Cote n° 156-8, pages 121–126

Cote n° 156-8 · batch 7 · pages 121–126 · Transcription · [Chapitre] VIII. Analysis situs (quatrième mouture) : notes manuscrites (26/06-04/07/1986).
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

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121p. 113 de l'auteur. Le numéro d'archive porté au crayon sur ce feuillet est 122, et ainsi de suite jusqu'à 127 : il précède d'une unité la numérotation suivie ici, sur les six feuillets. La page s'ouvre au milieu d'une énumération de données commencée avant ce lot ; le « 1°) » n'en est pas ici.

Conventions de ce lot. La lettre $\Phi$ (la préfigure, et ses parties $\Phi_0$, $\Phi_1$, $\Phi_\Delta$, $\Phi'^*$ …) est écrite partout avec un trait horizontal sous la lettre ; on transcrit simplement $\Phi$. Le signe d'ordre entre segments, un « $<$ » suivi d'un trait vertical, est rendu $\mathrel{<\!|}$. $\mathcal{M}$, $\mathcal{M}_1$ et $\mathcal{L}$ sont écrits en cursive.

2°) Dans $\delta\Psi = \partial\Psi$,

Les sommets isolés sont intérieurs i.e. ceux de ⌜les⌝ éléments de \[\Delta_{\mathrm{int}} = (\Delta \setminus \partial\Psi) \cap \mathrm{Omb}(\Psi) = \Delta \cap \mathrm{Omb}^\circ(\Psi)\] après le premier $\Delta$ de la parenthèse, un signe noirci, illisible.

Les sommets isolés sont ceux de les autres sommets $\Delta \setminus \partial\Psi$ de $\Delta \setminus \partial\Psi$, \[\Delta_{\mathrm{is}} = \text{\struck{$\Delta \setminus (\partial\Psi \cup \Delta$}}\; (\Delta \setminus \partial\Psi) \setminus \Delta_{\mathrm{int}}\]

2°) […], d[…] d[…], dans $\Delta_{\mathrm{int}}$, une partie ⌜donc⌝ une décomposition en \[\Delta = \partial\Psi \amalg \Delta_{\mathrm{int}} \amalg \Delta_{\mathrm{is}}\]

2°) Se donner, dans $\Delta_{\mathrm{int}}$, les sommets qui appartiennent à $\Phi_0$ (ces sommets intérieurs propres, ou sommets de redondance ou de […]), ou ce qui revient au même, les autres : les sommets lacunaires \[\boxed{\Delta_{\mathrm{lac}}} \subset \Delta_{\mathrm{int}}\] de sorte que \[\Delta_{\mathrm{int}} = \Delta_{\mathrm{lac}} \amalg \Delta_{\mathrm{red}} .\]

3°) Dans $\partial\Psi$ ⌜$(= \delta\Psi)$⌝, dire quels sommets doivent être dans $\Phi_0$ et lesquels (ces sommets bords propres de $\Phi$) et lesquels non, i.e. se donner une partie \[\partial_0 \subset \partial\Psi .\] au-dessus de $\partial_0$, un premier symbole biffé.

En résumé la phrase s'arrête là ; la page suivante repart sur une « Proposition ».

122p. 114 de l'auteur.

Proposition. Une préfigure quelconque est déterminée par les données suivantes :

1°) Une figure $\Psi$ ⌜sans sommets isolés et, à composantes connexes⌝ ⌜(i.e. $\delta\Psi = \partial\Phi$ i.e. telle que $\delta\Psi = \partial\Phi$)⌝ des multi segments, ⌜déterminée par⌝ \[D = (X_1 \mathrel{<\!|} X_2 \mathrel{<\!|} \text{\struck{$X_3$}} \cdots X_n) \in \mathrm{Drap}^*(\mathcal{M}_1) .\]

2°) Une tel par \[\Psi = \Phi_D = \bigcup_{X \in D} \widetilde{X}_{\xi} = \bigcup_{1 \leq i \leq n} \widetilde{X}_i\] l'indice de $\widetilde{X}$ dans la première réunion ressemble à un $\xi$ ; lecture douteuse.

(réunion disjointe). On a aussi \[\partial\Psi = \delta\Psi = \bigcup_{X \in D} \partial X = \bigcup_{1 \leq i \leq n} \partial X_i\] (réunion disjointe), soit \[\delta\Psi = \{a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_n, b_n\}\] si \[\partial X_i = \{a_i, b_i\} .\]

On peut dire aussi que $\Psi$ est déterminée par la suite strictement croissante de cardinal pair \[a_1 < b_1 < a_2 < b_2 \cdots < a_n < b_n ,\] et on aura \[X_i = S_{a_i, b_i} \qquad 1 \leq i \leq n .\]

2°) ici, cf. p. 115 […] renvoi en marge gauche, au-dessus d'un trait de séparation : le 2°) de la Proposition est rédigé p. 115 de l'auteur (page 123 de la présente numérotation).

3°) Un drapeau $\Delta \in \mathrm{Drap}^*(\mathcal{L})$, \[\Delta \supset \partial\Psi\]

3°) Une partie $\Delta_{\mathrm{lac}}$

d'où on déduit une partie la phrase se poursuit en tête de la page suivante.

123p. 115 de l'auteur.

$\Delta_{\mathrm{is}} =$ […] $\Delta \setminus \Delta \cap \mathrm{Omb}^\circ(\Psi_1)$ ligne biffée ; sous $\Delta \cap \mathrm{Omb}^\circ(\Psi_1)$, une accolade marquée $\Delta_{\mathrm{int}}$.

Posant \[\Delta_{\mathrm{int}} = \Delta \cap \mathrm{Omb}^\circ(\Psi_1) \subset \Delta \setminus \partial\Psi\] (corr. aux pts de $\Delta$ intérieurs […] ⌜[…]⌝ des intervalles $S_{a_i, b_i}$) on aura \[\Delta = \Delta_{\mathrm{is}} \amalg \Delta_{\mathrm{int}} \amalg \partial\Psi\] où \[\Delta_{\mathrm{is}} \overset{\mathrm{def}}{=} (\Delta \setminus \partial\Psi) \setminus \Delta_{\mathrm{int}}\]

3°) ⌜4°)⌝ Une partie \[\Delta_{\mathrm{lac}} \subset \Delta_{\mathrm{int}}\] […] en marge gauche, un mot biffé muni d'une flèche descendante.

et on pose aura donc \[\Delta_{\mathrm{int}} = \Delta_{\mathrm{lac}} \amalg \Delta_{\mathrm{red}}\] où \[\Delta_{\mathrm{red}} \overset{\mathrm{def}}{=} \Delta_{\mathrm{int}} \setminus \Delta_{\mathrm{lac}} .\]

3°) ⌜2°)⌝ Une partie \[\partial_0 \subset \partial\Psi\] de $\partial\Psi$.

À ces données, on associe la préfigure $\Phi$ définie ainsi : \[\begin{cases} \Phi_0 = \underbrace{\partial_0}_{\text{sommets bord propres}} \cup \underbrace{\Delta_{\mathrm{red}}}_{\text{sommets redondants}} \cup \Delta_{\mathrm{is}} \\[1ex] \Phi_1 = \{ X \in \underbrace{\Phi_\Delta \cap \mathcal{M}_1}_{\text{intervalles interstitiels de } \Delta} \mid X \in \mathrm{Omb}(\Psi) \} \end{cases}\] devant $\Phi_0$, un signe biffé.

124p. 116 de l'auteur.

tel.

et on aura \[\begin{gathered} \delta\Phi = \Delta \\ \partial\Phi = \partial\Psi , \quad \partial_0\Phi = \partial_0 , \quad \partial_{\mathrm{imp}}\Phi = \partial\Psi \setminus \partial_0 \\ \Phi_{\mathrm{is}} = \Delta_{\mathrm{is}} \\ \Phi_{\mathrm{red}} = \Delta_{\mathrm{red}} \\ \Phi_{\mathrm{lac}} = \Delta_{\mathrm{lac}} \end{gathered}\]

Toute préfigure s'obtient ⌜de façon unique⌝ par des données 1°) 2°) 3°) 4°) (i.e. $\Psi$, $\Delta_{\mathrm{is}}$ $\partial_0 \subset \partial\Psi \subset \Delta$ \[\Psi \quad \text{ou} \quad X_1 \mathrel{<\!|} X_2 \mathrel{<\!|} X_3 \cdots \mathrel{<\!|} X_n\] \[\text{ou} \quad a_1 < b_1 < a_2 < b_2 \cdots < a_n < b_n\] et \[\boxed{\partial_0} \subset \partial\Psi \subset \boxed{\Delta} \supset \Delta_{\mathrm{lac}}\] $\Delta_{\mathrm{lac}}$ est écrit sous $\Delta$, relié par un signe $\cup$ vertical ; $\partial_0$ et $\Delta$ sont entourés.

$\Delta_{\mathrm{int}} \subset \Delta_{\mathrm{lac}} \cap \mathrm{Omb}^\circ(\Psi_1)$ $= (\Delta \setminus \partial\Psi) \cap \mathrm{Omb}(\Psi_1)$ ligne biffée, la partie gauche raturée en hachures ; lecture du début douteuse.

avec la condition que \[\Delta \in \mathrm{Drap}^*(\mathcal{L}) ,\] et \[\Delta_{\mathrm{lac}} \subset \mathrm{Omb}^\circ(\Psi_1)\, \text{\struck{\ill{}}} \cap \Delta \quad \bigl(= \mathrm{Omb}(\Psi_1) \cap (\Delta \setminus \partial\Psi)\bigr) .\]

La préfigure $\Phi$ est irredondante sss \[\Delta_{\mathrm{red}} = \emptyset\] i.e. sss $\Delta_{\mathrm{lac}}$ […] \[\Delta_{\mathrm{lac}} = \Delta \cap \mathrm{Omb}^\circ(\Psi_1) ,\] (où $\mathrm{Omb}^\circ(\Psi) = \bigcup_{1 \leq i \leq n} \mathrm{Omb}^\circ(X_i)$ (réunion disjointe)).

Corollaire 1. Se donner une ⌜préfigure⌝ $\Phi$ irredondante revient au même que se donner $\Psi$, et $\partial_0$, $\Delta$ avec […] \[\partial_0 \subset \partial\Psi \subset \Delta\] […] $\Delta \in \mathrm{Drap}^*(\mathcal{L})$. l'énoncé du corollaire est marqué d'un trait vertical en marge gauche.

125p. 117 de l'auteur.

Corollaire 2 (Pour mémoire) ⌜si $\Phi$ irredondante⌝ Moyennant Hyp. […] \[\mathrm{Supp}^\circ(\Phi) = \mathrm{Omb}^\circ(\Phi_1) \cup \text{\struck{\ill{}\,$\Delta_{\mathrm{is}}$}}\; \Phi_0\] au-dessus du membre de droite, inséré : « $\mathrm{Omb}^\circ(\Phi) =$ ». La ligne suivante, entièrement biffée, commençait par « $=$ » et finissait par « $\partial_0 \cup \Delta_{\mathrm{is}}$ », avec un indice $1 \leq i \leq n$ ; elle n'est pas lisible.

(réunions disjointes).

Corollaire 3. Considérons la figure $\Phi'^*$ formée ⌜définie⌝ 1°) des figures ⌜intervalles⌝ interstitiels de $\Delta$ qui […] pas dans $\Phi$ i.e. qui […] dans $\mathrm{Omb}(\Psi)$, et $\Phi'^*_0 = \delta\Delta \setminus \Phi_0 = \partial'_0$ ce passage est annulé par un contour fermé et une série de traits obliques ; il est repris en dessous.

\[\Phi'^*_0 = \underbrace{\delta\Phi}_{\Delta} \setminus \Phi_0 = \Delta \setminus \Phi_0 = \Delta_{\mathrm{lac}} \amalg \partial'_0\] où je pose \[\partial'_0 \overset{\mathrm{def}}{=} \partial\Phi \setminus \partial_0\Phi = \partial\Psi \setminus \partial_0\] et \[\Phi'^*_1 = \text{\struck{$\{ X \in \Phi_\Delta \cap \mathcal{M}_1 \mid X \notin \Phi_1$}\,\struck{\ill{}}}\; \}\] sous la formule, un signe biffé, puis un trait ondulé de séparation.

Rappel : $\Delta = \Delta_{\mathrm{is}} \amalg \Delta_{\mathrm{int}} \amalg \partial\Psi$, $\Phi_0 = \Delta_{\mathrm{is}} \amalg \Delta_{\mathrm{red}} \amalg \partial_0$, où $\Delta_{\mathrm{int}} = \Delta_{\mathrm{red}} \amalg \Delta_{\mathrm{lac}}$, $\partial\Psi = \partial_0 \amalg \partial'_0$.

Ça a l'air franchement compliqué comme présentation. Ne vaut-il pas mieux dire ceci. Se donner une préfigure $\Phi$, c'est se donner

1°)$\Delta = \delta\Phi \in \mathrm{Drap}^*(\mathcal{L})$
2°)Une partie $\Phi_1 \subset (\Phi_\Delta)_1 =$ ens. des intervalles interstitiels de $\Delta$
3°)Une partie $\Phi_0 \subset (\Phi_\Delta)_0 = \Delta$

126p. 118 de l'auteur.

Err. Pour de telles données, la réunion $\Phi_0 \cup \Phi_1$ est bien une figure, mais $\delta(\Phi_0 \cup \Phi_1) \subset \Delta$ et l'inclusion peut être stricte, (exemple : $\Phi_0 = \Phi_1 = \emptyset$ !) et il faut donc de plus poser une condition qui implique que $\delta(\Phi_0 \cup \Phi_1) = \Delta$), donc assurer la condition \[\text{\uncertain{Pur}\ill{}}_\Delta : \quad \forall s \in \Delta \setminus \Phi_0 ,\ \exists X \in \Phi_1 \text{ t.q. } s \lhd X ,\] en d'autres termes \[\Delta = \Phi_0 \cup \bigcup_{X \in \Phi_1} \partial X .\] le nom de la condition n'est pas sûr.

Si $\Delta = \emptyset$, $\Phi_\Delta = \emptyset$, $\Phi = \emptyset$ trivial. Et […], on suppose $\Delta \neq \emptyset$

Considérons alors \[\Phi'^*_0 = \text{\struck{$\Delta \setminus \Phi$}}\; (\Phi_\Delta)_0 \setminus \Phi_0 = \Delta \setminus \Phi_0\] \[\Phi'^*_1 = (\Phi_\Delta)_1 \setminus \Phi_1\]

Soit de plus, si $\Delta \neq \emptyset$ (i.e. $\Phi \neq \emptyset$), \[a = \mathrm{or}(\Delta) , \quad b = \mathrm{ex}(\Delta)\] et soit \[\begin{gathered} \mathcal{M}_{<a} = \{ X \in \mathcal{M} \mid X < a \} \\ \mathcal{M}_{>b} = \{ X \in \mathcal{M} \mid X > b \} \end{gathered}\]

Par Hyp., $\mathcal{M}_{<a}$ est $\emptyset$ sss $a$ est un plus petit élément de $\mathcal{L}$, et $\mathcal{M}_{>b}$ est vide sss $b$ est un plus grand élément de $\mathcal{L}$. Ceci dit, on trouve aussitôt \[\mathrm{Cosupp}^\circ(\Phi) = \mathrm{Omb}^\circ(\Phi'^*_1) \cup \mathcal{M}_{<a} \cup \mathcal{M}_{>b}\] (réunion disjointe) tandis que \[\mathrm{Omb}^\circ(\Phi'^*) \overset{\mathrm{def}}{=} \bigcup_{X \in \Phi'^*} \mathrm{Omb}^\circ(X) \qquad \text{réunion disjointe}\] l'indice $1$ de $\Phi'^*_1$ dans $\mathrm{Cosupp}^\circ$ est récrit sur un autre chiffre. Le lot s'arrête ici ; la comparaison entre $\mathrm{Cosupp}^\circ(\Phi)$ et $\mathrm{Omb}^\circ(\Phi'^*)$ se poursuit au-delà.