Fonds Grothendieck, cote n° 161-2, pages 41–60

la liste des axiomes sur les anneaux, ouverte p. 38, continue ; la numérotation est la sienne, et elle est reprise plus bas : le 12) de ce feuillet devient le 13) de la p. 42 X_{\mathrm{cpct}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top\,cpct}} cpct est la topologie sur R pour laquelle X_{i} \to X est couv. ssi pour tt anneau artinien local (ou anneau de dim 0) \mathcal{O}, X_{i}(\mathcal{O}) \to X(\mathcal{O}) est épimorphique.

encore un topos non cohérent (bien que sous-topos d'un topos cohérent)

11)Corps = Anneaux réduits (local de dim 0) la parenthèse et « réduit » sont portés au-dessus d'un premier membre de droite biffé A^{\ast} \amalg A \xrightarrow{\ \mathrm{incl},\ 0_{A}\ } A \quad \text{est épi} le \amalg est marqué \hat{R} en dessous : la somme est prise dans \hat{R} X_{\mathrm{ps.corps}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top\,\struck{\ill{}}}} corps, top. sur R où les familles couvrantes sont celles qui ont des sections sur chaque fibre. \simeq \tilde{R}_{\mathrm{cons}} R_{\mathrm{cons}} la catégorie des schémas compacts réduits associés aux schémas de t.f. sur \mathbb{Z}, avec top. de Zariski. \tilde{R}_{\mathrm{cons}} formé des foncteurs contravariants qui commutent aux lim. proj. finies. 12)corps = compact et intègre = ps-corps intègre (clair) = ps-corps local (à prouver) deux lignes biffées et repassées entre les deux derniers membres

le reste du feuillet est barré de traits diagonaux

N.B. Les ss-topos définis dans 1) à 11) ont des pts, donc sont définis par leurs points. Il n'est pas clair qu'il en soit ainsi pour les intersections de plusieurs de ces sous-topos. Donc pour vérifier que deux intersections sont égales, il ou ont des rel. d'inclusion déterminées, il n'est pas clair qu'il suffise de le vérifier pour leurs pts, — i.e. pour les structures ensemblistes. — Sauf si on vérifie à chaque fois que les int. précéd. ont assez de pts ! Vérifier donc qu'un anneau du cpct intègre dès que A est ps corps local, A est loc. intègre.

2) La définition A : R \to \mathcal{E} transforme sommes finies, et qu'il transforme familles couvrantes pour « top. cpct » en familles couv. Montrons qu'une famille X_{i} \to X qui est couv. pour top. discrète de tt (les X_{i}(k) \to X(k) est épi pour tt corps k) ~~est~~ épi. Réc. sur \dim X assez évident.

12)

Anneau compact (i.e. à spectre compact) — X_{\mathrm{cpct}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top\,cpct}} \forall U, A(U) à spectre cpct i.e. \forall f \in A(U),\ \exists (!)\ e \in A(U),\ e^{2} = e,\ ef \text{ inversible dans } eA(U),\ \struck{e}\,(1-e)f \text{ nilpotent.} Suffit de le faire pour f universel, U = A. On trouve, si D_{n} \subset A \times A \times A formé des g, f, e avec e^{2} = e, f(1-e) = 0, g(1-e) = 0, fg = e, un mono induit par proj i_{n} : D_{n} \hookrightarrow A et la condition est que les D_{n} couvrent A.

Pour la top. de R_{\mathrm{top\,cpct}}, sera donc la condition que, si D_{n} = \mathrm{Im}\ \amalg_{R} \mathbf{A}^{\ill{}} \xrightarrow{\ i_{n}\ } A (attention, ceci une somme dans R, pas \hat{R}) la famille des i_{n} soit couvrante. l'exposant de \mathbf{A} se lit 6 ou 3 ; D_{n} \subset A \times A \times A plaide pour 3

topologie non cohérente ! A-t-elle assez de pts ?? — le tout encerclé, avec un point d'interrogation en dehors

13)Anneau compact réduit = pseudo~~corps~~ \forall U, A(U) ps. cpct i.e. \forall f \in A(U),\quad A(U) \xrightarrow{\ \sim\ } A_{f} \times A/fA, \text{ i.e. } \exists (!)\ e \in A(U),\ e^{2} = e,\ ef \text{ inv.},\ \uncertain{e(1-f) = 0} i.e. i_{1} : D_{1} \hookrightarrow A est un isom X_{\mathrm{cpct}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top\,ps\,corps}} \simeq \hat{R}_{\mathrm{cons}} l'indice de X se lit comme au 12) ; le contexte demande « compact réduit » ps. corps est la topologie engendrée par les X' \to X qui ont une section fibre par fibre ((X_{i} \to X) couvrante ssi \exists i_{0}, X_{i_{0}} \to X ainsi). R_{\mathrm{cons}} comme avant, localisé de R pour les ~~topologie~~ flèches ~~bijections~~ à ext. résiduelles triviales. \hat{R}_{\mathrm{cons}} \subset \hat{R}_{\uncertain{\mathrm{cpct}}} \quad \text{formé des } R^{\circ} \to \mathrm{Ens} \text{ qui transforment les flèches précédentes \ill{}} 14)Corps sép. clos = corps str. hensélien X_{\mathrm{corps\,hens}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top\,corps\,sépclos}} top. corps hens., topologie où les familles couvrantes sont celles ~~pour~~ X_{i} \to X qui ~~sont~~ ont pt séparable (qui ) sur chaque \simeq \widetilde{(R_{\mathrm{cons}})} et R_{\mathrm{cons}} comme dans 11), avec top. étale. 15)Corps alg. clos = corps ultralocal X_{\mathrm{corps\,alg\,clos}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top\,corps\,alg\,clos}} topologie où X_{i} \to X est couvrante si elle est surjective \simeq \tilde{R}_{\mathrm{cons},\,\mathrm{fppf}} R_{\mathrm{cons}} comme dans 11), topologie fppf = topologie des familles ~~contenant une~~ ~~surjectives~~ familles finies surjectives. 16)

Anneau annulé par n ( \uncertain{\geqslant 1})

(a) n 1_{A} = 0, ou V(n 1_{A}) \xrightarrow{\ \mathrm{isom}\ } e_{\varepsilon} X_{\struck{n\text{-tors}}\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top}\ n\text{-tors}} \simeq \hat{R}_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} top n-tors topologie où X_{i} \to X est couvrante ssi un des V(n 1_{X_{i}}) \to V(n 1_{X}) a une section (X_{i} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to X \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) ; R_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} ~~top.~~ sous cat. pl. de R formée des X qui sont des \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}-schémas (R_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} peut être considéré comme une catégorie de fractions de R pour les flèches f telles que f \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} bijections).

sous-topos ouvert de X_{\mathrm{an}} = \hat{R} ; N.B. X_{\uncertain{1}\text{-tors}} = X_{\emptyset} = topos ponctuel — le tout encerclé

Ex Si n premier, les anneaux corps.

(b) anneau où n inversible. X_{\mathbb{Z}[1/n]} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top}\,\mathbb{Z}[1/n]} \simeq \hat{R}_{\mathbb{Z}[1/n]} top \mathbb{Z}[1/n], top. où X_{i} \to X couvrantes ssi un des X_{i} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}[1/n] \to \struck{X} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}[1/n] a une section ; R_{\mathbb{Z}[1/n]}, sous-cat. pleine de R des \mathbb{Z}[1/n] schémas aff. de t.f. sous-topos ouvert — encerclé

(c) Soit plus généralement S \to e_{R} un mono dans \mathrm{Pro}\,R (R = \mathrm{Sch}\text{-}\mathrm{aff} ; i.e. \mathbb{Z} \to \Lambda épi ), d'où R_{/S} \subset R sous-catégorie pleine de R (correspondant aux anneaux de t.f. sur \mathbb{Z} qui sont des \Lambda-algèbres). Considérons les Anneaux du type \varepsilon qui sont \Lambda-algèbres (la structure de \Lambda-algèbre est-elle unique ? Oui, on est ramené par le procédé standard au cas ensembliste) ; les \Lambda-algèbres de \varepsilon sont les foncteurs \varepsilon \to \struck{\mathrm{Ens}}\ (\Lambda\text{-alg}) \longleftrightarrow (\mathrm{Ann}) qui sont représentables ensemblistement. Or ~~(\Lambda\text{-alg}) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}~~ Or s'identifient (~~Ann~~) Ann à \underline{\mathrm{Hom}}'(R, \mathrm{Ens}) de (c) à la fin du feuillet, le texte est barré de traits diagonaux ; il continue sans rupture p. 44, qui n'est pas barrée

(où ' signifie exact à g.) et \Lambda-alg. à \underline{\mathrm{Hom}}'(R_{\Lambda}, \mathrm{Ens}) — R_{\Lambda} cat. des schémas de t.f. sur \Lambda, le foncteur d'inclusion \underline{\mathrm{Hom}}'(R_{\Lambda}, \mathrm{Ens}) \hookrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}'(R, \mathrm{Ens}) est transposé des

\begin{tikzcd} \underline{\mathrm{Hom}}'(R_{\Lambda}, \mathrm{Ens}) \arrow[r, hook] & \underline{\mathrm{Hom}}'(R, \mathrm{Ens}) \\ (\Lambda\text{-alg}) \arrow[u, "\wr"] \arrow[r, hook] & (\mathrm{Ann}) \arrow[u, "\wr"'] \end{tikzcd}

avec, à gauche, A \mapsto \bigl(B \mapsto \mathrm{Hom}(B, A)\bigr) (B une \Lambda-alg), et à droite A \mapsto \bigl(B \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(B, A)\bigr) (B une \mathbb{Z}-alg ~~\Lambda-alg~~), \simeq \mathrm{Hom}_{\Lambda}(B_{\Lambda}, A) si A une \Lambda-alg.

foncteur R \to R_{\Lambda}, X \mapsto X \otimes_{\mathbb{Z}} \Lambda i.e. X \mapsto X \times_{e} S = X \times S (qui est en effet exact à g.). Donc X_{\Lambda\text{-alg}} \simeq \tilde{R}_{\Lambda\text{-top}} \simeq \hat{R}_{\Lambda} \Lambda-top : X_{i} \to X couvrantes ssi les X_{i} \struck{\times} \times_{e} S \to X \times_{e} S ont une section. N.B. R_{\Lambda} est aussi déduit de R par qu. cat. de fractions, en rendant les f telles que f \times_{e} S un isom.

Ex X_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\text{-alg}}, X_{\mathrm{car}\,p} (cas particulier), X_{\mathbb{Z}[1/n]} ; X_{\mathbb{Q}} = X_{\mathrm{car}\,0} = \struck{\ill{}} \bigcap_{n \geqslant 2} X_{\mathbb{Z}[1/n]}

N.B. Ce qui vient de se voir se généralise au cas d'une finies, et l' de structure donnée \Lambda \in T(\mathrm{Ens}) = \mathrm{Ind}\,R^{\circ}, suppose que S \to e_{R} , où R_{S} = catégorie des foncteurs que déduit des isom pour image ess. de \mathrm{Pro}\,R_{/S}, X \mapsto X \times_{e} S . Comme S \in \mathrm{Ob}\,\hat{R} (~~S \subset e_{\hat{R}}~~) \mathrm{Pro}\,R \hookrightarrow \hat{R}, dans l'image essentielle de \mathrm{Pro}\,R, et s'intéresse aux f : \varepsilon \to \hat{R} tels que f^{*}(S) \to f^{*}(e_{\hat{R}}) = e_{\varepsilon} f^{*}(S) \hookrightarrow e des -structures qui sont représentées par des ouverts du topos classifiant \hat{R}.

R quelconque avec \varprojlim finies commutant . On se donne i.e. S \in \mathrm{Pro}\,R, un mono, et on considère de R pour les flèches que \times_{e} S, donc sous-catégorie pl. R \to \mathrm{Pro}\,R_{/S}, X \mapsto

\pi(\mathrm{Ens}), — montrons que si S \in \mathrm{Pro}\,R les conditions

en tête de feuillet, à droite : « 16 (suite) » (\forall cat. R stable par \varprojlim finies ess. petite) Plus gén., pour tout mono S \xrightarrow{\ i\ } e_{R} dans \hat{R}, d'où sous-catégorie R_{/S} de R, ~~Est sous-catégorie~~ considérons (~~les~~ topos \varepsilon-) les R \xrightarrow{\ \varphi\ } \varepsilon ex. à g. ~~tels que~~ qui \varphi(i) un isom. i.e. \forall X \in \mathrm{Ob}\,\varepsilon, \mathrm{Hom}(X, -) \circ \varphi : R \to (\mathrm{Ens}) ex. à g. (avec versions ). Or les foncteurs ex. à g. R \to \mathrm{Ens} s'identifient aux éléments de \mathrm{Pro}\,R ( pro-représentables), et \xi \in \mathrm{Pro}\,R tels que \mathrm{Hom}_{\mathrm{Pro}R}(\xi, S) \neq \emptyset, on prouve dans les S, donc en sont ass. les i.e. ou encore la sous-cat. pleine de \mathrm{Pro}(R_{/S}), ~~donc~~ de \mathcal{C} = (\mathrm{Pro}(R))^{\circ} = \mathrm{Ind}(\mathcal{S}) \qquad (\struck{\ill{}} = R^{\circ}) (qui sont ) tel qu'il existe un morphisme \Lambda \to \xi, i.e. \Lambda \to de \mathcal{S} correspondant à S. On a pour les topos classifiants : \hat{R}_{/S}, avec \hat{R}_{/S} \xrightarrow{\ \hat{\imath}\ } \hat{R} déduit de i : R_{/S} \to R. On a : i^{*} = inclusion de R_{/S} en R, i^{*}(\struck{X}) = X \times_{e} S / S, i_{*}(Y) (objet de R_{/S}) = \{\,X \mapsto \mathrm{Hom}_{S}(X \times S, Y) = \mathrm{Hom}(X \times S, Y)\,\}, X \in \mathrm{Ob}\,R, i.e. i_{*}(\struck{Y}) = \underline{\mathrm{Hom}}(S, Y).

Considérons maintenant une famille S_{\alpha} \xrightarrow{\ i_{\alpha}\ } e_{B} filtrante décroissante de ss-objets de e_{R}, et soit T' = \bigcap_{\alpha} T_{S_{\alpha}} l' ss-espèce de structure de T = T_{R} = T_{\hat{R}} définie par les conditions \varphi(i_{\alpha}) = f^{*}(i_{\alpha}), i.e. f : \varepsilon \to B = \hat{R}) iso pour tout \alpha. Définie aussi par les conditions sur les \mathrm{Hom}(X_{\xi}, -) \circ \varphi, on est ramené à examiner le cas du topos ponctuel \varepsilon = \mathrm{Ens} : ~~Oui donc~~ Soit S = (S_{\alpha}) \in \mathrm{Pro}\,R, ~~S \to e_{R} = e_{\mathrm{Pro}R} un mono~~ d'où \xi = (\xi_{\alpha}) \in \mathrm{Ind}\,\mathcal{S}, les objets \mathcal{O} de \mathcal{S} sont ceux pour lesquels il existe un (unique) morphisme \xi \to \mathcal{O}, donc dans \mathrm{Pro}\,R = \mathcal{R} un (unique) x \to S \hookrightarrow e_{R} = e_{\mathcal{R}} , qui pour un . Mais quelles sont les catégories classifiantes ? ~~C'est le topos~~ Le topos \hat{R}' est le ces , mais quels sont ces pts . \mathcal{R}' une petite avec \varprojlim \bigcap_{\alpha} \hat{R}_{/S_{\alpha}}. On a déterminé le feuillet s'arrête ici en cours de phrase ; la marge, écrite le cahier tourné, porte le développement qui suit

\to \mathrm{Pro}\,R_{/S} définis par objets de base. On trouve donc petite la catégorie modulaire avec les conditions et \varprojlim R_{/S_{\alpha}} qui est une catégorie de fractions de R pour les flèches i telles que i \times_{e} S un iso. des ind-représentables des R \to \mathrm{Pro} limites de la catégorie \varprojlim_{\alpha} R_{/S_{\alpha}}. \hat{R}_{/S_{\alpha}} = \bigcap_{\alpha} \hat{R}_{/S_{\alpha}} = \widetilde{\varprojlim_{\alpha} R_{/S_{\alpha}}} plongés dans B par i_{\alpha *}, un i_{\alpha !} !! sauf erreur, ce sont les X \to X \times_{e} S, on les \bigcap_{\alpha} B_{\bar{I}_{\alpha}} = \bigcap_{\alpha}

17)

Anneau parfait de car. p (p > 0) p\,1_{A} = 0, \qquad A \xrightarrow{\ x \mapsto x^{p}\ } A \text{ isom} en car. 0, pas réduit ? — écrit en biais

N.B. parfait \Longrightarrow réduit X_{p\text{-parf}} = \tilde{R}_{\mathrm{top}\,\struck{\ill{}}} = \hat{R}_{p\text{-parf}} R_{p\,\mathrm{parf}} catégorie des schémas affines parfaits de car. p qui sont clôtures parfaites des schémas de t.f. sur \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.

top. p-parf sur R : X_{i} \to X est couvrante si \exists i_{0}, (X_{i_{0}})_{p} \to (X)_{p} admet une section après passage à la clôture parfaite de X_{p}.

18)

~~Anneau corps~~ compact parfait de car. p (> 0). parfait de car. p \cap ps. corps.

top. cpct p-parfaite : X_{i} \to X est couvrante ssi \exists i_{0}, X_{i_{0}} \to X a un pt radiciel au dessus de pt de X_{p} X_{\struck{\ill{}}\ p\text{-parf}} \simeq \tilde{R}_{\struck{\ill{}}} \simeq \hat{R}_{\mathrm{cons}\ p\text{-parf}} R_{\mathrm{cons}\ p\text{-parf}} = catégorie des clôtures parfaites des schémas de car. p dans R_{\mathrm{cons}}.

19)Corps parfait (car p > 0) X_{\mathrm{corps}\ p\text{-parf}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{top\ corps}\ p\text{-parf}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{cons}\ \uncertain{p\text{-parf}}\ \mathrm{zar}} X_{i} \to X est couvrante ssi X_{i,p} \to X_{p} a des pts radiciels sur chaque fibre. 20)

~~Anneau à caractéristique~~ ~~Anneau parfait (de car. parfaite, de car. p > 0 un précisé (inclus par 0)~~ les deux lignes du titre sont biffées l'une après l'autre ; le reste du feuillet est barré de traits diagonaux

A. On veut que loc sur \varepsilon il ait les propriétés envisagées. Soit C l'un des qui (comme cas de car. 0), ~~Donc~~ soit l'ensemble . Alors \varepsilon e_{\varepsilon} \simeq \coprod_{c \in C} U_{c}, un U_{c} de car. p si c \neq \emptyset, et \Delta U_{\emptyset} = 0. Puis alors X_{\uncertain{\mathrm{parf}}} \subset X_{\mathrm{ann}} ; leur intersection les deux dernières lignes sont surchargées et se lisent mal

20)

Anneau à car.

loc. sur \varepsilon, A est de car p > 0 ou de car. 0, i.e. la famille \Bigl\{\, V(p \cdot 1_{A}) \hookrightarrow e_{\varepsilon} \ ;\ \bigcap_{n \geqslant 1} (e_{\varepsilon})_{n 1_{A}} \hookrightarrow e_{\varepsilon} \,\Bigr\} est épimorphique (cela fait factoriser univers pour le sous-topos \Sigma_{\mathrm{car}} \varepsilon \to \hat{R} une \varprojlim infinie , donc ne donne pas l'existence d'un topos classifiant). On aura \varepsilon \to \hat{R} se factorise localement sur \varepsilon par la « réunion » V = X_{\mathrm{car} > 0} des sous-topos ouverts \hat{R}_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}} \simeq \hat{R}_{\mathrm{Sp}\,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}, et le sous-topos W = \hat{R}_{\mathbb{Q}} (qui n'est pas sous-topos ouvert) avec images. X_{\mathrm{car}} = \tilde{R}_{\mathrm{top.car}} Où « top car » est la borne inférieure des « top car p » pour premiers p et pour , i.e. les familles X_{i} \to X couvrantes ssi pour tt p, il existe un indice i(p) tel que (X_{i(p)})_{p} \to (X)_{p} (fibres au dessus de p) ait une section. C'est [p. ex. les familles des (X_{p} \to X)_{p} finies \to couvrantes, et si X_{\mathbb{Q}} \neq \emptyset, il n'y a pas de familles couvrantes finies cofinales]

Topos non cohérent — encerclé, avec un croquis : deux ovales Z', Z'' se recouvrant, la région commune marquée I, une flèche vers le bas

Plus généralement, soit B un topos, V et W deux sous-, considérons T = T_{B}, et T_{V} et T_{W}, à foncteurs localement par B T' = (\varepsilon \to \struck{f} \varepsilon \to B, B \simeq B'. f que ~~l'image~~ e_{\varepsilon} = \sup(e', e''), i.e. c'est les plus de \varepsilon tel pt comme f|_{\varepsilon_{/e'}} se factorise par , et pour e''. On a alors f|_{e' \wedge e''} \to V \wedge W, plus quel ouvert \subset e_{\varepsilon} est aussi . e' \wedge e'' ? [Si U_{c}\,e', U_{c}\,e'' dans U_{c}\,e' \wedge e'', OK] / Soit un topos, un sous-topos Z \subset B ~~sous-topos~~ contenant V_{\varepsilon} et W et ouvert Z' = Z_{/e'}, Z'' = Z_{/e''}, et \sup(e', e'') = e_{Z} i.e. des sous-topos de Z, ou de B, pour T, c'est tels que Z ~~sous-topos~~ ayant des sous-topos ouverts avec Z' \subset V, Z'' \subset W, et Z = \sup(Z', Z'') (dans l'un de , c'est kif kif). Ou Z = \sup(Z', Z'') \subset \sup(V, W) \subset Z, donc Z = \sup(V, W). De plus on aura ~~Z' Z''~~ Z' = Z \cap V' = Z \times_{Z} V = ouvert de V, Z'' = ouvert de W. les deux colonnes du bas de page s'imbriquent ; l'ordre ci-dessus suit les renvois

note en biais dans la marge, largement illisible : Z

en tête de feuillet, à droite : « (20 suit) » V \wedge W = U ; d'ailleurs Z' et Z'' suivant I (ouvert Z'' \wedge V un ouvert de V, (mais pas ouvert Z', ce ouvert V, et . Pb ait une solution, il f et s. ~~Z' de V~~ ouvert de V qui induise sur W, et Z'' induise un ouvert Z'' \wedge V sur V, V = \sup(Z', Z'' \wedge V), W = \sup(Z'', Z' \wedge W). nécessaire. Pour voir que c'est le topos Z^{*} qui est obtenu suivant leur intersection Z_{1}, Z \to B qui est un plongement morphismes V \to Z^{*} et W \to Z Z' \xrightarrow{\ \mathrm{Id}\ } Z' et V \wedge Z'' \to Z'' d'une part d'autre part, Z \to B ou (ces avec ), donc V, W \subset Z \subset B. que Z satisfait : la condition que Z' \wedge Z'' soit ouvert Z'' …

Trouver donc Z' \wedge Z'' est un ouvert (dans Z est obtenu en recollant ), De Z'' \wedge V un par des Z'' qui, avec en sens ouvert. Le : Pour que le Pb ~~un ouvert Z' de~~ ~~\exists Z' le plus~~ ouvert Z' \wedge W sur W ouvert de W qui induise, alors V = \sup(Z', Z'' \wedge V). On a vu que c'est nécessaire — suffisant, considérons en recollant Z' et Z'' suivant , d'où un morphisme Z \to (à vérifier) et des morphismes qui sont définis via Z' \to (V = \sup(Z', V \wedge Z'')) et via ce sont des plongements (ces les plongements donc ). On voit alors aussitôt que .

N.B. Il suffit un pt dans Z' et dans Z''.

Dans le cas envisagé W = X_{\mathrm{car}\,0}, de B = \hat{R} (correspondant X \in \mathrm{Ob}\,R qui sont une précision) ; N.B. ce crible des doubles fibrés et V \wedge W est l'ouvert à l'anneau nul . Donc OK.

en regard, dans la colonne de droite : B = \hat{R} = X_{\mathrm{ann}}, \qquad V = X_{(\mathrm{car} > 0)} V est déjà un ouvert des cribles des objets en positive , ne ~~produits finis~~ produits finis (mais pas d'objet final) ; X_{\mathrm{car}\,0} \simeq \hat{R}_{\mathbb{Q}} correspondant (initial) objet de R_{\mathbb{Q}}. N.B. X_{\mathrm{car} > 0} \simeq \tilde{R}_{(\mathrm{car} > 0)}, R_{\mathrm{car} > 0} sous-cat. pl. de R des schémas de car > 0 = somme amalgamée des R_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}} (p fini) sous \hat{R} \to \hat{R}_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}

note en biais, largement illisible : constructions précédentes

X_{\mathrm{car}} \simeq \hat{R}_{\mathrm{car}}, où R_{\mathrm{car}} est la catégorie somme amalgamée des R_{p} (p premier ) sous \struck{\ill{}} \to R_{p} tt p ; les des schémas qui sont de type fini sur un corps premier (y inclus \mathbb{Q})

21)Anneaux à car. avec propriétés précisées Re N.B. On peut reprendre maintenant toutes les notions envisagées dans 1) à 19 au cas donnée en propriété plus gén., et un sous-topos ~~Z(p)~~ de \hat{R} ~~\hat{R}_{p}~~, en trouvons comme topos modérément sous-topos correspondant comme ceux des Z(p) tels que de i.e. l'anneau nul , si \emptyset_{p} \notin Z(p) i.e. pour Z(p), et des 2 sommes \struck{\text{catégorie}} topos fibrantes pour deux topos Z(p) [munis des amalgamées sous ouvert \emptyset_{p}]. Il des sous-topos ouverts chacun des Z(p), y a assez de pts ssi a assez . Z(p) transcrit le signe qui désigne ici le sous-topos de la caractéristique p 22)

Anneaux quasi connexes de rang \leqslant n (dans le spectre a au plus n comp. connexes, donc qui sommes d'au plus n schémas connexes) A ~~Déf~~ On peut trouver loc. loc. une décomposition en produit A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n}, avec les A_{i} connexes \Longleftrightarrow on peut trouver loc. ~~des~~ projecteurs e_{i} (1 \leqslant i \leqslant n) orthogonaux de somme 1, avec A_{i} = A / \sum_{j \neq i} e_{j} A connexe pour tt i, 1 \leqslant i \leqslant n. \Pi_{n} \subset A^{n} \ \hookleftarrow\ e_{1}, \ldots, e_{n} \text{ avec } \begin{cases} e_{i}^{2} = e_{i} \quad \forall i \\ e_{i} e_{j} = 0 \quad \forall i, j,\ i \neq j \\ \sum e_{i} = 1 \end{cases}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] A \times \Pi_{n} \arrow[d] & A_{j} \arrow[dl] \\ A_{\Pi_{n}} \arrow[d, Rightarrow] & \\ \Pi_{n} & \end{tikzcd}

A_{j} = A_{\Pi_{n}} \Big/ \sum_{j \neq i} e_{j} A_{\Pi_{n}} \qquad \Pi_{n} \amalg \Pi_{n} \xrightarrow{\ i_{n,j}\ } \Pi(A_{j}) \quad \text{(proj. de } A_{j}\text{)} le diagramme est un croquis : A \times \Pi_{n} au-dessus de A_{\Pi_{n}}, une double flèche vers \Pi_{n}, A_{j} tombant sur A_{\Pi_{n}} ; les deux flèches obliques de \Pi_{n} \amalg \Pi_{n} vers \Pi_{n} ne sont pas rendues soit \Pi_{n,j} \subset \Pi_{n} plus grand ss-objet pour lequel i_{n,j} un épi. Comment avec l'objet de base dans \varepsilon

en tête de feuillet, à droite : « (22 suit) » Soit \Pi'_{n} = \bigcap_{j} \Pi_{n,j}, et e'_{n} = \mathrm{Im}(\Pi'_{n} \to e_{\varepsilon}). La condition est que e'_{n} \hookrightarrow e_{\varepsilon} est un iso, i.e. \Pi'_{n} \to e_{\varepsilon} un épi. Il n'est pas clair cependant que la formation des e'_{n} commute aux changements de pt de topos de base \varepsilon' \to \varepsilon, car ce n'est pas clair pour la formation de \Pi_{n,j}. Donc il n'est pas clair qu'on a un topos modérateur , d'abord de pts gens des de plus de rapport tout. Cependant le choix des , ~~à cette fois~~ à permutation près, on désigne le n-uple des e_{i} qui sont \neq 0 les e_{i} tous différents e_{i}^{2} = e_{i}, e_{i} e_{j} (= e_{i}^{\uncertain{?}}) = 0 si . Alors on voit que le choix des e_{i} est bien déterminé, et de plus que si localement alors ~~la décomposition~~ c'est pour ceux e_{i} = \ill{} typiques e_{i} = 0 !) si n = m, que ~~les choix des~~ choix possibles des e_{i} est un symétrique n ; donc que le lexact ( à support tout). e_{i} faisceaux des choix de pseudo-torseur sous sous le A est connexe typiques. définition, . Je ne sais si les (mais le torseur , A quasi-connexes de rang exactement n tel revient : la donnée d'un \varepsilon \to B, mais avec \varepsilon muni de A (ou plus des \varepsilon \to \hat{R} = B) ;

a)d'un \mathfrak{S}_{n}-torseur P (sur \varepsilon, i.e. d'un morphisme \varepsilon \xrightarrow{\ P\ } B_{\mathfrak{S}_{n}}) ; b)d'une composition des A_{P} en produit \prod_{1 \leqslant i \leqslant n} A_{i} avec les A_{i} connexes ( à support \ill{}), et avec comp. distincts et l'action de \mathfrak{S}_{n}.

Cela signifie qu'on a le torseur P (i.e. p), des anneaux connexes à pour tt A_{i} sur P, et action de \mathfrak{S}_{n} sur les P permutant avec les A_{i} suivant des actions sur les indices.

le à vérifier

feuillet volant, papier ligné ; la page est une feuille de questions sur la « typicité » des propriétés de modules et d'algèbres, en plusieurs blocs disposés librement

M plat cela est-il une propriété typique [elle est stable par \varinjlim filtr. et par changt de topos] N \mapsto M \otimes N \text{ exact} \forall f_{1} \cdots f_{n} sections de A sur U, \Bigl(\sum f_{i} A\Bigr) \otimes M \longrightarrow M \quad \text{injectif} Il suffit de l'exiger pour les f_{i} sect. de \mathcal{U} sections universelles, i.e. U = A^{n} \Bigl(\sum t_{i} A_{U_{n}}\Bigr) \otimes M_{U_{n}} \longrightarrow M_{U_{n}} \quad \text{injectif.} U_{n} = A^{n} Y \longleftarrow X M \to M_{i}, \qquad Y \leftarrow Y_{i}, \qquad Z \to Y, \quad N \text{ plat} \qquad\qquad M \to M_{i}, \quad A \to A_{i}, \quad N \text{ plat}, \quad B deux croquis de changement de base, sans flèches complètes ; le second porte « N plat » sur une verticale au-dessus de B

M fid plat est-ce typique ? — encerclé

Donc \forall N \neq 0, M \otimes N \neq 0

E \wedge F E_{A}

\underline{\mathrm{Modpf}}(A) champ des modules sur A ; \underline{\mathrm{Hom}}\bigl(\underline{\mathrm{Modpf}}(A), \underline{\mathrm{Fl}}(F)\bigr) Catégorie des hom. de champs des ; ~~Les objets~~ ; E \to F hom. de champs constants ; M \mapsto X ; d'où A_{F} ; R.

Algèbres [de t.f. / p.f. / lisses / étales / nettes] pas typiques aux

radicielles / monomorphiques OK (prod. ) ; surjectives ?! ; plates OK / fid plates ; formellement lisse / — nette OK / — étale ; entières OK ; hensé. universel.

Considérons une Algèbre qui est déjà de p.f. On veut « le vérifier » (à laquelle lisse etc.). Cela se fait-il pour un sous-topos ??

~~Propriétés relatives d'anneaux~~

propriétés non typiques (pour topos) (absolues pour anneaux)

artinien, noethérien, de t.f. sur \mathbb{Z} (ou sur \mathbb{Q}, ou \mathbb{Z}_{S^{-1}} …) ; n composantes connexes ; n composantes irréductibles.

Anneaux plongeables dans des corps : il faut qu'ils soient intègres, mais ce n'est pas suffisant s'il locale hypothèse. Pour l'anneau intègre universel, (voir anneau intègre ) les sections locales qui sont partout non nulles (donc qui sont A-régulières) sont celles qui sont inversibles : l'anneau total des fractions est égal à A lui-même. Une condition nécessaire pour qu' un anneau se plonge dans un corps, c'est que le X' \to X anneau se plonge dans les sections nulles (donc au direct de A), et c'est sans doute suffisant

Modules sur anneaux

localement libre ; libre, projectif / injectif (?) ; localement libre de rang n ; libre de rang n (n \geqslant 1) ; de t.f. ; de prés. finie ; monogène ;

en regard des trois derniers : ne passent pas à la lim. ind. filtrante, donc pas typiques

à gauche, un croquis : M \to N au-dessus de A \to B, f et g, Y \leftarrow X

X_{\mathrm{mod}} = \widehat{\mathrm{Mod}^{\circ}_{\mathrm{pf}}} \mathrm{Mod}_{\mathrm{pf}} = catégorie des modules de prés. finie sur \mathbb{Z}-algèbres de prés. finie ; \mathrm{Mod}^{\circ}_{\mathrm{pf}} \simeq schémas sur schémas affines de t.f. sur \mathbb{Z}.

M inv. \Longleftrightarrow M \otimes_{A} \underline{\mathrm{Hom}}_{A}(M, A) \xrightarrow{\ \sim\ } A n'est pas exprimable par \varinjlim / ne commute pas au changt de base : \underline{\mathrm{Hom}}(X, Y) \to \underline{\mathrm{Hom}}(f^{*}X, f^{*}Y) \underline{\mathrm{Hom}}(X, Y) la ligne est écrite par-dessus une autre, biffée

encadré : \exists N, M \otimes N \simeq A ; X \mapsto M \otimes X ; T_{M} T_{N} \simeq \mathrm{id}, T_{N} T_{M} \simeq \mathrm{id}, donc T_{N}, T_{M} des équivalences ; donc ; donc M et N plats i.e. ; M = \varinjlim M_{i}, M_{i} \subset M de t.f., M \otimes N = \varinjlim M_{i} \otimes N, donc M_{i} \otimes N \subset A, donc , donc M_{i} \otimes N = A ou A , M_{i} = M, donc M de t.f., N pareil, i.e. M est . deux lignes de l'encadré sont raturées au point d'être illisibles

feuillets jaunis, d'une autre main de plume : le run qui commence ici est un relevé d'énoncés sur les catégories accessibles, avec en marge des renvois numérotés — « 8.13.2 (+ 8.12.8.1) », « 9.22 » — qui sont ceux de SGA 4, exposé I

Catégories \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C}) (\mathcal{C} petite) et \mathrm{Fil}^{\pi}(\mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C}))

le titre est le sien ; entre les deux il a biffé une première forme \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})_{\pi'}

Th. E une catégorie [stable par petites \varinjlim ? — en satisfaisant seulement L_{\pi} ?] Conditions équivalentes :

a)E \pi-accessible b)E équivalente à une catégorie \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C}), \mathcal{C} petite c)La sous-catégorie E_{\pi} des E formée des objets \pi-accessibles est équiv. à une petite cat. et elle est strictement génératrice.

~~filtration cardinale~~, Sous ces conditions, on a E_{\pi'} \xrightarrow{\ \approx\ } \mathrm{Ind}_{\pi}(E_{\pi})_{\pi'} \quad \add{= \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})_{\pi'}}, et les (E_{\pi'})_{\pi' \geqslant \pi} forment une filtration cardinale ; Pour les filtrations cardinales des (\mathrm{Fil}^{\pi})_{\pi \geqslant \pi_{0}} : \mathrm{Fil}^{\pi'}(E) = E_{\pi'} \quad \text{pour } \pi' \text{ grand.}

Cor. Soient E et F deux catégories accessibles, ~~Alors~~ f : E \to F un foncteur. ~~Alors~~ Conditions équiv. :

a)f est ~~\pi-~~accessible b)\exists \pi tel que f \simeq \mathrm{Ind}_{\pi}(f_{\pi}), où f_{\pi} : E_{\pi} \to F_{\pi} un foncteur [où E \simeq \mathrm{Ind}_{\pi}(E_{\pi}), F \simeq \mathrm{Ind}_{\pi}(F_{\pi}) pour \pi \geqslant \pi_{0}]. ~~Pour qu'un \pi convienne, il faut et suffit que \pi , et que f soit \pi-accessible et E_{\pi} dans F_{\pi}~~ c)\exists une petite sous-catégorie pleine \mathcal{C} de E, i : \mathcal{C} \to E, telle que f soit dans l'image essentielle des i^{F}_{!} : \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}, F) \to \underline{\mathrm{Hom}}(E, F).

~~b) Pour \pi, f_{i} est~~

Corollaire ~~Supposons f \pi-accessible. Alors \exists \pi_{0} tel que \pi \geqslant \pi_{0} \Longrightarrow f(E_{\pi}) \subset F_{\pi}.~~ E \pi-accessible, F quelc. Alors \underline{\mathrm{Hom}}(E, F)_{\pi} \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Hom}}(E_{\pi}, F) \quad \add{\text{pl. fid.}} c'est une équivalence de catégories avec petites \varinjlim — si F satisfait L_{\pi}.

Th Soit \mathcal{C} une catégorie accessible Alors :

a)(Pour ) les foncteurs contravariants \mathcal{C}^{\circ} \to (\mathrm{Ens}) petites qui commutent aux sont ; \mathcal{C} \to (\mathrm{Ens}) est pro-représentable (resp.) b)les foncteurs covariants s'il est ~~\pi est accessible et~~ exact à gauche (resp. commutant aux petites \varprojlim) et accessible stable par petites lim.

8.13.2 (+ 8.12.8.1)

Corollaire Soient f : \mathcal{C} \to \mathcal{C}' un foncteur, avec \mathcal{C} accessible petites :

a)f admet un adjoint : dont ssi f commute aux \varprojlim petites ; b)f admet un pro-adjoint (resp. un adjoint ) ssi il est exact : commute aux petites \varprojlim (resp.) et est accessible.

Th. a) Soit E \to B une catégorie fibrée, avec B équiv. à une ~~petite~~ petite catégorie, les catégories fibres accessibles, les foncteurs changement de base accessibles. Alors \varprojlim E/B et \underline{\mathrm{Hom}}_{B}(B, E) sont accessibles. En particulier, si \mathcal{C} accessible et I équiv. à une petite catégorie, \underline{\mathrm{Hom}}(I, \mathcal{C}) est accessible, ainsi que la sous-catégorie pleine des foncteurs qui transforment en iso. 9.22

b) Mêmes hyp. sur E, B. Alors \varinjlim E/B^{\circ} est accessible. à vérifier

Catégories accessibles

le titre est le sien ; en haut à droite : « Réf : SGA 4 I »

~~Catégorie filtrante~~ Ensemble ordonné grande devant \pi. Conditions L_{\pi}, L Foncteur \pi-accessible, accessible Objet \pi-accessible, objet accessible d'une catégorie. 9.1 : 9.3 — en regard des trois lignes

Catégorie \pi-accessible : Satisfait L_{\pi}, et admet une petite sous-catégorie génératrice str. ~~telle que~~ dont les objets sont \pi-accessibles ; accessible : \exists \pi tel que \mathcal{C} \pi-accessible

en biais : (vérifier 9.4 ?) — c'est la bonne notion si E stable par petites \varinjlim ; sinon sont les bonnes catégories les \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C}) avec \mathcal{C} petite … — 9.6

Prop \underline{\mathrm{Hom}}(E, F)_{\pi}, F satisfaisant L_{\pi}

a)stable par petites \varinjlim qui sont représentables dans F b)Si F \pi-accessible () alors pour tt catégorie I avec card I \leqslant \pi et les lim de type I rep. dans F, \underline{\mathrm{Hom}}(\ )_{\pi} stable par lim type I.

Cor 1 Cas accessible

Cor 2 Si F est (resp) \pi-accessible, pour tt \pi' \geqslant \pi, E_{\pi'} est stable par lim de ~~type~~ I, avec card I \leqslant \pi'. [Les objets stables par petites \varinjlim]

Cor 3 Si ~~accessible~~ E est accessible F stable, tout objet de E est accessible.

Réciproque partielle : Prop E catégorie satisfaisant la condition L et : ~~a) E admet une petite sous-catégorie str. gén.~~

a)E stable par noyaux de doubles flèches, et \mathrm{Ker} est accessible (p. ex. commute aux petites \varinjlim filtrantes) b)E stable par produits fibrés (E admet une pet. ss-cat. str. génératrice, et) c)[E admet une petite sous-catégorie ~~génératrice~~ génératrice par épim. stricts universels (p. ex. les familles épimorphiques strictes sont épimorphiques strictes universelles ; i.e. si les familles épimorphiques strictes ] le c) est repris trois fois, la formule finale surchargeant les deux premières

Alors E est accessible (i.e., en présence de a)) tout objet de E est accessible

Cor E catégorie stable par petites \varinjlim, ~~et telles que les familles épimorphiques strictes universelles~~ Conditions équivalentes

a)E est accessible b)E admet une petite sous-catégorie ~~génératrice~~ par épim. str. universels comme génératrice (petites lim) et les foncteurs Ker sur la catégorie des doubles flèches des E est accessible.

[N.B. E accessible \Longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}, E) accessible pour tte petite catégorie \mathcal{C}] ; \exists (E \pi-accessible) E_{\pi} petite sous-catégorie gén. par épim. stricts universels]

Ex. Dans les topos, à \varinjlim filtrantes exactes et à petites des catégories accessibles ; une catégorie : petite famille génératrice , est accessible. Mais (\mathrm{Ens})^{\circ} et (\mathrm{Ab})^{\circ} ne sont pas accessibles, p. ex. \mathrm{Ab}^{\circ}, p. ex. par que dans ces catégories ~~il n'y a pas de sous-catégorie génératrice par épim. stricts universels~~ n'est pas accessible [i.e. les foncteurs Ker dans Ens, (Ab) ne commutent pas aux par lim : une \varinjlim grande devant \pi d'épim n'est pas néc. un épim.]

Filtrations cardinales d'une catégorie E p. ex. \mathrm{Fil}^{\pi}(E), \pi \geqslant \pi_{0} :

a)Les \mathrm{Fil}^{\pi}(E) équivalentes à petite catégorie b)~~Fil~~ E satisfait L_{\pi_{0}}, \mathrm{Fil}^{\pi} stable par \varinjlim filtrantes grandes avec I grand devant \pi_{0} et card I \leqslant \pi c)Si \pi' \geqslant \pi \geqslant \pi_{0}, H élément X de \mathrm{Fil}^{\pi'} est de la forme \varinjlim_{i \in I} X_{i}, X_{i} \in \mathrm{Fil}^{\pi}, I grand devant \pi, card I \leqslant \pi'

9.12 (condition c) renforcée)

\begin{tikzcd} \mathcal{C} \arrow[r, "\varphi"] & E \arrow[r, "\hat{\varphi}"] \arrow[dr, dashed] & \hat{\mathcal{C}} \\ & & \hat{E} \arrow[u, dashed, "\hat{\varphi}^{*}"'] \end{tikzcd}

\mathrm{Hom}_{E}(\varphi(Y), X) \simeq \mathrm{Hom}_{\hat{\mathcal{C}}} (Y, \hat{\varphi}(X)) une seconde formule, biffée au point d'être illisible

Si ds E \exists limites inductives (petites), on a aussi : \bar{\varphi} : \hat{\mathcal{C}} \longrightarrow E, \qquad \bar{\varphi}(F) = \varinjlim_{\mathcal{C}_{/F}} \varphi(X) le choix de \varphi équivaut à celle de \bar{\varphi} commutant aux petites \varinjlim \mathrm{Hom}_{E}(\bar{\varphi}(F), X) \simeq \mathrm{Hom}_{\hat{\mathcal{C}}}(F, \hat{\varphi}(X))

Conditions équivalentes

a)\forall X \in E, \varinjlim_{Y \in \mathcal{C}_{/X}} \varphi(Y) \xrightarrow{\ \sim\ } X b)\hat{\varphi} : E \to \hat{\mathcal{C}} — pl. fidèle

en accolade à droite de a) et b) : On dit alors que \varphi est strictement générateur.

b')(Si E stable par petites \varinjlim) \hat{\mathcal{C}} \to E un foncteur de localisation [on sait : un. surj.] c') (Si E stable par petites \varinjlim filtrantes, et les \mathcal{C}_{/X} (X \in \mathrm{Ob}\,E) filtrant, p. ex. \mathcal{C} stable par lim finies et \varphi exact à g.) : \tilde{\varphi} : \mathrm{Ind}(\mathcal{C}) \to E induit par \bar{\varphi} est un foncteur de localisation c)(Si \varphi admet un ind-adjoint, i.e. \hat{\varphi} prend ses valeurs dans \mathrm{Ind}(\mathcal{C})) {}^{i}\varphi : E \to \mathrm{Ind}(\mathcal{C}) est pl. fidèle. d)(Si \varphi admet un adjoint : \psi, i.e. \hat{\varphi} prend ses valeurs dans \mathcal{C}) \psi est pl. fidèle d')~~\varphi est un~~ (\varphi est ( conditions) \varphi est un foncteur de localisation. e)(Si \varphi pl. fidèle) \varphi(\mathcal{C}) est génératrice dans E par épim. stricts. f)Pour toute catégorie F stable par petites \varinjlim, désignant par \underline{\mathrm{Hom}}'(E, F) la sous-catégorie pleine de \underline{\mathrm{Hom}} formée des foncteurs qui commutent aux petites \varinjlim, le foncteur restriction \beta_{F} : \underline{\mathrm{Hom}}'(E, F) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}, F) est pl. fidèle g')~~Avec les notations précédentes,~~ g)(Si \mathcal{C} stable par \varinjlim finies, et \varphi y commute et est pl. fid.) \beta_{F} précédent induit une équivalence entre la catégorie \underline{\mathrm{Hom}}'(E, F) et la sous-catégorie pleine de \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}, F) formée des f : \mathcal{C} \to F qui commutent aux \varinjlim finies : dont induisent dans F ~~Si \mathcal{C} stable par lim finies, \mathcal{C} des petites lim, les filtrantes sont exactes, \varphi est exact~~ h) (Si E un topos, \mathcal{C} stable par \varprojlim finies, \varphi exact à g.) \varphi définit E comme un sous-topos de \hat{\mathcal{C}}. i)

E catégorie. Conditions équivalentes

a)~~Il existe une~~ E est stable par petites \varinjlim et admet une petite sous-catégorie pleine str. génératrice a')E est stable par petites \varinjlim, et il existe une petite catégorie \mathcal{C} et un foncteur \varphi : \mathcal{C} \to E str. générateur a'')Il existe une petite catégorie \mathcal{C}, et un foncteur pleinement fidèle E \to \hat{\mathcal{C}} qui admet un adjoint à gauche \hat{\mathcal{C}} \to E.

[Dans une telle catégorie, tt foncteur contravariant (à valeurs dans (Ens)) qui commute aux petites \varinjlim est représentable, donc il existe dans E des petites \varprojlim, et dans a''), le foncteur E \to \hat{\mathcal{C}} y commute, i.e. E s'identifie à une sous-catégorie stable par \varprojlim de \hat{\mathcal{C}}. Si E est accessible [ce qui est plus fort que les conditions équivalentes a) …], alors un foncteur E \to \hat{\mathcal{C}} un adjoint à g. ssi il est accessible et commute aux petites \varprojlim]

Question Une catégorie satisfaisant les conditions a) est-elle accessible, i.e. ses éléments sont-ils accessibles ? Comme, sous les conditions de a''), \hat{\mathcal{C}} est accessible, on voit qu'il faut et suffit que le foncteur E \to \hat{\mathcal{C}} soit accessible, ou ce qui revient au même, qu'il existe un cardinal \pi tel que E soit stable dans \hat{\mathcal{C}} par \varinjlim filtrantes grandes devant \pi.

en biais dans la marge gauche : Contre-exemple : (\mathrm{Ens})^{\circ}, elle à des limites inductives strictes épimorphismes stricts (Ex \geqslant 2) les de ne sont pas accessibles les produits !

Exemples

a)Topos a') opposé de topos b)T(\mathrm{Ens}), T une structure algébrique définissable par petites \varprojlim c)T(\mathcal{C}), où \mathbf{T} est comme dans b), et \mathcal{C} une catégorie accessible

Conséquence : 1) Si T \to T' est un hom. de structures algébriques, d'où T(\mathcal{C}) \to T'(\mathcal{C}) foncteur accessible entre catégories accessibles, commutant aux \varprojlim petites, donc \exists adjoint à gauche (structures T'-T-libres) ; 2) Si \mathcal{C} \to \mathcal{C}' foncteur accessible commutant aux pet. \varprojlim entre cat. acc., T(\mathcal{C}) \to T(\mathcal{C}') est accessible commutant aux petites \varprojlim, donc \exists adjoint à g. …

\underline{\mathrm{Hom}}^{*}(\mathcal{C}^{\circ} \times \mathcal{C}'^{\circ}, \mathrm{Ens}) À prouver : Si \mathcal{C}, \mathcal{C}' accessibles, alors la ss-catégorie des \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}^{\circ} \times \mathcal{C}'^{\circ}, \mathrm{Ens}) formée des bifoncteurs qui commutent aux \varprojlim petites en chaque argument, (\simeq \underline{\mathrm{Hom}}'(\mathcal{C}^{\circ}, \mathcal{C}') \simeq \underline{\mathrm{Hom}}'(\mathcal{C}'^{\circ}, \mathcal{C}), où \underline{\mathrm{Hom}}' désigne les foncteurs qui commutent aux petites \varprojlim) est accessible, et des foncteurs commutant aux \varprojlim \mathcal{C}_{1} \to \mathcal{C}, \mathcal{C}'_{1} \to \mathcal{C}' définissent un foncteur accessible entre les \underline{\mathrm{Hom}}^{*}. Or il est assez clair que plus généralement, si \mathcal{D} variable ~~stable par~~ (et pour les foncteurs (qui) commutent ) \underline{\mathrm{Hom}}^{*}(\mathcal{C}^{\circ} \times \mathcal{C}'^{\circ}, \mathcal{D}) \simeq T_{\mathcal{C}^{\circ}} T_{\mathcal{C}'^{\circ}}(\mathcal{D}) \simeq T_{\mathcal{C}'^{\circ}} T_{\mathcal{C}^{\circ}}(\mathcal{D}) est une « théorie algébrique » que, définie par (\mathcal{C} \times \mathcal{C}')^{\circ} [\mathcal{C} \times \mathcal{C}' universel pour « couplages » \mathcal{C} \times \mathcal{C}' \to \mathcal{C}'' commutant aux \varprojlim en chaque argument …]

Lemme \mathcal{C} une petite catégorie, \pi cardinal, E = \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C}) la sous-catégorie pleine de \underline{\mathrm{Ind}}(\mathcal{C}) formée des repl. ind. indexés par des ens. ordonnés petits grands devant \pi. Alors (c'est une \mathcal{U}-catégorie )

(i)E satisfait L_{\pi}, (et l'inclusion E \to \mathrm{Ind}(\mathcal{C}) ~~commute~~ est \pi-accessible. (ii)Les objets de E qui sont \pi-accessibles sont ceux qui sont isom. à des facteurs directs d'objets de \mathcal{C} (donc forment une petite catégorie équivalente l'enveloppe Karoubienne de de E, compte tenu que \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C}) est stable par facteurs directs, cf (i)) ; En particulier, si \mathcal{C} est karoubienne, ~~i.e. « les pts isolés » de E~~ \mathcal{C} dans E_{\pi} des objets de \mathcal{C}. (iii)\mathcal{C} est strictement génératrice dans E (iv)Pour tt objet X de E, \mathcal{C}_{/X} est une catégorie filtrante (petite) grande devant \pi

Réciproquement : Soit E une catégorie \pi un cardinal petit, ~~la forme \mathrm{Ind}(\mathcal{C}), \mathcal{C} petite, et satisfaisant~~ et une \mathcal{U}-catégorie et — Alors E est \approx à une catégorie du :

(i)E satisfait L_{\pi} (ii)La sous-catégorie E_{\pi} de E formée des objets \pi-accessibles est ~~petite~~ petite, et strictement génératrice (iii)Pour tt objet X de E, la catégorie E_{\pi/X} est filtrante et grande devant \pi.

N.B. La condition (iii) est ~~vérifiée~~ conséquence de (i), (ii) (si E stable par petites \varinjlim ( E_{\pi} est stable par \varinjlim de cardinal \leqslant \pi)

~~Soit \pi' un cardinal, et~~

Reprenons \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C}), soit \pi' un cardinal \geqslant \pi, et soit \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})_{\pi'} = \mathrm{Fil}^{\pi'}(E) la sous-catégorie str. pleine des de \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C}) formée des ind-objets indexés par des I tels que a) I grand devant \pi b) ~~card Ob I~~ Ob I ensemble cofinal de cardinal \leqslant \pi'. Alors

a)Les objets de \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C})_{\pi'} = \mathrm{Fil}^{\pi'}(E) dans E sont \pi'-accessibles (en objets) : \mathrm{Fil}^{\pi'}(E) \subset E_{\pi'} on de E (tt objet de E est accessible) b)Si \pi' est de la forme 2^{c} (c \geqslant \pi), alors la réciproque est vraie i.e. \mathrm{Fil}^{\pi'}(E) = E_{\pi'} c)La filtration de E par les ~~\mathrm{Ind}~~ \mathrm{Fil}^{\pi'}(E) (\pi' \geqslant \pi) est une « filtration cardinale » dans (Si E est stable par ~~petites~~ \varinjlim) i.e. ~~E stable par \varinjlim de card \leqslant \pi'~~ E stable par lim de card \leqslant \pi' ( \pi' \geqslant \pi) d)~~Pour tt cardinal \pi' \geqslant \pi~~ (Si E stable par \varinjlim) ~~Pour tt cardinal \pi' \geqslant \pi, E \approx \mathrm{Ind}(E_{\pi'})~~ (E_{\pi'})_{\pi' \geqslant \pi} forment une E est équivalente à \mathrm{Ind}(E_{\pi'}). « filtration cardinale »

les points c) et d) sont surchargés de renvois et de traits ; l'ordre ci-dessus suit les flèches Pourtant, on a \mathrm{Fil}^{\pi'}(E) \neq E_{\pi'} — et, encerclé : prouver c) avant b) encadré : cf SGA 4 I 9.66 pour \supset — et : résulte de la réciproque plus haut ; on a égalité si E stable par \varinjlim

Axiome c) des filtrations cardinales

Pour (\mathrm{Fil}^{\pi})_{\pi'} : X = \varinjlim_{I} X_{i}, \qquad X_{i} \in \mathcal{C},\ I \text{ grand devant } \pi. \quad \struck{\ill{}} Soit I' l'une des ~~sous-catégories pleines de I~~ ordonnés par l'inclusion filtrantes de I ~~grandes devant \pi~~ (telles que card(Ob I') \leqslant \pi', Pour tt tel I', soit X_{I'} = \varinjlim_{i \in I'} X_{i} (limite inductive dans E = \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C}) \subset \mathrm{Ind}(\mathcal{C})) . Je dis que J est filtrant et grand devant \pi'. En effet, si (I_{\alpha})_{\alpha \in \Lambda} est une famille de sous-catégories de J ~~grandes devant \pi~~, de cardinal \leqslant \pi', avec card \Lambda \leqslant \pi', la réunion des I_{\alpha} est de cardinal \leqslant \pi', et est dans de cardinal \leqslant \pi' ~~grand devant \pi, pour toute partie de I' de~~ les X_{I'} dans \mathrm{Fil}^{\pi'}, X = \varinjlim_{I' \in J} X_{I'} . Enfin, si X \in \mathrm{Fil}^{\pi''}, on peut prendre I tel que card I \leqslant \pi'', donc Card J \leqslant \pi''^{\pi'}.

en regard, colonne de droite, sous « \forall \pi' \geqslant \pi » : Pour X \in E de la forme \varinjlim_{J} X_{j}, X_{j} \in \mathrm{Fil}^{\pi'}, J grand devant \pi', et si X \in \mathrm{Fil}^{\pi''}, on peut prendre card J \leqslant \pi''^{\pi'} (= \pi'' ?) (N.B. si \pi'' \geqslant 2^{\pi'}, …)

Axiome des filtrations cardinales pour les (E_{\pi'}). On a vu que, si X \in \mathrm{Ob}\,E_{\pi''}, on sans diff. ~~\pi'' \geqslant \pi'~~ (SGA 4 I 9.16) On a X = \varinjlim_{J} X_{j}, \qquad X_{j} \in \mathrm{Fil}^{\pi'}(X) \cap E_{\pi'},\ J \text{ grand devant } \pi', à prouver que \{\,X_{j} \in \mathrm{Ob}\,E_{\pi'}, J grand devant \pi', card J \leqslant \pi''^{\pi'}\,\} donc tout revient à prouver que card J \leqslant \pi''^{\pi'}. ~~Ceci \pi'' \geqslant \pi', sauf \leqslant \mathrm{Fil}~~ le paragraphe entier est barré de traits diagonaux

~~Cor Pour supposons que~~ amorce encerclée et abandonnée

Cor Soit E une \mathcal{U}-cat. stable par petites \varinjlim . Pour que E soit équivalente à \mathrm{Ind}_{\pi}(\mathcal{C}), avec \mathcal{C} petite, (mieux : E par \varinjlim de card \leqslant \pi) il f. et s. que E admette une petite catégorie strictement génératrice formée d'objets accessibles. encerclé : qui il en est \pi ? il tel Ce sont ces E qu'il faudrait appeler « accessibles ».