Fonds Grothendieck, cote n° 159, pages 21–33

\det E \simeq \det F \otimes L^{\otimes 2}, donc \underline{\omega}_X \simeq M \otimes L^{\otimes 2} sous \det E et sous \det F, reliés à eux par un double trait, il écrit respectivement \underline{\omega}_X et M

donc (lorsque M est de degré 0) (2\deg L = \deg \underline{\omega}_X), i.e. ~~deg~~ \underline{\deg L = g-1}.

Considérons l'homomorphisme composé \underline{\omega} \hookrightarrow E \simeq F \otimes L \twoheadrightarrow L c'est une section de L \otimes \omega^{-1}, qui est de degré -(g-1) < 0, donc est nulle, donc ~~cela se factorise par~~ E \to L se factorise par E/\underline{\omega} \simeq \underline{O}_X, donc L \simeq \underline{O}_X, absurde car \deg L \neq 0 !

Ainsi, le ~~faisceau~~ groupe structural des -fibrés projectifs associés à une ne peut se réduire à un sous-groupe de Borel. un symbole isolé, qui revient plus bas devant « fibré principal », n'a pas été lu ; il qualifie les fibrés dont il est question Mieux, qu'il ne peut non plus se réduire à un sous-groupe normalisateur d'un tore maximal. En effet, si c'était le cas, alors par passage au revêtement double, on se restreindrait à un tore maximal, donc à un Borel, absurde (car le genre du revêtement sera aussi \geqslant 2 !). Le argument montre :

Th. Soit X courbe projective lisse de genre g \geqslant 2 sur un corps k (de car. nulle ?). Alors pour tt connexion projective sur X, on ne peut réduire le gpe structural du -fibré principal de groupe \mathrm{PGL}(1)_S = H associé, à un sous-groupe H' distinct de H le nom du groupe est écrit d'un seul jet et les lettres n'en sont pas assurées ; la lecture retenue est celle qu'impose la notation \mathrm{PGL}(r)_S du début du dossier, où r est la dimension relative du fibré de Brauer-Séveri

Quand k = \mathbb{C}, cela signifie que l'hom. correspondant \pi_1(X^{\mathrm{an}}, x) \longrightarrow H(\mathbb{C}) a une image Zariski-dense dans H_{\mathbb{C}}.

h\,\hat{c} = \hat{c}' isolé et souligné en tête de page ; la suite reprend l'argument depuis le début

Une accolade réunit (P,\sigma) \quad\longleftrightarrow\quad 0 \to \Omega \to E \to \underline{O}_S \to 0 et \widehat{S}.

P muni d'une connexion C_\rho. On cherche les P \xrightarrow{\;u\;} \widehat{S} (s'il y en a) pour lesquels u(C_\rho) est ~~dans~~ de la forme \hat{c}.

La donnée d'un iso. à l'ordre 2 donne déjà l'extension 0 \to \Omega \to E \to \underline{O}_S \to 0 ; d'où (P,\sigma) à isom. unique près.

Si on se donne une la fin de la ligne, et une reprise interlinéaire qui paraît dire que les P partagent la connexion à l'ordre 2, sont biffées d'un long trait \widehat{S} conn. \hat{c} : C \in \mathrm{Conn}(\widehat{S}). On cherche alors les g \in G (autom. de \widehat{S} qui sont l'identité mod l'ordre 2) tels que g.C de la forme \hat{c}. Il existe tjs

on voit que gC = k\,\hat{c}_0, (k^{-1}g)C = \hat{c}_0. trois lignes reprises et biffées ; ce qui suit repart de g_0

Quels sont les autres ? Ils sont de la forme g = h\,g_0, (h \in G), et gC (= h(g_0 C) = h\,\hat{c}) sera de la forme \hat{c}', i.e. h \in G(c). L'ens. de ces h est en correspondance biunivoque avec G/G_0 — on peut aussi dire ainsi que pour tt extension de la page s'arrête au bas du feuillet, la phrase inachevée

Th. Soit S un schéma de car. 0, X/S un schéma, P = \varprojlim P_n une ~~algèbre~~ \underline{O}_X-Algèbre \underline{O}_X-augmentée adique complète, à filtration J-adique, () avec J/J^2 inversible une reprise interlinéaire, biffée, commence par « tjs » (par une l'augmentation), J/J^2 = \omega \;\xrightarrow{\ \omega\ }\; \Omega^1_{X/S} la ligne se poursuit par \widehat{S} \otimes \ill{}\,/\,J\,\ill{}, en partie biffé et illisible P muni d'une connexion C rel. à S, compatible à la structure d'Algèbre .

On dira P sur X, muni d'une section \sigma, (dans la catégorie de les \mathcal{E} de 0 \to \Omega \to E \to \underline{O}_S \to 0), muni d'une connexion c (en respectant par ailleurs la section unique \sigma),

iso. d'algèbres augmentées \widehat{S} \;\underset{\sim}{\overset{u}{\longleftrightarrow}}\; P ~~tel qu~~ (où \widehat{S} = \underline{O}_{\widehat{P}}, P \sigma et c —) tel que u(C) = \hat{c}.

a)La donnée d'un iso. u à l'ordre 2 détermine (P,\sigma), i.e. \mathcal{E}, à isom. unique près, par \Omega = J/J^2, E = \Omega \otimes (J/J^3). le signe entre \Omega et la parenthèse est lu \otimes, sans certitude b)(P,\sigma) étant ainsi déterminé, pour tt isom. u_3 à l'ordre 3 près \widehat{S}/\widehat{J}^{\,4}_P \longrightarrow P/J^4 prolongeant l'iso. à l'ordre 2 , il existe un isomorphisme un seul u qui le prolonge, et tel que u(C) soit de la forme \hat{c}, et pour

le feuillet s'arrête ici ; b) reste inachevé

c (sur P) il existe un iso. et un seul u tel ~~que u(\hat{c}) prolonge~~ u_2, tel que u(\hat{c}) = C.

D'où corr. biunivoque entre

a)les solutions des P_3 initial, à isom. près (N.B. la cat. des solutions est rigide) ; b)(P,\sigma) étant déjà connu, comme , avec u_2 — l'ens. des pseudo-u_3 qui prolongent u_2 — qui forme donc un torseur \Gamma(X, \Omega^{\otimes 2}) ; c)l'ens. des connexions C sur P telles que \hat{c} soit, dans , donnée de C sur \mathrm{Conn}^{*}(P),

le haut de la page s'arrête là ; ce qui suit, séparé par un blanc, est un brouillon de calcul

\mathcal{D}_\omega :

\begin{tikzcd} \mathrm{Sol} \arrow[r, "\sim"] \arrow[dr] & \mathrm{Iso}_3 \\ & \mathrm{Conn}^{*}P \end{tikzcd}

les deux buts portent chacun un point d'exclamation ; la flèche oblique porte un label non lu

\Omega \longrightarrow \widehat{S} \otimes \Omega^1_{X/S}, \qquad \prod_{i \geqslant 0} \Omega^{\otimes i} \otimes \Omega^1_{X/S}, \qquad g \in G(c)

\Omega + \mathcal{O} + \Omega g\hat{c}_0 \hat{c} = \hat{c}

~~g\,u(C) = \ill{}~~ gC = \hat{c} u(C) = \hat{c} ~~g\hat{c} = \hat{c}~~ ~~g\hat{c} = C~~ g^{-1}\hat{c} = C

~~g\,u(C) = g\hat{c} = \hat{c}'~~ u(C_\rho) = C = \hat{c} g = \mathrm{id} ~~gC = \hat{c}~~ gC = k\,\hat{c} h\hat{c} = \hat{c} \Rightarrow h = 1 k^{-1}g\,C = \hat{c} g \in G(c) g'C = \hat{c}'

ces égalités sont jetées côte à côte sur trois lignes, sans phrase ; la mise en colonnes est de l'éditeur

S = \mathrm{Sym}(\Omega) \;\xrightarrow{\ c\ }\; \widehat{S} \,\widehat{\otimes}\, \Omega^1_{X/S}, \qquad \Omega \;\xrightarrow{\ c\ }\; \widehat{S} \,\widehat{\otimes}\, \Omega^1_{X/S} C(\omega_0) = \sum_{i \geqslant 0} \omega_0^{\,i} \otimes \varpi_i, \qquad \varpi_i \in \Omega^1_{X/S} le second membre du produit tensoriel est écrit d'un seul trait bouclé, lu \varpi_i ici et dans toute la suite

C(\lambda\omega_0) = \lambda\,C(\omega_0) + \omega_0\,d\lambda = 1 \otimes \lambda\varpi_0 + \omega_0 \otimes (\lambda\varpi_1 + d\lambda) + \omega_0^2 \otimes \lambda\varpi_2 + \cdots + \omega_0^{\,i} \otimes \lambda\varpi_i \cdots

\Omega : J^2 \longrightarrow J \otimes \Omega^1_{X/S}, \Omega \longrightarrow \Omega^1_{X/S} = \Omega.

d(\lambda\omega) = \lambda\,d\omega + \struck{\omega\,d\lambda} le second terme est biffé et annoté « nul mod J \otimes \Omega^1_{X/S} »

\Omega^{-1} \otimes \Omega^1_{X/S}

J^i \longrightarrow J^{i-1} \otimes \Omega^1_{X/S} \lambda\omega^i \longrightarrow \struck{C(\ill{})}\ \omega^i \otimes d\lambda + \lambda\,\omega^{i-1} C(\omega) \struck{\Omega}\ \Omega^i \xrightarrow{\ \uncertain{h_i}\ } \Omega^{i-1} \otimes \Omega^1_{X/S} \lambda\omega^i \longrightarrow \lambda\,\omega^{i-1}\,\underline{C(\omega)}, \qquad \lambda\omega_0^{\,i} \longrightarrow \lambda\,\omega_0^{\,i-1}\,C(\omega_0) C(\omega) = \varpi_0\,\omega + \ill{}, \Omega^1_{X/S} \otimes \Omega^{-1}.

\lambda\omega^i\,\varpi_0 entouré d'un trait \mathrm{Conn}^{*} \hat{c}\,\lambda = \ill{} le bas du feuillet ne porte plus que ces bribes, en crayon très pâle

C(\omega_0^{\,u})^{u^{-1}} = \left(\varpi_0 + \frac{\omega_0}{1+\sum \alpha_i \omega_0^{\,i}}\,\varpi_1 + \left(\frac{\omega_0}{1+\sum \alpha_i \omega_0^{\,i}}\right)^{\!2}\varpi_2\right) \left(1 + \sum (i+1)\alpha_i \left(\frac{\ill{}}{1 + \ill{}}\right)\right) + \sum \left(\frac{\omega_0}{\sum 1 + \alpha_j \omega_0^{\,j}}\right)^{\!\ill{}} \otimes\, d\alpha_i il écrit le facteur en exposant : la page 30 pose en toutes lettres C(\omega_0^{\,u}) = C\bigl(\omega_0(1+\sum_{i\geqslant 2}\alpha_i\omega_0^{\,i})\bigr), de sorte que \omega_0^{\,u} désigne le produit \omega_0\,u avec u = 1 + \sum \alpha_i \omega_0^{\,i}, celui-là même qui figure aux dénominateurs ; la notation est conservée telle quelle ci-dessous

Supposons \alpha_2 = 0, et calculons mod \Omega^4 : C(\omega_0^{\,u})^{u^{-1}} \equiv (\varpi_0 + \omega_0\varpi_1 + \omega_0^2\varpi_2) \left[1 + \struck{\ill{}}\ 4\alpha_3\omega_0^3\right] \sum_{i \geqslant 1} \Omega^i \otimes \Omega^1_{X/S} \qquad = \struck{\ill{}}\ C(\omega_0) + 4\alpha_3\,\omega_0^3\,\varpi_0

Supposons \alpha_2 = 0, \alpha_i = 0 (i > 3), \alpha_n = ? calculons mod \Omega^{n+1} : C(\omega_0^{\,u})^{u^{-1}} = (\varpi_0 + \omega_0\varpi_1 + \omega_0^2\varpi_2) \bigl(1 + (n+1)\alpha_n\,\omega_0^{\,n}\bigr) = \struck{\varpi_0}\ C(\omega_0) + \varpi_0\ \struck{\ill{}}\ (n+1)\alpha_n\,\omega_0^{\,n}\,\varpi_0 donc il faut (n+1)\alpha_n = 0.

Calculons ~~mod~~ \Omega^3 en supposant \alpha_2 : C(\omega_0^{\,u})^{u^{-1}} = (\varpi_0 + \omega_0\varpi_1 + \omega_0^2\varpi_2) \bigl(1 + 3\alpha_2\,\omega_0^2\bigr) = C(\omega_0) + 3\alpha_2\,\omega_0^2\,\varpi_0

\mathrm{Conn}(P),

Prop. Soit \mathcal{C} l'ens. des connexions de P (= de l'Alg. de Lie (J)), G_0 le groupe des automorphismes de \widehat{S} (alg. augmentée) (qui sont l'identité mod J^4), considérons l'application (c,u) \longmapsto \struck{\ill{}}\ u(\hat{c}) \mathrm{Conn}\,P \;(\times\, G_0) \longrightarrow \mathrm{Conn}_{\mathrm{Alg}}(\widehat{S}) \quad \struck{mod} Cette application est bijective ( de car. 0).

Cor. Supposons u \in G_0, et u\hat{c} de la forme \hat{c}', alors u = \mathrm{id}.

, ~~u\hat{c}~~ u\cdot\hat{c} = 1\cdot\hat{c}' \Longrightarrow (u,\ill{}) = \mathrm{id}.

Soit G le gpe des automorphismes formels de \widehat{S} (qui sont l'identité mod J^3) (donc G/G_0 \simeq \Gamma(\Omega^{\otimes 2})), et considérons G \times \mathrm{Conn}(P), \qquad (g,c) \longmapsto g\cdot\hat{c}. Quand a-t-on g\hat{c} = g'\hat{c}', i.e. (g'^{-1}g)\hat{c} = \hat{c}', i.e. quand h\hat{c} est-il de la forme \hat{c}' ? C'est h \in G(c) \iff h\cdot\hat{c} \ \text{de la forme}\ \hat{c} le membre de droite est écrit en toutes lettres h \in G(c), g \in G, gh \in G(\ill{}), G(c) sous-groupe de G.

On trouve que ~~\Rightarrow g = 1, donc~~ G \subset \ill{}, \struck{G(c) \times{}}\quad G_0 \times G(c) \longrightarrow G, \qquad (g,h) \longmapsto g\cdot h est bijectif : (si gh = g'h', i.e. (g'^{-1}g)\,h = h', d' : ~~(g'^{-1}g)~~ (g''h)\cdot\hat{c} de la forme \hat{c}'', g''(h\hat{c}) h\hat{c} est souligné et annoté \hat{c}', d'où g'' = 1, d'où ~~g = g'~~ et par suite h = h').

Surjectif : soit g \in G, g\hat{c} = k\,\hat{c}_0, d'où k^{-1}g = h \in G(c), d'où g = kh.

C(\omega^{\,u}) = \struck{\ill{}}\ C\omega + \sum_{i \geqslant 2} C(\omega)u_i + \omega\,C(u_i) = C(\omega)\Bigl(1 + \sum u_i\Bigr) + \omega \sum C(u_i)

~~Preuve~~

C|_{\Omega} : \Omega \longrightarrow \widehat{S} \otimes \Omega^1_{X/S}, \Omega^{\otimes i}, C(\omega) = \omega\,\varpi_{-1} + \omega\,\varpi_0 + \ill{} le premier terme de ce développement n'est pas lu avec certitude

C(\lambda\,\omega^{\otimes i}) = \omega^{\otimes i} \otimes d\lambda + \lambda\,i\,\omega^{\otimes i-1}\,\ill{}

\omega = \lambda\omega_0, u_i = \struck{\ill{}}\ \alpha_i\,\omega_0^{\,i}. C\bigl((\lambda\omega_0)^{\,u}\bigr) = \bigl(\lambda\,\add{C(\omega_0)} + \omega_0 \otimes d\lambda\bigr) \Bigl(1 + \sum_{i \geqslant 2}\alpha_i\,\omega_0^{\,i}\Bigr) + \lambda\omega_0 \sum_{i \geqslant 2} \bigl(\omega_0^{\,i} \otimes d\alpha_i + i\,\alpha_i\,\omega_0^{\,i-1}\,C(\omega_0)\bigr) C(\omega_0) = \struck{\ill{}}\ \varpi_0 + \omega_0\varpi_1 + \omega_0^2\varpi_2, \qquad \varpi_i \in \struck{\ill{}}\ \widehat{S} \otimes \Omega^1_{X/S} C(\struck{\lambda}\,\omega_0^{\,u}) = \struck{C(\omega_0}\ (\varpi_0 + \varpi_1 + \varpi_2) \Bigl(1 + \sum_{i \geqslant 2}\alpha_i\,\omega_0^{\,i} + \ill{}\Bigr) C(\omega_0^{\,u}) = C\Bigl(\omega_0\bigl(1 + \sum_{i \geqslant 2}\alpha_i\,\omega_0^{\,i}\bigr)\Bigr) = C(\omega_0)\Bigl(1 + \sum \alpha_i\,\omega_0^{\,i}\Bigr) + \omega_0 \sum_{i \geqslant 2}\bigl(\omega_0^{\,i} \otimes d\alpha_i + i\,\alpha_i\,\omega_0^{\,i-1}\,C(\omega_0)\bigr) = C(\omega_0)\Bigl(1 + \sum_{i \geqslant 2}(i+1)\alpha_i\,\omega_0^{\,i}\Bigr) + \omega_0^2 \sum_{i \geqslant 2} \ill{} C(\omega_0^{\,u})^{u^{-1}} = \struck{\ill{}} \Biggl(1 + \sum_{i \geqslant 2}(i+1)\alpha_i \biggl(\frac{\omega_0}{1 + \sum_j \alpha_j\,\omega_0^{\,j}}\biggr)^{\!i}\Biggr) + \ill{} \sum_{i \geqslant 2} \biggl(\frac{\omega_0}{1 + \sum_{j \geqslant 2} \alpha_j\,\omega_0^{\,j}}\biggr)^{\!i+1} \otimes\, d\alpha_i ~~C(\omega_0)^{u^{-1}} = \varpi_0 + \varpi_1 + \varpi_2 \ill{}~~ la dernière ligne du feuillet est entièrement biffée

G \supset G_0 : G gpe, G_0 s-gpe.

C \supset C_0 : C G-ens., C_0 sous-ens. cette page est le lemme de groupes tout seul, détaché de la géométrie

G_0 \times C_0 \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; C, \qquad (h,c) \longmapsto h\cdot c G(c) = \{\, g \in G \ \mid\ g\cdot c \in C_0 \,\} Soit c \in C_0, et supposons ; alors G(c) \xrightarrow{\ \sim\ } G/G_0, i.e. G_0 \times G(c) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; G, \qquad (h,g) \longmapsto h\,g bij. car : si hg = h'g' (h,h' \in G_0, g,g' \in G(c)), alors (h'^{-1}h)\,g = g', d'où h''(gc) = g'c = 1\cdot g'c sous gc et sous g'c il note chaque fois C_0 donc h'' = 1, i.e. h = h' et g = g' : d'où l'injectivité.

Surjectivité : soit h \in G, alors h\,c \in C de la forme h\cdot c' (h \in G_0, c' \in C_0), donc \underbrace{h^{-1}k}_{g}\,c = c', h^{-1}h = g \in G(c), donc h = h\,g, h \in G_0, g \in G(c).

Cor. C/G_0

Soit g \in G, c \in C_0 : gc = c \Rightarrow g = 1. ~~On a g \in G(c), 1 \in~~ considérons une orbite U de G dans C, soit G\cdot c, et considérons U \cap C_0. Alors U \cap C_0 \simeq \struck{\ill{}}\ G_0 \backslash G. c = h\cdot c_0 (h \in G_0, c_0 \in C_0, uniques) donc

X/S schéma relatif.

P : \underline{O}_X-Algèbre augmentée, sép. complète pour J, top. J-adique (J idéal d'augmentation), J/J^2 = \Omega inversible. C : P \longrightarrow P \,\widehat{\otimes}\, \Omega^1_{X/S} connexion d'Algèbre ~~compatible~~ (compatible avec d'augmentation) : \begin{cases} C(fg) = f\,C(g) + g\,C(f), & f, g \ \text{sections de}\ P \\ C(\lambda \cdot 1) = 1 \otimes d\lambda, & \lambda \ \text{section de}\ \underline{O}_X \end{cases}

N.B. Loc. (sur X, affine) on écrit ~~pour~~ un iso. P \simeq \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega) (comp. aux augm.) et C comme , relatif.

C|\Omega, qui : \Omega \longrightarrow \widehat{\mathrm{Sym}}(\Omega) \,\widehat{\otimes}\, \Omega^1_{X/S} = \prod_{i \geqslant 0} \mathrm{Sym}^i(\Omega) \otimes \ill{} sous \mathrm{Sym}^i(\Omega) il récrit \Omega^{\otimes i} C_\Omega = (\varpi_i) : les \varpi_i pour i \neq 1 sont linéaires, et \begin{cases} \varpi_i \in \struck{\ill{}}\ \Gamma\bigl(\Omega^{\otimes (i-1)} \otimes \Omega^1_{X/S}\bigr) & (i \neq 1) \\ \varpi_1 \ \text{une connexion sur}\ \Omega \end{cases} (On voit sur ceci que .)

C(J^i) \subset J^{i-1} \,\widehat{\otimes}\, \Omega^1_{X/S}, C induit un hom. (i \geqslant 1) donc \mathrm{gr}^i(S) = J^i/J^{i+1} \simeq \Omega^i \;\xrightarrow{\ \widetilde{c}\ }\; \struck{\ill{}}\ \bigl(P \,\widehat{\otimes}\, \Omega^1_{X/S}\bigr) qui est de type \underline{O}_S/linéaire, et = \Omega^{i-1} \otimes \Omega^1_{X/S}, \mathrm{Sym}^i(\Omega)-linéaire, donné par \widetilde{c}(\omega_0) = \omega_i \otimes \varpi_0

\varpi_0 \in \Gamma\bigl(\Omega^{-1} \otimes \Omega^1_{X/S}\bigr) = \mathrm{Hom}\bigl(\Omega, \Omega^1_{X/S}\bigr) est indépendant de i, et est le \varpi_0 de : l'homomorphisme .

On dit que C est connexion régulière si la section \varpi_0 de \Omega^{-1} \otimes \Omega^1_{X/S} est régulière ( telle que \varpi_0 : \Omega \xrightarrow{\ \sim\ } \Omega^1_{X/S} !).

Prop. (~~Supposons~~ (car. nulle)) P = \widehat{S} = \underline{O}_{\widehat{P}}, (P,\sigma) .

(Soit \mathrm{Conn}^{*}(P) il glose en dessous « régulières » l'ens. des conn. de P, ~~telles que~~ \hat{c}, d'où c \longmapsto \hat{c}, \mathrm{Conn}(P) \longrightarrow \mathrm{Conn}(\widehat{S}) et soit \mathrm{Conn}^{*}(\widehat{S}) = \mathrm{Conn}(\widehat{S}) des conn. régulières (de \widehat{S}), \mathrm{Conn}^{*}(P) son image inverse dans \mathrm{Conn}(P).

~~Soit~~ G, G_0 les ~~gpes~~ auto. de \widehat{S} augmentées qui sont l'identité mod J^3 (J^4).

Alors l'application \mathrm{Conn}^{*}(P) \times G_0 \longrightarrow \mathrm{Conn}^{*}(\widehat{S}), \qquad (c,g) \longmapsto g\cdot\hat{c} est bijective ( bijective).

Soit c \in \mathrm{Conn}^{*}(P). Cor. (L'ens. G(c) \subset G des g \in G tels que g\hat{c} \in \mathrm{Im}\,\mathrm{Conn}^{*}(P) est tel que G(c) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; G/G_0 \simeq \Gamma(X, \Omega^{\otimes 2}).