Fonds Grothendieck, cote n° 161-2, pages 21–40 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-02)Opus 5 (claude-opus-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
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est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)161-2
Algèbre universelle [ou catégories] : notes manuscrites (s.d.)
Pages 21 à 40 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 2 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[vers 1963-1973]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/161-2.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
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sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
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la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
la page reprend en cours de phrase la construction laissée p. 20
des produits 2-fibrés dans (\mathrm{Top}), [desR \times^{2}_{S} R_{1}],
i.e. 2-limites amalgamées dans \Delta : R \amalg_{S} R_{1}. Cette construction
est \pm connue, redonnons-en une autre, dans le cas général R \times^{2}_{T} S,
avec les foncteurs images inverses
T \xrightarrow{\ f^{*}\ } R, \qquad T \xrightarrow{\ g^{*}\ } S .
On choisit des famillespetites sous-catégories génératrices
T_{0}, R_{0}, S_{0} telles que f^{*}(T_{0}) \subset R_{0},
g^{*}(T_{0}) \subset S_{0}. On prend U_{0} la catégorie2-somme
amalgamée de R_{0} et S_{0}, de sorte que pour tout (E \struck{\ill{}}) \ldots\underline{\mathrm{Hom}}(U_{0}, E)
\;\xrightarrow{\ \approx\ }\;
\underline{\mathrm{Hom}}(R_{0}, E)
\times^{2}_{\underline{\mathrm{Hom}}(T_{0},E)}
\underline{\mathrm{Hom}}(S_{0}, E)
Il faut, si E \in \mathrm{Ob}\,\Delta, exprimer qu'un objet des seconds
mb. premiers mb., U_{0} \xrightarrow{h} E, est dans la
sous-catégorie pleine
\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, E)
\times^{2}_{\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(T,E)}
\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(S, E)
des derniers mb. Si on a pris R_{0}, S_{0} stables par \varprojlim finies,
cela s'exprime aisément par la commutativitéde la aux
condition que h transforme certains cônes projectifs finis de U_{0}
(provenantaux cônes exacts deR_{0} et de S_{0})
en cônes exacts, et que les uns qu'elle transforme certaines familles
(provenant familles couvrantes de R_{0} et S_{0}) en familles
couvrantes. Donc on réalise la théorie envisagée
T = T_{R} \times^{(2)}_{T_{T}} T_{S}
comme sous-théorie pleine (classifiée par des axiomes d', finales) de T_{\rho_{\Delta}(U_{0})}, et qui donne la conclusion.
Mais sachant désormais que dans la théorie T est représentable par
un topos, et revenant à la description générale comme sous-théorie
d'un T_{\rho_{\Delta}(U_{0})} (plus lasans condition que
R_{0}, S_{0} stables par \varprojlim exactes), on voit que c'est donné par
un sous-topos de \rho_{\Delta}(U_{0}). Ainsi on trouve, si
T_{0} \to S_{0} est surjectif sur les objets (comme dans les cas qui nous
intéressaient) que R_{0} \to U_{0} est surjectif sur les objets, donc
R \to U = R'estgénéré une image qui est génératrice.
d) Passage à la limite Cela comme suit : les
2-limites inductivesstables dans \Delta, il faut que les 2-limites transfinies existent et soient des topos. La
démonstration donnée dans ce monde en fait, par le système inductif
de topos dans \Delta formé de topos [des systèmes projectifs dans
(\mathrm{Top})] \varepsilon(\bar{R}_{\alpha}) : on se débrouille pour
choisir des systèmes depetites cat. génératrices
Cochaqui soient stables par les morphismes de
transition — p. ex. à l'aide des filtrations cardinales, mais
c'est un mauvais un monde — et on prend
la catégorie 2- la
C = \varinjlim_{\alpha,\,(\mathrm{Cat})} C_{\alpha},
on peut donner un sous-topos de \hat{C}.
En l'occurrence, dansle cas filtrantc'est que
on veut que si unR est le topos limite, et si les images
dans R des R_{\alpha} forment un syst. de générateurs
générateursd'où c'est une syst. génératrice :
et si J s'envoyant en le syst. inductif des R_{\alpha}, J \to R_{\alpha}engendreR_{\alpha} pour tout \alpha, alors J \to R engendre R.
annotations portées au-dessus du diagramme : \rho'(I) = \hat{J_{0}} ;
\rho'(J_{1}), \rho' l'adjoint, i.e. \Delta_{R} cat. avec produits
finis ; = \rho'(J_{2}) au-dessus de R_{2}
J_{1} \to J_{2} porte en outre « (bij. sur ob.) » ; sous J_{1} :
« = analyseur engendré par J_{0} (analyseur libre) et les flèches
données analyseur » ; sous J_{2} : « =sous-analyseur plein de R engendré par I \to R, ens.
sous-jacent J_{0} »
R apparaît comme une catégorie des fractions de \hat{J_{1}}, i.e. J_{1} est l'analyseur libre sur I engendré par les
flèches induites (sur J_{0}) par R, \hat{J_{1}}
Structure représentée parB_{G} = \hat{C}C = \struck{\ill{}}(\cdot\,, G). Relativisation dans un topos.
Topos produit. Remarquons que les
T(E) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}\,\mathrm{top}(E, R)^{\circ}
\simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(R, E)
… ces catégories sont stables par \varinjlimfiltrantes
(car il vient à peu près des conditions sur des structures : elles
convergent pas à des théories algébriques sur quelque soit \Delta' \supset \Delta).
N.B. En général on aura un autre type de lim.
Question : \forall E, T(E) admet des produits fibrés\varprojlim finies quelconques (et les T_{R}(E) \to T_{R}(E') à y
commuter) — auquel cas T = restriction à \Delta d'une théorie algébrique
sur \Delta_{0}, i.e. R \simeq \hat{C}, avec C \subset (E \in
\mathrm{Ob}\,\Delta_{0}(vérité), i.e. C stable par \varprojlim
finies ? Si T est un type, on sait que T(E) est stable par \varprojlim
finies quelconques et accessible, , stable par
générale.
T_{R}(\mathrm{Ens}) \simeq \underline{\mathrm{Pt}}(R)^{\circ}
\simeq \underline{\mathrm{Fib}}(R) .le glyphe lu \mathrm{Pt} est peu net ; le contexte — points d'un topos,
et la comparaison avec \underline{\mathrm{Fib}} — le soutient et
R \neq \mathrm{Top}(\varphi).
Sous-topos du topos disons R engendré par un objet
X (a priori de structure sur un objet de ) : comparer avec un
f-, avec R = \hat{C}, C = catégorie opposée [pts à les
\Delta_{n}] aux ens. finis, donc R = ens. semi-simpliciaux. Les
sous-topos(ouverts) de C ; on trouve les
sous-topos suivants (classés par leurs points) :
\{\, R,\ \emptyset,\ R^{+} = \varprojlim (X \to e) \,\} ;de p. f. : \{\, \mathbb{N},\ \emptyset,\ \mathbb{N}^{+} \,\} ;(irréd.) : \{\, S,\ \emptyset,\ (\mathrm{Ens}\ \ill{}
\ \ill{})^{*} \,\}, où S = (\mathrm{Ens}_{f})^{\circ} ;sous-thèmes : \{\, \struck{T(E) = E},\ \emptyset,\ T(E) \subset E \,\},
sous-catégorie pleine des objets connexes de \bar{E}, d'où
T(E) = \emptyset sauf si E = \mathrm{Top}(\varphi).
Sous-topos fermés complémentaires : p. h. f.
\{\, \emptyset,\ R,\ \Phi_{0} = \mathcal{C}U \,\} ;
\{\, \emptyset,\ \mathbb{N},\ \{\Delta_{p}\} \,\} ;
T(E) \subset Ecat. réduite à .
Il y a enfin un sous-topos fermé, maximal loc. dont les et
dernier — le topos V\struck{\ill{}}, qui n'est ni ouvert, ni , dont les
pts \Delta_{0}, \Delta_{1}, et qui :
T_{V}(E) = \text{End. des sous-objets de } \struck{\ill{}}\, e_{E}
(i.e. un objet X \in \mathrm{Ob}\,E tel que x \to x_{e} mono.), et le
deuxième topos \mathrm{Ens}^{+}_{\wedge} V : le plus ,
plus\Delta_{1}, tel que
T_{\mathrm{Unv}}(E) \subset E, \qquad \text{i.e. } x \xrightarrow{\ \sim\ } e_{E}objets finaux.
En résumé : 6 sous-topos, avec diagramme d'implications
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& R & & \\
R^{+} \arrow[ur, no head] & & V = \overline{(\varphi_{0},\varphi_{1})} \arrow[ul, no head] & \\
& R^{+} \wedge V = \varphi_{1} \arrow[ul, no head] \arrow[ur, no head] & & \overline{(\varphi_{0})} \arrow[ul, no head] \\
& & \emptyset \arrow[ul, no head] \arrow[ur, no head] &
\end{tikzcd}
la moitié droite du feuillet porte une première version du même treillis,
biffée en entier ; elle n'est pas transcrite
N.B.V et R^{+} \wedge V ne sont pas des
complémentaires, mais ils ont les complémentaires faibles \emptyset et
\varphi_{0}. Vreprésent représente le foncteur
E \longmapsto \mathcal{P}(E) = \mathcal{P}(e_{E}) .le glyphe est un P barré ; rendu ici \mathcal{P}, l'objet des parties
N.B.
Pas d'objets loc. constants, ou constants pendants\varphi ;pas d'objets constantsquelconque sur principe
cela (resp. si sur e) ;pas d'objets constructibles.
Question Topos classifiant et sous-topos pour les
structures : f : X \to Y sans plus, où f : X \to X sans plus
[= B_{\mathbb{N}^{\times}}], f : e \to X,
X \times Y \to Z, \qquad X \times Y \to \struck{X},X \times X \longrightarrow X \quad (!), \qquad
X \times X \rightrightarrows X \quad (!!) .
— note portée verticalement dans la marge gauche, en regard de
« X, Y »
le théorème est repris ici depuis le début, sous une forme plus générale
que celle de la p. 3 : les cônes y sont indexés par un ensemble \sigma de
couples et un ensemble \rho de systèmes
Th. Soit
\sigma un ensemble de couples (S, \lambda), S catégorie,
\lambda = (\lambda', \lambda'') ens. de cônes (proj. et ind.) dans S ;\rho un ens. de systèmesdiagrammes(\struck{\ill{}}, R_{1}, \delta_{1}, R_{2}, \delta_{2},
\varphi\,\struck{\ill{}}), où les \delta_{i} = (\delta'_{i},
\delta''_{i})(i = 1, 2) sont des ens. de cônes, R_{i} une catégorie,
une catégorie avec des foncteurs et un foncteur
R_{2} \xrightarrow{\varphi} R_{1} tel R_{1} \to R_{2} que
\varphi(\delta_{2}) \subset \delta_{1}(R_{1}) \longrightarrow (\delta_{2}).
Soit \Delta = \Delta_{\sigma,\rho} la sous-catégorie de
\underline{\mathrm{Cat}} définie ainsi :
les objets sont les catégories E ayant les propriétés suivantes :\forall (S,\lambda) \in \sigma et tout foncteur
S \xrightarrow{u} E, les systèmes projectifs et inductifs
aux cônes \in u(\lambda) ont une limite ;\forall (\struck{\ill{}}, R_{1}, \delta_{1}, \ldots) \in
\rho, et tout foncteur u_{1} : R_{1} \to E qui \delta_{1}-ex. ct, il existe un foncteur u_{2} : R_{2} \to E faisant
\delta_{2}-exact et tel que u_{1}\varphi_{1} \to u_{2}\varphi_{2},
u \mapsto u \circ \varphi induisant une équivalence :
\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{1}}(R_{1}, E)
\;\xrightarrow{\ \approx\ }\;
\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{2}}(R_{2}, E) ;pour E, E' \in \mathrm{Ob}\,\Delta,
\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta}(E, E') est la sous-catégorie pleine
(stab.) de \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat}}(E, F) formée des
foncteurs F : E \to E' tels que l'on ait : \forall (S, \lambda) \in
\sigma et tout foncteur u : S \to E qui est \lambda-ex. ct, F \circ u
est \lambda-exact. (Il est clair que cette condition est stable par
isomorphisme et par composition, et vérifiée par lessi F
est une équivalence de catégories.)
On suppose satisfaites les conditions
\sigma et \rho sont petits, les\forall (S,\lambda)
\in \sigmaS soit petit et \lambda soit petit, et les
catégoriesdiagrammes d'indices des cônes \in \lambda
soient petites ; de même pour dans (\struck{\ill{}}, R_{1}, \delta_{1},
R_{2}, \delta_{2}, \varphi\,\struck{\ill{}}) \in \rho les catégories
\struck{\ill{}}\,R_{i}(i = 1, 2) soient petites, les \delta_{i}
soient petits et les catégories d'indices des cônes \in \delta_{i}
soient petites.\forall (R, \ldots) \in \rho, (R_{i}, \delta_{i}) \in \sigma
pour i = 1, 2. [On le veut la condition d'exactitude de cet et (ou
du moins : le foncteur défini par (R_{i}, \delta_{i})est conséquence descelles définies par \sigma).]
Introduire des conditions d'exactitude supplémentaires b).
… sur les catégories envisagées pour \Delta (au plus des conditions
d'existence E au lieu dans a), que si les types de
(lim que les formulations des conditions impliquent existant
tjs dans les E envisagées, et si les foncteurs admis entre ces
E y commutent…)].
Soit de plus C une catégorie ess. petite, \deltadiag.cônes= (\delta', \delta'') un petit ensemble de (proj. et ind.)
définissant correspondant à de petites catégories d'indices.
Alors il existe un \underline{C' \in \mathrm{Ob}\,\Delta} et un foncteur
i : C \to C' qui est \underline{\delta\text{-exact}}, de telle façon que
(C', i) soit \underline{2\text{-universel}}, i.e. pour tout E \in
\mathrm{Ob}\,\Delta, le foncteur F \mapsto F \circ i induit une équivalence
\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\, i(\delta)}(C', E)
\;\xrightarrow{\ \approx\ }\;
\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cat},\, \delta}(C, E) .
De plus, cette catégorie C' (définie à équivalence près
d'après i) est ess. petite.
Dém. On construit par réc. transfinie un
(ps) syst. inductifsuitechaîne finie
(C_{i}, \delta_{i}) de catégories sur C, munies d'un \delta_{i}
\add{= (\delta'_{i}, \delta''_{i})}de cônes, en procédant ainsi :
\begin{gather*}
(C_{0}, \delta_{0}) = (C, \delta) \\
(C_{i+1}, \delta_{i+1}) = K(C_{i}, \delta_{i}), \qquad
\tau_{i} : C_{i} \to C_{i+1} \\
\text{i.e. } K \text{ est une opération à expliciter plus bas} \\
C_{i} = \varinjlim_{j < i,\,(\mathrm{Cat})} C_{j}, \qquad
\delta_{i} = \bigcup_{j < i}
\bigl(\mathrm{Im}\ \text{de } \delta_{j} \text{ par } C_{j} \to C_{i}\bigr)
\quad \text{si } i \text{ ordinal limite.}
\end{gather*}
On note \alpha_{i} : C \longrightarrow C_{i}.
La construction K (indépendante de i) a les propriétés suivantes, que pour
la commodité des références nous écrivons avec les notations
(C_{i}, \delta_{i}), (C_{i+1}, \delta_{i+1}) :
\forall E \in \mathrm{Ob}\,\Delta, le foncteur u \mapsto u \circ
\tau_{i} induit une équivalence
\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{i+1}}(C_{i+1}, E)
\longrightarrow
\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{i}}(C_{i}, E) ;\displaystyle \tau_{i}(\delta_{i}) \subset \delta_{i+1} \subset
\tau_{i}(\delta_{i}) \cup \bigcup_{(S,\lambda) \in \sigma} \;
\bigcup_{u \in \underline{\mathrm{Hom}}(S, C_{i+1})} u(\lambda) ;\tau_{i} : C_{i} \to C_{i+1} est préexact par
les\delta_{i}, i.e.
suit un alinéa entièrement biffé de traits diagonaux, encore lisible :
« \forall (\struck{\ill{}}, R_{1}, \delta_{1}, R_{2}, \delta_{2},
\varphi\,\struck{\ill{}}) \in \rho, et u_{1} : R_{1} \to C_{i}tel que u_{1}(\delta_{1}) \subset \delta_{i}, il existe un foncteur
\delta-exactv_{2} : R_{2} \to C_{i+1} tel que v_{2} \circ
\varphi_{2} = (\tau_{i} u_{1}) \circ \varphi_{1}(et v_{2}(\delta_{2})
\subset \delta_{i+1}) » ; il est repris en e_{0})–e_{2})
\forall (S, \lambda) \in \sigmaetu : S \to C_{i},
et une diag. catégorie I' (I'')intérieurement dans \in \lambda' ou (\lambda'')(i.e. \lambda = (\lambda', \lambda'')), il existe
un cône c' sur le syst. proj. (i-1) correspondant à
\tau_{i}(c)c' \in \delta_{i+1} un foncteur
\bar{v} : \bar{S} \to C_{i+1} (où \beta : S \to \bar{S} est obtenu en
dédoublant les sommets des cônes critiques de S (**)) tel
que \bar{v}\beta = \tau_{i} u, et tel que \bar{v}(\bar{\lambda}) \subset
\delta_{i+1} ;\forall (R_{1}, \delta_{1}, \ldots) \in \rho et
u_{1}, v_{1} : R_{1} \rightrightarrows C_{i}tels que
u_{1}(\delta_{1}) \subset \delta_{i}, v_{1}(\delta_{1}) \subset
\delta_{i}, et \alpha, \beta : u_{1} \rightrightarrows v_{1}, la
relation \alpha * \varphi = \beta * \varphi implique
\tau_{i} * \alpha = \tau_{i} * \beta ;\forall (R_{1}, \delta_{1}, \ldots) \in \rho et
u_{1}, v_{1} : R_{1} \rightrightarrows C_{i} tels que
u_{1}(\delta_{1}), v_{1}(\delta_{1}) \subset \delta_{i}, et tout hom.
u_{1} \circ \varphi \xrightarrow{\ \alpha_{2}\ } v_{1} \circ \varphi,
\exists un hom. \tau_{i} u_{1} \xrightarrow{\ \bar{\alpha}_{1}\ }
\tau_{i} v_{1} tel que \bar{\alpha}_{1} * \varphi = \tau_{i} *
\alpha_{2} ;\forall (R_{1}, \delta_{1}, \ldots) \in \rho et
u_{2} : R_{2} \to C_{i} tel que u_{2}(\delta_{2}) \subset \delta_{i},
\exists\ \bar{u}_{1} : R_{1} \to C_{i+1} tel que \bar{u}_{1} \circ
\varphi = \tau_{i} \circ u_{2} et \bar{u}_{1}(\delta_{1}) \subset
\delta_{i+1}.
(*) prouver que pour \omega grand, (C_{\omega}, \tau_{\omega}) ; et cf. (**) plus basles renvois (*) et (**) sont développés p. 31
De a) on déduit par récurrence transfinie, pour \forall E \in
\mathrm{Ob}\,\Delta(1)\qquad
\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{i}}(C_{i}, E)
\;\xrightarrow{\ \approx\ }\;
\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, E)
\qquad (F \mapsto F \circ \alpha_{i}) .
De b) on déduit de même
(2)\qquad
\alpha_{i}(\delta) \subset \delta_{i} \subset
\alpha_{i}(\delta) \cup
\bigcup_{\substack{j < i \\ (S,\lambda) \in \sigma}} \;
\bigcup_{u \in \underline{\mathrm{Hom}}(S, C_{j})} \tau_{ij}\, u(\lambda)
\qquad \text{si } i \text{ ordinal limite.}
Prouvons que pour \omegaordinal limite assez grand (\omega un
« petit » ordinal), (C_{\omega}, \delta_{\omega}) est une solution du Pb.
Cela signifieIl suffit qu'on ait
C_{\omega} \in \mathrm{Ob}\,\Delta, i.e.\forall (S,\lambda) \in \sigma et u : S \to C_{\omega},
existence des lim. correspondant aux cônes \in u(\lambda) ;\forall (\struck{\ill{}}, R_{1}, \ldots, \varphi) \in
\rhoet ,
\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{1}}(R_{1}, C_{\omega})
\xrightarrow{\ \sim\ }
\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta_{2}}(R_{2}, C_{\omega}) ;\alpha_{\omega} : C \to C_{\omega} est
\delta-exact ;\displaystyle \struck{\ill{}}\ \ \delta_{\omega}
= \alpha_{\omega}(\delta) \cup \bigcup_{(S,\lambda) \in \sigma} \;
\bigcup_{u \in \underline{\mathrm{Hom}}_{\lambda}(S, C_{\omega})}
u(\lambda).
[Car 3o implique que pour \forall E \in \mathrm{Ob}\,\Delta
on a
\underline{\mathrm{Hom}}_{\Delta,\, \alpha_{\omega}(\delta)}(C_{\omega}, E)
\ \struck{\ill{}} =
\underline{\mathrm{Hom}}_{\struck{\ill{}},\, \delta_{\omega}}(C_{\omega}, E)
\;\xrightarrow[\ (1)\ ]{\ \approx\ }\;
\underline{\mathrm{Hom}}_{\delta}(C, E) .]
Alors Soit I_{\omega} l'ensemble des ordinaux j < \omega. Pour
vérifier 2o) il suffit de vérifier l'assertion plus forte
(3)\qquad \forall i < \omega, \quad
\tau_{\omega,i} : C_{i} \to C_{\omega} \text{ est } \delta_{i}\text{-exact.}
Ceci résulte à son tour de c) si \omega est grand devant les cardinaux : soit
F \in I, où I est une cat. d'indices intervenant dans les cônes \in
\delta_{i} ; or en vertu de (2), les I sont de plus
ceux qui interviennent dans \delta, soit dans un \lambda associé à un
(S, \lambda) \in \sigma — c'est une des petites catégories,
donc les \mathrm{ord}\, F \in I sont majorés par un cardinal \Pi — et il
suffit \tau_{\omega}\omega grand devant \Pi.
Il résulte de (3) et (2) appliqué à i = \omega que l'on a
\alpha_{\omega}(\delta) \subset \delta_{\omega} \subset
\alpha_{\omega}(\delta) \cup \bigcup_{(S,\lambda) \in \sigma} \;
\bigcup_{u \in \underline{\mathrm{Hom}}_{\lambda}(S, C_{\omega})}
\struck{\ill{}}mod. isom. des cônes
et pour prouver 3o) il faut donc prouver
\forall (S,\lambda) \in \sigma et u \in
\underline{\mathrm{Hom}}_{\lambda}(S, C_{\omega}), exi\exists
i < \omega et un hom. u_{i} : S \to C_{i} tel que u_{i}(\lambda)
\subset \delta_{i} (et u \simeq \tau_{\omega,i} \circ u_{i}(mod. is. des cônes)).
suivent deux lignes biffées reprenant l'argument par 1o)
sera conséquence de d) si nous notons que tout
foncteur u : S \to C_{i} se factorise par un C_{i} — pourvu qu'on
prenne \Pi \geq \mathrm{card}\, F \in S pour tout (S,\lambda) \in
\sigma ;sera conséquence de e), utilisant B (les (R_{i},
\delta_{i}) \in \sigma) et \beta(4)(3) au lieu de i).
une ligne entière biffée : « Donc il reste à donner des conditions
dans la construction \alpha qui assurent (3), et à expliciter une
construction K » ; en marge, de sa main, « peut remonter ! »
Prouvons 4). On sait que u : S \to C_{\omega} se factorise paru_{i} : S \to C_{i} par un C_{i} (pourvu qu'on prenne \Pi \geq
\mathrm{card}\, F \in S\forall (S,\lambda) \in \sigma), donc quitte à
composer avec \tau_{i}, on peut supposer que ceci se fait par
\bar{u}_{i} : \bar{S} \to C_{i} tel que \bar{u}(\bar{\lambda}) \subset
\delta_{i}, donc \tau_{\omega,i} \circ \bar{u}_{i} est un hom.
\bar{S} \to C qui est \bar{\lambda}-exact, qu'on a (3).
Comme \bar{u}(c_{c})\bar{u}_{i}(i_{c}) donnent un
isom. pour \forall c \in \lambda, donc \bar{u}_{j}(i_{c})
pour \forall c \in \lambda, donc les \tau_{ji}\,\bar{u}_{i}(i_{c}) propriété pour j \in I_{\omega} assez grand (pourvu que
\Pi \geq \mathrm{card}\,\lambda = \mathrm{card}\{c\}), donc
les éléments cônes des u_{j}(\lambda) sont isom. à
ceux des \bar{u}_{j}(\bar{\lambda}) ; comme ceux-ci sont dans \delta_{j},
il en est de de ceux-ci, à isom. près, cqfd.
la page porte les deux renvois annoncés p. 28
(**) Soit S une catégorie avec \lambda = (\lambda', \lambda'') ens. de
cônes. On lui associe une catégorie \bar{S} et un foncteur
S \xrightarrow{\ \beta\ } \bar{S}tel que en ajoutant, pour
\forallsommet de cône
c' : \bigl(x \xrightarrow{\ p_{\alpha}\ } (x_{\alpha})\bigr) \in \lambda', un objet \bar{x}_{c} à S, avec une de une
famille de flèches x \to \bar{x}_{c} et une famille de flèches\bar{x}_{c} \xrightarrow{\ q_{\alpha}\ } x_{\alpha} factorisant les
p_{\alpha} — et de manière duale pour les cônes c'' \in \lambda''.
le croquis marginal porte en outre les flèches p_{\alpha} : x \to
x_{\alpha}, qui se factorisent par i_{c}
(On dit que (\bar{S}, \bar{\lambda}) est déduit de (S, \lambda)
en dédoublant les sommets des cônes critiques de S ;
\bar{\lambda} est formé des cônes déduits des cônes c \in \lambda en
remplaçant le sommet x_{c} par \bar{x}_{c}.) Donc pour \forall foncteur
u : S \to E, avec E \in \mathrm{Ob}\,\Delta, il existe une
unique extension en \bar{u} : \bar{S} \to E qui soit
\bar{\lambda}-exacte ; de plus, u est \lambda-ex. \Leftrightarrowses pour \forall c \in \lambda, \bar{u}(i_{c}) est un
isomorphisme.
(*) Définition du foncteur \underline{\delta\text{-préexact}}D \xrightarrow{\ u\ } F, D muni d'un \delta = (\delta', \delta'') de
cônes…
feuillet de travail rapide, en anglais et en français mêlés, sans ordre
linéaire : les fragments sont donnés ici dans l'ordre où ils tombent sur la
page, du haut vers le bas
Lawvere theory\mathcal{L} a small cat., \mathbb{1} \in
\mathcal{L}, n = \mathbb{1}\ldots\mathbb{1}.
S = \underline{\mathrm{Hom}}'(\mathcal{L}^{\circ}, \mathrm{ENS})
\ \rightleftarrows\ \mathrm{Alg}(\mathfrak{T}),
\qquad (\mathcal{L}^{\circ} \to \mathrm{ENS}), \qquad
\mathrm{Mod}(\mathcal{L}^{\circ}) .
avec F adjoint à gauche de U, et (\mathrm{ENS}) \longrightarrow \ill{}.
G_{1} \rightrightarrows B_{2} \dashrightarrow S * S_{1} .
P \in \mathrm{Ob}(S) :
P_{I} = \coprod_{I} P, P \times \Pi ;Every eq. rel is effective,
R \rightrightarrows S ;f : X \to Yeffective\Longleftrightarrow\mathrm{Hom}(P, X) \to \mathrm{Hom}(P, Y)
surjectif (epi) ;fiber prod ;P \to P \times K, P \times n,
\mathrm{Hom}(P, \Pi).
morphism of theeffective descent.
le fragment central est la reconnaissance d'un foncteur tripleableA \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ \Phi\ } \mathrm{Alg}(\mathbb{T}),
\qquad F \dashv U : A \to B, \qquad B \xrightarrow{\ T\ } B,
\qquad \mathbb{T} = (UF, -, -) .Beck, Barr, Linton. Utripleable.
les trois noms sont peu nets ; le sujet du feuillet — la tripleabilité de
U — les soutient
Uisconservativeconserve ;
X_{1} \rightrightarrows X_{0} \longrightarrow Q' \ \text{ in } A,
\qquad
U(X_{1}) \rightrightarrows U(X_{0}) \rightleftarrows Q, \qquad U(Q') ,\Longrightarrow \quad X' \rightrightarrows X \rightrightarrows Y .
feuillet de travail comme le précédent ; le sujet est le critère de
descente pour un morphisme de topos et la comonade \pi = f^{*}f_{*}
X_{1} \to X, \qquad U X_{1} \to U X, \qquad C/S, \qquad C/S' .X_{1} \ \substack{\xrightarrow{\ d_{1}\ } \\ \xrightarrow{\ d_{0}\ }}\ X_{0}
\longleftrightarrow u, \qquad X \longrightarrow X' .X_{1} \ \substack{\xrightarrow{\ d_{0}\ } \\ \xrightarrow{\ d_{1}\ }}\ X_{1}
\xrightarrow{\ p\ } Q, \qquad Q \rightrightarrows Q ,d_{1} s_{1} = \mathrm{id}_{X_{1}}, \qquad d_{0} s_{1} = s_{0} p .
(\mathrm{Ens})^{I}, \mathfrak{A} ; I donné ;
B = \uncertain{\mathrm{Top}}_{f}(\mathfrak{A}).
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& B \arrow[dl] \arrow[dd, "f"] \\
B_{\pi} \arrow[dr] & \\
& B'
\end{tikzcd}
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
B \arrow[d, "f_{*}", bend left=25] \\
B' \arrow[u, "f^{*}", bend left=25]
\end{tikzcd}
\pi = f^{*} f_{*} : B \longrightarrow B
\qquad \text{(exact à g., accessible)}, \qquad
\begin{cases} \pi \to \mathrm{id} \\ \pi \to \pi^{2} \end{cases}
f conservatif \Longleftarrow (déf) f^{*} fidèle (= conservatif) — les
deux ; puis
\begin{cases}
f^{*} \text{ conservatif} \\
f^{*} \text{ commute aux \ill{} noyaux de couples}
\end{cases}\mathrm{CoAlg}(B, \pi) \rightrightarrows B, \qquad
\ill{} = B_{\pi}, \qquad
\bigl(B \to B_{\pi}\bigr), \qquad
B_{\pi} \xrightarrow{\ \simeq\ } B \quad \text{(th)} .à droite, en regard : « B \to B_{\pi} conservatif », le mot
fidèle biffé au profit de « conservatif »
\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Ens}}(f^{*}X, Y)
\simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{G}(X, f_{*}(Y)),
\qquad f_{*}(Y) = \underline{\mathrm{Hom}}(G, Y),
\qquad Y \longmapsto \underline{\mathrm{Hom}}(G, Y) .avec noyaux de couples
Soit B un topos : \exists\ B' topos avec assez de points,
C \subset \hat{C},
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\simeq B \arrow[d, "f"] & B \arrow[d, "f_{*}", bend left=25] \\
B' & B' \arrow[u, "f^{*}", bend left=25]
\end{tikzcd}
cahier à spirale, papier quadrillé : le feuillet porte une carte des
implications entre classes d'anneaux, reprise et surchargée plusieurs fois. La
partie supérieure est nette et transcrite ci-dessous ; la partie inférieure, où
les mêmes noms sont redistribués sur un second réseau, a ses flèches repassées
au point d'être indéchiffrables — seuls les noms de ses sommets sont donnés
Sommets du second réseau, tels qu'ils se lisent : spect. connexe,
loc. intègre, spectre irréd., réduit,
spectre compact, intègre, ps. corps, intègre
normal, régulier disc., corps(régulier dim. ),
local, str. local, ultra local, loc. irréd.,
irréd., intègre, complète, des anneaux
quasi-.
À droite du réseau, la vérification du cas « anneau réduit » :
\emptyset \xrightarrow{\ \sim\ } I(u) \subset A, \qquad
\forall f(b)\ \exists\ \struck{e} \in \Pi(u) \text{ tel que } \ldotse\,(1-e), \qquad f^{n},\ f, \qquad V(f) \longrightarrow V(f^{n}) ,fg = e, \qquad f(1-e) = 0, \qquad f^{n}(1-e) = 0, \qquad f^{n} \overset{?}{=} e .cette colonne est écrite le feuillet tourné
En marge droite : \tilde{R}_{\mathrm{zar}}, (A[T]/F_{A}[T])_{F'} ;
X_{i} \to Y ; \mathbb{A}^{n}, U ; F \to G ; \Pi \subset A \to A,
p \mapsto p^{2} - p, \Pi \to e(fini ?).
Sous-topos ouverts de \hat{R} = B sous-objet de
e_{B}, B' \to B (foncteur ponctuel dans R^{\circ}) ; crible C de R,
C_{R} \xrightarrow{\ t\ } C ; crible C de B ; sous-structure
distinguée T', T'_{i} = T_{B}.
B' = B/S \xrightarrow{\ \mathrm{can}\ } B, \qquad
= \hat{C}_{R} \xrightarrow{\ i\ } B = \hat{R}, \qquad
= \hat{C}_{B}\ \{\varepsilon \xrightarrow{\ \varphi\ } \ill{}\ \text{
(avec hyp. can.)} \} \longrightarrow \ill{}
soit le « type classifiant » de T', avec
B_{T'} \xrightarrow{\ \sim\ } \tilde{B} = \hat{B}\ \ill{} , \qquad
S = i_{!}(\mathbb{1}_{B'}) \ \struck{\ill{}}la fin de la page est écrite le feuillet tourné d'un quart de tour ; s'y
lit :C_{B} = \mathrm{Id}\ \text{ens.}\ i_{!}
\;=\; B/S \xrightarrow{\ i\ } \hat{R}
\;=\; \{\, x \in B \mid A \mid x \in T'(B_{/x}) \,\}T' = T_{B} \cdot (T_{i} \to T_{B}) = T_{B/S}, \qquad
T'(\varepsilon) = \{\, \varepsilon \xrightarrow{\ f\ } B,\ f^{*}(S) \simeq
e_{\varepsilon} \,\}
avec, plus à gauche, S \to e_{B} un morphisme, et
\chi_{i}^{*}(S) = e_{B'}.
la page dresse la liste des axiomes sur les anneaux et, en regard, le
topos classifiant de chacun — c'est le cœur de ce cahier
anneau (commut. unifère) —
X_{\mathrm{ann}} = \hat{R}, où R = schémas affines de t.f. /\mathbb{Z}\simeq (algèbres de t.f. sur \mathbb{Z})^{\circ} ;anneau local (U \simeq U_{f} \cup U_{1-f}, cas
universel U = A, f diagonale) —
X_{\mathrm{anloc}} = \tilde{R}_{\mathrm{zar}}, zar = topologie de
Zariski ;anneau str. local (local, et pour tout U et sch. rel.
étale U' sur U avec U' \to Usurjectif(et schémas
finis), « surjectif » de schémas, isomorphismeU' a loc. une
section sur U ; le cas universel,
F(T) = aT^{n} + a_{1}T^{n-1} + \cdots + a_{n}, les a_{i} les n
projections de A) —
X_{\mathrm{anstrloc}} = \tilde{R}_{\mathrm{et}}, et = topologie étale ;
U = \mathbb{A}^{n}, U' = \mathrm{Spec}\ \mathrm{rel}
\bigl(\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{n}}[T]/(F)\bigr)_{F'}, F' dérivée de F ;anneau local hensélien [si X' \to X dans R est
, B' \leftarrow B leurs , on veut que
\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{an}}(B', A) \to
\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{an}}(B, A) soit épi] —
X_{\mathrm{anlochen}} = \tilde{R}_{\mathrm{hen}}, hen = topologie
hensélienne : X_{i} \to X couvrantes ssi \forall anneau local
hensélien A, X_{i}(A) \to X(A) l'est ;anneau ultralocal (si X' \to Xdans Rest couvrant pour fppf, alors A(X') \to A(X) est épi ; et
dans les cas universels U = \ill{} dans . Question :
soit X' \to \ill{} ultralocal ordinaire A, X'(A) \to \ill{}
couvrant fppf ? Résultant ; toute Rés. de t.f.
sur \mathbb{Z} admet un ultralocal \mathcal{O} qui est
limite inductive d'algèbres fid. plates de t.f. sur A) —
X_{\mathrm{anultloc}} = \tilde{R}_{\mathrm{fppf}} ; fppf : les
familles X' \to X qu. fini plat et fini et plat, U =
\mathbb{A}^{n}, U' = \mathrm{Spec}\ \struck{\ill{}}
\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{n}}[T]/(F) ;anneau réduit\mathcal{O}_{A} \xrightarrow{\ \sim\ }
\varinjlim_{n} \Bigl(\mathrm{Ker}\bigl(A \xrightarrow{\ x \mapsto x^{n}\ }
A\bigr)\Bigr) \quad [\, I(u) \,]
cas universel : \forall\ \struck{\ill{}}\ V(f^{n}) \to V(f),
\forall f \in A(U), n \in \mathbb{N} —
X_{\mathrm{red}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{topred}} \simeq
\hat{R}_{\mathrm{red}} ; topred = la top. sur R où X_{i} \to Y est
couvrante ssi \forall\ \mathcal{O} réduit, X_{i}(\mathcal{O}) \to
Y(\mathcal{O}) l'est, i.e. s'il existe une section sur Y_{\mathrm{red}} ;
R_{\mathrm{red}} catégorie des R réduits (peut être
aussi définie comme catégorie de fractions de R) ;
7) anneau intègre : a) A \amalg A \xrightarrow{\ u\ } D \subset
A \times A, x \mapsto (x, 0), y \mapsto (0, y), le carré
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
D \arrow[d] \arrow[r, hook] & A \times A \arrow[d, "(x{,}y) \mapsto xy"] \\
e \arrow[r, "0"] & A
\end{tikzcd}
étant cartésien, et u un épi ; b) \emptyset \xrightarrow{\ \sim\ }
\mathrm{Ker}\bigl(0_{A}, 1_{A} : e \rightrightarrows A\bigr). — Topos
classifiant : X_{\mathrm{int}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{topint}} ; topint
= la top. sur R où X_{i} \to Y est couvrante ssi pour toute comp. irréd.
Y_{\alpha} de Y avec str. ind. réduite, il y a section au-dessus.
N.B. b) assure que la famille vide de R est
pour la top.
N.B.X_{\mathrm{red}} peut être , ce qui se voit sur
X_{\mathrm{red}} \simeq \hat{R}_{\mathrm{red}} des lim. finies ;
X_{\mathrm{red}} \simeq \hat{R}_{\mathrm{red}} avec R_{\mathrm{red}} finies.
Les objets F \in \tilde{R}_{\mathrm{topint}} sont les F \in \hat{R} tels
que \forall X \in \mathrm{Ob}\,R et (X_{i})_{i \in I} famille des comp.
irréd.,
F(X) \longrightarrow \prod_{i} F(X_{i}) \rightrightarrows
\prod_{i,j} F(X_{i} \times_{X} X_{j})
soit exacte.
8) Anneau irréductible : A_{\mathrm{red}}
\overset{\text{déf}}{=} A \big/ \varinjlim_{n} \bigl(I_{n} =
\mathrm{Ker}(A \xrightarrow{\ x \mapsto x^{n}\ } A)\bigr)nilradical
N est intègre, i.e. a) A \times N \amalg N \times A \xrightarrow{\ v\ }
D_{N} \hookrightarrow A \times A, le carré
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
D_{N} \arrow[d] \arrow[r, hook] & A \times A \arrow[d, "(x{,}y) \mapsto xy"] \\
N \arrow[r, hook] & A
\end{tikzcd}
étant cartésien, et v épi ; b) V(1_{A}) \xrightarrow{\ \simeq\ }
\emptyset_{\varepsilon}, i.e. \begin{cases}
\forall f, g \in \struck{A}(U), \quad
\varinjlim_{n} V(f^{n}g^{n}) \Longleftarrow
\varinjlim_{n} V(f^{n}) \vee \varinjlim_{n} V(g^{n}) \\
V(1_{A}) \simeq \emptyset_{\varepsilon}
\end{cases}
on obtient un exemple d'un X_{\mathrm{irr}}dans le
couvrant du couvrant X_{\mathrm{ann}}
X_{\mathrm{irr}} \simeq \tilde{R}_{\mathrm{topirr}}
topirr = la topologie où une famille X_{i} \to X est couvrante ssi
\forall comp. irréductible Y de X, ;
th. : l'un des X_{i} a une section sur Y_{\mathrm{red}}.
N.B. Cette topologie n'est pas quasi-compacte : il y a des
recouvrements (de l' tout schéma ayant uned' comp. connexes irréductibles) qui n'admettent
pas de ss-recouvrement fini, finies en produisant
R_{\mathrm{ann}} (R_{\mathrm{ann}} ss.-cat. des conn.).
N.B. Les F \in \struck{\mathrm{Ob}}\ X_{\mathrm{irr}}\hat{R} de \tilde{R}_{\mathrm{topirr}}, d'un
sous-topos du topos
une seule ligne sur ce feuillet, portée le cahier retournéR à \varepsilon ont X_{\emptyset} = sous-topos
fermé de X_{\mathrm{ann}}, correspondant à l'anneau
unité et