Cote n° 160 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Schémas [en] groupes : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Dérivateurs » (157-1 à 160) est daté 1990-[1991]
Édition de démonstration

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Un lemme d'algébrisation le long d'un fermé

1

\begin{tikzcd}
X' \arrow[d, "p"] \\ X
\end{tikzcd}

Lemme. Soit \(f : X' \to X\) morphisme propre [de] type fini de schémas noethériens, \(V'\) l'ouvert des points de \(X'\) où \(f\) est étale, \(Z\) une partie fermée de \(X\), \(\hat{X}\) le complété formel de \(X\) le long de \(Z\), \(q\) (ou \((q_n)\)) une section formelle de \(X'\) sur \(X\) […] (i.e. une collection de sections des \(X'\times_X X_n\) sur les \(X_n\)), \(Z' = q_\bullet(\hat{X}_\bullet)\), \(= q(\ldots)\) (qui est une sous-section […] de \(X'\) […], avec \(p|Z' : Z' \simeq Z\)).

1) On peut […] \[U_Z = q^{-1}(V') \longleftarrow V' \cap Z' .\] la flèche est tracée vers la gauche sur le feuillet

a) \(X_n \cap U_Z = q_n^{-1}(V')\) est schématiquement dense dans \(\hat{X}\)

b) \(X'\) est l'adhérence schématique […] de la famille des \(q_n(X_n) \subset X'\), […]

c) La famille des \(V'_n\) [(]est schématiquement dense dans \(X'\)[)] i.e. en un \(\hat{V'}\)

2) Cas où \(V' \supset Z\), i.e. \(f\) est étale aux points de \(Z\) [(]et il existe une partie ouverte \(U' \subset V'\) contenant \(Z\), […] pour que \(U'\times_X Z \xrightarrow{\ \sim\ } Z' \xrightarrow{\ \sim\ } Z\).

Dém. OPS \(X\) affine, […] hypothèse […] par localisation La condition c) équivaut : […] des conditions

\(c_1\)) \(V'\) schématiquement dense dans \(X'\),

\(c_2\)) \(\hat{V'}\) schématiquement dense dans \(U'\), i.e.[…]

Le schéma des sous-groupes finis de rang \(p^n\) de \(\mathbb{G}_a\)

2\(\mathbb{F}_p\), \(\mathbb{G}_a = \mathbb{G}_{a\,\mathbb{F}_p}\), \(n \in \mathbb{N}\), \(X_n\) schéma des sous-groupes finis de rang \(p^n\) de \(\mathbb{G}_a\), \[\mathbb{E}^n = \mathbb{E}^n_{\mathbb{F}_p} \xrightarrow{\ \varphi_n\ } X_n\] \[a = (a_0, \dots, a_{n-1}) \longmapsto \operatorname{Ker}(f_a)\] \[f_a : \mathbb{G}_a \longrightarrow \mathbb{G}_a, \qquad f_a(x) = x^{p^n} + a_{n-1}x^{p^{n-1}} + \dots + a_1 x^p + a_0 x .\]

Lemme. \(\varphi_n\) est une […] [immersion fermée] surjective, donc induit \(\mathbb{E}^n \xrightarrow{\ \sim\ } X_{n\,\mathrm{réd}}\). le correctif « immersion fermée » est porté au-dessus d'un mot biffé

a) Surjectif : il suffit de prouver que \(\mathbb{E}^n \to X_n(k)\) surj. si \(k\) alg. clos. Or si \(H \subset \mathbb{G}_{a,k}\), \(H \in X_n(k)\) i.e. \(H\) fini de rang \(p^n\), […] \[H = \alpha_p^r \times (\mathbb{Z}/p)^s_k, \qquad r+s = n .\] Soit \(\xi_1, \dots, \xi_s\) base de \(H(k)\) sur \(\mathbb{F}_p\). \(H^0\), \(H(k)_k\) On a \(H(k)_k = \operatorname{Ker}(f_\alpha)\), \(\alpha \in \mathbb{E}^s_k\), à justifier : \[\alpha = (\alpha_0, \dots, \alpha_{s-1}), \qquad f_\alpha(x) = x^{p^s} + \alpha_{s-1}x^{p^{s-1}} + \dots + \alpha_1 x^{p} + \alpha_0 x .\] Considérons alors \[f : \mathbb{G}_a \longrightarrow \mathbb{G}_a, \qquad f = f_\alpha \circ \mathrm{Frob}^r\] \[f(x) = x^{p^{r+s}} + \alpha_{s-1} x^{p^{r+s-1}} + \dots + \alpha_0 x^{p^r}\] il annote les coefficients : \(a_{r+s-1}\), \(a_r\), et \(a_{r-1} = \dots = a_0 = 0\) On a \[\operatorname{Ker} f = f_\alpha^{-1}(\alpha_{p^r}) \supset H(k)_k \cdot \alpha_{p^r}\] sous \(\alpha_{p^r}\) il écrit « \(\operatorname{Ker}\mathrm{Frob}^r\) » et comme les \(2\) membres sont de […] rang \(p^{r+s} = p^n\), l'inclusion \(\supset\) est une égalité.

b) Mono. Soient […] \(k\) \(\mathbb{F}_p\)-alg., \(a, b \in \mathbb{E}^n\) tels que \(\varphi_n(a) = \varphi_n(b)\), i.e. \(\operatorname{Ker} f_a = \operatorname{Ker} f_b\) ; prouvons \(f_a = f_b\) (i.e. \(a = b\)) […]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
H \arrow[r, hook] & \mathbb{G}_{a,k} \arrow[r, bend left=20, "f_a"] \arrow[r, bend right=20, "f_b"'] \arrow[rd, "g_a"'] & \mathbb{G}_{a,k} \\
 & & \mathbb{G}_{a,k}/H
\end{tikzcd}

la seconde flèche descendante porte les deux noms \(g_a\), \(g_b\)

\(g_b = u\,g_a\) donc \(f_b = u f_a\), \(u \in \operatorname{Aut}(\mathbb{G}_{a,k})\). Il faut prouver \(u = \operatorname{id}_{\mathbb{G}_a}\). Clair si \(k\) réduit, car \(\operatorname{Aut}(\mathbb{G}_a) = k^*\)

3Cas général : OPS \(k\) noethérien, et que \(J\) idéal […] de carré nul, \(k_0 = k/J\), […] \(u_0 = {}\)[…]

Lemme. Soit \(a \in \mathbb{E}^n\), \(u \in \operatorname{Aut}(\mathbb{G}_{a,k})\) tel que \(u \circ f_a\) soit de la forme \(f_b\) \((b \in k^n)\), alors \(u = \operatorname{id}_{\mathbb{G}_{a,k}}\).

Cas général : OPS \(k\) noethérien, \(J\) idéal de carré nul et \(u\) tel que \(u_0 = \operatorname{id}_{\mathbb{G}_{a,k_0}}\) \((k_0 = k/J)\). Alors \[u(x) = \bigl(x + c_1 x^{p} + c_2 x^{p^2} + \dots + c_N x^{p^N}\bigr), \qquad c_i \in J\] il écrit d'abord \(c_0 x\) puis ramène le coefficient de \(x\) à \(1\) ; voir la fin de la page \[\begin{align} u \circ f_a(x) &= c_0\bigl(x^{p^n} + a_{n-1}x^{p^{n-1}} + a_{n-2}x^{p^{n-2}} + \dots + a_1 x^p + a_0 x\bigr) \notag \\ &\quad {} + c_1\bigl(x^{p^{n+1}} + a_{n-1}^{p} x^{p^{n}} + \dots + a_0^{p} x^{p}\bigr) \notag \\ &\quad {} + c_2\bigl(x^{p^{n+2}} + a_{n-1}^{p^2} x^{p^{n+1}} + \dots + a_0^{p^2} x^{p^2}\bigr) \notag \\ &\quad \dots \notag \\ &\quad {} + c_N\bigl(x^{p^{n+N}} + a_{n-1}^{p^N} x^{p^{n+N-1}} + \dots + a_0^{p^N} x^{p^N}\bigr) \notag \end{align}\] Le coeff. de \(x^{p^{n+N}}\) dans l'expression […] est \(c_N x^{p^{n+N}}\), donc pour \(N \geqslant 1\), on doit avoir \(c_N = 0\). On en déduit de proche en proche \(c_{N-1} = 0, \dots, c_1 = 0\). Donc \(u(x) = c_0(x) = c_0 x^{p^n}\) […], et il faut aussi \(c_0 = 1\). cqfd.

c) \(\varphi_n\) est propre. […] il faut prouver […] […]

Lemme. Soit \(S\) un trait sur \(\mathbb{F}_p\), \(H \subset \mathbb{G}_{a,S}\), \(H \in X_n(S)\) i.e. \(H\) plat fini \(/S\) de rang \(p^n\) ; supposons que \(H_\eta = \operatorname{Ker} f_{a_\eta}\), \(a_\eta \in K^n\) \((K = k(\eta))\), alors \(a_\eta \in V^n\) et […] \(H = \operatorname{Ker}\bigl(f_a : \mathbb{G}_{a,S} \to \mathbb{G}_{a,S}\bigr)\). \(V\) est l'anneau de valuation du trait \(S\)

4Supposons que \(a_\eta = (a_0, a_1, \dots, a_{n-1})\) soit \(\notin V^n\), […] soit \(\nu = -\inf \operatorname{val}(a_i)\), \(\pi\) uniformisante de \(V\), soit \(b = \pi^\nu a = (\pi^\nu a_0, \dots, \pi^\nu a_{n-1})\), de sorte que les \(b_i = \pi^\nu a_i\) soit \((0 \leqslant i \leqslant n-1)\) soient \(\in V\) et l'un est une unité. On a, si \[f(x) = \pi^\nu x^{p^n} + b_{n-1}x^{p^{n-1}} + \dots + b_1 x^p + b_0 x\] \[f : \mathbb{G}_{a,S} \longrightarrow \mathbb{G}_{a,S}\] \[H_\eta = \operatorname{Ker} f_\eta .\] Par ailleurs \(f\) est […] fid. plat — car on […] sur les fibres : fibre par fibre, et sur la fibre spéciale ceci provient du fait que \(f_s\) n'est pas nul (car un des coeff. \(b_{i s}\) est \(\neq 0\)). Donc \(\operatorname{Ker} f\) est un sous-schéma en groupes [fini] plat de \(\mathbb{G}_{a,S}\), de fibre générique \(H_\eta\), donc coïncide avec \(H\) Donc (qui est l'adhérence schématique de \(H_\eta\) dans \(\mathbb{G}_{a,S}\)). Donc \(\operatorname{Ker} f_s\) est de rang \(p^n\), or il est de rang \(p^{n-i}\) si \(b_{i,s}\) est le premier des \(b_{0,s}, b_{1,s}, \dots\) qui soit non nul. C'est absurde.

Lemme. Soit \(X_n^{\text{ét}} \subset X_n\) l'ouvert correspondant à justifier aux sous-schémas en groupes étales de \(\mathbb{G}_a\). Alors \(\varphi_n\) induit iso \[\mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1} \xrightarrow{\ \sim\ } X_n^{\text{ét}} .\]

5(on identifie \(\mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1}\) à l'ouvert de \(\mathbb{E}^n\) dont les […] \(k\)-points sont les \((a_0, \dots, a_{n-1}) \in k^n\) tels que \(a_0 \in k^*\) […]).

Question. \(X_n\) est-il réduit (i.e. immersion \(\subset \mathbb{E}^n\)) ? Ou en contient l'un de ses points réduits […] il réduit : \(X_n^{\mathrm{réd}} \simeq \mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1}\) ?

Cas \(n = 1\), \(X_1\) est-il réduit [i.e. lisse] au point \(0\) ? Il revient au même de dire que l'espace tangent de Zariski de \(X_1\) en \(0\) est de dim \(1\) (à priori c'est de dim \(\geqslant 1\)). Donc Il faut étudier les points de \(X_0\) à valeurs dans \(k = \mathbb{F}_p[J]/J^2\) se réduisant suivant \(0\), i.e. les sous-groupes plats \(H\) de \(\mathbb{G}_{a,k}\) tels que \(H_0 = \alpha_p\). \(k\) est l'algèbre des nombres duaux ; la lecture de la barre de fraction est douteuse

\[\begin{array}{lll} H \subset G & H_0 \subset G_0 \to K_0 \simeq G_0/H_0 & \\ G_0 & \overline{H_0} \subset G & \overline{K_0} \simeq G/\overline{H_0} \simeq \overline{G_0}/\overline{H_0} \end{array}\] entre \(G_0\) et \(K_0\) de la première ligne, un mot biffé et illisible \[K = G/H \longrightarrow \text{une part.\ de } K_0 = G_0/H_0\] défini par une extension de \(K_0\) par \(J\,K_0\) (les splittings correspondant aux […] de \(\overline{K_0} = G/\overline{H_0}\), \(K_0 = G/H\) […]) qui partagent […] l'heure identique) […] ; Zariski et […] ; plat de […] ; […] […] en raison de cette extension par \(G \to K_0\) est l'obstruction : partager \(G \to K_0\) en \(G \to \overline{K_0}\), ou aller si se partage des façons canoniques, […] \(G\) dans cette extension

6[…] splitting, d'où un hom. de \(H_0\) dans \(J K_0\) qui donne l'extension de \(K_0\) par \(J K_0\) plus l'hom. \(G \to K\) […] (donc provenant de […] \(H\)) \[u : H_0 \longrightarrow J K_0 .\] [Ici] \(H_0 = \alpha_p\) \((\subset G_0 = \mathbb{G}_a)\), \(K_0 \simeq \mathbb{G}_a\), \(J K_0 \simeq \mathbb{G}_a\), \(\operatorname{Hom}(\alpha_p, \mathbb{G}_a)\) et […] sont \(\operatorname{Hom}(\alpha_p, \text{faisceau}) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}(J\alpha_p, J\,\text{faisceau})\) donc \(\operatorname{Hom}(H_0, J K_0) \to \operatorname{Hom}(H_0, J K_0)\) iso, donc l'extension \(\overline{K}\) de \(K_0\) est triviale. On trouve l'espace tangent de Zariski \[: \quad \operatorname{Hom}_{\mathbb{F}_p}(H_0, J K_0) .\]

Théorème : \(\mathbb{E}^n \xrightarrow{\ \sim\ } X_n\)

Théorème. \(\varphi_n : \mathbb{E}^n_{\mathbb{F}_p} \longrightarrow X_n\) iso

i.e. si \(S\) est un schéma de car. \(p\), \(H \subset \mathbb{G}_{a,S}\) sous-schéma en groupes fini et plat […] localement libre de rang \(p^n\) alors \[\exists\,! \ \ a = (a_0, \dots, a_{n-1}) \in \mathbb{E}^n(S) = \Gamma(S, \mathcal{O})^n\] tel que \[H = \operatorname{Ker} f_a\] où \[f_a : \mathbb{G}_{a,S} \to \mathbb{G}_{a,S}, \qquad f_a(x) = x^{p^n} + a_{n-1}x^{p^{n-1}} + \dots + a_0 x .\] De plus, \(H\) est étale \(/S\) sss \(a_0 \in \Gamma(S, \mathcal{O})^* = \Gamma(S, \mathcal{O}^*)\).

Le déterminant \(\Delta_n\) et les invariants de \(GL(n,\mathbb{F}_p)\)

7\(\mathbb{E}^n\) sur \(\mathbb{F}_p\), \(\Gamma_n = GL(n, \mathbb{F}_p)_{\mathbb{F}_p} \subset GL(n)_{\mathbb{F}_p}\) opère sur \(\mathbb{E}^n\) \[Q_n = \mathbb{E}^n/\Gamma_n = \operatorname{Spec}(A_n), \qquad A_n = \mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]^{\Gamma_n} .\] Soit \(U_n \subset \mathbb{E}^n\) l'ouvert formé des syst. « linéairement indépendants sur \(\mathbb{F}_p\) », i.e. le plus grand ouvert de \(\mathbb{E}^n\) où le groupe \(\Gamma_n\) opère librement, \(Q_n^0 = U_n/\Gamma_n\).

Lemme. On a […] dans \(\mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]\) \[\det\begin{pmatrix} X_1 & \cdots & X_n \\ X_1^{p} & \cdots & X_n^{p} \\ \vdots & & \vdots \\ X_1^{p^{n-1}} & \cdots & X_n^{p^{n-1}} \end{pmatrix} = \prod_{(\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1}) \in \mathbb{F}_p^{n-1}}\Bigl(X_n + \sum_1^{n-1}\alpha_i X_i\Bigr) \prod_{(\alpha_1, \dots, \alpha_{n-2}) \in \mathbb{F}_p^{n-2}}\Bigl(X_{n-1} + \sum_1^{n-2}\alpha_i X_i\Bigr)\cdots\] \[\cdots \Bigl(\prod_{\alpha_1 \in \mathbb{F}_p}(X_2 + \alpha_1 X_1)\Bigr) X_1 \;=\; \prod_{0 \leqslant j \leqslant n-1}\ \prod_{\alpha \in k^j}\Bigl(X_{j+1} + \sum_{i=1}^{j}\alpha_i X_i\Bigr)\] noté \(\Delta_n(X_1, \dots, X_n)\) le second produit est indexé par \(\alpha \in k^j\) sur le feuillet, là où le premier membre est écrit sur \(\mathbb{F}_p\)

N.B. À un facteur \(\in \mathbb{F}_p^*\) près, le déterminant est le produit des combinaisons linéaires non […] id. nulles des \(X_i\) à coeff. dans \(\mathbb{F}_p\), […] ces combinaisons, modulo […] […] multiplication par un \(c \in \mathbb{F}_p^*\). C'est un polynôme de degré \[1 + p + \dots + p^{n-1} = \frac{p^n - 1}{p-1} = \operatorname{card} \mathbb{P}^n(\mathbb{F}_p)\] le cardinal de \(\mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{F}_p)\) est ce que donne la formule ; il écrit \(\mathbb{P}^n\) donc de degré égal au précédent, \(Q\). En tous cas, les zéros des produits [de chaque facteur \(P_\lambda\) de \(P\)] sont contenus dans celui de \(Q\), \((P_\lambda\) étant premier\()\) […] donc \(P_\lambda\) divise \(Q\), donc (les \(P_\lambda\) étant premiers \(2\) à \(2\) distincts non associés) \(Q\) est divisible par \(P = \prod_\lambda P_\lambda\), donc, étant de même degré, on a \(Q = cP\), \(c \in \mathbb{F}_p^*\). Reste à déterminer \(c\).

8Corollaire. Soit \(k\) corps de car. \(p\), \(\xi = (\xi_1, \dots, \xi_n) \in k^n\). Alors \(\Delta_n(\xi_1, \dots, \xi_n) = 0\) sss \(\xi_1, \dots, \xi_n\) sont lin. dép. sur \(\mathbb{F}_p\).

Corollaire. \(U_n = \mathbb{E}^n_{\Delta_n} = \operatorname{Spec} k[X_1, \dots, X_n]_{\Delta_n}\).

Si \(\xi_1, \dots, \xi_n \in k\) corps de car. \(p\), cherchons \(a = (a_0, \dots, a_{n-1}) \in k^n\) tel que l'on ait \[(*) \qquad \xi_i^{p^n} + a_{n-1}\xi_i^{p^{n-1}} + \dots + a_1 \xi_i^{p} + a_0 \xi_i = 0\] i.e. \[f_a(\xi_i) = 0, \qquad 1 \leqslant i \leqslant n .\] C'est un système de \(n\) équations linéaires […] [en les \(a_i\)] aux seconds membres \(-\xi_i^{p^n}\), dont le déterminant est \(\Delta_n(\xi_1, \dots, \xi_n)\). Sous réserve que celui-ci est inversible (i.e. les \(\xi_i\) engendrent un sous-groupe [fini] (étale) de \(\mathbb{G}_{a,k}\) de rang \(p^n\)) il y a une solution et une seule, donnée par les formules de Cramer \[a_0 = \frac{1}{\Delta_n(\xi)}\det\begin{pmatrix} \xi_1^{p^n} & \cdots & \xi_n^{p^n} \\ \xi_1^{p} & \cdots & \xi_n^{p} \\ \vdots & & \vdots \\ \xi_1^{p^{n-1}} & \cdots & \xi_n^{p^{n-1}} \end{pmatrix} = \frac{\Delta_0(\xi)}{\Delta_n(\xi)}\] \[a_i = \frac{1}{\Delta_n(\xi)}\det\begin{pmatrix} \xi_1 & \cdots & \xi_n \\ \vdots & & \vdots \\ \xi_1^{p^{i-1}} & \cdots & \xi_n^{p^{i-1}} \\ \xi_1^{p^{n}} & \cdots & \xi_n^{p^{n}} \\ \xi_1^{p^{i+1}} & \cdots & \xi_n^{p^{i+1}} \\ \vdots & & \vdots \\ \xi_1^{p^{n-1}} & \cdots & \xi_n^{p^{n-1}} \end{pmatrix} = \frac{\Delta_i(\xi)}{\Delta_n(\xi)}\] modulo les lignes, dont […] suit par suite \[a_{n-1} = \frac{1}{\Delta_n(\xi)}\det\begin{pmatrix} \xi_1 & \cdots & \xi_n \\ \vdots & & \vdots \\ \xi_1^{p^{n-2}} & \cdots & \xi_n^{p^{n-2}} \\ \xi_1^{p^{n}} & \cdots & \xi_n^{p^{n}} \end{pmatrix} = \frac{\Delta_{n-1}(\xi)}{\Delta_n(\xi)}\] les lignes des mineurs sont en partie illisibles ; elles sont restituées ici selon la règle de Cramer que la page énonce, la ligne \(\xi_i^{p^{n}}\) venant remplacer la ligne \(\xi_i^{p^{j}}\) d'indice correspondant

9Lemme. Prenons \(k = \mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]\), \(\xi_i = X_i\), donc les […] \(\Delta_i \in \mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]\) \((0 \leqslant i \leqslant n)\) donc, […] Alors [on a] \[\Delta_n X_i^{p^n} + \Delta_{n-1} X_i^{p^{n-1}} + \dots + \Delta_1 X_i^{p} + \Delta_0 X_i = 0 \qquad (1 \leqslant i \leqslant n) .\] Les \(\Delta_i\) \((0 \leqslant i \leqslant n-1)\) sont divisibles par \(\Delta_n\), soit \[\Delta_i = A_i \Delta_n \qquad 0 \leqslant i \leqslant n-1\] et \[\Delta_0 = \pm\,\Delta_n^{p}\,(-1)^n\] au signe près la puissance de \(\Delta_n\) est ici lue \(p\) ; le corollaire qui suit donne \(\Delta_n^{p-1}\) pour \(A_0\), ce qui est cohérent avec \(\Delta_0 = A_0\Delta_n\) et […] on a donc

Cor. 1. \[X_i^{p^n} + A_{n-1}X_i^{p^{n-1}} + \dots + A_1 X_i^{p} + A_0 X_i = 0 \qquad (1 \leqslant i \leqslant n)\] et les \(A_i \in k[X_1, \dots, X_n]\) \((0 \leqslant i \leqslant n-1)\) sont caractérisés par cette relation. En effet \(A_0 = \pm\,\Delta_n^{p-1}\) au signe près

Cor. 2. Revenons à une […] [corps \(k\) de] car. \(\mathbb{F}_p\). Pour que l'on ait \(\Delta_n(\xi) \neq 0\) i.e. \(\xi_1, \dots, \xi_n\) lin. indép. sur \(\mathbb{F}_p\), il faut et il suffit que \(\Delta_0(\xi) \neq 0\). Cor. 2. Les \(A_i\) sont […] […] des invariants de \(GL(n,\mathbb{F}_p) = \Gamma_n\). La factorisation […] ; \(A_i\) est homogène et de degré […]

Considérons \[\mathbb{E}^n \xrightarrow{\ A_*\ } \mathbb{E}^n\] défini par \(A_0, \dots, A_{n-1}\). Il se factorise en […] […] \[U_n \ \bigl(= \mathbb{E}^n_{\Delta_n}\bigr) = A_*^{-1}\bigl(\mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1}\bigr)\] et \(A_*\) induit […] iso

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathbb{E}^n \arrow[rr, "A_*"] \arrow[rd, "\mathrm{can}"'] & & \mathbb{E}^n \\
 & Q_n \arrow[ru, "\varphi_n"'] &
\end{tikzcd}

et induit Ceci dit.

10Puis \[\varphi_n^{-1}\bigl(\underbrace{\mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1}}_{(a_0, \dots, a_{n-1}) \text{ tels que } a_0 \text{ inv.}}\bigr) = Q_n^0\] et \[Q_n^0 \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1} .\] En effet [[]Il est immédiat que \(Q_n^0 \simeq\) « sous-groupes finis étales de \(\mathbb{G}_a\) de rang \(p^n\) », ce qui donne une interprétation géométrique au foncteur constant \(\mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1}\), en termes de noyaux d'itérés \(f_a\) […][]]

En effet, on a un foncteur hom. en sens inverse \[Q_n^0 \longleftarrow \mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1} \subset \mathbb{E}^n\] \[f_a \longleftarrow a\]

Thm. \(Q_n \longrightarrow \mathbb{E}^n\) est un isomorphisme, ou d'autres formes \[\mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]^{\Gamma_n} \simeq \mathbb{F}_p[A_0, \dots, A_{n-1}] .\]

Dès lors déjà que \(Q_n \to \mathbb{E}^n\) est birationnel, il suffit de prouver qu'il est fini ou même propre […] \(Q_n\) est intègre et \(\mathbb{E}^n\) normal, en conclure que c'est un iso. Il suffit de prouver Ou aussi il suffit […] de prouver que \(Q_n \to \mathbb{E}^n\) est quasi-fini (car on a une immersion ouverte par le

11« Main Theorem » de Zariski) et surjectif ; et il suffit de prouver la \(=\) chose pour \(\mathbb{E}^n \xrightarrow{\ A_*\ } \mathbb{E}^n\), donc prouver que pour \(k\) corps algébriquement clos, l'application Surjectivité \[k^n \xrightarrow{\ A_*\ } k^n\] est surjective à fibres finies.

1) Surjection. Soit \(a = (a_0, \dots, a_{n-1}) \in k^n\). Si \(a = 0\), c'est l'image de \(0 = (\underbrace{0, \dots, 0}) \in k^n\). […] Sinon, soit \(a_r\) le premier parmi \(a_0, a_1, \dots\) qui soit \(\neq 0\). Considérons \(a_r, \dots, a_{n-1} \in k^{n-r}\), il provient de \(\xi_1, \dots, \xi_{n-r}\) ; on complète par des \(0\) pour avoir \(\xi_1, \dots, \xi_n\), ça marche, grâce au

Lemme. \[\begin{cases} A_0(X_1, \dots, X_{n-1}, 0) = 0 \\ A_i(X_1, \dots, X_{n-1}, 0) = A_{i-1}(X_1, \dots, X_{n-1}) \end{cases} \qquad \text{pour } 1 \leqslant i \leqslant n\] donc \[A_\alpha\bigl[X_1, \dots, X_{n-s}, \underbrace{0, \dots, 0}_{s}\bigr] = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leqslant \alpha < s \\ A_{\alpha - s}(X_1, \dots, X_{n-s}) & \text{si } s \leqslant \alpha \leqslant n \end{cases}\]

2) À fibres finies. En fait, on voit tout de suite que les fibres sont les trajectoires de \(\Gamma_n\). [Ainsi, indépendamment du M. Th. de Zar., on voit que \(Q_n \to \mathbb{E}^n\) est surjectif, radiciel, birationnel.]

N.B. On peut aussi regarder les invariants de \(\mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]\) sous \(S\Gamma_n = SL(n, \mathbb{F}_p)\). Parmi ces invariants il y a \(\Delta_n\) (car […] \(\Delta\) en fait

12\[\Delta_n(u \cdot X) = (\det u)\,\Delta_n(X) \qquad ]\] \(u \in \Gamma_n\) […] coefficient

donc les \(\Delta_i = \Delta_n A_i\) sont aussi des invariants sous \(S\Gamma_n\).

Corollaire. […] \[\mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]^{S\Gamma_n} = \mathbb{F}_p[A_1, \dots, A_{n-1}, \Delta_n]\] \(\bigl(\)et \(\Gamma_n/S\Gamma_n \xrightarrow[\ \det\ ]{\ \sim\ } \mathbb{F}_p^*\) opère sur \(\mathbb{F}_p[A_1, \dots, A_{n-1}, \Delta_n]\) en invariant \(A_1, \dots, A_{n-1}\) et par homothéties sur \(\Delta_n\bigr)\).

Dém. plus \(i^0\) iso On a le diagramme commutatif (défini par l'inclusion \(\mathbb{F}_p[A_1, \dots, A_{n-1}, \Delta_n] \subset \mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]^{S\Gamma_n}\))

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathbb{E}^n/S\Gamma_n \arrow[r, "i^0"] \arrow[d, "p = \mathrm{can}"'] & \mathbb{E}^n \arrow[d, "q"] \\
\mathbb{E}^n/\Gamma_n \arrow[r, "\sim"] & \mathbb{E}^n
\end{tikzcd}

\(q\) défini par l'inclusion \(\mathbb{F}_p[A_1, \dots, A_{n-1}, \Delta_n^{p-1}] \subset \mathbb{F}_p[A_1, \dots, A_{n-1}, \Delta_n]\). Ainsi \(p\) et \(q\) sont des revêtements de groupe \(\mathbb{F}_p^*\), identifiant le but au quotient de la source par ledit groupe, et \(i^0\) est une […] compatible avec ces opérations, donc génériquement bijectif et birationnel, donc (comme \(\mathbb{E}^n\) est normal) un iso par le Main Theorem.

Structures linéaires, racines \((p-1)\)-ièmes, et la version « faisceau »

13Corollaire. Soit \(M \subset \mathbb{G}_{a,S}\) un sous-groupe fini et plat loc. libre de rang \(p^n\), d'où \(a = (a_0, \dots, a_{n-1}) \in \Gamma(S, \mathcal{O})^n\) tel que \(M = \operatorname{Ker} f_a\), [\(a_0\) inversible.] On a alors une correspondance précise biunivoque entre l'ens. des structures spéciales linéaires (sur \(\mathbb{F}_p\)) de \(M\), et l'ens. des racines \((p-1)\)-ièmes de \(a_0\). On aura : \(\bigl(\overset{n}{\Lambda}_{\mathbb{F}_p} M\bigr)^*\) s'identifie à : \((\mathbb{F}_p^*)_S\)-torseur des racines \((p-1)\)-ièmes de \(a_0\), i.e. à l'image inverse de \(a_0 \in \Gamma(S, \mathcal{O})^*\) par \(\mathbb{G}_m \xrightarrow{\ x \mapsto x^{p-1}\ } \mathbb{G}_m\), qui est un torseur sous \(\mu_{p-1,S} \simeq (\mathbb{F}_p^*)_S\).

N.B. […] La donnée d'un sous-groupe fini […] \(M\) de rang \(n\) sur \(\mathbb{F}_p\), sur \(S\), équivaut : la donnée de \(E\) loc. libre de rang \(n\), avec iso \[E'^{(p)} \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ u\ } E .\] (On prend \(E \simeq M \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S\), on retrouve \(M\) comme \(M = \operatorname{Ker}\bigl(V(E) \xrightarrow{\ \operatorname{id} - u \circ F_E\ } V(E)\bigr)\).) La donnée d'un hom. \(M \to \mathbb{G}_a\) équivaut à la donnée d'un hom. \(\mathcal{O}\)-lin. \(E \to \mathcal{O}_S\), i.e. d'une section \(\xi\) de \(\check{E}\). Notons que \(\check{E}\) est aussi muni d'une structure \(\check{E}^{(p)} \xrightarrow{\ \check{u}\ } \check{E}\).

14Pour une section \(\xi\) de \(\check{E}\) (lié à un hom. \(\varphi : M \to \mathbb{G}_a\)) on peut considérer la section \[\xi^{(p)} \overset{\text{df}}{=} u\bigl(\xi^{(F)}\bigr)\] par linéarité et par itération les \(\xi^{(p^i)}\). Telles Elles correspondent aux composés de \(\varphi : M \to \mathbb{G}_a\) avec \(F_{\mathbb{G}_a} : \mathbb{G}_a \to \mathbb{G}_a\), et [les] itérés \(F^i_{\mathbb{G}_a}\).

Considérons \[\xi \wedge \xi^{(p)} \wedge \dots \wedge \xi^{(p^{n-1})} \in \Gamma\bigl(\overset{n}{\Lambda}\check{E}\bigr) .\] On trouve ainsi une application polynomiale au-dessous de […] \[\Delta^E_n : \check{E} \longrightarrow \overset{n}{\Lambda}\check{E}\] homogène de degré \(1 + p + \dots + p^{n-1} = \dfrac{p^n - 1}{p - 1}\), d'où […] \[\Delta^E_n : V(E) \longrightarrow V\bigl(\overset{n}{\Lambda}E\bigr)\] sous les deux membres il écrit \(W(\check{E})\) et \(W(\overset{n}{\Lambda}\check{E})\) Pour […] degré […] Considérons l'image inverse dans \(V(E)\) de la section nulle de \(V(\overset{n}{\Lambda}E)\) ; […] c'est un diviseur de Cartier relatif, dont le complémentaire \(V(E)^0\) est un ouvert schém. dense. Si \(\xi\) est une section de cet ouvert, les \(\xi, \xi^{(p)}, \dots, \xi^{(p^{n-1})}\) forment une base de \(\check{E}\), et on peut écrire \[\xi^{(p^n)} + A_{n-1}(\xi)\,\xi^{(p^{n-1})} + \dots + A_0(\xi)\,\xi = 0\]

15avec des \(A^E_i(\xi)\) \((0 \leqslant i \leqslant n-1)\) uniquement déterminés. On trouve ainsi des hom. \[A^E_i \in \Gamma\bigl(V(E)^0, \mathcal{O}_{V(E)^0}\bigr) \quad \text{i.e.} \quad A^E_i : V(E)^0 \longrightarrow \mathbb{G}_{a,S}\] uniquement déterminés par les conditions précédentes. On peut les interpréter comme des éléments de \[\underline{\operatorname{Sym}}^\bullet(E)_{\Delta^E_n} .\] \(A_i\) est homogène de degré \(p^i\)

Ceci dit, on trouve que les \(A_i\) sont des sections de \(\underline{\operatorname{Sym}}(E)\), i.e. sont définis sur \(V(E)\) tout entier ; bien entendu ils y sont caractérisés par les identités précédentes […]. On a encore \[A^E_0 = \bigl(\Delta^E_n\bigr)^{p-1}\,(\pm 1)\] [[]ceci a un sens, grâce à : \(\bigl(\overset{n}{\Lambda}\check{E}\bigr)^{p-1} \simeq \mathcal{O}_S\), i.e. \(\bigl(\overset{n}{\Lambda}\check{E}\bigr)^{p} = \overset{n}{\Lambda}\check{E}'^{(p)} \simeq \bigl(\overset{n}{\Lambda}\check{E}\bigr)\)[]]

N.B. […] Supposons que \(\xi\) soit une section de \(V(E)^0\). Alors [Alors] les \(\xi^{(p^i)}\) \((0 \leqslant i \leqslant n-1)\) forment une base de \(\check{E}\), qui s'identifie à \(\mathcal{O}_S^n\), avec le choix de […] base […] \[e_0^{(p)} = e_1, \quad e_1^{(p)} = e_2, \quad \dots, \quad e_{n-2}^{(p)} = e_{n-1}, \quad \text{et}\]

16\[e_{n-1}^{(p)} = -\Bigl(\underbrace{A_0(\xi)}_{a_0}\,e_0 + \dots + \underbrace{A_{n-1}(\xi)}_{a_{n-1}}\,e_{n-1}\Bigr)\] i.e. on trouve la matrice \[\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & & \vdots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 & \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix}\] la dernière colonne est en partie recouverte de ratures ; seuls \(-a_0\), \(a_1\) et \(-a_{n-1}\) se lisent avec certitude par l'application […] précédente. Ainsi […] […] retrouve-t-on que le choix d'un […]

Il dresse ensuite un tableau à deux colonnes, chacune de trois étages reliés par des flèches montantes, les deux colonnes étant reliées par des inclusions \(\subset\) de gauche à droite.

Colonne de gauche — en haut : \((a_0, \dots, a_{n-1})\), \(a_0\) inv. ; au milieu : sous-groupes finis étales de \(\mathbb{G}_a\) ; en bas : \(E\) loc. libre \(/S\) avec \(\check{E}^{(p)} \simeq \check{E}\), et section \(\xi\) de \(\check{E}\) telle que \(\xi, \xi^{(p)}, \dots, \xi^{(p^{n-1})}\) soit une base.

Colonne de droite — en haut : \((a_0, \dots, a_n)\) ; au milieu : sous-groupes finis loc. libres de rg \(p^n\) de \(\mathbb{G}_a\) ; en bas : \(F\) loc. libre de rg \(n\) avec \(F^{(p)} \to F\) (pas nécess. iso) et \(\xi \in \Gamma F\) telle que \(\xi, \xi^{(p)}, \dots, \xi^{(p^{n-1})}\) base.

la flèche montante du bas vers le milieu, dans la colonne de droite, est suivie d'un « ? » : c'est l'implication qu'il ne tranche pas. Une accolade court du bas de la colonne de droite vers le haut, annotée « trivial ? »

Descente le long d'un pincement

18

\begin{tikzcd}
X' \arrow[d] \\ X
\end{tikzcd}

déduit de \(X'\) en « pinçant » \(a\) et \(b\)

\[H \subset \mathbb{G}_{a,X} = \operatorname{Ker}\Bigl(\mathbb{G}_{a,X} \xrightarrow{\ x^{p^n} + a_{n-1}x^{p^{n-1}} + \dots + a_0 x\ } \mathbb{G}_{a,X}\Bigr)\] \[H' \subset \mathbb{G}_{a,X'}, \qquad H'_a = H'_b, \qquad c_i(a) = c_i(b)\] \[\cdot \longrightarrow H \longrightarrow \mathbb{G}_{a,X} \longrightarrow \mathbb{G}_{a,X} \longrightarrow \cdot\] \(\varphi|\hat{H} = 0\) i.e. \(\hat{\varphi}\) se […] factorise en \(\psi\) deux flèches partent de ce point : l'une, notée \(q\), descend vers \(\mathbb{G}_{a,X}\) ; l'autre, en pointillé, notée \(\hat{r}\), y remonte \[(\operatorname{Ker}\varphi')_{y'} = (\operatorname{Ker}\varphi)_y = N'_y, \qquad \overline{N_y} = N'\] adhérence schématique dans \(\mathbb{G}_{a,X'}\) \[N' \subset H', \qquad \hat{N'} \simeq \hat{H'} \quad\text{i.e.}\quad \mathbb{G}_{a,X'}/N' \longrightarrow \mathbb{G}_{a,X'} \ \ \text{ét.}\] Mais supposons \(N'(a) \neq N'(b)\).

\[N' \subset H' \subset \mathbb{G}_{a,X'}\] \[H'(a) = H'(b), \qquad N'(a) \neq N'(b)\] \[\hat{N'} \simeq \hat{H'} \quad\text{i.e.}\quad \mathbb{G}_{a,X'}/N' \longrightarrow \mathbb{G}_{a,X'}/H' \ \ \text{ét.}\] \[\cdot \to N' \to \mathbb{G}_{a,X'} \xrightarrow{\ f_{\alpha'}\ } \mathbb{G}_{a,X'} \to \cdot \qquad \xrightarrow{\ u_\lambda\ } \mathbb{G}_{a,X}\] \(u_\lambda\) est annoté « hom. Verschiebung » \[\cdot \to K' \to \mathbb{G}_{a,X'} \xrightarrow{\ f_{\beta'}\ } \mathbb{G}_{a,X'} \to \cdot\] une flèche \(u_{\lambda'}\) part de cette seconde ligne, et une flèche en pointillé rejoint \(\psi\) ; le point d'arrivée est noyé sous une tache d'encre \[u_{\lambda'} f_{\alpha'} = \lambda' f_{\alpha'}\] […] pour \(i : X\) […] la fin de la page est une esquisse : les deux suites exactes et les flèches qui les relient sont tracées, mais l'argument qui devait les comparer n'est pas écrit

Fragments au crayon

19les deux feuillets qui suivent sont au crayon, d'un tracé pâle et sans rédaction suivie : ce sont des brouillons de calcul. Ce qui se lit est donné ici ; le reste est laissé […]

[…] \[X^{p^n} + A_1(X_1, \dots, X_n)\,X^{p^{n-1}} + A_2(X_1, \dots, X_n)\,X^{p^{n-2}} + \dots + A_{n-1}(X_1, \dots, X_n)\,X\] ici les \(A_i\) sont indexés en sens inverse de celui des pages 9 à 15

Un bloc écrit dans le sens de la hauteur occupe la marge gauche ; on y lit \(H_0\), \(\mathbb{G}_0\), \(K_0 = \mathbb{G}_0/H_0\), \(G/H_0 = \overline{G_0}/\overline{H_0} = \overline{K_0}\), \(G/H = K\), \(\mathbb{G}_0 \to K_0 \Rightarrow K_0\), puis \(\operatorname{Hom}(\alpha_{p^r}, \mathbb{G}_a) = \operatorname{Hom}(\alpha_p, \ldots)\), dont le second argument est […], puis \(V_F\) suivi d'un terme […], \(F^r = 0\), \(\mathbb{F}_p(\mathbb{F})/F^r\). Le reste du bloc est […]. ce bloc reprend, au crayon, le calcul d'espace tangent des pages 5 et 6

\[X_1 e_1 + \dots + X_n e_n, \qquad X_1^{p} e_1, \ \dots, \qquad X_1^{p^{n-1}} e_1, \ \dots\] \[X_1^{p^n} + a_1 X_1^{p^{n-1}} + a_2 X_1^{p^{n-2}} + \dots + a_n X_1 = 0\] \[f^{p^n} + a_1 f^{p^{n-1}} + \dots + a_{n-1} f^{p} + a_n f = 0\] \[f, \ f^{p}, \ \dots, \ f^{p^{n-1}} \qquad\text{en regard de}\qquad e_1, \ e_2, \ \dots, \ e_n\] \[e_1^{(p)} = e_2, \quad e_2^{(p)} = e_3, \quad \dots, \quad e_{n-1}^{(p)} = e_n, \quad e_n^{(p)} = -\bigl(a_1 e_n + a_2 e_{n-1} + \dots + a_n e_1\bigr)\] \(a_n \neq 0\) \[M \ \text{loc.\ lib.\ t.f.}, \qquad M^{(p)} \xrightarrow{\ \sim\ } M, \qquad M \longrightarrow 0\] \[e_1, \dots, e_n \ ; \qquad e_i \longmapsto \sum_j \lambda_{ij} e_j\] \[M \longrightarrow M^{(p)} \longrightarrow M\]

20\[\bigl(f^{p-1} - g^{p-1}\bigr) X^{p^2} - \bigl(f^{p^2} - g^{p^2}\bigr) X^{p} + \bigl(f^{p^2} g^{p-1} - g^{p^2} f^{p-1}\bigr) X\] les exposants de cette ligne sont les plus incertains du feuillet ; il souligne les trois coefficients par des accolades \[\begin{cases} f^{p^3} + a f^{p^2} + b f^{p} + c f = 0 \\ g^{p^3} + a g^{p^2} + b g^{p} + c g = 0 \\ h^{p^3} + a h^{p^2} + b h^{p} + c h = 0 \end{cases}\] \[\det\begin{pmatrix} X_1^{p^{n-1}} & \cdots & X_1^{p} & X_1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ X_n^{p^{n-1}} & \cdots & X_n^{p} & X_n \end{pmatrix}\] \(1 + p + \dots + p^{n-1} = \dfrac{p^n - 1}{p-1}\) […] \[\prod_{\mathbb{P}^n(\mathbb{F}_p)} \bigl(\lambda_1 X_1 + \dots + \lambda_n X_n\bigr), \qquad (\lambda_1, \dots, \lambda_n)\] \[\prod_{i=1}^{n} \Biggl(\ \prod_{\lambda \in \mathbb{F}_p^{n-i}} \bigl(X_i + \lambda_1 X_{i+1} + \dots + \lambda_{n-i} X_n\bigr)\Biggr)\] \[X^{p^2} Y^{p} - Y^{p^2} X^{p}, \qquad X^{p^2} Y - Y^{p^2} X\] \[\frac{\bigl(X^{p}Y - Y^{p}X\bigr)^{p}}{X^{p}Y - Y^{p}X} = \bigl(X^{p}Y - Y^{p}X\bigr)^{p-1}\] \((X \wedge Y)\) \[\left(\frac{X}{Y}\right)^{p^2} = \frac{X}{Y}\] […]