Cote n° 161-2, pages 101–111

Cote n° 161-2 · batch 6 · pages 101–111 · Transcription · Algèbre universelle [ou catégories] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1963-1973]
Édition de démonstration

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101author's p. ⑤ ; la copie paginée ①–④ du lot précédent (pp. 97–100) se poursuit ici jusqu'à ⑩ (p. 106) ; les alinéas 6, 7, 8 sont numérotés dans des carrés

5.4. L'essentiel […] se décompose en les questions

a')\(\tau^{I}\) est-il représentable par une catégorie \(R_{I}\) (la \(\lambda\)-catégorie libre engendrée par \(I\) objets) qui soit \(\lambda\)-engendrée (au sens de (5.3)) par \(\mathrm{Im}(I \to \mathrm{Ob}\,R_{I})\) ?
b')Soient \(R \in \mathrm{Ob}\,(\mathrm{Cat}_{\lambda})\) un mot biffé entre \(\mathrm{Ob}\) et la parenthèse, \(A \in \mathrm{Fl}\,R\). Y a-t-il une \(\lambda\)-catégorie \(R_{A}\) [\(\in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\)] « universelle » pour rendre inversibles les flèches \(\in A\), et \(R_{A}\) est-il \(\lambda\)-engendré par \(\mathrm{Im}\,R\) ? cf. note avant b)
c')l'encre se lit plutôt « b'' » Soit \(R \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Cat}_{\lambda})\), \(B\) un […] petit ensemble, et \(\alpha : B \to \mathrm{Ob}\,R \times \mathrm{Ob}\,R\). […] Y a-t-il une \(\lambda\)-cat. \(R' = R_{B,\alpha} \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\) universelle […] munie d'un \(\lambda\)-foncteur \(R \xrightarrow{\ i\ } R'\) et d'applications \(B \to \mathrm{Fl}\,R'\) un mot biffé devant \(\mathrm{Fl}\,R'\) telle que le composé avec \(\mathrm{Fl}\,R' \to \mathrm{Ob}\,R' \times \mathrm{Ob}\,R'\) soit le composé de \(\alpha\) avec \(\mathrm{Ob}\,i \times \mathrm{Ob}\,i\). De plus, \(R'\) est-il \(\lambda\)-engendré par \(\mathrm{Im}\,i\) ?
d')Soient \((R_{j})_{j \in J}\) une petite famille d'objets de \((\mathrm{Cat}_{\lambda})\), munies d'applications \(I \xrightarrow{\ \varphi_{j}\ } \mathrm{Ob}\,R_{j}\). Y a-t-il une solution au pb universel d'envoyer les \(R_{j} \xrightarrow{\ \psi_{j}\ } R\), \(R \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\), avec des applications [un] syst. transitif d' isomorphismes entre les […] \(\psi_{j} \circ \varphi_{j}\) (\(I\) considéré comme cat. discrète…), et \(R\) est-il \(\lambda\)-engendré par la réunion des images des \(\psi_{j}\) ?

[…] envie des preuves 5.5. Soit \(S \subset \mathrm{Ob}\,R\), \(R \in \mathrm{Ob}\,C_{\lambda}\) \(C_{\lambda}\) ici et deux fois plus bas, abréviation manifeste de \(\mathrm{Cat}_{\lambda}\), supposons que \(\forall R' \in \mathrm{Ob}\, C_{\lambda}\), et \(F, G \in \mathrm{Hom}_{\lambda}(R, R')\), \[\mathrm{Hom}(F, G) \longrightarrow \prod_{s \in S} \mathrm{Hom}(F(s), G(s))\] est injectif. Alors \(R\) est-il \(\lambda\)-engendré par \(S\) ? (la réciproque étant évidemment vraie…)

102author's p. ⑥

5.6. Partons de \(R \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\), avec \(I \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathrm{Ob}\,R\) tels que \(R\) soit \(\lambda\)-engendré par \(I\). Considérons la cat. 2-[…]fibrée \(T\) sur \((\mathrm{Cat}_{\lambda})\) définie par \(R\), et […] supplémentaire \(T \xrightarrow{\ \varphi\ } \tau^{I}\) déduit de \(\varphi\). Prouver, que \((T, \varphi)\) est un \(\lambda\)-\(I\)-type ? (Il faut peut-être renforcer la notion de sous-catégorie \(\lambda\)-engendrée, en tenant compte des flèches, pas seulement des objets… ?)

5.7. Si on laisse tomber \(I\), une […] catégorie 2-cofibrée \(T\) sur \((\mathrm{Cat}_{\lambda})\) est un \(\lambda\)-type, si c'est un \(\lambda\)-\(I\)-type pour [\(I\) et] \(\varphi : T \to \tau^{I}\) convenables. Ceci signifie donc (si […] ce qui précède […]) que \(T\) est \(\lambda\)-représentable par un \(R \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Cat}_{\lambda})\), i.e. \(\mathrm{Ob}\,R\) admet une petite partie qui soit \(\lambda\)-génératrice (en un sens convenable à dégager). Question […] diagrammes finis, dans un \(R \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\) […] d'un \(I \to \mathrm{Ob}\,R\) […] type […] catégorie ? la note marginale est écrite en diagonale, sur une dizaine de lignes, et reste en grande partie illisible ; seuls les symboles passent

[6] \(\lambda\)-variable. On devrait trouver (pour \(\lambda \subset \lambda'\)) un 2-foncteur \[\begin{equation} (\lambda\text{-types}) \xrightarrow{\ \eta_{\lambda\lambda'}\ } (\lambda'\text{-types}) \tag{6.1} \end{equation}\] à droite, entre parenthèses : \(\eta_{\lambda,\lambda'}(T_{\lambda})(C) = T_{\lambda}(C)\) si \(C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda'}\) (\(\subset \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\)) qui correspondent à un 2-foncteur \[\begin{equation} (\mathrm{Cat}_{\lambda}) \xrightarrow{\ \eta_{\lambda\lambda'}\ } (\mathrm{Cat}_{\lambda'}) \tag{6.2} \end{equation}\] le symbole sur la flèche de (6.2) porte peut-être un accent « \(\lambda'\)-catégories analysantes ». Il faudrait donner des conditions moyennant lesquelles (6.1) est pl. fidèle. [Ex […] \(\varprojlim\) finies, \(\lambda' = \varprojlim\) quelc. (\(\bar{\eta}(C) = \mathrm{Pro}(C)\) ?) ; \(\lambda = \varinjlim\) finies, \(\lambda' = \varinjlim\) quelc. (\(\bar{\eta}(C) = \mathrm{Ind}(C)\) ?)]

en marge : « ! || » \(\eta_{\lambda,\lambda'}\) est-il […] pl. fidèle, i.e. \(\mathrm{Hom}_{\lambda}(T_{1}, T_{2}) \to \mathrm{Hom}_{\lambda'}(T_{1}, T_{2})\) est-il […] une équivalence pour \(T_{1}\) et \(T_{2}\) des \(\lambda\)-types ? Sans doute faux, mais […] pl. fidèle si \(\overrightarrow{\lambda} = \emptyset\).

[7] Dualité : Opposé d'un « type » \(\lambda = (\overleftarrow{\lambda}, \overrightarrow{\lambda})\) : on échange les types de diagrammes utilisés pour les \(\varprojlim\) [et] \(\varinjlim\). Alors pour tt \(\lambda\)-type \(T_{\lambda}\), on définit un \(\lambda^{\circ}\)-type \(T^{\circ}_{\lambda}\) […] \[\begin{equation} T^{\circ}_{\lambda}(C) \cong T_{\lambda}(C^{\circ})^{\circ} \tag{7.1} \end{equation}\] les indices \(\lambda\) de (7.1), ici et en haut de la page suivante, sont surchargés

103author's p. ⑦ i.e. on a une équivalence de Cat. 2-cofibrées \[\begin{equation} T^{\circ}_{\lambda} \cong (T_{\lambda})^{\circ} \circ (\ldots) \tag{7.1} \end{equation}\] le dernier facteur, entre parenthèses, est indistinct ; on lit peut-être « pass. à l'opp. » ; au-dessous, un numéro (7.2) biffé On trouve ainsi une 2-équivalence \[\begin{equation} (\lambda\text{-types}) \cong (\lambda^{\circ}\text{-types}) \tag{7.3} \end{equation}\] (et kif kif avec \(I\) \[\begin{equation} (\lambda\text{-}I\text{-types}) \cong (\lambda^{\circ}\text{-}I\text{-types})\ ) \tag{7.4} \end{equation}\] compatible, via les cat. représentatives, – \[\begin{equation} (\mathrm{Cat}_{\lambda}) \cong (\mathrm{Cat}_{\lambda^{\circ}}), \qquad C \longmapsto C^{\circ} \tag{7.6} \end{equation}\] le numéro est surchargé, 5 ou 6

[8] Cas où \(\overrightarrow{\lambda} = \emptyset\) (structures définies via \(\varprojlim\)). \(T\) désignera une \(\lambda\)-structure.

8.1. Pour tout \(C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\), les limites \(\varprojlim\) de type \(\lambda\) existent dans \(T(C)\) ; plus généralement, les lim [pour] tout type \(d\) […] [de] \(\varprojlim\) qui existent dans \(C\) existent aussi dans \(T(C)\). [Écrire \(T(C) \cong \mathrm{Hom}_{\lambda}(R_{T}, C)\) et noter que […] l'hyp. sur \(C\) implique que \(\mathrm{Hom}(R_{T}, C)\) au-dessus : « se calculant argument par argument » […] a des \(\varprojlim\) de type \(d\), et que […] \(\mathrm{Hom}_{\lambda} (R_{T}, C)\) […] par icelles \(\varprojlim\).] De plus, pour tt \(\xi \in R_{T}\), […] \(\Gamma_{C}\) \(: T(C) \to C\) commute aux \(\varprojlim\) de type \(d\).

8.1.1. Plus généralement (\(\lambda\) quelconque, sans néc. \(\overrightarrow{\lambda} = \emptyset\)). Si [\(C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\) et si] […] \(d\) est un type de diagrammes tel que

a)\(C\) admet des \(\varprojlim\) de type \(d\) (p.ex. \(d \in \overleftarrow{\lambda}\))
b)dans \(C\), les \(\varprojlim\) de type \(d\) commutent aux \(\varinjlim\) de type \(\in \overrightarrow{\lambda}\)

Alors […] \(T(C)\) admet des \(\varprojlim\) de type \(d\), et […] icelles \(T(C) \simeq \mathrm{Hom}_{\lambda}(R^{\lambda}_{T}, C)\) […] se calculent « argument par argument ». [Pour] tout[e] […] construction \(\rho\) rel. à \(T\), le foncteur correspondant \[\rho : T(C) \longrightarrow C\] de plus si \(C'\) est […] et […] \(C \to C'\) commute aux \(\varprojlim\) de type \(d\), alors \(T(C) \to T(C')\) […] \(T(C) \to T(C')\) […] ; kif-kif si \(T \to T'\), \(T(C) \to T'(C)\) […] commute aux […] de type \(d\) […] note marginale en diagonale au bas de la page, en partie illisible ; la phrase « le foncteur correspondant \(\rho\) » se poursuit en haut de la page suivante

104author's p. ⑧ commute aux \(\varprojlim\) de type \(d\). Bien sûr, on a un énoncé dual pour les \(\varinjlim\).

8.2. (remarque) Notons que pour […] quelconque […] [et un \(\lambda\)-type \(T\),] il est vrai que pour tt \(\lambda\)-foncteurs en insertion, entre accolades : « pl. fid. (fid.) les foncteurs » \[\begin{equation} i : C \longrightarrow C' \tag{8.2.1} \end{equation}\] \[\begin{equation} T(i) : T(C) \longrightarrow T(C') \tag{8.2.2} \end{equation}\] […] [est] pl. fidèle (fid.). Si \(T\) est muni de \(b : T \to \tau^{I}\) (« base ») fidèle, i.e. \(R = R^{\lambda}_{T}\) au-dessus : « qui 2-représente \(T\) » est muni de \(\varphi : I \to \mathrm{Ob}\,R\) l'indice de \(R\) est biffé, alors le carré dans le cas pl. fidèle

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\begin{tikzcd}
  T(C) \arrow[r] \arrow[d] & T(C') \arrow[d] \\
  C^{I} \arrow[r, hook] & C'^{I}
\end{tikzcd}

numéroté (8.2.3) est 2-cartésien [Ceci signifie aussi, en termes de \(R\), que la ss-catégorie pleine des \(\mathrm{Hom}_{\lambda}(R, C)\) de \(\mathrm{Hom}_{\lambda}(R, C')\) s'identifie aux [est formée des] foncteurs \(R \xrightarrow{\ \xi\ } C'\) tels que \(\xi(\varphi(i)) \in C\) pour tt \(i \in I\) : en effet, comme \(I\) \(\lambda\)-engendre \(R\), il s'ensuit que \(\xi\) (qui commute aux \(\varprojlim\) de type \(\lambda\)) envoie \(R\) dans l'image essentielle [de] \(C\).] en insertion, sur deux lignes serrées : En termes imagés, […] où \((E_{i})_{i \in I}\) est une famille d'objets de \(C\), « il revient au même » de se donner dessus une structure d'espèce \(T\) sur les \(E_{i}\) […] et une […] sur les images […] la fin de la phrase court dans la marge gauche, en partie illisible

Appliquant ceci, pour \(C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\), au plongement canonique \[\begin{equation} i : C \hookrightarrow \hat{C} \tag{8.2.4} \end{equation}\] à droite, souligné d'un trait ondulé : « qui est un \(\lambda\)-foncteur si \(\lambda = (\overleftarrow{\lambda}, \emptyset)\) ; » on trouve le foncteur

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\begin{tikzcd}
  T(C) \arrow[r] \arrow[d] & T(\hat{C}) \arrow[d] \\
  C^{I} \arrow[r] & \hat{C}^{I}
\end{tikzcd}

numéroté (8.2.5) ; à droite : « (2-cartésien) », puis, entouré : « On suppose \(\overrightarrow{\lambda} = \emptyset\) » Or supposons ici […] \(\hat{C}\) […] \(\mathrm{Ob}\, \mathrm{Cat}_{\lambda}\) […] catégorie […] i.e. que \(\hat{C}\) […] si \(C\) est \(\mathcal{U}\)-petite […] Dans \(T(\hat{C})\) […] \(X \in\) Considérons le foncteur contravariant canonique de \(\hat{C}\) dans \(\mathrm{Hom}(\hat{C}, (\mathrm{Ens}))\), […] [sa] restriction à \(C\) […] moyennant \(i\) est un foncteur canonique \(C^{\circ} \to \mathrm{Hom}_{\lambda}(\hat{C}, (\mathrm{Ens}))\), et qui s'en va en […] fait dans la \(\hat{C}\) ss-catégorie pleine des foncteurs qui commutent […] à tt type [« petit »] de lim (ind ou proj), donc en particulier \[\begin{equation} C^{\circ} \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\lambda}(\hat{C}, (\mathrm{Ens})), \qquad X \longmapsto (F \mapsto F(X)) \tag{8.2.6} \end{equation}\] D'où on a […] \[\mathrm{Hom}_{\lambda}(\hat{C}, (\mathrm{Ens})) \longrightarrow \mathrm{Hom}(T(\hat{C}), T((\mathrm{Ens})))\] les deux \(T\) du membre de droite portent un indice biffé NB L'hyp. « \(\hat{C}\) une \(\mathcal{U}\)-catégorie » […] est essentielle pour la représentabilité […] (8.2.9) […] \(C\) […] catégorie […] \(T(\hat{C})\) […] de l'« absolu » […] on suppose […] des univers […] \(\lambda\) quelc. deux notes marginales à gauche, la première longue et en grande partie illisible ; leur place dans le texte n'est pas marquée

105author's p. ⑨ d'où en composant avec (8.2.6) un foncteur canonique \[\begin{equation} C^{\circ} \longrightarrow \mathrm{Hom}(T(\hat{C}), T(\mathrm{Ens})) \tag{8.2.7} \end{equation}\] ou, de façon équivalente, un foncteur canonique \[\begin{equation} T(\hat{C}) \xrightarrow{\ \alpha\ \approx\ } \mathrm{Hom}(C^{\circ}, S_{T}) \qquad \text{où } S_{T} = T(\mathrm{Ens}) \tag{8.2.8} \end{equation}\] le second argument de \(\mathrm{Hom}\) a d'abord été écrit \((\mathrm{Ens})\), biffé Si on a un ensemble d'indices des bases pour \(T\), on aura un carré commutatif

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
  T(\hat{C}) \arrow[r, "\alpha\ \approx"] \arrow[d, "b_{\hat{C}}"'] &
  \mathrm{Hom}(C^{\circ}, S_{T})
  \arrow[d, "{\mathrm{Hom}(C^{\circ},\, b_{(\mathrm{Ens})})}"] \\
  \hat{C}^{I} \arrow[r, "\cong"'] & \mathrm{Hom}(C^{\circ},
  (\mathrm{Ens}))^{I}
\end{tikzcd}

numéroté (8.2.9) \(\mathrm{Hom}_{\lambda}(R, \hat{C}) \cong \mathrm{Hom}(R \times C^{\circ}, (\mathrm{Ens})) \cong \mathrm{Hom}(C^{\circ}, \mathrm{Hom}_{\lambda}(R, (\mathrm{Ens})))\) formule encadrée dans la marge gauche ; l'indice du \(\mathrm{Hom}\) extérieur et son premier argument sont surchargés, et un renvoi « (8.2.8) » est écrit sous le dernier terme le foncteur […] \(\alpha\) est tjs une équivalence, donc [si \(\overrightarrow{\lambda} = \emptyset\)] […] [le] carré 2-cartésien

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\begin{tikzcd}[column sep=large]
  T(C) \arrow[r, hook] \arrow[d, "b_{C}"'] & \mathrm{Hom}(C^{\circ},
  S_{T}) \arrow[d, "{\varphi \mapsto (b_{i,\mathrm{Ens}} \circ
  \varphi)_{i \in I}}"] \\
  C^{I} \arrow[r, hook] & \hat{C}^{I}
\end{tikzcd}

numéroté (8.2.10) ; à droite : « (2-cartésien […]) », « (\(\overrightarrow{\lambda} = \emptyset\)) », le reste raturé ; dans la marge gauche, entouré : \(\overrightarrow{\lambda} = \emptyset\)

Ou, en termes imagés : [Se] donner une structure d'espèce \(T\) [dans \(C\)] revient kif-kif [à la] […] dans \(\hat{C}\), i.e. à la donnée, pour \((E_{i}) \in \mathrm{Ob}\,C^{I}\), d'une […] structure d'espèce \(T\) sur le […] [foncteur] variant fonctoriellement avec […] […] variant : la donnée, pour chaque [fonctoriellement] la donnée pour tt \(Z \in \mathrm{Ob}\,C\) d'une […] [structure d'espèce \(T\) sur] \(\big(E_{i}(Z)\big)_{i \in Z} = \big(\mathrm{Hom}(Z, E_{i})\big)_{i \in I}\) sic : « \(i \in Z\) » au premier indice […] avec \(Z\). le passage est écrit sur deux colonnes avec des insertions interlinéaires ; l'ordre de lecture est reconstitué

Lorsque \(\alpha\) est une […] équivalence, en insertion : « (pour tt \(C\) tel que […] \(\mathcal{U}\)-catégorie) » alors structure \(T(C)\) est connu (à équivalence près (…)) lorsque l'on connaît \[\begin{equation} \begin{cases} S = S_{T} = T(\mathrm{Ens}), \text{ avec les foncteurs} \\ \beta_{i} : S_{T} \longrightarrow (\mathrm{Ens}) \end{cases} \tag{8.2.11} \end{equation}\] à droite des accolades : « \(\beta = b_{\mathrm{Ens}}\) », l'indice surchargé comme la sous-catégorie pleine des \(\mathrm{Hom}(C^{\circ}, S_{T})\) formée des \(\varphi : C^{\circ} \to S_{T}\) tels que les \(\beta_{i} \circ \varphi\) soient représentables.

8.2.12. Si on veut une car. intrinsèque, on peut dire aussi que c'est la sous-catégorie pleine des \(\varphi : C^{\circ} \to S_{T}\) tels que \(\beta_{\mathrm{Ens}} \circ \varphi\) représentables [représentable] pour tt \(\beta \in R^{\lambda}_{T}\). Notons que le foncteur \[\begin{equation} \beta \longmapsto \beta_{\mathrm{Ens}} : R = R^{\lambda}_{T} \longrightarrow \mathrm{Hom}(S_{T}, (\mathrm{Ens})) = \widehat{S^{\circ}_{T}} \tag{8.2.13} \end{equation}\] sous le premier argument de \(\mathrm{Hom}\), relié par un double trait : « \(S_{T}\) » ; le membre de droite est suivi d'un numéro surchargé, (8.2.15) ou (8.2.13) est aussi le foncteur évident \[\begin{equation} R \longrightarrow \mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}_{\lambda}(R, \mathrm{Ens}), (\mathrm{Ens})) \tag{8.2.14} \end{equation}\] Or, si on considère \(S = \mathrm{Hom}_{\lambda}(R, (\mathrm{Ens}))\) comme ss-catégorie pleine de \(\widehat{R^{\circ}}\), celle-ci contient \(R^{\circ}\) ([identifié à] la cat. des foncteurs représentables de \(R\) dans \((\mathrm{Ens})\)) donc … […] \(\widehat{R^{\circ}}\),

106author's p. ⑩ \[\begin{equation} R^{\circ} \subset S \subset \widehat{R^{\circ}} \tag{8.2.15} \end{equation}\] […] et le foncteur \[\pi : R \times S \longrightarrow (\mathrm{Ens})\] est donné par \[\begin{equation} \pi(c, \xi) = \xi(c) = \mathrm{Hom}_{\widehat{R^{\circ}}}(c, \xi) = \mathrm{Hom}_{S}(c, \xi) \tag{8.2.16} \end{equation}\] i.e. […] [(8.2.13) est] au-dessous, en petit et biffé : « l'opposé » des foncteurs foncteur [le] composé des deux foncteurs pleinement fidèles \[\begin{equation} R \hookrightarrow S^{\circ} \hookrightarrow \widehat{S^{\circ}} = \mathrm{Hom}(S, (\mathrm{Ens})) \tag{8.2.17} \end{equation}\] après le signe \(=\) de (8.2.16), un terme biffé ; dans (8.2.17) le premier terme porte un exposant \(\circ\) surchargé, sans doute biffé ; sous la première flèche : « (8.2.15) » donc est pl. fidèle. Ainsi \(R\) est connu [à équiv. près] quand on connaît son image [dans] \(\widehat{S^{\circ}}\) […] […].

Pour résumer, si \(T\) est un \(\lambda\)-type (\(\overrightarrow{\lambda} = \emptyset\)), alors \(S = T(\mathrm{Ens})\) est muni d'une sous-catégorie […] pleine \(\Sigma \subset S\), formée des \(\varphi \in \mathrm{Ob}\,S\) tels que pour tout \(C \in \mathrm{Ob}\, \mathrm{Cat}_{\lambda}\) et tout […] \(\xi \in C_{\lambda}\) on attendrait \(\xi \in T(C)\), […] [exprimant un] […] foncteur \[\widetilde{\xi} : C^{\circ} \longrightarrow S, \qquad x \longmapsto \mathrm{Hom}(x, \xi)\] le foncteur composé avec \(\mathrm{Hom}_{S}(\varphi, -)\) soit représentable un terme biffé dans le second argument : \[x \longmapsto \mathrm{Hom}_{S}(\varphi, \mathrm{Hom}(x, \xi))\] \(\Sigma\) est stable dans \(S\) par \(\varinjlim\) [(inductives)] de type \(\in \lambda\) « de type \(\in \lambda\) » est peut-être biffé [car \(C\) est stable dans \(\hat{C}\) par \(\varprojlim\) de type \(d\), \(\forall C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}\)] et pour tt \(C\) comme dessus, on a des foncteurs au-dessus : « comme \(\lambda\)-foncteurs » \[\Sigma^{\circ} \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(T(C), C), \qquad T(C) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\lambda}(\Sigma^{\circ}, C)\] On voit alors que l'on trouve ainsi une la phrase s'arrête là ; le reste de la page est blanc, et la copie paginée ①–⑩ se termine ici

108feuillet au crayon, d'une autre main de plume que la copie ①–⑩ ; deux ajouts à l'encre bleue sont signalés ; les notations \(B_{T}\), \(O_{B}\), \(T(\mathrm{Ens})\) sont celles des pp. 97–106 Soit \(C\) une catégorie ess. petite avec \(\varprojlim\) finies, \(T\) l'espèce de structures que \(C\) définit, \(\hat{C} = B_{T} = B\) le topos classifiant, \(O_{B}\) la structure universelle dans \(B\) (s'identifiant à l'inclusion \(C \to \hat{C}\)). \(E\) un topos. \[O_{E} \in \mathrm{Ob}\,T(E) \simeq \mathrm{Ob}\,\mathrm{Hom}_{sex}(C, E) \ni f_{0}\] sous \(O_{E}\), une double flèche verticale \(\Updownarrow\) menant à la ligne suivante ; à droite, à l'encre bleue : « le morphisme correspondant » \[f : E \longrightarrow B_{T}\] devant \(f\), un symbole raturé \(\xi\) la structure donc \[O_{E} \simeq f^{*}_{T}(O_{B}) \qquad f_{0} = f^{*} \mid C\] \(U \in \mathrm{Ob}\,E\), \(X \in \mathrm{Ob}\,B\) (p.ex. \(X \in \mathrm{Ob}\,C\)), on définit une bijection [application] \[\begin{equation} \mathrm{Hom}_{E}(U, f^{*}X) \longrightarrow \mathrm{Hom}(O_{B}(X), O_{E}(U)) \tag{1} \end{equation}\] la flèche porte un signe raturé ; sous le membre de droite, à l'encre bleue : \(T(\mathrm{Ens}) = \mathrm{Ind}(C^{\circ})\) Où \(O_{E}(U) \in T(\mathrm{Ens})\) est l'image de \(O_{E} \in T(E)\) par le foncteur \(Z \mapsto \mathrm{Hom}_{E}(U, Z) : E \to (\mathrm{Ens})\) (qui commute aux \(\varprojlim\)) et où on définit de \(=\) \(O_{B}(X)\) dans \(\hat{C}\). En effet, on a \[\mathrm{Hom}_{E}(U, f^{*}(X)) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{T(\mathrm{Ens})}(O_{E}(f^{*}(X)), O_{E}(U)) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{T(\mathrm{Ens})}(O_{B}(X), O_{E}(U))\] car on a un morphisme de \(T(\mathrm{Ens})\) \[O_{B}(X) \longrightarrow O_{E}(f^{*}(X))\] au bas de la page, un schéma sur deux lignes : \[\begin{gather*} C \longrightarrow \hat{C} \xrightarrow{\ h_{X}\ } (\mathrm{Ens}), \qquad Y \longmapsto \mathrm{Hom}_{C}(X, Y) = \mathrm{Hom}_{C^{\circ}}(Y, X) \\ \to \mathrm{Hom}_{\hat{C}}(X, Y) \to \mathrm{Hom}_{E}(f^{*}(X), f^{*}(Y)) \end{gather*}\] au-dessous, biffé : \(f_{0} \to E \xrightarrow{h_{f^{*}(X)}}\), \(Y \mapsto \mathrm{Hom}_{E}(\ldots, f_{0}(Y))\), le premier argument raturé

109Prouver que si \(X \in \mathrm{Ob}\,C\), l'application précédente est une bijection. D'ailleurs, le 2ème membre s'exprime comme \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Ind}(C^{\circ})}(X^{\circ}, O_{E}(U))\) pour \(U\) fixé ; la catégorie des couples \((X^{\circ}, \xi)\) (\(\xi \in \mathrm{Hom}(X^{\circ}, O_{E}(U))\)) est la catégorie d'indices naturelle définissant l'Ind-objet \(O_{E}(U)\) de \(\mathrm{Ind}(C^{\circ})\)… \[O_{B}(X) : C \longrightarrow (\mathrm{Ens}), \qquad Y \longmapsto \mathrm{Hom}_{C}(X, Y) = \mathrm{Hom}_{C^{\circ}}(Y, X)\] \[O_{E}(U) : \qquad\qquad Y \longmapsto \mathrm{Hom}_{E}(U, f_{0}(Y))\] le premier argument du dernier \(\mathrm{Hom}\) est surchargé \[\mathrm{Hom}(O_{B}(X), O_{E}(U)) = O_{E}(U)(X) = \mathrm{Hom}_{E}(U, f_{0}(X))\]

On va en profiter pour calculer \(f^{*}(\mathcal{F})\), i.e. \(\mathcal{F}\) un champ sur \(B\). Il revient au même de [se] donner la restriction de \(\mathcal{F}\) à […] […] \(C\), i.e. des données […] une catégorie fibrée sur \(C\). [NB si on a un sous-topos [\(B'\)] de \(B = \hat{C}\), correspondant à une topologie \(\tau\) sur \(C\), et à une sous-espèce de structure \(T'\) de \(T\), alors si on […] de cette espèce i.e. [que] \(f\) se factorise [par] \(B'\) i.e. que \(f_{0}\) est continu pour \(\tau\), alors la donnée d'un champ [\(\mathcal{F}'\)] sur \(B'\) revient […] [à] la donnée d'un champ \(\mathcal{F}_{0}\) sur \(B\) muni de […] […] de \(\tau\), et […] notes […] [\(f'^{*}\)]\((\mathcal{F}')\) en termes de \(f_{0}\) et \(\mathcal{F}'\))] […] que la catégorie fibrée On trouve que [commence par le] foncteur […] à droite, sur la ligne : « […] un Foncteur fibré sur » […] \(\mathcal{F}_{0}\) [le foncteur] […] \(\mathrm{Pro}(C) \simeq T(\mathrm{Ens})^{\circ}\), […] […] \(\mathcal{F}_{0}\), donc \(\mathcal{F}_{0}(O_{E}(U))\) est défini [mais covariant en l'objet \((\ )\in T(\mathrm{Ens})\)]. Pour \(U\) variable, \(U \mapsto \mathcal{F}_{0}(O_{E}(U))\) donne donc une catégorie fibrée sur \(U\) [i… image inverse de \(\mathcal{F}_{0}\) par \(O_{E} : E^{\circ} \to T(\mathrm{Ens}) \cong \mathrm{Pro}(C)^{\circ}\)] On prend le catégorie champ associé. page au crayon très pâle : la moitié des mots de liaison est perdue, les formules passent

111feuillet quadrillé à spirale, à l'encre ; titre souligné Topos modulaire pour des structures algébriques […] sur objets variés d'un topos fixé […] \(X\)

On peut se donner […] des objets \(E_{i} \in X\), \(i \in I\), et […] une espèce de structure \(T\) avec topos modulaire \(B\), sur objets avec données « objets de base » corresp.-dants : des \(b_{i} \in B\), \(i \in I\). On s'intéresse aux, pour tt topos \(X'\) sur \(X\), (aussi comme images inverses des \(E_{i}\) les \(E'_{i}\)) [des] structures d'espèce \(T\) dans \(X'\) que (i.e. morphismes \(f : X' \to B\)) tels que avec \(f^{*}(b_{i}) \simeq E'_{i}\). La catégorie de ces objets sur un topos \(X'\) fixé, pour \(X' \to X\) et \(X' \to B\) variables, est le produit 2-fibré de \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Top}}(X', X)\) et \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Top}}(X', B)\) sur \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Top}}(X', B_{I})\). Donc on doit avoir un produit \(B \times_{B_{I}} X\) dans la 2-catégorie \((\mathrm{Top})\)

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  B \arrow[dr, "b"'] & & X \arrow[dl] \\
  & \widehat{(\mathrm{Ens}_{f})^{\circ}}{}^{I} = B_{I} &
\end{tikzcd}

à droite du diagramme : « 2-fibre \(B \times_{B_{I}} X\) » (On n'a pas encore prouvé que cela marche.) […] Cela doit donc […] supposons qu'il s'agisse plutôt [\(T\)] d'une \(\varprojlim\) finies [structure définie par \(\varprojlim\) finies], avec cat. modulaire \(R\) (donc \(B = \hat{R}\), \(I \to \mathrm{Ob}\,R\)) Donc on s'intéresse aux foncteurs exacts à g. \(R \to X'\) transformant les \(r_{i}\) en les \(E'_{i}\). Soit \(\mathcal{S}\) la catégorie [le champ sur \(X\)] des […] catégorie formée des structures \((X', (E'_{i}))\) [et les foncteurs induits] i.e. des foncts ex… [avec] \(f : R \to X'\) [avec] \(f(r_{i}) \simeq E'_{i}\) donnés, et soit [soit] \(\underline{I}_{X}\) le champ sous la [la] fibre [(en topos)] des \(B\). champ en cat. […] (associé aux cat. […]) note marginale en diagonale, au bas à gauche, barrée d'un trait ; les insertions interlinéaires de ce feuillet sont nombreuses et l'ordre de lecture est reconstitué