Cote n° 161-2 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Algèbre universelle [ou catégories] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1963-1973]
Édition de démonstration

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21la page reprend en cours de phrase la construction laissée p. 20 des produits \(2\)-fibrés dans \((\mathrm{Top})\), [des \(R \times^{2}_{S} R_{1}\)], i.e. \(2\)-limites amalgamées dans \(\Delta\) : \(R \amalg_{S} R_{1}\). Cette construction est \(\pm\) connue, redonnons-en une autre, dans le cas général \(R \times^{2}_{T} S\), avec les foncteurs images inverses \[T \xrightarrow{\ f^{*}\ } R, \qquad T \xrightarrow{\ g^{*}\ } S .\] On choisit des familles [petites sous-catégories] génératrices \(T_{0}, R_{0}, S_{0}\) telles que \(f^{*}(T_{0}) \subset R_{0}\), \(g^{*}(T_{0}) \subset S_{0}\). On prend \(U_{0}\) la [catégorie] \(2\)-somme amalgamée de \(R_{0}\) et \(S_{0}\), de sorte que pour tout \((E \struck{\ill{}}) \ldots\) \[\underline{\mathrm{Hom}}(U_{0}, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}(R_{0}, E) \times^{2}_{\underline{\mathrm{Hom}}(T_{0},E)} \underline{\mathrm{Hom}}(S_{0}, E)\] Il faut, si \(E \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), exprimer qu'un objet des seconds mb. premiers mb., \(U_{0} \xrightarrow{h} E\), est dans […] la sous-catégorie pleine \[\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, E) \times^{2}_{\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(T,E)} \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(S, E)\] des derniers mb. Si on a pris \(R_{0}, S_{0}\) stables par \(\varprojlim\) finies, cela s'exprime aisément par la commutativité de la aux condition que \(h\) transforme certains cônes projectifs finis de \(U_{0}\) (provenant [aux] cônes exacts de \(R_{0}\) et de \(S_{0}\)) en cônes exacts, et que les uns qu'elle transforme certaines familles (provenant […] familles couvrantes de \(R_{0}\) et \(S_{0}\)) en familles couvrantes. Donc on réalise la théorie envisagée \[T = T_{R} \times^{(2)}_{T_{T}} T_{S}\] comme sous-théorie pleine (classifiée par des axiomes d'[…] […], finales) de \(T_{\rho_{\Delta}(U_{0})}\), et qui donne la conclusion. Mais sachant désormais que dans la théorie \(T\) est représentable par un topos, et revenant à la description générale comme sous-théorie d'un \(T_{\rho_{\Delta}(U_{0})}\) ([plus la] sans condition que \(R_{0}, S_{0}\) stables par \(\varprojlim\) exactes), on voit que c'est donné par un sous-topos de \(\rho_{\Delta}(U_{0})\). Ainsi on trouve, si \(T_{0} \to S_{0}\) est surjectif sur les objets (comme dans les cas qui nous intéressaient) que \(R_{0} \to U_{0}\) est surjectif sur les objets, donc \(R \to U = R'\) est généré […] une image qui est génératrice.

22d) Passage à la limite Cela […] comme suit : les \(2\)-limites [inductives] stables dans \(\Delta\), il faut […] que les \(2\)-limites transfinies existent et soient des topos. La démonstration donnée dans ce monde en fait, par le système inductif de topos dans \(\Delta\) formé de topos [des systèmes projectifs dans \((\mathrm{Top})\)] \(\varepsilon(\bar{R}_{\alpha})\) : on se débrouille pour choisir des systèmes de [petites cat.] génératrices [Cocha] qui soient stables par les morphismes de transition […] — p. ex. à l'aide des filtrations cardinales, mais c'est un mauvais […] un monde — et on prend la catégorie \(2\)-[…] la \[C = \varinjlim_{\alpha,\,(\mathrm{Cat})} C_{\alpha},\] on peut donner un sous-topos de \(\hat{C}\).

En l'occurrence, [dans] le cas filtrant c'est que on veut que si un \(R\) est le topos limite, et si les images dans \(R\) des \(R_{\alpha}\) forment un syst. de générateurs […] générateurs [d'où] c'est une syst. génératrice : et si \(J\) s'envoyant en le syst. inductif des \(R_{\alpha}\), \(J \to R_{\alpha}\) engendre \(R_{\alpha}\) pour tout \(\alpha\), alors \(J \to R\) engendre \(R\).

annotations portées au-dessus du diagramme : \(\rho'(I) = \hat{J_{0}}\) ; \(\rho'(J_{1})\), \(\rho'\) l'[…]adjoint, i.e. \(\Delta_{R}\) cat. avec produits finis ; \(= \rho'(J_{2})\) au-dessus de \(R_{2}\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
R_{0} \arrow[r] & R_{1} \arrow[r, "\mathrm{loc}"] & R_{2} \arrow[r, "\mathrm{loc}"] & R_{3} = R \\
J_{0} \arrow[u] \arrow[r, "\text{bij. sur objets}"] & J_{1} \arrow[u] \arrow[r, "\mathrm{loc.}"] & J_{2} \arrow[u] \arrow[ur] & \\
I \arrow[u] & & &
\end{tikzcd}

\(J_{1} \to J_{2}\) porte en outre « (bij. sur ob.) » ; sous \(J_{1}\) : « \(=\) analyseur engendré par \(J_{0}\) (analyseur libre) et les flèches données […] analyseur […] » ; sous \(J_{2}\) : « \(=\) sous-analyseur plein de \(R\) engendré par \(I \to R\), ens. sous-jacent \(J_{0}\) »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\hat{J_{1}} \arrow[r, "\mathrm{loc.}"] \arrow[d, "\mathrm{loc}"'] & \hat{J_{2}} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{loc}"] & R \\
R_{1} \arrow[r, "\mathrm{loc}"] & R_{2} \arrow[r, "\mathrm{loc}"] & R_{3}
\end{tikzcd}

\(R\) apparaît comme une catégorie des fractions de […] \(\hat{J_{1}}\), i.e. \(J_{1}\) est l'analyseur libre sur \(I\) engendré par les flèches induites (sur \(J_{0}\)) par \(R\), \(\hat{J_{1}}\)

23Structure représentée par \(B_{G} = \hat{C}\) \(C = \struck{\ill{}}(\cdot\,, G)\). Relativisation dans un topos.

Topos produit. Remarquons que les \[T(E) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}\,\mathrm{top}(E, R)^{\circ} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, E)\] … ces catégories sont stables par \(\varinjlim\) filtrantes (car il vient à peu près des conditions sur des structures : elles […] convergent […] pas à des théories algébriques sur […] [quelque] soit \(\Delta' \supset \Delta\)).

N.B. En général on aura un autre type de lim. Question : \(\forall E\), \(T(E)\) admet des produits fibrés [\(\varprojlim\) finies] quelconques (et les \(T_{R}(E) \to T_{R}(E')\) à y commuter) — auquel cas \(T\) = restriction à \(\Delta\) d'une théorie algébrique sur \(\Delta_{0}\), i.e. \(R \simeq \hat{C}\), avec \(C \subset (E \in \mathrm{Ob}\,\Delta_{0}\) [(vérité)], i.e. \(C\) stable par \(\varprojlim\) finies ? Si \(T\) est un type, on sait que \(T(E)\) est stable par \(\varprojlim\) finies quelconques et accessible, […], [stable] par […] générale. \[T_{R}(\mathrm{Ens}) \simeq \underline{\mathrm{Pt}}(R)^{\circ} \simeq \underline{\mathrm{Fib}}(R) .\] le glyphe lu \(\mathrm{Pt}\) est peu net ; le contexte — points d'un topos, et la comparaison avec \(\underline{\mathrm{Fib}}\) — le soutient […] et \(R \neq \mathrm{Top}(\varphi)\).

Sous-topos du topos disons [\(R\)] engendré par un objet \(X\) (a priori de structure […] sur un objet de […]) : comparer avec un \(f\)-[…], avec \(R = \hat{C}\), \(C\) = catégorie opposée [[pts à les \(\Delta_{n}\)]] aux ens. finis, donc \(R\) = ens. semi-simpliciaux. Les sous-topos [(ouverts)] […] de \(C\) ; on trouve les sous-topos suivants (classés […] par leurs points) :

• \(\{\, R,\ \emptyset,\ R^{+} = \varprojlim (X \to e) \,\}\) ;
• de p. f. : \(\{\, \mathbb{N},\ \emptyset,\ \mathbb{N}^{+} \,\}\) ;
• (irréd.) : \(\{\, S,\ \emptyset,\ (\mathrm{Ens}\ \ill{} \ \ill{})^{*} \,\}\), où \(S = (\mathrm{Ens}_{f})^{\circ}\) ;
• sous-thèmes : \(\{\, \struck{T(E) = E},\ \emptyset,\ T(E) \subset E \,\}\), [sous-catégorie pleine des objets connexes de \(\bar{E}\)], d'où \(T(E) = \emptyset\) sauf si \(E = \mathrm{Top}(\varphi)\).

Sous-topos fermés complémentaires : p. h. f. \(\{\, \emptyset,\ R,\ \Phi_{0} = \mathcal{C}U \,\}\) ; \(\{\, \emptyset,\ \mathbb{N},\ \{\Delta_{p}\} \,\}\) ; \(T(E) \subset E\) [cat. […] réduite à […] […]].

24Il y a enfin un sous-topos fermé, maximal loc. dont les […] et dernier — le topos \(V\struck{\ill{}}\), qui n'est ni ouvert, ni […], dont les pts […] \(\Delta_{0}, \Delta_{1}\), et qui […] : \[T_{V}(E) = \text{End. des sous-objets de } \struck{\ill{}}\, e_{E}\] (i.e. un objet \(X \in \mathrm{Ob}\,E\) tel que \(x \to x_{e}\) mono.), et le deuxième topos \(\mathrm{Ens}^{+}_{\wedge} V\) […] : le plus […], [plus] […] \(\Delta_{1}\), tel que \[T_{\mathrm{Unv}}(E) \subset E, \qquad \text{i.e. } x \xrightarrow{\ \sim\ } e_{E}\] [objets finaux].

En résumé […] : \(6\) sous-topos, avec diagramme d'implications

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & R & & \\
R^{+} \arrow[ur, no head] & & V = \overline{(\varphi_{0},\varphi_{1})} \arrow[ul, no head] & \\
 & R^{+} \wedge V = \varphi_{1} \arrow[ul, no head] \arrow[ur, no head] & & \overline{(\varphi_{0})} \arrow[ul, no head] \\
 & & \emptyset \arrow[ul, no head] \arrow[ur, no head] &
\end{tikzcd}

la moitié droite du feuillet porte une première version du même treillis, biffée en entier ; elle n'est pas transcrite

N.B. […] \(V\) et \(R^{+} \wedge V\) ne sont pas des complémentaires, mais ils ont les complémentaires faibles \(\emptyset\) et \(\varphi_{0}\). \(V\) représent[…] […] représente le foncteur \[E \longmapsto \mathcal{P}(E) = \mathcal{P}(e_{E}) .\] le glyphe est un \(P\) barré ; rendu ici \(\mathcal{P}\), l'objet des parties

N.B.

• Pas d'objets loc. constants, ou constants [pendants] […] \(\varphi\) ;
• pas d'objets constants […] [quelconque] sur principe cela […] (resp. si sur \(e\)) ;
• pas d'objets constructibles.

Question Topos classifiant et sous-topos pour les structures : \(f : X \to Y\) sans plus, où \(f : X \to X\) sans plus [\(= B_{\mathbb{N}^{\times}}\)], \(f : e \to X\), \[X \times Y \to Z, \qquad X \times Y \to \struck{X},\] \[X \times X \longrightarrow X \quad (!), \qquad X \times X \rightrightarrows X \quad (!!) .\]

[…] — note portée verticalement dans la marge gauche, en regard de « \(X, Y\) »

26le théorème est repris ici depuis le début, sous une forme plus générale que celle de la p. 3 : les cônes y sont indexés par un ensemble \(\sigma\) de couples et un ensemble \(\rho\) de systèmes

Th. Soit

1. 1)\(\sigma\) un ensemble de couples \((S, \lambda)\), \(S\) catégorie, \(\lambda = (\lambda', \lambda'')\) ens. de cônes (proj. et ind.) dans \(S\) ;
2. 2)\(\rho\) un ens. de [systèmes] diagrammes \((\struck{\ill{}}, R_{1}, \delta_{1}, R_{2}, \delta_{2}, \varphi\,\struck{\ill{}})\), où les \(\delta_{i} = (\delta'_{i}, \delta''_{i})\) \((i = 1, 2)\) sont des ens. de cônes, \(R_{i}\) une catégorie, une catégorie avec des […] foncteurs […] et un foncteur \(R_{2} \xrightarrow{\varphi} R_{1}\) tel \(R_{1} \to R_{2}\) que \(\varphi(\delta_{2}) \subset \delta_{1}\) \((R_{1}) \longrightarrow (\delta_{2})\).

Soit \(\Delta = \Delta_{\sigma,\rho}\) la [sous-]catégorie de \(\underline{\mathrm{Cat}}\) définie ainsi :

1. a)les objets sont les catégories \(E\) ayant les propriétés suivantes :
2. a\(_{1}\))\(\forall (S,\lambda) \in \sigma\) et tout foncteur \(S \xrightarrow{u} E\), les systèmes projectifs et inductifs […] aux cônes \(\in u(\lambda)\) ont une limite ;
3. a\(_{2}\))\(\forall (\struck{\ill{}}, R_{1}, \delta_{1}, \ldots) \in \rho\), et tout foncteur \(u_{1} : R_{1} \to E\) qui […] \(\delta_{1}\)-ex. ct, il existe un foncteur \(u_{2} : R_{2} \to E\) faisant \(\delta_{2}\)-exact et tel que \(u_{1}\varphi_{1} \to u_{2}\varphi_{2}\), [\(u \mapsto u \circ \varphi\) induisant une équivalence] : \[\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{1}}(R_{1}, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{2}}(R_{2}, E) ;\]
4. b)pour \(E, E' \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(E, E')\) est la sous-catégorie pleine [(stab.)] de \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}}(E, F)\) formée des foncteurs \(F : E \to E'\) tels que l'on ait : \(\forall (S, \lambda) \in \sigma\) et tout foncteur \(u : S \to E\) qui est \(\lambda\)-ex. ct, \(F \circ u\) est \(\lambda\)-exact. (Il est clair que cette condition est stable par isomorphisme et par composition, et vérifiée par les [si \(F\) est une] équivalence de catégories.)

On suppose satisfaites les conditions

1. A)\(\sigma\) et \(\rho\) sont petits, les \(\forall (S,\lambda) \in \sigma\) \(S\) soit petit et \(\lambda\) soit petit, et les [catégories] diagrammes d'indices des cônes \(\in \lambda\) soient petites ; de même pour dans \((\struck{\ill{}}, R_{1}, \delta_{1}, R_{2}, \delta_{2}, \varphi\,\struck{\ill{}}) \in \rho\) les catégories \(\struck{\ill{}}\,R_{i}\) \((i = 1, 2)\) soient petites, les \(\delta_{i}\) soient petits et les catégories d'indices des cônes \(\in \delta_{i}\) soient petites.
2. B)\(\forall (R, \ldots) \in \rho\), \((R_{i}, \delta_{i}) \in \sigma\) pour \(i = 1, 2\). [On le veut [la condition d'exactitude de cet et] (ou du moins : […] le foncteur défini par \((R_{i}, \delta_{i})\) est conséquence des [celles définies par \(\sigma\)]).] Introduire des conditions d'exactitude supplémentaires b).

27… sur les catégories envisagées pour \(\Delta\) (au plus des conditions d'existence [\(E\)] au lieu dans a), que si les [types de] (lim que les formulations des conditions impliquent existant tjs dans les \(E\) envisagées, et si les foncteurs admis entre ces \(E\) y commutent…)].

Soit de plus \(C\) une catégorie ess. petite, \(\delta\) diag. [cônes] \(= (\delta', \delta'')\) un petit ensemble de […] (proj. et ind.) définissant correspondant à de petites catégories d'indices.

Alors il existe un \(\underline{C' \in \mathrm{Ob}\,\Delta}\) et un foncteur \(i : C \to C'\) qui est \(\underline{\delta\text{-exact}}\), de telle façon que \((C', i)\) soit \(\underline{2\text{-universel}}\), i.e. pour tout \(E \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), le foncteur \(F \mapsto F \circ i\) induit une équivalence \[\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\, i(\delta)}(C', E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat},\, \delta}(C, E) .\] De plus, cette catégorie \(C'\) (définie à équivalence […] près d'après i) est ess. petite.

Dém. On construit par réc. transfinie un [(ps) syst. inductif] suite [chaîne] […] finie \((C_{i}, \delta_{i})\) de catégories sur \(C\), munies d'un \(\delta_{i} \add{= (\delta'_{i}, \delta''_{i})}\) de cônes, en procédant ainsi : \[\begin{gather*} (C_{0}, \delta_{0}) = (C, \delta) \\ (C_{i+1}, \delta_{i+1}) = K(C_{i}, \delta_{i}), \qquad \tau_{i} : C_{i} \to C_{i+1} \\ \text{i.e. } K \text{ est une opération à expliciter plus bas} \\ C_{i} = \varinjlim_{j < i,\,(\mathrm{Cat})} C_{j}, \qquad \delta_{i} = \bigcup_{j < i} \bigl(\mathrm{Im}\ \text{de } \delta_{j} \text{ par } C_{j} \to C_{i}\bigr) \quad \text{si } i \text{ ordinal limite.} \end{gather*}\] On note \(\alpha_{i} : C \longrightarrow C_{i}\).

La construction \(K\) (indépendante de \(i\)) a les propriétés suivantes, que pour la commodité des références nous écrivons avec les notations \((C_{i}, \delta_{i})\), \((C_{i+1}, \delta_{i+1})\) :

28

1. a)\(\forall E \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), le foncteur \(u \mapsto u \circ \tau_{i}\) induit une équivalence \[\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{i+1}}(C_{i+1}, E) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{i}}(C_{i}, E) ;\]
2. b)\(\displaystyle \tau_{i}(\delta_{i}) \subset \delta_{i+1} \subset \tau_{i}(\delta_{i}) \cup \bigcup_{(S,\lambda) \in \sigma} \; \bigcup_{u \in \underline{\mathrm{Hom}}(S, C_{i+1})} u(\lambda)\) ;
3. c)\(\tau_{i} : C_{i} \to C_{i+1}\) est préexact par les \(\delta_{i}\), i.e.

suit un alinéa entièrement biffé de traits diagonaux, encore lisible : « \(\forall (\struck{\ill{}}, R_{1}, \delta_{1}, R_{2}, \delta_{2}, \varphi\,\struck{\ill{}}) \in \rho\), et \(u_{1} : R_{1} \to C_{i}\) [tel que \(u_{1}(\delta_{1}) \subset \delta_{i}\)], il existe un foncteur \(\delta\)-exact \(v_{2} : R_{2} \to C_{i+1}\) tel que \(v_{2} \circ \varphi_{2} = (\tau_{i} u_{1}) \circ \varphi_{1}\) [(et \(v_{2}(\delta_{2}) \subset \delta_{i+1}\))] » ; il est repris en e\(_{0}\))–e\(_{2}\))

1. d)\(\forall (S, \lambda) \in \sigma\) et \(u : S \to C_{i}\), et une diag. catégorie \(I'\) (\(I''\)) intérieurement dans \(\in \lambda'\) ou \((\lambda'')\) [(i.e. \(\lambda = (\lambda', \lambda'')\))], il existe un cône \(c'\) sur le syst. proj. […] \((i-1)\) correspondant à \(\tau_{i}(c)\) [\(c' \in \delta_{i+1}\)] un foncteur \(\bar{v} : \bar{S} \to C_{i+1}\) (où \(\beta : S \to \bar{S}\) est obtenu en dédoublant les […] [sommets] des cônes critiques de \(S\) (**)) tel que \(\bar{v}\beta = \tau_{i} u\), et tel que \(\bar{v}(\bar{\lambda}) \subset \delta_{i+1}\) ;
2. e\(_{0}\))\(\forall (R_{1}, \delta_{1}, \ldots) \in \rho\) et \(u_{1}, v_{1} : R_{1} \rightrightarrows C_{i}\) [tels que \(u_{1}(\delta_{1}) \subset \delta_{i}\), \(v_{1}(\delta_{1}) \subset \delta_{i}\)], et \(\alpha, \beta : u_{1} \rightrightarrows v_{1}\), la relation \(\alpha * \varphi = \beta * \varphi\) implique \(\tau_{i} * \alpha = \tau_{i} * \beta\) ;
3. e\(_{1}\))\(\forall (R_{1}, \delta_{1}, \ldots) \in \rho\) et \(u_{1}, v_{1} : R_{1} \rightrightarrows C_{i}\) tels que \(u_{1}(\delta_{1}), v_{1}(\delta_{1}) \subset \delta_{i}\), et tout hom. \(u_{1} \circ \varphi \xrightarrow{\ \alpha_{2}\ } v_{1} \circ \varphi\), \(\exists\) un hom. \(\tau_{i} u_{1} \xrightarrow{\ \bar{\alpha}_{1}\ } \tau_{i} v_{1}\) tel que \(\bar{\alpha}_{1} * \varphi = \tau_{i} * \alpha_{2}\) ;
4. e\(_{2}\))\(\forall (R_{1}, \delta_{1}, \ldots) \in \rho\) et \(u_{2} : R_{2} \to C_{i}\) tel que \(u_{2}(\delta_{2}) \subset \delta_{i}\), \(\exists\ \bar{u}_{1} : R_{1} \to C_{i+1}\) tel que \(\bar{u}_{1} \circ \varphi = \tau_{i} \circ u_{2}\) et \(\bar{u}_{1}(\delta_{1}) \subset \delta_{i+1}\).

(*) prouver que pour \(\omega\) grand, \((C_{\omega}, \tau_{\omega})\) […] ; et cf. […] (**) plus bas les renvois (*) et (**) sont développés p. 31

29De a) on déduit par récurrence transfinie, pour \(\forall E \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) \[(1)\qquad \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{i}}(C_{i}, E) \;\xrightarrow{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, E) \qquad (F \mapsto F \circ \alpha_{i}) .\] De b) on déduit de même \[(2)\qquad \alpha_{i}(\delta) \subset \delta_{i} \subset \alpha_{i}(\delta) \cup \bigcup_{\substack{j < i \\ (S,\lambda) \in \sigma}} \; \bigcup_{u \in \underline{\mathrm{Hom}}(S, C_{j})} \tau_{ij}\, u(\lambda) \qquad \text{si } i \text{ ordinal limite.}\]

Prouvons que pour \(\omega\) [ordinal limite] assez grand (\(\omega\) un « petit » ordinal), \((C_{\omega}, \delta_{\omega})\) est une solution du Pb. Cela signifie [Il suffit] qu'on ait

1. 1^o)\(C_{\omega} \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), i.e.
2. A\(_{1}\))\(\forall (S,\lambda) \in \sigma\) et \(u : S \to C_{\omega}\), existence des lim. correspondant aux cônes \(\in u(\lambda)\) ;
3. A\(_{2}\))\(\forall (\struck{\ill{}}, R_{1}, \ldots, \varphi) \in \rho\) et […], \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{1}}(R_{1}, C_{\omega}) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{2}}(R_{2}, C_{\omega})\) ;
4. 2^o)\(\alpha_{\omega} : C \to C_{\omega}\) est \(\delta\)-exact ;
5. 3^o)\(\displaystyle \struck{\ill{}}\ \ \delta_{\omega} = \alpha_{\omega}(\delta) \cup \bigcup_{(S,\lambda) \in \sigma} \; \bigcup_{u \in \underline{\mathrm{Hom}}_{\lambda}(S, C_{\omega})} u(\lambda)\).

[Car 3^o implique que pour \(\forall E \in \mathrm{Ob}\,\Delta\) on a \[\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\, \alpha_{\omega}(\delta)}(C_{\omega}, E) \ \struck{\ill{}} = \underline{\mathrm{Hom}}_{\struck{\ill{}},\, \delta_{\omega}}(C_{\omega}, E) \;\xrightarrow[\ (1)\ ]{\ \approx\ }\; \underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, E) .]\]

Alors Soit \(I_{\omega}\) l'ensemble des ordinaux \(j < \omega\). Pour vérifier 2^o) il suffit de vérifier l'assertion plus forte \[(3)\qquad \forall i < \omega, \quad \tau_{\omega,i} : C_{i} \to C_{\omega} \text{ est } \delta_{i}\text{-exact.}\] Ceci résulte à son tour de c) si \(\omega\) est grand devant les cardinaux : soit \(F \in I\), où \(I\) est une cat. d'indices intervenant [dans] les cônes \(\in \delta_{i}\) ; or en vertu de (2), les \(I\) sont […] [de plus] ceux qui interviennent dans \(\delta\), soit dans un \(\lambda\) associé à un \((S, \lambda) \in \sigma\) — c'est une […] […] des petites catégories, donc les \(\mathrm{ord}\, F \in I\) sont majorés par un cardinal \(\Pi\) — et il suffit \(\tau_{\omega}\) [\(\omega\)] grand devant \(\Pi\).

30Il résulte de (3) et (2) appliqué à \(i = \omega\) que l'on a \[\alpha_{\omega}(\delta) \subset \delta_{\omega} \subset \alpha_{\omega}(\delta) \cup \bigcup_{(S,\lambda) \in \sigma} \; \bigcup_{u \in \underline{\mathrm{Hom}}_{\lambda}(S, C_{\omega})} \struck{\ill{}}\] mod. isom. des cônes et pour prouver 3^o) il faut donc prouver

1. 4)\(\forall (S,\lambda) \in \sigma\) et \(u \in \underline{\mathrm{Hom}}_{\lambda}(S, C_{\omega})\), exi\(\exists i < \omega\) et un hom. \(u_{i} : S \to C_{i}\) tel que \(u_{i}(\lambda) \subset \delta_{i}\) (et \(u \simeq \tau_{\omega,i} \circ u_{i}\) [(mod. is. des cônes)]).

suivent deux lignes biffées reprenant l'argument par 1^o)

1. a\(_{1}\))sera conséquence de d) si nous notons que tout foncteur \(u : S \to C_{i}\) se factorise par un \(C_{i}\) — pourvu qu'on prenne \(\Pi \geq \mathrm{card}\, F \in S\) pour tout \((S,\lambda) \in \sigma\) ;
2. a\(_{2}\))sera conséquence de e), utilisant B (les \((R_{i}, \delta_{i}) \in \sigma\)) et \(\beta\) (4) [(3)] au lieu de i).

une ligne entière biffée : « Donc il reste à donner […] des conditions dans la construction \(\alpha\) qui assurent (3), et à expliciter une construction \(K\) » ; en marge, de sa main, « peut remonter ! »

Prouvons 4). On sait que \(u : S \to C_{\omega}\) se factorise par \(u_{i} : S \to C_{i}\) par un \(C_{i}\) (pourvu qu'on prenne \(\Pi \geq \mathrm{card}\, F \in S\) \(\forall (S,\lambda) \in \sigma\)), donc quitte à composer avec \(\tau_{i}\), on peut supposer que ceci se fait […] par \(\bar{u}_{i} : \bar{S} \to C_{i}\) tel que \(\bar{u}(\bar{\lambda}) \subset \delta_{i}\), donc \(\tau_{\omega,i} \circ \bar{u}_{i}\) est un hom. \(\bar{S} \to C\) qui est \(\bar{\lambda}\)-exact, [qu'on a (3)]. […] Comme \(\bar{u}(c_{c})\) […] \(\bar{u}_{i}(i_{c})\) donnent un isom. pour \(\forall c \in \lambda\), donc […] \(\bar{u}_{j}(i_{c})\) […] pour \(\forall c \in \lambda\), donc les \(\tau_{ji}\,\bar{u}_{i}(i_{c})\) […] propriété pour \(j \in I_{\omega}\) assez grand (pourvu que \(\Pi \geq \mathrm{card}\,\lambda = \mathrm{card}\{c\}\)), donc […] les éléments cônes des \(u_{j}(\lambda)\) sont isom. à ceux des \(\bar{u}_{j}(\bar{\lambda})\) ; comme ceux-ci sont dans \(\delta_{j}\), il en est de […] de ceux-ci, à isom. près, cqfd.

31la page porte les deux renvois annoncés p. 28

(**) Soit \(S\) une catégorie avec \(\lambda = (\lambda', \lambda'')\) ens. de cônes. On lui associe une catégorie \(\bar{S}\) et un foncteur \(S \xrightarrow{\ \beta\ } \bar{S}\) tel que en ajoutant, pour \(\forall\) sommet de cône \(c' : \bigl(x \xrightarrow{\ p_{\alpha}\ } (x_{\alpha})\bigr) \in \lambda'\) […], un objet \(\bar{x}_{c}\) à \(S\), avec une de une famille de flèches \(x \to \bar{x}_{c}\) et [une famille de flèches] \(\bar{x}_{c} \xrightarrow{\ q_{\alpha}\ } x_{\alpha}\) factorisant les \(p_{\alpha}\) — et de manière duale pour les cônes \(c'' \in \lambda''\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & x_{1} & \\
x \arrow[r, "i_{c}"] & \bar{x}_{c} \arrow[u, "q_{1}"] \arrow[r, "q_{2}"] \arrow[d, "q_{3}"'] & x_{2} \\
 & x_{3} &
\end{tikzcd}

le croquis marginal porte en outre les flèches \(p_{\alpha} : x \to x_{\alpha}\), qui se factorisent par \(i_{c}\)

(On dit que \((\bar{S}, \bar{\lambda})\) est déduit de \((S, \lambda)\) en dédoublant les sommets des cônes critiques de \(S\) ; \(\bar{\lambda}\) est formé des cônes déduits des cônes \(c \in \lambda\) en remplaçant le sommet \(x_{c}\) par \(\bar{x}_{c}\).) Donc pour \(\forall\) foncteur \(u : S \to E\), avec \(E \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), il existe une unique extension en \(\bar{u} : \bar{S} \to E\) qui soit \(\bar{\lambda}\)-exacte ; de plus, \(u\) est \(\lambda\)-ex. \(\Leftrightarrow\) ses […] pour \(\forall c \in \lambda\), \(\bar{u}(i_{c})\) est un isomorphisme.

(*) Définition du foncteur \(\underline{\delta\text{-préexact}}\) \(D \xrightarrow{\ u\ } F\), \(D\) muni d'un \(\delta = (\delta', \delta'')\) de cônes…

33feuillet de travail rapide, en anglais et en français mêlés, sans ordre linéaire : les fragments sont donnés ici dans l'ordre où ils tombent sur la page, du haut vers le bas

\[H^{n}(K(G,1), \Pi) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Simpl}(\mathrm{ENS}), \qquad \struck{Z_{i}(\Pi)} .\]

Lawvere theory \(\mathcal{L}\) a small cat., \(\mathbb{1} \in \mathcal{L}\), \(n = \mathbb{1}\ldots\mathbb{1}\). \[S = \underline{\mathrm{Hom}}'(\mathcal{L}^{\circ}, \mathrm{ENS}) \ \rightleftarrows\ \mathrm{Alg}(\mathfrak{T}), \qquad (\mathcal{L}^{\circ} \to \mathrm{ENS}), \qquad \mathrm{Mod}(\mathcal{L}^{\circ}) .\] avec \(F\) adjoint à gauche de \(U\), et \((\mathrm{ENS}) \longrightarrow \ill{}\).

\[G_{1} \rightrightarrows B_{2} \dashrightarrow S * S_{1} .\]

\(P \in \mathrm{Ob}(S)\) :

1. 1^o\(P_{I} = \coprod_{I} P\), \(P \times \Pi\) ;
2. 2^oEvery eq. rel is effective, \(R \rightrightarrows S\) ;
3. 3^o\(f : X \to Y\) effective \(\Longleftrightarrow\) \(\mathrm{Hom}(P, X) \to \mathrm{Hom}(P, Y)\) surjectif [(epi)] ;
4. 4.fiber prod ;
5. 5^o\(P \to P \times K\), \(P \times n\), \(\mathrm{Hom}(P, \Pi)\).

morphism of the effective descent.

le fragment central est la reconnaissance d'un foncteur tripleable \[A \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \Phi\ } \mathrm{Alg}(\mathbb{T}), \qquad F \dashv U : A \to B, \qquad B \xrightarrow{\ T\ } B, \qquad \mathbb{T} = (UF, -, -) .\] Beck, Barr, Linton. \(U\) tripleable. les trois noms sont peu nets ; le sujet du feuillet — la tripleabilité de \(U\) — les soutient

1. 1^o\(U\) is conservative [conserve] ;
2. 2^o[…]

\[X_{1} \rightrightarrows X_{0} \longrightarrow Q' \ \text{ in } A, \qquad U(X_{1}) \rightrightarrows U(X_{0}) \rightleftarrows Q, \qquad U(Q') ,\] \[\Longrightarrow \quad X' \rightrightarrows X \rightrightarrows Y .\]

\[T^{2} \ \substack{\xrightarrow{\ T(\xi)\ } \\ \xrightarrow{\ \mu\ }}\ TX \xrightarrow{\ \xi\ } X, \qquad \eta, \qquad T(X) \xrightarrow{\ \xi\ } X .\] les identités simpliciales notées à gauche : \(p_{0}s_{1} = s_{0}p_{0}\) ; \(p_{1}s_{1} = \mathrm{id}\) ; \(p_{0}s_{0} = \mathrm{id}\) ; en regard le diagramme \(X_{1} \rightrightarrows X_{0} \rightarrow X_{-1}\)

34feuillet de travail comme le précédent ; le sujet est le critère de descente pour un morphisme de topos et la comonade \(\pi = f^{*}f_{*}\)

\[X_{1} \to X, \qquad U X_{1} \to U X, \qquad C/S, \qquad C/S' .\] \[X_{1} \ \substack{\xrightarrow{\ d_{1}\ } \\ \xrightarrow{\ d_{0}\ }}\ X_{0} \longleftrightarrow u, \qquad X \longrightarrow X' .\] \[X_{1} \ \substack{\xrightarrow{\ d_{0}\ } \\ \xrightarrow{\ d_{1}\ }}\ X_{1} \xrightarrow{\ p\ } Q, \qquad Q \rightrightarrows Q ,\] \[d_{1} s_{1} = \mathrm{id}_{X_{1}}, \qquad d_{0} s_{1} = s_{0} p .\]

\((\mathrm{Ens})^{I}\), \(\mathfrak{A}\) ; \(I\) […] donné ; \(B = \uncertain{\mathrm{Top}}_{f}(\mathfrak{A})\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & B \arrow[dl] \arrow[dd, "f"] \\
B_{\pi} \arrow[dr] & \\
 & B'
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
B \arrow[d, "f_{*}", bend left=25] \\
B' \arrow[u, "f^{*}", bend left=25]
\end{tikzcd}

\[\pi = f^{*} f_{*} : B \longrightarrow B \qquad \text{(exact à g., accessible)}, \qquad \begin{cases} \pi \to \mathrm{id} \\ \pi \to \pi^{2} \end{cases}\]

\(f\) conservatif \(\Longleftarrow\) (déf) \(f^{*}\) fidèle (\(=\) conservatif) — les deux ; puis \[\begin{cases} f^{*} \text{ conservatif} \\ f^{*} \text{ commute aux \ill{} noyaux de couples} \end{cases}\] \[\mathrm{CoAlg}(B, \pi) \rightrightarrows B, \qquad \ill{} = B_{\pi}, \qquad \bigl(B \to B_{\pi}\bigr), \qquad B_{\pi} \xrightarrow{\ \simeq\ } B \quad \text{(th)} .\] à droite, en regard : « \(B \to B_{\pi}\) conservatif », le mot fidèle biffé au profit de « conservatif »

\[\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Ens}}(f^{*}X, Y) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{G}(X, f_{*}(Y)), \qquad f_{*}(Y) = \underline{\mathrm{Hom}}(G, Y), \qquad Y \longmapsto \underline{\mathrm{Hom}}(G, Y) .\] avec noyaux de couples

Soit \(B\) un topos : \(\exists\ B'\) topos avec assez de points, \(C \subset \hat{C}\),

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\simeq B \arrow[d, "f"] & B \arrow[d, "f_{*}", bend left=25] \\
B' & B' \arrow[u, "f^{*}", bend left=25]
\end{tikzcd}

36cahier à spirale, papier quadrillé : le feuillet porte une carte des implications entre classes d'anneaux, reprise et surchargée plusieurs fois. La partie supérieure est nette et transcrite ci-dessous ; la partie inférieure, où les mêmes noms sont redistribués sur un second réseau, a ses flèches repassées au point d'être indéchiffrables — seuls les noms de ses sommets sont donnés

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \text{anneau} & & \\
\text{anneau local} \arrow[ur] & & \text{anneau réduit} \arrow[ul] & \text{spectre compact} \arrow[l] \\
\text{anneau str. local} \arrow[u] & & \text{anneau intègre} \arrow[u] & \text{pseudocorps} \arrow[ul] \arrow[u] \\
 & & \text{corps} \arrow[u] \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

Sommets du second réseau, tels qu'ils se lisent : spect. connexe, loc. intègre, spectre irréd., réduit, spectre compact, intègre, ps. corps, intègre normal, régulier disc., corps [(régulier dim. […])], local, str. local, ultra local, loc. irréd., irréd., […] intègre, complète, […] des anneaux […] quasi-[…].

À droite du réseau, la vérification du cas « anneau réduit » : \[\emptyset \xrightarrow{\ \sim\ } I(u) \subset A, \qquad \forall f(b)\ \exists\ \struck{e} \in \Pi(u) \text{ tel que } \ldots\] \[e\,(1-e), \qquad f^{n},\ f, \qquad V(f) \longrightarrow V(f^{n}) ,\] \[fg = e, \qquad f(1-e) = 0, \qquad f^{n}(1-e) = 0, \qquad f^{n} \overset{?}{=} e .\] cette colonne est écrite le feuillet tourné

En marge droite : \(\tilde{R}_{\mathrm{zar}}\), \((A[T]/F_{A}[T])_{F'}\) ; \(X_{i} \to Y\) ; \(\mathbb{A}^{n}\), \(U\) ; \(F \to G\) ; \(\Pi \subset A \to A\), \(p \mapsto p^{2} - p\), \(\Pi \to e\) [(fini ?)].

37\[X_{\infty} \subset {}^{e}\hat{R}, \qquad \text{crible de } R, \qquad \struck{X_{\infty}^{\mathrm{af}}} .\] \[X_{\infty}(\mathbb{Z}) = \begin{cases} \emptyset & \text{si } Z_{\infty} \struck{\ill{}}\ \emptyset \\ \{e\} & \text{si } Z_{\infty} \neq \emptyset \end{cases} \qquad \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Sch.}\,H \simeq \hat{R}} \bigl(\mathbb{Z}, \mathrm{Spec}(\mathbb{Q})\bigr) .\] ex. g. : \(\mathrm{Pro}\,R \to R\), \(R \to R\)

Sous-topos ouverts de \(\hat{R} = B\) sous-objet […] de \(e_{B}\), \(B' \to B\) (foncteur ponctuel dans \(R^{\circ}\)) ; crible \(C\) de \(R\), \(C_{R} \xrightarrow{\ t\ } C\) ; crible \(C\) de \(B\) ; sous-structure distinguée \(T'\), \(T'_{i} = T_{B}\). \[B' = B/S \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } B, \qquad = \hat{C}_{R} \xrightarrow{\ i\ } B = \hat{R}, \qquad = \hat{C}_{B}\ \{\varepsilon \xrightarrow{\ \varphi\ } \ill{}\ \text{ (avec hyp. can.)} \} \longrightarrow \ill{}\] soit le « type classifiant » de \(T'\), avec \[B_{T'} \xrightarrow{\ \sim\ } \tilde{B} = \hat{B}\ \ill{} , \qquad S = i_{!}(\mathbb{1}_{B'}) \ \struck{\ill{}}\] la fin de la page est écrite le feuillet tourné d'un quart de tour ; s'y lit : \[C_{B} = \mathrm{Id}\ \text{ens.}\ i_{!} \;=\; B/S \xrightarrow{\ i\ } \hat{R} \;=\; \{\, x \in B \mid A \mid x \in T'(B_{/x}) \,\}\] \[T' = T_{B} \cdot (T_{i} \to T_{B}) = T_{B/S}, \qquad T'(\varepsilon) = \{\, \varepsilon \xrightarrow{\ f\ } B,\ f^{*}(S) \simeq e_{\varepsilon} \,\}\] avec, plus à gauche, \(S \to e_{B}\) un […]morphisme, et \(\chi_{i}^{*}(S) = e_{B'}\).

38la page dresse la liste des axiomes sur les anneaux et, en regard, le topos classifiant de chacun — c'est le cœur de ce cahier

1. 1)anneau (commut. unifère) — \(X_{\mathrm{ann}} = \hat{R}\), où \(R =\) schémas affines de t.f. \(/\mathbb{Z}\) \(\simeq\) (algèbres de t.f. sur \(\mathbb{Z}\))\(^{\circ}\) ;
2. 2)anneau local (\(U \simeq U_{f} \cup U_{1-f}\), cas universel \(U = A\), \(f\) diagonale) — \(X_{\mathrm{anloc}} = \tilde{R}_{\mathrm{zar}}\), zar \(=\) topologie de Zariski ;
3. 4)anneau str. local (local, et pour tout \(U\) et sch. rel. étale \(U'\) sur \(U\) avec \(U' \to U\) surjectif [(et schémas finis)], « surjectif » de schémas, isomorphisme \(U'\) a loc. une section sur \(U\) ; […] le cas universel, \(F(T) = aT^{n} + a_{1}T^{n-1} + \cdots + a_{n}\), les \(a_{i}\) les \(n\) projections de \(A\)) — \(X_{\mathrm{anstrloc}} = \tilde{R}_{\mathrm{et}}\), et \(=\) topologie étale ; \(U = \mathbb{A}^{n}\), \(U' = \mathrm{Spec}\ \mathrm{rel} \bigl(\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{n}}[T]/(F)\bigr)_{F'}\), \(F'\) dérivée de \(F\) ;
4. 3)anneau local hensélien [si \(X' \to X\) dans \(R\) est […] […], \(B' \leftarrow B\) leurs […], on veut que \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{an}}(B', A) \to \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{an}}(B, A)\) soit épi] — \(X_{\mathrm{anlochen}} = \tilde{R}_{\mathrm{hen}}\), hen \(=\) topologie hensélienne : \(X_{i} \to X\) […] couvrantes ssi \(\forall\) anneau local hensélien \(A\), \(X_{i}(A) \to X(A)\) l'est ;
5. 5)anneau ultralocal (si \(X' \to X\) [dans \(R\)] est couvrant pour fppf, alors \(A(X') \to A(X)\) est épi ; […] et dans les cas universels \(U = \ill{}\) dans […]. Question : soit \(X' \to \ill{}\) ultralocal ordinaire \(A\), \(X'(A) \to \ill{}\) couvrant fppf ? Résultant […] ; toute […] Rés. de t.f. […] sur \(\mathbb{Z}\) admet un […] ultralocal \(\mathcal{O}\) qui est limite inductive d'algèbres fid. plates de t.f. sur \(A\)) — \(X_{\mathrm{anultloc}} = \tilde{R}_{\mathrm{fppf}}\) ; fppf : […] les familles \(X' \to X\) qu. fini plat et […] fini et plat, \(U = \mathbb{A}^{n}\), \(U' = \mathrm{Spec}\ \struck{\ill{}} \mathcal{O}_{\mathbb{A}^{n}}[T]/(F)\) ;
6. 6)anneau réduit \[\mathcal{O}_{A} \xrightarrow{\ \sim\ } \varinjlim_{n} \Bigl(\mathrm{Ker}\bigl(A \xrightarrow{\ x \mapsto x^{n}\ } A\bigr)\Bigr) \quad [\, I(u) \,]\] cas universel : \(\forall\ \struck{\ill{}}\ V(f^{n}) \to V(f)\), \(\forall f \in A(U)\), \(n \in \mathbb{N}\) — \(X_{\mathrm{red}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{topred}} \simeq \hat{R}_{\mathrm{red}}\) ; topred \(=\) la top. sur \(R\) où \(X_{i} \to Y\) est couvrante ssi \(\forall\ \mathcal{O}\) réduit, \(X_{i}(\mathcal{O}) \to Y(\mathcal{O})\) l'est, i.e. s'il existe une section sur \(Y_{\mathrm{red}}\) ; \(R_{\mathrm{red}}\) catégorie des […] \(R\) réduits (peut être aussi définie comme catégorie de fractions de \(R\)) ;

7) anneau intègre : a) \(A \amalg A \xrightarrow{\ u\ } D \subset A \times A\), \(x \mapsto (x, 0)\), \(y \mapsto (0, y)\), le carré

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
D \arrow[d] \arrow[r, hook] & A \times A \arrow[d, "(x{,}y) \mapsto xy"] \\
e \arrow[r, "0"] & A
\end{tikzcd}

étant cartésien, et \(u\) un épi ; b) \(\emptyset \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Ker}\bigl(0_{A}, 1_{A} : e \rightrightarrows A\bigr)\). — Topos classifiant : \(X_{\mathrm{int}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{topint}}\) ; topint \(=\) la top. sur \(R\) où \(X_{i} \to Y\) est couvrante ssi pour toute comp. irréd. \(Y_{\alpha}\) de \(Y\) avec str. ind. réduite, il y a section au-dessus.

N.B. b) assure que la famille vide […] […] de \(R\) […] est […] pour la top. […]

N.B. \(X_{\mathrm{red}}\) peut être […], ce qui se voit sur \(X_{\mathrm{red}} \simeq \hat{R}_{\mathrm{red}}\) […] des lim. finies ; \(X_{\mathrm{red}} \simeq \hat{R}_{\mathrm{red}}\) avec \(R_{\mathrm{red}}\) […] finies.

Les objets \(F \in \tilde{R}_{\mathrm{topint}}\) sont les \(F \in \hat{R}\) tels que \(\forall X \in \mathrm{Ob}\,R\) et \((X_{i})_{i \in I}\) famille des comp. irréd., \[F(X) \longrightarrow \prod_{i} F(X_{i}) \rightrightarrows \prod_{i,j} F(X_{i} \times_{X} X_{j})\] soit exacte.

398) Anneau irréductible : \(A_{\mathrm{red}} \overset{\text{déf}}{=} A \big/ \varinjlim_{n} \bigl(I_{n} = \mathrm{Ker}(A \xrightarrow{\ x \mapsto x^{n}\ } A)\bigr)\) [nilradical \(N\)] est intègre, i.e. a) \(A \times N \amalg N \times A \xrightarrow{\ v\ } D_{N} \hookrightarrow A \times A\), le carré

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
D_{N} \arrow[d] \arrow[r, hook] & A \times A \arrow[d, "(x{,}y) \mapsto xy"] \\
N \arrow[r, hook] & A
\end{tikzcd}

étant cartésien, et \(v\) épi ; b) \(V(1_{A}) \xrightarrow{\ \simeq\ } \emptyset_{\varepsilon}\), i.e. […] \[\begin{cases} \forall f, g \in \struck{A}(U), \quad \varinjlim_{n} V(f^{n}g^{n}) \Longleftarrow \varinjlim_{n} V(f^{n}) \vee \varinjlim_{n} V(g^{n}) \\ V(1_{A}) \simeq \emptyset_{\varepsilon} \end{cases}\]

on obtient un exemple d'un \(X_{\mathrm{irr}}\) dans le […] couvrant du couvrant \(X_{\mathrm{ann}}\)

\[X_{\mathrm{irr}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{topirr}}\] topirr \(=\) la topologie où une famille \(X_{i} \to X\) est couvrante ssi […] \(\forall\) comp. irréductible \(Y\) de \(X\), […] […] ; th. : l'un des \(X_{i}\) a une section sur \(Y_{\mathrm{red}}\).

N.B. Cette topologie n'est pas quasi-compacte : il y a des recouvrements (de l'[…] tout schéma ayant une [d'[…] comp. connexes] […] irréductibles) qui n'admettent pas de ss-recouvrement fini, […] […] finies en produisant \(R_{\mathrm{ann}}\) (\(R_{\mathrm{ann}}\) ss.-cat. des […] conn.).

N.B. Les \(F \in \struck{\mathrm{Ob}}\ X_{\mathrm{irr}}\) […] \(\hat{R}\) […] de \(\tilde{R}_{\mathrm{topirr}}\) […], d'un sous-topos […] du topos […]

40une seule ligne sur ce feuillet, portée le cahier retourné […] \(R\) à \(\varepsilon\) ont \(X_{\emptyset} =\) sous-topos fermé […] de \(X_{\mathrm{ann}}\), correspondant à l'anneau unité et […]