Cote n° 158 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · [Autour des Dérivateurs] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1990-1991]
Édition de démonstration

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Monoïdes finis, catégories pseudo-cofiltrantes et 1-connexité

les intertitres de cette transcription sont de l'éditeur : aucun des feuillets du lot n'en porte. Le lot réunit trois suites paginées de sa main, indépendantes les unes des autres : la fin d'une première suite (feuillet 41, numéroté 7), une suite complète numérotée 1 à 8 (feuillets 44 à 53), et une suite numérotée 1 à 3 (feuillets 55 à 57), suivie de feuillets d'essai

conventions de notation retenues pour tout le lot : \(X^\wedge\) pour son \(X\) surmonté d'un accent circonflexe (la catégorie des préfaisceaux sur \(X\)), qu'il trace tantôt en exposant, tantôt superposé à la lettre ; \(\mathbb{N}\) et \(\mathbb{Z}\) pour ses \(N\) et \(Z\) barrés ; \(X_{/\!/a}\) pour son \(X\) à double barre en indice

41la page porte « 7 » de sa main en tête ; elle commence au milieu d'une phrase et fait suite, pour le sens, à ce qui s'interrompt au bas du lot précédent. Sa pagination ne s'y raccorde pourtant pas : les feuillets 21 à 39 portent de sa main 3 à 18, de sorte qu'un « 7 » ne peut clore cette suite-là. On laisse le chiffre tel qu'il est lu et l'on signale le désaccord plutôt que de le résoudre

\(u \in M\) et pour \(p, q \in \mathbb{N}\), \(\varphi^p u = \varphi^q u \Rightarrow p = q\), on aura que \(\varphi^p\) (on remarquera […] on \(u = \varphi\) puisque \(\exists\) \(u'\) avec \(uu' = \varphi\)) \(\varphi^p = \varphi^q \Rightarrow p = q\).

Dans ce cas, par des principes généraux, le quotient l'objet \(e\) de \(X^\wedge\) étant 0-connexe, l'objet quotient \(F = e/\mathbb{N} = e/\varphi\) est 0-connexe et son \(\pi_1\) admet un quotient isomorphe à \(\mathbb{Z}\), donc \(X^\wedge/F\) n'est pas 1-connexe, et \(H^k(F, \mathbb{Z}) \neq 0\) pour un entier \(k \neq 0\).

b) Il existe \(p \neq q\) tel que \(\varphi^p = \varphi^q\). Alors l'opération l'image de \(M\) dans l'ens. \(\mathrm{Ep}(E)\) des épimorphismes de \(E\) \(=\) ens. des éléments minimaux de \(E\) est un groupe \(\Gamma\), et si \(X_0\) désigne l'ouvert de \(X\) formé des plus petits objets de \(X\), alors […] \[\pi_1(X_0, e) \;\simeq\; \pi_1(M) \twoheadrightarrow \Gamma .\] Donc si \(X_0\) est 1-connexe, alors \(\Gamma = \{1\}\), donc […] \(u\varphi = \varphi\) \(\forall u \in M\), et \(M\) est […] donc ainsi \(X_0\), […] est cofiltrant.

tel qu'il est écrit, « des épimorphismes de \(E\) \(=\) ens. des éléments minimaux de \(E\) » définit \(E\) par lui-même ; l'argument appelle un \(E_0\), l'ensemble des éléments minimaux de \(E\), qui reparaît sous ce nom au feuillet 45

Conclusion Si tous les objets de \(X^\wedge\) […] est 1-connexe, alors \(X\) est cofiltrant.

[…] \(\mathrm{End}(E)\) […] \(\varphi = \varphi\) \(X_0\) […] \(\pi_1(\ill{})\) […] note marginale portée en diagonale dans l'angle inférieur gauche, en grande partie illisible

Proposition 1 : un monoïde fini pseudo-cofiltrant à groupe enveloppant trivial

44la page porte « 1 » de sa main : début de la suite qui court jusqu'au feuillet 53

Proposition 1 Soit \(M\) un monoïde fini, tel que

a) le groupe enveloppant de \(M\) soit \(\simeq \{1\}\), et

b) \(M\) est pseudo-cofiltrant. pseudo-cofiltrant.

Alors il existe un […] élément \(p\) de \(M\) tel que l'on ait, pour tout \(u \in M\) \[(*) \qquad u p \;\struck{= up}\; = p , \qquad \text{(en particulier } p^2 = p\text{)},\] en particulier donc \(M\) est filtrant cofiltrant.

Dém. L'unicité de \(p\) est claire, car si \(p' \in M\) […] satisfait aux mêmes propriétés que \(p\), on a (faisant \(u = p'\) dans \((*)\)) \(p'p = pp' = p\) et symétriquement […] \(pp' = p'pp' = p'\), donc \(p = p'\). tout ce paragraphe de démonstration est barré de deux longues diagonales ; il se lit néanmoins d'un bout à l'autre

On peut supposer \(M\) pseudo-cofiltrant […] implique que pour un ensemble nb fini d'éléments objets \(u_i\) de \(M\), il existe un […] objet \(p\) de \(M\) tel que pour tout pour tout \(i\), \(p\) se factorise en \[p \;=\; u_i v_i .\] Comme \(M\) est fini il existe donc un \(p\) tel que pour tout \(u \in M\), on ait une factorisation \[(**) \qquad p \;=\; u\, v(u) ,\] où \(v(u)\) est un objet de \(M\). Cette propriété L'existence d'un tel \(p\) implique visiblement que \(M\) est cofiltrant, donc équivaut (pour \(M\) fini)

45

à l'hypothèse b).

OPS \(M\) réalisé comme monoïde d'endomorphismes d'un ensemble fini \(E\) (p. ex. par la représentation régulière gauche de \(M\)). « OPS » = on peut supposer ; l'abréviation revient dans le lot

La relation \((**)\) implique \[\mathrm{Im}\, p \;\subset\; \mathrm{Im}\, u \qquad \forall u \in M,\]

\(E_0 =\) la mention ci-dessus est portée en interligne, une accolade la rattachant au \(\mathrm{Im}\, p\) de la phrase suivante donc \(\mathrm{Im}\, p\) est le plus petit des \(\mathrm{Im}\, u\), pour \(u \in M\). Soit \(u \in M\), on a \[u(E_0) \;=\; u\, p(E) \;=\; \mathrm{Im}(up) \;\supset\; E_0 ,\] et comme \(E_0\) est fini, on en conclut que \(u(E_0) = E_0\) et que \(u|E_0\) est un automorphisme de l'ens. \(E_0\). Soit \(u_{E_0}\) cet automorphisme. L'application \[u \longmapsto u_{E_0} \;:\; M \longrightarrow \mathrm{Aut}(E_0)\] est un hom. de \(M\) dans un groupe. L'hyp. a) sur \(M\) implique donc qu'on a \(u_{E_0} = \mathrm{id}_{E_0}\) \(\forall u \in M\). On en conclut aussi que \[E_0 \;=\; \text{ens. des pts fixes de } M \text{ opérant dans } E,\] car si \(x \in E \setminus E_0\), comme \(p(x) \in E_0\), on a \(p(x) \neq x\)

46

donc \(x\) n'est pas pt fixe pour \(M\). On en conclut, d'où \(\forall u \in M\) la relation \(u_{E_0} = \mathrm{id}_{E_0}\) s'écrit […] \[u\, p(x) \;=\; p(x) \quad \forall x \in E, \qquad \text{i.e.}\] \[up \;=\; p \qquad \forall u \in M,\] ce qui prouve déjà que \(M\) est cofiltrant (car \(u, v \in M\), on a \(up = vp\), les deux membres étant égaux à \(p\)), cqfd.

J'ai envie de proposer ceci :

Proposition 2 (??) [S]oit \(X\) une catégorie 1-connexe finie, ayant un objet plus grand objet \(a\)), et pseudo-cofiltrante. Alors \(X\) est cofiltrante.

On retrouve \(\uncertain{(\ddagger)}\) le […] 1 en prenant \(X\) réduite à un seul objet. Je vais essayer de calquer la dém., au […] 2. Je note qu'il est cat. finie, […] dans la catégorie \(X/a\), (il y a un plus petit objet,

le mot qui précède « 1 », puis « 2 », n'est pas lisible ; le sens appelle « la proposition », énoncée plus haut sous ce numéro

47la page porte « 4 » de sa main

soit \((e_a, p_a)\), ou […] \[p \;:\; e \longrightarrow a .\] Si \(b\) est dans \(X\), on voit que la dernière, dans catégorie \(X/b\) il y a un plus petit […] objet, et on voit facilement […] que on peut prendre à source égale à \(e\), donc de la forme \[e \xrightarrow{\;p_b\;} b .\] Mais […] il n'y a pas unicité de \(p_b\), et pour […] une […], à faire ce point, on voudrait mettre en relation le choix de \(p_b\), avec celui (déjà fait) de \(p_a = p\). Comme \(a\) est un plus grand objet de \(X\), il existe \[u \;:\; b \longrightarrow a\] et on voit facilement […] que pour \(u\) fixé, on peut choisir \(p_b\) de la façon […] que

\begin{tikzcd}
& b \arrow[dr, "u"] & \\
e \arrow[ur, "p_b"] \arrow[rr, "p"'] & & a
\end{tikzcd}

commutatif.

48feuillet d'essai : diagrammes repris deux fois et formules isolées, sans prose suivie. On transcrit ce qui se lit

\(p \in \mathrm{Hom}(e,a)\)

\begin{tikzcd}
& b \arrow[dr, "u", bend left=15] \arrow[dr, "v"', bend right=15] & \\
e_a \arrow[ur, bend left=15] \arrow[ur, bend right=15]
    \arrow[rr, "p_a"'] & & a
\end{tikzcd}

les deux flèches de \(e_a\) vers \(b\) sont notées \(p_{b,u}\) et \(p_{b,v}\) sur le feuillet

\(\varphi \in \mathrm{Hom}(e,e)\)

\begin{tikzcd}
e \arrow[r, "p"] \arrow[d, bend right=25] & a \\
e \arrow[u, bend right=25] \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

\[uq = p, \qquad \struck{\ill{}} \text{ avec } q \text{ comme } p, \qquad \text{donc } uq = q\] \[\underbrace{u\,q}_{q} \;=\; \underbrace{v\,q'}_{q'} \;=\; p\]

\begin{tikzcd}
& b \arrow[dr, "u"] & \\
e \arrow[ur, "p_u"] \arrow[rr] & & q
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
& q & \\
e \arrow[ur] \arrow[dr, "p_v"'] & & \\
& b \arrow[uu, "v"'] &
\end{tikzcd}

\(\mathrm{Hom}(x,a)\), \(\mathrm{Hom}(m,a)\), \(x \mapsto \mathrm{Hom}(e,x)\)

\[up = q, \qquad p = v\,\overline{v}, \qquad p = q\,q', \qquad q = v\,\struck{\ill{}}\]

Corollaire : \(X\) finie, pseudo-cofiltrante, \(U\) 1-connexe

49la page porte de sa main un chiffre corrigé, illisible sous la surcharge

Corollaire Soit \(X\) une catégorie finie, (i.e. \(X^\wedge\) est loc. irréductible), pseudo-cofiltr. sép. Donc \(\mathrm{Ord}\, X\) est un ensemble ordonné cofiltrant, admettant donc un plus petit élément. Soit \(U\) l'ouvert de \(X\) formé des objets de \(X\) qui sont des plus petits objets. On suppose […] \(U\) 1-connexe, alors \(X\) est cofiltrante. (Donc si tout objet […] de \(X\) est 1-connexe, alors \(X\) est cofiltr.)

En effet, il est immédiat que [\(U\) est] (et \(X\) aussi) pseudo-cofiltrante, un ouvert cocofinal dans \(X\), que \(X\) est cofiltrante dès que \(U\) l'est. D'autre part si \(e \in U\), alors [\(U_0\)] l'inclusion de la sous-catégorie pleine [(]de \(X\) réduite[)] à \(e\) dans \(U\) est une équivalence, ce qui implique que \(U_0\) est 1-connexe, \(U\) l'est aussi, et que \(U\) est cofiltrant ssi \(U_0\) l'est. Donc [ il est immédiat aussi, \(X\) étant pseudo-cofiltrant, que l'ouvert cocofinal \(U\) l'est également, donc \(U_0\) (équivalent : \(U\)) également. ]

Soit donc \(M = \mathrm{End}_X(e)\). On peut appliquer à \(M\) la proposition 1, qui implique que \(M\) est cofiltrant, ainsi \(U_0 \simeq B_M\) est cofiltrante, cqfd

Faux ! revoir la démonstration […]

N.B. Au lieu de l'hypothèse \(X\) finie, il suffisait de supposer que a) \(X\) admet un plus petit objet \(e\), et b) \(\mathrm{End}_X(e)\) est fini.

Seconde mouture : la proposition 1 reprise par les \(H_x\)

50la page porte « 5 » de sa main ; l'énoncé de la proposition 1 est repris depuis le début, sous des hypothèses différentes

Proposition 1 Soit \(X\) une catégorie telle que

a) \(X\) pseudocofiltrante — b) \(X\) admet un plus petit objet \(e\) (conséquence de a) si \(\mathrm{Ob}\, X\) fini) objet minimal

c) Pour tout \(x \in \mathrm{Ob}\, X\), l'ens. des sous-\(\underbrace{\mathrm{Hom}(e,e)}_{M}\)-ens. à droite de \(\mathrm{Hom}(e,x)\) satisfait la condition minimale (ce qui est le cas si les \(\mathrm{Hom}(e,x)\) sont finis). Alors

\(1^{\circ})\) \(\forall x \in \mathrm{Ob}\, X\), parmi les sous-\(M\)-ens. à gauche de \(\mathrm{Hom}(e,x) \overset{\text{déf}}{=} F(x)\) qui sont de la forme \(fM\) (avec \(f \in F(x)\)) il y en a un plus petit, il est formé de l'[…] […] des \(\lambda \in \mathrm{Hom}(e,x)\) de la forme \(\forall f \in \mathrm{Hom}(\) \(\forall f \in F(x)\), \(\exists u \in M\) […] \(\lambda = fu\).

soit \(H_x = \bigcap_{f \in F(x)} fM\). la définition ci-dessus est portée en interligne au-dessus de « il y en a un plus petit »

\(2^{\circ})\) \(H_x\) est donc un \(M\)-ens. à droite. De plus, pour tout \(f : x \to y\) […] \[H_y \;=\; f \cdot H_x .\] On a donc \(\mathrm{card}\, H_y \leq \mathrm{card}\, H_x\) si \(x \leq y\) (\(\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow}\) si \(\mathrm{Hom}(x,y) \neq \emptyset\)).

\(3^{\circ})\) Supposons les \(F(x)\) finis (cf. condition c) ci-dessus) et que \(e\) soit aussi objet maximal i.e. que \(\mathrm{Ord}\, X\) soit réduit

51la page porte « 6 » de sa main, écrit sur un chiffre biffé

à un élément. Alors pour tout \(f\) flèche \(f : x \to y\) dans \(X\), \(x \to f\) \[\lambda \longmapsto f\lambda \;:\; H_x \xrightarrow{\ \sim\ } H_y\] est bijectif (car les \(H\) forment un syst. local sur \(X\)).

\(4^{\circ})\) Supposons, […] en plus des conditions a) b) c) et celle de \(3^{\circ})\), que \(X\) soit 1-connexe. Alors le système local des \(H_x\) est [donc] constant, dessus en particulier [i.e. dont] l'opération de \(M = \mathrm{Hom}(e,e)\) sur \(H_x\) est […] et par suite l'constante

\(\lambda \in H_x\), \(u \in M \Longrightarrow \lambda u = \lambda\)

bijections \[u \longmapsto fu \;:\; H_e \longrightarrow H_x\] définie par un \(f \in F(x) : e \to x\) ne dépend pas du choix de \(f\), donc \[fu \;=\; gu \qquad \text{pour } u \in H_e, \quad f, g : e \rightrightarrows x .\]

52la page porte « 7 » de sa main ; la proposition 2 est elle aussi reprise depuis le début

Comme corollaire, on a ceci

Proposition 2 Soit \(X\) une catégorie finie pseudo-cofiltrante, […] et soit \(X_0\) la catégorie [est] ouverte de \(X\) formée des objets [plus petits] […] de \(X\) (car les hyp. impliquent \(X_0 \neq \emptyset\)), donc \(X_0\) est 0-connexe). Supposons que \(X_0\) soit 1-connexe. Alors \(X\) est cofiltrante (donc tout objet 0-connexe de \(X^\wedge\) est \(\infty\)-connexe, et plus généralement \(\infty\)-asphérique pour tout […] localisateur fondamental \(W\) satisfaisant […] \(W(\uncertain{\delta})\)).

À fortiori :

Corollaire Soit \(X\) une catégorie finie telle que tout objet 0-connexe de \(X^\wedge\) soit 1-connexe (p. ex. telle que \(X^0\) soit tot. \(W\)-asphérique, si \(W\) est un loc. fondamental tel que \(W \subset W_1\)). Alors \(X\) est cofiltrante, i.e. \(X^0\) est filtrante (et tout objet de \(X^\wedge\) est \(\infty\)-connexe).

l'ouvert des plus petits objets est noté \(X_0\) dans l'énoncé de la proposition et \(X^0\), l'indice porté en exposant, dans celui du corollaire ; la transcription garde les deux graphies

53la page porte « 8 » de sa main et ne compte que trois lignes : fin de la suite

En effet, on voit […] que l'hyp. implique que \(X\) est pseudo-cofiltrante, et on applique la proposition 2.

Deux exemples : les épimorphismes et les monomorphismes d'un ensemble infini

55la page porte « 1 » de sa main : début d'une suite nouvelle

I) Soit \(E\) un ens. infini, \[M \;=\; \mathrm{Ep}(E)\] le monoïde des endos surjectifs de \(E\). On a les propriétés suivantes

\(1^{\circ})\) \(uf = vf \Longrightarrow u = v\) donc \(M\) non cofiltrant

\(2^{\circ})\) \(M\) est pseudo-cofiltrant, et \(=\) il existe des éléments minimaux, i.e. des […] \(w\) tels que \(\forall u \in M\), \(\exists w_u \in M\) avec \[\struck{p}\, w \;=\; u\, w_u\] (et on peut \(=\) prendre \(w_u\) [minimal]). (Mais bien sûr on n'a pas […] \(uw = w\) \(\forall u \in M\) ; car \(up = p\) impliquerait \(u = 1\) […]). On n'a donc pas non plus \(w^2 = w\), ni \(u^2 = u\) pour aucun \(u \in M\) sauf \(u = 1\).) [ Les \(w\) minimaux sont ceux pour lesquels \(\mathrm{card}\, w^{-1}(x) = \pi \overset{\text{déf}}{=} (\mathrm{card}\, E)\) pour tout \(x \in E\). ]

\(3^{\circ})\) Si \(w_0\) est […] minimal, l'ens. des […] […] est égal à l'ens. des \(w = w_0\,\sigma\) […] […] dans \(M\)) […] avec \(\sigma \in M^{*}\) (aux […] cycles […]) [ donc \(M^{*} = \mathrm{Aut}(E)\) ]. tout ce paragraphe est traversé par une insertion diagonale surchargée, elle-même partiellement biffée ; le peu qui s'en lit est donné ci-dessus

\(4^{\circ})\) […] dans \(M\), […] existe \(w\) minimal et \(f\) telle que \(f\,w = f\) (donc l'image \(\overline{w}\) de \(w\) dans le groupe enveloppant [\(G\)] de \(M\) est 1).

\(5^{\circ})\) Soit \(M^{*}_0 \subset M^{*}\) […] la partie formée des \(\sigma \in M^{*}\) telles qu'il existe \(f \in M\) avec \(f\,\sigma = f\).

56la page porte « 2 » de sa main

Alors \(M^{*}_0\) engendre le groupe \(M^{*}\). Ceci implique que […] l'image de \(M^{*}\) dans \(G\) est égale à \(\{1\}\), donc, compte tenu des \(3^{\circ})\) et \(4^{\circ})\), que pour tout objet minimal \(w\) de \(M\), on a \(\overline{w} = 1\). Compte tenu de \(2^{\circ}\), \[w \;=\; u\, w_u \qquad \text{avec } w, w_u \text{ minimaux}\] on en conclut \(\overline{u} = 1\) \(\forall u \in M\), i.e.

\(6^{\circ})\) le […] groupe enveloppant \(G\) de \(M\) est \(\{1\}\).

II) Soit toujours \(E\) un ens. infini, et \[M \;=\; \mathrm{Mon}(E)\] le monoïde des endos injectifs de \(E\). Alors \(M\) satisfait l'ensemble des […] propriétés duales [de I] de \(1^{\circ}\) à \(6^{\circ})\), i.e. \(M^0\) satisfait aux propriétés \(1^{\circ}\) à \(6^{\circ}\). Les objets minimaux sont de \(M\), i.e. elles [tels] que \(\forall u \in M\), on ait une factorisation \[w \;=\; w\, u , \qquad \mathrm{card}\bigl(E - w(E)\bigr) \;=\; \pi\] sont ceux pour lesquels […]

57la page porte « 3 » de sa main

\(X_{/\!/a} \cap X_{/\!/b}\)

Soit \(X\) loc. irréductible [ i.e. telle que les comp. irréductibles [connexes] soient irréductibles i.e. satisfassent à \(P_S * 1'\) ]. Alors la relation \[R(a,b) \;:\; X_{/\!/a} \cap X_{/\!/b} \neq \emptyset\] est une relation d'équivalence dans \(\mathrm{Ob}\, X\), laquelle n'est autre que celle […] définie par \[\mathrm{Ob}\, X \longrightarrow \pi_0(X) .\] De plus, si \(X_{/\!/a} \cap X_{/\!/b}\) \(\neq \emptyset\) est non vide, il est 0-connexe, […] et donc \(=\) […] Si \(X\) est 0-connexe, […] pour [il suffit] que \(X\) soit 1-connexe, il suffit que les \(X_{/\!/a}\) le soient.

[…] \(X_{/\!/a} \neq \emptyset\) […] connexe […] accolade et note portées en diagonale dans la marge de gauche, presque entièrement illisibles

58feuillet d'essai, sans prose suivie

\[\varphi u = \varphi v \quad \text{avec } u, v, \varphi \ \uncertain{surj.} \quad \Longrightarrow \quad u = v\] \[\varphi u = \varphi \quad \Longrightarrow \quad u = \mathrm{id}\ ? \qquad \uncertain{\mathrm{Mon}}\]

\begin{tikzcd}
G \arrow[r, "u"] & F \arrow[r, "\varphi"] & E
\end{tikzcd}

\[M \;=\; \mathrm{Ep}(E)\] description des épimorphismes de l'ens. \(E\) dans lui-même.

\(M\) est ps. cofiltrant, et […] un objet […] \(\forall u \in M\) minimal \(w\) (tel que pour tout \(u \in M\), \(\exists u'\) avec \(w u' = w\)) — il suffit de prendre pour \(w\) une surjection dont les fibres sont de cardinal […] \(\mathrm{card}\, E\). \(M\) n'est pas cofiltrant, car \[u f = v f \quad \Longrightarrow \quad u = v .\] […] groupe associé : \(M\) est-il trivial ? Je suppose que oui. On doit obtenir des relations non triviales dans le groupe enveloppant \(G\), appliquées aux triples \(u, v, f\) […] avec \[f u = f v , \qquad u \neq v\] ce qui donne \(\overline{u} = \overline{v}\) dans \(G\).

60feuillet d'essai portant « (1) » cerclé de sa main : carquois tracés sans étiquettes, formules isolées. On donne ce qui porte du texte ; les graphes non étiquetés ne sont pas reproduits

\begin{tikzcd}
F_s \arrow[r] & F_{s'}
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
s & s' \arrow[l]
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
X \arrow[r] & \mathrm{Groupoïdes}
\end{tikzcd}

2-catégorie des 2-groupes [champs]

\(X_0\), \(X_1\), \(\mathcal{F}_{0u} \xleftarrow{\ \sim\ } \mathcal{F}_{1t}\)

le diagramme qui suit est redessiné d'un croquis serré ; les deux inclusions y portent la mention « fermé », et la flèche verticale de droite descend d'un « groupoïde loc. constant »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& Z \arrow[d] & \Psi \arrow[l, hook'] \arrow[d] \\
e \arrow[r] \arrow[ur] & X' & X \arrow[l, hook']
\end{tikzcd}

\[\mathrm{Hom}(e,x) \;\simeq\; \pi_0\bigl(e \backslash \Psi / x\bigr) \;\simeq\; \pi_0\bigl(S/x\bigr)\] \[\varinjlim_{x \in X} \pi_0\bigl(S/x\bigr)\]

\begin{tikzcd}
S \arrow[d] \\
e \backslash X \arrow[d] \\
X
\end{tikzcd}

la flèche du haut porte « cocofinal », celle du bas « cofibr. »

asph., asph., cofinal, car \(X\) 0-connexe.

\(S\) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
A_1 \arrow[r] \arrow[dr] & B \\
A_2 \arrow[r] & c
\end{tikzcd}