Fonds Grothendieck, cote n° 160, pages 1–20

Un lemme d'algébrisation le long d'un fermé

\begin{tikzcd} X' \arrow[d, "p"] \\ X \end{tikzcd}

Lemme. Soit f : X' \to X morphisme ~~propre~~ de type fini de schémas noethériens, V' l'ouvert des points de X' où f est étale, Z une partie fermée de X, \hat{X} le complété formel de X le long de Z, q (ou (q_n)) une section formelle de X' sur X (i.e. une collection de sections des X'\times_X X_n sur les X_n), Z' = q_\bullet(\hat{X}_\bullet), = q(\ldots) (qui est une sous-section de X' , avec p|Z' : Z' \simeq Z).

1) On peut U_Z = q^{-1}(V') \longleftarrow V' \cap Z' . la flèche est tracée vers la gauche sur le feuillet

a) X_n \cap U_Z = q_n^{-1}(V') est schématiquement dense dans \hat{X}

b) X' est l'adhérence schématique de la famille des q_n(X_n) \subset X',

c) La famille des V'_n (est schématiquement dense dans X') i.e. en un \hat{V'}

2) Cas où V' \supset Z, i.e. f est étale aux points de Z (et il existe une partie ouverte U' \subset V' contenant Z, pour que U'\times_X Z \xrightarrow{\ \sim\ } Z' \xrightarrow{\ \sim\ } Z.

Dém. ~~OPS X affine, hypothèse par localisation~~ La condition c) équivaut : des conditions

c_1) V' schématiquement dense dans X',

c_2) \hat{V'} schématiquement dense dans U', i.e.

Le schéma des sous-groupes finis de rang p^n de \mathbb{G}_a

\mathbb{F}_p, \mathbb{G}_a = \mathbb{G}_{a\,\mathbb{F}_p}, n \in \mathbb{N}, X_n schéma des sous-groupes finis de rang p^n de \mathbb{G}_a, \mathbb{E}^n = \mathbb{E}^n_{\mathbb{F}_p} \xrightarrow{\ \varphi_n\ } X_n a = (a_0, \dots, a_{n-1}) \longmapsto \operatorname{Ker}(f_a) f_a : \mathbb{G}_a \longrightarrow \mathbb{G}_a, \qquad f_a(x) = x^{p^n} + a_{n-1}x^{p^{n-1}} + \dots + a_1 x^p + a_0 x .

Lemme. \varphi_n est une immersion fermée surjective, donc induit \mathbb{E}^n \xrightarrow{\ \sim\ } X_{n\,\mathrm{réd}}. le correctif « immersion fermée » est porté au-dessus d'un mot biffé

a) Surjectif : il suffit de prouver que \mathbb{E}^n \to X_n(k) surj. si k alg. clos. Or si H \subset \mathbb{G}_{a,k}, H \in X_n(k) i.e. H fini de rang p^n, H = \alpha_p^r \times (\mathbb{Z}/p)^s_k, \qquad r+s = n . Soit \xi_1, \dots, \xi_s base de H(k) sur \mathbb{F}_p. H^0, H(k)_k On a H(k)_k = \operatorname{Ker}(f_\alpha), \alpha \in \mathbb{E}^s_k, à justifier : \alpha = (\alpha_0, \dots, \alpha_{s-1}), \qquad f_\alpha(x) = x^{p^s} + \alpha_{s-1}x^{p^{s-1}} + \dots + \alpha_1 x^{p} + \alpha_0 x . Considérons alors f : \mathbb{G}_a \longrightarrow \mathbb{G}_a, \qquad f = f_\alpha \circ \mathrm{Frob}^r f(x) = x^{p^{r+s}} + \alpha_{s-1} x^{p^{r+s-1}} + \dots + \alpha_0 x^{p^r} il annote les coefficients : a_{r+s-1}, a_r, et a_{r-1} = \dots = a_0 = 0 On a \operatorname{Ker} f = f_\alpha^{-1}(\alpha_{p^r}) \supset H(k)_k \cdot \alpha_{p^r} sous \alpha_{p^r} il écrit « \operatorname{Ker}\mathrm{Frob}^r » et comme les 2 membres sont de rang p^{r+s} = p^n, l'inclusion \supset est une égalité.

b) Mono. Soient k \mathbb{F}_p-alg., a, b \in \mathbb{E}^n tels que \varphi_n(a) = \varphi_n(b), i.e. \operatorname{Ker} f_a = \operatorname{Ker} f_b ; prouvons f_a = f_b (i.e. a = b)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] H \arrow[r, hook] & \mathbb{G}_{a,k} \arrow[r, bend left=20, "f_a"] \arrow[r, bend right=20, "f_b"'] \arrow[rd, "g_a"'] & \mathbb{G}_{a,k} \\ & & \mathbb{G}_{a,k}/H \end{tikzcd}

la seconde flèche descendante porte les deux noms g_a, g_b

g_b = u\,g_a donc f_b = u f_a, u \in \operatorname{Aut}(\mathbb{G}_{a,k}). Il faut prouver u = \operatorname{id}_{\mathbb{G}_a}. Clair si k réduit, car \operatorname{Aut}(\mathbb{G}_a) = k^*

Cas général : ~~OPS~~ k noethérien, et que J idéal de carré nul, k_0 = k/J, u_0 = {}

Lemme. Soit a \in \mathbb{E}^n, u \in \operatorname{Aut}(\mathbb{G}_{a,k}) tel que u \circ f_a soit de la forme f_b (b \in k^n), alors u = \operatorname{id}_{\mathbb{G}_{a,k}}.

Cas général : OPS k noethérien, J idéal de carré nul et u tel que u_0 = \operatorname{id}_{\mathbb{G}_{a,k_0}} (k_0 = k/J). Alors u(x) = \bigl(x + c_1 x^{p} + c_2 x^{p^2} + \dots + c_N x^{p^N}\bigr), \qquad c_i \in J il écrit d'abord c_0 x puis ramène le coefficient de x à 1 ; voir la fin de la page \begin{align} u \circ f_a(x) &= c_0\bigl(x^{p^n} + a_{n-1}x^{p^{n-1}} + a_{n-2}x^{p^{n-2}} + \dots + a_1 x^p + a_0 x\bigr) \notag \\ &\quad {} + c_1\bigl(x^{p^{n+1}} + a_{n-1}^{p} x^{p^{n}} + \dots + a_0^{p} x^{p}\bigr) \notag \\ &\quad {} + c_2\bigl(x^{p^{n+2}} + a_{n-1}^{p^2} x^{p^{n+1}} + \dots + a_0^{p^2} x^{p^2}\bigr) \notag \\ &\quad \dots \notag \\ &\quad {} + c_N\bigl(x^{p^{n+N}} + a_{n-1}^{p^N} x^{p^{n+N-1}} + \dots + a_0^{p^N} x^{p^N}\bigr) \notag \end{align} Le coeff. de x^{p^{n+N}} dans l'expression est c_N x^{p^{n+N}}, donc pour N \geqslant 1, on doit avoir c_N = 0. On en déduit de proche en proche c_{N-1} = 0, \dots, c_1 = 0. Donc u(x) = c_0(x) = c_0 x^{p^n} , et il faut aussi c_0 = 1. cqfd.

c) \varphi_n ~~est~~ propre. il faut prouver

Lemme. Soit S un trait sur \mathbb{F}_p, H \subset \mathbb{G}_{a,S}, H \in X_n(S) i.e. H plat fini /S de rang p^n ; supposons que H_\eta = \operatorname{Ker} f_{a_\eta}, a_\eta \in K^n (K = k(\eta)), alors a_\eta \in V^n et H = \operatorname{Ker}\bigl(f_a : \mathbb{G}_{a,S} \to \mathbb{G}_{a,S}\bigr). V est l'anneau de valuation du trait S

Supposons que a_\eta = (a_0, a_1, \dots, a_{n-1}) soit \notin V^n, soit \nu = -\inf \operatorname{val}(a_i), \pi uniformisante de V, soit b = \pi^\nu a = (\pi^\nu a_0, \dots, \pi^\nu a_{n-1}), de sorte que les b_i = \pi^\nu a_i ~~soit~~ (0 \leqslant i \leqslant n-1) soient \in V et l'un est une unité. On a, si f(x) = \pi^\nu x^{p^n} + b_{n-1}x^{p^{n-1}} + \dots + b_1 x^p + b_0 x f : \mathbb{G}_{a,S} \longrightarrow \mathbb{G}_{a,S} H_\eta = \operatorname{Ker} f_\eta . Par ailleurs f est fid. plat — car on sur les fibres : fibre par fibre, et sur la fibre spéciale ceci provient du fait que f_s n'est pas nul (car un des coeff. b_{i s} est \neq 0). Donc \operatorname{Ker} f est un sous-schéma en groupes fini plat de \mathbb{G}_{a,S}, de fibre générique H_\eta, donc coïncide avec H ~~Donc~~ (qui est l'adhérence schématique de H_\eta dans \mathbb{G}_{a,S}). Donc \operatorname{Ker} f_s est de rang p^n, or il est de rang p^{n-i} si b_{i,s} est le premier des b_{0,s}, b_{1,s}, \dots qui soit non nul. C'est absurde.

Lemme. Soit X_n^{\text{ét}} \subset X_n l'ouvert correspondant à justifier aux sous-schémas en groupes étales de \mathbb{G}_a. Alors \varphi_n induit iso \mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1} \xrightarrow{\ \sim\ } X_n^{\text{ét}} .

(on identifie \mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1} à l'ouvert de \mathbb{E}^n dont les k-points sont les (a_0, \dots, a_{n-1}) \in k^n tels que a_0 \in k^* ).

Question. X_n est-il réduit (i.e. immersion \subset \mathbb{E}^n) ? Ou en contient l'un de ses points réduits il réduit : X_n^{\mathrm{réd}} \simeq \mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1} ?

Cas n = 1, X_1 est-il réduit i.e. lisse au point 0 ? Il revient au même de dire que l'espace tangent de Zariski de X_1 en 0 est de dim 1 (à priori c'est de dim \geqslant 1). ~~Donc~~ Il faut étudier les points de X_0 à valeurs dans k = \mathbb{F}_p[J]/J^2 se réduisant suivant 0, i.e. les sous-groupes plats H de \mathbb{G}_{a,k} tels que H_0 = \alpha_p. k est l'algèbre des nombres duaux ; la lecture de la barre de fraction est douteuse

\begin{array}{lll} H \subset G & H_0 \subset G_0 \to K_0 \simeq G_0/H_0 & \\ G_0 & \overline{H_0} \subset G & \overline{K_0} \simeq G/\overline{H_0} \simeq \overline{G_0}/\overline{H_0} \end{array} entre G_0 et K_0 de la première ligne, un mot biffé et illisible K = G/H \longrightarrow \text{une part.\ de } K_0 = G_0/H_0 défini par une extension de K_0 par J\,K_0 (les splittings correspondant aux de \overline{K_0} = G/\overline{H_0}, K_0 = G/H ) qui partagent l'heure identique) ; Zariski et ; plat de ; en raison de cette extension par G \to K_0 est l'obstruction : partager G \to K_0 en G \to \overline{K_0}, ou aller si se partage des façons canoniques, G dans cette extension

splitting, d'où un hom. de H_0 dans J K_0 qui donne l'extension de K_0 par J K_0 plus l'hom. G \to K (donc provenant de H) u : H_0 \longrightarrow J K_0 . Ici H_0 = \alpha_p (\subset G_0 = \mathbb{G}_a), K_0 \simeq \mathbb{G}_a, J K_0 \simeq \mathbb{G}_a, \operatorname{Hom}(\alpha_p, \mathbb{G}_a) et sont \operatorname{Hom}(\alpha_p, \text{faisceau}) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}(J\alpha_p, J\,\text{faisceau}) donc \operatorname{Hom}(H_0, J K_0) \to \operatorname{Hom}(H_0, J K_0) iso, donc ~~l'extension~~ \overline{K} de K_0 est triviale. On trouve l'espace tangent de Zariski : \quad \operatorname{Hom}_{\mathbb{F}_p}(H_0, J K_0) .

Théorème : \mathbb{E}^n \xrightarrow{\ \sim\ } X_n

Théorème. \varphi_n : \mathbb{E}^n_{\mathbb{F}_p} \longrightarrow X_n iso

i.e. si S est un schéma de car. p, H \subset \mathbb{G}_{a,S} sous-schéma en groupes fini et plat localement libre de rang p^n alors \exists\,! \ \ a = (a_0, \dots, a_{n-1}) \in \mathbb{E}^n(S) = \Gamma(S, \mathcal{O})^n tel que H = \operatorname{Ker} f_a où f_a : \mathbb{G}_{a,S} \to \mathbb{G}_{a,S}, \qquad f_a(x) = x^{p^n} + a_{n-1}x^{p^{n-1}} + \dots + a_0 x . De plus, H est étale /S sss a_0 \in \Gamma(S, \mathcal{O})^* = \Gamma(S, \mathcal{O}^*).

Le déterminant \Delta_n et les invariants de GL(n,\mathbb{F}_p)

\mathbb{E}^n sur \mathbb{F}_p, \Gamma_n = GL(n, \mathbb{F}_p)_{\mathbb{F}_p} \subset GL(n)_{\mathbb{F}_p} opère sur \mathbb{E}^n Q_n = \mathbb{E}^n/\Gamma_n = \operatorname{Spec}(A_n), \qquad A_n = \mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]^{\Gamma_n} . Soit U_n \subset \mathbb{E}^n l'ouvert formé des syst. « linéairement indépendants sur \mathbb{F}_p », i.e. le ~~plus grand~~ ouvert de \mathbb{E}^n où le groupe \Gamma_n opère librement, Q_n^0 = U_n/\Gamma_n.

Lemme. On a dans \mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n] \det\begin{pmatrix} X_1 & \cdots & X_n \\ X_1^{p} & \cdots & X_n^{p} \\ \vdots & & \vdots \\ X_1^{p^{n-1}} & \cdots & X_n^{p^{n-1}} \end{pmatrix} = \prod_{(\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1}) \in \mathbb{F}_p^{n-1}}\Bigl(X_n + \sum_1^{n-1}\alpha_i X_i\Bigr) \prod_{(\alpha_1, \dots, \alpha_{n-2}) \in \mathbb{F}_p^{n-2}}\Bigl(X_{n-1} + \sum_1^{n-2}\alpha_i X_i\Bigr)\cdots \cdots \Bigl(\prod_{\alpha_1 \in \mathbb{F}_p}(X_2 + \alpha_1 X_1)\Bigr) X_1 \;=\; \prod_{0 \leqslant j \leqslant n-1}\ \prod_{\alpha \in k^j}\Bigl(X_{j+1} + \sum_{i=1}^{j}\alpha_i X_i\Bigr) noté \Delta_n(X_1, \dots, X_n) le second produit est indexé par \alpha \in k^j sur le feuillet, là où le premier membre est écrit sur \mathbb{F}_p

N.B. À un facteur \in \mathbb{F}_p^* près, le déterminant est le produit des combinaisons linéaires non id. nulles des X_i à coeff. dans \mathbb{F}_p, ces combinaisons, modulo multiplication par un c \in \mathbb{F}_p^*. C'est un polynôme de degré 1 + p + \dots + p^{n-1} = \frac{p^n - 1}{p-1} = \operatorname{card} \mathbb{P}^n(\mathbb{F}_p) le cardinal de \mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{F}_p) est ce que donne la formule ; il écrit \mathbb{P}^n donc de degré égal au précédent, Q. En tous cas, les zéros ~~des produits~~ de chaque facteur P_\lambda de P sont contenus dans celui de Q, (P_\lambda étant premier) donc P_\lambda divise Q, donc (les P_\lambda étant premiers 2 à 2 distincts non associés) Q est divisible par P = \prod_\lambda P_\lambda, donc, étant de même degré, on a Q = cP, c \in \mathbb{F}_p^*. Reste à déterminer c.

Corollaire. Soit k corps de car. p, \xi = (\xi_1, \dots, \xi_n) \in k^n. Alors \Delta_n(\xi_1, \dots, \xi_n) = 0 sss \xi_1, \dots, \xi_n sont lin. dép. sur \mathbb{F}_p.

Corollaire. U_n = \mathbb{E}^n_{\Delta_n} = \operatorname{Spec} k[X_1, \dots, X_n]_{\Delta_n}.

Si \xi_1, \dots, \xi_n \in k corps de car. p, cherchons a = (a_0, \dots, a_{n-1}) \in k^n tel que l'on ait (*) \qquad \xi_i^{p^n} + a_{n-1}\xi_i^{p^{n-1}} + \dots + a_1 \xi_i^{p} + a_0 \xi_i = 0 i.e. f_a(\xi_i) = 0, \qquad 1 \leqslant i \leqslant n . C'est un système de n équations linéaires en les a_i aux seconds membres -\xi_i^{p^n}, dont le déterminant est \Delta_n(\xi_1, \dots, \xi_n). Sous réserve que celui-ci est inversible (i.e. les \xi_i engendrent un sous-groupe fini (étale) de \mathbb{G}_{a,k} de rang p^n) il y a une solution et une seule, donnée par les formules de Cramer a_0 = \frac{1}{\Delta_n(\xi)}\det\begin{pmatrix} \xi_1^{p^n} & \cdots & \xi_n^{p^n} \\ \xi_1^{p} & \cdots & \xi_n^{p} \\ \vdots & & \vdots \\ \xi_1^{p^{n-1}} & \cdots & \xi_n^{p^{n-1}} \end{pmatrix} = \frac{\Delta_0(\xi)}{\Delta_n(\xi)} a_i = \frac{1}{\Delta_n(\xi)}\det\begin{pmatrix} \xi_1 & \cdots & \xi_n \\ \vdots & & \vdots \\ \xi_1^{p^{i-1}} & \cdots & \xi_n^{p^{i-1}} \\ \xi_1^{p^{n}} & \cdots & \xi_n^{p^{n}} \\ \xi_1^{p^{i+1}} & \cdots & \xi_n^{p^{i+1}} \\ \vdots & & \vdots \\ \xi_1^{p^{n-1}} & \cdots & \xi_n^{p^{n-1}} \end{pmatrix} = \frac{\Delta_i(\xi)}{\Delta_n(\xi)} modulo les lignes, dont suit par suite a_{n-1} = \frac{1}{\Delta_n(\xi)}\det\begin{pmatrix} \xi_1 & \cdots & \xi_n \\ \vdots & & \vdots \\ \xi_1^{p^{n-2}} & \cdots & \xi_n^{p^{n-2}} \\ \xi_1^{p^{n}} & \cdots & \xi_n^{p^{n}} \end{pmatrix} = \frac{\Delta_{n-1}(\xi)}{\Delta_n(\xi)} les lignes des mineurs sont en partie illisibles ; elles sont restituées ici selon la règle de Cramer que la page énonce, la ligne \xi_i^{p^{n}} venant remplacer la ligne \xi_i^{p^{j}} d'indice correspondant

Lemme. Prenons k = \mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n], \xi_i = X_i, donc les \Delta_i \in \mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n] (0 \leqslant i \leqslant n) donc, ~~Alors~~ on a \Delta_n X_i^{p^n} + \Delta_{n-1} X_i^{p^{n-1}} + \dots + \Delta_1 X_i^{p} + \Delta_0 X_i = 0 \qquad (1 \leqslant i \leqslant n) . Les \Delta_i (0 \leqslant i \leqslant n-1) sont divisibles par \Delta_n, soit \Delta_i = A_i \Delta_n \qquad 0 \leqslant i \leqslant n-1 et \Delta_0 = \pm\,\Delta_n^{p}\,(-1)^n au signe près la puissance de \Delta_n est ici lue p ; le corollaire qui suit donne \Delta_n^{p-1} pour A_0, ce qui est cohérent avec \Delta_0 = A_0\Delta_n et on a donc

Cor. 1. X_i^{p^n} + A_{n-1}X_i^{p^{n-1}} + \dots + A_1 X_i^{p} + A_0 X_i = 0 \qquad (1 \leqslant i \leqslant n) et les A_i \in k[X_1, \dots, X_n] (0 \leqslant i \leqslant n-1) sont caractérisés par cette relation. ~~En effet~~ A_0 = \pm\,\Delta_n^{p-1} ~~au signe près~~

Cor. 2. Revenons à une corps k de car. \mathbb{F}_p. Pour que l'on ait \Delta_n(\xi) \neq 0 i.e. \xi_1, \dots, \xi_n lin. indép. sur \mathbb{F}_p, il faut et il suffit que \Delta_0(\xi) \neq 0. Cor. 2. Les A_i sont des invariants de GL(n,\mathbb{F}_p) = \Gamma_n. La factorisation ; A_i est homogène et de degré

Considérons \mathbb{E}^n \xrightarrow{\ A_*\ } \mathbb{E}^n défini par A_0, \dots, A_{n-1}. Il se factorise en U_n \ \bigl(= \mathbb{E}^n_{\Delta_n}\bigr) = A_*^{-1}\bigl(\mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1}\bigr) et A_* induit iso

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathbb{E}^n \arrow[rr, "A_*"] \arrow[rd, "\mathrm{can}"'] & & \mathbb{E}^n \\ & Q_n \arrow[ru, "\varphi_n"'] & \end{tikzcd}

~~et induit~~ Ceci dit.

Puis \varphi_n^{-1}\bigl(\underbrace{\mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1}}_{(a_0, \dots, a_{n-1}) \text{ tels que } a_0 \text{ inv.}}\bigr) = Q_n^0 et Q_n^0 \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1} . ~~En effet~~ [Il est immédiat que Q_n^0 \simeq « sous-groupes finis étales de \mathbb{G}_a de rang p^n », ce qui donne une interprétation géométrique au foncteur constant \mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1}, en termes de noyaux d'itérés f_a ]

En effet, on a un ~~foncteur~~ hom. en sens inverse Q_n^0 \longleftarrow \mathbb{E}^* \times \mathbb{E}^{n-1} \subset \mathbb{E}^n f_a \longleftarrow a

Thm. Q_n \longrightarrow \mathbb{E}^n est un isomorphisme, ou d'autres formes \mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]^{\Gamma_n} \simeq \mathbb{F}_p[A_0, \dots, A_{n-1}] .

Dès lors déjà que Q_n \to \mathbb{E}^n est birationnel, il suffit de prouver qu'il est fini ou même propre Q_n est intègre et \mathbb{E}^n normal, en conclure que c'est un iso. ~~Il suffit de prouver~~ Ou aussi il suffit de prouver que Q_n \to \mathbb{E}^n est quasi-fini (car on a une immersion ouverte par le

« Main Theorem » de Zariski) et surjectif ; et il suffit de prouver la = chose pour \mathbb{E}^n \xrightarrow{\ A_*\ } \mathbb{E}^n, donc prouver que pour k corps algébriquement clos, l'application ~~Surjectivité~~ k^n \xrightarrow{\ A_*\ } k^n est surjective à fibres finies.

1) Surjection. Soit a = (a_0, \dots, a_{n-1}) \in k^n. Si a = 0, c'est l'image de 0 = (\underbrace{0, \dots, 0}) \in k^n. Sinon, soit a_r le premier parmi a_0, a_1, \dots qui soit \neq 0. Considérons a_r, \dots, a_{n-1} \in k^{n-r}, il provient de \xi_1, \dots, \xi_{n-r} ; on complète par des 0 pour avoir \xi_1, \dots, \xi_n, ça marche, grâce au

Lemme. \begin{cases} A_0(X_1, \dots, X_{n-1}, 0) = 0 \\ A_i(X_1, \dots, X_{n-1}, 0) = A_{i-1}(X_1, \dots, X_{n-1}) \end{cases} \qquad \text{pour } 1 \leqslant i \leqslant n donc A_\alpha\bigl[X_1, \dots, X_{n-s}, \underbrace{0, \dots, 0}_{s}\bigr] = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leqslant \alpha < s \\ A_{\alpha - s}(X_1, \dots, X_{n-s}) & \text{si } s \leqslant \alpha \leqslant n \end{cases}

2) À fibres finies. En fait, on voit tout de suite que les fibres sont les trajectoires de \Gamma_n. [Ainsi, indépendamment du M. Th. de Zar., on voit que Q_n \to \mathbb{E}^n est surjectif, radiciel, birationnel.]

N.B. On peut aussi regarder les invariants de \mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n] sous S\Gamma_n = SL(n, \mathbb{F}_p). Parmi ces invariants il y a \Delta_n (car \Delta en fait

\Delta_n(u \cdot X) = (\det u)\,\Delta_n(X) \qquad ] u \in \Gamma_n ~~coefficient~~

~~donc les \Delta_i = \Delta_n A_i sont aussi des invariants sous S\Gamma_n.~~

Corollaire. \mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]^{S\Gamma_n} = \mathbb{F}_p[A_1, \dots, A_{n-1}, \Delta_n] \bigl(et \Gamma_n/S\Gamma_n \xrightarrow[\ \det\ ]{\ \sim\ } \mathbb{F}_p^* opère sur \mathbb{F}_p[A_1, \dots, A_{n-1}, \Delta_n] en invariant A_1, \dots, A_{n-1} et par homothéties sur \Delta_n\bigr).

Dém. plus i^0 iso On a le diagramme commutatif (défini par l'inclusion \mathbb{F}_p[A_1, \dots, A_{n-1}, \Delta_n] \subset \mathbb{F}_p[X_1, \dots, X_n]^{S\Gamma_n})

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \mathbb{E}^n/S\Gamma_n \arrow[r, "i^0"] \arrow[d, "p = \mathrm{can}"'] & \mathbb{E}^n \arrow[d, "q"] \\ \mathbb{E}^n/\Gamma_n \arrow[r, "\sim"] & \mathbb{E}^n \end{tikzcd}

q défini par l'inclusion \mathbb{F}_p[A_1, \dots, A_{n-1}, \Delta_n^{p-1}] \subset \mathbb{F}_p[A_1, \dots, A_{n-1}, \Delta_n]. Ainsi p et q sont des revêtements de groupe \mathbb{F}_p^*, identifiant le but au quotient de la source par ledit groupe, et i^0 est une compatible avec ces opérations, donc génériquement bijectif et birationnel, donc (comme \mathbb{E}^n est normal) un iso par le Main Theorem.

Structures linéaires, racines (p-1)-ièmes, et la version « faisceau »

Corollaire. Soit M \subset \mathbb{G}_{a,S} un sous-groupe fini et plat ~~loc. libre~~ de rang p^n, d'où a = (a_0, \dots, a_{n-1}) \in \Gamma(S, \mathcal{O})^n tel que M = \operatorname{Ker} f_a, a_0 inversible. On a alors une correspondance précise biunivoque entre l'ens. des structures spéciales linéaires (sur \mathbb{F}_p) de M, et l'ens. des racines (p-1)-ièmes de a_0. On aura : \bigl(\overset{n}{\Lambda}_{\mathbb{F}_p} M\bigr)^* s'identifie à : (\mathbb{F}_p^*)_S-torseur des racines (p-1)-ièmes de a_0, i.e. à l'image inverse de a_0 \in \Gamma(S, \mathcal{O})^* par \mathbb{G}_m \xrightarrow{\ x \mapsto x^{p-1}\ } \mathbb{G}_m, qui est un torseur sous \mu_{p-1,S} \simeq (\mathbb{F}_p^*)_S.

N.B. La donnée d'un sous-groupe fini M de rang n sur \mathbb{F}_p, sur S, équivaut : la donnée de E loc. libre de rang n, avec iso E'^{(p)} \xrightarrow[\ \sim\ ]{\ u\ } E . (On prend E \simeq M \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S, on retrouve M comme M = \operatorname{Ker}\bigl(V(E) \xrightarrow{\ \operatorname{id} - u \circ F_E\ } V(E)\bigr).) La donnée d'un hom. M \to \mathbb{G}_a équivaut à la donnée d'un hom. \mathcal{O}-lin. E \to \mathcal{O}_S, i.e. d'une section \xi de \check{E}. Notons que \check{E} est aussi muni d'une structure \check{E}^{(p)} \xrightarrow{\ \check{u}\ } \check{E}.

Pour une section \xi de \check{E} (lié à un hom. \varphi : M \to \mathbb{G}_a) on peut considérer la section \xi^{(p)} \overset{\text{df}}{=} u\bigl(\xi^{(F)}\bigr) par linéarité et par itération les \xi^{(p^i)}. ~~Telles~~ Elles correspondent aux composés de \varphi : M \to \mathbb{G}_a avec F_{\mathbb{G}_a} : \mathbb{G}_a \to \mathbb{G}_a, et les itérés F^i_{\mathbb{G}_a}.

Considérons \xi \wedge \xi^{(p)} \wedge \dots \wedge \xi^{(p^{n-1})} \in \Gamma\bigl(\overset{n}{\Lambda}\check{E}\bigr) . On trouve ainsi ~~une application polynomiale~~ au-dessous de \Delta^E_n : \check{E} \longrightarrow \overset{n}{\Lambda}\check{E} homogène de degré 1 + p + \dots + p^{n-1} = \dfrac{p^n - 1}{p - 1}, d'où \Delta^E_n : V(E) \longrightarrow V\bigl(\overset{n}{\Lambda}E\bigr) sous les deux membres il écrit W(\check{E}) et W(\overset{n}{\Lambda}\check{E}) ~~Pour~~ ~~degré~~ Considérons l'image inverse dans V(E) de la section nulle de V(\overset{n}{\Lambda}E) ; c'est un diviseur de Cartier relatif, dont le complémentaire V(E)^0 est un ouvert schém. dense. Si \xi est une section de cet ouvert, les \xi, \xi^{(p)}, \dots, \xi^{(p^{n-1})} forment une base de \check{E}, et on peut écrire \xi^{(p^n)} + A_{n-1}(\xi)\,\xi^{(p^{n-1})} + \dots + A_0(\xi)\,\xi = 0

avec des A^E_i(\xi) (0 \leqslant i \leqslant n-1) uniquement déterminés. On trouve ainsi des hom. A^E_i \in \Gamma\bigl(V(E)^0, \mathcal{O}_{V(E)^0}\bigr) \quad \text{i.e.} \quad A^E_i : V(E)^0 \longrightarrow \mathbb{G}_{a,S} uniquement déterminés par les conditions précédentes. On peut les interpréter comme des éléments de \underline{\operatorname{Sym}}^\bullet(E)_{\Delta^E_n} . ~~A_i est homogène de degré p^i~~

Ceci dit, on trouve que les A_i sont des sections de \underline{\operatorname{Sym}}(E), i.e. sont définis sur V(E) tout entier ; bien entendu ils y sont caractérisés par les identités précédentes . On a encore A^E_0 = \bigl(\Delta^E_n\bigr)^{p-1}\,(\pm 1) [ceci a un sens, grâce à : \bigl(\overset{n}{\Lambda}\check{E}\bigr)^{p-1} \simeq \mathcal{O}_S, i.e. \bigl(\overset{n}{\Lambda}\check{E}\bigr)^{p} = \overset{n}{\Lambda}\check{E}'^{(p)} \simeq \bigl(\overset{n}{\Lambda}\check{E}\bigr)]

N.B. Supposons que \xi soit une section de V(E)^0. ~~Alors~~ Alors les \xi^{(p^i)} (0 \leqslant i \leqslant n-1) forment une base de \check{E}, qui s'identifie à \mathcal{O}_S^n, avec le choix de base e_0^{(p)} = e_1, \quad e_1^{(p)} = e_2, \quad \dots, \quad e_{n-2}^{(p)} = e_{n-1}, \quad \text{et}

e_{n-1}^{(p)} = -\Bigl(\underbrace{A_0(\xi)}_{a_0}\,e_0 + \dots + \underbrace{A_{n-1}(\xi)}_{a_{n-1}}\,e_{n-1}\Bigr) i.e. on trouve la matrice \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & & \vdots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 & \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix} la dernière colonne est en partie recouverte de ratures ; seuls -a_0, a_1 et -a_{n-1} se lisent avec certitude par l'application précédente. Ainsi retrouve-t-on que le choix d'un

Il dresse ensuite un tableau à deux colonnes, chacune de trois étages reliés par des flèches montantes, les deux colonnes étant reliées par des inclusions \subset de gauche à droite.

Colonne de gauche — en haut : (a_0, \dots, a_{n-1}), a_0 inv. ; au milieu : sous-groupes finis étales de \mathbb{G}_a ; en bas : E loc. libre /S avec \check{E}^{(p)} \simeq \check{E}, et section \xi de \check{E} telle que \xi, \xi^{(p)}, \dots, \xi^{(p^{n-1})} soit une base.

Colonne de droite — en haut : (a_0, \dots, a_n) ; au milieu : sous-groupes finis loc. libres de rg p^n de \mathbb{G}_a ; en bas : F loc. libre de rg n avec F^{(p)} \to F (pas nécess. iso) et \xi \in \Gamma F telle que \xi, \xi^{(p)}, \dots, \xi^{(p^{n-1})} base.

la flèche montante du bas vers le milieu, dans la colonne de droite, est suivie d'un « ? » : c'est l'implication qu'il ne tranche pas. Une accolade court du bas de la colonne de droite vers le haut, annotée « trivial ? »

Descente le long d'un pincement

\begin{tikzcd} X' \arrow[d] \\ X \end{tikzcd}

déduit de X' en « pinçant » a et b

H \subset \mathbb{G}_{a,X} = \operatorname{Ker}\Bigl(\mathbb{G}_{a,X} \xrightarrow{\ x^{p^n} + a_{n-1}x^{p^{n-1}} + \dots + a_0 x\ } \mathbb{G}_{a,X}\Bigr) H' \subset \mathbb{G}_{a,X'}, \qquad H'_a = H'_b, \qquad c_i(a) = c_i(b) \cdot \longrightarrow H \longrightarrow \mathbb{G}_{a,X} \longrightarrow \mathbb{G}_{a,X} \longrightarrow \cdot \varphi|\hat{H} = 0 i.e. \hat{\varphi} se factorise en \psi deux flèches partent de ce point : l'une, notée q, descend vers \mathbb{G}_{a,X} ; l'autre, en pointillé, notée \hat{r}, y remonte (\operatorname{Ker}\varphi')_{y'} = (\operatorname{Ker}\varphi)_y = N'_y, \qquad \overline{N_y} = N' adhérence schématique dans \mathbb{G}_{a,X'} N' \subset H', \qquad \hat{N'} \simeq \hat{H'} \quad\text{i.e.}\quad \mathbb{G}_{a,X'}/N' \longrightarrow \mathbb{G}_{a,X'} \ \ \text{ét.} Mais supposons N'(a) \neq N'(b).

N' \subset H' \subset \mathbb{G}_{a,X'} H'(a) = H'(b), \qquad N'(a) \neq N'(b) \hat{N'} \simeq \hat{H'} \quad\text{i.e.}\quad \mathbb{G}_{a,X'}/N' \longrightarrow \mathbb{G}_{a,X'}/H' \ \ \text{ét.} \cdot \to N' \to \mathbb{G}_{a,X'} \xrightarrow{\ f_{\alpha'}\ } \mathbb{G}_{a,X'} \to \cdot \qquad \xrightarrow{\ u_\lambda\ } \mathbb{G}_{a,X} u_\lambda est annoté « hom. Verschiebung » \cdot \to K' \to \mathbb{G}_{a,X'} \xrightarrow{\ f_{\beta'}\ } \mathbb{G}_{a,X'} \to \cdot une flèche u_{\lambda'} part de cette seconde ligne, et une flèche en pointillé rejoint \psi ; le point d'arrivée est noyé sous une tache d'encre u_{\lambda'} f_{\alpha'} = \lambda' f_{\alpha'} pour i : X la fin de la page est une esquisse : les deux suites exactes et les flèches qui les relient sont tracées, mais l'argument qui devait les comparer n'est pas écrit

Fragments au crayon

les deux feuillets qui suivent sont au crayon, d'un tracé pâle et sans rédaction suivie : ce sont des brouillons de calcul. Ce qui se lit est donné ici ; le reste est laissé

X^{p^n} + A_1(X_1, \dots, X_n)\,X^{p^{n-1}} + A_2(X_1, \dots, X_n)\,X^{p^{n-2}} + \dots + A_{n-1}(X_1, \dots, X_n)\,X ici les A_i sont indexés en sens inverse de celui des pages 9 à 15

Un bloc écrit dans le sens de la hauteur occupe la marge gauche ; on y lit H_0, \mathbb{G}_0, K_0 = \mathbb{G}_0/H_0, G/H_0 = \overline{G_0}/\overline{H_0} = \overline{K_0}, G/H = K, \mathbb{G}_0 \to K_0 \Rightarrow K_0, puis \operatorname{Hom}(\alpha_{p^r}, \mathbb{G}_a) = \operatorname{Hom}(\alpha_p, \ldots), dont le second argument est , puis V_F suivi d'un terme , F^r = 0, \mathbb{F}_p(\mathbb{F})/F^r. Le reste du bloc est . ce bloc reprend, au crayon, le calcul d'espace tangent des pages 5 et 6

X_1 e_1 + \dots + X_n e_n, \qquad X_1^{p} e_1, \ \dots, \qquad X_1^{p^{n-1}} e_1, \ \dots X_1^{p^n} + a_1 X_1^{p^{n-1}} + a_2 X_1^{p^{n-2}} + \dots + a_n X_1 = 0 f^{p^n} + a_1 f^{p^{n-1}} + \dots + a_{n-1} f^{p} + a_n f = 0 f, \ f^{p}, \ \dots, \ f^{p^{n-1}} \qquad\text{en regard de}\qquad e_1, \ e_2, \ \dots, \ e_n e_1^{(p)} = e_2, \quad e_2^{(p)} = e_3, \quad \dots, \quad e_{n-1}^{(p)} = e_n, \quad e_n^{(p)} = -\bigl(a_1 e_n + a_2 e_{n-1} + \dots + a_n e_1\bigr) a_n \neq 0 M \ \text{loc.\ lib.\ t.f.}, \qquad M^{(p)} \xrightarrow{\ \sim\ } M, \qquad M \longrightarrow 0 e_1, \dots, e_n \ ; \qquad e_i \longmapsto \sum_j \lambda_{ij} e_j M \longrightarrow M^{(p)} \longrightarrow M

\bigl(f^{p-1} - g^{p-1}\bigr) X^{p^2} - \bigl(f^{p^2} - g^{p^2}\bigr) X^{p} + \bigl(f^{p^2} g^{p-1} - g^{p^2} f^{p-1}\bigr) X les exposants de cette ligne sont les plus incertains du feuillet ; il souligne les trois coefficients par des accolades \begin{cases} f^{p^3} + a f^{p^2} + b f^{p} + c f = 0 \\ g^{p^3} + a g^{p^2} + b g^{p} + c g = 0 \\ h^{p^3} + a h^{p^2} + b h^{p} + c h = 0 \end{cases} \det\begin{pmatrix} X_1^{p^{n-1}} & \cdots & X_1^{p} & X_1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ X_n^{p^{n-1}} & \cdots & X_n^{p} & X_n \end{pmatrix} 1 + p + \dots + p^{n-1} = \dfrac{p^n - 1}{p-1} \prod_{\mathbb{P}^n(\mathbb{F}_p)} \bigl(\lambda_1 X_1 + \dots + \lambda_n X_n\bigr), \qquad (\lambda_1, \dots, \lambda_n) \prod_{i=1}^{n} \Biggl(\ \prod_{\lambda \in \mathbb{F}_p^{n-i}} \bigl(X_i + \lambda_1 X_{i+1} + \dots + \lambda_{n-i} X_n\bigr)\Biggr) X^{p^2} Y^{p} - Y^{p^2} X^{p}, \qquad X^{p^2} Y - Y^{p^2} X \frac{\bigl(X^{p}Y - Y^{p}X\bigr)^{p}}{X^{p}Y - Y^{p}X} = \bigl(X^{p}Y - Y^{p}X\bigr)^{p-1} (X \wedge Y) \left(\frac{X}{Y}\right)^{p^2} = \frac{X}{Y}