Cote n° 161-2 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Algèbre universelle [ou catégories] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1963-1973]
Édition de démonstration

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41la liste des axiomes sur les anneaux, ouverte p. 38, continue ; la numérotation est la sienne, et elle est reprise plus bas : le 12) de ce feuillet devient le 13) de la p. 42 \[X_{\mathrm{cpct}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top\,cpct}}\] cpct est la topologie sur \(R\) pour laquelle \(X_{i} \to X\) est couv. ssi pour tt anneau artinien [local] […] [(ou anneau de dim \(0\))] \(\mathcal{O}\), \(X_{i}(\mathcal{O}) \to X(\mathcal{O})\) est épimorphique.

encore un topos non cohérent (bien que sous-topos d'un topos cohérent)

  1. 11)Corps \(=\) […] Anneaux réduits (local de dim \(0\)) la parenthèse et « réduit » sont portés au-dessus d'un premier membre de droite biffé \[A^{\ast} \amalg A \xrightarrow{\ \mathrm{incl},\ 0_{A}\ } A \quad \text{est épi}\] le \(\amalg\) est marqué \(\hat{R}\) en dessous : la somme est prise dans \(\hat{R}\) \[X_{\mathrm{ps.corps}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top\,\struck{\ill{}}}}\] corps, top. sur \(R\) où les familles couvrantes sont […] celles qui ont des sections sur chaque fibre. \[\simeq \tilde{R}_{\mathrm{cons}}\] \(R_{\mathrm{cons}}\) la catégorie des schémas compacts réduits associés aux schémas de t.f. sur \(\mathbb{Z}\), avec top. de Zariski. \(\tilde{R}_{\mathrm{cons}}\) formé des foncteurs contravariants qui commutent aux lim. proj. finies.
  2. 12)corps \(=\) compact et […] intègre \(=\) ps-corps intègre [(clair)] \(=\) ps-corps local […] (à prouver) deux lignes biffées et repassées entre les deux derniers membres

le reste du feuillet est barré de traits diagonaux

N.B. Les ss-topos définis dans 1) à 11) […] ont des pts, donc sont définis par leurs points. Il n'est pas clair qu'il en soit ainsi pour les intersections de plusieurs de ces sous-topos. Donc pour vérifier que deux intersections sont égales, il […] ou ont des rel. d'inclusion déterminées, il n'est pas clair qu'il suffise de le vérifier pour leurs pts, — i.e. pour les structures ensemblistes. — Sauf si on vérifie à chaque fois que les int. précéd. ont assez de pts ! Vérifier donc qu'un anneau […] [du cpct intègre] dès que \(A\) est ps corps local, \(A\) est […] loc. […] intègre.

2) La définition […] [\(A : R \to \mathcal{E}\) transforme sommes […] finies, et] qu'il transforme familles couvrantes pour « top. cpct » en familles couv. Montrons qu'une famille \(X_{i} \to X\) qui […] est couv. pour top. discrète […] de tt (les \(X_{i}(k) \to X(k)\) est épi pour tt corps \(k\)) est […] […] épi. Réc. sur \(\dim X\) assez évident.

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  1. 12)

    Anneau compact (i.e. à spectre compact) — \(X_{\mathrm{cpct}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top\,cpct}}\) \(\forall U\), \(A(U)\) à spectre cpct i.e. \[\forall f \in A(U),\ \exists (!)\ e \in A(U),\ e^{2} = e,\ ef \text{ inversible dans } eA(U),\ \struck{e}\,(1-e)f \text{ nilpotent.}\] Suffit de le faire pour \(f\) universel, \(U = A\). On trouve, si \(D_{n} \subset A \times A \times A\) formé des \(g, f, e\) avec \(e^{2} = e\), \(f(1-e) = 0\), \(g(1-e) = 0\), \(fg = e\), un mono induit par […] proj \[i_{n} : D_{n} \hookrightarrow A\] et la condition est que les \(D_{n}\) couvrent \(A\).

    Pour la top. de \(R_{\mathrm{top\,cpct}}\), sera donc la condition que, si \(D_{n} = \mathrm{Im}\ \amalg_{R} \mathbf{A}^{\ill{}} \xrightarrow{\ i_{n}\ } A\) (attention, ceci une somme dans \(R\), pas \(\hat{R}\)) la famille des \(i_{n}\) soit couvrante. l'exposant de \(\mathbf{A}\) se lit \(6\) ou \(3\) ; \(D_{n} \subset A \times A \times A\) plaide pour \(3\)

    topologie non cohérente ! A-t-elle assez de pts ?? — le tout encerclé, avec un point d'interrogation en dehors

  2. 13)Anneau compact réduit \(=\) pseudocorps \(\forall U\), \(A(U)\) […] ps. cpct i.e. \[\forall f \in A(U),\quad A(U) \xrightarrow{\ \sim\ } A_{f} \times A/fA, \text{ i.e. } \exists (!)\ e \in A(U),\ e^{2} = e,\ ef \text{ inv.},\ \uncertain{e(1-f) = 0}\] i.e. \(i_{1} : D_{1} \hookrightarrow A\) est un isom \[X_{\mathrm{cpct}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top\,ps\,corps}} \simeq \hat{R}_{\mathrm{cons}}\] l'indice de \(X\) se lit comme au 12) ; le contexte demande « compact réduit » ps. corps est la topologie engendrée par les \(X' \to X\) qui ont une section fibre par fibre (\((X_{i} \to X)\) couvrante ssi \(\exists i_{0}\), \(X_{i_{0}} \to X\) ainsi). \(R_{\mathrm{cons}}\) comme avant, localisé de \(R\) pour les topologie flèches bijections à ext. résiduelles triviales. \[\hat{R}_{\mathrm{cons}} \subset \hat{R}_{\uncertain{\mathrm{cpct}}} \quad \text{formé des } R^{\circ} \to \mathrm{Ens} \text{ qui transforment les flèches précédentes \ill{}}\]
  3. 14)Corps sép. clos \(=\) corps str. hensélien \[X_{\mathrm{corps\,hens}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top\,corps\,sépclos}}\] top. corps hens., topologie où les familles couvrantes sont celles pour […] \(X_{i} \to X\) qui sont […] […] ont […] pt […] séparable […] [(qui […])] sur chaque […] \[\simeq \widetilde{(R_{\mathrm{cons}})}\] et \(R_{\mathrm{cons}}\) comme dans 11), avec top. étale.

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  1. 15)Corps alg. clos \(=\) corps […] ultralocal \[X_{\mathrm{corps\,alg\,clos}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top\,corps\,alg\,clos}}\] topologie où \(X_{i} \to X\) est couvrante si elle est surjective \[\simeq \tilde{R}_{\mathrm{cons},\,\mathrm{fppf}}\] \(R_{\mathrm{cons}}\) comme dans 11), topologie fppf \(=\) topologie des familles contenant une […] surjectives familles finies surjectives.
  2. 16)

    Anneau […] annulé par \(n\) ([…] \(\uncertain{\geqslant 1}\))

    (a) \(n 1_{A} = 0\), ou \(V(n 1_{A}) \xrightarrow{\ \mathrm{isom}\ } e_{\varepsilon}\) \[X_{\struck{n\text{-tors}}\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top}\ n\text{-tors}} \simeq \hat{R}_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}\] top \(n\)-tors topologie où \(X_{i} \to X\) est couvrante ssi un des \(V(n 1_{X_{i}}) \to V(n 1_{X})\) […] [a une] section (\(X_{i} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to X \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)) ; \(R_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}\) top. […] sous cat. pl. de \(R\) formée des […] \(X\) qui sont des \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)-schémas (\(R_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}\) peut être considéré comme une catégorie de fractions de \(R\) pour les flèches \(f\) telles que \(f \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) bijections).

    […] sous-topos ouvert de \(X_{\mathrm{an}} = \hat{R}\) ; N.B. \(X_{\uncertain{1}\text{-tors}} = X_{\emptyset} =\) topos ponctuel — le tout encerclé

    Ex Si \(n\) premier, […] […] les anneaux […] corps.

    (b) anneau où \(n\) inversible. \[X_{\mathbb{Z}[1/n]} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top}\,\mathbb{Z}[1/n]} \simeq \hat{R}_{\mathbb{Z}[1/n]}\] top \(\mathbb{Z}[1/n]\), top. où \(X_{i} \to X\) couvrantes ssi un des \(X_{i} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}[1/n] \to \struck{X} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}[1/n]\) a une section ; \(R_{\mathbb{Z}[1/n]}\), sous-cat. pleine de \(R\) des \(\mathbb{Z}[1/n]\) schémas aff. de t.f. sous-topos ouvert — encerclé

    (c) Soit plus généralement \(S \to e_{R}\) un mono dans \(\mathrm{Pro}\,R\) (\(R = \mathrm{Sch}\text{-}\mathrm{aff}\) ; i.e. \(\mathbb{Z} \to \Lambda\) épi […]), d'où \(R_{/S} \subset R\) sous-catégorie pleine de \(R\) (correspondant aux anneaux de t.f. sur \(\mathbb{Z}\) qui sont des \(\Lambda\)-algèbres). Considérons les Anneaux du type \(\varepsilon\) qui sont \(\Lambda\)-algèbres (la structure de \(\Lambda\)-algèbre est-elle unique ? Oui, on est ramené par le procédé standard au cas ensembliste) ; les \(\Lambda\)-algèbres de \(\varepsilon\) sont les foncteurs […] \(\varepsilon \to \struck{\mathrm{Ens}}\ (\Lambda\text{-alg}) \longleftrightarrow (\mathrm{Ann})\) qui sont représentables ensemblistement. Or […] \((\Lambda\text{-alg}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}\) Or s'identifient (Ann) [Ann à] \(\underline{\mathrm{Hom}}'(R, \mathrm{Ens})\) de (c) à la fin du feuillet, le texte est barré de traits diagonaux ; il continue sans rupture p. 44, qui n'est pas barrée

44(où \('\) signifie exact à g.) et \(\Lambda\)-alg. à \(\underline{\mathrm{Hom}}'(R_{\Lambda}, \mathrm{Ens})\) — \(R_{\Lambda}\) cat. des schémas de t.f. sur \(\Lambda\), le foncteur d'inclusion \(\underline{\mathrm{Hom}}'(R_{\Lambda}, \mathrm{Ens}) \hookrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}'(R, \mathrm{Ens})\) est transposé des

LaTeX source
\begin{tikzcd}
\underline{\mathrm{Hom}}'(R_{\Lambda}, \mathrm{Ens}) \arrow[r, hook] &
\underline{\mathrm{Hom}}'(R, \mathrm{Ens}) \\
(\Lambda\text{-alg}) \arrow[u, "\wr"] \arrow[r, hook] &
(\mathrm{Ann}) \arrow[u, "\wr"']
\end{tikzcd}

avec, à gauche, \(A \mapsto \bigl(B \mapsto \mathrm{Hom}(B, A)\bigr)\) (\(B\) une \(\Lambda\)-alg), et à droite \(A \mapsto \bigl(B \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(B, A)\bigr)\) (\(B\) une \(\mathbb{Z}\)-alg \(\Lambda\)-alg), \(\simeq \mathrm{Hom}_{\Lambda}(B_{\Lambda}, A)\) si \(A\) une \(\Lambda\)-alg.

foncteur \(R \to R_{\Lambda}\), \(X \mapsto X \otimes_{\mathbb{Z}} \Lambda\) i.e. \(X \mapsto X \times_{e} S = X \times S\) (qui est en effet exact à g.). Donc \[X_{\Lambda\text{-alg}} \simeq \tilde{R}_{\Lambda\text{-top}} \simeq \hat{R}_{\Lambda}\] \(\Lambda\)-top : \(X_{i} \to X\) couvrantes ssi les \(X_{i} \struck{\times} \times_{e} S \to X \times_{e} S\) ont une section. N.B. \(R_{\Lambda}\) est aussi déduit de \(R\) par qu. cat. de fractions, en rendant les \(f\) telles que \(f \times_{e} S\) un isom.

Ex \(X_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{-alg}}\), \(X_{\mathrm{car}\,p}\) (cas particulier), \(X_{\mathbb{Z}[1/n]}\) ; \[X_{\mathbb{Q}} = X_{\mathrm{car}\,0} = \struck{\ill{}} \bigcap_{n \geqslant 2} X_{\mathbb{Z}[1/n]}\]

N.B. Ce qui vient de [se] voir se généralise au cas d'une […] finies, et l'[…] de structure donnée \(\Lambda \in T(\mathrm{Ens}) = \mathrm{Ind}\,R^{\circ}\), […] suppose que \(S \to e_{R}\) […], où \(R_{S} =\) catégorie des foncteurs […] que déduit des isom pour […] image ess. de \(\mathrm{Pro}\,R_{/S}\), \(X \mapsto X \times_{e} S\) […]. Comme \(S \in \mathrm{Ob}\,\hat{R}\) (\(S \subset e_{\hat{R}}\)) […] \(\mathrm{Pro}\,R \hookrightarrow \hat{R}\), […] […] dans l'image essentielle de \(\mathrm{Pro}\,R\), et s'intéresse aux \(f : \varepsilon \to \hat{R}\) tels que \(f^{*}(S) \to f^{*}(e_{\hat{R}}) = e_{\varepsilon}\) […] […] \(f^{*}(S) \hookrightarrow e\) […] […] des […]-structures qui sont représentées […] par des ouverts du topos classifiant \(\hat{R}\).

\(R\) quelconque avec \(\varprojlim\) finies commutant […]. On se donne i.e. \(S \in \mathrm{Pro}\,R\), un mono, et on considère […] de \(R\) pour les flèches que […] \(\times_{e} S\), donc sous-catégorie […] pl. \(R \to \mathrm{Pro}\,R_{/S}\), \(X \mapsto\) […]

\(\pi(\mathrm{Ens})\), […] — montrons que si \(S \in \mathrm{Pro}\,R\) […] les […] conditions […]

45en tête de feuillet, à droite : « 16 (suite) » (\(\forall\) cat. \(R\) stable par \(\varprojlim\) finies [ess. petite]) Plus gén., pour tout mono \(S \xrightarrow{\ i\ } e_{R}\) dans \(\hat{R}\), d'où sous-catégorie \(R_{/S}\) de \(R\), Est sous-catégorie considérons (les topos \(\varepsilon\)-[…]) les \(R \xrightarrow{\ \varphi\ } \varepsilon\) ex. à g. tels que [qui […] \(\varphi(i)\) un isom.] i.e. \(\forall X \in \mathrm{Ob}\,\varepsilon\), \(\mathrm{Hom}(X, -) \circ \varphi : R \to (\mathrm{Ens})\) ex. à g. [(avec versions […] […])]. Or les foncteurs ex. à g. […] \(R \to \mathrm{Ens}\) s'identifient […] aux éléments de \(\mathrm{Pro}\,R\) ([…] pro-représentables), et […] \(\xi \in \mathrm{Pro}\,R\) tels que \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Pro}R}(\xi, S) \neq \emptyset\), on prouve dans les […] \(S\), donc en sont ass. les […] i.e. […] ou encore la sous-cat. pleine de \(\mathrm{Pro}(R_{/S})\), donc de \[\mathcal{C} = (\mathrm{Pro}(R))^{\circ} = \mathrm{Ind}(\mathcal{S}) \qquad (\struck{\ill{}} = R^{\circ})\] (qui sont […] […]) tel qu'il existe un morphisme \(\Lambda \to \xi\), i.e. \(\Lambda \to\) […] de \(\mathcal{S}\) correspondant à \(S\). On a pour les topos […] classifiants […] : \(\hat{R}_{/S}\), avec \(\hat{R}_{/S} \xrightarrow{\ \hat{\imath}\ } \hat{R}\) déduit de \(i : R_{/S} \to R\). On a : \(i^{*} =\) inclusion de \(R_{/S}\) en \(R\), \(i^{*}(\struck{X}) = X \times_{e} S / S\), \(i_{*}(Y)\) [(objet de \(R_{/S}\))] \(= \{\,X \mapsto \mathrm{Hom}_{S}(X \times S, Y) = \mathrm{Hom}(X \times S, Y)\,\}\), \(X \in \mathrm{Ob}\,R\), i.e. \(i_{*}(\struck{Y}) = \underline{\mathrm{Hom}}(S, Y)\).

Considérons maintenant une famille \(S_{\alpha} \xrightarrow{\ i_{\alpha}\ } e_{B}\) [filtrante décroissante] de ss-objets de \(e_{R}\), et soit \(T' = \bigcap_{\alpha} T_{S_{\alpha}}\) l'[…] ss-espèce de structure de \(T = T_{R} = T_{\hat{R}}\) définie par les conditions \(\varphi(i_{\alpha})\) [\(= f^{*}(i_{\alpha})\)], i.e. \(f : \varepsilon \to B = \hat{R}\)) iso pour tout \(\alpha\). Définie aussi par les conditions sur les \(\mathrm{Hom}(X_{\xi}, -) \circ \varphi\), on [est] ramené à examiner le cas du topos ponctuel \(\varepsilon = \mathrm{Ens}\) : Oui […] donc […] Soit \(S = (S_{\alpha}) \in \mathrm{Pro}\,R\), \(S \to e_{R} = e_{\mathrm{Pro}R}\) un mono d'où \(\xi = (\xi_{\alpha}) \in \mathrm{Ind}\,\mathcal{S}\), les objets […] \(\mathcal{O}\) de \(\mathcal{S}\) […] sont ceux pour lesquels il existe un (unique) morphisme \(\xi \to \mathcal{O}\), donc dans \(\mathrm{Pro}\,R = \mathcal{R}\) un [(unique)] \(x \to S \hookrightarrow e_{R} = e_{\mathcal{R}}\) […] […], qui […] […] pour un […]. Mais quelles sont les catégories classifiantes ? C'est le […] topos [Le topos \(\hat{R}'\) est le […]] […] ces […], mais quels sont ces pts […]. […] \(\mathcal{R}'\) [une petite […]] avec \(\varprojlim\) […] […] \(\bigcap_{\alpha} \hat{R}_{/S_{\alpha}}\). On a déterminé le feuillet s'arrête ici en cours de phrase ; la marge, écrite le cahier tourné, porte le développement qui suit

\(\to \mathrm{Pro}\,R_{/S}\) définis par objets de base. On trouve donc [petite] la catégorie modulaire avec les conditions et \(\varprojlim R_{/S_{\alpha}}\) qui est une catégorie de fractions de \(R\) pour les flèches \(i\) telles que \(i \times_{e} S\) un iso. […] des ind-représentables des \(R \to \mathrm{Pro}\) […] limites de la catégorie \(\varprojlim_{\alpha} R_{/S_{\alpha}}\). \[\hat{R}_{/S_{\alpha}} = \bigcap_{\alpha} \hat{R}_{/S_{\alpha}} = \widetilde{\varprojlim_{\alpha} R_{/S_{\alpha}}}\] plongés dans \(B\) par \(i_{\alpha *}\), un \(i_{\alpha !}\) !! […] sauf erreur, ce sont les […] \(X \to X \times_{e} S\), on […] les […] \(\bigcap_{\alpha} B_{\bar{I}_{\alpha}} = \bigcap_{\alpha}\) […]

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  1. 17)

    Anneau parfait de car. \(p\) (\(p > 0\)) \[p\,1_{A} = 0, \qquad A \xrightarrow{\ x \mapsto x^{p}\ } A \text{ isom}\] en car. \(0\), pas […] réduit ? […] […] — écrit en biais

    N.B. parfait \(\Longrightarrow\) réduit \[X_{p\text{-parf}} = \tilde{R}_{\mathrm{top}\,\struck{\ill{}}} = \hat{R}_{p\text{-parf}}\] \(R_{p\,\mathrm{parf}}\) catégorie des schémas affines [parfaits] de car. \(p\) qui sont clôtures parfaites des schémas de t.f. sur \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\).

    top. \(p\)-parf sur \(R\) : \(X_{i} \to X\) est couvrante si \(\exists i_{0}\), \((X_{i_{0}})_{p} \to (X)_{p}\) admet une section après passage à la clôture parfaite de \(X_{p}\).

  2. 18)

    Anneau […] corps [compact] parfait de car. \(p\) (\(> 0\)). parfait de car. \(p\) \(\cap\) ps. corps.

    top. cpct \(p\)-parfaite : \(X_{i} \to X\) est couvrante ssi \(\exists i_{0}\), \(X_{i_{0}} \to X\) a un pt radiciel au dessus de […] pt de \(X_{p}\) \[X_{\struck{\ill{}}\ p\text{-parf}} \simeq \tilde{R}_{\struck{\ill{}}} \simeq \hat{R}_{\mathrm{cons}\ p\text{-parf}}\] \(R_{\mathrm{cons}\ p\text{-parf}} =\) catégorie des clôtures parfaites des schémas de car. \(p\) dans \(R_{\mathrm{cons}}\).

  3. 19)Corps parfait […] [(car \(p > 0\))] \[X_{\mathrm{corps}\ p\text{-parf}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top\ corps}\ p\text{-parf}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{cons}\ \uncertain{p\text{-parf}}\ \mathrm{zar}}\] \(X_{i} \to X\) est couvrante ssi \(X_{i,p} \to X_{p}\) [a] des pts radiciels […] sur chaque fibre.
  4. 20)

    Anneau à caractéristique Anneau parfait (de car. […] parfaite, […] de car. \(p > 0\) un précisé (inclus par \(0\)) les deux lignes du titre sont biffées l'une après l'autre ; le reste du feuillet est barré de traits diagonaux

    A. On veut que loc sur \(\varepsilon\) il ait les propriétés envisagées. Soit \(C\) l'un des […] qui […] […] […] (comme cas de car. \(0\)), Donc soit […] l'ensemble […]. Alors \(\varepsilon\) […] […] […] […] […] \[e_{\varepsilon} \simeq \coprod_{c \in C} U_{c},\] un \(U_{c}\) de car. \(p\) si \(c \neq \emptyset\), et \(\Delta U_{\emptyset} = 0\). Puis alors \(X_{\uncertain{\mathrm{parf}}} \subset X_{\mathrm{ann}}\) ; leur intersection […] […] les deux dernières lignes sont surchargées et se lisent mal

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  1. 20)

    Anneau à car.

    loc. sur \(\varepsilon\), \(A\) est de car \(p > 0\) ou de car. \(0\), i.e. la famille […] \[\Bigl\{\, V(p \cdot 1_{A}) \hookrightarrow e_{\varepsilon} \ ;\ \bigcap_{n \geqslant 1} (e_{\varepsilon})_{n 1_{A}} \hookrightarrow e_{\varepsilon} \,\Bigr\}\] est épimorphique (cela fait factoriser [univers] pour le sous-topos \(\Sigma_{\mathrm{car}}\) […] \(\varepsilon \to \hat{R}\) […] une \(\varprojlim\) infinie […], donc ne donne pas l'existence d'un topos classifiant). On aura \(\varepsilon \to \hat{R}\) se factorise localement sur \(\varepsilon\) par la « réunion » \(V\) [\(= X_{\mathrm{car} > 0}\)] des sous-topos ouverts \(\hat{R}_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}} \simeq \hat{R}_{\mathrm{Sp}\,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\), et le sous-topos \(W = \hat{R}_{\mathbb{Q}}\) (qui n'est pas sous-topos ouvert) avec […] images. \[X_{\mathrm{car}} = \tilde{R}_{\mathrm{top.car}}\] […] Où « top car » est la borne inférieure des « top car \(p\) » pour […] […] premiers \(p\) et pour […], i.e. les familles \(X_{i} \to X\) […] couvrantes ssi pour […] tt \(p\), il existe un indice \(i(p)\) tel que \((X_{i(p)})_{p} \to (X)_{p}\) (fibres au dessus de \(p\)) ait une section. C'est [p. ex. les familles des \((X_{p} \to X)_{p}\) […] […] [finies] \(\to\) couvrantes, et si \(X_{\mathbb{Q}} \neq \emptyset\), il n'y a pas de familles couvrantes finies cofinales]

    Topos non cohérent — encerclé, avec un croquis : deux ovales \(Z'\), \(Z''\) se recouvrant, la région commune marquée \(I\), une flèche vers le bas

    Plus généralement, soit \(B\) un topos, \(V\) et \(W\) deux sous-[…], considérons \(T = T_{B}\), et \(T_{V}\) et \(T_{W}\), […] à foncteurs localement par \(B\) […] \(T' = (\varepsilon \to \struck{f} \varepsilon \to B\), […] \(B \simeq B'\). […] […] […] \(f\) que l'image \(e_{\varepsilon} = \sup(e', e'')\), i.e. c'est les plus […] […] de \(\varepsilon\) […] [tel pt] […] comme \(f|_{\varepsilon_{/e'}}\) se factorise par […], et pour \(e''\). On a alors \(f|_{e' \wedge e''} \to V \wedge W\), […] […] plus quel ouvert […] \(\subset e_{\varepsilon}\) […] […] est aussi […]. […] \(e' \wedge e''\) […] […] ? [Si […] \(U_{c}\,e'\), \(U_{c}\,e''\) dans \(U_{c}\,e' \wedge e''\), OK] / Soit […] un topos, un sous-topos […] \(Z \subset B\) sous-topos contenant \(V_{\varepsilon}\) et \(W\) et ouvert \(Z' = Z_{/e'}\), \(Z'' = Z_{/e''}\), et […] \(\sup(e', e'') = e_{Z}\) i.e. […] des sous-topos de \(Z\), ou de \(B\), […] […] pour \(T\), c'est […] […] tels que \(Z\) […] sous-topos ayant des sous-topos ouverts avec \(Z' \subset V\), \(Z'' \subset W\), et \(Z = \sup(Z', Z'')\) (dans l'un de […], c'est kif kif). Ou […] \(Z = \sup(Z', Z'') \subset \sup(V, W) \subset Z\), donc \(Z = \sup(V, W)\). De plus on aura […] \(Z'\) […] \(Z''\) \(Z' = Z \cap V' = Z \times_{Z} V =\) ouvert de \(V\), \(Z'' =\) ouvert de \(W\). les deux colonnes du bas de page s'imbriquent ; l'ordre ci-dessus suit les renvois

    note en biais dans la marge, largement illisible : […] \(Z\) […]

48en tête de feuillet, à droite : « (20 suit) » […] \(V \wedge W = U\) ; d'ailleurs [\(Z'\) et \(Z''\) suivant \(I\)] (ouvert […] \(Z'' \wedge V\) un ouvert de \(V\), (mais pas […] ouvert \(Z'\), ce ouvert \(V\), et […]. Pb ait une solution, il f et s. \(Z'\) de \(V\) […] ouvert de \(V\) qui induise sur \(W\), et \(Z''\) […] induise un ouvert \(Z'' \wedge V\) sur \(V\), [\(V = \sup(Z', Z'' \wedge V)\)], \(W = \sup(Z'', Z' \wedge W)\). […] nécessaire. Pour voir que c'est […] […] le topos \(Z^{*}\) qui est obtenu […] suivant leur intersection \(Z_{1}\), \(Z \to B\) qui est un plongement […] morphismes \(V \to Z^{*}\) et \(W \to Z\) […] \(Z' \xrightarrow{\ \mathrm{Id}\ } Z'\) et \(V \wedge Z'' \to Z''\) d'une part […] […] d'autre part, […] \(Z \to B\) ou […] (ces […] avec […]), donc \(V, W \subset Z \subset B\). […] que \(Z\) satisfait : la condition […] que \(Z' \wedge Z''\) soit ouvert […] \(Z''\) …

Trouver donc \(Z' \wedge Z''\) est un ouvert (dans \(Z\) est obtenu en recollant […]), De \(Z'' \wedge V\) un […] [par des \(Z''\)] qui, avec […] […] en sens ouvert. Le […] : Pour que le Pb […] un ouvert \(Z'\) de […] \(\exists Z'\) […] le plus […] ouvert […] \(Z' \wedge W\) sur \(W\) […] ouvert de \(W\) qui induise, alors \(V = \sup(Z', Z'' \wedge V)\). On a vu que c'est nécessaire — suffisant, considérons […] en recollant \(Z'\) et \(Z''\) suivant […], d'où un morphisme \(Z \to\) […] (à vérifier) et des morphismes qui sont définis via \(Z' \to\) […] (\(V = \sup(Z', V \wedge Z'')\)) et via […] ce sont des plongements (ces […] […] les plongements donc […]). On voit alors aussitôt que […].

N.B. Il suffit un pt […] dans \(Z'\) et dans \(Z''\).

Dans le cas envisagé \(W = X_{\mathrm{car}\,0}\), […] […] de \(B = \hat{R}\) (correspondant […] \(X \in \mathrm{Ob}\,R\) qui sont une […] précision) ; N.B. ce crible […] […] des doubles fibrés et \(V \wedge W\) est l'ouvert […] à l'anneau nul […]. Donc OK.

en regard, dans la colonne de droite : \[B = \hat{R} = X_{\mathrm{ann}}, \qquad V = X_{(\mathrm{car} > 0)}\] \(V\) est déjà un ouvert […] des cribles des objets […] en positive […] […], ne […] […] […] produits finis [produits finis] […] (mais pas d'objet final) ; […] \(X_{\mathrm{car}\,0} \simeq \hat{R}_{\mathbb{Q}}\) correspondant (initial) […] objet […] de \(R_{\mathbb{Q}}\). N.B. \(X_{\mathrm{car} > 0} \simeq \tilde{R}_{(\mathrm{car} > 0)}\), \(R_{\mathrm{car} > 0}\) sous-cat. pl. de \(R\) des schémas […] de car \(> 0\) \(=\) somme amalgamée des \(R_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\) (\(p\) fini) sous […] \(\hat{R} \to \hat{R}_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\)

note en biais, largement illisible : constructions précédentes […]

49\[X_{\mathrm{car}} \simeq \hat{R}_{\mathrm{car}},\] où \(R_{\mathrm{car}}\) est la catégorie somme amalgamée des \(R_{p}\) (\(p\) premier […]) sous \(\struck{\ill{}} \to R_{p}\) […] tt \(p\) ; [les des] schémas […] qui sont de type fini sur un corps premier (y inclus \(\mathbb{Q}\)) […]

  1. 21)Anneaux à car. avec propriétés précisées […] Re N.B. On peut reprendre maintenant toutes les notions envisagées dans 1) à 19 au cas donnée en propriété plus gén., et […] un sous-topos \(Z(p)\) de \(\hat{R}\) […] \(\hat{R}_{p}\), en trouvons comme topos modérément […] sous-topos correspondant […] comme ceux des \(Z(p)\) tels que […] de […] i.e. l'anneau nul […], si […] \(\emptyset_{p} \notin Z(p)\) i.e. pour \(Z(p)\), et des 2 sommes [\(\struck{\text{catégorie}}\) topos] fibrantes pour deux topos \(Z(p)\) [munis des […] amalgamées sous […] ouvert […] \(\emptyset_{p}\)]. Il des […] sous-topos ouverts […] chacun des \(Z(p)\), y a assez de pts ssi […] a assez […]. \(Z(p)\) transcrit le signe qui désigne ici le sous-topos de la caractéristique \(p\)
  2. 22)

    Anneaux quasi[…] connexes [de rang \(\leqslant n\)] (dans le spectre a au plus \(n\) comp. connexes, donc qui […] sommes d'au plus \(n\) schémas connexes) A Déf On peut trouver loc. […] loc. une décomposition en produit \(A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n}\), avec les \(A_{i}\) connexes \(\Longleftrightarrow\) on peut trouver loc. […] des […] projecteurs \(e_{i}\) (\(1 \leqslant i \leqslant n\)) orthogonaux de somme \(1\), avec \(A_{i} = A / \sum_{j \neq i} e_{j} A\) connexe pour tt \(i\), \(1 \leqslant i \leqslant n\). \[\Pi_{n} \subset A^{n} \ \hookleftarrow\ e_{1}, \ldots, e_{n} \text{ avec } \begin{cases} e_{i}^{2} = e_{i} \quad \forall i \\ e_{i} e_{j} = 0 \quad \forall i, j,\ i \neq j \\ \sum e_{i} = 1 \end{cases}\]

    LaTeX source
    \begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
    A \times \Pi_{n} \arrow[d] & A_{j} \arrow[dl] \\
    A_{\Pi_{n}} \arrow[d, Rightarrow] & \\
    \Pi_{n} &
    \end{tikzcd}

    \[A_{j} = A_{\Pi_{n}} \Big/ \sum_{j \neq i} e_{j} A_{\Pi_{n}} \qquad \Pi_{n} \amalg \Pi_{n} \xrightarrow{\ i_{n,j}\ } \Pi(A_{j}) \quad \text{(proj. de } A_{j}\text{)}\] le diagramme est un croquis : \(A \times \Pi_{n}\) au-dessus de \(A_{\Pi_{n}}\), une double flèche vers \(\Pi_{n}\), \(A_{j}\) tombant sur \(A_{\Pi_{n}}\) ; les deux flèches obliques de \(\Pi_{n} \amalg \Pi_{n}\) vers \(\Pi_{n}\) ne sont pas rendues soit \(\Pi_{n,j} \subset \Pi_{n}\) plus grand ss-objet pour lequel \(i_{n,j}\) un épi. Comment avec l'objet de base dans \(\varepsilon\)

50en tête de feuillet, à droite : « (22 suit) » Soit \(\Pi'_{n} = \bigcap_{j} \Pi_{n,j}\), et \(e'_{n} = \mathrm{Im}(\Pi'_{n} \to e_{\varepsilon})\). La condition est que \(e'_{n} \hookrightarrow e_{\varepsilon}\) est un iso, i.e. \(\Pi'_{n} \to e_{\varepsilon}\) un épi. Il n'est pas clair cependant que la formation des \(e'_{n}\) commute aux changements de pt de topos de base \(\varepsilon' \to \varepsilon\), car ce n'est pas clair pour la formation de \(\Pi_{n,j}\). Donc il n'est pas clair qu'on a un topos modérateur […], d'abord de pts […] gens des […] de plus de rapport tout. Cependant le choix des […], à cette fois à permutation près, […] on désigne le \(n\)-uple des \(e_{i}\) qui sont \(\neq 0\) […] les \(e_{i}\) […] tous différents […] \(e_{i}^{2} = e_{i}\), \(e_{i} e_{j} (= e_{i}^{\uncertain{?}}) = 0\) si […] […] […]. Alors on voit que le choix des \(e_{i}\) est bien déterminé, et de plus que si localement […] […] […] alors la décomposition c'est pour ceux \(e_{i} = \ill{}\) typiques \(e_{i} = 0\) !) si \(n = m\), […] […] que les choix des choix possibles des \(e_{i}\) […] est un […] [symétrique] […] \(n\) ; donc que […] […] le […] lexact […] ([…] à support […] tout). […] \(e_{i}\) faisceaux des choix [de] pseudo-torseur [sous […]] sous le […] \(A\) [est] connexe [[…]] typiques. […] définition, […]. Je ne sais si les […] (mais le torseur […], […] […] \(A\) quasi-connexes de rang exactement \(n\) […] tel revient : la donnée […] d'un \(\varepsilon \to B\), mais […] avec \(\varepsilon\) muni de \(A\) […] […] (ou plus des \(\varepsilon \to \hat{R} = B\)) ;

Cela signifie qu'on a […] le torseur \(P\) (i.e. \(p\)), des anneaux connexes […] à […] […] pour tt \(A_{i}\) […] sur \(P\), et […] action de \(\mathfrak{S}_{n}\) sur les \(P\) permutant […] avec les \(A_{i}\) […] suivant des actions […] sur les indices.

le […] à vérifier

51feuillet volant, papier ligné ; la page est une feuille de questions sur la « typicité » des propriétés de modules et d'algèbres, en plusieurs blocs disposés librement

\(M\) plat cela est-il une propriété typique [elle est stable par \(\varinjlim\) filtr. et par changt de topos] \[N \mapsto M \otimes N \text{ exact}\] \(\forall f_{1} \cdots f_{n}\) sections de \(A\) sur \(U\), \[\Bigl(\sum f_{i} A\Bigr) \otimes M \longrightarrow M \quad \text{injectif}\] Il suffit de l'exiger pour les [\(f_{i}\) sect. de \(\mathcal{U}\)] sections universelles, i.e. \(U = A^{n}\) \[\Bigl(\sum t_{i} A_{U_{n}}\Bigr) \otimes M_{U_{n}} \longrightarrow M_{U_{n}} \quad \text{injectif.}\] \(U_{n} = A^{n}\) \[Y \longleftarrow X\] \[M \to M_{i}, \qquad Y \leftarrow Y_{i}, \qquad Z \to Y, \quad N \text{ plat} \qquad\qquad M \to M_{i}, \quad A \to A_{i}, \quad N \text{ plat}, \quad B\] deux croquis de changement de base, sans flèches complètes ; le second porte « \(N\) plat » sur une verticale au-dessus de \(B\)

\(M\) fid plat est-ce typique ? — encerclé

Donc \(\forall N \neq 0\), \(M \otimes N \neq 0\)

\(E \wedge\) \(F\) \(E_{A}\)

\(\underline{\mathrm{Modpf}}(A)\) champ des modules […] sur \(A\) ; \(\underline{\mathrm{Hom}}\bigl(\underline{\mathrm{Modpf}}(A), \underline{\mathrm{Fl}}(F)\bigr)\) Catégorie des hom. de champs des […] ; Les objets ; \(E \to F\) hom. de champs constants ; \(M \mapsto X\) ; d'où \(A_{F}\) ; \(R\).

Algèbres [de t.f. / p.f. / lisses / étales / nettes] pas typiques […] […] aux […]

Considérons une Algèbre qui est déjà de p.f. On veut « le vérifier » (à laquelle lisse etc.). Cela se fait-il pour un sous-topos ??

52Propriétés relatives d'anneaux

propriétés non typiques (pour topos) (absolues pour anneaux)

Anneaux plongeables dans des corps : il faut qu'ils soient intègres, mais ce n'est pas suffisant [[…] s'il […] locale hypothèse]. Pour l'anneau intègre universel, [(voir anneau […] intègre […] […])] les sections locales qui sont partout non nulles (donc qui sont \(A\)-régulières) sont celles qui sont inversibles : l'anneau total des fractions est égal à \(A\) lui-même. Une condition nécessaire pour qu'[…] un anneau se plonge dans un corps, c'est que le [\(X' \to X\)] […] anneau se plonge dans les sections nulles (donc […] au […] […] direct de \(A\)), et c'est sans doute suffisant

Modules sur anneaux

en regard des trois derniers : ne passent pas à la lim. ind. filtrante, donc pas typiques

à gauche, un croquis : \(M \to N\) au-dessus de \(A \to B\), \(f\) et \(g\), \(Y \leftarrow X\)

\[X_{\mathrm{mod}} = \widehat{\mathrm{Mod}^{\circ}_{\mathrm{pf}}}\] \(\mathrm{Mod}_{\mathrm{pf}} =\) catégorie des modules de prés. finie sur \(\mathbb{Z}\)-algèbres de prés. finie […] ; \(\mathrm{Mod}^{\circ}_{\mathrm{pf}} \simeq\) schémas […] […] […] sur schémas affines de t.f. sur \(\mathbb{Z}\).

\(M\) inv. \(\Longleftrightarrow\) \(M \otimes_{A} \underline{\mathrm{Hom}}_{A}(M, A) \xrightarrow{\ \sim\ } A\) […] n'est pas exprimable par \(\varinjlim\) / ne commute pas au changt de base […] : \(\underline{\mathrm{Hom}}(X, Y) \to \underline{\mathrm{Hom}}(f^{*}X, f^{*}Y)\) […] […] \(\underline{\mathrm{Hom}}(X, Y)\) […] la ligne est écrite par-dessus une autre, biffée

encadré : \(\exists N\), \(M \otimes N \simeq A\) ; \(X \mapsto M \otimes X\) ; \(T_{M} T_{N} \simeq \mathrm{id}\), \(T_{N} T_{M} \simeq \mathrm{id}\), donc \(T_{N}\), \(T_{M}\) des équivalences ; donc […] ; donc \(M\) et \(N\) plats [i.e.] ; \(M = \varinjlim M_{i}\), \(M_{i} \subset M\) de t.f., \(M \otimes N = \varinjlim M_{i} \otimes N\), donc \(M_{i} \otimes N \subset A\), donc […] […], donc \(M_{i} \otimes N = A\) ou \(A\) […], […] \(M_{i} = M\), donc \(M\) de t.f., […] \(N\) pareil, i.e. \(M\) est […]. […] […] deux lignes de l'encadré sont raturées au point d'être illisibles

54feuillets jaunis, d'une autre main de plume : le run qui commence ici est un relevé d'énoncés sur les catégories accessibles, avec en marge des renvois numérotés — « 8.13.2 (+ 8.12.8.1) », « 9.22 » — qui sont ceux de SGA 4, exposé I

Catégories \(\mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})\) (\(\mathcal{C}\) petite) et \(\mathrm{Fil}^{\pi}(\mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C}))\)

le titre est le sien ; entre les deux il a biffé une première forme \(\mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})_{\pi'}\)

Th. \(E\) une catégorie [stable par petites \(\varinjlim\) ? [— en satisfaisant seulement \(L_{\pi}\) ?]] Conditions équivalentes :

[…] filtration cardinale, Sous ces conditions, […] on a \[E_{\pi'} \xrightarrow{\ \approx\ } \mathrm{Ind}_{\pi}(E_{\pi})_{\pi'} \quad \add{= \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})_{\pi'}},\] et les \((E_{\pi'})_{\pi' \geqslant \pi}\) forment une filtration cardinale ; […] Pour les filtrations cardinales des \((\mathrm{Fil}^{\pi})_{\pi \geqslant \pi_{0}}\) […] : \[\mathrm{Fil}^{\pi'}(E) = E_{\pi'} \quad \text{pour } \pi' \text{ grand.}\]

Cor. Soient \(E\) et \(F\) deux catégories accessibles, Alors \(f : E \to F\) un foncteur. Alors Conditions équiv. :

b) Pour […] \(\pi\), \(f_{i}\) est […]

Corollaire Supposons \(f\) \(\pi\)-accessible. Alors \(\exists \pi_{0}\) tel que \(\pi \geqslant \pi_{0} \Longrightarrow f(E_{\pi}) \subset F_{\pi}\). [\(E\) \(\pi\)-accessible, \(F\) quelc. Alors] \[\underline{\mathrm{Hom}}(E, F)_{\pi} \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Hom}}(E_{\pi}, F) \quad \add{\text{pl. fid.}}\] c'est une équivalence de catégories […] [avec petites \(\varinjlim\)] [— si \(F\) satisfait \(L_{\pi}\)].

Th Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie accessible [[…] Alors] :

8.13.2 (+ 8.12.8.1)

Corollaire Soient \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) un foncteur, avec \(\mathcal{C}\) accessible [petites] :

Th. a) Soit \(E \to B\) une catégorie fibrée, avec \(B\) équiv. à une petite [petite] catégorie, les catégories fibres accessibles, les foncteurs changement de base accessibles. Alors \(\varprojlim E/B\) et \(\underline{\mathrm{Hom}}_{B}(B, E)\) sont accessibles. En particulier, si \(\mathcal{C}\) accessible et \(I\) équiv. à une petite catégorie, \(\underline{\mathrm{Hom}}(I, \mathcal{C})\) est accessible, ainsi que la sous-catégorie pleine des foncteurs qui transforment […] en iso. 9.22

b) Mêmes hyp. sur \(E, B\). Alors \(\varinjlim E/B^{\circ}\) est accessible. à vérifier

55

Catégories accessibles

le titre est le sien ; en haut à droite : « Réf : SGA 4 I »

Catégorie filtrante [Ensemble ordonné] grande devant \(\pi\). Conditions \(L_{\pi}\), \(L\)
Foncteur \(\pi\)-accessible, accessible
Objet \(\pi\)-accessible, objet accessible d'une catégorie. 9.1 : 9.3 — en regard des trois lignes

Catégorie \(\pi\)-accessible : Satisfait \(L_{\pi}\), et admet une [petite] sous-catégorie génératrice [str.] telle que dont les objets sont \(\pi\)-accessibles ; accessible : \(\exists \pi\) tel que \(\mathcal{C}\) \(\pi\)-accessible

en biais : (vérifier 9.4 ?) — c'est la bonne notion si \(E\) stable par petites \(\varinjlim\) ; sinon sont les bonnes catégories les \(\mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})\) avec \(\mathcal{C}\) petite … — 9.6

Prop […] \(\underline{\mathrm{Hom}}(E, F)_{\pi}\), \(F\) satisfaisant \(L_{\pi}\)

[…]

Cor 1 Cas accessible

Cor 2 […] Si \(F\) est (resp) […] [\(\pi\)-]accessible, […] pour tt \(\pi' \geqslant \pi\), \(E_{\pi'}\) est stable par lim de type \(I\), avec card \(I \leqslant \pi'\). [Les objets […] stables par [petites] \(\varinjlim\)]

Cor 3 Si accessible \(E\) est accessible [\(F\) stable], tout objet de \(E\) est accessible.

Réciproque partielle : Prop […] \(E\) catégorie satisfaisant la condition \(L\) et : a) \(E\) admet une petite sous-catégorie str. gén.

Alors \(E\) est accessible (i.e., en présence de a)) tout objet de \(E\) est accessible

[…]

Cor \(E\) catégorie stable par petites \(\varinjlim\), et telles que les familles épimorphiques strictes universelles Conditions équivalentes

[N.B. \(E\) accessible \(\Longrightarrow\) \(\underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}, E)\) accessible pour tte petite catégorie \(\mathcal{C}\)] ; \(\exists\) (\(E\) \(\pi\)-accessible) \(E_{\pi}\) petite sous-catégorie gén. par épim. stricts universels]

Ex. Dans les topos, […] [à \(\varinjlim\) filtrantes exactes et à petites] […] des catégories accessibles ; une catégorie […] : petite famille génératrice […], est accessible. Mais \((\mathrm{Ens})^{\circ}\) et \((\mathrm{Ab})^{\circ}\) ne sont pas accessibles, p. ex. [\(\mathrm{Ab}^{\circ}\)], [p. ex.] par que dans ces catégories […] il n'y a pas de sous-catégorie génératrice par épim. stricts universels […] n'est pas accessible [i.e. les foncteurs Ker dans Ens, (Ab) ne commutent pas aux […] par lim : une \(\varinjlim\) grande devant \(\pi\) d'épim n'est pas néc. un épim.]

Filtrations cardinales d'une catégorie \(E\) […] p. ex. \(\mathrm{Fil}^{\pi}(E)\), \(\pi \geqslant \pi_{0}\) :

9.12 (condition c) renforcée)

56

LaTeX source
\begin{tikzcd}
\mathcal{C} \arrow[r, "\varphi"] & E \arrow[r, "\hat{\varphi}"] \arrow[dr, dashed] & \hat{\mathcal{C}} \\
& & \hat{E} \arrow[u, dashed, "\hat{\varphi}^{*}"']
\end{tikzcd}

\[\mathrm{Hom}_{E}(\varphi(Y), X) \simeq \mathrm{Hom}_{\hat{\mathcal{C}}} (Y, \hat{\varphi}(X))\] […] une seconde formule, biffée au point d'être illisible

Si ds \(E\) \(\exists\) limites inductives [(petites)], on a aussi : \[\bar{\varphi} : \hat{\mathcal{C}} \longrightarrow E, \qquad \bar{\varphi}(F) = \varinjlim_{\mathcal{C}_{/F}} \varphi(X)\] le choix de \(\varphi\) équivaut à celle de \(\bar{\varphi}\) commutant aux petites \(\varinjlim\) \[\mathrm{Hom}_{E}(\bar{\varphi}(F), X) \simeq \mathrm{Hom}_{\hat{\mathcal{C}}}(F, \hat{\varphi}(X))\]

Conditions équivalentes

en accolade à droite de a) et b) : On dit alors que \(\varphi\) est strictement générateur.

58\(E\) catégorie. Conditions équivalentes

[Dans une telle catégorie, tt foncteur [contravariant] (à valeurs dans (Ens)) qui commute aux petites \(\varinjlim\) est représentable, donc il existe dans \(E\) des petites \(\varprojlim\), et dans a''), le foncteur \(E \to \hat{\mathcal{C}}\) y commute, i.e. \(E\) s'identifie à une sous-catégorie stable par \(\varprojlim\) de \(\hat{\mathcal{C}}\). Si \(E\) est accessible [ce qui est plus fort que les conditions équivalentes a) …], alors […] un foncteur \(E \to \hat{\mathcal{C}}\) [[…]] un adjoint à g. ssi il est accessible et commute aux [petites] \(\varprojlim\)]

Question Une catégorie satisfaisant les conditions a) est-elle accessible, i.e. ses éléments sont-ils accessibles ? Comme, sous les conditions de a''), \(\hat{\mathcal{C}}\) est accessible, on voit qu'il [faut et] suffit que le foncteur \(E \to \hat{\mathcal{C}}\) soit accessible, ou ce qui revient au même, qu'il existe un cardinal \(\pi\) tel que \(E\) soit stable dans \(\hat{\mathcal{C}}\) par \(\varinjlim\) filtrantes grandes devant \(\pi\).

en biais dans la marge gauche : Contre-exemple : \((\mathrm{Ens})^{\circ}\), elle […] à des limites inductives strictes […] épimorphismes stricts […] (Ex \(\geqslant 2\)) […] les […] de […] ne sont pas accessibles […] les produits !

Exemples

[…]

Conséquence : 1) Si \(T \to T'\) est un hom. de structures algébriques, d'où \(T(\mathcal{C}) \to T'(\mathcal{C})\) foncteur accessible entre catégories accessibles, commutant aux \(\varprojlim\) petites, donc \(\exists\) adjoint à gauche (structures \(T'\)-\(T\)-libres) ; 2) Si \(\mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) foncteur accessible commutant aux pet. \(\varprojlim\) entre cat. acc., \(T(\mathcal{C}) \to T(\mathcal{C}')\) est accessible commutant aux petites \(\varprojlim\), donc \(\exists\) adjoint à g. …

\[\underline{\mathrm{Hom}}^{*}(\mathcal{C}^{\circ} \times \mathcal{C}'^{\circ}, \mathrm{Ens})\] À prouver : Si \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{C}'\) accessibles, alors la ss-catégorie [des] \(\underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}^{\circ} \times \mathcal{C}'^{\circ}, \mathrm{Ens})\) formée des bifoncteurs qui commutent aux \(\varprojlim\) [petites] en chaque argument, (\(\simeq \underline{\mathrm{Hom}}'(\mathcal{C}^{\circ}, \mathcal{C}') \simeq \underline{\mathrm{Hom}}'(\mathcal{C}'^{\circ}, \mathcal{C})\), où \(\underline{\mathrm{Hom}}'\) désigne les foncteurs qui commutent aux petites \(\varprojlim\)) est accessible, et des foncteurs commutant aux \(\varprojlim\) \(\mathcal{C}_{1} \to \mathcal{C}\), \(\mathcal{C}'_{1} \to \mathcal{C}'\) définissent un foncteur accessible entre les \(\underline{\mathrm{Hom}}^{*}\). Or il est assez clair que plus généralement, si \(\mathcal{D}\) [variable] stable par […] (et pour les foncteurs (qui) commutent […]) \[\underline{\mathrm{Hom}}^{*}(\mathcal{C}^{\circ} \times \mathcal{C}'^{\circ}, \mathcal{D}) \simeq T_{\mathcal{C}^{\circ}} T_{\mathcal{C}'^{\circ}}(\mathcal{D}) \simeq T_{\mathcal{C}'^{\circ}} T_{\mathcal{C}^{\circ}}(\mathcal{D})\] est une « théorie algébrique » que, définie par \((\mathcal{C} \times \mathcal{C}')^{\circ}\) [\(\mathcal{C} \times \mathcal{C}'\) universel pour « couplages » \(\mathcal{C} \times \mathcal{C}' \to \mathcal{C}''\) commutant aux \(\varprojlim\) en chaque argument …]

59Lemme \(\mathcal{C}\) une petite catégorie, \(\pi\) cardinal, \(E = \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})\) la sous-catégorie pleine de \(\underline{\mathrm{Ind}}(\mathcal{C})\) formée des repl. ind. [indexés par des ens. ordonnés [petits]] grands devant \(\pi\). Alors (c'est une \(\mathcal{U}\)-catégorie […])

[…]

Réciproquement : Soit \(E\) une […] catégorie [\(\pi\) un cardinal [petit]], la forme \(\mathrm{Ind}(\mathcal{C})\), [\(\mathcal{C}\) petite], […] et satisfaisant [et une \(\mathcal{U}\)-catégorie et] — Alors \(E\) est \(\approx\) à une catégorie du [[…]] :

N.B. La condition (iii) est vérifiée [conséquence de (i), (ii)] (si \(E\) stable par [petites] \(\varinjlim\) ([…] \(E_{\pi}\) est stable par \(\varinjlim\) de cardinal \(\leqslant \pi\))

Soit \(\pi'\) un cardinal, et

Reprenons \(\mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})\), soit \(\pi'\) un cardinal \(\geqslant \pi\), et soit \(\mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})_{\pi'}\) [\(= \mathrm{Fil}^{\pi'}(E)\)] la sous-catégorie str. pleine des […] de \(\mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})\) formée des ind-objets indexés par des \(I\) tels que a) \(I\) grand devant \(\pi\) b) card Ob \(I\) [Ob \(I\) […]] ensemble cofinal de cardinal \(\leqslant \pi'\). Alors

les points c) et d) sont surchargés de renvois et de traits ; l'ordre ci-dessus suit les flèches Pourtant, on a \(\mathrm{Fil}^{\pi'}(E) \neq E_{\pi'}\) — et, encerclé : prouver c) avant b) encadré : cf SGA 4 I 9.66 pour \(\supset\) — et : résulte de la réciproque plus haut ; on a égalité si \(E\) stable par \(\varinjlim\)

60Axiome c) des filtrations cardinales

Pour \((\mathrm{Fil}^{\pi})_{\pi'}\) : \[X = \varinjlim_{I} X_{i}, \qquad X_{i} \in \mathcal{C},\ I \text{ grand devant } \pi. \quad \struck{\ill{}}\] Soit \(I'\) l'une des sous-catégories pleines de \(I\) [ordonnés par l'inclusion] [filtrantes de \(I\) grandes devant \(\pi\) (telles que] card(Ob \(I'\)) \(\leqslant \pi'\), […] Pour tt tel \(I'\), soit \(X_{I'} = \varinjlim_{i \in I'} X_{i}\) (limite inductive dans \(E = \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C}) \subset \mathrm{Ind}(\mathcal{C})\)) […]. Je dis que \(J\) est filtrant et grand devant \(\pi'\). En effet, si \((I_{\alpha})_{\alpha \in \Lambda}\) est une famille de sous-catégories de \(J\) grandes devant \(\pi\), de cardinal \(\leqslant \pi'\), avec card \(\Lambda \leqslant \pi'\), la réunion [[…]] des \(I_{\alpha}\) est de cardinal \(\leqslant \pi'\), et […] est […] dans […] […] de cardinal \(\leqslant \pi'\) […] […] grand devant \(\pi\), pour toute partie de \(I'\) de […] les \(X_{I'}\) dans \(\mathrm{Fil}^{\pi'}\), \[X = \varinjlim_{I' \in J} X_{I'} .\] Enfin, si \(X \in \mathrm{Fil}^{\pi''}\), on peut prendre \(I\) tel que card \(I \leqslant \pi''\), donc Card \(J \leqslant \pi''^{\pi'}\).

en regard, colonne de droite, sous « \(\forall \pi' \geqslant \pi\) » : Pour \(X \in E\) de la forme \(\varinjlim_{J} X_{j}\), \(X_{j} \in \mathrm{Fil}^{\pi'}\), \(J\) grand devant \(\pi'\), et si \(X \in \mathrm{Fil}^{\pi''}\), on peut prendre card \(J \leqslant \pi''^{\pi'}\) (\(= \pi''\) ?) (N.B. si \(\pi'' \geqslant 2^{\pi'}\), …)

Axiome des filtrations cardinales pour les \((E_{\pi'})\). On a vu que, si \(X \in \mathrm{Ob}\,E_{\pi''}\), on [sans diff. […]] […] \(\pi'' \geqslant \pi'\) [(SGA 4 I 9.16)] On a \[X = \varinjlim_{J} X_{j}, \qquad X_{j} \in \mathrm{Fil}^{\pi'}(X) \cap E_{\pi'},\ J \text{ grand devant } \pi',\] [à prouver que \(\{\,X_{j} \in \mathrm{Ob}\,E_{\pi'}\), \(J\) grand devant \(\pi'\), card \(J \leqslant \pi''^{\pi'}\,\}\)] donc tout revient à prouver que card \(J \leqslant \pi''^{\pi'}\). Ceci […] \(\pi'' \geqslant \pi'\), sauf […] \(\leqslant \mathrm{Fil}\) le paragraphe entier est barré de traits diagonaux

Cor Pour [supposons que] amorce encerclée et abandonnée

Cor Soit \(E\) une \(\mathcal{U}\)-cat. stable par petites \(\varinjlim\) [[…]]. Pour [que] \(E\) soit équivalente à […] \(\mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})\), avec \(\mathcal{C}\) petite, [(mieux : \(E\) […] par \(\varinjlim\) de card \(\leqslant \pi\))] il f. et s. que \(E\) admette une petite catégorie strictement génératrice formée d'objets accessibles. encerclé : qui il en est \(\pi\) ? il tel […] Ce sont ces \(E\) qu'il faudrait appeler « accessibles ».