Fonds Grothendieck, cote n° 156-8, pages 121–126 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-10-02) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-10-03

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 156-8 [Chapitre] VIII. Analysis situs (quatrième mouture) : notes manuscrites (26/06-04/07/1986). Pages 121 à 126 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 7 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. 1986Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/156-8.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \supplied devient supplied (restitué par le transcripteur) ; \add devient add (ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \drawing devient note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète est une restitution (supplied), un ajout isolé est de l'auteur (add). Certains add sont donc encore des restitutions du transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

 https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project français, avec la notation mathématique de l'auteur Export TEI depuis la source LaTeX. Première passe de transcription.

p. 113 de l'auteur. Le numéro d'archive porté au crayon sur ce feuillet est 122, et ainsi de suite jusqu'à 127 : il précède d'une unité la numérotation suivie ici, sur les six feuillets. La page s'ouvre au milieu d'une énumération de données commencée avant ce lot ; le « 1°) » n'en est pas ici.

Conventions de ce lot. La lettre \Phi (la préfigure, et ses parties \Phi_0, \Phi_1, \Phi_\Delta, \Phi'^* …) est écrite partout avec un trait horizontal sous la lettre ; on transcrit simplement \Phi. Le signe d'ordre entre segments, un « < » suivi d'un trait vertical, est rendu \mathrel{<\!|}. \mathcal{M}, \mathcal{M}_1 et \mathcal{L} sont écrits en cursive.

2°) Dans \delta\Psi = \partial\Psi,

Les sommets isolés sont intérieurs i.e. ceux de les éléments de \Delta_{\mathrm{int}} = (\Delta \setminus \partial\Psi) \cap \mathrm{Omb}(\Psi) = \Delta \cap \mathrm{Omb}^\circ(\Psi) après le premier \Delta de la parenthèse, un signe noirci, illisible.

Les sommets isolés sont ceux de les autres sommets \Delta \setminus \partial\Psi de \Delta \setminus \partial\Psi, \Delta_{\mathrm{is}} = \text{\struck{$\Delta \setminus (\partial\Psi \cup \Delta$}}\; (\Delta \setminus \partial\Psi) \setminus \Delta_{\mathrm{int}}

2°) , d d, dans \Delta_{\mathrm{int}}, une partie donc une décomposition en \Delta = \partial\Psi \amalg \Delta_{\mathrm{int}} \amalg \Delta_{\mathrm{is}}

2°) Se donner, dans \Delta_{\mathrm{int}}, les sommets qui appartiennent à \Phi_0 (ces sommets intérieurs propres, ou sommets de redondance ou de ), ou ce qui revient au même, les autres : les sommets lacunaires \boxed{\Delta_{\mathrm{lac}}} \subset \Delta_{\mathrm{int}} de sorte que \Delta_{\mathrm{int}} = \Delta_{\mathrm{lac}} \amalg \Delta_{\mathrm{red}} .

3°) Dans \partial\Psi (= \delta\Psi), dire quels sommets doivent être dans \Phi_0 et lesquels (ces sommets bords propres de \Phi) et lesquels non, i.e. se donner une partie \partial_0 \subset \partial\Psi . au-dessus de \partial_0, un premier symbole biffé.

En résumé la phrase s'arrête là ; la page suivante repart sur une « Proposition ».

p. 114 de l'auteur.

Proposition. Une préfigure quelconque est déterminée par les données suivantes :

1°) Une figure \Psi sans sommets isolés et, à composantes connexes (i.e. \delta\Psi = \partial\Phi i.e. telle que \delta\Psi = \partial\Phi) des multi segments, déterminée par D = (X_1 \mathrel{<\!|} X_2 \mathrel{<\!|} \text{\struck{$X_3$}} \cdots X_n) \in \mathrm{Drap}^*(\mathcal{M}_1) .

2°) Une tel par \Psi = \Phi_D = \bigcup_{X \in D} \widetilde{X}_{\xi} = \bigcup_{1 \leq i \leq n} \widetilde{X}_i l'indice de \widetilde{X} dans la première réunion ressemble à un \xi ; lecture douteuse.

(réunion disjointe). On a aussi \partial\Psi = \delta\Psi = \bigcup_{X \in D} \partial X = \bigcup_{1 \leq i \leq n} \partial X_i (réunion disjointe), soit \delta\Psi = \{a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_n, b_n\} si \partial X_i = \{a_i, b_i\} .

On peut dire aussi que \Psi est déterminée par la suite strictement croissante de cardinal pair a_1 < b_1 < a_2 < b_2 \cdots < a_n < b_n , et on aura X_i = S_{a_i, b_i} \qquad 1 \leq i \leq n .

2°) ici, cf. p. 115 renvoi en marge gauche, au-dessus d'un trait de séparation : le 2°) de la Proposition est rédigé p. 115 de l'auteur (page 123 de la présente numérotation).

3°) Un drapeau \Delta \in \mathrm{Drap}^*(\mathcal{L}), \Delta \supset \partial\Psi

3°) Une partie \Delta_{\mathrm{lac}}

d'où on déduit une partie la phrase se poursuit en tête de la page suivante.

p. 115 de l'auteur.

\Delta_{\mathrm{is}} = \Delta \setminus \Delta \cap \mathrm{Omb}^\circ(\Psi_1) ligne biffée ; sous \Delta \cap \mathrm{Omb}^\circ(\Psi_1), une accolade marquée \Delta_{\mathrm{int}}.

Posant \Delta_{\mathrm{int}} = \Delta \cap \mathrm{Omb}^\circ(\Psi_1) \subset \Delta \setminus \partial\Psi (corr. aux pts de \Delta intérieurs des intervalles S_{a_i, b_i}) on aura \Delta = \Delta_{\mathrm{is}} \amalg \Delta_{\mathrm{int}} \amalg \partial\Psi où \Delta_{\mathrm{is}} \overset{\mathrm{def}}{=} (\Delta \setminus \partial\Psi) \setminus \Delta_{\mathrm{int}}

3°) 4°) Une partie \Delta_{\mathrm{lac}} \subset \Delta_{\mathrm{int}} en marge gauche, un mot biffé muni d'une flèche descendante.

et on pose aura donc \Delta_{\mathrm{int}} = \Delta_{\mathrm{lac}} \amalg \Delta_{\mathrm{red}} où \Delta_{\mathrm{red}} \overset{\mathrm{def}}{=} \Delta_{\mathrm{int}} \setminus \Delta_{\mathrm{lac}} .

3°) 2°) Une partie \partial_0 \subset \partial\Psi de \partial\Psi.

À ces données, on associe la préfigure \Phi définie ainsi : \begin{cases} \Phi_0 = \underbrace{\partial_0}_{\text{sommets bord propres}} \cup \underbrace{\Delta_{\mathrm{red}}}_{\text{sommets redondants}} \cup \Delta_{\mathrm{is}} \\[1ex] \Phi_1 = \{ X \in \underbrace{\Phi_\Delta \cap \mathcal{M}_1}_{\text{intervalles interstitiels de } \Delta} \mid X \in \mathrm{Omb}(\Psi) \} \end{cases} devant \Phi_0, un signe biffé.

p. 116 de l'auteur.

tel.

et on aura \begin{gathered} \delta\Phi = \Delta \\ \partial\Phi = \partial\Psi , \quad \partial_0\Phi = \partial_0 , \quad \partial_{\mathrm{imp}}\Phi = \partial\Psi \setminus \partial_0 \\ \Phi_{\mathrm{is}} = \Delta_{\mathrm{is}} \\ \Phi_{\mathrm{red}} = \Delta_{\mathrm{red}} \\ \Phi_{\mathrm{lac}} = \Delta_{\mathrm{lac}} \end{gathered}

Toute préfigure s'obtient de façon unique par des données 1°) 2°) 3°) 4°) (i.e. \Psi, \Delta_{\mathrm{is}} \partial_0 \subset \partial\Psi \subset \Delta \Psi \quad \text{ou} \quad X_1 \mathrel{<\!|} X_2 \mathrel{<\!|} X_3 \cdots \mathrel{<\!|} X_n \text{ou} \quad a_1 < b_1 < a_2 < b_2 \cdots < a_n < b_n et \boxed{\partial_0} \subset \partial\Psi \subset \boxed{\Delta} \supset \Delta_{\mathrm{lac}} \Delta_{\mathrm{lac}} est écrit sous \Delta, relié par un signe \cup vertical ; \partial_0 et \Delta sont entourés.

\Delta_{\mathrm{int}} \subset \Delta_{\mathrm{lac}} \cap \mathrm{Omb}^\circ(\Psi_1) = (\Delta \setminus \partial\Psi) \cap \mathrm{Omb}(\Psi_1) ligne biffée, la partie gauche raturée en hachures ; lecture du début douteuse.

avec la condition que \Delta \in \mathrm{Drap}^*(\mathcal{L}) , et \Delta_{\mathrm{lac}} \subset \mathrm{Omb}^\circ(\Psi_1)\, \text{\struck{\ill{}}} \cap \Delta \quad \bigl(= \mathrm{Omb}(\Psi_1) \cap (\Delta \setminus \partial\Psi)\bigr) .

La préfigure \Phi est irredondante sss \Delta_{\mathrm{red}} = \emptyset i.e. sss \Delta_{\mathrm{lac}} \Delta_{\mathrm{lac}} = \Delta \cap \mathrm{Omb}^\circ(\Psi_1) , (où \mathrm{Omb}^\circ(\Psi) = \bigcup_{1 \leq i \leq n} \mathrm{Omb}^\circ(X_i) (réunion disjointe)).

Corollaire 1. Se donner une préfigure \Phi irredondante revient au même que se donner \Psi, et \partial_0, \Delta avec \partial_0 \subset \partial\Psi \subset \Delta \Delta \in \mathrm{Drap}^*(\mathcal{L}). l'énoncé du corollaire est marqué d'un trait vertical en marge gauche.

p. 117 de l'auteur.

Corollaire 2 (Pour mémoire) si \Phi irredondante Moyennant Hyp. \mathrm{Supp}^\circ(\Phi) = \mathrm{Omb}^\circ(\Phi_1) \cup \text{\struck{\ill{}\,$\Delta_{\mathrm{is}}$}}\; \Phi_0 au-dessus du membre de droite, inséré : « \mathrm{Omb}^\circ(\Phi) = ». La ligne suivante, entièrement biffée, commençait par « = » et finissait par « \partial_0 \cup \Delta_{\mathrm{is}} », avec un indice 1 \leq i \leq n ; elle n'est pas lisible.

(réunions disjointes).

Corollaire 3. Considérons la figure \Phi'^* formée définie 1°) des figures intervalles interstitiels de \Delta qui pas dans \Phi i.e. qui dans \mathrm{Omb}(\Psi), et \Phi'^*_0 = \delta\Delta \setminus \Phi_0 = \partial'_0 ce passage est annulé par un contour fermé et une série de traits obliques ; il est repris en dessous.

\Phi'^*_0 = \underbrace{\delta\Phi}_{\Delta} \setminus \Phi_0 = \Delta \setminus \Phi_0 = \Delta_{\mathrm{lac}} \amalg \partial'_0 où je pose \partial'_0 \overset{\mathrm{def}}{=} \partial\Phi \setminus \partial_0\Phi = \partial\Psi \setminus \partial_0 et \Phi'^*_1 = \text{\struck{$\{ X \in \Phi_\Delta \cap \mathcal{M}_1 \mid X \notin \Phi_1$}\,\struck{\ill{}}}\; \} sous la formule, un signe biffé, puis un trait ondulé de séparation.

Rappel : \Delta = \Delta_{\mathrm{is}} \amalg \Delta_{\mathrm{int}} \amalg \partial\Psi, \Phi_0 = \Delta_{\mathrm{is}} \amalg \Delta_{\mathrm{red}} \amalg \partial_0, où \Delta_{\mathrm{int}} = \Delta_{\mathrm{red}} \amalg \Delta_{\mathrm{lac}}, \partial\Psi = \partial_0 \amalg \partial'_0.

Ça a l'air franchement compliqué comme présentation. Ne vaut-il pas mieux dire ceci. Se donner une préfigure \Phi, c'est se donner

\Delta = \delta\Phi \in \mathrm{Drap}^*(\mathcal{L}) Une partie \Phi_1 \subset (\Phi_\Delta)_1 = ens. des intervalles interstitiels de \Delta Une partie \Phi_0 \subset (\Phi_\Delta)_0 = \Delta

p. 118 de l'auteur.

Err. Pour de telles données, la réunion \Phi_0 \cup \Phi_1 est bien une figure, mais \delta(\Phi_0 \cup \Phi_1) \subset \Delta et l'inclusion peut être stricte, (exemple : \Phi_0 = \Phi_1 = \emptyset !) et il faut donc de plus poser une condition qui implique que \delta(\Phi_0 \cup \Phi_1) = \Delta), donc assurer la condition \text{\uncertain{Pur}\ill{}}_\Delta : \quad \forall s \in \Delta \setminus \Phi_0 ,\ \exists X \in \Phi_1 \text{ t.q. } s \lhd X , en d'autres termes \Delta = \Phi_0 \cup \bigcup_{X \in \Phi_1} \partial X . le nom de la condition n'est pas sûr.

Si \Delta = \emptyset, \Phi_\Delta = \emptyset, \Phi = \emptyset trivial. Et , on suppose \Delta \neq \emptyset

Considérons alors \Phi'^*_0 = \text{\struck{$\Delta \setminus \Phi$}}\; (\Phi_\Delta)_0 \setminus \Phi_0 = \Delta \setminus \Phi_0 \Phi'^*_1 = (\Phi_\Delta)_1 \setminus \Phi_1

Soit de plus, si \Delta \neq \emptyset (i.e. \Phi \neq \emptyset), a = \mathrm{or}(\Delta) , \quad b = \mathrm{ex}(\Delta) et soit \begin{gathered} \mathcal{M}_{<a} = \{ X \in \mathcal{M} \mid X < a \} \\ \mathcal{M}_{>b} = \{ X \in \mathcal{M} \mid X > b \} \end{gathered}

Par Hyp., \mathcal{M}_{<a} est \emptyset sss a est un plus petit élément de \mathcal{L}, et \mathcal{M}_{>b} est vide sss b est un plus grand élément de \mathcal{L}. Ceci dit, on trouve aussitôt \mathrm{Cosupp}^\circ(\Phi) = \mathrm{Omb}^\circ(\Phi'^*_1) \cup \mathcal{M}_{<a} \cup \mathcal{M}_{>b} (réunion disjointe) tandis que \mathrm{Omb}^\circ(\Phi'^*) \overset{\mathrm{def}}{=} \bigcup_{X \in \Phi'^*} \mathrm{Omb}^\circ(X) \qquad \text{réunion disjointe} l'indice 1 de \Phi'^*_1 dans \mathrm{Cosupp}^\circ est récrit sur un autre chiffre. Le lot s'arrête ici ; la comparaison entre \mathrm{Cosupp}^\circ(\Phi) et \mathrm{Omb}^\circ(\Phi'^*) se poursuit au-delà.