Cote n° 161-3, pages 21–40

Cote n° 161-3 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Topos : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1963-1973]
Édition de démonstration

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21et soit \(F \xrightarrow{f} G\) dans \(\widehat{C}\), bicouvrant, prouvons que \(\widehat{u}_{0}(F) \xrightarrow{\widehat{u}_{0}(f)} \widehat{u}_{0}(G)\) est bicouvrant un isom. On a … la page s'arrête là ; la ligne suivante est entièrement raturée. C'est la fin de la question laissée ouverte au bas de la p. 20

Espaces essentiels et ensembles ordonnés

23\(X\) un ensemble

a)
\(\mathcal{T}(X)\) l'ens. des topologies sur \(X\), \(\underline{\omega}(X)\) l'ens. des préordres sur \(X\) \[\alpha_{X} : \mathcal{T}(X) \longrightarrow \underline{\omega}(X), \qquad \beta_{X} : \mathcal{T}(X) \longleftarrow \underline{\omega}(X)\] \(\alpha\) et \(\beta\) fonctoriels en l'ensemble \(X\) (pour images inverses de top. resp. de relations d'ordre)

\(\bullet\) à \(T \in \mathcal{T}(X)\) on associe (déf.) la relation \(\alpha_{X}(T)\) : \[y \underset{T}{\leq} x \iff x \in \overline{\{y\}}\]

\(\bullet\) à la relation \(\omega\) \((\leq)\) est associé \(T\) : \[\struck{\mathrm{Fer}}\ \mathrm{Ouv}(T) = \{\, U \subset X \mid (x \in U,\ x \leq y) \Rightarrow y \in U \,\}\] \(=\) réunions quelconques d'ensembles de la forme \(O_{x} = [x,\rightarrow[\ = \{ y \in X \mid y \underset{\omega}{\geq} x\}\) \[\mathrm{Fer}(T) = \{\, Z \subset X \mid (x \in Z,\ y \leq x) \Rightarrow y \in Z \,\}\]
b)
Soit \(f : X \to X'\) une application, \(X\) muni de \((T,\omega)\), \(X'\) de […]

si \(X, X'\) sont des espaces top. et si \(f\) est continue, \(f\) est croissante

si \(X, X'\) sont préordonnés et si \(f\) est croissante, \(f\) est continue
c)
[…] D'où foncteurs
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```
\begin{tikzcd}
(\mathrm{Esp}) \arrow[r, bend right=20, "\alpha"'] & (\text{Préord})
\arrow[l, bend right=20, "\beta"']
\end{tikzcd}
```
sur la page les deux flèches sont superposées, \(\beta\) au-dessus allant vers \((\mathrm{Esp})\) et \(\alpha\) au-dessous allant vers \((\text{Préord})\)
c)
[…] Soit \(T \in \mathcal{T}(X)\), montrer que tout ouvert de \(X\) est stable par générisation (resp. tout fermé de \(X\) stable par spécialisation), i.e. ouvert pour \(\alpha_{X}(T)\), i.e. \[T \leq \beta_{X}\alpha_{X}(T)\] i.e. une application continue \[\beta\alpha(X) \longrightarrow X\] dont l'application sous-jacente est l'identité, d'où un homomorphisme fonctoriel \[\beta\alpha \xrightarrow{\ \rho\ } \mathrm{id}_{(\mathrm{Esp})}\] le second alinéa de la page porte lui aussi la lettre c), la première ayant été biffée puis récrite

Soit \(\omega \in \underline{\omega}(X)\), […] \(T = \beta_{X}(\omega)\), alors \(x \in \overline{\{y\}}\) ssi […] \(y\), i.e. ssi \(y \geq x\), le plus petit ouvert \(O_{x}\) contenant \(x\) contient \(y\), ce qui donne \[\alpha_{X}\beta_{X}(\omega) = \omega\] i.e. un isomorphisme \[X \xrightarrow[\ \sigma\ ]{\ \sim\ } \alpha\beta(X)\] tel que l'application ensembliste sous-jacente soit l'identité, d'où \[\mathrm{id}_{(\text{Préord})} \xrightarrow[\ \sigma\ ]{\ \sim\ } \alpha\beta\]
d)Montrer que \(\rho\) et \(\sigma\) sont des morphismes d'adjonction, […] établissant pour \(X \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Esp})\), \(I \in \mathrm{Ob}(\text{Préord})\)

24une bijection \[(*) \qquad \operatorname{Hom}_{\mathrm{Esp}}(\beta I, X) \simeq \operatorname{Hom}_{\text{Préord}}(I, \alpha X)\]

car le foncteur \((\mathrm{Esp}) \to (\text{Préord})\) commute aux \(\varprojlim\), le foncteur \(\beta\) aux \(\varinjlim\). Mais de plus \(\beta\) est exact à gauche : sur \(X \times Y\) la top. associée au préordre produit est le produit des topologies. (Mais \(\beta\) ne commute pas aux produits quelconques, i.e. un produit d'espaces topologiques essentiels […] essentiel. Contre-exemple […]) ce bloc est porté en diagonale dans la marge gauche, et la question qu'il laisse ouverte est reprise à la p. 28

En effet, une application \(I \xrightarrow{f} X\) est croissante ssi elle est continue (\(X\) étant muni de la relation d'ordre \(\alpha_{X}(T_{X})\), \(I\) de la topologie \(\beta_{I}\omega_{I}\)). En effet, si \(f\) est continue, on sait qu'elle est croissante pour les […] \(\alpha_{X}(T_{X})\) […] ; si \(f\) est croissante l'image inverse d'une partie de \(X\) […] \(\beta_{X}\alpha_{X}(T_{X})\) est ouverte dans \(I\), mais toute partie de \(X\) (si muni de \(\beta_{X}\alpha_{X}(T_{X})\)) […], donc a fortiori. le raisonnement est ici surchargé de repentirs ; seule la charpente est lisible

e)Corollaire. Le foncteur \[\beta : (\text{Préord}) \longrightarrow (\mathrm{Esp})\] est pleinement fidèle. Son image essentielle est formée des espaces \((X, T_{X})\) pour lesquels \(T_{X} \in \beta_{X}(\underline{\omega}(X))\) ; ce sont celles les espaces topologiques pour lesquels tout point \(x \in X\) a un plus petit voisinage ouvert \(O_{x}\). [C'est évidemment nécessaire ; il faut prouver que c'est suffisant, i.e. que \[O_{x} = \{ y \in X \mid y \underset{T}{\leq} x \}.\] Mais […] notons que \(x \in O_{y}\) […] (on cherche le plus petit voisinage ouvert de \(x\)) ; \(x \in \overline{\{y\}}\) signifie évidemment […] \(O_{x} \ni y\), ok.] NB Les topologies obtenues sont aussi celles pour lesquelles toute intersection d'ouverts est ouverte [NB ce n'est pas stable par […]]
f)Soit […] \(X, T\), alors \(X\) est sobre \((\overline{\{x\}} = \overline{\{y\}} \Rightarrow x = y)\) ssi le préordre \(\omega(T)\) est un ordre. […]
g)Soit \(X\) muni d'un préordre, puis la topologie associée. Désignons […] Soit \(X\) muni d'un préordre, \(\underline{X}\) la catégorie associée à \(X\) ordonné \(\bigl( \operatorname{Hom}(x,y) = \{\emptyset\) si \(x \not\leq y\) ; \(\{e\}\) si \(x \leq y\} \bigr)\), i.e. \(\operatorname{Hom}(x,y) \neq \emptyset\) ssi \(O_{y} \supseteq O_{x}\). Montrer que le foncteur \(F \mapsto (x \mapsto F(O_{x}))\) de \(\mathrm{Top}(X)\) dans \(\widehat{\underline{X}}\) est une équivalence de cat. \[\mathrm{Top}(X) \simeq \widehat{\underline{X}}\] On identifie les \(a \subset X\) à des sommes […] des \(e_{\underline{X}}^{\wedge}\), et les cribles de \(X\) (i.e. les ouverts de \(X\)) à des sous-objets de \(e_{\underline{X}}^{\wedge}\), i.e. […]

g)\(X\) muni d'une topologie \(T\) déduite d'un préordre \(\omega\) [dans laquelle les ouverts […] les voisinages, sont de la forme \(O_{x}\), \(x \in X\)]. \(X\) est irréductible ssi deux ouverts non vides ont une intersection non vide, i.e. pour \(x, y \in X\), \(O_{x} \cap O_{y} \neq \emptyset\), i.e. \(\forall x,y \in X\), \(\exists z \in X\) avec \(z \leq x\), \(z \leq y\), i.e. \(X\) est cofiltrant. En conclure que les fermés irréductibles de \(X\) sont les parties \(Y\) de \(X\) telles que

a)\(y \in Y\), \(y' \leq y \Rightarrow y' \in Y\) (\(Y\) fermé)
b)\(\forall x,y \in Y\), \(\exists z \in Y\), tel que \(z \leq x\), \(z \leq y\).

cette lettre g) est la seconde de la suite : la p. 24 en portait déjà une, celle qui introduit \(\underline{X}\) et à laquelle renvoie le h) ci-dessous

h)
\(X\) comme dans g), \(\underline{X}\) la catégorie associée à la relation de préordre, car \(\operatorname{Hom}_{\underline{X}}(x,y) \leq 1\), \(\operatorname{Hom}_{\underline{X}}(x,y) \neq \emptyset \Rightarrow x \leq y \iff y \in \overline{\{x\}}\).

Considérons le foncteur \(\mathrm{Top}(X) \to \widehat{\underline{X}}\), \(F \mapsto (x \mapsto F(O_{x}))\). Prouver que ce foncteur est une équivalence \[\mathrm{Top}(X) \simeq \widehat{\underline{X}}\] Dorénavant on identifie [si \(X\) précisant i.e. ordonné] \(X\) à un ensemble de sous-objets de l'objet final de \(\widehat{\underline{X}} = \mathrm{Top}(X)\) [cribles […] des topos], et de […] par la […] de \(X\), […] les sous-objets de \(e_{\underline{X}}\) […] aux ouverts des topos.

Interpréter \[\mathrm{Points}(\widehat{\underline{X}}) \simeq \mathrm{Pro}(\underline{X}) \qquad (\ill{}\ \mathrm{ind}),\] en identifiant les pro-objets de \(\underline{X}\) aux sous-ensembles ordonnés \(Y\) de \(X\) satisfaisant les conditions a) b) de g), et la structure de catégorie provenant de la relation d'ordre entre parties de \(X\) opposée à la relation d'inclusion. Soit \(\mathrm{Pro}(X)\) \(\widetilde{X}\) l'ensemble ordonné ainsi construit. L'application \[x \longmapsto \overline{\{x\}} = \{ y \in X \mid y \geq x \}\] est une application \(X \to \widetilde{X}\), qui s'identifie à l'application canonique de \(X\) dans l'espace sobre associé, ou à \(\underline{X} \to \mathrm{Pro}(\underline{X})\) (foncteur canonique).
i)Conditions équivalentes

\(\alpha\))\(X \to \widetilde{X}\) surjective
\(\beta\))Toute partie fermée cofiltrante de \(X\) a un plus petit élément.

\(\gamma\))\(T_{0}\) \(X\) est (pour sa relation d'ordre) artinien, i.e. toute famille suite décroissante d'éléments est stationnaire.
\(\delta\))\(\widetilde{X}\) est essentiel (i.e. chaque point de \(X\) est essentiel)

en fait, \(\operatorname{Im}(X \to \widetilde{X})\) est l'ens. des […] ess. de \(\widetilde{X}\) !

j)Soit \(E\) un topos. Conditions équivalentes

\(\alpha\))\(E\) n'est est équivalent à un \(\mathrm{Top}(X)\) et à un \(\widehat{C}\)
\(\beta\))\(E\) équiv. à \(\mathrm{Top}(X)\), \(X\) espace essentiel
\(\gamma\))\(E\) équiv. à \(\widehat{I}\), \(I\) ens. ordonné
\(\delta\))\(E\) engendré par les sous-objets de l'objet final, et a suffisamment de points essentiels

[On dit alors que \(E\) est un espace top. essentiel.]

Prouver que si \(C\) est une catégorie, \(\widehat{C}\) satisfait aux conditions précédentes ssi \(C\) est préordonnée.

Prouver que si \(X\) est un espace top., \(\mathrm{Top}(X)\) satisfait aux conditions précédentes ssi l'ens. des \(x \in X\) qui sont essentiels est très dense.

[…] On a des équivalences de \(2\)-catégories \[(\text{topos spatiaux essentiels}) \approx (\text{Préord}) \ \struck{\text{ensembles ordonn\'es}}\ \approx (\mathrm{Esp.\ ess.})\] [NB. Si \(X\) est essentiel on le […] à partir de \(E = \mathrm{Top}(X)\), comme […] \(\mathrm{Points}(E)\).]

28\(\gamma\) commute aux \(\inf\) finis ? \[\gamma(X \times Y) = \alpha(X) \wedge \beta(Y) = 1_{\sigma}\] \[\begin{align*} \gamma(W \cap W') &= \sup_{U \times V \subset W \cap W'} \alpha(U) \wedge \beta(V) = \sup_{\substack{U \times V \subset W \\ U' \times V' \subset W'}} \alpha(U \cap U') \wedge \beta(V \cap V') \\ &= \sup_{U \times V \subset W} \alpha(U)\beta(V) \wedge \sup_{U' \times V' \subset W'} \alpha(U')\beta(V') \\ &= \gamma(W) \wedge \gamma(W') \end{align*}\]

\(X \times Y\)

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
O_{X} \arrow[r, "{U \mapsto (U,V)}"] & O_{X} \times O_{Y}
\arrow[r, "{(U,V) \mapsto U \times V}"] & \underline{O}_{X \times Y} \\
O_{Y} \arrow[ur, "{V \mapsto (X,V)}"'] & &
\end{tikzcd}

\(\sigma\) […] et \(\sup\) quelconques, et \(\inf\) finis distributifs par rapport aux \(\sup\) quelc. \(\operatorname{Hom}'\) […] i.e. […] commutant aux \(\sup\) quelconques et \(\inf\) finis

\[u \longmapsto \alpha, \beta \qquad \operatorname{Hom}'(\underline{O}_{X \times Y}, \sigma) \longrightarrow \operatorname{Hom}'(O_{X}, \sigma) \times \operatorname{Hom}'(O_{Y}, \sigma)\] injectif (car \(u \in \operatorname{Hom}'(\underline{O}_{X \times Y}, \sigma)\) est connu dès que l'on connaît \(u(U \times V) = \alpha(U) \wedge \beta(V)\), \(\gamma\) étant […], puisque tout \(W \in \underline{O}_{X \times Y}\) est sup de tels \(U \times V\)).

Est-ce bijectif ? soit \(\alpha : O_{X} \to \sigma\), \(\beta : O_{Y} \to \sigma\), posons \[\gamma(W) = \sup_{\substack{U \in O_{X},\ V \in O_{Y} \\ U \times V \subset W}} \alpha(U) \wedge \beta(V)\] (c'est une application croissante \(\underline{O}_{X \times Y} \to \sigma\)). OBS \(X \neq \emptyset\), \(Y \neq \emptyset\)

\(\alpha(X' \times Y) = ?\) Notons que si \(Y \neq \emptyset\), alors \(U \times V \subset X' \times Y\) ssi \(U \subset X'\), donc le sup est égal \(\sup \alpha(U) \wedge \beta(V) = \alpha(X')\), où \(X' \in \mathrm{Ouv}(X)\).

la moitié supérieure droite de la feuille porte un calcul sans rapport avec ce qui précède — quaternions et formules de duplication trigonométriques, \(z = e^{i\theta}\), \(u = a + bi + cj\), \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\) — qui n'est pas transcrit ici

Lemme sur les modules localement libres et les algèbres d'Azumaya

30Lemme. \(E\) un topos annelé localement annelé (dans les deux cas)

\(C\) catégorie des couples \((\mathcal{E}, \mathcal{G})\) de modules loc. libres de t.f. partout \(\neq 0\)
\(C'\) — quadruples \((A, \mathcal{E}, \mathcal{F}, \varphi)\), avec \(A\) Algèbre sur \(E\) loc. isom. à une Alg. de matrices ; \(\mathcal{E}, \mathcal{F}\) Mod. loc. lib. de t.f. ; \(\varphi\) un isom. \(A \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) \simeq \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{F})\)

\(A\), \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\) partout \(\neq 0\)

\(F : C \to C'\) le foncteur \[F : (\mathcal{G}, \mathcal{E}) \longmapsto \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}),\ \mathcal{E},\ \mathcal{G} \otimes \mathcal{E},\ \varphi_{\mathcal{G},\mathcal{E}}\] où \(\varphi_{\mathcal{E},\mathcal{G}}\) est l'isom. canonique \(\underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}) \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) \simeq \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G} \otimes \mathcal{E})\).

Alors \(F\) est une équivalence.

Dém. \(F\) provient d'un hom. de champs \(\underline{C} \to \underline{C}'\), et il suffit de prouver que celui-ci est une équivalence. Or, si \(\mathcal{G}, \mathcal{E}\) (resp. \(A, \mathcal{E}, \mathcal{F}\) tous de rang \(\geq 0\)) sont des entiers \(> 0\), soit \(\underline{C}_{g,e}\) le sous-champ de \(\underline{C}\) formé des \(\mathcal{E}, \mathcal{G}\) tels que \(\operatorname{rang}\mathcal{E} = e\), \(\operatorname{rang}\mathcal{G} = g\) (resp. \(\underline{C}'_{a,e,f}\) le sous-champ de \(\underline{C}'\) formé des quadruples pour lesquels \(A\) de rang \(a^{2}\), \(\mathcal{E}\) de rang \(e\), \(\mathcal{F}\) de rang \(f\)). On a \[\underline{C} \simeq \coprod_{g,e} \underline{C}_{g,e} \qquad \underline{C}' \simeq \coprod_{a,e,f} \underline{C}'_{a,e,f}\] (somme de champs) et \(F\) induit \[F_{g,e} : \underline{C}_{g,e} \longrightarrow \underline{C}'_{g^{2},e,\ill{}}\] on est donc ramené à prouver que les \(F_{g,e}\) sont des équivalences.

Notons \(\underline{C}_{g,e}\) est une gerbe (liée par \(Gl(e) \times Gl(g) = \operatorname{Aut}(\mathcal{G})\)) […] les deux lignes qui suivent sont entièrement biffées ; c'est le mot « gerbe » qui est abandonné

En effet, \(\underline{C}_{g,e}\) loc. […] a un […] En effet, c'est essentiellement un champ en groupoïdes, donc reste à prouver que deux objets sont loc. isom. On peut supposer \(A = A'\), \(\mathcal{E} = \mathcal{E}'\), \(\mathcal{F} = \mathcal{F}'\). On considère deux isom. \[\varphi, \varphi' : A \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) \rightrightarrows \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{F})\] Ils diffèrent par un automorphisme intérieur de \(\underline{\operatorname{End}}(\mathcal{F})\), d'où un automorphisme de \(\mathcal{F}\) qui est (localement) intérieur, donc on […]. De plus

Pour terminer la démonstration, il reste à prouver que \(F_{g,e}\) induit \(\operatorname{Aut}(\xi) \xrightarrow{\alpha} \operatorname{Aut}(\varphi(\xi))\) pour […] un isom. Or \(\xi = (\mathcal{G}, \mathcal{E})\), \(\xi' = \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}), \mathcal{E}, \mathcal{G} \otimes \mathcal{E}, \varphi_{\mathcal{G},\mathcal{E}} : \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}) \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) \simeq \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G} \otimes \mathcal{E})\), et si \(u, v\) est un automorphisme de \(\xi\), \(F(u,v)\) est l'automorphisme \(\underline{\operatorname{End}}(u), v, u \otimes v\), donc si \(F(u,v)\) est connu, \(v\) est connu et \(u \otimes v\) est connu, d'où facilement (comme \(\mathcal{E}\) partout \(\neq 0\)) \(u\) connu, donc \(\alpha\) injectif. Soit maintenant \(\tau = (\lambda, v, w)\) un automorphisme

31page au crayon, restée à l'état d'esquisse ; on n'en transcrit que ce qui est formé

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\begin{tikzcd}
C^{1} \arrow[r] & C^{2} \arrow[r] & C^{3} \arrow[r] & C^{4}
\end{tikzcd}

\(C = \underline{\operatorname{Hom}}(K, K')\)

\[\mathrm{TORS}^{1}_{U}(X, \Pi) \simeq H^{1}(X, \Pi)\]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
{[C^{0}]} \arrow[r] & C^{0} \times Z^{1} \arrow[d, bend right=20]
\arrow[d, bend left=20] & \\
& Z^{1} \arrow[r] & C^{1} \times Z^{2} \arrow[d, bend right=20]
\arrow[d, bend left=20] \\
& \operatorname{Aut}(0) \arrow[u] & 0 \to Z^{2}
\end{tikzcd}

\[T^{n} = \mathrm{TORS}^{n}_{U}(X ; \Pi) \rightleftarrows \uncertain{H\!I\!I^{n}}(X, \Pi) \implies \pi_{0}(T^{n}) \simeq H^{n}(X, \Pi)\] \[\mathrm{TORS}^{1}_{U}(X, \Pi) \xrightarrow{\ \sim\ } \uncertain{H\!I^{1}}(X, \Pi)\]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
E_{\bullet} \arrow[d, bend right=20] \arrow[d, bend left=20] &
\Pi \times E \arrow[d, bend right=20] \arrow[d, bend left=20] & \Pi \arrow[d] \\
E_{1} \arrow[d, bend right=20] \arrow[d, bend left=20] & E \arrow[d] & 1 \\
E_{0} \arrow[d] & X & \\
X & &
\end{tikzcd}

32de \(\xi'\), donc \(\lambda\) un automorphisme de \(\underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G})\), \(v\) de \(\mathcal{E}\), \(w\) de \(\mathcal{G} \otimes \mathcal{E}\), avec commutativité de

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
\underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}) \otimes
\underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E})
\arrow[r, "\varphi_{\mathcal{G},\mathcal{E}}"]
\arrow[d, "\lambda \otimes \underline{\operatorname{End}}(v)"'] &
\underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G} \otimes \mathcal{E})
\arrow[d, "\underline{\operatorname{End}}(w)"] \\
\underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}) \otimes
\underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E})
\arrow[r, "\varphi_{\mathcal{G},\mathcal{E}}"] &
\underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G} \otimes \mathcal{E})
\end{tikzcd}

On sait qu'il suffit de voir que loc. il provient d'un (unique) automorphisme de \(\xi\), qui sera de la forme \((u,v)\), \(u\) un automorphisme de \(\mathcal{G}\), donc on doit prouver \[\lambda \simeq \underline{\operatorname{End}}(u), \qquad w = u \otimes v\] Or on sait que loc. \(\lambda\) est […] intérieur, i.e. qu'il existe loc. \(u\) tel que \(\lambda = \underline{\operatorname{End}}(u)\). Reste […] en remplaçant […] par \(F(u,v)^{-1}\), on peut supposer que \(\lambda = \mathrm{id}\). Donc on doit a \[\varphi \circ (\mathrm{id} \otimes \underline{\operatorname{End}}(v)) \simeq \underline{\operatorname{End}}(w) \circ \varphi,\] et on doit prouver qu'il existe [loc.] une section \(u\) de […] telle que \(w = \ill{}\,(\mathrm{id} \otimes v)\), i.e. \(w = \mathrm{id}_{\mathcal{G}} \otimes v\) […]

prenant la même image \(1_{g} \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) \to \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}) \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E})\), la commutativité partielle donne \[\underline{\operatorname{End}}(w)(\mathrm{id}_{g} \otimes X) = \mathrm{id}_{g} \otimes \underline{\operatorname{End}}(v)(X) \qquad \text{pour } X \in \Gamma\,\underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E})\] \[w(\mathrm{id}_{g} \otimes X)w^{-1} = \mathrm{id}_{g} \otimes vXv^{-1}\] […] s'écrit que pour tout end. \(X\) de \(\mathcal{G}\), \(Y\) de \(\mathcal{E}\), […] la fin de la page est trop surchargée pour être suivie ; l'argument s'arrête ici

Notes de cours : topos et espaces sobres

34Recall: direct and inverse images, fiber functor as inverse images, direct images of sheaves with algebraic structures (versus inverse images) (defined by finite \(\varprojlim\) and by \(\varinjlim\)) / case of an étale morphism: its base change […] side \(\mathrm{Top}(X)\).

Examples: field, integral domain. Example: product of epimorphisms not an epimorphism.

sheaf of […] ordered […]. Examples. Constant sheaves. Sheaves \(\underline{\operatorname{Hom}}(F,G)\) and \(\beta(F)\). Their intrinsic character. \(\beta(F) \simeq \underline{\operatorname{Hom}}(F, \beta(\ill{}))\). \(\mathrm{Top}(X) \simeq\) […] functors […] which commute with \(\varprojlim\)

The abstract category \(T(X)\) embodies all topological information workable for \(X\):

a)the notion of sheaves with alg. structures — \(X\) can be reconstructed from \(T(X)\).
b)The notion of stack over \(X\) depends on \(T(X)\) alone (up to equivalence)
c)Connexity of \(X\) ; […] cohomology and homotopy
d)Relation invariants between \(\pi_{1}\) and covering spaces of \(X\) (cf. SGA 4 V and Artin & Mazur)
e)Non commutative homological algebra: \(H^{1}(\ ,\ )\)
f)Other examples: local connectedness ; total disconnectedness, quasi-compactness …
g)Operations on spaces (sums, amalgamated sums) and properties of the continuous maps reflected by operations on topoi.

The « reasonable » spaces \(X\) can be recovered from \(\mathrm{Top}(X)\), and so can the continuous maps.

\(\mathrm{Fib}(E)\) (isomorphism classes of generalized fiber functors) on a topos space. It corresponds to the set \(\widetilde{X}\) of all closed irred. subsets of \(X\), with the obvious topology, and

NB \(\mathrm{Fib}(E)\) is rigid if \(E = \mathrm{Top}(X)\), \(X \to \mathrm{Fib}(E)\)

\(X \to \mathrm{Fib}(E)\) can be identified with \(x \mapsto \overline{\{x\}}\). The topology of \(X\) is the inverse image topology.

map injective \(\iff \overline{\{x\}} = \overline{\{y\}} \Rightarrow x = y\) (i.e. separation axiom that \(x \neq y\) implies that either \(x\) or \(y\) has a neighbourhood not containing the other)

map surjective \(\iff\) every closed irred. subset of \(X\) has a generic point

so-called map bijective \(\iff x \mapsto \overline{\{x\}}\) is a bijective map onto \(\widetilde{X}\) : \(X\) sober

[\(X \to \widetilde{X}\) can be viewed as being the universal map of \(X\) into a sober space, \(X \mapsto \widetilde{X}\) the left adjoint of the inclusion \((\mathrm{Sp\ sob}) \longrightarrow (\mathrm{Sp})\) \[\operatorname{Hom}_{\mathrm{Sp\ sob}}(X, i(Z)) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{Sp}}(\widetilde{X}, Z)\] Then \(X \to \widetilde{X}\) commutes with arbitrary \(\varprojlim\) …] les deux indices de catégorie sont portés dans cet ordre sur la page, alors que l'adjonction énoncée juste avant les échangerait ; on n'y touche pas

[…] \(\mathrm{Top}(X) \simeq \mathrm{Top}(\widetilde{X})\), \(\mathrm{Fib}(\mathrm{Top}(X))\), […] it is a […] bijective, it is done […]

35la page porte, de la main de Grothendieck, le numéro 1 ; les pages 37 et 39 portent 3 et […] et poursuivent la même suite

\(T\) espèce de structure « définie par \(\varprojlim\) finies » (resp. quelc.) sur famille d'ens. de base \((E_{i})_{i \in I}\) (\(I\) ens. donné)

Pour toute catégorie \(C\) avec \(\varprojlim\) finies (resp. quelconques) on a donc \[\text{« famille d'objets de } C \text{ sous-jacente »} \qquad T(C) \xrightarrow{\ \varphi^{T}_{C}\ } C^{I}\] foncteur allant de la catégorie des « structures d'espèce \(T\) dans \(C\) » vers \(C^{I}\). Pour tout foncteur \[u : C \longrightarrow C'\] commutant aux \(\varprojlim\) finies (resp. quelc.) on a de plus \(T(C) \xrightarrow{T(u)} T(C')\), rendant commutatif le diagramme

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\begin{tikzcd}
T(C) \arrow[r, "T(u)"] \arrow[d, "\varphi^{T}_{C}"'] & T(C')
\arrow[d, "\varphi^{T}_{C'}"] \\
C^{I} \arrow[r, "u^{I}"'] & C'^{I}
\end{tikzcd}

On a \(T(\mathrm{id}_{C}) = \mathrm{id}_{T(C)}\), \(T(vu) = T(v)T(u)\), donc \(T\) est un foncteur de \(L_{0} = (\mathrm{Cat}\ \varprojlim \text{ finies})\) (resp. \(L = (\mathrm{Cat}\ \varprojlim)\)) dans \(\mathrm{Cat}\), d'où on une catégorie […]-fibrée \(\mathcal{T}\) […], muni d'un foncteur […] de \(T\) dans \(\mathcal{T}_{I} : C \mapsto C^{I}\), \[\varphi^{T} : \mathcal{T} \longrightarrow \mathcal{T}_{I}\] Soit \(T'\) une autre « espèce de structure », alors on définit \[\underline{\operatorname{Hom}}_{L}(T, T') = \underline{\operatorname{Hom}}_{L_{0}}(\mathcal{T}_{L_{0}}, \mathcal{T}'_{L_{0}})\] \[\bigl[\ \operatorname{resp.}\ \underline{\operatorname{Hom}}_{L}(T, T') = \underline{\operatorname{Hom}}_{L_{0}}(\mathcal{T}_{L_{0}}, \mathcal{T}'_{L_{0}}) \ \bigr]\] et si \(I = I'\) \[\underline{\operatorname{Hom}}_{L}(I ; T, T') = \text{catégorie des hom. de } \mathcal{T}_{L_{0}} \text{ dans } \mathcal{T}'_{L_{0}}\] munis d'une donnée de compatibilité \(\alpha\) entre \(\varphi^{T}\) et \(\varphi^{T'}\) à valeurs dans \(\mathcal{T}_{I}\).

la variante « resp. » annoncée entre crochets au bas de la page est laissée en blanc

36in other words, \(X\) and \(\widetilde{X}\) have the same sheaf theory. For all (most!) practical purposes, \(X\) can be replaced with \(\widetilde{X}\).

We have a map \[\operatorname{Hom}_{\mathrm{Sp}}(X, Y) \longrightarrow \operatorname{Hom}\mathrm{top}(\mathrm{Top}(X), \mathrm{Top}(Y)) \qquad (\text{isom classes})\] it is bijective if \(Y\) is sober. In fact, the category \(\underline{\operatorname{Hom}}\mathrm{top}(\mathrm{Top}(X), \mathrm{Top}(Y))\) is discrete rigid, associated to an order relation on \(\operatorname{Hom}\mathrm{top}(\mathrm{Top}(X), \mathrm{Top}(Y))\) (specialisation).

The notion of a topos. (gener.) « topology » \(=\) study of topoi.

(Why it is a natural and useful generalisation of the notion of topological space?

a)It is the natural setting for most « algebraic » (and non algebraic) structures.
b)As such, it allows to construct classifying topoi for such structures (possibly all): algebra \(=\) topology!
c)It is stable under a variety of operations that in many cases do not make sense in the category of topological spaces: \(*\) generalized notion of passing to quotient (by wild equivalence relations, which would give pathological quotients within top. spaces) \(*\) clutching together of pieces à la Artin
d)They arise in various questions of geometry as modular topoi
e)They provide the most convenient set-up for all topics involving systematically passing to quotients.
f)They give the ultimate outcome for [the intuitive notion of] localization
g)They are technical tools for various cohomology theories in algebraic geometry.

Examples of topoi \(\mathrm{Top}(X)\), \(\mathrm{Top}(X, G)\), \(\widehat{C}\) ; for instance \(B_{G}\) (\(G\) discrete) ; \(\mathrm{Top}(X)\), \(B_{G}\), \(H^{*}(G, -)\)

37page numérotée 3 de la main de Grothendieck

Si \(T\) est donné avec \(I\), on a une application canonique \[I \longrightarrow \mathrm{Ob}\,\Gamma^{T}_{\varphi} \qquad (\text{resp. } I \to \mathrm{Ob}\,\Gamma^{T}_{\varphi_{0}})\] On a, si \(T\) est de \(\varprojlim\), un foncteur \[\Gamma^{T} \longrightarrow \Gamma_{0}^{T}\] (En particulier […] pour \(T' = \tau\)) et on a commutativité dans

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\mathrm{Ob}\,\Gamma^{T} \arrow[rr] & & \mathrm{Ob}\,\Gamma_{0}^{T} \\
& I \arrow[ul] \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

Supposons

Ex. Supposons qu'il existe un \(\beta^{T} \in (\mathrm{Cat}\ \varprojlim)\) (resp. \(\beta_{0}^{T} \in (\mathrm{Cat}\ \varprojlim)\)) telle que \(T\) (resp. \(T_{0}\)) soit défini \(2\)-représentable par cet objet : \[T(C) \simeq \underline{\operatorname{Hom}}_{\varprojlim}(\beta^{T}, C) \qquad C \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Cat}\ \varprojlim)\] \[\bigl(\ T(C) \simeq \underline{\operatorname{Hom}}_{\varprojlim}(\beta_{0}, C) \qquad C \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Cat}\ \varprojlim)\ \bigr)\] Alors

a)\(\beta\) (\(\beta_{0}\)) est défini à équivalence près, défini unique à isom. unique près
b)Pour toute catégorie \(2\)-cofibrée \(\mathcal{F}\) sur \((\mathrm{Cat}\ \varprojlim)\) (resp. \((\mathrm{Cat}\ \varprojlim)\)) on a une équiv. can. \[\underline{\operatorname{Hom}}(T, \mathcal{F}) \simeq \mathcal{F}(\beta)\] \[\bigl(\ \underline{\operatorname{Hom}}_{0}(T, \mathcal{F}) \simeq \mathcal{F}(\beta_{0})\ \bigr)\]

en particulier, si \(\mathcal{F}\) est défini par \(T'\) on a \[\underline{\operatorname{Hom}}(T, T') \simeq T'(\beta)\] \[\bigl(\ \underline{\operatorname{Hom}}_{0}(T, T') \simeq T'(\beta_{0})\ \bigr)\] et en particulier, faisant \(T' = i^{\text{struct}}\), on a \(T'(\beta) = \beta\) (\(T'(\beta_{0}) = \beta_{0}\)), on trouve \[\beta = \underline{\operatorname{Hom}}(T, i) = \Gamma^{T}\] \[\bigl(\ \beta_{0} = \underline{\operatorname{Hom}}_{0}(T, i_{0}) = \Gamma_{0}^{T}\ \bigr)\]

38Complements on relations between \(X\) and \(\mathrm{Top}(X)\)

a)
Specialisations and morphisms between fiber functors

If \(x \in \overline{\{y\}}\), then we have a functorial homomorphism \(F_{x} \to F_{y}\) (\(F \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Top}(X)\)) because the neighbourhoods of \(y\) contain \(x\). Thus […] we get \[\mathrm{Cat}\bigl(X \text{ ordered by } x \leq y \text{ iff } x \in \overline{\{y\}}\bigr) \longrightarrow \mathrm{Fib}(\mathrm{Top}(X))\]

Proposition. \(\operatorname{Hom}(\xi_{x}, \xi_{y}) = \{\emptyset\) if \(x \not\leq y\) ; reduced to the specialisation hom. otherwise\(\}\), i.e. the previous functor is fully faithful.

Corollary. If \(X\) sober (and only more generally if \(X \to \widetilde{X}\) surjective, …) then (and only then …) the previous functor is an equivalence. [Assume \(X\) […] for simplicity]
b)\(\mathrm{Cat}\text{-}\underline{\operatorname{Hom}}(X, Y)\) ordered by \(f \leq g\) iff \(\forall x \in X\), \(f(x) \in \overline{\{g(x)\}}\) \[\downarrow\] \[\underline{\operatorname{Hom}}(\mathrm{Top}(Y), \mathrm{Top}(X))\] fully faithful […]. If \(Y\) is ordered it is essentially […] consists of the \(f^{*}\)'s that are left exact and commute with \(\varprojlim\), and […]

NB in the case […] of the […] \(2\)-category […] we get lots of fiber functors […] we obtain « certain topoi » […]

Topos.

1)Definition

a)Through certain properties \(+\) generators (for instance a) b) c) d))
\(*\)
Many sets of equivalent axioms properties possible. What is it […] that governs us will […], whatever those properties … comes up?

The original definition was in terms of categories of filtered (generalized sheaves) or categories […] satisfying […] the categories […] \(O_{X}\). We cannot express it now, but we can express
b)\(E \xrightarrow[f_{*}]{\text{fully faithful}}\) some \(\widehat{C}\), \(C\) « small », with a left adjoint \(f^{*}\) which is left exact.

39feuillet relié à l'envers dans le dossier ; il poursuit la suite numérotée des pages 35 et 37

Considérons l'espèce de structure « anneau (commutatif) », soit \(T\). On sait qu'elle est définie en termes de \(\varprojlim\) finies, soit \(\lambda_{0} = (\text{ensemble fini}, \ill{})\) le type de structure correspondant. On se propose donc d'étudier, dans plus tard, tout \(\lambda\) type tel que \(\lambda_{0} \to \lambda\) (les \(\lambda\)-catégories […] des produits finis, les \(\lambda\)-foncteurs y commutent) : il définit un \(\lambda\)-type \(T_{\lambda}\). On se propose, pour divers \(\lambda\), d'étudier l'existence et l'unicité d'un sous-type plein \(T^{*}_{\lambda}\) (\(T^{*}_{\lambda}(C) \to T_{\lambda}(C)\) pl. fidèle pour tout \(C\)) de telle façon que pour \(C = (\mathrm{Ens})\), \(T^{*}_{\lambda}(C)\) soit la sous-catégorie pleine de \(T_{\lambda}(C) =\) cat. des anneaux (comm. unifères) qui sont des corps (commutatifs).

[On sait que l'unicité est acquise si \(\lambda(\lambda_{1}, \lambda_{2} = \emptyset)\)]

a)si \(\lambda = \lambda_{0}\), il n'existe pas une telle \(T_{\lambda}\). En effet, si \(\lambda = (\lambda_{1}, \lambda_{2} = \emptyset)\), \(\lambda\) formé de \(\varinjlim\) […] finis, alors \(T_{\lambda}\) est \(\lambda\)-représentable par la \(\lambda\)-catégorie \(R^{\lambda}_{T}\) qui est la sous-catégorie pleine \(S^{T}_{\lambda}\) de \(\mathrm{Ann}\) engendrée (par les \(\varinjlim\) de type \(\lambda\)) par \(\mathbb{Z}[T]\) (l'objet libre engendré par \(1\) élément). Les sous-catégories types pleins de \(T_{\lambda}\) sont les correspondent aux catégories de fractions de \(S^{T}_{\lambda}\) par des ens. de flèches \(M\) stables par composition, et par \(\varinjlim\) de type \(\lambda\). (On aura cat. quotient de fractions analogue pour \(S^{T}_{\lambda}\) pour des ens. \(M\) de flèches stables par \(\varinjlim\) de type \(\lambda\).) Ici, les flèches en question sont […] telles […] des flèches \(u : A \to B\) dans \(S^{T}_{\lambda}\) (\(\subset \mathrm{Ann}\)) telles que pour tout corps \(k \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Ann})\), la flèche \(\operatorname{Hom}(B, k) \to \operatorname{Hom}(A, k)\) soit bijective [ou encore que les morphismes de schémas affines \(u' : X \to \struck{Y}\) définis par \(u\) soient tels que \(X(k) \simeq Y(k)\) pour tout corps \(k\). On sait que cela signifie que \(u\) est bijective et définit des ext. résiduelles triviales]. […] Cet ens. de flèches est évidemment stable par composition et par \(\varinjlim\) (resp. \(\varprojlim\)) de type \(\lambda\). (Serait vrai pour toute sous-catégorie de \((\mathrm{Ann})\).)

40(We can take for \(C\) any subcategory of \(E\) which is generating \(E\), in the sense earlier explained, and take \(E \xrightarrow{f_{*}} \widehat{C}\) by associating to each \(f_{*}(X) = (A \mapsto \operatorname{Hom}(A, X))\) ; to say that this functor is conservative means that \(C\) is generating, and this does imply is equivalent with \(f_{*}\) fully faithful, and implies the existence of the left adjoint \(f^{*}\) …)

Generators. Useful in various contexts: existence of adjoints (Cartesian, or otherwise) […] ; together with generators, existence of cogenerators, and technically the fact that functors contravariant functors to Sets \((S \to)\) that transform \(\varinjlim\) (\(\varprojlim\)) into \(\varprojlim\) are representable.

NB Recall that a topos has cohomotopy and homotopy invariants.

Examples

\(\mathrm{Top}(X)\) : \(\mathrm{Top}(\emptyset)\) empty topos ; \(\mathrm{Top}(1)\) point (or final) topos.
\(\mathrm{Top}(X, G)\) : \(\mathrm{Top}(X, e) = \mathrm{Top}(X)\) ; \(\mathrm{Top}(*, G) = B_{G}\). \(H^{i}(B_{G}, \ ) = H^{i}(G, \ )\)

Here fiber functor of \(B_{G}\) is forgetful functor. It has automorphisms […], and it […] generalizes \(B_{G}\).
\(\widehat{C}\) (from algebra)
\(C^{\circ} \xrightarrow{\text{fully faithful}} \mathrm{Fib}(\widehat{C})\) [we can prove this is even \(\mathrm{Ind}(C^{\circ}) \simeq \mathrm{Fib}(\widehat{C})\)]

Question. Can we have an equivalence \(\widehat{C} \simeq \mathrm{Top}(X)\) […] ? It would suffice that \(C\) is an ordered category, […] and that \(X\) has […] which have a smallest neighbourhood (« essential points ») — they would be everywhere dense — \(C\) could be interpreted as contained in the set of […] of \(X\) with the […] […] relation […] we can then take \(X = \mathrm{Ind}(C)\) (dual to \(C\) … of decreasing families) and a […] the topology […]

[…] […] it is […], and their […] that […] \(\Rightarrow\) different […] \(\Rightarrow\) fully faithful. We will […] that […] categories […] equivalent […] topos […]