Fonds Grothendieck, cote n° 160, pages 21–22

feuillet de calcul, sans une phrase ; il reprend sans coupure le calcul du batch 1 sur les polynômes additifs en caractéristique p

\alpha \beta

X^{p^{2}} + aX^{p} + bX \alpha et \beta sont portés au-dessus du polynôme : ce sont les deux éléments dont part l'élimination qui suit

\begin{align*} \alpha^{p^{2}} + a\alpha^{p} + b\alpha &= 0\\ \beta^{p^{2}} + a\beta^{p} + b\beta &= 0 \end{align*}

a\bigl(\alpha^{p}\beta - \beta^{p}\alpha\bigr) = -\bigl(\alpha^{p^{2}}\beta - \beta^{p^{2}}\alpha\bigr)

a = \frac{\alpha^{p^{2}}\beta - \beta^{p^{2}}\alpha} {\alpha^{p}\beta - \beta^{p}\alpha} \qquad b = \frac{\alpha^{p^{2}}\beta^{p} - \beta^{p^{2}}\alpha^{p}} {\alpha^{p}\beta^{\struck{p}} - \beta^{p}\alpha^{\struck{p}}} au dénominateur de b les deux exposants p portés sur \beta puis sur \alpha sont biffés : le dénominateur devient celui de a

la colonne de droite du feuillet refait le même calcul en se servant de \alpha^{p}-\beta^{p} = (\alpha-\beta)^{p} ; elle est donnée ici à la suite

a\bigl(\alpha^{p} - \beta^{p}\bigr) = -\bigl(\alpha^{p^{2}} - \beta^{p^{2}}\bigr)

\begin{align*} a &= -(\alpha-\beta)^{p^{2}-p}\\ b &= -\alpha^{p^{2}} + \alpha^{p}(\alpha-\beta)^{p^{2}-p} \end{align*} le premier membre de la seconde ligne est écrit b : la relation tirée de \alpha^{p^{2}} + a\alpha^{p} + b\alpha = 0 est celle de b\alpha. Le même facteur \alpha manque au premier membre des deux lignes suivantes, qui sont cohérentes entre elles

\begin{align*} (\alpha-\beta)^{p}\,b &= -\struck{\alpha^{p^{2}+p}} + \beta^{p}\alpha^{p^{2}} + \struck{\alpha^{p^{2}+p}} - \alpha^{p}\beta^{p^{2}}\\ &= \alpha^{p}\beta^{p}\bigl(\alpha^{p^{2}-p} - \beta^{p^{2}-p}\bigr) \end{align*} les deux termes \alpha^{p^{2}+p} sont barrés d'un même trait oblique, qui marque leur annulation

b = \Bigl(\frac{\alpha\beta}{\alpha-\beta}\Bigr)^{p} \bigl(\alpha^{p^{2}-p} - \beta^{p^{2}-p}\bigr) entre \alpha et \beta, au numérateur, un signe raturé qui ne se lit pas

(\alpha-\beta)^{p}X^{p^{2}} \;\ill{}\; (\alpha-\beta)^{p^{2}}X^{p} + (\alpha\beta)^{p}\bigl(\alpha^{p^{2}-p} - \beta^{p^{2}-p}\bigr) le signe qui suit X^{p^{2}} est une correction à l'encre lourde, non lisible ; le dernier terme est écrit sans le facteur X

(\alpha^{p}-\beta^{p})X^{p^{2}} - (\alpha^{p^{2}}-\beta^{p^{2}})X^{p} + \alpha^{p}\beta^{p}\bigl(\alpha^{p^{2}-p} - \beta^{p^{2}-p}\bigr) la page porte une parenthèse ouvrante devant X^{p^{2}}, jamais fermée, non reproduite ; trois accolades soulignent les trois coefficients, qui seront nommés r, s, t plus bas

\lambda(f^{p}-g^{p}) \qquad -\lambda(f^{p^{2}}-g^{p^{2}}) \qquad \lambda(f^{p^{2}}g^{p} - g^{p^{2}}f^{p}) les trois mêmes coefficients réécrits avec f, g et un facteur \lambda

\begin{array}{ccc} 0-\beta^{p} & 0-\beta^{p^{2}} & 0\\ \alpha^{p}-0 & \alpha^{p^{2}}-\ill{} & 0 \end{array} deux lignes de valeurs au trait fin sous les trois coefficients ; la dernière entrée de la seconde ligne ne se lit pas

\alpha^{p} + \beta^{p} = 0

X \longmapsto \lambda(f^{p}-g^{p})X^{p^{2}} - \lambda(f^{p^{2}}-g^{p^{2}})X^{p} + \lambda(f^{p^{2}}g^{p} - g^{p^{2}}f^{p})X les trois coefficients sont accolés et nommés r, s, t

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] H \arrow[r, hook] & \mathbb{G}_{a} \arrow[r, "X \mapsto rX^{p^{2}} + sX^{p} + t"] \arrow[d] & \mathbb{G}_{a}\\ & \mathbb{G}_{a}/H & \end{tikzcd}

le label de la flèche horizontale s'arrête sur +\,t, sans le facteur X

(f^{p}g - g^{p}f)X^{p^{2}} - (f^{p^{2}}g - g^{p^{2}}f)X^{p} + (f^{p^{2}}g^{p} - g^{p^{2}}f^{p})X dernière ligne du feuillet

le feuillet est écrit des deux bouts : le tiers supérieur à l'endroit, les deux tiers inférieurs tête-bêche, séparés par un long trait au crayon. On donne d'abord le bloc à l'endroit, puis le bloc renversé dans son propre ordre de lecture

f \qquad g

\begin{align*} f(a) &= 0 & g(a) &= 1\\ f(b) &= 1 & g(b) &= 0 \end{align*}

donc f et g non cts, lin. indép. sur ~~\mathbb{F}_{p}~~

sps f, g lin. indép. sur \mathbb{F}_{p}

\mathbb{G}_{a} \supset H_{f} \qquad \mathbb{G}_{a} \supset H_{g}

H = H_{f} \times H_{g} \hookrightarrow \mathbb{G}_{a}

H_{a} \simeq \alpha_{p} \times \mathbb{Z}/p \simeq K \hookrightarrow \mathbb{G}_{a}

H_{b} \simeq \mathbb{Z}/p \times \alpha_{p} \simeq K \hookrightarrow \mathbb{G}_{a}

H' \subset \mathbb{G}_{a}

X \to \struck{X'} sous la flèche, trois mots au crayon fin qui ne se lisent pas

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] H' \subset \mathbb{G}_{a} \arrow[d, "\lambda"]\\ \mathbb{G}_{a} \end{tikzcd}

\lambda(a) = \lambda(b) = 0, \lambda non cte

H_{a} \simeq H_{b} \;:\; \alpha_{p} \times \mathbb{F}_{p}\alpha \times \mathbb{F}_{p} le troisième facteur s'arrête sur \mathbb{F}_{p}

ici le trait ; ce qui suit est le bloc renversé, lu depuis le bas du feuillet

r\bigl(\lambda^{p} - f^{p-1}\lambda\bigr)^{p} - r^{p}\bigl(\lambda^{p} - f^{p-1}\lambda\bigr) l'exposant de r au second terme est suivi d'un signe raturé. Dans la première parenthèse l'exposant de \lambda est mal formé ; il est lu p sur la seconde parenthèse, qui est nette

\Bigl(\frac{\lambda}{f}\Bigr)^{p} - \frac{\lambda}{f} \qquad\qquad \lambda^{p} - f^{p-1}\lambda en regard, à droite de la même ligne

~~\bigl(\lambda^{p} - f^{p-1}\lambda\bigr)\lambda^{p}~~ ligne biffée de deux croix

r\lambda^{p^{2}} - f^{p(p-1)}\lambda^{p}

r = \Bigl(\frac{g}{f}\Bigr)^{p} - f^{p-1}g le quotient g/f est biffé d'une croix ; corrigé, le second membre est g^{p} - f^{p-1}g

\left( \frac{\bigl(\frac{\lambda}{f}\bigr)^{p} - \frac{\lambda}{f}}{r} \right)^{\uncertain{\nu}} = (\quad) le second membre est une parenthèse laissée vide ; l'exposant est un seul signe, lu \nu

a \qquad b

fini plat deux mots au crayon fin au-dessus de l'accolade qui joint a, b à l'inclusion suivante

H \subset \mathbb{G}_{a}, \qquad H = H_{1} \times H_{2} \times K la page écrit l'égalité sous forme d'un double trait vertical entre les deux lignes. Sous H_{1}, H_{2} et K descendent trois traits portant deux lignes d'annotations au trait fin, dont le premier mot semble être une abréviation en « ét. » suivie d'un chiffre ; elles ne se lisent pas

H_{1a} \simeq H_{2b} \simeq \alpha_{p}

\begin{align*} f(a) &= 0 & g(b) &= 0\\ f(b) &= \alpha & g(a) &= \beta \end{align*}

\alpha et \beta lin. indép. sur \mathbb{F}_{p}

\alpha_{p} + \mathbb{F}_{p}\alpha + \mathbb{F}_{p}\beta

à partir d'ici le bloc renversé est en deux colonnes séparées d'un trait vertical : d'abord la colonne de gauche, puis celle de droite

H' \subset \mathbb{G}_{a,X'}

i_{a}(H'_{a}) = i_{b}(H'_{b}) = \alpha_{p} + \mathbb{F}_{p}\alpha + \mathbb{F}_{p}\beta \subset \mathbb{G}_{a}

H \subset \mathbb{G}_{a,X}

i_{a}(H_{a}) = \alpha_{p} + \mathbb{F}_{p}\alpha + \mathbb{F}_{p}\beta

\mathbb{G}_{a} \mathbb{G}_{a} est porté seul sur la ligne suivante, sans signe qui le relie à ce qui précède

colonne de droite

f, g, h, lin. ind. sur \mathbb{F}_{p} une accolade horizontale coiffe f, g ; à droite, entre accolade, trois lignes de mots suivies de « a, b », qui ne se lisent pas

h(a),\ h(b) \in \mathbb{F}_{p}\alpha + \mathbb{F}_{p}\beta

~~g(a), h(a)~~

~~H_{2}~~ deux lignes biffées ; de la seconde ne surnage que H_{2}. La première lettre de la première est ambiguë, f ou g

\begin{align*} h(a) &\notin \mathbb{F}_{p}\beta & \text{p.\ ex.\ } h(a) &= \alpha\\ h(b) &\notin \mathbb{F}_{p}\alpha & h(b) &= \beta \end{align*}

Ker p_{2}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] H \arrow[r, hook] & \mathbb{G}_{a} \arrow[r, "f"] \arrow[dr, "u"'] & \mathbb{G}_{a}\\ & & \mathbb{G}_{a} \arrow[u, "?"] \end{tikzcd}

la flèche verticale porte un point d'interrogation, et un trait en pointillé la longe. À droite du \mathbb{G}_{a} du bas, au crayon, un signe puis (H_{2}) qui ne se lisent pas

\mathbb{G}_{a,X'} / H_{1} \times H_{2}

\lambda \longmapsto \Bigl(\frac{\lambda}{f}\Bigr)^{p} - \Bigl(\frac{\lambda}{f}\Bigr) les deux dernières lignes sont au crayon, plus fines que le reste