Fonds Grothendieck, cote n° 161-2, pages 101–111 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-04)Fable 5.1 (claude-fable-5-1)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)161-2
Algèbre universelle [ou catégories] : notes manuscrites (s.d.)
Pages 101 à 111 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 6 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[vers 1963-1973]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/161-2.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
author's p. ⑤ ; la copie paginée ①–④ du lot précédent (pp. 97–100)
se poursuit ici jusqu'à ⑩ (p. 106) ; les alinéas 6, 7, 8 sont numérotés
dans des carrés
5.4. L'essentiel se décompose en les questions
\tau^{I} est-il représentable par une catégorie R_{I}
(la \lambda-catégorie libre engendrée par I objets) qui soit
\lambda-engendrée (au sens de (5.3)) par
\mathrm{Im}(I \to \mathrm{Ob}\,R_{I}) ?Soient R \in \mathrm{Ob}\,(\mathrm{Cat}_{\lambda})un mot biffé entre \mathrm{Ob} et la parenthèse,
A \in \mathrm{Fl}\,R. Y a-t-il une \lambda-catégorie R_{A}\in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda} « universelle » pour
rendre inversibles les flèches \in A, et R_{A} est-il
\lambda-engendré par \mathrm{Im}\,R ?
cf. note avant b)l'encre se lit plutôt « b'' » Soit
R \in \mathrm{Ob}(\mathrm{Cat}_{\lambda}), B un
petit ensemble, et \alpha : B \to \mathrm{Ob}\,R
\times \mathrm{Ob}\,R. Y a-t-il une \lambda-cat.
R' = R_{B,\alpha} \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}
universelle munie d'un \lambda-foncteur
R \xrightarrow{\ i\ } R' et d'applications B \to
\mathrm{Fl}\,R'un mot biffé devant \mathrm{Fl}\,R' telle que le composé avec \mathrm{Fl}\,R' \to
\mathrm{Ob}\,R' \times \mathrm{Ob}\,R' soit le composé de \alpha
avec \mathrm{Ob}\,i \times \mathrm{Ob}\,i. De plus, R' est-il
\lambda-engendré par \mathrm{Im}\,i ?Soient (R_{j})_{j \in J} une petite famille d'objets de
(\mathrm{Cat}_{\lambda}), munies d'applications I
\xrightarrow{\ \varphi_{j}\ } \mathrm{Ob}\,R_{j}. Y a-t-il une
solution au pb universel d'envoyer les R_{j}
\xrightarrow{\ \psi_{j}\ } R, R \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda},
avec des applicationsunsyst. transitif d'
isomorphismes entre les \psi_{j} \circ \varphi_{j}
(I considéré comme cat. discrète…), et R est-il
\lambda-engendré par la réunion des images des \psi_{j} ?
envie des preuves 5.5. Soit S \subset
\mathrm{Ob}\,R, R \in \mathrm{Ob}\,C_{\lambda}C_{\lambda} ici
et deux fois plus bas, abréviation manifeste de
\mathrm{Cat}_{\lambda}, supposons que \forall R' \in \mathrm{Ob}\,
C_{\lambda}, et F, G \in \mathrm{Hom}_{\lambda}(R, R'),
\mathrm{Hom}(F, G) \longrightarrow \prod_{s \in S}
\mathrm{Hom}(F(s), G(s))
est injectif. Alors R est-il \lambda-engendré par S ? (la
réciproque étant évidemment vraie…)
author's p. ⑥
5.6. Partons de R \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda},
avec I \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathrm{Ob}\,R tels que R soit
\lambda-engendré par I. Considérons la cat. 2-fibrée
T sur (\mathrm{Cat}_{\lambda}) définie par R, et supplémentaireT \xrightarrow{\ \varphi\ } \tau^{I} déduit
de \varphi. Prouver, que (T, \varphi) est un
\lambda-I-type ? (Il faut peut-être renforcer la notion de
sous-catégorie \lambda-engendrée, en tenant compte des flèches, pas
seulement des objets… ?)
5.7. Si on laisse tomber I, une catégorie
2-cofibrée T sur (\mathrm{Cat}_{\lambda}) est un \lambda-type, si
c'est un \lambda-I-type pour I et\varphi : T \to \tau^{I}
convenables. Ceci signifie donc (si ce qui précède) que T est \lambda-représentable par un R \in
\mathrm{Ob}(\mathrm{Cat}_{\lambda}), i.e.\mathrm{Ob}\,R admet une petite partie qui soit \lambda-génératrice
(en un sens convenable à dégager).
Question diagrammes finis, dans un R \in
\mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda} d'un I \to \mathrm{Ob}\,Rtype catégorie ?la note marginale est écrite en diagonale, sur une dizaine de
lignes, et reste en grande partie illisible ; seuls les symboles
passent
[6]\lambda-variable. On devrait trouver (pour
\lambda \subset \lambda') un 2-foncteur
\begin{equation}
(\lambda\text{-types}) \xrightarrow{\ \eta_{\lambda\lambda'}\ }
(\lambda'\text{-types})
\tag{6.1}
\end{equation}à droite, entre parenthèses : \eta_{\lambda,\lambda'}(T_{\lambda})(C)
= T_{\lambda}(C) si C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda'}
(\subset \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda})
qui correspondent à un 2-foncteur
\begin{equation}
(\mathrm{Cat}_{\lambda}) \xrightarrow{\ \eta_{\lambda\lambda'}\ }
(\mathrm{Cat}_{\lambda'})
\tag{6.2}
\end{equation}le symbole sur la flèche de (6.2) porte peut-être un accent
« \lambda'-catégories analysantes ». Il faudrait donner
des conditions moyennant lesquelles (6.1) est pl. fidèle. [Ex\varprojlim finies, \lambda' = \varprojlim quelc.
(\bar{\eta}(C) = \mathrm{Pro}(C) ?) ; \lambda = \varinjlim finies,
\lambda' = \varinjlim quelc. (\bar{\eta}(C) = \mathrm{Ind}(C) ?)]
en marge : « ! || »\eta_{\lambda,\lambda'}
est-il pl. fidèle, i.e. \mathrm{Hom}_{\lambda}(T_{1},
T_{2}) \to \mathrm{Hom}_{\lambda'}(T_{1}, T_{2}) est-il une
équivalence pour T_{1} et T_{2} des \lambda-types ? Sans doute
faux, mais pl. fidèle si \overrightarrow{\lambda} = \emptyset.
[7]Dualité : Opposé d'un « type »
\lambda = (\overleftarrow{\lambda}, \overrightarrow{\lambda}) : on
échange les types de diagrammes utilisés pour les \varprojlimet\varinjlim. Alors pour tt \lambda-type T_{\lambda}, on
définit un \lambda^{\circ}-type T^{\circ}_{\lambda}\begin{equation}
T^{\circ}_{\lambda}(C) \cong T_{\lambda}(C^{\circ})^{\circ}
\tag{7.1}
\end{equation}les indices \lambda de (7.1), ici et en haut de la page suivante,
sont surchargés
author's p. ⑦
i.e. on a une équivalence de Cat. 2-cofibrées
\begin{equation}
T^{\circ}_{\lambda} \cong (T_{\lambda})^{\circ} \circ (\ldots)
\tag{7.1}
\end{equation}le dernier facteur, entre parenthèses, est indistinct ; on lit
peut-être « pass. à l'opp. » ; au-dessous, un numéro (7.2) biffé
On trouve ainsi une 2-équivalence
\begin{equation}
(\lambda\text{-types}) \cong (\lambda^{\circ}\text{-types})
\tag{7.3}
\end{equation}
(et kif kif avec I\begin{equation}
(\lambda\text{-}I\text{-types}) \cong
(\lambda^{\circ}\text{-}I\text{-types})\ )
\tag{7.4}
\end{equation}
compatible, via les cat. représentatives, –
\begin{equation}
(\mathrm{Cat}_{\lambda}) \cong (\mathrm{Cat}_{\lambda^{\circ}}),
\qquad C \longmapsto C^{\circ}
\tag{7.6}
\end{equation}le numéro est surchargé, 5 ou 6
[8] Cas où \overrightarrow{\lambda} = \emptyset (structures
définies via \varprojlim). T désignera une \lambda-structure.
8.1. Pour tout C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda},
les limites\varprojlim de type \lambda existent dans
T(C) ; plus généralement, les limpour tout type dde\varprojlim qui existent dans C existent
aussi dans T(C). [Écrire T(C) \cong \mathrm{Hom}_{\lambda}(R_{T}, C)
et noter que l'hyp. sur C implique que
\mathrm{Hom}(R_{T}, C)au-dessus : « se calculant
argument par argument » a des
\varprojlim de type d, et que \mathrm{Hom}_{\lambda}
(R_{T}, C) par icelles\varprojlim.] De plus, pour
tt \xi \in R_{T}, \Gamma_{C}: T(C) \to
C commute aux \varprojlim de type d.
8.1.1. Plus généralement (\lambda quelconque, sans néc.
\overrightarrow{\lambda} = \emptyset). Si C \in
\mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda} et sid est un
type de diagrammes tel que
C admet des \varprojlim de type d (p.ex. d \in
\overleftarrow{\lambda})dans C, les \varprojlim de type d commutent aux
\varinjlim de type \in \overrightarrow{\lambda}
Alors T(C) admet des \varprojlim de type d, et
icelles T(C) \simeq \mathrm{Hom}_{\lambda}(R^{\lambda}_{T},
C) se calculent « argument par argument ». Pour
toute construction \rho rel. à T, le foncteur
correspondant
\rho : T(C) \longrightarrow Cde plus si C' est et C \to C' commute aux
\varprojlim de type d, alors T(C) \to T(C')T(C) \to T(C') ; kif-kif si T \to T', T(C) \to T'(C) commute aux de type dnote marginale en diagonale au bas de la page, en partie
illisible ; la phrase « le foncteur correspondant \rho » se poursuit
en haut de la page suivante
author's p. ⑧
commute aux \varprojlim de type d. Bien sûr, on a un énoncé dual
pour les \varinjlim.
8.2.(remarque) Notons que pour
quelconque et un \lambda-type T, il est vrai
que pour tt \lambda-foncteurs en insertion, entre accolades :
« pl. fid. (fid.) les foncteurs »\begin{equation}
i : C \longrightarrow C'
\tag{8.2.1}
\end{equation}\begin{equation}
T(i) : T(C) \longrightarrow T(C')
\tag{8.2.2}
\end{equation}est pl. fidèle (fid.). Si T est muni de b :
T \to \tau^{I} (« base ») fidèle, i.e. R =
R^{\lambda}_{T}au-dessus : « qui 2-représente T » est muni
de \varphi : I \to \mathrm{Ob}\,Rl'indice de R est biffé, alors
le carré dans le cas pl. fidèle
numéroté (8.2.3) est 2-cartésien [Ceci signifie aussi, en termes
de R, que la ss-catégorie pleine des
\mathrm{Hom}_{\lambda}(R, C) de \mathrm{Hom}_{\lambda}(R, C')s'identifie auxest formée des foncteurs R
\xrightarrow{\ \xi\ } C' tels que \xi(\varphi(i)) \in C pour tt i
\in I : en effet, comme I\lambda-engendre R, il s'ensuit que
\xi (qui commute aux \varprojlim de type \lambda)
envoieR dans l'image essentielledeC.] en insertion, sur deux lignes serrées : En termes imagés,
où (E_{i})_{i \in I} est une famille d'objets de C, « il
revient au même » de se donner dessus une structure d'espèce
T sur les E_{i} et une sur les images la fin de la phrase court dans la marge gauche, en partie
illisible
Appliquant ceci, pour C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}, au
plongement canonique
\begin{equation}
i : C \hookrightarrow \hat{C}
\tag{8.2.4}
\end{equation}à droite, souligné d'un trait ondulé : « qui est un
\lambda-foncteur si \lambda = (\overleftarrow{\lambda},
\emptyset) ; » on trouve le foncteur
numéroté (8.2.5) ; à droite : « (2-cartésien) », puis, entouré :
« On suppose \overrightarrow{\lambda} = \emptyset »Or supposons ici \hat{C}\mathrm{Ob}\,
\mathrm{Cat}_{\lambda} catégorie i.e. que \hat{C} si C est \mathcal{U}-petite Dans T(\hat{C})X \in Considérons le foncteur contravariant canonique de \hat{C}
dans \mathrm{Hom}(\hat{C}, (\mathrm{Ens})), sa
restriction à C moyennant i est un foncteur
canonique C^{\circ} \to \mathrm{Hom}_{\lambda}(\hat{C},
(\mathrm{Ens})), et qui s'en va en fait dans la
\hat{C} ss-catégorie pleine des foncteurs qui commutent
à tt type « petit » de lim (ind ou proj), donc en
particulier
\begin{equation}
C^{\circ} \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\lambda}(\hat{C},
(\mathrm{Ens})), \qquad X \longmapsto (F \mapsto F(X))
\tag{8.2.6}
\end{equation}
D'où on a \mathrm{Hom}_{\lambda}(\hat{C}, (\mathrm{Ens})) \longrightarrow
\mathrm{Hom}(T(\hat{C}), T((\mathrm{Ens})))les deux T du membre de droite portent un indice bifféNB L'hyp. « \hat{C} une
\mathcal{U}-catégorie » est essentielle pour la
représentabilité (8.2.9) CcatégorieT(\hat{C}) de
l'« absolu »on suppose des univers \lambda quelc.deux notes marginales à gauche, la première longue et en grande
partie illisible ; leur place dans le texte n'est pas marquée
author's p. ⑨
d'où en composant avec (8.2.6) un foncteur canonique
\begin{equation}
C^{\circ} \longrightarrow \mathrm{Hom}(T(\hat{C}), T(\mathrm{Ens}))
\tag{8.2.7}
\end{equation}
ou, de façon équivalente, un foncteur canonique
\begin{equation}
T(\hat{C}) \xrightarrow{\ \alpha\ \approx\ } \mathrm{Hom}(C^{\circ},
S_{T}) \qquad \text{où } S_{T} = T(\mathrm{Ens})
\tag{8.2.8}
\end{equation}le second argument de \mathrm{Hom} a d'abord été écrit
(\mathrm{Ens}), biffé
Si on a un ensemble d'indices des bases pour T, on aura un carré
commutatif
numéroté (8.2.9)\mathrm{Hom}_{\lambda}(R, \hat{C}) \cong \mathrm{Hom}(R
\times C^{\circ}, (\mathrm{Ens})) \cong \mathrm{Hom}(C^{\circ},
\mathrm{Hom}_{\lambda}(R, (\mathrm{Ens})))formule encadrée dans la marge gauche ; l'indice du \mathrm{Hom}
extérieur et son premier argument sont surchargés, et un renvoi
« (8.2.8) » est écrit sous le dernier terme
le foncteur \alpha est tjs une équivalence,
doncsi \overrightarrow{\lambda} = \emptysetle carré 2-cartésien
numéroté (8.2.10) ; à droite : « (2-cartésien ) »,
« (\overrightarrow{\lambda} = \emptyset) », le reste raturé ; dans la
marge gauche, entouré : \overrightarrow{\lambda} = \emptyset
Ou, en termes imagés : Se donner une structure d'espèce Tdans C revient kif-kif à la dans \hat{C}, i.e.
à la donnée, pour (E_{i}) \in \mathrm{Ob}\,C^{I}, d'une
structure d'espèce T sur le foncteur variant fonctoriellement avec
variant : la donnée, pour chaquefonctoriellementla donnée pour tt Z \in \mathrm{Ob}\,C d'une structure d'espèce T sur\big(E_{i}(Z)\big)_{i \in Z} =
\big(\mathrm{Hom}(Z, E_{i})\big)_{i \in I}sic : « i \in Z »
au premier indice avec Z.
le passage est écrit sur deux colonnes avec des insertions
interlinéaires ; l'ordre de lecture est reconstitué
Lorsque \alpha est une équivalence, en
insertion : « (pour tt C tel que \mathcal{U}-catégorie) »alorsstructureT(C) est connu (à équivalence
près (…)) lorsque l'on connaît
\begin{equation}
\begin{cases}
S = S_{T} = T(\mathrm{Ens}), \text{ avec les foncteurs} \\
\beta_{i} : S_{T} \longrightarrow (\mathrm{Ens})
\end{cases}
\tag{8.2.11}
\end{equation}à droite des accolades : « \beta = b_{\mathrm{Ens}} », l'indice
surchargé
comme la sous-catégorie pleine des \mathrm{Hom}(C^{\circ}, S_{T})
formée des \varphi : C^{\circ} \to S_{T} tels que les
\beta_{i} \circ \varphi soient représentables.
8.2.12. Si on veut une car. intrinsèque, on peut dire
aussi que c'est la sous-catégorie pleine des \varphi : C^{\circ} \to
S_{T} tels que \beta_{\mathrm{Ens}} \circ \varphireprésentablesreprésentable pour tt \beta \in
R^{\lambda}_{T}. Notons que le foncteur
\begin{equation}
\beta \longmapsto \beta_{\mathrm{Ens}} : R = R^{\lambda}_{T}
\longrightarrow \mathrm{Hom}(S_{T}, (\mathrm{Ens})) =
\widehat{S^{\circ}_{T}}
\tag{8.2.13}
\end{equation}sous le premier argument de \mathrm{Hom}, relié par un double
trait : « S_{T} » ; le membre de droite est suivi d'un numéro
surchargé, (8.2.15) ou (8.2.13)
est aussi le foncteur évident
\begin{equation}
R \longrightarrow \mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}_{\lambda}(R, \mathrm{Ens}),
(\mathrm{Ens}))
\tag{8.2.14}
\end{equation}
Or, si on considère S = \mathrm{Hom}_{\lambda}(R, (\mathrm{Ens}))
comme ss-catégorie pleine de \widehat{R^{\circ}}, celle-ci
contient R^{\circ} (identifié à la cat. des foncteurs
représentables de R dans (\mathrm{Ens})) donc …
\widehat{R^{\circ}},
author's p. ⑩\begin{equation}
R^{\circ} \subset S \subset \widehat{R^{\circ}}
\tag{8.2.15}
\end{equation} et le foncteur
\pi : R \times S \longrightarrow (\mathrm{Ens})
est donné par
\begin{equation}
\pi(c, \xi) = \xi(c) =
\mathrm{Hom}_{\widehat{R^{\circ}}}(c, \xi) = \mathrm{Hom}_{S}(c, \xi)
\tag{8.2.16}
\end{equation}
i.e. (8.2.13) estau-dessous, en petit et
biffé : « l'opposé » des foncteurs foncteurle
composé des deux foncteurs pleinement fidèles
\begin{equation}
R \hookrightarrow S^{\circ}
\hookrightarrow \widehat{S^{\circ}} =
\mathrm{Hom}(S, (\mathrm{Ens}))
\tag{8.2.17}
\end{equation}après le signe = de (8.2.16), un terme biffé ; dans (8.2.17) le premier terme porte un exposant \circ surchargé, sans doute
biffé ; sous la première flèche : « (8.2.15) »
donc est pl. fidèle. Ainsi R est connu à équiv. près quand on
connaît son imagedans\widehat{S^{\circ}}.
Pour résumer, si T est un \lambda-type (\overrightarrow{\lambda}
= \emptyset), alors S = T(\mathrm{Ens}) est muni d'une
sous-catégorie pleine \Sigma \subset S, formée des
\varphi \in \mathrm{Ob}\,S tels que pour tout C \in \mathrm{Ob}\,
\mathrm{Cat}_{\lambda} et tout \xi \in C_{\lambda}on attendrait \xi \in T(C),
exprimant un foncteur
\widetilde{\xi} : C^{\circ} \longrightarrow S, \qquad x \longmapsto
\mathrm{Hom}(x, \xi)
le foncteur composé avec \mathrm{Hom}_{S}(\varphi, -) soit
représentable un terme biffé dans le second argument :
x \longmapsto \mathrm{Hom}_{S}(\varphi, \mathrm{Hom}(x, \xi))\Sigma est stable dans S par \varinjlim(inductives) de
type \in \lambda« de type \in \lambda » est peut-être
biffé [car C est stable dans \hat{C} par \varprojlim de type
d, \forall C \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Cat}_{\lambda}] et pour tt C
comme dessus, on a des foncteurs au-dessus : « comme
\lambda-foncteurs »\Sigma^{\circ} \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(T(C), C),
\qquad T(C) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\lambda}(\Sigma^{\circ}, C)
On voit alors que l'on trouve ainsi une
la phrase s'arrête là ; le reste de la page est blanc, et la
copie paginée ①–⑩ se termine ici
feuillet au crayon, d'une autre main de plume que la copie ①–⑩ ;
deux ajouts à l'encre bleue sont signalés ; les notations B_{T},
O_{B}, T(\mathrm{Ens}) sont celles des pp. 97–106
Soit C une catégorie ess. petite avec \varprojlim finies, T
l'espèce de structures que C définit, \hat{C} = B_{T} = B le topos
classifiant, O_{B} la structure universelle dans B (s'identifiant
à l'inclusion C \to \hat{C}). E un topos.
O_{E} \in \mathrm{Ob}\,T(E) \simeq \mathrm{Ob}\,\mathrm{Hom}_{sex}(C, E)
\ni f_{0}sous O_{E}, une double flèche verticale \Updownarrow menant
à la ligne suivante ; à droite, à l'encre bleue : « le morphisme
correspondant »f : E \longrightarrow B_{T}devant f, un symbole raturé\xi la structure donc
O_{E} \simeq f^{*}_{T}(O_{B}) \qquad f_{0} = f^{*} \mid CU \in \mathrm{Ob}\,E, X \in \mathrm{Ob}\,B (p.ex. X \in
\mathrm{Ob}\,C), on définit une bijectionapplication\begin{equation}
\mathrm{Hom}_{E}(U, f^{*}X) \longrightarrow
\mathrm{Hom}(O_{B}(X), O_{E}(U))
\tag{1}
\end{equation}la flèche porte un signe raturé ; sous le membre de droite, à
l'encre bleue : T(\mathrm{Ens}) = \mathrm{Ind}(C^{\circ})
Où O_{E}(U) \in T(\mathrm{Ens}) est l'image de O_{E} \in T(E) par le
foncteur Z \mapsto \mathrm{Hom}_{E}(U, Z) : E \to (\mathrm{Ens}) (qui
commute aux \varprojlim) et où on définit de =O_{B}(X) dans
\hat{C}. En effet, on a
\mathrm{Hom}_{E}(U, f^{*}(X)) \longrightarrow
\mathrm{Hom}_{T(\mathrm{Ens})}(O_{E}(f^{*}(X)), O_{E}(U))
\longrightarrow \mathrm{Hom}_{T(\mathrm{Ens})}(O_{B}(X), O_{E}(U))
car on a un morphisme de T(\mathrm{Ens})O_{B}(X) \longrightarrow O_{E}(f^{*}(X))au bas de la page, un schéma sur deux lignes :\begin{gather*}
C \longrightarrow \hat{C} \xrightarrow{\ h_{X}\ } (\mathrm{Ens}),
\qquad Y \longmapsto \mathrm{Hom}_{C}(X, Y) =
\mathrm{Hom}_{C^{\circ}}(Y, X) \\
\to \mathrm{Hom}_{\hat{C}}(X, Y)
\to \mathrm{Hom}_{E}(f^{*}(X), f^{*}(Y))
\end{gather*}au-dessous, biffé : f_{0} \to E \xrightarrow{h_{f^{*}(X)}},
Y \mapsto \mathrm{Hom}_{E}(\ldots, f_{0}(Y)), le premier argument
raturé
Prouver que si X \in \mathrm{Ob}\,C, l'application précédente est
une bijection. D'ailleurs, le 2ème membre s'exprime comme
\mathrm{Hom}_{\mathrm{Ind}(C^{\circ})}(X^{\circ}, O_{E}(U)) pour U
fixé ; la catégorie des couples (X^{\circ}, \xi) (\xi \in
\mathrm{Hom}(X^{\circ}, O_{E}(U))) est la catégorie d'indices naturelle
définissant l'Ind-objetO_{E}(U) de
\mathrm{Ind}(C^{\circ})…
O_{B}(X) : C \longrightarrow (\mathrm{Ens}), \qquad
Y \longmapsto \mathrm{Hom}_{C}(X, Y) = \mathrm{Hom}_{C^{\circ}}(Y, X)O_{E}(U) : \qquad\qquad
Y \longmapsto \mathrm{Hom}_{E}(U, f_{0}(Y))le premier argument du dernier \mathrm{Hom} est surchargé\mathrm{Hom}(O_{B}(X), O_{E}(U)) = O_{E}(U)(X) =
\mathrm{Hom}_{E}(U, f_{0}(X))
On va en profiter pour calculer f^{*}(\mathcal{F}), i.e.
\mathcal{F} un champ sur B. Il revient au même de
se donner la restriction de \mathcal{F} à C,
i.e. des données une catégorie fibrée sur C. [NB
si on a un sous-topos B' de B = \hat{C}, correspondant à une
topologie \tau sur C, et à une sous-espèce de structure T' de
T, alors si on de cette espèce i.e. quefse factoriseparB' i.e. que f_{0} est
continu pour\tau, alors la donnée d'un champ
\mathcal{F}' sur B' revient à la
donnée d'un champ \mathcal{F}_{0} sur B muni de de
\tau, et notesf'^{*}(\mathcal{F}')
en termes de f_{0} et \mathcal{F}')] que la
catégorie fibrée On trouve quecommence par lefoncteurà droite, sur la ligne : «
un Foncteurfibré sur »\mathcal{F}_{0}le foncteur\mathrm{Pro}(C) \simeq
T(\mathrm{Ens})^{\circ}, \mathcal{F}_{0},
donc \mathcal{F}_{0}(O_{E}(U)) est défini [mais covariant en l'objet
(\ )\in T(\mathrm{Ens})]. Pour U variable, U \mapsto
\mathcal{F}_{0}(O_{E}(U)) donne donc une catégorie fibrée sur U
[i… image inverse de \mathcal{F}_{0} par O_{E} : E^{\circ} \to
T(\mathrm{Ens}) \cong \mathrm{Pro}(C)^{\circ}] On prend le
catégorie champ associé.
page au crayon très pâle : la moitié des mots de liaison est
perdue, les formules passent
feuillet quadrillé à spirale, à l'encre ; titre souligné
Topos modulaire pour des structures algébriques
sur objets variés d'un topos fixé
X
On peut se donner des objets E_{i} \in X, i \in I,
et une espèce de structure T avec topos modulaire B,
sur objets avec données « objets de base » corresp.-dants : des
b_{i} \in B, i \in I. On s'intéresse aux, pour tt topos X' sur
X, (aussi comme images inverses des E_{i} les E'_{i})
des structures d'espèce TdansX'que (i.e.
morphismes f : X' \to B) tels que avec f^{*}(b_{i}) \simeq
E'_{i}. La catégorie de ces objets sur un topos X' fixé, pour X'
\to X et X' \to B variables, est le produit 2-fibré de
\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Top}}(X', X) et
\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Top}}(X', B) sur
\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Top}}(X', B_{I}). Donc on doit avoir
un produitB \times_{B_{I}} X dans la
2-catégorie (\mathrm{Top})
\begin{tikzcd}
B \arrow[dr, "b"'] & & X \arrow[dl] \\
& \widehat{(\mathrm{Ens}_{f})^{\circ}}{}^{I} = B_{I} &
\end{tikzcd}
à droite du diagramme : « 2-fibre B \times_{B_{I}} X » (On
n'a pas encore prouvé que cela marche.) Cela doit donc supposons qu'il s'agisse plutôt
T d'une \varprojlim finiesstructure définie
par \varprojlim finies, avec cat. modulaire R (donc B =
\hat{R}, I \to \mathrm{Ob}\,R) Donc on s'intéresse aux foncteurs
exacts à g. R \to X' transformant les r_{i} en les E'_{i}. Soit
\mathcal{S}la catégoriele champ sur X des
catégorie formée des structures (X', (E'_{i}))et les foncteurs induitsi.e. des foncts ex…avecf : R \to X'avecf(r_{i}) \simeq E'_{i} donnés, et
soitsoit\underline{I}_{X} le champ sous lalafibre(en topos) des B.
champ en cat. (associé aux cat. )note marginale en diagonale, au bas à gauche, barrée d'un
trait ; les insertions interlinéaires de ce feuillet sont nombreuses
et l'ordre de lecture est reconstitué