Fonds Grothendieck, cote n° 161-3, pages 21–40

et soit F \xrightarrow{f} G dans \widehat{C}, bicouvrant, prouvons que \widehat{u}_{0}(F) \xrightarrow{\widehat{u}_{0}(f)} \widehat{u}_{0}(G) est ~~bicouvrant~~ un isom. On a … la page s'arrête là ; la ligne suivante est entièrement raturée. C'est la fin de la question laissée ouverte au bas de la p. 20

Espaces essentiels et ensembles ordonnés

X un ensemble

\mathcal{T}(X) l'ens. des topologies sur X, \underline{\omega}(X) l'ens. des préordres sur X \alpha_{X} : \mathcal{T}(X) \longrightarrow \underline{\omega}(X), \qquad \beta_{X} : \mathcal{T}(X) \longleftarrow \underline{\omega}(X) \alpha et \beta fonctoriels en l'ensemble X (pour images inverses de top. resp. de relations d'ordre)

\bullet à T \in \mathcal{T}(X) on associe (déf.) la relation \alpha_{X}(T) : y \underset{T}{\leq} x \iff x \in \overline{\{y\}}

\bullet à la relation \omega (\leq) est associé T : \struck{\mathrm{Fer}}\ \mathrm{Ouv}(T) = \{\, U \subset X \mid (x \in U,\ x \leq y) \Rightarrow y \in U \,\} = réunions quelconques d'ensembles de la forme O_{x} = [x,\rightarrow[\ = \{ y \in X \mid y \underset{\omega}{\geq} x\} \mathrm{Fer}(T) = \{\, Z \subset X \mid (x \in Z,\ y \leq x) \Rightarrow y \in Z \,\}

Soit f : X \to X' une application, ~~X muni de (T,\omega), X' de~~

si X, X' sont des espaces top. et si f est ~~continue~~, f est croissante

si X, X' sont préordonnés et si f est croissante, f est continue

D'où foncteurs

\begin{tikzcd} (\mathrm{Esp}) \arrow[r, bend right=20, "\alpha"'] & (\text{Préord}) \arrow[l, bend right=20, "\beta"'] \end{tikzcd} sur la page les deux flèches sont superposées, \beta au-dessus allant vers (\mathrm{Esp}) et \alpha au-dessous allant vers (\text{Préord})

Soit T \in \mathcal{T}(X), montrer que tout ouvert de X est stable par générisation (resp. tout fermé de X stable par spécialisation), i.e. ouvert pour \alpha_{X}(T), i.e. T \leq \beta_{X}\alpha_{X}(T) i.e. une application continue \beta\alpha(X) \longrightarrow X dont l'application sous-jacente est l'identité, d'où un homomorphisme fonctoriel \beta\alpha \xrightarrow{\ \rho\ } \mathrm{id}_{(\mathrm{Esp})} le second alinéa de la page porte lui aussi la lettre c), la première ayant été biffée puis récrite

Soit \omega \in \underline{\omega}(X), T = \beta_{X}(\omega), alors x \in \overline{\{y\}} ssi y, i.e. ssi y \geq x, le plus petit ouvert O_{x} contenant x contient y, ce qui donne \alpha_{X}\beta_{X}(\omega) = \omega i.e. un isomorphisme X \xrightarrow[\ \sigma\ ]{\ \sim\ } \alpha\beta(X) tel que l'application ensembliste sous-jacente soit l'identité, d'où \mathrm{id}_{(\text{Préord})} \xrightarrow[\ \sigma\ ]{\ \sim\ } \alpha\beta

d)Montrer que \rho et \sigma sont des morphismes d'adjonction, établissant pour X \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Esp}), I \in \mathrm{Ob}(\text{Préord})

une bijection (*) \qquad \operatorname{Hom}_{\mathrm{Esp}}(\beta I, X) \simeq \operatorname{Hom}_{\text{Préord}}(I, \alpha X)

car le foncteur (\mathrm{Esp}) \to (\text{Préord}) commute aux \varprojlim, le foncteur \beta aux \varinjlim. Mais de plus \beta est exact à gauche : sur X \times Y la top. associée au préordre produit est le produit des topologies. (Mais \beta ne commute pas aux produits quelconques, i.e. un produit d'espaces topologiques essentiels essentiel. Contre-exemple ) ce bloc est porté en diagonale dans la marge gauche, et la question qu'il laisse ouverte est reprise à la p. 28

En effet, une application I \xrightarrow{f} X est croissante ssi elle est continue (X étant muni de la relation d'ordre \alpha_{X}(T_{X}), I de la topologie \beta_{I}\omega_{I}). En effet, si f est continue, on sait qu'elle est croissante pour les \alpha_{X}(T_{X}) ; ~~si f est croissante~~ l'image inverse d'une partie de X \beta_{X}\alpha_{X}(T_{X}) est ouverte dans I, mais toute partie de X (si muni de \beta_{X}\alpha_{X}(T_{X})) , donc a fortiori. le raisonnement est ici surchargé de repentirs ; seule la charpente est lisible

e)Corollaire. Le foncteur \beta : (\text{Préord}) \longrightarrow (\mathrm{Esp}) est pleinement fidèle. Son image essentielle est formée des espaces (X, T_{X}) pour lesquels T_{X} \in \beta_{X}(\underline{\omega}(X)) ; ce sont ~~celles~~ les espaces topologiques pour lesquels tout point x \in X a un plus petit voisinage ouvert O_{x}. [C'est évidemment nécessaire ; il faut prouver que c'est suffisant, i.e. que O_{x} = \{ y \in X \mid y \underset{T}{\leq} x \}. Mais notons que x \in O_{y} (on cherche le plus petit voisinage ouvert de x) ; x \in \overline{\{y\}} signifie évidemment O_{x} \ni y, ok.] NB Les topologies obtenues sont aussi celles pour lesquelles toute intersection d'ouverts est ouverte [NB ce n'est pas stable par ] f)Soit X, T, alors X est sobre (\overline{\{x\}} = \overline{\{y\}} \Rightarrow x = y) ssi le préordre \omega(T) est un ordre. g)~~Soit X muni d'un préordre, puis la topologie associée. Désignons~~ Soit X muni d'un préordre, \underline{X} la catégorie associée à X ordonné \bigl( \operatorname{Hom}(x,y) = \{\emptyset si x \not\leq y ; \{e\} si x \leq y\} \bigr), i.e. \operatorname{Hom}(x,y) \neq \emptyset ssi O_{y} \supseteq O_{x}. Montrer que le foncteur F \mapsto (x \mapsto F(O_{x})) de \mathrm{Top}(X) dans \widehat{\underline{X}} est une équivalence de cat. \mathrm{Top}(X) \simeq \widehat{\underline{X}} On identifie les a \subset X à des sommes des e_{\underline{X}}^{\wedge}, et les cribles de X (i.e. les ouverts de X) à des sous-objets de e_{\underline{X}}^{\wedge}, i.e. g)X muni d'une topologie T déduite d'un préordre \omega [dans laquelle les ouverts les voisinages, sont de la forme O_{x}, x \in X]. X est irréductible ssi deux ouverts non vides ont une intersection non vide, i.e. pour x, y \in X, O_{x} \cap O_{y} \neq \emptyset, i.e. \forall x,y \in X, \exists z \in X avec z \leq x, z \leq y, i.e. X est cofiltrant. En conclure que les fermés irréductibles de X sont les parties Y de X telles que a)y \in Y, y' \leq y \Rightarrow y' \in Y (Y fermé) b)\forall x,y \in Y, \exists z \in Y, tel que z \leq x, z \leq y.

cette lettre g) est la seconde de la suite : la p. 24 en portait déjà une, celle qui introduit \underline{X} et à laquelle renvoie le h) ci-dessous

X comme dans g), \underline{X} la catégorie associée à la relation de préordre, car \operatorname{Hom}_{\underline{X}}(x,y) \leq 1, \operatorname{Hom}_{\underline{X}}(x,y) \neq \emptyset \Rightarrow x \leq y \iff y \in \overline{\{x\}}.

Considérons le foncteur \mathrm{Top}(X) \to \widehat{\underline{X}}, F \mapsto (x \mapsto F(O_{x})). Prouver que ce foncteur est une équivalence \mathrm{Top}(X) \simeq \widehat{\underline{X}} Dorénavant on identifie [si X précisant i.e. ordonné] X à un ensemble de sous-objets de l'objet final de \widehat{\underline{X}} = \mathrm{Top}(X) [~~cribles~~ des topos], et de par la de X, les sous-objets de e_{\underline{X}} aux ouverts des topos.

Interpréter \mathrm{Points}(\widehat{\underline{X}}) \simeq \mathrm{Pro}(\underline{X}) \qquad (\ill{}\ \mathrm{ind}), en identifiant les pro-objets de \underline{X} aux sous-ensembles ordonnés Y de X satisfaisant les conditions a) b) de g), et la structure de catégorie provenant de la relation d'ordre entre parties de X opposée à la relation d'inclusion. Soit ~~\mathrm{Pro}(X)~~ \widetilde{X} l'ensemble ordonné ainsi construit. L'application x \longmapsto \overline{\{x\}} = \{ y \in X \mid y \geq x \} est une application X \to \widetilde{X}, qui s'identifie à l'application canonique de X dans l'espace sobre associé, ou à \underline{X} \to \mathrm{Pro}(\underline{X}) (foncteur canonique).

i)Conditions équivalentes \alpha)X \to \widetilde{X} surjective \beta)Toute partie fermée cofiltrante de X a un plus petit élément. \gamma)~~T_{0}~~ X est ~~(pour sa relation d'ordre)~~ artinien, i.e. toute ~~famille~~ suite décroissante d'éléments est stationnaire. \delta)\widetilde{X} est essentiel (i.e. chaque point de X est essentiel)

en fait, \operatorname{Im}(X \to \widetilde{X}) est l'ens. des ess. de \widetilde{X} !

j)Soit E un topos. Conditions équivalentes \alpha)E ~~n'est~~ est équivalent à un \mathrm{Top}(X) et à un \widehat{C} \beta)E équiv. à \mathrm{Top}(X), X espace essentiel \gamma)E équiv. à \widehat{I}, I ens. ordonné \delta)E engendré par les sous-objets de l'objet final, et a suffisamment de points essentiels

[On dit alors que E est un espace top. essentiel.]

Prouver que si C est une catégorie, \widehat{C} satisfait aux conditions précédentes ssi C est préordonnée.

Prouver que si X est un espace top., \mathrm{Top}(X) satisfait aux conditions précédentes ssi l'ens. des x \in X qui sont essentiels est très dense.

On a des équivalences de 2-catégories (\text{topos spatiaux essentiels}) \approx (\text{Préord}) \ \struck{\text{ensembles ordonn\'es}}\ \approx (\mathrm{Esp.\ ess.}) [NB. Si X est essentiel on le à partir de E = \mathrm{Top}(X), comme \mathrm{Points}(E).]

~~\gamma~~ commute aux \inf finis ? \gamma(X \times Y) = \alpha(X) \wedge \beta(Y) = 1_{\sigma} \begin{align*} \gamma(W \cap W') &= \sup_{U \times V \subset W \cap W'} \alpha(U) \wedge \beta(V) = \sup_{\substack{U \times V \subset W \\ U' \times V' \subset W'}} \alpha(U \cap U') \wedge \beta(V \cap V') \\ &= \sup_{U \times V \subset W} \alpha(U)\beta(V) \wedge \sup_{U' \times V' \subset W'} \alpha(U')\beta(V') \\ &= \gamma(W) \wedge \gamma(W') \end{align*}

X \times Y

\begin{tikzcd}[column sep=large] O_{X} \arrow[r, "{U \mapsto (U,V)}"] & O_{X} \times O_{Y} \arrow[r, "{(U,V) \mapsto U \times V}"] & \underline{O}_{X \times Y} \\ O_{Y} \arrow[ur, "{V \mapsto (X,V)}"'] & & \end{tikzcd}

\sigma et \sup quelconques, et \inf finis distributifs par rapport aux \sup quelc. \operatorname{Hom}' i.e. commutant aux \sup quelconques et \inf finis

u \longmapsto \alpha, \beta \qquad \operatorname{Hom}'(\underline{O}_{X \times Y}, \sigma) \longrightarrow \operatorname{Hom}'(O_{X}, \sigma) \times \operatorname{Hom}'(O_{Y}, \sigma) injectif (car u \in \operatorname{Hom}'(\underline{O}_{X \times Y}, \sigma) est connu dès que l'on connaît u(U \times V) = \alpha(U) \wedge \beta(V), \gamma étant , puisque tout W \in \underline{O}_{X \times Y} est sup de tels U \times V).

Est-ce bijectif ? soit \alpha : O_{X} \to \sigma, \beta : O_{Y} \to \sigma, posons \gamma(W) = \sup_{\substack{U \in O_{X},\ V \in O_{Y} \\ U \times V \subset W}} \alpha(U) \wedge \beta(V) (c'est une application croissante \underline{O}_{X \times Y} \to \sigma). OBS X \neq \emptyset, Y \neq \emptyset

\alpha(X' \times Y) = ? Notons que si Y \neq \emptyset, alors U \times V \subset X' \times Y ssi U \subset X', donc le sup est ~~égal~~ \sup \alpha(U) \wedge \beta(V) = \alpha(X'), où X' \in \mathrm{Ouv}(X).

la moitié supérieure droite de la feuille porte un calcul sans rapport avec ce qui précède — quaternions et formules de duplication trigonométriques, z = e^{i\theta}, u = a + bi + cj, a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 — qui n'est pas transcrit ici

Lemme sur les modules localement libres et les algèbres d'Azumaya

Lemme. E un topos ~~annelé~~ localement annelé (dans les deux cas)

C catégorie des couples (\mathcal{E}, \mathcal{G}) de modules loc. libres de t.f. partout \neq 0 C' — quadruples (A, \mathcal{E}, \mathcal{F}, \varphi), avec A Algèbre sur E loc. isom. à une Alg. de matrices ; \mathcal{E}, \mathcal{F} Mod. loc. lib. de t.f. ; \varphi un isom. A \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) \simeq \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{F})

A, \mathcal{E}, \mathcal{F} partout \neq 0

F : C \to C' le foncteur F : (\mathcal{G}, \mathcal{E}) \longmapsto \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}),\ \mathcal{E},\ \mathcal{G} \otimes \mathcal{E},\ \varphi_{\mathcal{G},\mathcal{E}} où \varphi_{\mathcal{E},\mathcal{G}} est l'isom. canonique \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}) \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) \simeq \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G} \otimes \mathcal{E}).

Alors F est une équivalence.

Dém. F provient d'un hom. de champs \underline{C} \to \underline{C}', et il suffit de prouver que celui-ci est une équivalence. Or, si \mathcal{G}, \mathcal{E} (resp. A, \mathcal{E}, \mathcal{F} tous de rang \geq 0) sont des entiers > 0, soit \underline{C}_{g,e} le sous-champ de \underline{C} formé des \mathcal{E}, \mathcal{G} tels que \operatorname{rang}\mathcal{E} = e, \operatorname{rang}\mathcal{G} = g (resp. \underline{C}'_{a,e,f} le sous-champ de \underline{C}' formé des quadruples pour lesquels A de rang a^{2}, \mathcal{E} de rang e, \mathcal{F} de rang f). On a \underline{C} \simeq \coprod_{g,e} \underline{C}_{g,e} \qquad \underline{C}' \simeq \coprod_{a,e,f} \underline{C}'_{a,e,f} (somme de champs) et F induit F_{g,e} : \underline{C}_{g,e} \longrightarrow \underline{C}'_{g^{2},e,\ill{}} on est donc ramené à prouver que les F_{g,e} sont des équivalences.

Notons ~~\underline{C}_{g,e} est une gerbe (liée par Gl(e) \times Gl(g) = \operatorname{Aut}(\mathcal{G}))~~ les deux lignes qui suivent sont entièrement biffées ; c'est le mot « gerbe » qui est abandonné

~~En effet, \underline{C}_{g,e} loc. a un~~ En effet, c'est essentiellement un champ en groupoïdes, donc reste à prouver que deux objets sont loc. isom. On peut supposer A = A', \mathcal{E} = \mathcal{E}', \mathcal{F} = \mathcal{F}'. On considère deux isom. \varphi, \varphi' : A \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) \rightrightarrows \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{F}) Ils diffèrent par un automorphisme ~~intérieur~~ de \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{F}), d'où un automorphisme de \mathcal{F} qui est (localement) intérieur, donc on . ~~De plus~~

Pour terminer la démonstration, il reste à prouver que F_{g,e} induit \operatorname{Aut}(\xi) \xrightarrow{\alpha} \operatorname{Aut}(\varphi(\xi)) pour un isom. Or \xi = (\mathcal{G}, \mathcal{E}), \xi' = \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}), \mathcal{E}, \mathcal{G} \otimes \mathcal{E}, \varphi_{\mathcal{G},\mathcal{E}} : \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}) \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) \simeq \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G} \otimes \mathcal{E}), et si u, v est un automorphisme de \xi, F(u,v) est l'automorphisme \underline{\operatorname{End}}(u), v, u \otimes v, donc si F(u,v) est connu, v est connu et u \otimes v est connu, d'où facilement (comme \mathcal{E} partout \neq 0) u connu, donc \alpha injectif. Soit maintenant \tau = (\lambda, v, w) un automorphisme

page au crayon, restée à l'état d'esquisse ; on n'en transcrit que ce qui est formé

\begin{tikzcd} C^{1} \arrow[r] & C^{2} \arrow[r] & C^{3} \arrow[r] & C^{4} \end{tikzcd}

C = \underline{\operatorname{Hom}}(K, K')

\mathrm{TORS}^{1}_{U}(X, \Pi) \simeq H^{1}(X, \Pi)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] {[C^{0}]} \arrow[r] & C^{0} \times Z^{1} \arrow[d, bend right=20] \arrow[d, bend left=20] & \\ & Z^{1} \arrow[r] & C^{1} \times Z^{2} \arrow[d, bend right=20] \arrow[d, bend left=20] \\ & \operatorname{Aut}(0) \arrow[u] & 0 \to Z^{2} \end{tikzcd}

T^{n} = \mathrm{TORS}^{n}_{U}(X ; \Pi) \rightleftarrows \uncertain{H\!I\!I^{n}}(X, \Pi) \implies \pi_{0}(T^{n}) \simeq H^{n}(X, \Pi) \mathrm{TORS}^{1}_{U}(X, \Pi) \xrightarrow{\ \sim\ } \uncertain{H\!I^{1}}(X, \Pi)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] E_{\bullet} \arrow[d, bend right=20] \arrow[d, bend left=20] & \Pi \times E \arrow[d, bend right=20] \arrow[d, bend left=20] & \Pi \arrow[d] \\ E_{1} \arrow[d, bend right=20] \arrow[d, bend left=20] & E \arrow[d] & 1 \\ E_{0} \arrow[d] & X & \\ X & & \end{tikzcd}

de \xi', donc \lambda un automorphisme de \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}), v de \mathcal{E}, w de \mathcal{G} \otimes \mathcal{E}, avec commutativité de

\begin{tikzcd}[column sep=large] \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}) \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) \arrow[r, "\varphi_{\mathcal{G},\mathcal{E}}"] \arrow[d, "\lambda \otimes \underline{\operatorname{End}}(v)"'] & \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G} \otimes \mathcal{E}) \arrow[d, "\underline{\operatorname{End}}(w)"] \\ \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}) \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) \arrow[r, "\varphi_{\mathcal{G},\mathcal{E}}"] & \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G} \otimes \mathcal{E}) \end{tikzcd}

On sait qu'il suffit de voir que loc. il provient d'un (unique) automorphisme de \xi, qui sera de la forme (u,v), u un automorphisme de \mathcal{G}, donc on doit prouver \lambda \simeq \underline{\operatorname{End}}(u), \qquad w = u \otimes v Or on sait que loc. \lambda est intérieur, i.e. qu'il existe loc. u tel que \lambda = \underline{\operatorname{End}}(u). Reste en remplaçant par F(u,v)^{-1}, on peut supposer que \lambda = \mathrm{id}. Donc on doit a \varphi \circ (\mathrm{id} \otimes \underline{\operatorname{End}}(v)) \simeq \underline{\operatorname{End}}(w) \circ \varphi, et on doit prouver qu'il existe [loc.] une section u de telle que w = \ill{}\,(\mathrm{id} \otimes v), i.e. w = \mathrm{id}_{\mathcal{G}} \otimes v

~~prenant la même image 1_{g} \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) \to \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{G}) \otimes \underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E})~~, la commutativité ~~partielle~~ donne \underline{\operatorname{End}}(w)(\mathrm{id}_{g} \otimes X) = \mathrm{id}_{g} \otimes \underline{\operatorname{End}}(v)(X) \qquad \text{pour } X \in \Gamma\,\underline{\operatorname{End}}(\mathcal{E}) w(\mathrm{id}_{g} \otimes X)w^{-1} = \mathrm{id}_{g} \otimes vXv^{-1} s'écrit que pour tout end. X de \mathcal{G}, Y de \mathcal{E}, la fin de la page est trop surchargée pour être suivie ; l'argument s'arrête ici

Notes de cours : topos et espaces sobres

Recall: direct and inverse images, fiber functor as inverse images, direct images of ~~sheaves with~~ algebraic structures (versus inverse images) (defined by finite \varprojlim and by \varinjlim) / case of an étale morphism: its base change side \mathrm{Top}(X).

Examples: field, integral domain. Example: product of epimorphisms not an epimorphism.

sheaf of ordered . Examples. Constant sheaves. ~~Sheaves~~ \underline{\operatorname{Hom}}(F,G) and \beta(F). Their intrinsic character. \beta(F) \simeq \underline{\operatorname{Hom}}(F, \beta(\ill{})). \mathrm{Top}(X) \simeq functors which commute with \varprojlim

~~The abstract~~ category T(X) embodies all topological information workable for X:

a)the notion of ~~sheaves~~ with alg. structures — X can be reconstructed from T(X). b)The notion of stack over X depends on T(X) alone (up to equivalence) c)Connexity of X ; cohomology and homotopy d)Relation ~~invariants~~ between \pi_{1} and covering spaces of X (cf. SGA 4 V and Artin & Mazur) e)Non commutative ~~homological~~ algebra: H^{1}(\ ,\ ) f)Other examples: local connectedness ; total disconnectedness, ~~quasi~~-compactness … g)Operations on spaces (sums, amalgamated sums) and properties of the continuous maps reflected by operations on topoi.

The « reasonable » spaces X can be recovered from \mathrm{Top}(X), and so can the continuous maps.

\mathrm{Fib}(E) (isomorphism classes of generalized fiber functors) on a topos space. It corresponds to the set \widetilde{X} of all closed irred. subsets of X, with the obvious topology, and

NB \mathrm{Fib}(E) is rigid if E = \mathrm{Top}(X), ~~X \to \mathrm{Fib}(E)~~

X \to \mathrm{Fib}(E) can be identified with x \mapsto \overline{\{x\}}. The topology of X is the inverse image topology.

map injective \iff \overline{\{x\}} = \overline{\{y\}} \Rightarrow x = y (i.e. separation axiom that x \neq y implies that either x or y has a neighbourhood not containing the other)

map surjective \iff every closed irred. subset of X has a generic point

~~so-called~~ map bijective \iff x \mapsto \overline{\{x\}} is a bijective map onto \widetilde{X} : X sober

[X \to \widetilde{X} can be viewed as being the universal map of X into a sober space, X \mapsto \widetilde{X} the left adjoint of the inclusion (\mathrm{Sp\ sob}) \longrightarrow (\mathrm{Sp}) \operatorname{Hom}_{\mathrm{Sp\ sob}}(X, i(Z)) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{Sp}}(\widetilde{X}, Z) Then X \to \widetilde{X} commutes with arbitrary \varprojlim …] les deux indices de catégorie sont portés dans cet ordre sur la page, alors que l'adjonction énoncée juste avant les échangerait ; on n'y touche pas

\mathrm{Top}(X) \simeq \mathrm{Top}(\widetilde{X}), \mathrm{Fib}(\mathrm{Top}(X)), it is a bijective, it is done

la page porte, de la main de Grothendieck, le numéro 1 ; les pages 37 et 39 portent 3 et et poursuivent la même suite

T espèce de structure « définie par \varprojlim finies » (resp. quelc.) sur famille d'ens. de base (E_{i})_{i \in I} (I ens. donné)

Pour toute catégorie C avec \varprojlim finies (resp. quelconques) on a donc \text{« famille d'objets de } C \text{ sous-jacente »} \qquad T(C) \xrightarrow{\ \varphi^{T}_{C}\ } C^{I} foncteur allant de la catégorie des « structures d'espèce T dans C » vers C^{I}. Pour tout foncteur u : C \longrightarrow C' commutant aux \varprojlim finies (resp. quelc.) on a de plus T(C) \xrightarrow{T(u)} T(C'), rendant commutatif le diagramme

\begin{tikzcd} T(C) \arrow[r, "T(u)"] \arrow[d, "\varphi^{T}_{C}"'] & T(C') \arrow[d, "\varphi^{T}_{C'}"] \\ C^{I} \arrow[r, "u^{I}"'] & C'^{I} \end{tikzcd}

On a T(\mathrm{id}_{C}) = \mathrm{id}_{T(C)}, T(vu) = T(v)T(u), donc T est un foncteur de L_{0} = (\mathrm{Cat}\ \varprojlim \text{ finies}) (resp. L = (\mathrm{Cat}\ \varprojlim)) dans \mathrm{Cat}, d'où on une catégorie -fibrée \mathcal{T} , muni d'un ~~foncteur~~ de T dans \mathcal{T}_{I} : C \mapsto C^{I}, \varphi^{T} : \mathcal{T} \longrightarrow \mathcal{T}_{I} Soit T' une autre « espèce de structure », alors on définit \underline{\operatorname{Hom}}_{L}(T, T') = \underline{\operatorname{Hom}}_{L_{0}}(\mathcal{T}_{L_{0}}, \mathcal{T}'_{L_{0}}) \bigl[\ \operatorname{resp.}\ \underline{\operatorname{Hom}}_{L}(T, T') = \underline{\operatorname{Hom}}_{L_{0}}(\mathcal{T}_{L_{0}}, \mathcal{T}'_{L_{0}}) \ \bigr] et si I = I' \underline{\operatorname{Hom}}_{L}(I ; T, T') = \text{catégorie des hom. de } \mathcal{T}_{L_{0}} \text{ dans } \mathcal{T}'_{L_{0}} munis d'une donnée de compatibilité \alpha entre \varphi^{T} et \varphi^{T'} à valeurs dans \mathcal{T}_{I}.

la variante « resp. » annoncée entre crochets au bas de la page est laissée en blanc

in other words, X and \widetilde{X} have the same sheaf theory. For all (most!) practical purposes, X can be replaced with \widetilde{X}.

We have a map \operatorname{Hom}_{\mathrm{Sp}}(X, Y) \longrightarrow \operatorname{Hom}\mathrm{top}(\mathrm{Top}(X), \mathrm{Top}(Y)) \qquad (\text{isom classes}) it is bijective if Y is sober. In fact, the category \underline{\operatorname{Hom}}\mathrm{top}(\mathrm{Top}(X), \mathrm{Top}(Y)) is ~~discrete~~ rigid, associated to an order relation on \operatorname{Hom}\mathrm{top}(\mathrm{Top}(X), \mathrm{Top}(Y)) (specialisation).

The notion of a topos. (gener.) « topology » = study of topoi.

(Why it is a natural and useful generalisation of the notion of topological space?

a)It is the natural setting for most « algebraic » (and non algebraic) structures. b)As such, it allows to construct classifying topoi for such structures (possibly all): algebra = topology! c)It is stable under a variety of operations that in many cases do not make sense in the category of topological spaces: * generalized notion of passing to quotient (by wild equivalence relations, which would give pathological quotients within top. spaces) * clutching together of pieces à la Artin d)They arise in various questions of geometry ~~as modular~~ topoi e)They provide the most convenient set-up for all topics involving systematically passing to quotients. f)They give the ultimate outcome for [the intuitive notion of] localization g)They are technical tools for various cohomology theories in algebraic geometry.

Examples of topoi \mathrm{Top}(X), \mathrm{Top}(X, G), \widehat{C} ; for instance B_{G} (G discrete) ; \mathrm{Top}(X), B_{G}, H^{*}(G, -)

page numérotée 3 de la main de Grothendieck

Si T est donné avec I, on a une application canonique I \longrightarrow \mathrm{Ob}\,\Gamma^{T}_{\varphi} \qquad (\text{resp. } I \to \mathrm{Ob}\,\Gamma^{T}_{\varphi_{0}}) On a, si T est de \varprojlim, un foncteur \Gamma^{T} \longrightarrow \Gamma_{0}^{T} (En particulier pour T' = \tau) et on a commutativité dans

\begin{tikzcd} \mathrm{Ob}\,\Gamma^{T} \arrow[rr] & & \mathrm{Ob}\,\Gamma_{0}^{T} \\ & I \arrow[ul] \arrow[ur] & \end{tikzcd}

~~Supposons~~

Ex. Supposons qu'il existe un \beta^{T} \in (\mathrm{Cat}\ \varprojlim) (resp. \beta_{0}^{T} \in (\mathrm{Cat}\ \varprojlim)) telle que T (resp. T_{0}) soit ~~défini~~ 2-représentable par cet objet : T(C) \simeq \underline{\operatorname{Hom}}_{\varprojlim}(\beta^{T}, C) \qquad C \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Cat}\ \varprojlim) \bigl(\ T(C) \simeq \underline{\operatorname{Hom}}_{\varprojlim}(\beta_{0}, C) \qquad C \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Cat}\ \varprojlim)\ \bigr) Alors

a)\beta (\beta_{0}) est défini à équivalence près, ~~défini~~ unique à isom. unique près b)Pour toute catégorie 2-cofibrée \mathcal{F} sur (\mathrm{Cat}\ \varprojlim) (resp. (\mathrm{Cat}\ \varprojlim)) on a une équiv. can. \underline{\operatorname{Hom}}(T, \mathcal{F}) \simeq \mathcal{F}(\beta) \bigl(\ \underline{\operatorname{Hom}}_{0}(T, \mathcal{F}) \simeq \mathcal{F}(\beta_{0})\ \bigr)

en particulier, si \mathcal{F} est défini par T' on a \underline{\operatorname{Hom}}(T, T') \simeq T'(\beta) \bigl(\ \underline{\operatorname{Hom}}_{0}(T, T') \simeq T'(\beta_{0})\ \bigr) et en particulier, faisant T' = i^{\text{struct}}, on a T'(\beta) = \beta (T'(\beta_{0}) = \beta_{0}), on trouve \beta = \underline{\operatorname{Hom}}(T, i) = \Gamma^{T} \bigl(\ \beta_{0} = \underline{\operatorname{Hom}}_{0}(T, i_{0}) = \Gamma_{0}^{T}\ \bigr)

Complements on relations between X and \mathrm{Top}(X)

Specialisations ~~and~~ morphisms between fiber functors

If x \in \overline{\{y\}}, then we have a functorial homomorphism F_{x} \to F_{y} (F \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Top}(X)) because the neighbourhoods of y contain x. Thus we get \mathrm{Cat}\bigl(X \text{ ordered by } x \leq y \text{ iff } x \in \overline{\{y\}}\bigr) \longrightarrow \mathrm{Fib}(\mathrm{Top}(X))

Proposition. \operatorname{Hom}(\xi_{x}, \xi_{y}) = \{\emptyset if x \not\leq y ; reduced to the specialisation hom. otherwise\}, i.e. the previous functor is fully faithful.

Corollary. If X sober (~~and only~~ more generally if X \to \widetilde{X} surjective, …) then (and only then …) the previous functor is an equivalence. [Assume X for simplicity]

b)\mathrm{Cat}\text{-}\underline{\operatorname{Hom}}(X, Y) ordered by f \leq g iff \forall x \in X, f(x) \in \overline{\{g(x)\}} \downarrow \underline{\operatorname{Hom}}(\mathrm{Top}(Y), \mathrm{Top}(X)) fully faithful . If Y is ordered it is essentially consists of the f^{*}'s that are left exact and commute with \varprojlim, and

NB in the case of the 2-category we get lots of fiber functors we obtain « certain topoi »

Topos.

1)Definition a)Through certain properties + generators (for instance a) b) c) d)) *

Many sets of equivalent ~~axioms~~ properties possible. What is it that governs us will , whatever those properties … comes up?

The original definition was in terms of categories of ~~filtered~~ (generalized sheaves) or categories satisfying the categories O_{X}. We cannot express it now, but we can express

b)E \xrightarrow[f_{*}]{\text{fully faithful}} some \widehat{C}, C « small », with a left adjoint f^{*} which is left exact.

feuillet relié à l'envers dans le dossier ; il poursuit la suite numérotée des pages 35 et 37

Considérons l'espèce de structure « anneau (commutatif) », soit T. On sait qu'elle est définie en termes de \varprojlim finies, soit \lambda_{0} = (\text{ensemble fini}, \ill{}) le type de structure correspondant. On se propose donc d'étudier, dans plus tard, tout \lambda type tel que \lambda_{0} \to \lambda (les \lambda-catégories des produits finis, les \lambda-foncteurs y commutent) : il définit un \lambda-type T_{\lambda}. On se propose, pour divers \lambda, d'étudier l'existence et l'unicité d'un sous-type plein T^{*}_{\lambda} (T^{*}_{\lambda}(C) \to T_{\lambda}(C) pl. fidèle pour tout C) de telle façon que pour C = (\mathrm{Ens}), T^{*}_{\lambda}(C) soit la sous-catégorie pleine de T_{\lambda}(C) = cat. des anneaux (comm. unifères) qui sont des corps (commutatifs).

[On sait que l'unicité est acquise si \lambda(\lambda_{1}, \lambda_{2} = \emptyset)]

a)si \lambda = \lambda_{0}, il n'existe pas une telle T_{\lambda}. En effet, si \lambda = (\lambda_{1}, \lambda_{2} = \emptyset), \lambda formé de \varinjlim finis, alors T_{\lambda} est \lambda-représentable par la \lambda-catégorie R^{\lambda}_{T} qui est la sous-catégorie pleine S^{T}_{\lambda} de \mathrm{Ann} engendrée (par les \varinjlim de type \lambda) par \mathbb{Z}[T] (l'objet libre engendré par 1 élément). Les sous-~~catégories~~ types pleins de T_{\lambda} ~~sont les~~ correspondent aux catégories de fractions de S^{T}_{\lambda} par des ens. de flèches M stables par composition, et par \varinjlim de type \lambda. (On aura cat. ~~quotient~~ de fractions analogue pour S^{T}_{\lambda} pour des ens. M de flèches stables par \varinjlim de type \lambda.) Ici, les flèches en question sont telles des flèches u : A \to B dans S^{T}_{\lambda} (\subset \mathrm{Ann}) telles que pour tout corps k \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Ann}), la flèche \operatorname{Hom}(B, k) \to \operatorname{Hom}(A, k) soit bijective [ou encore que les morphismes de schémas affines u' : X \to \struck{Y} définis par u soient tels que X(k) \simeq Y(k) pour tout corps k. On sait que cela signifie que u est ~~bijective~~ et définit des ext. résiduelles triviales]. Cet ens. de flèches est évidemment stable par composition et par \varinjlim (resp. \varprojlim) de type \lambda. (Serait vrai pour toute sous-catégorie de (\mathrm{Ann}).)

(We can take for C any subcategory of E which is generating E, in the sense earlier explained, and take E \xrightarrow{f_{*}} \widehat{C} by ~~associating to each~~ f_{*}(X) = (A \mapsto \operatorname{Hom}(A, X)) ; to say that this functor is conservative means that C is generating, and this ~~does imply~~ is equivalent with f_{*} fully faithful, and implies the existence of the left adjoint f^{*} …)

Generators. Useful in various contexts: existence of adjoints (Cartesian, or otherwise) ; together with generators, existence of cogenerators, and technically the fact that ~~functors~~ contravariant functors to Sets (S \to) that transform \varinjlim (\varprojlim) into \varprojlim are representable.

NB Recall that a topos has cohomotopy and homotopy invariants.

Examples

\mathrm{Top}(X) : \mathrm{Top}(\emptyset) empty topos ; \mathrm{Top}(1) point (or final) topos.

\mathrm{Top}(X, G) : \mathrm{Top}(X, e) = \mathrm{Top}(X) ; \mathrm{Top}(*, G) = B_{G}. H^{i}(B_{G}, \ ) = H^{i}(G, \ )

Here fiber functor of B_{G} is forgetful functor. It has automorphisms , and it generalizes B_{G}.

\widehat{C} (from algebra) C^{\circ} \xrightarrow{\text{fully faithful}} \mathrm{Fib}(\widehat{C}) [we can prove this is even \mathrm{Ind}(C^{\circ}) \simeq \mathrm{Fib}(\widehat{C})]

Question. Can we have an equivalence \widehat{C} \simeq \mathrm{Top}(X) ? It would suffice that C is an ordered category, and that X has which have a smallest neighbourhood (« essential points ») — they would be ~~everywhere~~ dense — C could be interpreted as contained in the set of of X with the relation we can then take X = \mathrm{Ind}(C) (dual to C … of decreasing families) and a the topology

it is , and their that \Rightarrow different \Rightarrow fully faithful. We will that categories equivalent topos