p. 38 de l'auteur. La phrase commence sur la page précédente, hors du lot.
… y jouent dans le rôle des Inf quelconques, contenant
\varnothing (plus petit élément) et \mathcal{A} (plus grand élément). On y
a une opération \operatorname{cosupp}^{\circ} ou \complement,
qui est une anti-involution. Sa implique (i.e.
\complement) implique l'existence des Sup quelconques dans
\Sigma_{\mathcal{M}} (anti-Sup), et \complement échange Inf et
Sup, plus petit et plus grand élément. La relation \mathrel{|\circ|}
se transporte pour s'étend aux éléments de
\Sigma_{\mathcal{M}}, par
l'indice de \Sigma, ici et deux lignes plus haut, est une lettre qui
ressemble à un \mathcal{M} ; on attendrait \Sigma_{\mathcal{A}}, qui
figure en toutes lettres au bas de la page.
S \mathrel{|\circ|} S' \iff \forall X \in S,\ X' \in S',\ \text{on a }
X \mathrel{|\circ|} X' .
au-dessus de la double flèche, un mot inséré, par définition.
On a
S \mathrel{|\circ|} S' \iff S \subset \complement S' \iff S' \subset \complement S .
On a
S \mathrel{|\circ|} S' \Longrightarrow S \cap S' = \varnothing ,
l'inverse n'est pas vrai en général.
(en diagonale, à travers les formules) On a aussi
plus petit et plus grand
La donnée d'un , soit \mathfrak{F}, (comme
« figures »), permet plus la donnée de \trianglelefteq, permet de
définir dans \Sigma_{\mathcal{A}} une partie, formée des supports
constructibles
Structure d'un spatios : a) relation d'ordre b) application
\complement. Axiomes : 1°) \exists plus petit et plus grand
élément ; 2°) \complement est une anti-involution ; 3°) \forall x
x \wedge \complement x = \varnothing_{\Sigma} (\Leftrightarrow
x \vee \complement x = 1_{\Sigma}). Description de \mathcal{A}
dans \operatorname{Fig\acute{e}l\,ord}(\Sigma).
p. 39 de l'auteur.
\Sigma\mathrm{cons}_{\mathcal{A}}
Elle n'est
Pour l'instant, je suis, Du point de vue des notations,
pour X \in \mathcal{A}, je dénote par
X^{\circ} \in \Sigma\mathrm{cons}_{\mathcal{A}}
l'élément partie occupée
associée à une figure donnée X.
p. 40 de l'auteur.
Je vais maintenant relier la relation (déjà
\overset{\circ}{\ll}) \overset{\circ}{\ll}, qui n'est pas encore
intervenue dans les considérations de supports, ce qui ne
veut pas dire que les S \in \Sigma_{\mathcal{A}} sont des parties
\mathfrak{F}-fermées de \mathcal{A}), à ces notions de
support.
Tout d'abord, pour tout X \in \mathcal{A}, considérons X
l'ensemble
\operatorname{D\acute{e}p}(X) = \{ X'^{\circ} \mid X' \in \widetilde{X} \}
\subset \Sigma\mathrm{cons} \subset \Sigma
(« déploiement » de X (« spatial ») de X). On pourrait le
définir pour tout F \in \mathfrak{F}(\mathcal{A}), mais pour l'instant on ne
s'y intéresse que pour les X \in \mathcal{A}. On a :
\operatorname{D\acute{e}p}(X) admet un plus grand élément
\neq \varnothing_{\Sigma}, X^{\circ}, et est formé d'éléments
mutuellement disjoints (\mathrel{|\circ|}) de
\Sigma_{\ill{}}. De plus, l'application
\widetilde{X} \to \operatorname{D\acute{e}p}(X) est bijective, et
\operatorname{D\acute{e}p}(X) hérite de \widetilde{X} une structure
d'ordre. On considérera aussi \operatorname{D\acute{e}p}(X),
comme une partie de \Sigma, munie de la de la relation
d'ordre , comme une figure (élémentaire) ensembliste
dans \Sigma, « spatiale » i.e.
spatiale.
p. 41 de l'auteur.
Supposons maintenant qu'on ait
X \ll Y \qquad (X, Y \in \mathcal{A})
— on a alors une application croissante canonique
\varphi : \widetilde{X} \longrightarrow \widetilde{Y}
telle que, pour tout X' \in \widetilde{X}, on ait
X' \overset{\circ}{\ll} \text{\struck{$\varphi(X')$}}\
Y' \overset{\text{déf}}{=} \varphi(X') .
En termes des déploiements, on peut interpréter \varphi par une application
croissante
\psi : \operatorname{D\acute{e}p}(X) \longrightarrow \operatorname{D\acute{e}p}(Y)
satisfaisant
\forall S \in \operatorname{D\acute{e}p} X, \quad S \leq \psi(S)
(où \leq est la relation \subset dans \Sigma). Cette application \psi est
uniquement déterminée par cette propriété, car si on a
si
S \leq T, T', \quad \text{\uncertain{avec}} \quad
T, T' \in \operatorname{D\acute{e}p}(Y)
on a T = T' (et ceci, pour peu seulement que S soit un élément de
\Sigma, \neq \varnothing_{\Sigma}). En effet, si T \neq T', on a
T \mathrel{|\circ|} T',
p. 42 de l'auteur.
donc T \cap T' = \varnothing, donc S \leq \varnothing donc
S = \varnothing.
Cela impose donc une condition nécessaire, en termes des
supports déploiements, pour qu'on ait
X \ll \text{\struck{\ill{}}}\ Y ,
c'est la condition suivante :
R\forall \forall S \in \operatorname{D\acute{e}p} X,
\exists T \in \operatorname{D\acute{e}p} Y, avec
(nécessairement unique, soit T = \psi(S)) S \leq T. De plus,
l'application
\psi : \operatorname{D\acute{e}p}(X) \longrightarrow \operatorname{D\acute{e}p}(Y)
est croissante.
De plus, on a X \overset{\circ}{\ll} Y ssi l'application \psi précédente
transforme le plus grand élément X^{\circ} en le plus
grand élément Y^{\circ}, i.e. si et seulement si on a \ll
X^{\circ} \leq Y^{\circ}
(NB supposé déjà que X \ll Y…).
Définition. On dit qu'un spatial, si la condition nécessaire précédente R\forall,
sur \operatorname{D\acute{e}p} X et \operatorname{D\acute{e}p} Y, pour
qu'on ait X \ll Y
Si l'on a X \trianglelefteq Y, alors
\psi : \operatorname{D\acute{e}p} X \to \operatorname{D\acute{e}p} Y est
une inclusion d'ensembles ordonnés
(\operatorname{D\acute{e}p}(X) \subset \operatorname{D\acute{e}p}(Y), et
p. 43 de l'auteur.
est aussi suffisante.
Le terme « spatial » signifie est destiné ici à suggérer que la
description de la relation primitive \ll peut se faire en termes de
\trianglelefteq, \mathrel{|\circ|}, par référence à des notions des notions
purement « spatiales » (la notion de support, qui fait le lien avec la
correspond à la notion « d'espace occupé » par une figure.)
Cela nous amène à la question : étant donnée une structure
\text{\struck{\ill{}}}\ (\mathcal{A}, \trianglelefteq, \mathrel{|\circ|}) ,
à quelles conditions provient-elle d'une structure d'atelier spatial
(\mathcal{A}, \trianglelefteq, \overset{\circ}{\ll}, \mathrel{|\circ|}) \ ?
La structure de départ (\mathcal{A},
(\mathcal{A}, \trianglelefteq, \mathrel{|\circ|}) * permet de construire
l'ensemble ordonné \Sigma, avec la structure supplémentaire
\complement (permettant de définir \mathrel{|\circ|} sur \Sigma), et
l'application
X \longmapsto \operatorname{D\acute{e}p}(X) \qquad
\mathcal{A} \longrightarrow \operatorname{Fig\acute{e}l\,ord}(\Sigma)
« ord » est ajouté au-dessus de « Figél ».
— \operatorname{Fig\acute{e}l\,ord}(\Sigma) désigne l'ensemble
des des figures élémentaires ens. ordonnées
de \Sigma qui
* + l'axiome At 4 qu'il faut supposer ,
comme conditions (i)
p. 44 de l'auteur.
sont compatibles avec la relation (d'ensemble )
de support \forall A \in S \in \mathfrak{F}
a) S \in \mathfrak{F} \Longrightarrow S \neq \varnothing_{\Sigma}
b) S, T \in \mathfrak{F}, S \neq T \Longrightarrow
S \leq \complement T i.e. T \leq \complement S.
La première condition nécessaire, qui exprime la
La condition
\operatorname{D\acute{e}p}(X) \overset{\circ}{\ll} \operatorname{D\acute{e}p}(Y)
est une relation de préordre sur \mathcal{A}, que je noterai
X \overset{\circ}{\ll} Y
La première condition, c'est que cette relation soit une relation
d'ordre, i.e. que
(ii) Soient X, Y \in \mathcal{A}, tels que
\operatorname{D\acute{e}p} X = \operatorname{D\acute{e}p} Y, alors X = Y.
Ceci fait, on trouve une structure
(\mathcal{A}, \trianglelefteq, \overset{\circ}{\ll}, \mathrel{|\circ|}),
satisfaisant déjà At 1 a) b) c). Je voudrais que la relation \ll
qu'elle définit soit celle de déduite par \ll de
\operatorname{Fig\acute{e}l\,ord}(\Sigma). Cela signifie que si
\operatorname{D\acute{e}p}(X) Supposons donc Dé
\operatorname{D\acute{e}p}(X) \ll \operatorname{D\acute{e}p}(Y)
donc
p. 45 de l'auteur.
\operatorname{D\acute{e}p} X \overset{\circ}{\ll} \mathfrak{F}
\leq \text{\struck{$\ll$}}\ \operatorname{D\acute{e}p}(Y)
un trait relie \mathfrak{F} à l'annotation placée dessous : « sous-figure
élémentaire de Y, définie par \psi(X^{\circ}) ».
on sait que \mathfrak{F} sera de la forme De
\mathfrak{F} = \operatorname{D\acute{e}p}(Y'), \qquad Y' \trianglelefteq Y ,
et on aura alors bien alors, par définition, X \overset{\circ}{\ll} Y', ok.
At 2 a) immédiat par (ii)
b) Soit X \overset{\circ}{\ll} Y, X' \trianglelefteq X, prouvons
\exists Y' \in \widetilde{Y} avec X' \overset{\circ}{\ll} Y'. Immédiat.
X' est écrit sous X, le signe \trianglelefteq tourné
verticalement entre eux.
At 3 On note que la relation X \mathrel{|\circ|} Y se
transpose par traduit sur
\operatorname{D\acute{e}p} X, \operatorname{D\acute{e}p}(Y) par
plus
si S est le plus grand élément de \operatorname{D\acute{e}p} X, T
—— \operatorname{D\acute{e}p} Y, on a S \mathrel{|\circ|} T dans
\Sigma.
Et l'axiome At 3 résulte de la relation évidente dans \Sigma
S \mathrel{|\circ|} T,\ S' \leq S,\ T' \leq T \Longrightarrow
S' \mathrel{|\circ|} T'
At 4 Évident. Ne fait pas intervenir
\overset{\circ}{\ll}, déjà connu. il faut bien sûr l'imposer
d'avance.
p. 46 de l'auteur.
On trouve donc que la structure d'atelier spatial peut se décrire par les
données
(\mathcal{A}, \trianglelefteq, \mathrel{|\circ|})
avec les seuls axiomes
Atspat 1 a) \trianglelefteq est une relation d'ordre.
b) \mathrel{|\circ|} est symétrique antiréflexive.
Atspat 2 Si X \trianglelefteq Y, on a
X \mathrel{|\circ|} Y.
ainsi sur la page ; une barre de négation sur la relation n'est pas
exclue.
Atspat 3 L'application
\mathcal{A} \longrightarrow
\text{\struck{$\mathfrak{F}$}}\ \operatorname{Fig\acute{e}l}(\mathfrak{P}(\mathcal{A}))
X \longmapsto \operatorname{D\acute{e}p} X
= \bigl( \{ X'^{\circ} \mid X' \trianglelefteq X \} ,
ordre + relation d'ordre sur \operatorname{D\acute{e}p} X déduite
de celle de
\widetilde{X} = \{ X' \in \mathcal{A} \mid X' \trianglelefteq X \} )
où X'^{\circ} = \{ Y
est injective. (Dans cette définition, pour
Y \in \mathcal{A},
Y^{\circ} = \{ Z \in \mathcal{A} \mid \forall Z' \in \mathcal{A},\
Z' \mathrel{|\circ|} Y \Rightarrow Z' \mathrel{|\circ|} Z \} \ ) .
Je vais essayer de reformuler la structure, avec
\Sigma = \Sigma_{\mathcal{A}}
comme ensemble de base.
Définition. Appelons spatios (ensembliste) un
ensemble ordonné triple (\Sigma, \leq, \complement), où
\Sigma est un ensemble, \leq une relation d'ordre sur \Sigma,
\complement une application de \Sigma en lui-même,
p. 47 de l'auteur.
satisfaisant aux axiomes
Spat 1. \leq est une relation d'ordre, admettant un plus petit
élément (noté 0_{\Sigma}) et un plus grand élément (noté 1_{\Sigma}), et
on admet des Inf quelconques (donc aussi des Sup quelconques).
Spat 2 \complement est une \complement^{2} = \mathrm{id}
(\complement est une involution) et
Spat 3 \forall x, on a
x \wedge \complement x = 0_{\Sigma} (ce qui équivaut, par \complement, à :
\complement x \vee x = 1_{\Sigma})
Dans un tel ensemble, on met
X \mathrel{|\circ|} Y \iff X \leq \complement Y
\quad (\iff Y \leq \complement X) .
On a
X \mathrel{|\circ|} Y \Longrightarrow X \wedge \text{\struck{\ill{}}}\ Y = 0_{\Sigma}
On trouve
X \mathrel{|\circ|} Y \ \text{est relation symétrique}
X \mathrel{|\circ|} X \iff X = 0_{\Sigma}
donc dans \Sigma^{*} = \Sigma \setminus \{ 0_{\Sigma} \}, la relation
\mathrel{|\circ|} est antiréflexive, en plus d'être symétrique.
Ex Soit \mathcal{A} un ens. muni d'une relation
\mathrel{|\circ|} qui est symétrique, soit \mathcal{A}_{0} l'ens. des
X \in \mathcal{A} tels que X \mathrel{|\circ|} X supposons que X \in \mathcal{A}_{0}
(\mathcal{A}_{0} = \varnothing dans le cas où \mathcal{A} est un atelier,
et \mathrel{|\circ|} sa relation de disjonction intrinsèque…),
supposons que X \in \mathcal{A}_{0} \iff
X \mathrel{|\circ|} Y \forall Y \in \mathcal{A}. On trouve alors une notion
de support et de cosupport, et un ensemble
p. 48 de l'auteur.
de supports, stable dans \mathfrak{P}(\mathcal{A}) par \bigcap,
quelconques, et donc aussi par des Inf quelconques,
donc aussi des Sup quelconques. Le plus petit élément est
\mathcal{A}_{00}
= \{ X \in \mathcal{A} \mid X \mathrel{|\circ|} Y\ \forall Y \in \mathcal{A} \},
le plus grand est \mathcal{A}. On a une opération \complement
ici (\complement^{2} = \mathrm{id} (symétrie de
\mathrel{|\circ|}). Ainsi, les conditions a) b) c)
Spat 1, 2 d'un spatios sont satisfaites. On a
Appliquons cette construction au cas
\mathcal{A} = \Sigma, \mathrel{|\circ|}_{\Sigma} ! On trouve
\Sigma_{0} = \{ 0_{\Sigma} \} = \Sigma_{00} .
Soit
Donc \operatorname{cosupp} A ne dépend que de \operatorname{Sup} A
(= \xi, disons). On a donc
\operatorname{supp} A \overset{\text{déf}}{=}
\operatorname{cosupp} \operatorname{cosupp} A
= \complement\bigl(\operatorname{Sup} \widetilde{\complement(\xi)}\bigr)
= \widetilde{\xi}
sous \operatorname{Sup} \widetilde{\complement(\xi)}, une accolade :
« \complement(\xi) ».
De cette façon, on voit que l'ensemble des supports s'identifie à
\Sigma via \Sigma \to \widetilde{\Sigma},
le dernier signe, un \Sigma surmonté d'un trait ou d'un tilde, est
lu sous réserve.
Si on prend \mathcal{A} = \Sigma^{*} =
\Sigma \setminus \{ 0_{\Sigma} \}, on trouve encore de
\Sigma, cette fois d'une relation \mathcal{A}
symétrique . On a \mathcal{A}_{00} = \varnothing .
* : vide
p. 49 de l'auteur.
et via cette identification, le support d'une partie A de \Sigma
s'identifie à son Sup \xi, son cosupport à \complement \xi.
Ceci dit, à un atelier spatial (\mathcal{A}, \trianglelefteq,
\mathrel{|\circ|}) est associé un spatios (\Sigma, \leq, \complement),
en plus
ce paragraphe est barré de traits obliques.
Étant donné un spatios \Sigma, on définit appelle figure du
spatios \operatorname{Fig\acute{e}l}(\Sigma)
\operatorname{Figspat}(\Sigma)
= \{ (\mathfrak{A}, \rho) \mid \mathfrak{F} \in un partie couple (\mathfrak{F}, \rho), où
\mathfrak{F} \subset \Sigma
est une partie de \Sigma, et \rho une relation sur \mathfrak{F},
satisfaisant les conditions
Figspat 1 \rho est une relation d'ordre sur \mathfrak{F}
Figspat 2 a) \forall X \in \mathfrak{F}, on a
X \neq 0_{\Sigma}, et
b) \forall X, Y \in \mathfrak{F}, X \neq Y \Longrightarrow
X \mathrel{|\circ|} Y (i.e. X \leq \complement Y)
NB On pourrait être plus exigeant, en s'inspirant de l'axiome des
supports pour un atelier. On ne le fait pas pour le moment.
On désigne par \operatorname{Figspat}(\Sigma) l'ensemble des figures
spatiales dans \Sigma, et par
p. 50 de l'auteur.
\operatorname{Figspat\acute{e}l}(\Sigma)
\operatorname{Atspat}(\Sigma), l'ensemble des figures spatiales
élémentaires (i.e. telles que \mathfrak{F} ait un plus grand
élément). On va mettre une structure d'atelier sur
\operatorname{At}\ill{}(\Sigma), ainsi :
\text{\struck{$(\mathfrak{F}, \rho) \trianglelefteq \mathfrak{F}'$}} \qquad
\operatorname{Atspat}(\Sigma) \subset \operatorname{Atens}(\Sigma)
1) La relation \trianglelefteq dans \operatorname{Atspat}(\Sigma) est
induite par la relation similaire dans \operatorname{Atens}(\Sigma).
2) La relation \overset{\circ}{\ll} dans \operatorname{Atspat} \Sigma est
définie induite plus haut :
(\mathfrak{F}, \rho) \overset{\circ}{\ll} (\mathfrak{F}', \rho')
ssi par la relation similaire dans \operatorname{Atens}
\Sigma \forall X \in \mathfrak{F}, \exists X' = \psi(X) \in
\mathfrak{F}' avec X \leq X' \psi(X) (NB.
3) La relation \mathrel{|\circ|} dans \operatorname{Atspat}(\Sigma) est
Je dis que pour ces relations, on a un atelier, spatial et
même un atelier spatial.
p. 51 de l'auteur.
Atsp At 1
At 2 Clair (c'est l'axiome ensembliste)
At 3 Clair
At 4 Clair.
des (\mathfrak{F}, \rho) l'application
\mathcal{A} \longrightarrow \Sigma
X = (\mathfrak{F}, \rho) \longmapsto \text{plus grand élément de } \mathfrak{F},
(noté X^{\circ}, cf justification plus bas)
Ceci dit, la relation \mathrel{|\circ|} de \mathcal{A} est induite, via
cette application, par la relation
Mais on a aussi
\Sigma \longrightarrow \mathcal{A}
X \longmapsto \text{\struck{$\{X\}$}}\ (\{X\}, \rho_{X}) \qquad
\rho_{X} \ \text{la relation d'ordre (unique) sur } \{X\}
« (unique) » est ajouté au-dessus de la ligne.
telles que la relation \mathrel{|\circ|} sur \Sigma soit induite par celle
sur \mathcal{A}, et le composé
\Sigma \longrightarrow \mathcal{A} \longrightarrow \Sigma
est l'identité.
p. 52 de l'auteur.
d'où
\Sigma_{\mathcal{A}} \simeq \Sigma_{\Sigma} \simeq \Sigma
et on voit que ça respecte relations d'ordre et
\complement.
Ceci dit, l'application canonique
\mathcal{A} \longrightarrow \operatorname{Atspat}(\Sigma_{\mathcal{A}})
s'identifie, via \Sigma_{\mathcal{A}} \simeq \Sigma, en composant
\mathcal{A} \longrightarrow \operatorname{Atspat}(\Sigma_{\mathcal{A}})
\xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Atspat}(\Sigma) = \mathcal{A}
à l'application identique. Cette application non
seulement injection, mais bijection !
Revenons au cas d'un atelier spatial quelconque \mathcal{A}.
Posons \Sigma = \Sigma_{\mathcal{A}}. Alors on a un
homom. d'ateliers \mathcal{A} s'identifie comme un
atelier de \operatorname{Atspat}(\Sigma)
\mathcal{A} \longrightarrow \operatorname{Atspat}(\Sigma)
X \longmapsto \operatorname{D\acute{e}p}(X) ,
(même si X \mathcal{A} n'est pas spatial). C'est un
homom. fidèle, i.e.
X \mathrel{|\circ|} Y \iff
\operatorname{D\acute{e}p}(X) \mathrel{|\circ|} \operatorname{D\acute{e}p} Y .
Dire que \mathcal{A} est spatial, signifie
p. 53 de l'auteur.
qu'on a un homom. injectif, qui identifie donc
\mathcal{A} à un sous-atelier de \operatorname{Atspat}(\Sigma),
soit \mathcal{A}.
Ainsi, on trouve, associé à \mathcal{A},
1°) un spatios \Sigma
2°) un sous-atelier \mathcal{A} \subset \operatorname{Atspat}(\Sigma).
i.e.
Sous-atelier signifie ici, simplement, une partie de Atspat, qui
satisfait la condition Sousat (cf p. 27) — mais en fait, c'est à
une partie fermée pour \trianglelefteq. Cette condition joue le rôle
de la p. 9 condition Atens 1 (cf Ch.
VIII) pour les ateliers ensemblistes, rapportés à
(ens. de base L) L. Il faut une condition qui
Atspat 2. Ci-dessous.
« p. 27 » et « p. 9 » renvoient à la pagination de l'auteur, hors de ce
lot.
Donc On va donc reprendre la structure sur l'ens. de base \Sigma,
avec comme données
(\leq, partie ens. de figures spatiales élémentaires
relativement à \Sigma
\mathcal{A} \subset \operatorname{Atspat}(\Sigma) ,
p. 54 de l'auteur.
satisfaisant les deux seules (?) conditions
Atspat 1' Si X \in \mathcal{A}, et
Y \trianglelefteq X, alors Y \in \mathcal{A} (\mathcal{A} fermé dans
\operatorname{Atspat}(\Sigma), pour \trianglelefteq).
Atspat 2 \forall S \in \Sigma,
soit A_{S} = \{ X \in \mathcal{A} \mid
X^{\circ} \leq S \} \forall Y \in \widetilde{X},
\Sigma_{0} = \{ S \in \Sigma \mid \exists X \in \mathcal{A}
+\ X^{\circ} \mathrel{|\circ|} X
Atspat 2' \forall Soit
\Sigma' = \{ X^{\circ} \mid X \in \mathcal{A} \} \subset \Sigma .
Pour tout S \in \Sigma soit
\Sigma'_{\leq S} = \{ \xi \in \Sigma' \mid \xi \leq S \}. Ceci posé, on a,
pour tout S \in \Sigma
S = \operatorname{Sup} \Sigma'_{\leq S} .
Je m'attends que, pour de telles données, l'atelier \mathcal{A}
partie de \operatorname{Atspat}(\Sigma), muni de la structure
d'atelier induite, est un atelier spatial, et que l'on a un iso. can.
\Sigma \simeq \Sigma_{\mathcal{A}}
moyennant lequel l'application canonique
\mathcal{A} \xrightarrow{\ \operatorname{D\acute{e}p}\ }
\operatorname{Atspat}(\Sigma_{\mathcal{A}})
devient l'inclusion de \mathcal{A} dans
\operatorname{Atspat}(\Sigma).
p. 55 de l'auteur.
justifié
Il sera plus commode de vérifier, d'abord, en termes des données
\trianglelefteq_{\mathcal{A}}, \mathrel{|\circ|}_{\mathcal{A}} induites par
\operatorname{Fig\acute{e}lspat}(\Sigma), les axiomes Atspat 1–3.
Atspat 1, 2 triviales. Pour Atspat 3 on va déterminer le
spatios \Sigma_{\mathcal{A}} (défini en termes de
\mathrel{|\circ|}_{\mathcal{A}} seulement), et l'application
\mathcal{A} \xrightarrow{\ \operatorname{D\acute{e}p}\ }
\operatorname{Figspat\acute{e}l}(\Sigma_{\mathcal{A}})
(défini en termes de \mathrel{|\circ|}_{\mathcal{A}} et
\trianglelefteq_{\mathcal{A}}), et voir que ces s'identifient
resp. à \Sigma et à l'inclusion
\mathcal{A} \subset \operatorname{Figspat\acute{e}l}(\Sigma_{\mathcal{A}}).
Soit Considérons les applications
\mathcal{A} \xrightarrow{\ \alpha\ } \Sigma
\xrightarrow{\ \beta\ } \mathfrak{P}(\mathcal{A})
S \longmapsto \{ X \in \mathcal{A} \mid X^{\circ} \leq S \}
X = (\mathfrak{F}, \rho) \longmapsto X^{\circ} =
\text{plus grand él. de } \mathfrak{F} \text{ pour } \rho
On a
\beta(\alpha(X)) = \{ Z \in \mathcal{A} \mid Z^{\circ} \leq X^{\circ} \}
\subset \operatorname{supp}^{\circ}_{\mathcal{A}} X
\operatorname{supp}^{\circ} X et
\alpha\beta(S) = \{ X^{\circ} \mid X \in \mathcal{A},\ \text{t.q. }
X^{\circ} \leq S \} \subset \operatorname{supp}^{\circ}_{\Sigma}(S)
D'où résulte que \alpha et \beta induisent des bijections inverses l'une
de l'autre entre
\Sigma_{\mathcal{A}} \quad \text{et} \quad \Sigma_{\Sigma} .
Utilisant
\Sigma_{\alpha} : \Sigma_{\mathcal{A}} \longrightarrow \Sigma_{\Sigma}
\overset{\operatorname{supp}^{\circ}_{\Sigma}}{\rightleftarrows} \Sigma ,
sous la dernière flèche : « cf plus haut p. 48 » — p. 48 de l'auteur,
c'est-à-dire la page 51 de ce lot.
on trouve l'application pour identifier \Sigma_{\mathcal{A}} et
\Sigma, et interprétons
Cf suite plus explicite l'associativité
de \Sigma…
p. 56 de l'auteur.
en conséquence \operatorname{D\acute{e}p}_{\mathcal{A}} comme
\mathcal{A} \xrightarrow{\ \operatorname{D\acute{e}p}^{!}_{\mathcal{A}}\ }
\text{\struck{\ill{}}}\ \mathfrak{P}(\Sigma_{\mathcal{A}})
\longrightarrow \mathfrak{P}(\Sigma)
X \longmapsto \{ \operatorname{supp}^{\circ}_{\mathcal{A}}(X') \mid
X' \in \widetilde{X} \} \overset{?}{=}
facile
sous X : « = (\mathfrak{F}, \rho) » ; sous \widetilde{X} :
« = \mathfrak{F} ». Un premier but, raturé, est surchargé de
\mathfrak{P}(\Sigma_{\mathcal{A}}).
(Cas pour l'instant prenant
\operatorname{D\acute{e}p}_{\mathcal{A}} X sans la relation
d'ordre, soit \operatorname{D\acute{e}p}^{!}_{\mathcal{A}} X)
Or \operatorname{supp}^{\circ}_{\mathcal{A}}(X')
(\in \Sigma_{\mathcal{A}}) devient, pour X' \in \mathfrak{F}
(donné \subset \Sigma), par
\Sigma_{\mathcal{A}} \xrightarrow{\ \sim\ } \Sigma_{\Sigma},
\operatorname{supp}^{\circ}_{\Sigma}(X'), et par
\Sigma_{\Sigma} \longleftarrow \Sigma, X'. Donc l'image de
X = (\mathfrak{F}, \rho) par par le composé (*)
n'est autre que \mathfrak{F}, et la relation d'ordre
induite dessus est celle déduite par transport de structure de
celle de \widetilde{X} = \mathfrak{F}, par l'application identique de
\widetilde{X} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathfrak{F}, i.e. c'est \rho.
On gagne !
Scholie La donnée d'un atelier spatial revient à celle d'un
spatios (\Sigma, \leq, \complement) (ou
\overset{\circ}{\ll}), muni de la structure supplémentaire définie par une
\mathcal{A} \subset \operatorname{Figspat\acute{e}l}(\Sigma), satisfaisant
les deux conditions Atspat 1', 2' p. 54. Ainsi l'ensemble de base de
la
« p. 54 » de l'auteur : page 57 de ce lot.
p. 57 de l'auteur.
structure envisagée (qui avait été, tour à tour, \mathfrak{F},
(mais moment !), \mathcal{A} ou
(\mathcal{A}, \mathfrak{F}), \mathcal{L}, est à présent \Sigma, le
« spatios des supports ». [Ce dernier est particulièrement commode pour
formuler les axiomes des supports, cf plus bas, même pour des ateliers
non nécessairement spatiaux.]
Sorite du \Sigma(E)
associé à un ens. E muni d'une
disjonction relation symétrique antiréflexive
(
1°) Soient E = (E, \mathrel{|\circ|}_{E}),
E' = (E', \mathrel{|\circ|}_{E'}) munis de relations symétriques, une
correspondance
E \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathfrak{P}(E')
(non nécessairement compatible à \mathrel{|\circ|}_{E},
\mathrel{|\circ|}_{E'}) est dite un morphisme de E dans E', si
\forall x, y \in E,
\forall x, y \in E, \ \text{et } x' \in \varphi(x),\ y' \in \varphi(y),
\quad x \mathrel{|\circ|} y \Longrightarrow x' \mathrel{|\circ|} y'
Pour cette notion de morphisme, et la notion de composition des
correspondances,
NB La catégorie des :
celles des \forall y \neq x ; x \mathrel{|\circ|} x
ces points
Ex. La corr. identique de E
La phrase et le sorite se poursuivent au-delà de ce lot.