Fonds Grothendieck, cote n° 156-9, pages 81–100

pagination de l'auteur : p. 78. L'argument vient de la batch précédente : la condition a), la relation \mathrel{|\circ|}, \Sigma, \Sigma_E et \sigma y sont déjà introduits.

b) \forall\, S \in \Sigma, posant \beta(S) = \{x \in E \mid \sigma(x) \leq S\}, on a ~~S = \operatorname{Sup}(\{\sigma x \mid x \in~~ S = \operatorname{Sup}_{x \in \beta(S)} \sigma x (Donnons aussi la formulation ~~symétrique~~ b'), p. 83). « p. 83 » est la pagination de l'auteur, soit la p. 86 des archivistes.

Cette condition b) signifie aussi que « \sigma(E) est ~~partie~~ « dense » de \Sigma », i.e. \forall\, S, S = \operatorname{Sup}_{\sigma(x) \leq S} \sigma(x) .

De plus, quand ces conditions sont satisfaites, la \alpha est uniquement déterminée. NB Explicitons la formule pour \alpha, et pour l'application inverse \beta.

Dém. La nécessité de a) b) évidente, prouvons la suffisance. Utilisant a), on va construire une application \alpha : \Sigma_E \longrightarrow \Sigma, en posant pour tout A \in \Sigma_E \alpha(A) = \operatorname{Sup}_{x \in A} \sigma(x). Il est clair que cette application est croissante, et par b) elle est surjective, en vérifiant que \beta(S) dans b) est \in \Sigma_E. Soit S' = \complement S, et considérons \beta(S'), il suffit de voir que \beta(S) = \operatorname{Cosup}^{\circ}(\beta(S')) i.e. que pour x \in E, on a x \in \beta(S) \iff x \mathrel{|\circ|} \beta(S') \quad \text{i.e.} \quad \sigma(x) \mathrel{|\circ|} \underbrace{\sigma(\beta(S'))}_{S'_0} i.e. \sigma(x) \leq S (par a)).

Mais \sigma(x) \mathrel{|\circ|} S'_0 \iff \sigma(x) \mathrel{|\circ|} \operatorname{Sup} S'_0, et comme \operatorname{Sup} S'_0 = S', cela équivaut à \sigma(x) \mathrel{|\circ|} S' i.e. \sigma(x) \leq S, ok.

p. 79 de l'auteur.

En fait, on dans construit une application \Sigma \xrightarrow{\ \beta\ } \Sigma_E réciproquement croissante, telles que \alpha\beta = \mathrm{id}_{\Sigma} . le \alpha de \alpha\beta est récrit sur une lettre noircie.

De plus, on vérifie de suite qu'elle est compatible : C. Pour démontrer ce dernier, il suffit de voir que \beta\alpha = \mathrm{id}_{\Sigma_E} , après \beta\alpha, quelques lettres noircies et illisibles. car alors \alpha et \beta sont des ~~applications~~ iso. d'un ens. ordonné sur l'autre, ~~i.e. l'une~~ inverses l'une de l'autre, et (comme on voit sur \beta) compatibles : C.

Soit donc A \in \Sigma_E, A' = \complement A. Alors les \sigma(x) et \sigma(x') (x \in A, x' \in A') par ex. sont disjoints, donc leurs Sup \alpha(A), \alpha(A') le sont aussi. ~~Considérons~~ ~~\beta\alpha(A) = \{x \in E \mid \sigma(x) \leq \alpha(A)\}~~ ~~Considérons~~ il s'ensuit d'où \alpha(A) \leq \complement\alpha(A') , i.e. \beta(\alpha(A)) \leq \beta\complement\alpha(A') = \complement\beta(\alpha(A')) , \quad \text{i.e.} \ldots Mais cela implique \beta\alpha(A) \mathrel{|\circ|} \beta\alpha(A') , \qquad \beta\alpha(A) \geq A , \quad \beta\alpha(A') \geq A' , les deux inégalités sont écrites verticalement, sous chacun des deux termes. A = \beta\alpha(A), A' = \beta\alpha(A'), par le

Lemme. Soit \Sigma un système (\Sigma_E ou l'analogue), A \leq B, A' \leq B' avec B \mathrel{|\circ|} B', et A' = \complement A. Alors A = B, A' = B'.

En effet, comme on a toujours A \leq B \leq \complement B' \leq \complement A' = A , donc toutes ces \leq sont des égalités.

p. 80 de l'auteur.

Il reste : voir l'unicité de \alpha, qui est immédiate, vu que ~~tout~~ A \in \Sigma_E est le sup des \sigma_E(x) qu'il majore (i.e. telles que x \in A …), ~~et \alpha doit être~~ d'où forcément \alpha(A) = \operatorname{Sup}_{x \in A} \underbrace{\alpha(\sigma_E(x))}_{\sigma(x)} = \operatorname{Sup}_{x \in A} \sigma(x) , cqfd.

~~Corollaire. Soit (E, \mathrel{|\circ|}) un dispositif , E_0 une partie très de E~~ ces deux lignes sont barrées de traits obliques.

Corollaire ! Soient (E, \mathrel{|\circ|}_E) une disposition, E' une partie de E, \mathrel{|\circ|}_{E'} la relation induite. Conditions équivalentes :

(i)L'image \sigma_E(E') de E' dans \Sigma_E est dense, i.e. tout S \in \Sigma_E est le sup des éléments de \sigma_E(E') qu'il majore. (ii) L'application S \longmapsto S \cap E' , \qquad \Sigma_E \longrightarrow \mathfrak{P}(E') ~~applique \Sigma_E dans \Sigma_{E'}, et induit~~ est ~~surjection~~ (NB elle induit donc une iso \varphi : \Sigma_E \to \Sigma_{E'}). ~~(NB. une iso)~~ (iii)L'application \psi : \Sigma_{E'} \longrightarrow \Sigma_E , \qquad S' \longmapsto \operatorname{Sup}^{\circ}_E(S') est surjection (NB en ce sens = une iso) (iv)E' est dense dans E pour la relation de préordre canonique de E (induite de celle de \Sigma_E via \sigma_E).

permutés avec (v) \longleftarrow la marge renvoie par une flèche à la condition (iv).

p. 81 de l'auteur.

Sous ces conditions, les applications \varphi, \psi sont inverses l'une de l'autre, et des opérations.

(v) \forall\, x, y \in E, si \forall\, x', y' avec x' \leq x, y' \leq y, on a x' \mathrel{|\circ|} y', alors x \mathrel{|\circ|} y. (La relation \leq est la relation d'ordre canonique) la condition (v), d'abord numérotée autrement (numéro noirci), est rattachée par une accolade et une flèche au haut de la page.

Dém. (i) \iff (iv), évident, compte tenu que (iv) signifie aussi que \sigma(E') est dense dans \sigma(E), pour l'ordre induit par \Sigma_E. (Attention, « dense » ici ne veut pas dire de la relation d'ordre, qui ~~est pas~~ n'a rien à voir avec la top. logique associée à l'ordre ; mais on a une propriété de transitivité de la densité, grâce à l'associativité des sup.)

(i) \Longrightarrow (v) est connu une fois que \sigma(E') \subset \sigma(E) \subset \Sigma, et immédiat, car dans \Sigma, si x = \operatorname{Sup} x_i, y = \operatorname{Sup} y_j, x_i \mathrel{|\circ|} y_j \forall\, i, j, alors x \mathrel{|\circ|} y.

(v) \Longrightarrow (iv) ~~Soit S \in \Sigma_E,~~ Dans la situation \Sigma avec \sigma(E') \subset \sigma(E) \subset \Sigma. Soit \xi \in \sigma(E). ~~Disons que~~ Considérons ~~S = \sigma(x) (\in \sigma(E))~~ l'ens. S' des \xi' \in \sigma(E') tels que \xi' \leq \xi. Je dis que \xi = \operatorname{Sup} S' . Mais (cf. lemme) cela signifie aussi que pour tout \eta \in \sigma(E), on a S' \mathrel{|\circ|} \eta \Rightarrow \xi \mathrel{|\circ|} \eta. Considérons donc J' = \{\eta' \in \sigma(E') \mid \eta' \leq \eta\}. On a donc \xi' \mathrel{|\circ|} \eta' pour \xi' \in S', \eta' \in J'. Par hyp., cela implique \xi \mathrel{|\circ|} \eta, ok.

p. 82 de l'auteur.

Lemme. Soient \Sigma un système, E une partie dense (cf. …), S' une partie de \Sigma, formée d'éléments majorés par un \xi \in \Sigma, ~~donc~~ i.e. \operatorname{Sup} S' \leq \xi. Pour que \xi = \operatorname{Sup} S', il faut et suffit que pour tout y \in E, ~~tel que~~ \text{\struck{$S' \mathrel{|\circ|} y$}} \quad S' \mathrel{|\circ|} y \Longrightarrow \xi \mathrel{|\circ|} y .

Dém du Lemme. On sait déjà que si \operatorname{Sup} S' = \xi, alors \forall\, y \in \Sigma, on a S' \mathrel{|\circ|} y \iff \xi \mathrel{|\circ|} y . En sens inverse, ~~supposons que \operatorname{Sup}(S') = \xi i.e. \xi \leq \operatorname{Sup} S',~~ ~~\complement\xi \geq \ldots~~ \forall\, y \in E, \quad \underbrace{S' \mathrel{|\circ|} y}_{\text{i.e. } y \leq \operatorname{Inf}_{\xi' \in S'} \complement(\xi')} \Longrightarrow \underbrace{\xi \mathrel{|\circ|} y}_{\text{i.e. } y \leq \complement(\xi)} À cause de la densité, on en conclut \operatorname{Inf}_{\xi' \in S'} \complement(\xi') \leq \complement(\xi) , d'où \xi \leq \operatorname{Sup}_{\xi' \in S'} \xi' , cqfd.

Ainsi, les conditions (i) (iv) (v) de la prop. sont équivalentes. Compte tenu de prop. 1, la condition (i) exprime que l'application canonique E' \subset E \to \Sigma_E permet d'identifier \Sigma_E à \Sigma_{E'}. Cette identification est donnée par (ii)

p. 83 de l'auteur ; la phrase reprend la fin de la page précédente.

(cf. construction de l'application \beta dans prop. 2), et en sens inverse par (iii) (application \alpha de prop. 2). Donc, (i) (ou les équivalentes (iv), (v)) implique (ii), (iii) sauf pour (i.e. de opérations). Il reste : prouver que (ii) ou (iii) implique (déjà) (i).

Mais que (iii) (et simplement la surjectivité de \psi) implique (i), est clair. Donc (iii) équivaut aux autres conditions. Reste : voir que (ii) implique (i). Cela équivaut au corollaire suivant, appliqué à E' \to \Sigma_E :

Corollaire 2. Soient E une disposition, \Sigma un système, \sigma : E \to \Sigma une application… Alors la condition b) de la prop. 2 est équivalente (moyennant a)) à la condition suivante :

b') L'application S \mapsto \beta(S) de \Sigma dans \mathfrak{P}(E) applique \Sigma dans \Sigma_E, et est ~~bijective~~ injective.

On a vu dans la démonstration que b) \Rightarrow b'). Prouvons que b') \Rightarrow b). Considérons, pour S \in \Sigma fixé, S' = \operatorname{Sup} \sigma(\beta(S)) \leq S . Il est clair que \beta(S) = \beta(S'), donc S = S', puisque \beta est injectif, cqfd.

p. 84 de l'auteur. Les corollaires 3 et 4 n'apparaissent pas : la numérotation saute du corollaire 2 au corollaire 5.

Corollaire 5. Soient (E, \leq, \mathrel{|\circ|}) une disposition prédonnée, et soit E' une partie de E qui est « dense » dans le sens suivant : \forall\, x, y \in E, \quad E'_{\leq x} \mathrel{|\circ|} E'_{\leq y} \Longrightarrow x \mathrel{|\circ|} y . avant E'_{\leq x}, un signe noirci et illisible. Alors \Sigma_{E'} \underset{\varphi}{\overset{\psi}{\rightleftarrows}} \Sigma_E les deux flèches portent le signe \sim. iso. réciproques l'un de l'autre, donnés par \psi(A') = \operatorname{Sup}^{\circ}_E(A') , \qquad \varphi(A) = A \cap E' .

On applique cor. 1, critère (v), en notant que la condition de densité ici est plus forte a priori que celle dans (v).

8 bis. Correspondances entre dispositions et entre systèmes

titre souligné dans le manuscrit ; le numéro qui le précède est d'une lecture douteuse.

Dic. Analogie. Soient E, E' deux ensembles, vus comme dispositions triviales. Une « corr » (ou relation R) entre E, E' peut s'interpréter comme une application \alpha : E \longrightarrow \mathfrak{P}(E') \qquad (x \longmapsto R(x))

p. 85 de l'auteur.

et elle se prolonge aussitôt en une application \alpha_{*} \text{ ou } \overline{\alpha} : \mathfrak{P}(E) \longrightarrow \mathfrak{P}(E') , \qquad A \longmapsto \bigcup_{x \in A} \alpha(x) . Cette application \overline{\alpha} commute aux Sup (donc est croissante), et inversement, toute application \varphi : \mathfrak{P}(E) \to \mathfrak{P}(E') qui a cette propriété, provient d'une unique \alpha, sous la forme \alpha_{*}, puisque \forall\, A \in \mathfrak{P}(E), on a A = \operatorname{Sup}_{x \in A} \{x\} \quad \text{d'où} \quad \varphi(A) = \operatorname{Sup}_{x \in A} \underbrace{\varphi(\{x\})}_{\text{\uncertain{déf.} } \alpha(x)} .

J'écris \overline{\alpha} au lieu de \alpha_{*}, pour la suite : dis aussi une application \mathfrak{P}(E), comme flèche note marginale écrite en oblique dans l'angle supérieur gauche, en grande partie illisible.

Nous allons interpréter l'application correspondante symétrique, ou transposée, \beta de \alpha, ou plutôt \beta_{*} \text{ ou } \overline{\beta} : \mathfrak{P}(E') \longrightarrow \mathfrak{P}(E) , en termes des opérations \mathfrak{P}(E), \mathfrak{P}(E'), en notant que \forall\, A \in \mathfrak{P}(E),\ A' \in \mathfrak{P}(E') \quad \text{on a} \quad \alpha_{*}(A) \mathrel{|\circ|} A' \iff A \mathrel{|\circ|} \beta_{*}(A') . dans le membre de droite, le \mathrel{|\circ|} est écrit sans le petit rond : A \mathbin{\|} \beta_{*}(A').

En effet, le premier membre s'écrit \text{\struck{$\forall\, x \in$}}\ \forall\, x' \in A', \ \text{on a } x' \notin \overline{\alpha}(A) \ \text{ i.e. } \nexists\, x \in A avec x' \in \alpha(x) i.e. (x, x') \in R \text{on a encore} \quad \forall\, x \in A,\ x' \in A' \quad \text{on a } (x, x') \notin R \ \text{ i.e. } (x, x') \in \overline{R} la phrase se poursuit sur la page suivante.

p. 86 de l'auteur.

et le second traduit le interprétation pour le 2e terme des deux.

Soient maintenant (E, \mathrel{|\circ|}_E), (E', \mathrel{|\circ|}_{E'}) deux dispositions, et considérons deux correspondances \alpha : E \to \mathfrak{P}(E') \ \text{ou}\ \overline{\alpha} : \mathfrak{P}(E) \to \mathfrak{P}(E') , \qquad \beta : E' \to \mathfrak{P}(E) \ \text{ou}\ \overline{\beta} : \mathfrak{P}(E') \to \mathfrak{P}(E) .

Prop. 3 ~~Lemme~~ Conditions équivalentes :

(i)\forall\, x \in E, x' \in E', on a x \mathrel{|\circ|} \beta(x') \iff \alpha(x) \mathrel{|\circ|} x' . (ii)\forall\, A \subset E, A' \subset E', on a A \mathrel{|\circ|} \overline{\beta}(A') \iff \overline{\alpha}(A) \mathrel{|\circ|} A' . (iii)Posant, pour A \in \Sigma_E, A' \in \Sigma_{E'}, \alpha_{*}(A) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(A)) , \qquad \beta_{*}(A') = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E}(\overline{\beta}(A')) , après « \in », avant \Sigma_E, un mot noirci et illisible ; les lettres A, A' sont récrites sur d'autres. on a aussi équivalence \text{\struck{$\alpha_{*}(A)$}}\ A \mathrel{|\circ|} \beta_{*}(A') \iff \alpha_{*}(A) \mathrel{|\circ|} A' .

~~De plus,~~ ~~plus bas relations, pour A \in \mathfrak{P}(E), A' \in \mathfrak{P}(E') :~~ \text{\struck{$\alpha_{*}(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(A)) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(A))$,}} \quad \text{\struck{$\beta_{*}(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(A')) = \operatorname{Sup}^{\circ}_E(\overline{\beta}(B))$}} ce passage est barré, et une flèche venue de la marge (« transposées ») le renvoie plus bas.

Cor. Ces conditions impliquent que les applications \alpha_{*}, \beta_{*} \Sigma_E \underset{\beta_{*}}{\overset{\alpha_{*}}{\rightleftarrows}} \Sigma_{E'} définissent pour \alpha et \beta, et en particulier un choix global pour remplaçons \alpha et \beta par \alpha', \beta' définis par ~~\alpha(x) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'} \alpha(x)~~ le bas de la page est barré de deux longs traits obliques.

Définition. On dit dans ce cas que \alpha et \beta sont transposées l'une de l'autre. … dès que note oblique dans la marge gauche, d'une lecture très incertaine.

p. 87 de l'auteur. Le haut de la page, jusqu'à « transposées \alpha_1, \alpha_2 de \beta », est barré d'un long trait oblique, qui continue celui de la page précédente.

\alpha'(x) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'} \alpha(x) , \qquad \beta'(x) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E} \beta(x) . De plus, pour donnés \alpha (ou \alpha_{*} donné), ~~et plus,~~ ou \alpha', ~~il existe une seule \beta_{*} qui~~ si \beta_1, \beta_2 sont deux transposées de \alpha … (\beta'_1 = \beta'_2, \beta_{1*} = \beta_{2*}), et ainsi des côtés \alpha si deux transposées \alpha_1, \alpha_2 de \beta.

Dém. Comme c'est évident que (ii) \Rightarrow (i), en faisant A = \{x\}, A' = \{x'\}, et (i) \Rightarrow (ii), on note que A \mathrel{|\circ|} \overline{\beta}(A') \iff x \mathrel{|\circ|} \overline{\beta}(x') \quad \forall\, x \in A,\ x' \in A' \alpha(A) \mathrel{|\circ|} A' \iff \alpha(x) \mathrel{|\circ|} x' . ~~De plus, A, A' \in \Sigma_E, lorsque tous~~ « De plus » est surchargé d'un ajout au-dessus de la ligne, « en plus » ; la ligne entière est barrée.

~~Et donc (ii) passe~~ Notons que les deux membres de (ii) ne changent pas quand on remplace \overline{\beta} par le Sup des termes dans la relation \mathrel{|\circ|}, … les deux, par leur \operatorname{Sup}^{\circ}respectif. Quand A \in \Sigma_E, A' \in \Sigma_{E'}, cela montre que … cette équivalence ~~signifie~~, elle dans (iii) donc équivalente. a) On va prouver b) plus bas.

(ii) \Longrightarrow (iii). ~~En particulier, prouvons que~~ (iii) \Rightarrow (ii) (p. …). On écrit la relation (ii) précédemment sous la forme équivalente : la suite de cette démonstration est sur la page suivante.

p. 88 de l'auteur.

(\ast) \qquad \underbrace{\operatorname{Sup}^{\circ}_E(A)}_{\overline{A}} \mathrel{|\circ|} \operatorname{Sup}^{\circ}_E(\overline{\beta}(A')) \iff \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(A)) \mathrel{|\circ|} \underbrace{\operatorname{Sup}^{\circ} A'}_{\overline{A'}} ~~Si on prouve que~~ \text{\struck{$\operatorname{Sup}^{\circ}_E(\overline{\beta}(A')) = \operatorname{Sup}^{\circ}_E$}} (On démontre (iii) b) comme sup…) ~~Si on prouve~~ (\ast\ast) \quad \left\{ \begin{aligned} \operatorname{Sup}^{\circ}_E(\overline{\beta}(A')) &= \operatorname{Sup}^{\circ}_E(\overline{\beta}(\overline{A'})) \quad \bigl(\overset{\text{déf}}{=} \beta_{*}(\overline{A'})\bigr) \\ \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(A)) &= \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(\overline{A})) \quad \bigl(\overset{\text{déf}}{=} \alpha_{*}(\overline{A})\bigr) \end{aligned} \right. on en conclut que (\ast) s'écrit aussi \overline{A} \mathrel{|\circ|} \beta_{*}(\overline{A'}) \iff \alpha_{*}(\overline{A}) \mathrel{|\circ|} \overline{A'} ce qui n'est autre que (iii). Donc il ~~faut~~ suffit prouver (puisque (ii) implique, les deux relations (\ast\ast) — et il suffit ~~de prouver~~, par raison de symétrie) de prouver la seconde :

Corollaire ! Sous les conditions du lemme 1 (ou plutôt sous la forme (ii)), si A \in \mathfrak{P}(E), A' \in \mathfrak{P}(E'), \overline{A} = \operatorname{Sup}^{\circ}_E(A), \overline{A'} = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(A'), … les relations ci-dessus.

Dém. Comme A \subset \overline{A}, … \overline{\alpha}(A) \subset \overline{\alpha}(\overline{A}), d'où \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(A)) \subset \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(\overline{A})) , il reste à prouver l'inclusion inverse. Je montre qu'on a = … que \forall\, A' \in \Sigma_{E'}, … A' \mathrel{|\circ|} \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(A)) \iff A' \mathrel{|\circ|} \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(\overline{A})) les deux \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'} de cette ligne sont récrits sur des lettres noircies, et le second membre porte en dessous une première version raturée, illisible.

p. 89 de l'auteur. Le haut de la page, jusqu'à la flèche marquée « ? », est barré de deux traits obliques.

Or par (iii), le dernier membre de l'implication équivaut à : \beta_{*}(A') \mathrel{|\circ|} A, alors que le premier équivaut à : A' \mathrel{|\circ|} \overline{\alpha}(A). Reste donc à montrer que \text{\struck{$A' \mathrel{|\circ|} \overline{\alpha}(A) \overset{?}{\Longrightarrow} \beta_{*}(A') \mathrel{|\circ|} A$}} Or par (ii), les deux membres équivalent resp. à \beta_{*}(A') \mathrel{|\circ|} A, et \beta_{*}(A') \mathrel{|\circ|} \struck{\ill{}}\ \overline{A}, où \overline{A} = \operatorname{Sup} A, lesquelles sont bien équivalentes, qed.

En particulier, ~~faisant~~ avec A = \{x\}, … on a \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'} \alpha(x) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'} \overline{\alpha}\bigl(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(x)\bigr) \overset{\text{déf}}{=} \alpha_{*}\bigl(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(x)\bigr) , i.e. \boxed{\ \alpha_{*}\bigl(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(x)\bigr) = \underbrace{\operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\alpha(x))}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \alpha'(x)}\ } le \operatorname{Sup}^{\circ}_E du membre de gauche est récrit sur un premier essai.

donc ~~la composition de \alpha avec \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'} …~~

\alpha_{*} et \alpha' se déterminent mutuellement par cette formule et par la formule, évidente quelle que soit \alpha : E \to \mathfrak{P}(E') (quitte à définir \alpha' par composition de \alpha avec \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}) : \boxed{\ \alpha_{*}(S) = \operatorname{Sup}_{x \in S}^{(\Sigma_{E'})} \alpha'(x) \quad (= \alpha'_{*}(S))\ }

Les conditions de Prop. 3 sur (\alpha, \beta) ne dépendant que de \alpha', \beta' associés, ~~desquelles définissent~~ les donnant \alpha'_{*} = \alpha_{*}, \beta'_{*} = \beta_{*},

p. 90 de l'auteur.

\left\{ \begin{aligned} \alpha' &: E \to \Sigma_{E'} \\ \beta' &: E' \to \Sigma_E \end{aligned} \right. \qquad \left\{ \begin{aligned} \alpha_{*} &: \Sigma_E \to \Sigma_{E'} \\ \beta_{*} &: \Sigma_{E'} \to \Sigma_E \end{aligned} \right. NB \alpha \longmapsto (\alpha' \leftrightarrow \alpha_{*}), \beta \longmapsto (\beta' \leftrightarrow \beta_{*})

Ceci vu, je dis que la paire \alpha (ou \alpha', \alpha_{*}) étant donnée, \beta_{*} (ou \beta') est déterminé de façon unique, par la condition de la proposition. En effet, \beta_{*}(S') est connu quand on connaît les S \in \Sigma_E tels que S \mathrel{|\circ|} \beta_{*}(S'), lesquels sont ceux pour lesquels on a \alpha_{*}(S) \mathrel{|\circ|} S' !

Je montre : voir quelles sont les applications \alpha : E \longrightarrow \Sigma_{E'} , — ou ce qui revient au même, les correspondances \alpha_{*} : \Sigma_E \to \Sigma_{E'} , \qquad \alpha_{*}(S) = \operatorname{Sup}^{\Sigma_{E'}}_{x \in S} \alpha(x) pour lesquelles il existe une \beta \beta : E' \longrightarrow \Sigma_E , ~~ce qui revient~~ \beta_{*} : \Sigma_{E'} \to \Sigma_E , \qquad \beta_{*}(S') = \operatorname{Sup}^{\Sigma_E}_{x' \in S'} \beta(x') transposée.

On a quand … = partie des \alpha : E \to \mathfrak{P}(E') ou E \to \Sigma_{E'}.

Déf. On dit que \alpha, \beta sont transposées l'une de l'autre … \alpha, \beta … note oblique dans la marge gauche, en grande partie illisible ; elle reprend la définition esquissée en marge de la page 89.

p. 91 de l'auteur.

Proposition 4. Soit \alpha : E \to \mathfrak{P}(E') une correspondance, ~~considérons~~ posons \alpha' : E \to \Sigma_{E'} , \quad \alpha'(x) \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\alpha(x)) \alpha_{*} : \Sigma_E \to \Sigma_{E'} , \quad \alpha_{*}(S) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(S)) = \operatorname{Sup}^{\Sigma_{E'}}_{x \in S} \alpha'(x) . au-dessus de cette dernière formule, une première version de la définition de \alpha_{*} est raturée de traits serrés et illisible.

Conditions équivalentes :

(i)\alpha admet une transposée \beta : E' \longrightarrow \mathfrak{P}(E) — ou, ce qui revient au même, une transposée \beta' : E' \to \Sigma_E, ou \beta_{*} : \Sigma_{E'} \to \Sigma_E. (ii)a) \alpha_{*} commute aux Sup quelconques ; b) \forall\, x \in E, \alpha_{*}\bigl(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(x)\bigr) \text{(i.e. } \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}\bigl(\alpha(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(x))\bigr)\text{)} = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\alpha(x)) (iii)On a la formule, pour A A \in \mathfrak{P}(E), \alpha_{*}\bigl(\underbrace{\operatorname{Sup}^{\circ}_E(A)}_{\overline{A}}\bigr) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(A)) (i.e. \overline{\alpha}(\overline{A}) et \overline{\alpha}(A) ont même Sup dans E') (iv)\forall\, S' \in \Sigma_{E'}, l'ensemble S = \{x \in E \mid \alpha(x) \subset S'\} dans E est dans \Sigma_E. (v)\forall\, x' \in E', l'ensemble \beta(x') = \{x \in E \mid \alpha(x) \mathrel{|\circ|} x'\} est dans \Sigma_E.

les numéros (ii), (iii), (iv) ont été corrigés sur la page ; une accolade avec une flèche lie (ii) a) et b), et une longue flèche descend de (ii) jusqu'au bas de la page.

p. 92 de l'auteur.

Dém. Prouvons d'abord \text{(i)} \Longrightarrow \text{(ii)} \Longrightarrow \text{(iii)} \Longrightarrow \text{(iv)} \Longrightarrow \text{(i)} , ce qui établira l'équivalence de toutes les conditions sauf (v). le premier (ii) de la chaîne est récrit sur un chiffre noirci ; le (v) qui suit « sauf » l'est aussi.

(i) \Longrightarrow (ii) a été vu.

(ii) \Longrightarrow (iii). ~~Soit T' = \complement S'. On a alors, par~~ Soit \overline{S} = \operatorname{Sup}^{\circ}_E S \supset S. On a ~~x \in E~~, par (ii), \overline{\alpha}(S) et \overline{\alpha}(\overline{S}) ~~S \subset \overline{S}, déf et par S', x \in S \iff \alpha(x) \subset S'~~ ont même Sup dans E', donc contenu dans S' \overline{\alpha}(S) \subset S' \Longrightarrow \overline{\alpha}(\overline{S}) \subset S' , ce passage passe de la numérotation (ii) \Rightarrow (iii) à l'argument de (iii) \Rightarrow (iv) sans transition nette ; transcrit dans l'ordre de la page. et comme \overline{\alpha} est un morphisme, \overline{\alpha} … donc \overline{S} \subset S par définition de S, donc S = \overline{S}, i.e. S \in \Sigma_E.

(iii) \Longrightarrow (iv) de même, prenant S' = \operatorname{Cosup}^{\circ}\{x'\}.

(iv) \Longrightarrow (i), on trouve la transposée \beta(x') = \complement\, \gamma(x') \quad \ldots En effet, ~~la relation~~ des qui , pour x \in E, x' \in E' x \mathrel{|\circ|} \beta(x') \iff \alpha(x) \mathrel{|\circ|} x' \text{i.e.} \quad \text{\struck{$\operatorname{Sup}^{\circ}_E(x) \subset$}} \quad x \in \complement\,\beta(x') = \gamma(x') ce qui n'est autre que la définition de \gamma(x').

Je dis que les conditions équiv. (i) : (iv) impliquent b) est clair par (ii) et prouvons a) (v). En effet, , soit (S_i)_{i \in I} des S_i \in \Sigma_E, S = \operatorname{Sup}^{\Sigma_E} S_i = \operatorname{Sup}^{\circ}_E\Bigl(\bigcup S_i\Bigr) . \quad \text{On a} \ldots donc \alpha_{*}(S) = \alpha_{*}\Bigl(\operatorname{Sup}^{\circ}_E\Bigl(\bigcup S_i\Bigr)\Bigr) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}\Bigl(\underbrace{\overline{\alpha}\Bigl(\bigcup S_i\Bigr)}_{\bigcup_i \overline{\alpha}(S_i)}\Bigr) la lettre \gamma, introduite ici sans définition visible, désigne manifestement l'ensemble \{x \in E \mid \alpha(x) \subset \operatorname{Cosup}^{\circ}\{x'\}\} de (iv) ; l'ajout « b) est clair par (ii) et prouvons a) » semble viser (ii) plutôt que (v) : la page ne le précise pas.

p. 93 de l'auteur.

= \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'} \bigcup_i \underbrace{\operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(S_i))}_{\alpha_{*}(S_i)} = \operatorname{Sup}_i \alpha_{*}(S_i) , \quad \text{ok}

Je reste : prouver que (v) implique les conditions (i)… par exemple (ii) a). Prouvons la formule \alpha_{*}\bigl(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(A)\bigr) \overset{?}{=} \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\overline{\alpha}(A)) . Or on a \operatorname{Sup}^{\circ}_E(A) = \operatorname{Sup}^{\Sigma_E}_{x \in A} \sigma_E(x) d'où, par (v), \alpha_{*}\bigl(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(A)\bigr) = \operatorname{Sup}^{\Sigma_{E'}}_{x \in A} \alpha_{*}(\sigma_E(x)) et d'autre part \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}\bigl(\underbrace{\overline{\alpha}(A)}_{\bigcup_{x \in A} \alpha(x)}\bigr) = \operatorname{Sup}^{\Sigma_{E'}}_{x \in A} \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'} \alpha(x) et on a dit que, pour tout x seul, \alpha_{*}\bigl(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(x)\bigr) = \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}(\alpha(x)) c'est (v b)), que j'ai dû ajouter après coup. la condition (v) de la page 94 n'a pas de partie b) visible : celle-ci est, semble-t-il, l'ajout que la phrase mentionne.

~~La condition (v b) exprime aussi que~~

Cor. Scholie ~~Soient~~ \Sigma = \Sigma_{\underline{E}}, \Sigma' = \Sigma_{\underline{E}'}, soit \operatorname{Corr}(\Sigma, \Sigma') l'ensemble des applications \alpha_{*} : \Sigma \longrightarrow \Sigma' qui commutent aux Sup (quelconques), de \Sigma : \Sigma' (appelons les « correspondances » et entre elles sont des connaissances), et \operatorname{Corr}(\underline{E}, \underline{E}') ici \underline{E}, \underline{E}' (soulignés par l'auteur) désignent les dispositions. La phrase se poursuit sur la page suivante.

p. 94 de l'auteur.

l'ensemble des ~~applications~~ correspondances entre \underline{E}, \underline{E}' \alpha : E \longrightarrow \text{\struck{$\Sigma_{E'}$}}\ \mathfrak{P}(E') le E source est récrit sur un \underline{E} ; avant \mathfrak{P}(E'), un \Sigma_{E'} raturé de traits serrés. ayant les propriétés

a)\forall\, x \in E, \alpha(x) \in \Sigma_{E'} b)\alpha satisfait ~~aux~~ aux conditions équivalentes de la prop. 4, dont la plus explicite est (iv),

Soit enfin \operatorname{Corr}^{*}(\underline{E}, \underline{E}') l'ensemble des ~~applications parties~~ corr. ensemblistes R entre ~~\alpha^{*} : E \to \mathfrak{P}(E')~~ E et E' (R \subset E \times E') telles que \left\{ \begin{aligned} &\forall\, x \in E, \ R(x) \in \Sigma_{E'} \\ &\forall\, x' \in E', \ {}^{t}R(x') \in \Sigma_E . \end{aligned} \right.

On a donc des ~~correspondances~~ applications bijectives canoniques \operatorname{Corr}(\Sigma, \Sigma') \xrightarrow[\sim]{\ \varphi\ } \operatorname{Corr}(\underline{E}, \underline{E}') \xrightarrow[\sim]{\ \psi\ } \operatorname{Corr}^{*}(\underline{E}, \underline{E}') le second \operatorname{Corr}^{*} est souligné dans le manuscrit. Obtenues ainsi : \left\{ \begin{aligned} \varphi(\alpha_{*}) &= \alpha_{*} \circ \sigma_E : \ E \xrightarrow{\ \sigma_E\ } \Sigma_E \xrightarrow{\ \alpha_{*}\ } \Sigma_{E'} \\ \psi(\alpha) &= \{(x, x') \in E \times E' \mid \alpha(x) \mathrel{|\circ|} x'\} \\ &\phantom{=}\ \text{i.e. } x' \in \operatorname{Cosup}^{\circ}_{E'}(\alpha(x)) \end{aligned} \right. le dernier argument, en bout de ligne, est coupé au bord de la feuille.

(Ainsi \psi(\alpha) n'est pas le graphe de la correspondance \alpha : E \to ~~\mathfrak{P}(E')~~ \Sigma_{E'} \subset \mathfrak{P}(E'), mais de la correspondance déduite en composant avec \complement_{\Sigma'} : E \xrightarrow{\ \alpha\ } \Sigma_{E'} \xrightarrow{\ \complement_{E'}\ } \Sigma_{E'} \subset \mathfrak{P}(E') \text{).}

p. 95 de l'auteur.

Je reste seulement à prouver que si \alpha_{*} est dans \operatorname{Corr}(\Sigma, \Sigma'), alors \alpha = \varphi(\alpha_{*}) satisfait aux conditions de prop. 4 et redonne \alpha_{*}, par \alpha_{*}(S) = \operatorname{Sup}^{\Sigma_{E'}}_{x \in S} \underbrace{\alpha(x)}_{\overset{\text{déf}}{=}\ \alpha_{*}(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(x))} \qquad (S \in \Sigma_E) . Cette formule provient de la formule S = \operatorname{Sup}_{x \in S} \operatorname{Sup}^{\circ}_E(x) et de la commutation de \alpha_{*} avec Sup.

Ainsi, il reste à prouver (iv b) pour \alpha : \overline{\alpha}\bigl(\text{\struck{$\operatorname{Sup}^{\circ}_E$}}\ \sigma_E(x)\bigr) \text{ \struck{$\in$} et } \alpha(x) \text{ ont même } \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'} . Or si y \in \text{\struck{\ill{}}}\ \sigma_E(x), on a \sigma_E(y) \leq \sigma_E(x) ~~(\operatorname{Sup}^{\circ}_E(y) \leq \operatorname{Sup}^{\circ}_E(x))~~, d'où ~~\alpha_{*}(\ldots)~~ \alpha_{*}\sigma_E(y) \leq \alpha_{*}\sigma_E(x) \quad \text{i.e.} \quad \underbrace{\alpha(y) \leq \alpha(x)}_{\text{dans } \Sigma_{E'}} , sous \alpha_{*}\sigma_E(y), une accolade porte « \alpha(y) », barré. donc ~~les \overline{\alpha}~~ \operatorname{Sup}^{\circ}_{E'}\bigl(\overline{\alpha}(\sigma_E(x))\bigr) = \ldots\ \alpha(x) ~~\alpha_{*}(\sigma_E(x)), \overline{\alpha}(\sigma_E(x)) et \alpha(x)~~ qed. le second membre de la dernière égalité est raturé de traits serrés, illisible sauf le \alpha(x) final ; deux lignes en dessous sont barrées.

11.7. On va faire une catégorie avec les dispositions, en prenant comme morphismes \underline{E} \longrightarrow \underline{E}' les correspondances qui satisfont a) b) de la p. 94, et la composition (si \underline{E} \xrightarrow{\ \alpha\ } \underline{E}' \xrightarrow{\ \beta\ } \underline{E}'') \beta \underset{\text{dis}}{\circ} \alpha = \text{\struck{$\beta \underset{\text{ens}}{\circ} \alpha$}}\ \operatorname{Sup}^{\circ}_{E''}\bigl(\beta \underset{\text{ens}}{\circ} \alpha\bigr) . « p. 94 » est la pagination de l'auteur : c'est la page 97 ci-dessus. Le numéro « 11.7 » en marge est d'une lecture douteuse. Cette

p. 96 de l'auteur.

composition est associative, avec ~~les~~ pour identités \text{\struck{\ill{}}}\ \sigma_{\underline{E}} = \operatorname{Sup}^{\circ}_{\underline{E}} \circ \mathrm{id}_{\underline{E}} . La catégorie des dispositions et correspondances entre de telles, est équivalente à la catégorie des dispositions complètes (ou « systèmes » ?), où on prend comme morphismes les applications croissantes qui commutent aux Sup quelconques (appelées aussi « correspondances » entre les systèmes). Et cette catégorie est équivalente à la catégorie opposée, par une « autodualité » (involution) qui est l'identité sur les objets, et sur les morphismes est le passage à la transposée.

[Analogie avec les espaces de Hilbert, plus généralement espaces vectoriels munis d'une autodualité…, et les opérateurs adjoints…] le mot « systèmes » de la première parenthèse est souligné d'un trait ondulé ; les crochets sont de l'auteur.

Questions ouvertes, que je n'ai pas tirées au clair, signalées par le cas des dispositions triviales. « Questions ouvertes » est souligné d'un double trait ondulé, et une flèche d'une autre encre y pointe depuis la marge. La page s'arrête là : les questions annoncées ne figurent pas dans cette batch.

p. 97 de l'auteur.

Dans le cas où les correspondances en dispositions sont les corr. ensemblistes, elles forment l'ensemble \mathfrak{P}(E \times E'), qui est lui-même un ~~disposition~~ système, associé à une disposition triviale E \times E'. Il serait tentant donc, dans le cas général, de considérer les correspondances entre \underline{E}, \underline{E}' comme les éléments du système associé à la « disposition produit » E \times E', avec (x, x') \mathrel{|\circ|} (y, y') \overset{\text{déf}}{\iff} x \mathrel{|\circ|} x' \ \text{ou}\ y \mathrel{|\circ|} y' . la relation est transcrite telle qu'elle est écrite ; on attendrait plutôt x \mathrel{|\circ|} y ou x' \mathrel{|\circ|} y'. On vérifie en effet que les ~~applications~~ R \in \Sigma_{E \times E'} sont dans l'ens. noté \operatorname{Corr}^{*}(\underline{E}, \underline{E}') (p. 94) i.e. ~~\forall\,~~ \forall\, x \in E, R(x) \in \Sigma_{E'}, et \forall\, x' \in E', {}^{t}R(x') \in \Sigma_E. Mais il ne semble pas que l'inverse soit vrai, sauf dans le cas où \underline{E} ou \underline{E}' est une disposition triviale.

Mais si ce n'était pas vrai en général, la question demeure si l'ensemble des ensembles des dispos. corr. de \underline{E} à \underline{E}', … ~~correspondances~~ des opérations \Sigma \to \Sigma', forment un système. La relation d'ordre induite par le cas d'ensembles (disp. triviales) l'inclusion la page, et la batch, s'arrêtent sur cette phrase ; la suite des « questions ouvertes » annoncées p. 99 se poursuit au-delà.