Cote n° 160 · batch 2 · pages 21–22 · Transcription · Schémas [en] groupes : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Dérivateurs » (157-1 à 160) est daté 1990-[1991]
Édition de démonstration

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21feuillet de calcul, sans une phrase ; il reprend sans coupure le calcul du batch 1 sur les polynômes additifs en caractéristique \(p\)

\(\alpha\) \(\beta\)

\[X^{p^{2}} + aX^{p} + bX\] \(\alpha\) et \(\beta\) sont portés au-dessus du polynôme : ce sont les deux éléments dont part l'élimination qui suit

\[\begin{align*} \alpha^{p^{2}} + a\alpha^{p} + b\alpha &= 0\\ \beta^{p^{2}} + a\beta^{p} + b\beta &= 0 \end{align*}\]

\[a\bigl(\alpha^{p}\beta - \beta^{p}\alpha\bigr) = -\bigl(\alpha^{p^{2}}\beta - \beta^{p^{2}}\alpha\bigr)\]

\[a = \frac{\alpha^{p^{2}}\beta - \beta^{p^{2}}\alpha} {\alpha^{p}\beta - \beta^{p}\alpha} \qquad b = \frac{\alpha^{p^{2}}\beta^{p} - \beta^{p^{2}}\alpha^{p}} {\alpha^{p}\beta^{\struck{p}} - \beta^{p}\alpha^{\struck{p}}}\] au dénominateur de \(b\) les deux exposants \(p\) portés sur \(\beta\) puis sur \(\alpha\) sont biffés : le dénominateur devient celui de \(a\)

la colonne de droite du feuillet refait le même calcul en se servant de \(\alpha^{p}-\beta^{p} = (\alpha-\beta)^{p}\) ; elle est donnée ici à la suite

\[a\bigl(\alpha^{p} - \beta^{p}\bigr) = -\bigl(\alpha^{p^{2}} - \beta^{p^{2}}\bigr)\]

\[\begin{align*} a &= -(\alpha-\beta)^{p^{2}-p}\\ b &= -\alpha^{p^{2}} + \alpha^{p}(\alpha-\beta)^{p^{2}-p} \end{align*}\] le premier membre de la seconde ligne est écrit \(b\) : la relation tirée de \(\alpha^{p^{2}} + a\alpha^{p} + b\alpha = 0\) est celle de \(b\alpha\). Le même facteur \(\alpha\) manque au premier membre des deux lignes suivantes, qui sont cohérentes entre elles

\[\begin{align*} (\alpha-\beta)^{p}\,b &= -\struck{\alpha^{p^{2}+p}} + \beta^{p}\alpha^{p^{2}} + \struck{\alpha^{p^{2}+p}} - \alpha^{p}\beta^{p^{2}}\\ &= \alpha^{p}\beta^{p}\bigl(\alpha^{p^{2}-p} - \beta^{p^{2}-p}\bigr) \end{align*}\] les deux termes \(\alpha^{p^{2}+p}\) sont barrés d'un même trait oblique, qui marque leur annulation

\[b = \Bigl(\frac{\alpha\beta}{\alpha-\beta}\Bigr)^{p} \bigl(\alpha^{p^{2}-p} - \beta^{p^{2}-p}\bigr)\] entre \(\alpha\) et \(\beta\), au numérateur, un signe raturé qui ne se lit pas

\[(\alpha-\beta)^{p}X^{p^{2}} \;\ill{}\; (\alpha-\beta)^{p^{2}}X^{p} + (\alpha\beta)^{p}\bigl(\alpha^{p^{2}-p} - \beta^{p^{2}-p}\bigr)\] le signe qui suit \(X^{p^{2}}\) est une correction à l'encre lourde, non lisible ; le dernier terme est écrit sans le facteur \(X\)

\[(\alpha^{p}-\beta^{p})X^{p^{2}} - (\alpha^{p^{2}}-\beta^{p^{2}})X^{p} + \alpha^{p}\beta^{p}\bigl(\alpha^{p^{2}-p} - \beta^{p^{2}-p}\bigr)\] la page porte une parenthèse ouvrante devant \(X^{p^{2}}\), jamais fermée, non reproduite ; trois accolades soulignent les trois coefficients, qui seront nommés \(r\), \(s\), \(t\) plus bas

\[\lambda(f^{p}-g^{p}) \qquad -\lambda(f^{p^{2}}-g^{p^{2}}) \qquad \lambda(f^{p^{2}}g^{p} - g^{p^{2}}f^{p})\] les trois mêmes coefficients réécrits avec \(f\), \(g\) et un facteur \(\lambda\)

\[\begin{array}{ccc} 0-\beta^{p} & 0-\beta^{p^{2}} & 0\\ \alpha^{p}-0 & \alpha^{p^{2}}-\ill{} & 0 \end{array}\] deux lignes de valeurs au trait fin sous les trois coefficients ; la dernière entrée de la seconde ligne ne se lit pas

\[\alpha^{p} + \beta^{p} = 0\]

\[X \longmapsto \lambda(f^{p}-g^{p})X^{p^{2}} - \lambda(f^{p^{2}}-g^{p^{2}})X^{p} + \lambda(f^{p^{2}}g^{p} - g^{p^{2}}f^{p})X\] les trois coefficients sont accolés et nommés \(r\), \(s\), \(t\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H \arrow[r, hook] & \mathbb{G}_{a} \arrow[r, "X \mapsto rX^{p^{2}} + sX^{p} + t"] \arrow[d] & \mathbb{G}_{a}\\
 & \mathbb{G}_{a}/H &
\end{tikzcd}

le label de la flèche horizontale s'arrête sur \(+\,t\), sans le facteur \(X\)

\[(f^{p}g - g^{p}f)X^{p^{2}} - (f^{p^{2}}g - g^{p^{2}}f)X^{p} + (f^{p^{2}}g^{p} - g^{p^{2}}f^{p})X\] dernière ligne du feuillet

22le feuillet est écrit des deux bouts : le tiers supérieur à l'endroit, les deux tiers inférieurs tête-bêche, séparés par un long trait au crayon. On donne d'abord le bloc à l'endroit, puis le bloc renversé dans son propre ordre de lecture

\[f \qquad g\]

\[\begin{align*} f(a) &= 0 & g(a) &= 1\\ f(b) &= 1 & g(b) &= 0 \end{align*}\]

donc \(f\) et \(g\) non cts, lin. indép. sur \(\mathbb{F}_{p}\)

sps \(f\), \(g\) lin. indép. sur \(\mathbb{F}_{p}\) […]

\[\mathbb{G}_{a} \supset H_{f} \qquad \mathbb{G}_{a} \supset H_{g}\]

\[H = H_{f} \times H_{g} \hookrightarrow \mathbb{G}_{a}\]

\[H_{a} \simeq \alpha_{p} \times \mathbb{Z}/p \simeq K \hookrightarrow \mathbb{G}_{a}\]

\[H_{b} \simeq \mathbb{Z}/p \times \alpha_{p} \simeq K \hookrightarrow \mathbb{G}_{a}\]

\[H' \subset \mathbb{G}_{a}\]

\(X \to \struck{X'}\) […] sous la flèche, trois mots au crayon fin qui ne se lisent pas

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H' \subset \mathbb{G}_{a} \arrow[d, "\lambda"]\\
\mathbb{G}_{a}
\end{tikzcd}

\(\lambda(a) = \lambda(b) = 0\), \(\lambda\) non cte

\[H_{a} \simeq H_{b} \;:\; \alpha_{p} \times \mathbb{F}_{p}\alpha \times \mathbb{F}_{p}\] le troisième facteur s'arrête sur \(\mathbb{F}_{p}\)

ici le trait ; ce qui suit est le bloc renversé, lu depuis le bas du feuillet

\[r\bigl(\lambda^{p} - f^{p-1}\lambda\bigr)^{p} - r^{p}\bigl(\lambda^{p} - f^{p-1}\lambda\bigr)\] l'exposant de \(r\) au second terme est suivi d'un signe raturé. Dans la première parenthèse l'exposant de \(\lambda\) est mal formé ; il est lu \(p\) sur la seconde parenthèse, qui est nette

\[\Bigl(\frac{\lambda}{f}\Bigr)^{p} - \frac{\lambda}{f} \qquad\qquad \lambda^{p} - f^{p-1}\lambda\] en regard, à droite de la même ligne

\(\bigl(\lambda^{p} - f^{p-1}\lambda\bigr)\lambda^{p}\) ligne biffée de deux croix

\[r\lambda^{p^{2}} - f^{p(p-1)}\lambda^{p}\]

\[r = \Bigl(\frac{g}{f}\Bigr)^{p} - f^{p-1}g\] le quotient \(g/f\) est biffé d'une croix ; corrigé, le second membre est \(g^{p} - f^{p-1}g\)

\[\left( \frac{\bigl(\frac{\lambda}{f}\bigr)^{p} - \frac{\lambda}{f}}{r} \right)^{\uncertain{\nu}} = (\quad)\] le second membre est une parenthèse laissée vide ; l'exposant est un seul signe, lu \(\nu\)

\[a \qquad b\]

fini plat deux mots au crayon fin au-dessus de l'accolade qui joint \(a\), \(b\) à l'inclusion suivante

\[H \subset \mathbb{G}_{a}, \qquad H = H_{1} \times H_{2} \times K\] la page écrit l'égalité sous forme d'un double trait vertical entre les deux lignes. Sous \(H_{1}\), \(H_{2}\) et \(K\) descendent trois traits portant deux lignes d'annotations au trait fin, dont le premier mot semble être une abréviation en « ét. » suivie d'un chiffre ; elles ne se lisent pas

\[H_{1a} \simeq H_{2b} \simeq \alpha_{p}\]

\[\begin{align*} f(a) &= 0 & g(b) &= 0\\ f(b) &= \alpha & g(a) &= \beta \end{align*}\]

\(\alpha\) et \(\beta\) lin. indép. sur \(\mathbb{F}_{p}\)

\[\alpha_{p} + \mathbb{F}_{p}\alpha + \mathbb{F}_{p}\beta\]

à partir d'ici le bloc renversé est en deux colonnes séparées d'un trait vertical : d'abord la colonne de gauche, puis celle de droite

\[H' \subset \mathbb{G}_{a,X'}\]

\[i_{a}(H'_{a}) = i_{b}(H'_{b}) = \alpha_{p} + \mathbb{F}_{p}\alpha + \mathbb{F}_{p}\beta \subset \mathbb{G}_{a}\]

\[H \subset \mathbb{G}_{a,X}\]

\[i_{a}(H_{a}) = \alpha_{p} + \mathbb{F}_{p}\alpha + \mathbb{F}_{p}\beta\]

\[\mathbb{G}_{a}\] \(\mathbb{G}_{a}\) est porté seul sur la ligne suivante, sans signe qui le relie à ce qui précède

colonne de droite

\(f\), \(g\), \(h\), lin. […] ind. sur \(\mathbb{F}_{p}\) […] une accolade horizontale coiffe \(f\), \(g\) ; à droite, entre accolade, trois lignes de mots suivies de « \(a\), \(b\) », qui ne se lisent pas

\[h(a),\ h(b) \in \mathbb{F}_{p}\alpha + \mathbb{F}_{p}\beta\]

\(g(a)\), \(h(a)\)

[…] \(H_{2}\) deux lignes biffées ; de la seconde ne surnage que \(H_{2}\). La première lettre de la première est ambiguë, \(f\) ou \(g\)

\[\begin{align*} h(a) &\notin \mathbb{F}_{p}\beta & \text{p.\ ex.\ } h(a) &= \alpha\\ h(b) &\notin \mathbb{F}_{p}\alpha & h(b) &= \beta \end{align*}\]

Ker \(p_{2}\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H \arrow[r, hook] & \mathbb{G}_{a} \arrow[r, "f"] \arrow[dr, "u"'] & \mathbb{G}_{a}\\
 & & \mathbb{G}_{a} \arrow[u, "?"]
\end{tikzcd}

la flèche verticale porte un point d'interrogation, et un trait en pointillé la longe. À droite du \(\mathbb{G}_{a}\) du bas, au crayon, un signe puis \((H_{2})\) qui ne se lisent pas

\[\mathbb{G}_{a,X'} / H_{1} \times H_{2}\]

\[\lambda \longmapsto \Bigl(\frac{\lambda}{f}\Bigr)^{p} - \Bigl(\frac{\lambda}{f}\Bigr)\] les deux dernières lignes sont au crayon, plus fines que le reste