Cote n° 159 · batch 2 · pages 21–33 · Transcription · Connexions projectives et uniformisation : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Dérivateurs » (157-1 à 160) est daté 1990-[1991]
Édition de démonstration

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21\(\det E \simeq \det F \otimes L^{\otimes 2}\), donc \(\underline{\omega}_X \simeq M \otimes L^{\otimes 2}\) sous \(\det E\) et sous \(\det F\), reliés à eux par un double trait, il écrit respectivement \(\underline{\omega}_X\) et \(M\)

donc (lorsque \(M\) est de degré \(0\)) \((2\deg L = \deg \underline{\omega}_X)\), i.e. deg \(\underline{\deg L = g-1}\).

Considérons l'homomorphisme composé \[\underline{\omega} \hookrightarrow E \simeq F \otimes L \twoheadrightarrow L\] c'est une section de \(L \otimes \omega^{-1}\), qui est de degré \(-(g-1) < 0\), donc […] est nulle, donc cela se factorise par \(E \to L\) se factorise par \(E/\underline{\omega} \simeq \underline{O}_X\), donc \(L \simeq \underline{O}_X\), absurde car \(\deg L \neq 0\) !

Ainsi, le faisceau [groupe] structural des […]-fibrés projectifs associés à une […] ne peut se réduire à un sous-groupe de Borel. un symbole isolé, qui revient plus bas devant « fibré principal », n'a pas été lu ; il qualifie les fibrés dont il est question Mieux, qu'il ne peut non plus se réduire à un sous-groupe normalisateur d'un tore maximal. En effet, si c'était le cas, alors par passage au revêtement double, on se restreindrait à un tore maximal, donc à un Borel, absurde (car le genre du revêtement sera aussi \(\geqslant 2\) !). Le […] argument montre :

Th. Soit \(X\) courbe projective [lisse] de genre \(g \geqslant 2\) sur un corps \(k\) (de car. nulle ?). Alors pour tt connexion projective sur \(X\), on ne peut réduire le [gpe] structural du […]-fibré principal de groupe \(\mathrm{PGL}(1)_S\) \(= H\) associé, à un sous-groupe […] \(H'\) distinct de \(H\) […] le nom du groupe est écrit d'un seul jet et les lettres n'en sont pas assurées ; la lecture retenue est celle qu'impose la notation \(\mathrm{PGL}(r)_S\) du début du dossier, où \(r\) est la dimension relative du fibré de Brauer-Séveri

22Quand \(k = \mathbb{C}\), cela signifie que l'hom. correspondant \[\pi_1(X^{\mathrm{an}}, x) \longrightarrow H(\mathbb{C})\] a une image Zariski-dense dans \(H_{\mathbb{C}}\).

24\(h\,\hat{c} = \hat{c}'\) isolé et souligné en tête de page ; la suite reprend l'argument depuis le début

Une accolade réunit \[(P,\sigma) \quad\longleftrightarrow\quad 0 \to \Omega \to E \to \underline{O}_S \to 0\] et \(\widehat{S}\).

\(P\) muni d'une connexion \(C_\rho\). On cherche les \(P \xrightarrow{\;u\;} \widehat{S}\) (s'il y en a) pour lesquels \(u(C_\rho)\) est dans de la forme \(\hat{c}\).

La donnée d'un iso. à l'ordre \(2\) donne déjà l'extension \(0 \to \Omega \to E \to \underline{O}_S \to 0\) ; d'où \((P,\sigma)\) à isom. unique près.

Si on se donne une […] la fin de la ligne, et une reprise interlinéaire qui paraît dire que les \(P\) partagent la connexion à l'ordre \(2\), sont biffées d'un long trait \(\widehat{S}\) conn. \(\hat{c}\) : \(C \in \mathrm{Conn}(\widehat{S})\). On cherche alors les \(g \in G\) (autom. de \(\widehat{S}\) qui sont l'identité mod l'ordre \(2\)) tels que \(g.C\) de la forme \(\hat{c}\). Il existe tjs […]

[…] on voit que \(gC = k\,\hat{c}_0\), \((k^{-1}g)C = \hat{c}_0\). trois lignes reprises et biffées ; ce qui suit repart de \(g_0\)

Quels sont les autres ? Ils sont de la forme \(g = h\,g_0\), \((h \in G)\), et […] \(gC\) \((= h(g_0 C) = h\,\hat{c})\) sera de la forme \(\hat{c}'\), i.e. \(h \in G(c)\). L'ens. de ces \(h\) est en correspondance biunivoque avec \(G/G_0\) — on peut aussi dire ainsi que pour tt extension de […] la page s'arrête au bas du feuillet, la phrase inachevée

25Th. Soit \(S\) un schéma de car. \(0\), \(X/S\) un schéma, \(P = \varprojlim P_n\) une algèbre \(\underline{O}_X\)-Algèbre \(\underline{O}_X\)-augmentée adique complète, […] à filtration \(J\)-adique, [([…])] avec \(J/J^2\) […] […] inversible une reprise interlinéaire, biffée, commence par « tjs » (par une […] l'augmentation), \[J/J^2 = \omega \;\xrightarrow{\ \omega\ }\; \Omega^1_{X/S}\] la ligne se poursuit par \(\widehat{S} \otimes \ill{}\,/\,J\,\ill{}\), en partie biffé et illisible \(P\) muni d'une […] connexion \(C\) rel. à \(S\), compatible à la structure d'Algèbre […].

On dira […] \(P\) sur \(X\), muni d'une section \(\sigma\), (dans […] la catégorie de […] les \(\mathcal{E}\) de \(0 \to \Omega \to E \to \underline{O}_S \to 0\)), muni d'une connexion \(c\) (en respectant par ailleurs la section unique \(\sigma\)), […]

[…] iso. d'algèbres augmentées \[\widehat{S} \;\underset{\sim}{\overset{u}{\longleftrightarrow}}\; P\] tel qu (où \(\widehat{S} = \underline{O}_{\widehat{P}}\), \(P\) […] \(\sigma\) et \(c\) —) tel que \(u(C) = \hat{c}\).

le feuillet s'arrête ici ; b) reste inachevé

26\(c\) (sur \(P\)) il existe un iso. et un seul \(u\) tel que \(u(\hat{c})\) prolonge \(u_2\), tel que \(u(\hat{c}) = C\).

D'où corr. biunivoque entre

le haut de la page s'arrête là ; ce qui suit, séparé par un blanc, est un brouillon de calcul

\(\mathcal{D}_\omega\) : […]

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  \mathrm{Sol} \arrow[r, "\sim"] \arrow[dr] & \mathrm{Iso}_3 \\
   & \mathrm{Conn}^{*}P
\end{tikzcd}

les deux buts portent chacun un point d'exclamation ; la flèche oblique porte un label non lu

\[\Omega \longrightarrow \widehat{S} \otimes \Omega^1_{X/S}, \qquad \prod_{i \geqslant 0} \Omega^{\otimes i} \otimes \Omega^1_{X/S}, \qquad g \in G(c)\]

\(\Omega + \mathcal{O} + \Omega\) \(g\hat{c}_0\) \(\hat{c} = \hat{c}\)

\(g\,u(C) = \ill{}\) \(gC = \hat{c}\) \(u(C) = \hat{c}\) \(g\hat{c} = \hat{c}\) \(g\hat{c} = C\) \(g^{-1}\hat{c} = C\)

\(g\,u(C) = g\hat{c} = \hat{c}'\) \(u(C_\rho) = C = \hat{c}\) \(g = \mathrm{id}\) \(gC = \hat{c}\) \(gC = k\,\hat{c}\) \(h\hat{c} = \hat{c} \Rightarrow h = 1\) \(k^{-1}g\,C = \hat{c}\) \(g \in G(c)\) \(g'C = \hat{c}'\)

ces égalités sont jetées côte à côte sur trois lignes, sans phrase ; la mise en colonnes est de l'éditeur

27\[S = \mathrm{Sym}(\Omega) \;\xrightarrow{\ c\ }\; \widehat{S} \,\widehat{\otimes}\, \Omega^1_{X/S}, \qquad \Omega \;\xrightarrow{\ c\ }\; \widehat{S} \,\widehat{\otimes}\, \Omega^1_{X/S}\] \[C(\omega_0) = \sum_{i \geqslant 0} \omega_0^{\,i} \otimes \varpi_i, \qquad \varpi_i \in \Omega^1_{X/S}\] le second membre du produit tensoriel est écrit d'un seul trait bouclé, lu \(\varpi_i\) ici et dans toute la suite

\[C(\lambda\omega_0) = \lambda\,C(\omega_0) + \omega_0\,d\lambda\] \[= 1 \otimes \lambda\varpi_0 + \omega_0 \otimes (\lambda\varpi_1 + d\lambda) + \omega_0^2 \otimes \lambda\varpi_2 + \cdots + \omega_0^{\,i} \otimes \lambda\varpi_i \cdots\]

\(\Omega\) : \(J^2 \longrightarrow J \otimes \Omega^1_{X/S}\), \(\Omega \longrightarrow \Omega^1_{X/S} = \Omega\).

\[d(\lambda\omega) = \lambda\,d\omega + \struck{\omega\,d\lambda}\] le second terme est biffé et annoté « nul mod \(J \otimes \Omega^1_{X/S}\) »

\(\Omega^{-1} \otimes \Omega^1_{X/S}\)

\[J^i \longrightarrow J^{i-1} \otimes \Omega^1_{X/S}\] \[\lambda\omega^i \longrightarrow \struck{C(\ill{})}\ \omega^i \otimes d\lambda + \lambda\,\omega^{i-1} C(\omega)\] \[\struck{\Omega}\ \Omega^i \xrightarrow{\ \uncertain{h_i}\ } \Omega^{i-1} \otimes \Omega^1_{X/S}\] \[\lambda\omega^i \longrightarrow \lambda\,\omega^{i-1}\,\underline{C(\omega)}, \qquad \lambda\omega_0^{\,i} \longrightarrow \lambda\,\omega_0^{\,i-1}\,C(\omega_0)\] \(C(\omega) = \varpi_0\,\omega + \ill{}\), \(\Omega^1_{X/S} \otimes \Omega^{-1}\).

\(\lambda\omega^i\,\varpi_0\) entouré d'un trait \(\mathrm{Conn}^{*}\) \(\hat{c}\,\lambda = \ill{}\) le bas du feuillet ne porte plus que ces bribes, en crayon très pâle

28\[C(\omega_0^{\,u})^{u^{-1}} = \left(\varpi_0 + \frac{\omega_0}{1+\sum \alpha_i \omega_0^{\,i}}\,\varpi_1 + \left(\frac{\omega_0}{1+\sum \alpha_i \omega_0^{\,i}}\right)^{\!2}\varpi_2\right) \left(1 + \sum (i+1)\alpha_i \left(\frac{\ill{}}{1 + \ill{}}\right)\right)\] \[+ \sum \left(\frac{\omega_0}{\sum 1 + \alpha_j \omega_0^{\,j}}\right)^{\!\ill{}} \otimes\, d\alpha_i\] il écrit le facteur en exposant : la page 30 pose en toutes lettres \(C(\omega_0^{\,u}) = C\bigl(\omega_0(1+\sum_{i\geqslant 2}\alpha_i\omega_0^{\,i})\bigr)\), de sorte que \(\omega_0^{\,u}\) désigne le produit \(\omega_0\,u\) avec \(u = 1 + \sum \alpha_i \omega_0^{\,i}\), celui-là même qui figure aux dénominateurs ; la notation est conservée telle quelle ci-dessous

Supposons \(\alpha_2 = 0\), et calculons mod \(\Omega^4\) : \[C(\omega_0^{\,u})^{u^{-1}} \equiv (\varpi_0 + \omega_0\varpi_1 + \omega_0^2\varpi_2) \left[1 + \struck{\ill{}}\ 4\alpha_3\omega_0^3\right]\] \[\sum_{i \geqslant 1} \Omega^i \otimes \Omega^1_{X/S} \qquad = \struck{\ill{}}\ C(\omega_0) + 4\alpha_3\,\omega_0^3\,\varpi_0\]

Supposons \(\alpha_2 = 0\), \(\alpha_i = 0\) \((i > 3)\), \(\alpha_n = ?\) calculons mod \(\Omega^{n+1}\) : \[C(\omega_0^{\,u})^{u^{-1}} = (\varpi_0 + \omega_0\varpi_1 + \omega_0^2\varpi_2) \bigl(1 + (n+1)\alpha_n\,\omega_0^{\,n}\bigr)\] \[= \struck{\varpi_0}\ C(\omega_0) + \varpi_0\ \struck{\ill{}}\ (n+1)\alpha_n\,\omega_0^{\,n}\,\varpi_0\] donc il faut \((n+1)\alpha_n = 0\).

Calculons mod \(\Omega^3\) en supposant \(\alpha_2\) […] : \[C(\omega_0^{\,u})^{u^{-1}} = (\varpi_0 + \omega_0\varpi_1 + \omega_0^2\varpi_2) \bigl(1 + 3\alpha_2\,\omega_0^2\bigr) = C(\omega_0) + 3\alpha_2\,\omega_0^2\,\varpi_0\]

\(\mathrm{Conn}(P)\),

Prop. Soit \(\mathcal{C}\) l'ens. des connexions de \(P\) (= de l'Alg. [de Lie] […] \((J)\)), […] \(G_0\) le […] groupe des automorphismes de \(\widehat{S}\) (alg. augmentée) (qui sont l'identité mod \(J^4\)), considérons l'application \[(c,u) \longmapsto \struck{\ill{}}\ u(\hat{c})\] \[\mathrm{Conn}\,P \;(\times\, G_0) \longrightarrow \mathrm{Conn}_{\mathrm{Alg}}(\widehat{S}) \quad \struck{mod}\] Cette application est bijective ([…] de car. \(0\)).

29Cor. Supposons \(u \in G_0\), […] et \(u\hat{c}\) de la forme \(\hat{c}'\), alors \(u = \mathrm{id}\).

[…], \(u\hat{c}\) \(u\cdot\hat{c} = 1\cdot\hat{c}'\) \(\Longrightarrow\) \((u,\ill{}) = \mathrm{id}\).

Soit \(G\) le gpe des automorphismes formels de \(\widehat{S}\) (qui sont l'identité mod \(J^3\)) (donc \(G/G_0 \simeq \Gamma(\Omega^{\otimes 2})\)), et considérons \[G \times \mathrm{Conn}(P), \qquad (g,c) \longmapsto g\cdot\hat{c}.\] Quand a-t-on \(g\hat{c} = g'\hat{c}'\), i.e. \((g'^{-1}g)\hat{c} = \hat{c}'\), i.e. quand \(h\hat{c}\) est-il de la forme \(\hat{c}'\) ? C'est […] \[h \in G(c) \iff h\cdot\hat{c} \ \text{de la forme}\ \hat{c}\] le membre de droite est écrit en toutes lettres \(h \in G(c)\), \(g \in G\), \(gh \in G(\ill{})\), \(G(c)\) sous-groupe de \(G\).

On trouve que \(\Rightarrow g = 1\), donc […] \(G \subset \ill{}\), \[\struck{G(c) \times{}}\quad G_0 \times G(c) \longrightarrow G, \qquad (g,h) \longmapsto g\cdot h\] est bijectif : (si \(gh = g'h'\), i.e. \((g'^{-1}g)\,h = h'\), \(d'\) : \((g'^{-1}g)\) \((g''h)\cdot\hat{c}\) de la forme \(\hat{c}''\), \(g''(h\hat{c})\) \(h\hat{c}\) est souligné et annoté \(\hat{c}'\), d'où \(g'' = 1\), d'où \(g = g'\) et par suite \(h = h'\)).

[…] Surjectif : soit \(g \in G\), \(g\hat{c} = k\,\hat{c}_0\), d'où \(k^{-1}g = h \in G(c)\), d'où \(g = kh\).

30\[C(\omega^{\,u}) = \struck{\ill{}}\ C\omega + \sum_{i \geqslant 2} C(\omega)u_i + \omega\,C(u_i) = C(\omega)\Bigl(1 + \sum u_i\Bigr) + \omega \sum C(u_i)\]

Preuve

\(C|_{\Omega}\) : \(\Omega \longrightarrow \widehat{S} \otimes \Omega^1_{X/S}\), \(\Omega^{\otimes i}\), \(C(\omega) = \omega\,\varpi_{-1} + \omega\,\varpi_0 + \ill{}\) le premier terme de ce développement n'est pas lu avec certitude

\[C(\lambda\,\omega^{\otimes i}) = \omega^{\otimes i} \otimes d\lambda + \lambda\,i\,\omega^{\otimes i-1}\,\ill{}\]

\(\omega = \lambda\omega_0\), \(u_i = \struck{\ill{}}\ \alpha_i\,\omega_0^{\,i}\). \[C\bigl((\lambda\omega_0)^{\,u}\bigr) = \bigl(\lambda\,\add{C(\omega_0)} + \omega_0 \otimes d\lambda\bigr) \Bigl(1 + \sum_{i \geqslant 2}\alpha_i\,\omega_0^{\,i}\Bigr) + \lambda\omega_0 \sum_{i \geqslant 2} \bigl(\omega_0^{\,i} \otimes d\alpha_i + i\,\alpha_i\,\omega_0^{\,i-1}\,C(\omega_0)\bigr)\] \[C(\omega_0) = \struck{\ill{}}\ \varpi_0 + \omega_0\varpi_1 + \omega_0^2\varpi_2, \qquad \varpi_i \in \struck{\ill{}}\ \widehat{S} \otimes \Omega^1_{X/S}\] \[C(\struck{\lambda}\,\omega_0^{\,u}) = \struck{C(\omega_0}\ (\varpi_0 + \varpi_1 + \varpi_2) \Bigl(1 + \sum_{i \geqslant 2}\alpha_i\,\omega_0^{\,i} + \ill{}\Bigr)\] \[C(\omega_0^{\,u}) = C\Bigl(\omega_0\bigl(1 + \sum_{i \geqslant 2}\alpha_i\,\omega_0^{\,i}\bigr)\Bigr) = C(\omega_0)\Bigl(1 + \sum \alpha_i\,\omega_0^{\,i}\Bigr) + \omega_0 \sum_{i \geqslant 2}\bigl(\omega_0^{\,i} \otimes d\alpha_i + i\,\alpha_i\,\omega_0^{\,i-1}\,C(\omega_0)\bigr)\] \[= C(\omega_0)\Bigl(1 + \sum_{i \geqslant 2}(i+1)\alpha_i\,\omega_0^{\,i}\Bigr) + \omega_0^2 \sum_{i \geqslant 2} \ill{}\] \[C(\omega_0^{\,u})^{u^{-1}} = \struck{\ill{}} \Biggl(1 + \sum_{i \geqslant 2}(i+1)\alpha_i \biggl(\frac{\omega_0}{1 + \sum_j \alpha_j\,\omega_0^{\,j}}\biggr)^{\!i}\Biggr) + \ill{} \sum_{i \geqslant 2} \biggl(\frac{\omega_0}{1 + \sum_{j \geqslant 2} \alpha_j\,\omega_0^{\,j}}\biggr)^{\!i+1} \otimes\, d\alpha_i\] \(C(\omega_0)^{u^{-1}} = \varpi_0 + \varpi_1 + \varpi_2 \ill{}\) la dernière ligne du feuillet est entièrement biffée

31\(G \supset G_0\) : \(G\) gpe, \(G_0\) s-gpe. […]

\(C \supset C_0\) : \(C\) \(G\)-ens., \(C_0\) sous-ens. cette page est le lemme de groupes tout seul, détaché de la géométrie

\[G_0 \times C_0 \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; C, \qquad (h,c) \longmapsto h\cdot c\] \[G(c) = \{\, g \in G \ \mid\ g\cdot c \in C_0 \,\}\] Soit \(c \in C_0\), et supposons […] ; alors \(G(c) \xrightarrow{\ \sim\ } G/G_0\), i.e. […] \[G_0 \times G(c) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; G, \qquad (h,g) \longmapsto h\,g\] bij. car : si \(hg = h'g'\) (\(h,h' \in G_0\), \(g,g' \in G(c)\)), alors \((h'^{-1}h)\,g = g'\), d'où \(h''(gc) = g'c = 1\cdot g'c\) sous \(gc\) et sous \(g'c\) il note chaque fois \(C_0\) donc \(h'' = 1\), i.e. \(h = h'\) et \(g = g'\) : d'où l'injectivité.

Surjectivité : soit \(h \in G\), alors \(h\,c \in C\) de la forme \(h\cdot c'\) (\(h \in G_0\), \(c' \in C_0\)), donc \(\underbrace{h^{-1}k}_{g}\,c = c'\), \(h^{-1}h = g \in G(c)\), donc \(h = h\,g\), \(h \in G_0\), \(g \in G(c)\).

Cor. \(C/G_0\) […]

Soit \(g \in G\), \(c \in C_0\) : \(gc = c \Rightarrow g = 1\). On a […] \(g \in G(c)\), \(1 \in\) considérons une orbite \(U\) de \(G\) dans \(C\), soit \(G\cdot c\), et considérons \(U \cap C_0\). Alors \(U \cap C_0 \simeq \struck{\ill{}}\ G_0 \backslash G\). […] \(c = h\cdot c_0\) (\(h \in G_0\), \(c_0 \in C_0\), uniques) donc […]

32\(X/S\) schéma relatif.

\(P\) : \(\underline{O}_X\)-Algèbre augmentée, sép. complète pour \(J\), top. \(J\)-adique (\(J\) idéal d'augmentation), \(J/J^2 = \Omega\) inversible. \[C : P \longrightarrow P \,\widehat{\otimes}\, \Omega^1_{X/S}\] connexion d'Algèbre […] compatible (compatible avec […] d'augmentation) : \[\begin{cases} C(fg) = f\,C(g) + g\,C(f), & f, g \ \text{sections de}\ P \\ C(\lambda \cdot 1) = 1 \otimes d\lambda, & \lambda \ \text{section de}\ \underline{O}_X \end{cases}\]

[…] N.B. Loc. (sur \(X\), […] affine) on écrit pour un iso. \(P \simeq \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega)\) (comp. […] aux […] augm.) et \(C\) comme […], […] relatif.

\(C|\Omega\), qui […] : \[\Omega \longrightarrow \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega) \,\widehat{\otimes}\, \Omega^1_{X/S} = \prod_{i \geqslant 0} \mathrm{Sym}^i(\Omega) \otimes \ill{}\] sous \(\mathrm{Sym}^i(\Omega)\) il récrit \(\Omega^{\otimes i}\) \(C_\Omega = (\varpi_i)\) : les \(\varpi_i\) pour \(i \neq 1\) sont linéaires, et \[\begin{cases} \varpi_i \in \struck{\ill{}}\ \Gamma\bigl(\Omega^{\otimes (i-1)} \otimes \Omega^1_{X/S}\bigr) & (i \neq 1) \\ \varpi_1 \ \text{une connexion sur}\ \Omega \end{cases}\] (On voit sur ceci que […].)

\(C(J^i) \subset J^{i-1} \,\widehat{\otimes}\, \Omega^1_{X/S}\), \(C\) induit un hom. \((i \geqslant 1)\) donc \[\mathrm{gr}^i(S) = J^i/J^{i+1} \simeq \Omega^i \;\xrightarrow{\ \widetilde{c}\ }\; \struck{\ill{}}\ \bigl(P \,\widehat{\otimes}\, \Omega^1_{X/S}\bigr)\] qui est de type \(\underline{O}_S\)/linéaire, et \(= \Omega^{i-1} \otimes \Omega^1_{X/S}\), \(\mathrm{Sym}^i(\Omega)\)-linéaire, donné par \[\widetilde{c}(\omega_0) = \omega_i \otimes \varpi_0\]

33\[\varpi_0 \in \Gamma\bigl(\Omega^{-1} \otimes \Omega^1_{X/S}\bigr) = \mathrm{Hom}\bigl(\Omega, \Omega^1_{X/S}\bigr)\] est indépendant de \(i\), et est le \(\varpi_0\) de […] : l'homomorphisme […].

On dit que \(C\) est connexion régulière si la section \(\varpi_0\) de \(\Omega^{-1} \otimes \Omega^1_{X/S}\) est régulière ([…] telle que \(\varpi_0 : \Omega \xrightarrow{\ \sim\ } \Omega^1_{X/S}\) !).

Prop. (Supposons [(car. nulle)]) \(P = \widehat{S} = \underline{O}_{\widehat{P}}\), […] \((P,\sigma)\) […].

(Soit \(\mathrm{Conn}^{*}(P)\) il glose en dessous « régulières » l'ens. des conn. […] de \(P\), telles que […] \(\hat{c}\), d'où \(c \longmapsto \hat{c}\), \[\mathrm{Conn}(P) \longrightarrow \mathrm{Conn}(\widehat{S})\] et soit \(\mathrm{Conn}^{*}(\widehat{S}) = \mathrm{Conn}(\widehat{S})\) […] des conn. régulières (de \(\widehat{S}\)), \(\mathrm{Conn}^{*}(P)\) son image inverse dans \(\mathrm{Conn}(P)\).

Soit \(G\), \(G_0\) les gpes […] auto. de \(\widehat{S}\) augmentées qui sont l'identité mod \(J^3\) (\(J^4\)).

[Alors] […] l'application \[\mathrm{Conn}^{*}(P) \times G_0 \longrightarrow \mathrm{Conn}^{*}(\widehat{S}), \qquad (c,g) \longmapsto g\cdot\hat{c}\] […] est bijective ([…] bijective).

Soit \(c \in \mathrm{Conn}^{*}(P)\). Cor. (L'ens. \(G(c) \subset G\) des \(g \in G\) tels que \(g\hat{c} \in \mathrm{Im}\,\mathrm{Conn}^{*}(P)\) est tel que \[G(c) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; G/G_0 \simeq \Gamma(X, \Omega^{\otimes 2}).\]