sont ceux de la page

~~Mais~~ (Sur un corps alg. clos, [pour esp. alg. définis de t.f.] le Spec Maximal commute aux produits finis [formation des pts ensembliste], mais sa top. n'est pas la topologie produit.

Prerequisites for the courses I and II

I) Introduction to A.G. : Category theory, basic algebra including some commutative algebra. Bourbaki is a good reference. Most facts we are using will be recalled.

II) Introduction to algebraic groups. Familiarity with the basic notions of A.G. will be assumed.

A.G. is a messy subject, even more foundations, we cannot give anything like a detailed exposition of all of it in our summer course. We will have to give rather a survey of some key points, being rather sketchy for proofs — most of which are straightforward. We can fill in whatever is required. Homework will be necessary for those who do not have already a fair background.

Question is how to relate the two courses. The content of I are prerequisites for II!

(1) k P_I = k[(T_i)_{i \in I}] \qquad\qquad I, J \text{ finis ou infinis} k^I \simeq \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(P_I, k) \qquad \struck{\text{l'esp. affine sur } k \text{ de dim } I \ \ill{}} f \in P_I, \quad x = (x_i)_{i \in I} \in k^I \qquad f(x) = \varepsilon_x(f) (1) \qquad F_j(t) = 0 \quad j \in J \qquad\qquad V((F_j)) la première ligne s'écrit à la page P[(T_i)_{i \in I}], sans doute pour k[\ldots]

(2) (a) pt de vue arithmétique : très différent suivant la nature de k : …, \mathbb{R}, \mathbb{C}

(3) (b) pt de vue géométrique, issu de la géométrie sur \mathbb{R} et sur \mathbb{C} : on considère les solutions de (1) ~~dans~~ toute ~~extension~~ k-algèbre k' ; et comment elles varient ; et les propriétés de (1) qui sont stables par de tels changements… \mathbb{E}^I_k : k' \longmapsto k'^I \qquad \mathbb{E}^I_k(k') = k'^I V_S(k') \subset \mathbb{E}^I_k(k') \qquad\qquad V_S \subset \mathbb{E}^I_k \begin{cases} \text{étude indépendante du plongement} \\ \text{étude du plongement} \end{cases}

Sous-espace ~~algébrique~~ fermé de \mathbb{E}^I_k = espace alg. affine

(4) V_S = V_J J idéal engendré, c'est le syst. d'équations le plus naturel.

référence au « th. de la base » de Hilbert (k corps ou gén., noeth.) \Longrightarrow k[T_1 \ldots T_n] noeth. A_J = P_I / J \begin{array}{ccc} k'^I & \simeq & \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(P_I, k') \\ \cup & & \cup \\ V_J(k') & \simeq & \{ u : P_I \to k' \mid u(J) = 0 \ \struck{\ill{}} \ (\text{i.e. s'annule sur les } F_j) \} \\ & & \wr\! \mid \\ & & \operatorname{Hom}_k(A_J, k') \end{array}

Les foncteurs de \mathcal{C} forme V_S ( S convenable) sont, à isom. près, les foncteurs représentables V_A — donner un isom. entre V_A et un V_S revient au même que de se donner un isom A \simeq P_I / J (J idéal engendré par S) ~~; on donne un plongement V_S fermé de \mathbb{E}_k ?~~ [Plus précisément, plongement V_A \hookrightarrow \mathbb{E}^I correspond à un épimorphisme d'anneaux P_I \to A (mais un tel épimorphisme n'est pas en général surjectif…] identifiés aux hom. surjectifs P_I \to A, on revient aux systèmes de générateurs (a_i)_{i \in I} de A comme une algèbre sur k. utilisant la notion de foncteurs représentables — Rmq le passage entre V_S et le crochet est surchargé : une ligne biffée, puis la phrase « se donner un plongement » récrite au-dessus ; seul ce qui survit est lu

(5) Cor La cat. des espaces alg. affines sur k est antiéquivalente à celle des algèbres sur Asic : on attend « sur k ». Ceux qui se plongent comme sous-espaces alg. fermés dans quelque \mathbb{E}^n_k (n entier \geqslant 0 fini) ~~sont ceux~~ correspondant aux A ~~qui sont des k-alg. de type fini~~ de type fini.

Les sous-espaces algébriques de \mathbb{E}^I_k correspondent aux idéaux de P_I. [J connu quand on connaît V_J…] V_J \subset V_{J'} \Longleftrightarrow J' \subset J \qquad \Longleftarrow \quad \Bigl\{ J = \{ f \in P_I \mid f(x) = 0 \ \forall\, k'/k \text{ et } x \in V_J(k') \} \Bigr.

(6) Ce qui se passe si on se restreint au cas où k' est un corps [on est tenté de le faire du moins si k est un corps]. Soit V'_S = V_S \mid corps sur k V'_{S} = V'_{J} = V'_{\widetilde{J}} les trois indices portaient d'abord un « corps » biffé : V_{\text{corps}, S} = V_{\text{corps}, J} = V_{\text{corps}, \widetilde{J}}, récrit avec l'accent Donc J \mapsto V'_J n'est plus injective. Mais sa restriction à l'ens des idéaux J tels que J = \widetilde{J} l'est, car \widetilde{J} = \{ f \in P_I \mid f(x) = 0 \ \forall x \in V_J(k'),\ k'/k \text{ un corps} \} [Cela ~~signifie~~ équivaut à l'énoncé suivant d'AC

Prop (\forall J \subset P_I idéal) \widetilde{J} est l'intersection des noyaux des hom. de P_I / J dans des corps

\Updownarrow

\forall anneau A, l'intersection des hom. de A dans des corps [i.e. l'intersection des idéaux premiers] est l'ens. des éléments nilpotents.] Donc \widetilde{J} \subset \widetilde{J}' \Longleftrightarrow V(J') \subset V(J) Mêmes conclusions (si on se borne [pour I fini] : the sous-catégorie \mathcal{C} de la catégorie des k-algèbres réduites pourvu que finis que k soit assez grand , l'analogue de la propr. précédente reste valable

(6') (p. ex. \mathcal{C} contient les extensions de corps,] ou si I est fini, s'il contient les ext. finies des corps résiduels de k, — p. ex. on aura : k si k est un corps alg. clos…) Nullstellensatz Dans une alg. de t.f. sur un corps k, tt idéal premier (radical) est intersection d'idéaux maximaux algébriques …

(7) Importance des

(8) A \simeq \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(k[T], A) \simeq \operatorname{Hom}(V_A, \mathbb{E}^1_k) / \qquad A \text{ l'\emph{anneau des fonctions sur l'espace algébrique affine}} \ X. [Si A = P_I / J, f \in A se relève en g \in P_I, alors \longleftrightarrow V_A(k') \xrightarrow{\ f_{k'}\ } k' \quad \text{est induit par} \quad \mathbb{E}^I(k') = k'^I \xrightarrow{\ g_{k'}\ } \quad \text{défini par } g ] La structure d'anneau de A provient de la structure d'anneau sur le foncteur \mathbb{E}^1_k. abond. de A — définir f \in A : f(x) pour x \in V_A(k') ; (f+g)(x) = f(x) + g(x), (fg)(x) = f(x) g(x) la marge gauche, écrite en biais et surchargée, n'est lue qu'en partie

feuillet au crayon, d'une autre main de travail que les pages qui l'entourent (topos, et non espaces algébriques affines) ; il est barré de longs traits diagonaux croisés, et n'est lu que par fragments ; les flèches sont redessinées

\begin{tikzcd}[column sep=large] X/F \arrow[d, "\wr" description, no head] & X'/F' \arrow[d, no head] \\ \underline{\operatorname{Hom}}_X(F, \mathbb{L}_X) \arrow[r] & X' \\ X \arrow[u, hook] \arrow[ur] & \end{tikzcd}

\underline{\operatorname{Hom}} F \mathfrak{X} / \underline{\operatorname{Hom}}(F, \mathbb{L}) X/F

E un ordinal \{0 < 1\}

E sommes des E_{X'} \struck{\textstyle\prod} \ \operatorname{Hom}(X', I_{X'})^E \qquad\qquad \operatorname{Hom}(X', I_{X'}^E) (P \amalg P)^E \qquad \struck{\ill{}} Topos associé à l'espace compact I^E la lettre notée \mathbb{L}_X est un \mathbb{L} ou un \mathcal{L} cursif, non tranché

~~Sous-espace algébrique fermé d'un = espace algébrique affine.~~

(9) \varprojlim dans la catégorie \mathrm{Aff}_k des espaces algébriques affines sur k.

Correspond aux \varinjlim dans la catégorie \mathrm{Alg}_k des k-algèbres.

Bien adapté : l'interprétation de C comme sous-catégorie pleine de \widehat{C}.

* Produits de schémas \Longleftrightarrow « sommes » de k-algèbres A_i (i \in I) A = \bigotimes_{i \in I} A_i Cas particulier : ~~Objet final~~ e_k = V_k. Sections sur k (ou V_k, ou e_k) = pts à valeurs dans k

* Produit fibré \Longleftrightarrow Produit tensoriel B \otimes_A C

[produit dans C_{/S}] (« somme » dans \mathrm{Alg}_A)

\Updownarrow Changement de base C_{/S} \to C_{/S'}, adjoint à droite du foncteur « oubli de S' au profit de S »

\begin{tikzcd} X \arrow[d] & X' \arrow[l] \arrow[d] & T \arrow[dl] \arrow[ll, bend right=30] \\ S & S' \arrow[l] & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} B \arrow[r] & B' \arrow[r, dashed] & C' \\ A \arrow[u] \arrow[r] & A' \arrow[u] \arrow[ur] & \end{tikzcd}

le T est surchargé, peut-être biffé ; sa flèche courbe vers X et la flèche pointillée B' \dashrightarrow C' sont celles de la page

Interprétation en termes de foncteurs : « restriction » du foncteur des k-algèbres à k'-algèbres (ou des A-algèbres à A'-algèbres)

Cela donne toutes les \varprojlim. Autres exemples :

* Noyaux de doubles flèches X \underset{v}{\overset{u}{\rightrightarrows}} Y \operatorname{Ker}(u, v) \simeq X \times_{(Y \times Y)} \Delta_Y

\begin{tikzcd} X \arrow[r, "{(u, v)}"] & Y \times Y \\ K \arrow[u] \arrow[r] & Y \arrow[u, "\Delta_Y"'] \end{tikzcd}

Conoyaux de doubles flèches B \underset{v}{\overset{u}{\leftleftarrows}} A \simeq B / \text{idéal engendré par les } u(x) - v(x) [

\begin{tikzcd} B \arrow[d] & A \otimes A \arrow[l, "{(u, v)}"'] \arrow[d] \\ C = ? & A \arrow[l] \end{tikzcd}

x \otimes y \mapsto xy : morphisme surjectif ayant noyau engendré par x \otimes 1 - 1 \otimes x

* limites projectives filtrantes : correspond aux limites inductives filtrantes dans \mathrm{Alg}_k, qui se construisent ensemblistement.

Exemple Noyau d'un hom. de groupes algébriques affines sur k G \longrightarrow G' Ex \mathrm{Sl}(n)_k = \operatorname{Ker}\bigl(\mathrm{Gl}(n)_k \xrightarrow{\ \det\ } \mathbb{G}_{m,k}\bigr).

G opère sur X, stabilisateur d'un x \in X(k) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{Aff}_k}(e_k, X) g \longmapsto g.x

\begin{tikzcd} G \arrow[r] & X \\ G_{(x)} \arrow[u] \arrow[r] & e_k \arrow[u] \end{tikzcd}

le coin inférieur gauche porte d'abord une autre lettre, noircie, puis G_{(x)} récrit dessous

Si on veut le sous-groupe de stabilité de plusieurs éléments x_i \in X_i(k), G opérant sur les X_i, on prend \bigcap_i G_{x_i} (cas particulier de produit fibré) où on fait opérer G sur X = \prod X_i, et on prend le stabilisateur de x = (x_i)_{i \in I} \in X(k).

(10) \varinjlim dans \mathrm{Aff}_k : Ne s'interprète pas de façon commode en termes de \widehat{\mathrm{Aff}_k} \simeq \underline{\operatorname{Hom}}(\mathrm{Alg}_k, (\mathrm{Ens})), et n'a pas beaucoup de sens géométrique, sauf en des cas très particuliers.

[Exemple G = \mathrm{Gl}(n)_k, B = \mathrm{Tr}(n)_k \subset G, alors B définit une relation d'équivalence dans G, et le quotient G/B dans \mathrm{Aff}_k est e_k — ce qui est idiot !] définir la relation d'équivalence définie par un sous-groupe d'un groupe

Correspond : \varprojlim dans \mathrm{Alg}_k. Ce sont les \varprojlim ensemblistes (nous fait une belle jambe !)

* Sommes dans \mathrm{Aff}_k. Correspond aux produits dans \mathrm{Alg}_k. Seules les sommes finies (\Longleftrightarrow produits finis) ont une interprétation géométrique simple. X_i \longrightarrow X \qquad (i \in I) Attention, \coprod_i X_i(k') \to X(k') n'est pas bijective pour \forall\, k', i.e. \coprod_i \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(A_i, k') \longrightarrow \operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}\Bigl(A = \prod A_i,\ k'\Bigr) est seulement injective si k' \neq 0 , non pas bijective. (Un hom. de A dans k' « consiste » en la donnée d'une famille d'idempotents e_i de k' (i \in I), de somme 1 et deux à deux orthogonaux, et d'hom. A_i \to k' / (1 - e_i) k' … Mais

k' est « connexe » i.e. si on les seules décomposition de 1 \in k', (on a I \neq \emptyset et) sont les triviales, l'une étant 1, (p. ex. k' intègre, ou k'/\mathrm{Nil}_{k'} intègre, ou si k' anneau local…) alors les applications envisagées sont bijectives. équivalent à la notion de connexité dans une catégorie… — Exemple : k' intègre

Si I = \emptyset, on trouve un objet initial dans \mathrm{Aff}_k \emptyset_k = V_0 \quad (\text{algèbre nulle sur } k) \emptyset_k(k') = \begin{cases} \emptyset & \text{si } k' \neq 0 \quad \text{i.e. } V_{k'} \not\simeq \emptyset_k \\ \{e\} & \text{si } k' = 0 \end{cases} \qquad\qquad \emptyset_k(k') = \operatorname{Hom}(V_{k'}, \emptyset_k) On. « I \neq \emptyset » est ajouté au-dessus de la ligne, avec un renvoi ; « \emptyset_k(k') = \operatorname{Hom}(V_{k'}, \emptyset_k) » est écrit sous la formule, relié par un signe = vertical

Donc c'est un objet initial strict. On l'appelle le k-espace algébrique vide (~~objet~~ objets de catégorie…,

(*) Conoyaux \operatorname{Coker}(u, v : R \rightrightarrows X)

correspond à \operatorname{Ker}(u, v : A \rightrightarrows B)

mais n'a pas beaucoup de sens. O.K. si R est une « relation d'équivalence » dans X et si R fini sur X par u, i.e. B une A-algèbre finie. On reviendra dessus avec la question des passages au quotient.

Sous-espaces algébriques fermés d'un espace algébrique affine \mathfrak{X} \simeq V_A : ils correspondent aux idéaux de A, avec relation d'ordre renversée.

(11) Spectre d'une k-algèbre A : espace sous-jacent. A \longleftrightarrow \mathfrak{X} = V_A On va associer un objet géométrique

(a) Ensemble sous-jacent : ensemble des « lieux » (loci) « de » pts géométriques de \mathfrak{X} \Longleftrightarrow ensemble \operatorname{Spec}(A) des idéaux premiers de A le chiffre cerclé est surchargé (« 1 » suivi d'un second chiffre repassé) ; « \operatorname{Spec}(A) » est ajouté au-dessus de la dernière ligne

La connaissance de l'ensemble X et de la famille des corps (k(x))_{x \in X} (corps résiduels des pts de \operatorname{Spec} A ou \operatorname{Spec}(\mathfrak{X}) — k(x) représente le foncteur k' (corps variable sur k) \longmapsto ens. des ~~points~~ éléments de \mathfrak{X}(k') associés pour le lieu k(x)).

(b) Topologie sur X (les fermés sont les) V(S) \subset X associés aux parties S = (f_\alpha) de A, un point géom. à valeurs dans k' est dans V(S) si f_\alpha(u) = 0 pour tout \alpha. On a ~~V(S) = V(J_S) si~~ V(S) = \text{ensemble des idéaux premiers de } A \text{ qui contiennent } S. On a V(S) = V(J_S), J_S idéal engendré, et même V(S) = V(\widetilde{J}_S). ~~Donc~~ Il est bon de se borner aux idéaux, et même aux idéaux « radicaux ». ~~L'ensemble des~~ On voit que V(S) = V(S') (resp. V(S) \subset V(S')) signifie, vu des notations précédentes, que V'_S = V'_{S'} (restrictions aux corps) ~~ou encore que~~ (resp. V'_S \subset V'_{S'}), donc \widetilde{J}_S = \widetilde{J}_{S'} (resp. \widetilde{J}_S \supset \widetilde{J}_{S'}) : car prouvons en fait que \widetilde{J}_S est l'intersection des idéaux premiers qui contiennent Asic : on attend « qui contiennent S ». \struck{V(\textstyle\sum J)} \quad V\Bigl(\bigcup_{i \in I} S_i\Bigr) = V\Bigl(\sum J_i\Bigr) = \bigcap_i V(S_i) = \bigcap_i V(J_i) \qquad I \text{ quelc.} (NB une ~~intersection~~ somme de deux idéaux radicaux n'est pas nécessairement un idéal radical) V\Bigl(\bigcap_i J_i\Bigr) = V\Bigl(\prod J_i\Bigr) = \bigcup_i V(J_i) \qquad I \text{ fini} [NB \prod_i J_i \subset \bigcap_i J_i, il faut prouver que tt idéal premier qui contient ~~l'intersection~~ (resp. produit) des J_i contient un des J_i, on raisonne par l'absurde (i.e. si \exists f_i \in J_i \setminus \mathfrak{p}), ~~on en forme A/\mathfrak{p} qui n'a pas de diviseurs de zéro~~ \prod f_i \in \prod J_i et \notin \mathfrak{p}, absurde] ~~l'un d'eux est nul~~

Donc on a une topologie. Si x \in X correspond à \mathfrak{p}_x \subset A, alors \overline{\{x\}} est le plus petit fermé V(J) qui contient x, i.e. tel que J \subset \mathfrak{p}_x, donc c'est V(\mathfrak{p}_x). x \in \overline{\{y\}} \Longleftrightarrow \overline{\{x\}} \subset \overline{\{y\}} \Longleftrightarrow \mathfrak{p}_x \supset \mathfrak{p}_y

Espace quasi-compact ()

[X_f = X - V(f) est ouvert (le lieu des u \in \mathfrak{X}(k) dans X_f est f(u) \neq 0), et les X_f forment une base de la topologie de X, stable par intersections finies (X_1 = X, X_{fg} = X_f \cap X_g). plus bas

[X quasi-compact \Longleftrightarrow si A = \sum_{i \in I} J_i, \exists J fini \subset I, A = \sum_{i \in J} J_i.

Si J est un idéal de A, \operatorname{Spec}(A/J) = Y \subset X est un sous-espace topologique fermé de X. ~~On trouve~~ Y ne change pas si on remplace J par \widetilde{J}, donc tout sous-espace fermé de X est toujours homéo. au spectre d'un anneau réduit.

Prop Si A est réduit, X = \operatorname{Spec} A irréductible \Longleftrightarrow A intègre.

En effet, \operatorname{Spec} A irréductible \overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} \begin{cases} X \neq \emptyset \\ X = X' \cup X'' \Rightarrow X' = X \text{ ou } X'' = X \quad (X', X'' \text{ fermés}) \end{cases} \text{i.e.} \quad \begin{cases} A \neq 0 \\ \text{i.e. } J' . J'' = 0 \Rightarrow J' \text{ ou } J'' \text{ nul} \end{cases}

Corollaire Soit A quelconque, ~~A a une correspondance biunivoque~~ les parties fermées irréductibles de A sont les V(\mathfrak{p}), \mathfrak{p} idéal premier de A (correspondance biunivoque renversant l'ordre) et si x correspond à \mathfrak{p}, alors V(\mathfrak{p}) est égal à \overline{\{x\}}. En particulier, X est sobre.

NB L'espace topologique \operatorname{Spec} A ne dépend que de la structure d'anneau de A, i.e. de \mathbb{Z}-algèbre…

Spectre d'une k-algèbre : faisceau d'anneaux

On ne peut reconstituer A à partir du seul espace topologique X = \operatorname{Spec} A !

Faisceaux sur X : \forall f \in A, ensemble P(f)

\forall f, g \in A tels que X_f \subset X_g, une restriction P(g) \to P(f) \begin{aligned} &\text{i.e. } V(f) \supset V(g) \\ &\text{i.e. } \widetilde{fA} \subset \widetilde{gA} \\ &\text{i.e. } f \in \widetilde{gA} \\ &\text{i.e. } \begin{cases} \exists n \in \mathbb{N}, \\ h \in A \end{cases} f^n = gh \qquad \Big| \text{ écrivons } f \prec g \end{aligned} avec transitivité si f, g, h tels que f \prec g \prec h et identification si f = g

Avec \forall f \in A et (f_i)_{i \in I}, f_i \in I tels que \begin{aligned} &X_f = \bigcup X_{f_i} \\ &\text{i.e. } V(f) = \bigcap V(f_i) \\ &\text{i.e. } \widetilde{fA} = \widetilde{\textstyle\sum f_i A} \\ &\text{i.e. } \begin{cases} \forall i \ f_i \prec f \\ \exists n \in \mathbb{N} \text{ et } (h_i)_{i \in I} \text{ avec } f^n = \sum f_i h_i \end{cases} \end{aligned} on veut exactitude dans P(f) \longrightarrow \prod_i P(f_i) \rightrightarrows \prod_{ij} P(f_i f_j) \operatorname{Spec}(A_f) \simeq X_f (homéomorphisme) — 10') Fonctorialité de \operatorname{Spec} A tr. d'anneaux — 11) « f_i \in I » est sur la page, pour i \in I. Ce que porte la marge gauche : en haut, « \operatorname{Spec}(A_f) \simeq X_f (homéomorphisme) », fermé à droite par un crochet à l'encre noire dont la pointe entre dans le texte à hauteur de la fin du Corollaire (« X est sobre ») ; une flèche fine part de ce bloc, descend le long du bord de la feuille et aboutit au bas de la rubrique « 10') Fonctorialité … », que des traits cernent, « 11) » cerclé à côté. Aucun trait ne quitte la feuille. Que cet énoncé soit celui de la ligne b) de la page 21 (« \operatorname{Spec}(A_f) \simeq X_f ») est une inférence de l'éditeur, tirée du contenu, et non un renvoi de la page

[NB On peut supposer I fini si on y tient]

Soit M un A-module. On définit, pour f \in A M_f = \varinjlim_n (M, n) \qquad \text{où} \qquad (M, n) \xrightarrow{\ f^{n'-n}\ } (M, n') \quad \text{si } n' \geqslant n, \qquad (M,n) = M Donc les éléments de M_f sont les m/f^n, avec règles de calcul habituelles. C'est la solution au pb universel d'envoyer M dans un A-module où f opère de façon inversible. M \xrightarrow{\ i_f\ } M_f

Lemme Si f \prec g, \exists un unique hom. de M_g dans M_f compatible avec i_g, i_f

\begin{tikzcd} & M \arrow[dl, "i_g"'] \arrow[d, "i_f"] \\ M_g \arrow[r, "i_{f,g}"'] & M_f \end{tikzcd}

En effet, f devenant inversible dans M_f et f^n = gh aussi, g devient inversible dans M_f, et ceci est l'assertion.

Cor Transitivité : on a un préfaisceau \widetilde{M} sur la base des , catégorie ~~rigide~~ A^\circ. En fait, c'est un préfaisceau de modules sur le préfaisceau d'anneaux f \mapsto A_f.

NB A_f une A-algèbre, A_f \to A_g hom. d'algèbres, M_f un A_f-module [A_f ; M_f \simeq M \otimes_A A_f] ; si g \prec f, M_g = (M_f)_g des transitivités

Le préfaisceau précédent est un faisceau. M_f \longrightarrow \prod M_{f_i} \rightrightarrows \prod M_{f_i f_j} \qquad \text{exact si } f_i \prec f \text{ et } f^n = \sum f_i h_i On est ramené au cas où f = 1 ~~M_f~~ (car f \succ g implique (M_f)_g \simeq M_g)

…

En particulier, X est annelé par \widetilde{A}, noté \underline{\mathcal{O}}_X, faisceau d'anneaux (et même de A-algèbres).

Fibres du faisceau M_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}} = [S \subset A stable par multiplication donc filtrant pour \succ, donc MS^{-1} = \varinjlim_{f \in S} M_f = \{ \frac{x}{f^n} \ldots règles de calcul…] A_{\mathfrak{p}} = \underline{\mathcal{O}}_{X,x} \quad \text{anneau local}