Fonds Grothendieck, cote n° 158, pages 41–60

Monoïdes finis, catégories pseudo-cofiltrantes et 1-connexité

les intertitres de cette transcription sont de l'éditeur : aucun des feuillets du lot n'en porte. Le lot réunit trois suites paginées de sa main, indépendantes les unes des autres : la fin d'une première suite (feuillet 41, numéroté 7), une suite complète numérotée 1 à 8 (feuillets 44 à 53), et une suite numérotée 1 à 3 (feuillets 55 à 57), suivie de feuillets d'essai

conventions de notation retenues pour tout le lot : X^\wedge pour son X surmonté d'un accent circonflexe (la catégorie des préfaisceaux sur X), qu'il trace tantôt en exposant, tantôt superposé à la lettre ; \mathbb{N} et \mathbb{Z} pour ses N et Z barrés ; X_{/\!/a} pour son X à double barre en indice

la page porte « 7 » de sa main en tête ; elle commence au milieu d'une phrase et fait suite, pour le sens, à ce qui s'interrompt au bas du lot précédent. Sa pagination ne s'y raccorde pourtant pas : les feuillets 21 à 39 portent de sa main 3 à 18, de sorte qu'un « 7 » ne peut clore cette suite-là. On laisse le chiffre tel qu'il est lu et l'on signale le désaccord plutôt que de le résoudre

u \in M et pour p, q \in \mathbb{N}, \varphi^p u = \varphi^q u \Rightarrow p = q, on aura ~~que \varphi^p~~ (on remarquera on u = \varphi puisque ~~\exists~~ u' avec uu' = \varphi) \varphi^p = \varphi^q \Rightarrow p = q.

Dans ce cas, par des principes généraux, ~~le quotient~~ l'objet e de X^\wedge étant 0-connexe, l'objet quotient F = e/\mathbb{N} = e/\varphi est 0-connexe et son \pi_1 admet un quotient isomorphe à \mathbb{Z}, donc X^\wedge/F n'est pas 1-connexe, et H^k(F, \mathbb{Z}) \neq 0 pour un entier k \neq 0.

b) Il existe p \neq q tel que \varphi^p = \varphi^q. Alors ~~l'opération~~ l'image de M dans l'ens. \mathrm{Ep}(E) des épimorphismes de E = ens. des éléments minimaux de E est un groupe \Gamma, et si X_0 désigne l'ouvert de X formé des plus petits objets de X, alors \pi_1(X_0, e) \;\simeq\; \pi_1(M) \twoheadrightarrow \Gamma . Donc si X_0 est 1-connexe, alors \Gamma = \{1\}, donc u\varphi = \varphi \forall u \in M, et M ~~est~~ donc ainsi X_0, est cofiltrant.

tel qu'il est écrit, « des épimorphismes de E = ens. des éléments minimaux de E » définit E par lui-même ; l'argument appelle un E_0, l'ensemble des éléments minimaux de E, qui reparaît sous ce nom au feuillet 45

Conclusion Si tous les objets de X^\wedge est 1-connexe, alors X est cofiltrant.

\mathrm{End}(E) \varphi = \varphi X_0 \pi_1(\ill{}) note marginale portée en diagonale dans l'angle inférieur gauche, en grande partie illisible

Proposition 1 : un monoïde fini pseudo-cofiltrant à groupe enveloppant trivial

la page porte « 1 » de sa main : début de la suite qui court jusqu'au feuillet 53

Proposition 1 Soit M un monoïde fini, tel que

a) le groupe enveloppant de M soit \simeq \{1\}, et

b) M est pseudo-cofiltrant. ~~pseudo-cofiltrant.~~

Alors il existe un élément p de M tel que l'on ait, pour tout u \in M (*) \qquad u p \;\struck{= up}\; = p , \qquad \text{(en particulier } p^2 = p\text{)}, ~~en particulier~~ donc M est ~~filtrant~~ cofiltrant.

Dém. ~~L'unicité de p est claire, car si p' \in M satisfait aux mêmes propriétés que p, on a (faisant u = p' dans (*)) p'p = pp' = p et symétriquement pp' = p'pp' = p', donc p = p'.~~ tout ce paragraphe de démonstration est barré de deux longues diagonales ; il se lit néanmoins d'un bout à l'autre

~~On peut supposer~~ M pseudo-cofiltrant implique que pour un ~~ensemble~~ nb fini d'~~éléments~~ objets u_i de M, il existe un objet p de M tel que ~~pour tout~~ pour tout i, p se factorise en p \;=\; u_i v_i . Comme M est fini il existe donc un p tel que pour tout u \in M, on ait une factorisation (**) \qquad p \;=\; u\, v(u) , où v(u) est un objet de M. ~~Cette propriété~~ L'existence d'un tel p implique visiblement que M est cofiltrant, donc équivaut (pour M fini)

à l'hypothèse b).

OPS M réalisé comme monoïde d'endomorphismes d'un ensemble ~~fini~~ E (p. ex. par la représentation régulière gauche de M). « OPS » = on peut supposer ; l'abréviation revient dans le lot

La relation (**) implique \mathrm{Im}\, p \;\subset\; \mathrm{Im}\, u \qquad \forall u \in M,

E_0 = la mention ci-dessus est portée en interligne, une accolade la rattachant au \mathrm{Im}\, p de la phrase suivante donc \mathrm{Im}\, p est le plus petit des \mathrm{Im}\, u, pour u \in M. Soit u \in M, on a u(E_0) \;=\; u\, p(E) \;=\; \mathrm{Im}(up) \;\supset\; E_0 , et comme E_0 est fini, on en conclut que u(E_0) = E_0 et que u|E_0 est un automorphisme de l'ens. E_0. Soit u_{E_0} cet automorphisme. L'application u \longmapsto u_{E_0} \;:\; M \longrightarrow \mathrm{Aut}(E_0) est un hom. de M dans un groupe. L'hyp. a) sur M implique donc qu'on a u_{E_0} = \mathrm{id}_{E_0} \forall u \in M. On en conclut aussi que E_0 \;=\; \text{ens. des pts fixes de } M \text{ opérant dans } E, car si x \in E \setminus E_0, comme p(x) \in E_0, on a p(x) \neq x

donc x n'est pas pt fixe pour M. ~~On en conclut, d'où~~ \forall u \in M la relation u_{E_0} = \mathrm{id}_{E_0} s'écrit u\, p(x) \;=\; p(x) \quad \forall x \in E, \qquad \text{i.e.} up \;=\; p \qquad \forall u \in M, ce qui prouve déjà que M est cofiltrant (car u, v \in M, on a up = vp, les deux ~~membres~~ étant égaux à p), cqfd.

J'ai envie de proposer ceci :

Proposition 2 (??) Soit X une catégorie 1-connexe finie, ayant un ~~objet~~ plus grand objet a), et pseudo-cofiltrante. Alors X est cofiltrante.

On retrouve \uncertain{(\ddagger)} le 1 en prenant X réduite à un seul objet. Je vais essayer de calquer la dém., au 2. Je note ~~qu'il est cat. finie~~, dans la catégorie X/a, (il y a un plus petit objet,

le mot qui précède « 1 », puis « 2 », n'est pas lisible ; le sens appelle « la proposition », énoncée plus haut sous ce numéro

la page porte « 4 » de sa main

soit (e_a, p_a), ou p \;:\; e \longrightarrow a . Si b est dans X, on voit que la dernière, dans catégorie X/b il y a un plus petit objet, et on voit ~~facilement~~ que on peut prendre à source égale à e, donc de la forme e \xrightarrow{\;p_b\;} b . Mais il n'y a pas unicité de p_b, et pour une , à faire ce point, on voudrait mettre en relation le choix de p_b, avec celui (déjà fait) de p_a = p. Comme a est un plus grand objet de X, il existe u \;:\; b \longrightarrow a et on voit facilement que pour u fixé, on peut choisir p_b de la façon que

\begin{tikzcd} & b \arrow[dr, "u"] & \\ e \arrow[ur, "p_b"] \arrow[rr, "p"'] & & a \end{tikzcd}

commutatif.

feuillet d'essai : diagrammes repris deux fois et formules isolées, sans prose suivie. On transcrit ce qui se lit

p \in \mathrm{Hom}(e,a)

\begin{tikzcd} & b \arrow[dr, "u", bend left=15] \arrow[dr, "v"', bend right=15] & \\ e_a \arrow[ur, bend left=15] \arrow[ur, bend right=15] \arrow[rr, "p_a"'] & & a \end{tikzcd}

les deux flèches de e_a vers b sont notées p_{b,u} et p_{b,v} sur le feuillet

\varphi \in \mathrm{Hom}(e,e)

\begin{tikzcd} e \arrow[r, "p"] \arrow[d, bend right=25] & a \\ e \arrow[u, bend right=25] \arrow[ur] & \end{tikzcd}

uq = p, \qquad \struck{\ill{}} \text{ avec } q \text{ comme } p, \qquad \text{donc } uq = q \underbrace{u\,q}_{q} \;=\; \underbrace{v\,q'}_{q'} \;=\; p

\begin{tikzcd} & b \arrow[dr, "u"] & \\ e \arrow[ur, "p_u"] \arrow[rr] & & q \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} & q & \\ e \arrow[ur] \arrow[dr, "p_v"'] & & \\ & b \arrow[uu, "v"'] & \end{tikzcd}

~~\mathrm{Hom}(x,a)~~, \mathrm{Hom}(m,a), x \mapsto \mathrm{Hom}(e,x)

up = q, \qquad p = v\,\overline{v}, \qquad p = q\,q', \qquad q = v\,\struck{\ill{}}

Corollaire : X finie, pseudo-cofiltrante, U 1-connexe

la page porte de sa main un chiffre corrigé, illisible sous la surcharge

Corollaire Soit X une catégorie finie, (i.e. X^\wedge est loc. ~~irréductible~~), pseudo-cofiltr. ~~sép.~~ ~~Donc~~ \mathrm{Ord}\, X est un ensemble ordonné cofiltrant, admettant donc un plus petit élément. Soit U l'ouvert de X formé des objets de X qui sont des plus petits objets. ~~On suppose~~ U 1-connexe, ~~alors~~ X est cofiltrante. (Donc si tout objet de X est 1-connexe, alors X est cofiltr.)

En effet, il est immédiat ~~que~~ U est (et X aussi) pseudo-cofiltrante, un ouvert cocofinal dans X, que X est cofiltrante dès que U l'est. D'autre part si e \in U, alors U_0 l'inclusion de la sous-catégorie pleine (de X réduite) à e dans U est une équivalence, ce qui implique que U_0 est 1-connexe, U l'est aussi, et que U est cofiltrant ssi U_0 l'est. Donc [ il est immédiat aussi, X étant pseudo-cofiltrant, que l'ouvert cocofinal U l'est également, donc U_0 (équivalent : U) également. ]

Soit donc M = \mathrm{End}_X(e). On peut appliquer à M la proposition 1, qui implique que M est cofiltrant, ainsi U_0 \simeq B_M est cofiltrante, cqfd

Faux ! revoir la démonstration

N.B. Au lieu de l'hypothèse X finie, il suffisait de supposer que a) X admet un plus petit objet e, et b) \mathrm{End}_X(e) est fini.

Seconde mouture : la proposition 1 reprise par les H_x

la page porte « 5 » de sa main ; l'énoncé de la proposition 1 est repris depuis le début, sous des hypothèses différentes

Proposition 1 Soit X une catégorie telle que

a) X pseudocofiltrante — b) X admet un plus petit objet e (conséquence de a) si \mathrm{Ob}\, X fini) ~~objet minimal~~

c) Pour tout x \in \mathrm{Ob}\, X, l'ens. des sous-\underbrace{\mathrm{Hom}(e,e)}_{M}-ens. à droite de \mathrm{Hom}(e,x) satisfait la condition minimale (ce qui est le cas si les \mathrm{Hom}(e,x) sont finis). Alors

1^{\circ}) \forall x \in \mathrm{Ob}\, X, parmi les sous-M-ens. à gauche de \mathrm{Hom}(e,x) \overset{\text{déf}}{=} F(x) qui sont de la forme fM (avec f \in F(x)) il y en a un plus petit, ~~il est formé de l'~~ des \lambda \in \mathrm{Hom}(e,x) ~~de la forme~~ ~~\forall f \in \mathrm{Hom}(~~ \forall f \in F(x), \exists u \in M \lambda = fu.

soit H_x = \bigcap_{f \in F(x)} fM. la définition ci-dessus est portée en interligne au-dessus de « il y en a un plus petit »

2^{\circ}) H_x est donc un M-ens. à droite. De plus, pour tout f : x \to y H_y \;=\; f \cdot H_x . On a donc \mathrm{card}\, H_y \leq \mathrm{card}\, H_x si x \leq y (\overset{\text{déf}}{\Longleftrightarrow} si \mathrm{Hom}(x,y) \neq \emptyset).

3^{\circ}) Supposons les F(x) finis (cf. condition c) ci-dessus) et que e soit aussi objet maximal i.e. que \mathrm{Ord}\, X soit réduit

la page porte « 6 » de sa main, écrit sur un chiffre biffé

à un élément. Alors pour tout f flèche f : x \to y dans X, ~~x \to f~~ \lambda \longmapsto f\lambda \;:\; H_x \xrightarrow{\ \sim\ } H_y est bijectif (car les H forment un syst. local sur X).

4^{\circ}) Supposons, en plus des conditions a) b) c) et celle de 3^{\circ}), que X soit 1-connexe. Alors le système local des H_x est donc constant, ~~dessus~~ en particulier i.e. dont l'opération de M = \mathrm{Hom}(e,e) sur H_x est et par suite l'constante

~~\lambda \in H_x, u \in M \Longrightarrow \lambda u = \lambda~~

~~bijections~~ u \longmapsto fu \;:\; H_e \longrightarrow H_x définie par un f \in F(x) : e \to x ne dépend pas du choix de f, donc fu \;=\; gu \qquad \text{pour } u \in H_e, \quad f, g : e \rightrightarrows x .

la page porte « 7 » de sa main ; la proposition 2 est elle aussi reprise depuis le début

Comme corollaire, on a ceci

Proposition 2 Soit X une catégorie finie pseudo-cofiltrante, et soit X_0 la catégorie est ouverte de X formée des ~~objets~~ plus petits de X (car les hyp. impliquent X_0 \neq \emptyset), ~~donc~~ X_0 est 0-connexe). Supposons que X_0 soit 1-connexe. Alors X est cofiltrante (donc tout objet 0-connexe de X^\wedge est \infty-connexe, et plus généralement \infty-asphérique pour tout localisateur fondamental W satisfaisant W(\uncertain{\delta})).

À fortiori :

Corollaire Soit X une catégorie finie telle que tout objet 0-connexe de X^\wedge soit 1-connexe (p. ex. telle que X^0 soit tot. W-asphérique, si W est un loc. fondamental tel que W \subset W_1). Alors X est cofiltrante, i.e. X^0 est filtrante (et tout objet de X^\wedge est \infty-connexe).

l'ouvert des plus petits objets est noté X_0 dans l'énoncé de la proposition et X^0, l'indice porté en exposant, dans celui du corollaire ; la transcription garde les deux graphies

la page porte « 8 » de sa main et ne compte que trois lignes : fin de la suite

En effet, on voit que l'hyp. implique que X est pseudo-cofiltrante, et on applique la proposition 2.

Deux exemples : les épimorphismes et les monomorphismes d'un ensemble infini

la page porte « 1 » de sa main : début d'une suite nouvelle

I) Soit E un ens. infini, M \;=\; \mathrm{Ep}(E) le monoïde des endos surjectifs de E. On a les propriétés suivantes

1^{\circ}) uf = vf \Longrightarrow u = v donc M non cofiltrant

2^{\circ}) M est pseudo-cofiltrant, et = il existe des éléments minimaux, i.e. des w tels que \forall u \in M, \exists w_u \in M avec \struck{p}\, w \;=\; u\, w_u (et on peut = prendre w_u minimal). (Mais bien sûr on n'a pas uw = w \forall u \in M ; car up = p impliquerait u = 1 ). On n'a donc pas non plus w^2 = w, ni u^2 = u pour aucun u \in M sauf u = 1.) [ Les w minimaux sont ceux pour lesquels \mathrm{card}\, w^{-1}(x) = \pi \overset{\text{déf}}{=} (\mathrm{card}\, E) pour tout x \in E. ]

3^{\circ}) Si w_0 est minimal, l'ens. des est égal à l'ens. des w = w_0\,\sigma dans M) avec \sigma \in M^{*} (aux cycles ) [ donc M^{*} = \mathrm{Aut}(E) ]. tout ce paragraphe est traversé par une insertion diagonale surchargée, elle-même partiellement biffée ; le peu qui s'en lit est donné ci-dessus

4^{\circ}) dans M, existe w minimal et f telle que f\,w = f (donc l'image \overline{w} de w dans le groupe enveloppant G de M est 1).

5^{\circ}) Soit M^{*}_0 \subset M^{*} la partie formée des \sigma \in M^{*} ~~telles~~ qu'il existe f \in M avec f\,\sigma = f.

la page porte « 2 » de sa main

Alors M^{*}_0 engendre le groupe M^{*}. Ceci implique que l'image de M^{*} dans G est égale à \{1\}, donc, compte tenu des 3^{\circ}) et 4^{\circ}), que pour tout objet minimal w de M, on a \overline{w} = 1. Compte tenu de 2^{\circ}, w \;=\; u\, w_u \qquad \text{avec } w, w_u \text{ minimaux} on en conclut \overline{u} = 1 \forall u \in M, i.e.

6^{\circ}) le groupe enveloppant G de M est \{1\}.

II) Soit toujours E un ens. infini, et M \;=\; \mathrm{Mon}(E) le monoïde des endos injectifs de E. Alors M satisfait l'ensemble des propriétés duales de I de 1^{\circ} à 6^{\circ}), i.e. M^0 satisfait aux propriétés 1^{\circ} à 6^{\circ}. Les objets minimaux ~~sont~~ de M, i.e. ~~elles~~ tels que \forall u \in M, on ait une factorisation w \;=\; w\, u , \qquad \mathrm{card}\bigl(E - w(E)\bigr) \;=\; \pi sont ceux pour lesquels

la page porte « 3 » de sa main

~~X_{/\!/a} \cap X_{/\!/b}~~

Soit X loc. irréductible [ i.e. telle que les comp. ~~irréductibles~~ connexes soient irréductibles i.e. satisfassent à P_S * 1' ]. Alors la relation R(a,b) \;:\; X_{/\!/a} \cap X_{/\!/b} \neq \emptyset est une relation d'équivalence dans \mathrm{Ob}\, X, laquelle n'est autre que celle définie par \mathrm{Ob}\, X \longrightarrow \pi_0(X) . De plus, si X_{/\!/a} \cap X_{/\!/b} ~~\neq \emptyset~~ est non vide, il est 0-connexe, ~~et donc =~~ ~~Si X est 0-connexe, pour~~ il suffit que X soit 1-connexe, il suffit que les X_{/\!/a} le soient.

X_{/\!/a} \neq \emptyset connexe accolade et note portées en diagonale dans la marge de gauche, presque entièrement illisibles

feuillet d'essai, sans prose suivie

\varphi u = \varphi v \quad \text{avec } u, v, \varphi \ \uncertain{surj.} \quad \Longrightarrow \quad u = v \varphi u = \varphi \quad \Longrightarrow \quad u = \mathrm{id}\ ? \qquad \uncertain{\mathrm{Mon}}

\begin{tikzcd} G \arrow[r, "u"] & F \arrow[r, "\varphi"] & E \end{tikzcd}

M \;=\; \mathrm{Ep}(E) ~~description~~ des épimorphismes de l'ens. E dans lui-même.

M est ps. cofiltrant, et un objet \forall u \in M minimal w (tel que pour tout u \in M, \exists u' avec w u' = w) — il suffit de prendre pour w une surjection dont les fibres sont de cardinal \mathrm{card}\, E. M n'est pas cofiltrant, car u f = v f \quad \Longrightarrow \quad u = v . groupe associé : M est-il trivial ? Je suppose que oui. On ~~doit~~ obtenir des relations non triviales dans le groupe enveloppant G, appliquées aux triples u, v, f avec f u = f v , \qquad u \neq v ce qui donne \overline{u} = \overline{v} dans G.

feuillet d'essai portant « (1) » cerclé de sa main : carquois tracés sans étiquettes, formules isolées. On donne ce qui porte du texte ; les graphes non étiquetés ne sont pas reproduits

\begin{tikzcd} F_s \arrow[r] & F_{s'} \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} s & s' \arrow[l] \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} X \arrow[r] & \mathrm{Groupoïdes} \end{tikzcd}

2-catégorie des 2-~~groupes~~ champs

~~X_0~~, ~~X_1~~, \mathcal{F}_{0u} \xleftarrow{\ \sim\ } \mathcal{F}_{1t}

le diagramme qui suit est redessiné d'un croquis serré ; les deux inclusions y portent la mention « fermé », et la flèche verticale de droite descend d'un « groupoïde loc. constant »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & Z \arrow[d] & \Psi \arrow[l, hook'] \arrow[d] \\ e \arrow[r] \arrow[ur] & X' & X \arrow[l, hook'] \end{tikzcd}

\mathrm{Hom}(e,x) \;\simeq\; \pi_0\bigl(e \backslash \Psi / x\bigr) \;\simeq\; \pi_0\bigl(S/x\bigr) \varinjlim_{x \in X} \pi_0\bigl(S/x\bigr)

\begin{tikzcd} S \arrow[d] \\ e \backslash X \arrow[d] \\ X \end{tikzcd}

la flèche du haut porte « cocofinal », celle du bas « cofibr. »

asph., asph., cofinal, car X 0-connexe.

S :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] A_1 \arrow[r] \arrow[dr] & B \\ A_2 \arrow[r] & c \end{tikzcd}