Cote n° 156-9, pages 41–60

Cote n° 156-9 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · [Chapitre] IX et IX bis. [Ateliers] : notes manuscrites (05-15/07/1986).
Datation de l’inventaire : 1986
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41p. 38 de l'auteur. La phrase commence sur la page précédente, hors du lot.

… y jouent dans le rôle des Inf quelconques, contenant $\varnothing$ (plus petit élément) et $\mathcal{A}$ (plus grand élément). On y a une opération $\operatorname{cosupp}^{\circ}$ ou $\complement$, qui est une anti-involution. Sa […] implique (i.e. $\complement$) implique l'existence des Sup quelconques dans $\Sigma_{\mathcal{M}}$ (anti-Sup), et $\complement$ échange Inf et Sup, plus petit et plus grand élément. La relation $\mathrel{|\circ|}$ se transporte pour ⌜s'étend⌝ aux éléments de $\Sigma_{\mathcal{M}}$, par l'indice de $\Sigma$, ici et deux lignes plus haut, est une lettre qui ressemble à un $\mathcal{M}$ ; on attendrait $\Sigma_{\mathcal{A}}$, qui figure en toutes lettres au bas de la page. \[S \mathrel{|\circ|} S' \iff \forall X \in S,\ X' \in S',\ \text{on a } X \mathrel{|\circ|} X' .\] au-dessus de la double flèche, un mot inséré, par définition.

On a \[S \mathrel{|\circ|} S' \iff S \subset \complement S' \iff S' \subset \complement S .\] On a \[S \mathrel{|\circ|} S' \Longrightarrow S \cap S' = \varnothing ,\] l'inverse n'est pas vrai en général.

(en diagonale, à travers les formules) On a aussi […] plus petit et plus grand […]

La donnée d'un […] […], soit $\mathfrak{F}$, (comme « figures »), permet plus la donnée de $\trianglelefteq$, permet de définir dans $\Sigma_{\mathcal{A}}$ une partie, formée des supports constructibles

Structure d'un spatios : a) relation d'ordre b) application $\complement$. Axiomes : 1°) $\exists$ plus petit et plus grand élément ; 2°) $\complement$ est une anti-involution ; 3°) $\forall x$ $x \wedge \complement x = \varnothing_{\Sigma}$ ($\Leftrightarrow$ $x \vee \complement x = 1_{\Sigma}$). Description de $\mathcal{A}$ dans $\operatorname{Fig\acute{e}l\,ord}(\Sigma)$.

42p. 39 de l'auteur.

$\Sigma\mathrm{cons}_{\mathcal{A}}$

Elle n'est […] en général stable ni par Sup, ni par Inf, ni par $\complement$. Mais il y a un axiome (« axiome des supports ») qui tient lieu d'une telle compatibilité, sur lequel nous allons ⌜encore⌝ revenir — et à un moment ⌜cet⌝ axiome, en faisant intervenir cette fois aussi la structure $\trianglelefteq$.

Pour l'instant, je suis, […] ⌜Du point de vue des notations,⌝ pour $X \in \mathcal{A}$, je dénote par \[X^{\circ} \in \Sigma\mathrm{cons}_{\mathcal{A}}\] l'élément […] ⌜$\operatorname{supp}^{\circ}(X)$⌝ $\operatorname{supp}^{\circ} X$, qui peut être décrit comme le plus petit $S \in \Sigma_{\mathcal{A}}$ (élément aussi de $\Sigma\mathrm{cons}_{\mathcal{A}}$) tel que $X \in S$. C'est une explicitation possible de l'intuition de la partie occupée associée à une figure donnée $X$.

43p. 40 de l'auteur.

Je vais maintenant relier la relation ⌜(déjà $\overset{\circ}{\ll}$)⌝ $\overset{\circ}{\ll}$, qui n'est pas encore intervenue dans les considérations de supports, […] ce qui ne veut pas dire que les $S \in \Sigma_{\mathcal{A}}$ sont des parties $\mathfrak{F}$-fermées de $\mathcal{A}$), à ces notions de support.

Tout d'abord, pour tout $X \in \mathcal{A}$, considérons $X$ l'ensemble \[\operatorname{D\acute{e}p}(X) = \{ X'^{\circ} \mid X' \in \widetilde{X} \} \subset \Sigma\mathrm{cons} \subset \Sigma\] (« déploiement » de $X$ (« spatial ») de $X$). On pourrait le définir pour tout $F \in \mathfrak{F}(\mathcal{A})$, mais pour l'instant on ne s'y intéresse que pour les $X \in \mathcal{A}$. On a :

$\operatorname{D\acute{e}p}(X)$ admet un plus grand élément ⌜$\neq \varnothing_{\Sigma}$⌝, $X^{\circ}$, et est formé d'éléments mutuellement disjoints ($\mathrel{|\circ|}$) de $\Sigma_{\ill{}}$. De plus, l'application $\widetilde{X} \to \operatorname{D\acute{e}p}(X)$ est bijective, et $\operatorname{D\acute{e}p}(X)$ hérite de $\widetilde{X}$ une structure d'ordre. On considérera aussi $\operatorname{D\acute{e}p}(X)$, comme une partie de $\Sigma$, munie de la ⌜de la⌝ relation d'ordre […], comme une figure (élémentaire) ensembliste dans $\Sigma$, « spatiale » i.e. […] […] spatiale.

44p. 41 de l'auteur.

Supposons maintenant qu'on ait \[X \ll Y \qquad (X, Y \in \mathcal{A})\] — on a alors une application croissante canonique \[\varphi : \widetilde{X} \longrightarrow \widetilde{Y}\] telle que, pour tout $X' \in \widetilde{X}$, on ait \[X' \overset{\circ}{\ll} \text{\struck{$\varphi(X')$}}\ Y' \overset{\text{déf}}{=} \varphi(X') .\] En termes des déploiements, on peut interpréter $\varphi$ par une application croissante \[\psi : \operatorname{D\acute{e}p}(X) \longrightarrow \operatorname{D\acute{e}p}(Y)\] satisfaisant \[\forall S \in \operatorname{D\acute{e}p} X, \quad S \leq \psi(S)\] (où $\leq$ est la relation $\subset$ dans $\Sigma$). Cette application $\psi$ est uniquement déterminée par cette propriété, car si on a ⌜si⌝ \[S \leq T, T', \quad \text{\uncertain{avec}} \quad T, T' \in \operatorname{D\acute{e}p}(Y)\] on a $T = T'$ (et ceci, pour peu seulement que $S$ soit un élément de $\Sigma$, $\neq \varnothing_{\Sigma}$). En effet, si $T \neq T'$, on a $T \mathrel{|\circ|} T'$,

45p. 42 de l'auteur.

donc $T \cap T' = \varnothing$, donc $S \leq \varnothing$ donc $S = \varnothing$.

Cela impose donc une condition ⌜nécessaire⌝, en termes des supports ⌜déploiements⌝, pour qu'on ait \[X \ll \text{\struck{\ill{}}}\ Y ,\] c'est la condition suivante :

R$\forall$ $\forall S \in \operatorname{D\acute{e}p} X$, $\exists T \in \operatorname{D\acute{e}p} Y$, avec ⌜(nécessairement unique, soit $T = \psi(S)$)⌝ $S \leq T$. De plus, l'application \[\psi : \operatorname{D\acute{e}p}(X) \longrightarrow \operatorname{D\acute{e}p}(Y)\] est croissante.

De plus, on a $X \overset{\circ}{\ll} Y$ ssi l'application $\psi$ précédente transforme ⌜le⌝ plus grand élément $X^{\circ}$ en le plus grand élément $Y^{\circ}$, i.e. si et seulement si on a $\ll$ \[X^{\circ} \leq Y^{\circ}\] (NB […] supposé déjà que $X \ll Y$…).

Définition. On dit qu'un […] ⌜atelier⌝ est spatial, si la condition nécessaire précédente R$\forall$, sur $\operatorname{D\acute{e}p} X$ et $\operatorname{D\acute{e}p} Y$, pour qu'on ait $X \ll Y$

Si l'on a $X \trianglelefteq Y$, alors $\psi : \operatorname{D\acute{e}p} X \to \operatorname{D\acute{e}p} Y$ est une inclusion d'ensembles ordonnés ($\operatorname{D\acute{e}p}(X) \subset \operatorname{D\acute{e}p}(Y)$, et […] $\operatorname{D\acute{e}p}(X)$ est une partie […] de $\operatorname{D\acute{e}p}(Y)$).

46p. 43 de l'auteur.

est aussi suffisante.

Le terme « spatial » signifie est destiné ici à suggérer que la description de la relation primitive $\ll$ peut se faire en termes de $\trianglelefteq$, $\mathrel{|\circ|}$, par référence à des notions des notions purement « spatiales » (la notion de support, qui fait le lien avec la correspond à la notion « d'espace occupé » par une figure.)

Cela nous amène à la question : étant donnée une structure \[\text{\struck{\ill{}}}\ (\mathcal{A}, \trianglelefteq, \mathrel{|\circ|}) ,\] à quelles conditions provient-elle d'une structure d'atelier spatial \[(\mathcal{A}, \trianglelefteq, \overset{\circ}{\ll}, \mathrel{|\circ|}) \ ?\]

La structure de départ $(\mathcal{A},$ $(\mathcal{A}, \trianglelefteq, \mathrel{|\circ|})$ * permet de construire l'ensemble ordonné $\Sigma$, avec la structure supplémentaire $\complement$ (permettant de définir $\mathrel{|\circ|}$ sur $\Sigma$), et l'application \[X \longmapsto \operatorname{D\acute{e}p}(X) \qquad \mathcal{A} \longrightarrow \operatorname{Fig\acute{e}l\,ord}(\Sigma)\] « ord » est ajouté au-dessus de « Figél ».

— $\operatorname{Fig\acute{e}l\,ord}(\Sigma)$ désigne l'ensemble des des figures élémentaires ⌜ens.⌝ ordonnées de $\Sigma$ qui

* + l'axiome At 4 qu'il faut supposer […], comme […] conditions (i)

47p. 44 de l'auteur.

sont compatibles avec la relation ⌜(d'ensemble […])⌝ ⌜de support⌝ […] condition ; […] i.e. telles que $\forall A \in$ $S \in \mathfrak{F}$

a) $S \in \mathfrak{F} \Longrightarrow S \neq \varnothing_{\Sigma}$

b) $S, T \in \mathfrak{F}$, $S \neq T \Longrightarrow S \leq \complement T$ i.e. $T \leq \complement S$.

La première condition nécessaire, qui exprime la

La condition \[\operatorname{D\acute{e}p}(X) \overset{\circ}{\ll} \operatorname{D\acute{e}p}(Y)\] est une relation de préordre sur $\mathcal{A}$, que je noterai \[X \overset{\circ}{\ll} Y\] La première condition, c'est que cette relation soit une relation d'ordre, i.e. que

(ii) Soient $X, Y \in \mathcal{A}$, tels que $\operatorname{D\acute{e}p} X = \operatorname{D\acute{e}p} Y$, alors $X = Y$.

Ceci fait, on trouve une structure $(\mathcal{A}, \trianglelefteq, \overset{\circ}{\ll}, \mathrel{|\circ|})$, satisfaisant déjà At 1 a) b) c). Je voudrais que la relation $\ll$ qu'elle définit soit celle de déduite par $\ll$ de $\operatorname{Fig\acute{e}l\,ord}(\Sigma)$. Cela signifie que si $\operatorname{D\acute{e}p}(X)$ Supposons donc Dé \[\operatorname{D\acute{e}p}(X) \ll \operatorname{D\acute{e}p}(Y)\] donc

48p. 45 de l'auteur.

\[\operatorname{D\acute{e}p} X \overset{\circ}{\ll} \mathfrak{F} \leq \text{\struck{$\ll$}}\ \operatorname{D\acute{e}p}(Y)\] un trait relie $\mathfrak{F}$ à l'annotation placée dessous : « sous-figure élémentaire de $Y$, définie par $\psi(X^{\circ})$ ».

on sait que $\mathfrak{F}$ sera de la forme De \[\mathfrak{F} = \operatorname{D\acute{e}p}(Y'), \qquad Y' \trianglelefteq Y ,\] et on aura alors bien alors, par définition, $X \overset{\circ}{\ll} Y'$, ok.

At 2 a) immédiat par (ii)

b) Soit $X \overset{\circ}{\ll} Y$, $X' \trianglelefteq X$, prouvons $\exists Y' \in \widetilde{Y}$ avec $X' \overset{\circ}{\ll} Y'$. Immédiat. $X'$ est écrit sous $X$, le signe $\trianglelefteq$ tourné verticalement entre eux.

At 3 On note que la relation $X \mathrel{|\circ|} Y$ se transpose par ⌜traduit sur⌝ $\operatorname{D\acute{e}p} X$, $\operatorname{D\acute{e}p}(Y)$ par plus

si $S$ est le plus grand élément de $\operatorname{D\acute{e}p} X$, $T$ —— $\operatorname{D\acute{e}p} Y$, on a $S \mathrel{|\circ|} T$ dans $\Sigma$.

Et l'axiome At 3 résulte de la relation évidente dans $\Sigma$ \[S \mathrel{|\circ|} T,\ S' \leq S,\ T' \leq T \Longrightarrow S' \mathrel{|\circ|} T'\]

At 4 Évident. Ne fait pas intervenir $\overset{\circ}{\ll}$, déjà connu. il faut bien sûr l'imposer d'avance.

49p. 46 de l'auteur.

On trouve donc que la structure d'atelier spatial peut se décrire par les données \[(\mathcal{A}, \trianglelefteq, \mathrel{|\circ|})\] avec les seuls axiomes

Atspat 1 a) $\trianglelefteq$ est une relation d'ordre.

b) $\mathrel{|\circ|}$ est symétrique antiréflexive.

Atspat 2 Si $X \trianglelefteq Y$, on a $X \mathrel{|\circ|} Y$. ainsi sur la page ; une barre de négation sur la relation n'est pas exclue.

Atspat 3 L'application \[\mathcal{A} \longrightarrow \text{\struck{$\mathfrak{F}$}}\ \operatorname{Fig\acute{e}l}(\mathfrak{P}(\mathcal{A}))\] \[X \longmapsto \operatorname{D\acute{e}p} X = \bigl( \{ X'^{\circ} \mid X' \trianglelefteq X \} ,\] ordre + relation d'ordre sur $\operatorname{D\acute{e}p} X$ déduite de celle de $\widetilde{X} = \{ X' \in \mathcal{A} \mid X' \trianglelefteq X \}$ ) où $X'^{\circ} = \{ Y$

est injective. (Dans cette définition, pour $Y \in \mathcal{A}$, \[Y^{\circ} = \{ Z \in \mathcal{A} \mid \forall Z' \in \mathcal{A},\ Z' \mathrel{|\circ|} Y \Rightarrow Z' \mathrel{|\circ|} Z \} \ ) .\]

Je vais essayer de reformuler la structure, avec \[\Sigma = \Sigma_{\mathcal{A}}\] comme ensemble de base.

Définition. Appelons spatios (ensembliste) un ensemble ordonné ⌜triple⌝ $(\Sigma, \leq, \complement)$, où $\Sigma$ est un ensemble, $\leq$ une relation d'ordre sur $\Sigma$, $\complement$ une application de $\Sigma$ en lui-même,

50p. 47 de l'auteur.

satisfaisant aux axiomes

Spat 1. $\leq$ est une relation d'ordre, admettant un plus petit élément (noté $0_{\Sigma}$) et un plus grand élément (noté $1_{\Sigma}$), et on admet des Inf quelconques (donc aussi des Sup quelconques).

Spat 2 $\complement$ est une $\complement^{2} = \mathrm{id}$ ($\complement$ est une involution) et […]. \[x \leq y \iff \complement y \leq \complement x\] (i.e. $\complement$ est un anti-homomorphisme involutif de l'ens. ordonné sur lui-même).

Spat 3 $\forall x$, on a $x \wedge \complement x = 0_{\Sigma}$ (ce qui équivaut, par $\complement$, à : $\complement x \vee x = 1_{\Sigma}$)

Dans un tel ensemble, on met \[X \mathrel{|\circ|} Y \iff X \leq \complement Y \quad (\iff Y \leq \complement X) .\] On a \[X \mathrel{|\circ|} Y \Longrightarrow X \wedge \text{\struck{\ill{}}}\ Y = 0_{\Sigma}\] On trouve \[X \mathrel{|\circ|} Y \ \text{est relation symétrique}\] \[X \mathrel{|\circ|} X \iff X = 0_{\Sigma}\] donc dans $\Sigma^{*} = \Sigma \setminus \{ 0_{\Sigma} \}$, la relation $\mathrel{|\circ|}$ est antiréflexive, en plus d'être symétrique.

Ex Soit $\mathcal{A}$ un ens. muni d'une relation $\mathrel{|\circ|}$ qui est symétrique, soit $\mathcal{A}_{0}$ l'ens. des $X \in \mathcal{A}$ tels que $X \mathrel{|\circ|} X$ […] supposons que $X \in \mathcal{A}_{0}$ ($\mathcal{A}_{0} = \varnothing$ dans le cas où $\mathcal{A}$ est un atelier, et $\mathrel{|\circ|}$ sa relation de disjonction intrinsèque…), […] supposons que $X \in \mathcal{A}_{0}$ $\iff$ $X \mathrel{|\circ|} Y$ $\forall Y \in \mathcal{A}$. On trouve alors une notion de support et de cosupport, et un ensemble […] de \[\Sigma \subset \mathfrak{P}(\mathcal{A})\]

51p. 48 de l'auteur.

de supports, stable dans $\mathfrak{P}(\mathcal{A})$ par $\bigcap$, quelconques, et donc aussi par des Inf quelconques, donc aussi des Sup quelconques. Le plus petit élément est $\mathcal{A}_{00}$ ⌜$= \{ X \in \mathcal{A} \mid X \mathrel{|\circ|} Y\ \forall Y \in \mathcal{A} \}$⌝, le plus grand est $\mathcal{A}$. On a une opération $\complement$ ici ($\complement^{2} = \mathrm{id}$ (symétrie de $\mathrel{|\circ|}$). Ainsi, les conditions a) b) c) ⌜Spat 1, 2⌝ d'un spatios sont satisfaites. On a […] ⌜Spat 3⌝ ssi \[X \mathrel{|\circ|} X \Longrightarrow X \in \mathcal{A}_{00}\] — c'est la condition que j'avais mise dès le début, on dirait.

Appliquons cette construction au cas $\mathcal{A} = \Sigma$, $\mathrel{|\circ|}_{\Sigma}$ ! On trouve […] \[\Sigma_{0} = \{ 0_{\Sigma} \} = \Sigma_{00} .\] Soit […] $A \subset \Sigma$, son cosupport $A$ est par définition \[\operatorname{cosupp}(A) = \{ Z \in \Sigma \mid \forall X \in A,\ X \mathrel{|\circ|} Z \}\] sous $X \mathrel{|\circ|} Z$ : « i.e. $Z \leq \complement X$ ». \[= \Bigl\{ Z \in \Sigma ,\ Z \leq \inf_{X \in A} \complement X = \complement \operatorname{Sup} A \Bigr\}\] \[= \widetilde{\complement \operatorname{Sup} A} .\] en marge à droite : « $= \complement \operatorname{Sup} A$ ».

Donc $\operatorname{cosupp} A$ ne dépend que de $\operatorname{Sup} A$ ⌜($= \xi$, disons)⌝. On a donc \[\operatorname{supp} A \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{cosupp} \operatorname{cosupp} A = \complement\bigl(\operatorname{Sup} \widetilde{\complement(\xi)}\bigr) = \widetilde{\xi}\] sous $\operatorname{Sup} \widetilde{\complement(\xi)}$, une accolade : « $\complement(\xi)$ ».

De cette façon, on voit que l'ensemble des supports s'identifie à $\Sigma$ via $\Sigma \to \widetilde{\Sigma}$, le dernier signe, un $\Sigma$ surmonté d'un trait ou d'un tilde, est lu sous réserve.

Si on prend $\mathcal{A} = \Sigma^{*} = \Sigma \setminus \{ 0_{\Sigma} \}$, on trouve encore […] de $\Sigma$, […] cette fois d'une relation $\mathcal{A}$ symétrique […]. On a $\mathcal{A}_{00} = \varnothing$ […]. * […] : […] vide

52p. 49 de l'auteur.

et via cette identification, le support d'une partie ⌜$A$⌝ de $\Sigma$ s'identifie à son Sup $\xi$, son cosupport à $\complement \xi$.

Ceci dit, à un atelier spatial $(\mathcal{A}, \trianglelefteq, \mathrel{|\circ|})$ est associé un spatios $(\Sigma, \leq, \complement)$, […] en plus […] ce paragraphe est barré de traits obliques.

Étant donné un spatios $\Sigma$, on définit appelle figure du spatios $\operatorname{Fig\acute{e}l}(\Sigma)$ $\operatorname{Figspat}(\Sigma)$ $= \{ (\mathfrak{A}, \rho) \mid$ $\mathfrak{F} \in$ un partie couple $(\mathfrak{F}, \rho)$, où \[\mathfrak{F} \subset \Sigma\] est une partie de $\Sigma$, et $\rho$ une relation sur $\mathfrak{F}$, satisfaisant les conditions

Figspat 1 $\rho$ est une relation d'ordre sur $\mathfrak{F}$

Figspat 2 a) $\forall X \in \mathfrak{F}$, on a $X \neq 0_{\Sigma}$, et

b) $\forall X, Y \in \mathfrak{F}$, $X \neq Y \Longrightarrow X \mathrel{|\circ|} Y$ (i.e. $X \leq \complement Y$)

NB On pourrait être plus exigeant, en s'inspirant de l'axiome des supports pour un atelier. On ne le fait pas pour le moment.

On désigne par $\operatorname{Figspat}(\Sigma)$ l'ensemble des figures spatiales dans $\Sigma$, et par

53p. 50 de l'auteur.

$\operatorname{Figspat\acute{e}l}(\Sigma)$ ⌜$\operatorname{Atspat}(\Sigma)$⌝, l'ensemble des figures spatiales élémentaires (i.e. telles que $\mathfrak{F}$ ait un plus grand élément). On va mettre une structure d'atelier sur $\operatorname{At}\ill{}(\Sigma)$, ainsi : \[\text{\struck{$(\mathfrak{F}, \rho) \trianglelefteq \mathfrak{F}'$}} \qquad \operatorname{Atspat}(\Sigma) \subset \operatorname{Atens}(\Sigma)\]

1) La relation $\trianglelefteq$ dans $\operatorname{Atspat}(\Sigma)$ est induite par la relation similaire dans $\operatorname{Atens}(\Sigma)$.

2) La relation $\overset{\circ}{\ll}$ dans $\operatorname{Atspat} \Sigma$ est ⌜définie⌝ induite plus haut : $(\mathfrak{F}, \rho) \overset{\circ}{\ll} (\mathfrak{F}', \rho')$ ⌜ssi⌝ par la relation similaire dans $\operatorname{Atens} \Sigma$ $\forall X \in \mathfrak{F}$, $\exists X' = \psi(X) \in \mathfrak{F}'$ avec $X \leq$ $X'$ $\psi(X)$ (NB. […] cet $X'$ est unique), et $\psi : \mathfrak{F} \to \mathfrak{F}'$ est croissante […] et transforme plus grand élément en plus grand.

3) La relation $\mathrel{|\circ|}$ dans $\operatorname{Atspat}(\Sigma)$ est […] plus stricte que dans $\operatorname{Atens}(\Sigma)$ : on pose $(\mathfrak{F}, \rho) \mathrel{|\circ|} (\mathfrak{F}', \rho')$, ssi (posant $X$ = plus grand élément de $\mathfrak{F}$, de même pour $X'$) non seulement on a $X \neq X'$ (relation $\mathrel{|\circ|}$ dans $\operatorname{Atens}$) mais même $X \mathrel{|\circ|} X'$ (ce qui est plus fort, vu que $X, X' \neq 0_{\Sigma}$).

Je dis que pour ces relations, on a un atelier, spatial et même […] un atelier spatial.

54p. 51 de l'auteur.

Atsp At 1 Clair

At 2 Clair (c'est l'axiome ensembliste)

At 3 Clair

At 4 Clair.

[…] Voyons quel est le […] des […] spatios associé à précédent atelier. […] Soit $\mathcal{A} = \operatorname{Atspat}(\Sigma)$. Considérons $(\mathfrak{F}, \rho)$ l'application \[\mathcal{A} \longrightarrow \Sigma\] \[X = (\mathfrak{F}, \rho) \longmapsto \text{plus grand élément de } \mathfrak{F},\] ⌜(noté $X^{\circ}$, cf justification plus bas)⌝

Ceci dit, la relation $\mathrel{|\circ|}$ de $\mathcal{A}$ est induite, via cette application, par la relation […] de même nom dans $\Sigma$. On trouve donc une application injective \[\Sigma_{\mathcal{A}} \longrightarrow \Sigma_{\Sigma} = \Sigma .\] sous $\Sigma_{\Sigma}$, deux mots : […] […].

Mais on a aussi \[\Sigma \longrightarrow \mathcal{A}\] \[X \longmapsto \text{\struck{$\{X\}$}}\ (\{X\}, \rho_{X}) \qquad \rho_{X} \ \text{la relation d'ordre (unique) sur } \{X\}\] « (unique) » est ajouté au-dessus de la ligne. telles que la relation $\mathrel{|\circ|}$ sur $\Sigma$ soit induite par celle sur $\mathcal{A}$, et le composé \[\Sigma \longrightarrow \mathcal{A} \longrightarrow \Sigma\] est l'identité.

55p. 52 de l'auteur.

d'où \[\Sigma_{\mathcal{A}} \simeq \Sigma_{\Sigma} \simeq \Sigma\] et on voit que ça respecte relations d'ordre et $\complement$.

Ceci dit, l'application canonique \[\mathcal{A} \longrightarrow \operatorname{Atspat}(\Sigma_{\mathcal{A}})\] s'identifie, via $\Sigma_{\mathcal{A}} \simeq \Sigma$, en composant \[\mathcal{A} \longrightarrow \operatorname{Atspat}(\Sigma_{\mathcal{A}}) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Atspat}(\Sigma) = \mathcal{A}\] à l'application identique. Cette application […] […] non seulement injection, mais bijection !

Revenons au cas d'un atelier spatial quelconque $\mathcal{A}$. ⌜Posons $\Sigma = \Sigma_{\mathcal{A}}$.⌝ Alors ⌜on a un homom. d'ateliers⌝ $\mathcal{A}$ s'identifie comme un […] atelier de $\operatorname{Atspat}(\Sigma)$ \[\mathcal{A} \longrightarrow \operatorname{Atspat}(\Sigma)\] \[X \longmapsto \operatorname{D\acute{e}p}(X) ,\] (même si $X$ $\mathcal{A}$ n'est pas spatial). C'est un homom. fidèle, i.e. \[X \mathrel{|\circ|} Y \iff \operatorname{D\acute{e}p}(X) \mathrel{|\circ|} \operatorname{D\acute{e}p} Y .\] Dire que $\mathcal{A}$ est spatial, signifie

56p. 53 de l'auteur.

qu'on a un homom. injectif, qui identifie ⌜donc⌝ $\mathcal{A}$ à un sous-atelier de $\operatorname{Atspat}(\Sigma)$, soit $\mathcal{A}$.

Ainsi, on trouve, associé à $\mathcal{A}$,

1°) un spatios $\Sigma$

2°) un sous-atelier $\mathcal{A} \subset \operatorname{Atspat}(\Sigma)$. i.e.

Sous-atelier signifie ici, simplement, une partie ⌜de Atspat⌝, qui satisfait la condition Sousat (cf p. 27) — mais en fait, c'est à une partie fermée pour $\trianglelefteq$. Cette condition joue le rôle de la ⌜p. 9⌝ condition Atens 1 (cf Ch. VIII) pour les ateliers ensemblistes, rapportés à ⌜(ens. de base $L$)⌝ $L$. Il faut une condition qui […] tienne lieu de Atens 2 ($\forall x \in L$, $\{x\} \in \mathcal{A}$). Ce serait

Atspat 2. Ci-dessous.

« p. 27 » et « p. 9 » renvoient à la pagination de l'auteur, hors de ce lot.

Donc On va donc reprendre la structure sur l'ens. de base $\Sigma$, avec comme données ($\leq$, […] $\complement$, $\mathcal{A}$) […], où $\leq$, $\complement$ font de $\Sigma$ un spatios, et où $\mathcal{A}$ est une partie ens. de figures spatiales élémentaires relativement à $\Sigma$ \[\mathcal{A} \subset \operatorname{Atspat}(\Sigma) ,\]

57p. 54 de l'auteur.

satisfaisant les deux seules (?) conditions

Atspat 1' Si $X \in \mathcal{A}$, et $Y \trianglelefteq X$, alors $Y \in \mathcal{A}$ ($\mathcal{A}$ fermé dans $\operatorname{Atspat}(\Sigma)$, pour $\trianglelefteq$).

Atspat 2 $\forall S \in \Sigma$, […] soit $A_{S} = \{ X \in \mathcal{A} \mid$ $X^{\circ} \leq S \}$ […] $\forall Y \in \widetilde{X}$, […] $\Sigma_{0} = \{ S \in \Sigma \mid$ $\exists X \in \mathcal{A}$ $+\ X^{\circ} \mathrel{|\circ|} X$

Atspat 2' $\forall$ Soit \[\Sigma' = \{ X^{\circ} \mid X \in \mathcal{A} \} \subset \Sigma .\] Pour tout $S \in \Sigma$ soit $\Sigma'_{\leq S} = \{ \xi \in \Sigma' \mid \xi \leq S \}$. Ceci posé, on a, pour tout $S \in \Sigma$ \[S = \operatorname{Sup} \Sigma'_{\leq S} .\]

Je m'attends que, pour de telles données, l'atelier $\mathcal{A}$ partie de $\operatorname{Atspat}(\Sigma)$, muni de la structure d'atelier induite, est un atelier spatial, et que l'on a un iso. can. \[\Sigma \simeq \Sigma_{\mathcal{A}}\] moyennant lequel l'application canonique \[\mathcal{A} \xrightarrow{\ \operatorname{D\acute{e}p}\ } \operatorname{Atspat}(\Sigma_{\mathcal{A}})\] devient l'inclusion de $\mathcal{A}$ dans $\operatorname{Atspat}(\Sigma)$.

58p. 55 de l'auteur.

[…] justifié

Il sera plus commode de vérifier, ⌜d'abord,⌝ en termes des données $\trianglelefteq_{\mathcal{A}}$, $\mathrel{|\circ|}_{\mathcal{A}}$ induites par $\operatorname{Fig\acute{e}lspat}(\Sigma)$, les axiomes Atspat 1–3. Atspat 1, 2 triviales. Pour Atspat 3 on va déterminer ⌜le spatios⌝ $\Sigma_{\mathcal{A}}$ (défini en termes de $\mathrel{|\circ|}_{\mathcal{A}}$ seulement), et l'application \[\mathcal{A} \xrightarrow{\ \operatorname{D\acute{e}p}\ } \operatorname{Figspat\acute{e}l}(\Sigma_{\mathcal{A}})\] (défini en termes de $\mathrel{|\circ|}_{\mathcal{A}}$ et $\trianglelefteq_{\mathcal{A}}$), et voir que ces s'identifient resp. à $\Sigma$ et à l'inclusion $\mathcal{A} \subset \operatorname{Figspat\acute{e}l}(\Sigma_{\mathcal{A}})$.

Soit Considérons les applications \[\mathcal{A} \xrightarrow{\ \alpha\ } \Sigma \xrightarrow{\ \beta\ } \mathfrak{P}(\mathcal{A})\] \[S \longmapsto \{ X \in \mathcal{A} \mid X^{\circ} \leq S \}\] \[X = (\mathfrak{F}, \rho) \longmapsto X^{\circ} = \text{plus grand él. de } \mathfrak{F} \text{ pour } \rho\] On a \[\beta(\alpha(X)) = \{ Z \in \mathcal{A} \mid Z^{\circ} \leq X^{\circ} \} \subset \operatorname{supp}^{\circ}_{\mathcal{A}} X\] $\operatorname{supp}^{\circ} X$ et \[\alpha\beta(S) = \{ X^{\circ} \mid X \in \mathcal{A},\ \text{t.q. } X^{\circ} \leq S \} \subset \operatorname{supp}^{\circ}_{\Sigma}(S)\] D'où résulte que $\alpha$ et $\beta$ induisent des bijections inverses l'une de l'autre entre \[\Sigma_{\mathcal{A}} \quad \text{et} \quad \Sigma_{\Sigma} .\] Utilisant \[\Sigma_{\alpha} : \Sigma_{\mathcal{A}} \longrightarrow \Sigma_{\Sigma} \overset{\operatorname{supp}^{\circ}_{\Sigma}}{\rightleftarrows} \Sigma ,\] sous la dernière flèche : « cf plus haut p. 48 » — p. 48 de l'auteur, c'est-à-dire la page 51 de ce lot.

on trouve l'application pour identifier $\Sigma_{\mathcal{A}}$ et $\Sigma$, et interprétons

Cf suite plus explicite […] […] l'associativité […] de $\Sigma$…

59p. 56 de l'auteur.

en conséquence $\operatorname{D\acute{e}p}_{\mathcal{A}}$ comme \[\mathcal{A} \xrightarrow{\ \operatorname{D\acute{e}p}^{!}_{\mathcal{A}}\ } \text{\struck{\ill{}}}\ \mathfrak{P}(\Sigma_{\mathcal{A}}) \longrightarrow \mathfrak{P}(\Sigma)\] \[X \longmapsto \{ \operatorname{supp}^{\circ}_{\mathcal{A}}(X') \mid X' \in \widetilde{X} \} \overset{?}{=}\] facile sous $X$ : « $= (\mathfrak{F}, \rho)$ » ; sous $\widetilde{X}$ : « $= \mathfrak{F}$ ». Un premier but, raturé, est surchargé de $\mathfrak{P}(\Sigma_{\mathcal{A}})$.

(Cas pour l'instant prenant $\operatorname{D\acute{e}p}_{\mathcal{A}} X$ sans la relation d'ordre, soit $\operatorname{D\acute{e}p}^{!}_{\mathcal{A}} X$)

Or $\operatorname{supp}^{\circ}_{\mathcal{A}}(X')$ ⌜($\in \Sigma_{\mathcal{A}}$)⌝ devient, pour $X' \in \mathfrak{F}$ ⌜(donné $\subset \Sigma$)⌝, par $\Sigma_{\mathcal{A}} \xrightarrow{\ \sim\ } \Sigma_{\Sigma}$, $\operatorname{supp}^{\circ}_{\Sigma}(X')$, et par $\Sigma_{\Sigma} \longleftarrow \Sigma$, $X'$. Donc l'image de $X = (\mathfrak{F}, \rho)$ par par le composé (*) n'est autre que $\mathfrak{F}$, et la relation d'ordre induite dessus est celle déduite par transport de structure de celle de $\widetilde{X} = \mathfrak{F}$, par l'application identique de $\widetilde{X} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathfrak{F}$, i.e. c'est $\rho$.

On gagne !

Scholie La donnée d'un atelier spatial revient à celle d'un spatios $(\Sigma, \leq, \complement)$ ⌜(ou $\overset{\circ}{\ll}$)⌝, muni de la structure supplémentaire définie par une $\mathcal{A} \subset \operatorname{Figspat\acute{e}l}(\Sigma)$, satisfaisant les deux conditions Atspat 1', 2' p. 54. Ainsi l'ensemble de base de la

« p. 54 » de l'auteur : page 57 de ce lot.

60p. 57 de l'auteur.

structure envisagée (qui avait été, tour à tour, $\mathfrak{F}$, (mais […] moment !), $\mathcal{A}$ ou $(\mathcal{A}, \mathfrak{F})$, $\mathcal{L}$, est à présent $\Sigma$, le « spatios des supports ». [Ce dernier est particulièrement commode pour formuler les axiomes des supports, cf plus bas, même pour des ateliers non nécessairement spatiaux.]

Sorite du […] spatios $\Sigma(E)$ associé à un ens. $E$ muni d'une ⌜disjonction⌝ relation symétrique ⌜anti⌝réflexive ([…] notée $\mathrel{|\circ|}_{X}$), — ou plus généralement […], d'une relation telle que \[X \mathrel{|\circ|} X \Longrightarrow \forall Y \in E,\ X \mathrel{|\circ|} Y .\]

1°) Soient $E = (E, \mathrel{|\circ|}_{E})$, $E' = (E', \mathrel{|\circ|}_{E'})$ munis de relations symétriques, une correspondance \[E \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathfrak{P}(E')\] (non nécessairement compatible à $\mathrel{|\circ|}_{E}$, $\mathrel{|\circ|}_{E'}$) est dite un morphisme de $E$ dans $E'$, si $\forall x, y \in E$, \[\forall x, y \in E, \ \text{et } x' \in \varphi(x),\ y' \in \varphi(y), \quad x \mathrel{|\circ|} y \Longrightarrow x' \mathrel{|\circ|} y'\] Pour cette notion de morphisme, et la notion de composition des correspondances,

NB La catégorie […] […] des […] : celles des […] $\forall y \neq x$ […] ; $x \mathrel{|\circ|} x$ […] […] ces points

Ex. La corr. identique de $E$ […]

La phrase et le sorite se poursuivent au-delà de ce lot.