Cote n° 156-9, pages 81–100

Cote n° 156-9 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · [Chapitre] IX et IX bis. [Ateliers] : notes manuscrites (05-15/07/1986).
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

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81pagination de l'auteur : p. 78. L'argument vient de la batch précédente : la condition a), la relation $\mathrel{|\circ|}$, $\Sigma$, $\Sigma_E$ et $\sigma$ y sont déjà introduits.

b) $\forall\, S \in \Sigma$, posant $\beta(S) = \{x \in E \mid \sigma(x) \leq S\}$, on a $S = \operatorname{Sup}(\{\sigma x \mid x \in$ \[S = \operatorname{Sup}_{x \in \beta(S)} \sigma x\] (Donnons aussi la formulation symétrique ⌜b'), p. 83⌝). « p. 83 » est la pagination de l'auteur, soit la p. 86 des archivistes.

Cette condition b) signifie aussi que « $\sigma(E)$ est partie ⌜« dense »⌝ de $\Sigma$ », i.e. $\forall\, S$, $S = \operatorname{Sup}_{\sigma(x) \leq S} \sigma(x)$ […].

De plus, quand ces conditions sont satisfaites, la […] $\alpha$ est uniquement déterminée. NB Explicitons la formule pour $\alpha$, et pour l'application inverse $\beta$.

Dém. La nécessité de a) b) évidente, prouvons la suffisance. Utilisant a), on va construire une application \[\alpha : \Sigma_E \longrightarrow \Sigma,\] en posant pour tout $A \in \Sigma_E$ \[\alpha(A) = \operatorname{Sup}_{x \in A} \sigma(x).\] Il est clair que cette application est croissante, et par b) elle est surjective, […] en vérifiant que $\beta(S)$ dans b) est $\in \Sigma_E$. Soit $S' = \complement S$, et considérons $\beta(S')$, il suffit de voir que \[\beta(S) = \operatorname{Cosup}^{\circ}(\beta(S'))\] i.e. que pour $x \in E$, on a \[x \in \beta(S) \iff x \mathrel{|\circ|} \beta(S') \quad \text{i.e.} \quad \sigma(x) \mathrel{|\circ|} \underbrace{\sigma(\beta(S'))}_{S'_0}\] i.e. $\sigma(x) \leq S$ (par a)).

Mais $\sigma(x) \mathrel{|\circ|} S'_0 \iff \sigma(x) \mathrel{|\circ|} \operatorname{Sup} S'_0$, et comme $\operatorname{Sup} S'_0 = S'$, cela équivaut à $\sigma(x) \mathrel{|\circ|} S'$ i.e. $\sigma(x) \leq S$, ok.

82p. 79 de l'auteur.

En fait, on ⌜dans⌝ construit une application \[\Sigma \xrightarrow{\ \beta\ } \Sigma_E\] réciproquement croissante, telles que \[\alpha\beta = \mathrm{id}_{\Sigma} .\] le $\alpha$ de $\alpha\beta$ est récrit sur une lettre noircie.

De plus, on vérifie de suite qu'elle est compatible : C. Pour démontrer ce dernier, il suffit de voir que \[\beta\alpha = \mathrm{id}_{\Sigma_E} ,\] après $\beta\alpha$, quelques lettres noircies et illisibles. car alors $\alpha$ et $\beta$ sont des applications ⌜iso. d'un ens. ordonné sur l'autre⌝, i.e. l'une […] ⌜inverses l'une de l'autre⌝, et (comme on voit sur $\beta$) compatibles : C.

Soit donc $A \in \Sigma_E$, $A' =$ […] $\complement A$. Alors les $\sigma(x)$ et $\sigma(x')$ ($x \in A$, $x' \in A'$) ⌜par ex.⌝ sont disjoints, ⌜donc⌝ leurs Sup […] $\alpha(A)$, $\alpha(A')$ le sont aussi. Considérons $\beta\alpha(A) = \{x \in E \mid \sigma(x) \leq \alpha(A)\}$ Considérons il s'ensuit d'où \[\alpha(A) \leq \complement\alpha(A') ,\] i.e. \[\beta(\alpha(A)) \leq \beta\complement\alpha(A') = \complement\beta(\alpha(A')) , \quad \text{i.e.} \ldots\] Mais cela implique \[\beta\alpha(A) \mathrel{|\circ|} \beta\alpha(A') , \qquad \beta\alpha(A) \geq A , \quad \beta\alpha(A') \geq A' ,\] les deux inégalités sont écrites verticalement, sous chacun des deux termes. $A = \beta\alpha(A)$, $A' = \beta\alpha(A')$, par le

Lemme. Soit $\Sigma$ un système ($\Sigma_E$ ou l'analogue), $A \leq B$, $A' \leq B'$ avec $B \mathrel{|\circ|} B'$, et $A' = \complement A$. Alors $A = B$, $A' = B'$.

En effet, comme on a toujours […] \[A \leq B \leq \complement B' \leq \complement A' = A ,\] donc toutes ces $\leq$ sont des égalités.

83p. 80 de l'auteur.

Il reste : voir l'unicité de $\alpha$, qui est immédiate, vu que tout $A \in \Sigma_E$ est le sup des $\sigma_E(x)$ qu'il majore (i.e. telles que $x \in A$ …), et $\alpha$ doit être d'où forcément \[\alpha(A) = \operatorname{Sup}_{x \in A} \underbrace{\alpha(\sigma_E(x))}_{\sigma(x)} = \operatorname{Sup}_{x \in A} \sigma(x) ,\] cqfd.

Corollaire. Soit $(E, \mathrel{|\circ|})$ un dispositif […], $E_0$ une partie très […] de $E$ ces deux lignes sont barrées de traits obliques.

Corollaire ! Soient $(E, \mathrel{|\circ|}_E)$ une disposition, $E'$ une partie de $E$, $\mathrel{|\circ|}_{E'}$ la relation induite. Conditions équivalentes :

(i)L'image $\sigma_E(E')$ de $E'$ dans $\Sigma_E$ est dense, i.e. tout $S \in \Sigma_E$ est le sup des éléments de $\sigma_E(E')$ qu'il majore.
(ii)[…] L'application \[S \longmapsto S \cap E' , \qquad \Sigma_E \longrightarrow \mathfrak{P}(E')\] applique $\Sigma_E$ dans $\Sigma_{E'}$, et induit […] ⌜est⌝ surjection (NB elle induit donc une iso $\varphi : \Sigma_E \to \Sigma_{E'}$). (NB. […] une iso)
(iii)L'application \[\psi : \Sigma_{E'} \longrightarrow \Sigma_E , \qquad S' \longmapsto \operatorname{Sup}^{\circ}_E(S')\] est surjection (NB en ce sens $=$ une iso)
(iv)$E'$ est dense dans $E$ pour la relation ⌜de pré⌝ordre canonique de $E$ (induite de celle de $\Sigma_E$ via $\sigma_E$).

permutés […] avec (v) $\longleftarrow$ la marge renvoie par une flèche à la condition (iv).

84p. 81 de l'auteur.

Sous ces conditions, les applications $\varphi$, $\psi$ sont inverses l'une de l'autre, et […] des opérations.

⌜(v)⌝ $\forall\, x, y \in E$, si $\forall\, x', y'$ avec $x' \leq x$, $y' \leq y$, on a $x' \mathrel{|\circ|} y'$, alors $x \mathrel{|\circ|} y$. (La relation $\leq$ est la relation d'ordre canonique) la condition (v), d'abord numérotée autrement (numéro noirci), est rattachée par une accolade et une flèche au haut de la page.

Dém. (i) $\iff$ (iv), ⌜évident⌝, compte tenu que (iv) signifie aussi que $\sigma(E')$ est dense dans $\sigma(E)$, pour l'ordre induit par $\Sigma_E$. (Attention, « dense » ici ne veut pas dire […] de la relation d'ordre, qui est pas n'a rien à voir avec la top. logique associée à l'ordre ; mais on a une propriété de transitivité de la densité, grâce à l'associativité des sup.)

(i) $\Longrightarrow$ (v) est connu une fois que $\sigma(E') \subset \sigma(E) \subset \Sigma$, et immédiat, car dans $\Sigma$, si $x = \operatorname{Sup} x_i$, $y = \operatorname{Sup} y_j$, $x_i \mathrel{|\circ|} y_j$ $\forall\, i, j$, alors $x \mathrel{|\circ|} y$.

(v) $\Longrightarrow$ (iv) Soit $S \in \Sigma_E$, Dans la situation […] $\Sigma$ avec $\sigma(E') \subset \sigma(E) \subset \Sigma$. Soit $\xi \in \sigma(E)$. Disons que Considérons $S = \sigma(x)$ ($\in \sigma(E)$) l'ens. $S'$ des $\xi' \in \sigma(E')$ tels que $\xi' \leq \xi$. Je dis que \[\xi = \operatorname{Sup} S' .\] […] Mais (cf. lemme) cela signifie aussi que pour tout $\eta \in \sigma(E)$, on a $S' \mathrel{|\circ|} \eta \Rightarrow \xi \mathrel{|\circ|} \eta$. Considérons donc $J' = \{\eta' \in \sigma(E') \mid \eta' \leq \eta\}$. On a donc $\xi' \mathrel{|\circ|} \eta'$ pour $\xi' \in S'$, $\eta' \in J'$. Par hyp., cela implique $\xi \mathrel{|\circ|} \eta$, ok.

85p. 82 de l'auteur.

Lemme. Soient $\Sigma$ un système, $E$ une partie dense (cf. …), $S'$ une partie de $\Sigma$, formée d'éléments majorés par un $\xi \in \Sigma$, donc i.e. $\operatorname{Sup} S' \leq \xi$. Pour que $\xi = \operatorname{Sup} S'$, il faut et suffit que pour tout $y \in E$, tel que \[\text{\struck{$S' \mathrel{|\circ|} y$}} \quad S' \mathrel{|\circ|} y \Longrightarrow \xi \mathrel{|\circ|} y .\]

Dém du Lemme. On sait déjà que si $\operatorname{Sup} S' = \xi$, alors $\forall\, y \in \Sigma$, on a \[S' \mathrel{|\circ|} y \iff \xi \mathrel{|\circ|} y .\] En sens inverse, supposons que $\operatorname{Sup}(S') = \xi$ i.e. $\xi \leq \operatorname{Sup} S'$, $\complement\xi \geq \ldots$ \[\forall\, y \in E, \quad \underbrace{S' \mathrel{|\circ|} y}_{\text{i.e. } y \leq \operatorname{Inf}_{\xi' \in S'} \complement(\xi')} \Longrightarrow \underbrace{\xi \mathrel{|\circ|} y}_{\text{i.e. } y \leq \complement(\xi)}\] À cause de la densité, on en conclut \[\operatorname{Inf}_{\xi' \in S'} \complement(\xi') \leq \complement(\xi) ,\] d'où \[\xi \leq \operatorname{Sup}_{\xi' \in S'} \xi' ,\] cqfd.

Ainsi, les conditions (i) (iv) (v) de la prop. sont équivalentes. Compte tenu de prop. 1, la condition (i) exprime que l'application canonique $E' \subset E \to \Sigma_E$ permet d'identifier $\Sigma_E$ à $\Sigma_{E'}$. Cette identification est donnée par (ii)

86p. 83 de l'auteur ; la phrase reprend la fin de la page précédente.

(cf. construction de l'application $\beta$ dans prop. 2), et en sens inverse par (iii) (application $\alpha$ de prop. 2). Donc, (i) (ou les équivalentes (iv), (v)) implique (ii), (iii) sauf pour […] (i.e. […] de opérations). Il reste : prouver que (ii) ou (iii) implique ⌜(déjà)⌝ (i).

Mais que (iii) (et simplement la surjectivité de $\psi$) implique (i), est clair. Donc (iii) équivaut aux autres conditions. Reste : voir que (ii) implique (i). Cela équivaut au corollaire suivant, appliqué à $E' \to \Sigma_E$ :

Corollaire 2. Soient $E$ une disposition, $\Sigma$ un système, $\sigma : E \to \Sigma$ une application… Alors la condition b) de la prop. 2 est équivalente (moyennant a)) à la condition suivante :

b') L'application $S \mapsto \beta(S)$ de $\Sigma$ dans $\mathfrak{P}(E)$ applique $\Sigma$ dans $\Sigma_E$, et est bijective ⌜injective⌝.

On a vu dans la démonstration que b) $\Rightarrow$ b'). Prouvons que b') $\Rightarrow$ b). Considérons, pour $S \in \Sigma$ fixé, \[S' = \operatorname{Sup} \sigma(\beta(S)) \leq S .\] Il est clair que $\beta(S) = \beta(S')$, donc $S = S'$, puisque $\beta$ est injectif, cqfd.

87p. 84 de l'auteur. Les corollaires 3 et 4 n'apparaissent pas : la numérotation saute du corollaire 2 au corollaire 5.

Corollaire 5. Soient $(E, \leq, \mathrel{|\circ|})$ une disposition prédonnée, et soit $E'$ une partie de $E$ qui est « dense » dans le sens suivant : \[\forall\, x, y \in E, \quad E'_{\leq x} \mathrel{|\circ|} E'_{\leq y} \Longrightarrow x \mathrel{|\circ|} y .\] avant $E'_{\leq x}$, un signe noirci et illisible. Alors \[\Sigma_{E'} \underset{\varphi}{\overset{\psi}{\rightleftarrows}} \Sigma_E\] les deux flèches portent le signe $\sim$. iso. réciproques l'un de l'autre, donnés par \[\psi(A') = \operatorname{Sup}^{\circ}_E(A') , \qquad \varphi(A) = A \cap E' .\]

On applique cor. 1, critère (v), en notant que la condition de densité ici est plus forte a priori que celle dans (v).

8 bis. Correspondances entre ⌜dispositions et entre⌝ systèmes

titre souligné dans le manuscrit ; le numéro qui le précède est d'une lecture douteuse.

⌜Dic.⌝ Analogie. Soient $E$, $E'$ deux ensembles, […] vus comme dispositions triviales. Une « corr » (ou relation ⌜$R$⌝) entre $E$, $E'$ peut s'interpréter comme une application \[\alpha : E \longrightarrow \mathfrak{P}(E') \qquad (x \longmapsto R(x))\]

88p. 85 de l'auteur.

et elle se prolonge aussitôt en une application \[\alpha_{*} \text{ ou } \overline{\alpha} : \mathfrak{P}(E) \longrightarrow \mathfrak{P}(E') , \qquad A \longmapsto \bigcup_{x \in A} \alpha(x) .\] Cette application $\overline{\alpha}$ commute aux Sup (donc est croissante), et inversement, […] toute application $\varphi : \mathfrak{P}(E) \to \mathfrak{P}(E')$ qui a cette propriété, provient d'une unique $\alpha$, sous la forme $\alpha_{*}$, puisque $\forall\, A \in \mathfrak{P}(E)$, on a \[A = \operatorname{Sup}_{x \in A} \{x\} \quad \text{d'où} \quad \varphi(A) = \operatorname{Sup}_{x \in A} \underbrace{\varphi(\{x\})}_{\text{\uncertain{déf.} } \alpha(x)} .\]

J'écris $\overline{\alpha}$ au lieu de $\alpha_{*}$, pour la suite : […] dis aussi une application […] $\mathfrak{P}(E)$, […] comme flèche […] […] note marginale écrite en oblique dans l'angle supérieur gauche, en grande partie illisible.

Nous allons interpréter l'application correspondante symétrique, ou transposée, $\beta$ de $\alpha$, ou plutôt \[\beta_{*} \text{ ou } \overline{\beta} : \mathfrak{P}(E') \longrightarrow \mathfrak{P}(E) ,\] en […] termes des opérations $\mathfrak{P}(E)$, $\mathfrak{P}(E')$, en notant que \[\forall\, A \in \mathfrak{P}(E),\ A' \in \mathfrak{P}(E') \quad \text{on a} \quad \alpha_{*}(A) \mathrel{|\circ|} A' \iff A \mathrel{|\circ|} \beta_{*}(A') .\] dans le membre de droite, le $\mathrel{|\circ|}$ est écrit sans le petit rond : $A \mathbin{\|} \beta_{*}(A')$.

En effet, le premier membre s'écrit \[\text{\struck{$\forall\, x \in$}}\ \forall\, x' \in A', \ \text{on a } x' \notin \overline{\alpha}(A) \ \text{ i.e. } \nexists\, x \in A\] avec $x' \in \alpha(x)$ i.e. $(x, x') \in R$ \[\text{on a encore} \quad \forall\, x \in A,\ x' \in A' \quad \text{on a } (x, x') \notin R \ \text{ i.e. } (x, x') \in \overline{R}\] la phrase se poursuit sur la page suivante.

89p. 86 de l'auteur.

et le second traduit le […] interprétation pour le 2e terme des deux.

Soient maintenant $(E, \mathrel{|\circ|}_E)$, $(E', \mathrel{|\circ|}_{E'})$ deux dispositions, et considérons deux correspondances \[\alpha : E \to \mathfrak{P}(E') \ \text{ou}\ \overline{\alpha} : \mathfrak{P}(E) \to \mathfrak{P}(E') , \qquad \beta : E' \to \mathfrak{P}(E) \ \text{ou}\ \overline{\beta} : \mathfrak{P}(E') \to \mathfrak{P}(E) .\]

Prop. 3 Lemme Conditions équivalentes :

(i)$\forall\, x \in E$, $x' \in E'$, on a \[x \mathrel{|\circ|} \beta(x') \iff \alpha(x) \mathrel{|\circ|} x' .\]
(ii)$\forall\, A \subset E$, $A' \subset E'$, on a \[A \mathrel{|\circ|} \overline{\beta}(A') \iff \overline{\alpha}(A) \mathrel{|\circ|} A' .\]
(iii)Posant, pour $A \in \Sigma_E$, $A' \in \Sigma_{E'}$, \[\alpha_{*}(A) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(A)) , \qquad \beta_{*}(A') = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E}(\overline{\beta}(A')) ,\] après « $\in$ », avant $\Sigma_E$, un mot noirci et illisible ; les lettres $A$, $A'$ sont récrites sur d'autres. on a aussi équivalence \[\text{\struck{$\alpha_{*}(A)$}}\ A \mathrel{|\circ|} \beta_{*}(A') \iff \alpha_{*}(A) \mathrel{|\circ|} A' .\]

De plus, […] plus bas relations, pour $A \in \mathfrak{P}(E)$, $A' \in \mathfrak{P}(E')$ : \[\text{\struck{$\alpha_{*}(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(A)) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(A))$,}} \quad \text{\struck{$\beta_{*}(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(A')) = \operatorname{Sup}^{\circ}_E(\overline{\beta}(B))$}}\] ce passage est barré, et une flèche venue de la marge (« transposées ») le renvoie plus bas.

Cor. Ces conditions impliquent que les applications $\alpha_{*}$, $\beta_{*}$ \[\Sigma_E \underset{\beta_{*}}{\overset{\alpha_{*}}{\rightleftarrows}} \Sigma_{E'}\] définissent […] pour $\alpha$ et $\beta$, et en particulier un choix global pour […] remplaçons $\alpha$ et $\beta$ par $\alpha'$, $\beta'$ définis par $\alpha(x) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'} \alpha(x)$ le bas de la page est barré de deux longs traits obliques.

Définition. On dit dans ce cas que $\alpha$ et $\beta$ sont transposées […] l'une de l'autre. … dès que note oblique dans la marge gauche, d'une lecture très incertaine.

90p. 87 de l'auteur. Le haut de la page, jusqu'à « transposées $\alpha_1$, $\alpha_2$ de $\beta$ », est barré d'un long trait oblique, qui continue celui de la page précédente.

\[\alpha'(x) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'} \alpha(x) , \qquad \beta'(x) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E} \beta(x) .\] De plus, pour […] ⌜donnés⌝ $\alpha$ (ou $\alpha_{*}$ donné), et plus, ⌜ou $\alpha'$,⌝ il existe une seule $\beta_{*}$ qui si $\beta_1$, $\beta_2$ sont deux transposées de $\alpha$ … ($\beta'_1 = \beta'_2$, $\beta_{1*} = \beta_{2*}$), et ainsi ⌜des côtés⌝ […] $\alpha$ si […] deux transposées $\alpha_1$, $\alpha_2$ de $\beta$.

Dém. Comme c'est évident que (ii) $\Rightarrow$ (i), en faisant $A = \{x\}$, $A' = \{x'\}$, et (i) $\Rightarrow$ (ii), on note que \[A \mathrel{|\circ|} \overline{\beta}(A') \iff x \mathrel{|\circ|} \overline{\beta}(x') \quad \forall\, x \in A,\ x' \in A'\] \[\alpha(A) \mathrel{|\circ|} A' \iff \alpha(x) \mathrel{|\circ|} x' .\] De plus, $A$, $A' \in \Sigma_E$, lorsque tous « De plus » est surchargé d'un ajout au-dessus de la ligne, « en plus » ; la ligne entière est barrée.

Et donc (ii) passe Notons que les deux membres de (ii) ne changent pas quand on remplace $\overline{\beta}$ par le Sup des termes dans la relation $\mathrel{|\circ|}$, … les deux, par leur $\operatorname{Sup}^{\circ}$respectif. Quand $A \in \Sigma_E$, $A' \in \Sigma_{E'}$, cela montre que … cette équivalence signifie, elle dans (iii) donc équivalente. ⌜a) On va prouver b) plus bas.⌝

(ii) $\Longrightarrow$ (iii). En particulier, prouvons que (iii) $\Rightarrow$ (ii) (p. …). On écrit la relation (ii) précédemment sous la forme équivalente : la suite de cette démonstration est sur la page suivante.

91p. 88 de l'auteur.

\[(\ast) \qquad \underbrace{\operatorname{Sup}^{\circ}_E(A)}_{\overline{A}} \mathrel{|\circ|} \operatorname{Sup}^{\circ}_E(\overline{\beta}(A')) \iff \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(A)) \mathrel{|\circ|} \underbrace{\operatorname{Sup}^{\circ} A'}_{\overline{A'}}\] Si on prouve que […] \[\text{\struck{$\operatorname{Sup}^{\circ}_E(\overline{\beta}(A')) = \operatorname{Sup}^{\circ}_E$}}\] (On démontre (iii) b) comme sup…) Si on prouve \[(\ast\ast) \quad \left\{ \begin{aligned} \operatorname{Sup}^{\circ}_E(\overline{\beta}(A')) &= \operatorname{Sup}^{\circ}_E(\overline{\beta}(\overline{A'})) \quad \bigl(\overset{\text{déf}}{=} \beta_{*}(\overline{A'})\bigr) \\ \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(A)) &= \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(\overline{A})) \quad \bigl(\overset{\text{déf}}{=} \alpha_{*}(\overline{A})\bigr) \end{aligned} \right.\] on en conclut que $(\ast)$ s'écrit aussi \[\overline{A} \mathrel{|\circ|} \beta_{*}(\overline{A'}) \iff \alpha_{*}(\overline{A}) \mathrel{|\circ|} \overline{A'}\] ce qui n'est autre que (iii). Donc il faut ⌜suffit⌝ prouver (⌜puisque (ii) implique,⌝ les deux relations ($\ast\ast$) — et il suffit de prouver, par raison de symétrie) de prouver la seconde :

Corollaire ! Sous les conditions du lemme 1 (ou plutôt sous la forme (ii)), si $A \in \mathfrak{P}(E)$, $A' \in \mathfrak{P}(E')$, $\overline{A} = \operatorname{Sup}^{\circ}_E(A)$, $\overline{A'} = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(A')$, … les relations ci-dessus.

Dém. Comme $A \subset \overline{A}$, … $\overline{\alpha}(A) \subset \overline{\alpha}(\overline{A})$, d'où \[\operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(A)) \subset \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(\overline{A})) ,\] il reste à prouver l'inclusion inverse. Je montre qu'on a $=$ … que $\forall\, A' \in \Sigma_{E'}$, … \[A' \mathrel{|\circ|} \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(A)) \iff A' \mathrel{|\circ|} \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(\overline{A}))\] les deux $\operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}$ de cette ligne sont récrits sur des lettres noircies, et le second membre porte en dessous une première version raturée, illisible.

92p. 89 de l'auteur. Le haut de la page, jusqu'à la flèche marquée « ? », est barré de deux traits obliques.

Or par (iii), le dernier membre de l'implication équivaut à : $\beta_{*}(A') \mathrel{|\circ|} A$, alors que le premier équivaut à : $A' \mathrel{|\circ|} \overline{\alpha}(A)$. Reste donc à montrer que \[\text{\struck{$A' \mathrel{|\circ|} \overline{\alpha}(A) \overset{?}{\Longrightarrow} \beta_{*}(A') \mathrel{|\circ|} A$}}\] Or par (ii), les deux membres équivalent resp. à $\beta_{*}(A') \mathrel{|\circ|} A$, et $\beta_{*}(A') \mathrel{|\circ|} \struck{\ill{}}\ \overline{A}$, où $\overline{A} = \operatorname{Sup} A$, lesquelles sont bien équivalentes, qed.

En particulier, faisant avec $A = \{x\}$, … on a \[\operatorname{Sup}^{\circ}_{E'} \alpha(x) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'} \overline{\alpha}\bigl(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(x)\bigr) \overset{\text{déf}}{=} \alpha_{*}\bigl(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(x)\bigr) ,\] i.e. \[\boxed{\ \alpha_{*}\bigl(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(x)\bigr) = \underbrace{\operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\alpha(x))}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \alpha'(x)}\ }\] le $\operatorname{Sup}^{\circ}_E$ du membre de gauche est récrit sur un premier essai.

donc la composition de $\alpha$ avec $\operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}$ …

$\alpha_{*}$ et $\alpha'$ se déterminent mutuellement par cette formule et par la formule, évidente quelle que soit $\alpha : E \to \mathfrak{P}(E')$ (quitte à définir $\alpha'$ par composition de $\alpha$ avec $\operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}$) : \[\boxed{\ \alpha_{*}(S) = \operatorname{Sup}_{x \in S}^{(\Sigma_{E'})} \alpha'(x) \quad (= \alpha'_{*}(S))\ }\]

Les conditions de Prop. 3 sur $(\alpha, \beta)$ ne dépendant que de $\alpha'$, $\beta'$ associés, desquelles définissent ⌜les⌝ donnant $\alpha'_{*} = \alpha_{*}$, $\beta'_{*} = \beta_{*}$,

93p. 90 de l'auteur.

\[\left\{ \begin{aligned} \alpha' &: E \to \Sigma_{E'} \\ \beta' &: E' \to \Sigma_E \end{aligned} \right. \qquad \left\{ \begin{aligned} \alpha_{*} &: \Sigma_E \to \Sigma_{E'} \\ \beta_{*} &: \Sigma_{E'} \to \Sigma_E \end{aligned} \right.\] NB $\alpha \longmapsto (\alpha' \leftrightarrow \alpha_{*})$, $\beta \longmapsto (\beta' \leftrightarrow \beta_{*})$

Ceci vu, je dis que la paire $\alpha$ (ou $\alpha'$, $\alpha_{*}$) étant donnée, $\beta_{*}$ (ou $\beta'$) est déterminé de façon unique, par la condition de la proposition. En effet, $\beta_{*}(S')$ est connu quand on connaît les $S \in \Sigma_E$ tels que $S \mathrel{|\circ|} \beta_{*}(S')$, lesquels sont ceux pour lesquels on a $\alpha_{*}(S) \mathrel{|\circ|} S'$ !

Je montre : voir quelles sont les applications \[\alpha : E \longrightarrow \Sigma_{E'} ,\] — ou ce qui revient au même, les correspondances \[\alpha_{*} : \Sigma_E \to \Sigma_{E'} , \qquad \alpha_{*}(S) = \operatorname{Sup}^{\Sigma_{E'}}_{x \in S} \alpha(x)\] pour lesquelles il existe une $\beta$ \[\beta : E' \longrightarrow \Sigma_E ,\] […] ce qui revient […] \[\beta_{*} : \Sigma_{E'} \to \Sigma_E , \qquad \beta_{*}(S') = \operatorname{Sup}^{\Sigma_E}_{x' \in S'} \beta(x')\] transposée.

On a quand … $=$ partie des $\alpha : E \to \mathfrak{P}(E')$ ou $E \to \Sigma_{E'}$.

Déf. On dit que $\alpha$, $\beta$ sont transposées l'une de l'autre … $\alpha$, $\beta$ … […] note oblique dans la marge gauche, en grande partie illisible ; elle reprend la définition esquissée en marge de la page 89.

94p. 91 de l'auteur.

Proposition 4. Soit $\alpha : E \to \mathfrak{P}(E')$ une correspondance, considérons posons \[\alpha' : E \to \Sigma_{E'} , \quad \alpha'(x) \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\alpha(x))\] \[\alpha_{*} : \Sigma_E \to \Sigma_{E'} , \quad \alpha_{*}(S) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(S)) = \operatorname{Sup}^{\Sigma_{E'}}_{x \in S} \alpha'(x) .\] au-dessus de cette dernière formule, une première version de la définition de $\alpha_{*}$ est raturée de traits serrés et illisible.

Conditions équivalentes :

(i)$\alpha$ admet une transposée \[\beta : E' \longrightarrow \mathfrak{P}(E)\] — ou, ce qui revient au même, une transposée $\beta' : E' \to \Sigma_E$, ou $\beta_{*} : \Sigma_{E'} \to \Sigma_E$.
(ii)a) $\alpha_{*}$ commute aux Sup quelconques ; b) $\forall\, x \in E$, $\alpha_{*}\bigl(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(x)\bigr)$ \[\text{(i.e. } \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}\bigl(\alpha(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(x))\bigr)\text{)} = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\alpha(x))\]
(iii)On a la formule, pour $A$ $A \in \mathfrak{P}(E)$, \[\alpha_{*}\bigl(\underbrace{\operatorname{Sup}^{\circ}_E(A)}_{\overline{A}}\bigr) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(A))\] (i.e. $\overline{\alpha}(\overline{A})$ et $\overline{\alpha}(A)$ ont même Sup dans $E'$)
(iv)$\forall\, S' \in \Sigma_{E'}$, l'ensemble \[S = \{x \in E \mid \alpha(x) \subset S'\}\] dans $E$ est dans $\Sigma_E$.
(v)$\forall\, x' \in E'$, l'ensemble \[\beta(x') = \{x \in E \mid \alpha(x) \mathrel{|\circ|} x'\}\] est dans $\Sigma_E$.

les numéros (ii), (iii), (iv) ont été corrigés sur la page ; une accolade avec une flèche lie (ii) a) et b), et une longue flèche descend de (ii) jusqu'au bas de la page.

95p. 92 de l'auteur.

Dém. Prouvons d'abord \[\text{(i)} \Longrightarrow \text{(ii)} \Longrightarrow \text{(iii)} \Longrightarrow \text{(iv)} \Longrightarrow \text{(i)} ,\] ce qui établira l'équivalence de toutes les conditions sauf (v). le premier (ii) de la chaîne est récrit sur un chiffre noirci ; le (v) qui suit « sauf » l'est aussi.

(i) $\Longrightarrow$ (ii) a été vu.

(ii) $\Longrightarrow$ (iii). Soit $T' = \complement S'$. On a alors, par Soit $\overline{S} = \operatorname{Sup}^{\circ}_E S \supset S$. On a $x \in E$, par (ii), $\overline{\alpha}(S)$ et $\overline{\alpha}(\overline{S})$ $S \subset \overline{S}$, déf et par $S'$, $x \in S \iff \alpha(x) \subset S'$ ont même Sup dans $E'$, donc contenu dans $S'$ \[\overline{\alpha}(S) \subset S' \Longrightarrow \overline{\alpha}(\overline{S}) \subset S' ,\] ce passage passe de la numérotation (ii) $\Rightarrow$ (iii) à l'argument de (iii) $\Rightarrow$ (iv) sans transition nette ; transcrit dans l'ordre de la page. et comme $\overline{\alpha}$ est un morphisme, $\overline{\alpha}$ … donc $\overline{S} \subset S$ par définition de $S$, donc $S = \overline{S}$, i.e. $S \in \Sigma_E$.

(iii) $\Longrightarrow$ (iv) de même, prenant $S' = \operatorname{Cosup}^{\circ}\{x'\}$.

(iv) $\Longrightarrow$ (i), on trouve la transposée \[\beta(x') = \complement\, \gamma(x') \quad \ldots\] En effet, la relation ⌜des⌝ qui […], pour $x \in E$, $x' \in E'$ \[x \mathrel{|\circ|} \beta(x') \iff \alpha(x) \mathrel{|\circ|} x'\] \[\text{i.e.} \quad \text{\struck{$\operatorname{Sup}^{\circ}_E(x) \subset$}} \quad x \in \complement\,\beta(x') = \gamma(x')\] ce qui n'est autre que la définition de $\gamma(x')$.

Je dis que les conditions ⌜équiv. (i) : (iv)⌝ impliquent ⌜b) est clair par (ii) et prouvons a)⌝ (v). En effet, […], soit $(S_i)_{i \in I}$ des $S_i \in \Sigma_E$, \[S = \operatorname{Sup}^{\Sigma_E} S_i = \operatorname{Sup}^{\circ}_E\Bigl(\bigcup S_i\Bigr) . \quad \text{On a} \ldots\] donc \[\alpha_{*}(S) = \alpha_{*}\Bigl(\operatorname{Sup}^{\circ}_E\Bigl(\bigcup S_i\Bigr)\Bigr) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}\Bigl(\underbrace{\overline{\alpha}\Bigl(\bigcup S_i\Bigr)}_{\bigcup_i \overline{\alpha}(S_i)}\Bigr)\] la lettre $\gamma$, introduite ici sans définition visible, désigne manifestement l'ensemble $\{x \in E \mid \alpha(x) \subset \operatorname{Cosup}^{\circ}\{x'\}\}$ de (iv) ; l'ajout « b) est clair par (ii) et prouvons a) » semble viser (ii) plutôt que (v) : la page ne le précise pas.

96p. 93 de l'auteur.

\[= \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'} \bigcup_i \underbrace{\operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(S_i))}_{\alpha_{*}(S_i)} = \operatorname{Sup}_i \alpha_{*}(S_i) , \quad \text{ok}\]

Je reste : prouver que (v) implique les conditions (i)… par exemple (ii) a). Prouvons la formule \[\alpha_{*}\bigl(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(A)\bigr) \overset{?}{=} \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(A)) .\] Or on a \[\operatorname{Sup}^{\circ}_E(A) = \operatorname{Sup}^{\Sigma_E}_{x \in A} \sigma_E(x)\] d'où, par (v), \[\alpha_{*}\bigl(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(A)\bigr) = \operatorname{Sup}^{\Sigma_{E'}}_{x \in A} \alpha_{*}(\sigma_E(x))\] et d'autre part \[\operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}\bigl(\underbrace{\overline{\alpha}(A)}_{\bigcup_{x \in A} \alpha(x)}\bigr) = \operatorname{Sup}^{\Sigma_{E'}}_{x \in A} \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'} \alpha(x)\] et on a dit que, pour tout $x$ seul, \[\alpha_{*}\bigl(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(x)\bigr) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\alpha(x))\] c'est (v b)), que j'ai dû ajouter après coup. la condition (v) de la page 94 n'a pas de partie b) visible : celle-ci est, semble-t-il, l'ajout que la phrase mentionne.

La condition (v b) exprime aussi que

Cor. ⌜Scholie⌝ Soient $\Sigma = \Sigma_{\underline{E}}$, $\Sigma' = \Sigma_{\underline{E}'}$, soit \[\operatorname{Corr}(\Sigma, \Sigma')\] l'ensemble des applications \[\alpha_{*} : \Sigma \longrightarrow \Sigma'\] qui commutent aux Sup (quelconques), ⌜de $\Sigma$ : $\Sigma'$⌝ (appelons les « correspondances » […] et entre elles sont des connaissances), et \[\operatorname{Corr}(\underline{E}, \underline{E}')\] ici $\underline{E}$, $\underline{E}'$ (soulignés par l'auteur) désignent les dispositions. La phrase se poursuit sur la page suivante.

97p. 94 de l'auteur.

l'ensemble des applications correspondances entre $\underline{E}$, $\underline{E}'$ \[\alpha : E \longrightarrow \text{\struck{$\Sigma_{E'}$}}\ \mathfrak{P}(E')\] le $E$ source est récrit sur un $\underline{E}$ ; avant $\mathfrak{P}(E')$, un $\Sigma_{E'}$ raturé de traits serrés. ayant les propriétés

a)$\forall\, x \in E$, $\alpha(x) \in \Sigma_{E'}$
b)$\alpha$ satisfait aux […] ⌜aux⌝ conditions équivalentes de la prop. 4, dont la plus explicite est […] (iv), […]

Soit enfin \[\operatorname{Corr}^{*}(\underline{E}, \underline{E}')\] l'ensemble des applications parties ⌜corr. ensemblistes $R$⌝ entre $\alpha^{*} : E \to \mathfrak{P}(E')$ $E$ et $E'$ ($R \subset E \times E'$) telles que \[\left\{ \begin{aligned} &\forall\, x \in E, \ R(x) \in \Sigma_{E'} \\ &\forall\, x' \in E', \ {}^{t}R(x') \in \Sigma_E . \end{aligned} \right.\]

On a donc des correspondances ⌜applications⌝ bijectives canoniques \[\operatorname{Corr}(\Sigma, \Sigma') \xrightarrow[\sim]{\ \varphi\ } \operatorname{Corr}(\underline{E}, \underline{E}') \xrightarrow[\sim]{\ \psi\ } \operatorname{Corr}^{*}(\underline{E}, \underline{E}')\] le second $\operatorname{Corr}^{*}$ est souligné dans le manuscrit. Obtenues ainsi : \[\left\{ \begin{aligned} \varphi(\alpha_{*}) &= \alpha_{*} \circ \sigma_E : \ E \xrightarrow{\ \sigma_E\ } \Sigma_E \xrightarrow{\ \alpha_{*}\ } \Sigma_{E'} \\ \psi(\alpha) &= \{(x, x') \in E \times E' \mid \alpha(x) \mathrel{|\circ|} x'\} \\ &\phantom{=}\ \text{i.e. } x' \in \operatorname{Cosup}^{\circ}_{E'}(\alpha(x)) \end{aligned} \right.\] le dernier argument, en bout de ligne, est coupé au bord de la feuille.

(Ainsi $\psi(\alpha)$ n'est pas le graphe de la correspondance $\alpha : E \to$ $\mathfrak{P}(E')$ $\Sigma_{E'} \subset \mathfrak{P}(E')$, mais de la correspondance déduite en composant avec $\complement_{\Sigma'}$ : \[E \xrightarrow{\ \alpha\ } \Sigma_{E'} \xrightarrow{\ \complement_{E'}\ } \Sigma_{E'} \subset \mathfrak{P}(E') \text{).}\]

98p. 95 de l'auteur.

Je reste seulement à prouver que si $\alpha_{*}$ est dans $\operatorname{Corr}(\Sigma, \Sigma')$, alors $\alpha = \varphi(\alpha_{*})$ satisfait aux conditions de prop. 4 et redonne $\alpha_{*}$, par \[\alpha_{*}(S) = \operatorname{Sup}^{\Sigma_{E'}}_{x \in S} \underbrace{\alpha(x)}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \alpha_{*}(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(x))} \qquad (S \in \Sigma_E) .\] Cette formule […] provient de la formule \[S = \operatorname{Sup}_{x \in S} \operatorname{Sup}^{\circ}_E(x)\] et de la commutation de $\alpha_{*}$ avec Sup.

Ainsi, il reste à prouver (iv b) pour $\alpha$ : \[\overline{\alpha}\bigl(\text{\struck{$\operatorname{Sup}^{\circ}_E$}}\ \sigma_E(x)\bigr) \text{ \struck{$\in$} et } \alpha(x) \text{ ont même } \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'} .\] Or si $y \in \text{\struck{\ill{}}}\ \sigma_E(x)$, on a $\sigma_E(y) \leq \sigma_E(x)$ ($\operatorname{Sup}^{\circ}_E(y) \leq \operatorname{Sup}^{\circ}_E(x)$), d'où $\alpha_{*}(\ldots)$ \[\alpha_{*}\sigma_E(y) \leq \alpha_{*}\sigma_E(x) \quad \text{i.e.} \quad \underbrace{\alpha(y) \leq \alpha(x)}_{\text{dans } \Sigma_{E'}} ,\] sous $\alpha_{*}\sigma_E(y)$, une accolade porte « $\alpha(y)$ », barré. donc les $\overline{\alpha}$ \[\operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}\bigl(\overline{\alpha}(\sigma_E(x))\bigr) = \ldots\ \alpha(x)\] $\alpha_{*}(\sigma_E(x))$, $\overline{\alpha}(\sigma_E(x))$ et $\alpha(x)$ qed. le second membre de la dernière égalité est raturé de traits serrés, illisible sauf le $\alpha(x)$ final ; deux lignes en dessous sont barrées.

11.7. On va faire une catégorie avec les dispositions, en prenant comme morphismes \[\underline{E} \longrightarrow \underline{E}'\] les correspondances qui satisfont a) b) de la p. 94, et la composition (si $\underline{E} \xrightarrow{\ \alpha\ } \underline{E}' \xrightarrow{\ \beta\ } \underline{E}''$) \[\beta \underset{\text{dis}}{\circ} \alpha = \text{\struck{$\beta \underset{\text{ens}}{\circ} \alpha$}}\ \operatorname{Sup}^{\circ}_{E''}\bigl(\beta \underset{\text{ens}}{\circ} \alpha\bigr) .\] « p. 94 » est la pagination de l'auteur : c'est la page 97 ci-dessus. Le numéro « 11.7 » en marge est d'une lecture douteuse. Cette

99p. 96 de l'auteur.

composition est associative, avec les ⌜pour⌝ identités \[\text{\struck{\ill{}}}\ \sigma_{\underline{E}} = \operatorname{Sup}^{\circ}_{\underline{E}} \circ \mathrm{id}_{\underline{E}} .\] La catégorie des dispositions et correspondances ⌜entre⌝ de telles, est équivalente à la catégorie des dispositions complètes (ou « systèmes » ?), où on prend comme morphismes les applications croissantes qui commutent aux Sup quelconques (appelées aussi « correspondances » entre les systèmes). Et cette catégorie est équivalente à la catégorie opposée, par une « autodualité » (involution) qui est l'identité sur les objets, et sur les morphismes est le passage à la transposée.

[Analogie avec les espaces de Hilbert, plus généralement espaces vectoriels munis d'une autodualité…, et les opérateurs adjoints…] le mot « systèmes » de la première parenthèse est souligné d'un trait ondulé ; les crochets sont de l'auteur.

Questions ouvertes, que je n'ai pas tirées au clair, signalées par le cas des dispositions triviales. « Questions ouvertes » est souligné d'un double trait ondulé, et une flèche d'une autre encre y pointe depuis la marge. La page s'arrête là : les questions annoncées ne figurent pas dans cette batch.

100p. 97 de l'auteur.

Dans le cas où les correspondances en dispositions sont les corr. ensemblistes, elles forment l'ensemble $\mathfrak{P}(E \times E')$, qui est lui-même un disposition système, associé à une disposition triviale $E \times E'$. Il serait tentant donc, dans le cas général, de considérer les correspondances entre $\underline{E}$, $\underline{E}'$ comme les éléments du système associé à la « disposition produit » $E \times E'$, avec \[(x, x') \mathrel{|\circ|} (y, y') \overset{\text{déf}}{\iff} x \mathrel{|\circ|} x' \ \text{ou}\ y \mathrel{|\circ|} y' .\] la relation est transcrite telle qu'elle est écrite ; on attendrait plutôt $x \mathrel{|\circ|} y$ ou $x' \mathrel{|\circ|} y'$. On vérifie en effet que les applications $R \in \Sigma_{E \times E'}$ sont dans l'ens. noté $\operatorname{Corr}^{*}(\underline{E}, \underline{E}')$ (p. 94) i.e. $\forall\,$ $\forall\, x \in E$, $R(x) \in \Sigma_{E'}$, et $\forall\, x' \in E'$, ${}^{t}R(x') \in \Sigma_E$. Mais il ne semble pas que l'inverse soit vrai, sauf dans le cas où $\underline{E}$ ou $\underline{E}'$ est une disposition triviale.

Mais si ce n'était pas vrai en général, la question demeure si l'ensemble des ⌜ensembles des⌝ dispos. corr. de $\underline{E}$ à $\underline{E}'$, … correspondances des opérations $\Sigma \to \Sigma'$, forment un système. La relation d'ordre induite par le cas d'ensembles (disp. triviales) […] l'inclusion la page, et la batch, s'arrêtent sur cette phrase ; la suite des « questions ouvertes » annoncées p. 99 se poursuit au-delà.