Cote n° 156-8, pages 101–120

Cote n° 156-8 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · [Chapitre] VIII. Analysis situs (quatrième mouture) : notes manuscrites (26/06-04/07/1986).
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

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101p. 93 de l'auteur. La page s'ouvre au milieu d'une démonstration commencée dans le lot précédent : il s'agit de montrer que $\operatorname{supp}^\circ(P_a)=\{P_a\}$, puis (Cor. 2) l'énoncé analogue pour $S_{a,b}$. distinct de $P_a$ est $|{\circ}|$ à $P_a$), d'où résulte aussitôt (à cause de l'antiréflexivité de $|{\circ}|$) que $\operatorname{supp}^\circ(P_a)=\{P_a\}$. Si $a$ n'est ni plus petit ni plus grand élément, soient $x<$ \[x<a<y .\] Alors $\xi$ $S_{x,a}\in\operatorname{cosupp}^\circ(P_a)$, donc $X\,|{\circ}|\,S_{x,a}$, donc $\delta X\geq a$ ou $\delta X\leq x$. Mais on ne peut avoir $\delta X\leq x$, car on aurait $X\,|{\circ}|\,a$, i.e. $X\in\operatorname{cosupp}^\circ(P_a)$, ce qui contredit $X\in\operatorname{supp}^\circ(P_a)$ (ou l'antiréflexivité) : $\operatorname{cosupp}^\circ(\Phi)\cap\operatorname{supp}^\circ(\Phi)=\emptyset$, pour toute partie $\Phi$ de $\mathcal{M}$). Donc $\delta X\geq a$. L'[…] argument symétrique, utilisant $S_{a,y}$ au lieu de $S_{x,a}$, donne $\delta X\leq a$, d'où la conclusion.

Cor. 2 Raisonnement analogue ; on si $a$ est un p[…] prouver successivement \[\delta X\geq a, \quad\text{puis}\quad \delta X\leq b\] en distinguant, pour la première, le cas où $a$ est un plus petit élément (facile) et le cas où il ne l'est pas, donc $\exists x$, \[x<a<b\] et on aurait $S_{x,a}\in\operatorname{cosupp}^\circ(S_{a,b})$, donc $X\,|{\circ}|\,S_{x,a}$, donc $\delta X\leq x$ ou $\delta X\geq a$, et la première […] exclue comme […] devant […] avec $X\,|{\circ}|\,\widetilde{S}_{a,b}$).

102p. 94 de l'auteur. Ceci […] […] fait par l'hyp. par exemple

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & b & \\
a \arrow[ur] & & c \arrow[ul]
\end{tikzcd}

[…] \[= \operatorname{cosupp}^\circ(P_b) = \mathcal{M}\setminus\{P_b\}\] \[\operatorname{cosupp}^\circ(\{P_a\}) = \{P_b\text{\struck{$\}$}},\ S_{a,b},\ S_{c,b}\] \[\operatorname{supp}^\circ(\{P_a\}) = \{P_a,\ P_b\} \neq \{P_a\}\] les termes $S_{a,b}, S_{c,b}$ de la première ligne sont reliés par un trait à l'accolade de la seconde. \[\operatorname{cosupp}^\circ(\widetilde{S}_{a,b}) = \emptyset\] \[\operatorname{supp}^\circ(\widetilde{S}_{a,b}) = \mathcal{M} \neq \operatorname{Omb}(S_{a,b})\] (NB $\mathcal{M}=\operatorname{Omb}(S_{a,b})\amalg\{S_{c,b},P_c\}$, ici $\operatorname{card}\mathcal{M}=5$)

Canular

Pour contre-exemple pour Pb […]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & b & \\
a \arrow[ur] & & d \arrow[ul] \\
 & c \arrow[ul] \arrow[ur] &
\end{tikzcd}

p.ex.

$\operatorname{cosupp}^\circ P_a = \{P_b, P_c\}, S_{a,b}, S_{c,a}\}$

$\operatorname{supp}^\circ P_a =$

le lemme qui suit est biffé de trois traits obliques. Lemme 2 Soient $\Phi\subset\mathcal{M}$, $\Psi\subset\mathcal{M}$ $X,Y\in\mathcal{M}$ […] $X\,\|\,Y$, et soit $\Phi\subset\operatorname{Omb}(X)$ ($=\operatorname{supp}\widetilde{X}$ par lemme 1), $\Psi\subset\operatorname{Omb}(Y)$ ($=\operatorname{supp}\widetilde{Y}$). Alors \[\text{\struck{$\operatorname{supp}^\circ(\Phi\cup\Psi)=\operatorname{supp}^\circ\Phi\cup\operatorname{supp}^\circ\Psi$.}}\]

4 juillet Détermination des profigures, ou ensembles constructibles dans $\mathcal{M}$.

Les P[…] la relation d'ordre réduite, une profigure se décompose en composantes connexes ⌜(profigures connexes)⌝. Les composantes connexes sont des types suivants a) […] $\Phi=\{P_a\}$ (c'est une figure fermée) b) […] b) Figure

103p. 95 de l'auteur. a) Préfigures fermées connexes ⌜$=$ figures connexes⌝ ($=$ déterminées par les éléments de $\operatorname{Drap}^*(\mathcal{L})$, cf. plus haut)

b) Figures fermantes connexes : cas où elles sont données par $T\in\operatorname{Drap}^*(\mathcal{L})$, $\operatorname{card}T\geq 2$, et une partie de \[\partial F_T \overset{\text{déf}}{=} \partial T = \{\text{ensemble formé du plus petit et du plus grand élément de } T=F_0\}\] \[\Phi = F\setminus\partial F\] NB on a fini par identifier les $P_a$ aux $a$, i.e. $\mathcal{M}_0$ à $\mathcal{L}$…

c) Cas général : on se donne une partie $\alpha$ de $\partial F$, et on prend \[\Phi = F\setminus\alpha\]

Ex Segment fermé, semi-ouvert, ouvert (cas $\operatorname{card}T=2$)

Soit $\text{Préfigcomm}(\mathcal{M})$ l'ensemble des préfigures connexes, qui sont […] d'explicitation, identifiées aux couples $(T,\alpha)$, $T\in\operatorname{Drap}^*(\mathcal{L})$, $\alpha\in\partial T$ (frontière « bord » de la figure ⌜connexe⌝ $F_T$ ; NB si $F_T=\{P_\alpha\}$, on ⌜prendra⌝ $\partial F_T=\emptyset$).

On pose $F=\overline{\Phi}$ (plus petite figure […] contenant $\Phi$), et $\partial\Phi=\partial F$

On va définir sur \[\text{Préfigcomm}(\mathcal{M})\] une relation d'ordre $<$ en écrivant \[\Phi < \Phi' \iff \begin{cases} \text{pour tout } X\in\Phi,\ X'\in\Phi',\ \text{on a } X \underset{\mathrm{pos}}{<} X' \\ \text{a) [\dots]}\ \operatorname{card}(\delta\Phi\cap\delta\Phi')\leq 1 \\ \text{b) si } x\in\partial\Phi\cap\partial\Phi',\ \text{on a } x\notin\Phi,\ x\notin\Phi' \end{cases}\] après $X \underset{\mathrm{pos}}{<} X'$, les mots « au sens […] » sont biffés, puis « plus bas ».

NB b) indique que si $\Phi$ de dim $0$, i.e. $\Phi=\{P_a\}$, alors […]

104p. 96 de l'auteur. Soit $\Phi$ une profigure, $F$ la figure engendrée (on pose $F=\overline{\Phi}$, c'est bien l'adhérence de $\Phi$ pour $\leq$ sur $\mathcal{M}$), on pose \[\delta\Phi \overset{\text{déf}}{=} \delta F = F\cap\mathcal{M}_0 = \{a\in\mathcal{L} \mid P_a\in F,\ \text{i.e. } \exists X\in\Phi,\ P_a\leq X\}\] \[\text{\struck{$\partial\Phi \overset{\text{déf}}{=} \partial F =$}}\quad \text{\struck{$\emptyset$ si $\operatorname{card}\delta F\leq 1$ ; ensemble formé des plus petit et plus grand}}\] au-dessus de la ligne biffée : « “extrémités” de $\delta F$ ».

NB $\delta\Phi=\delta F\in\operatorname{Drap}^*(\mathcal{L})$, ens. des […] pour $\Phi$, i.e. pour $F$ de la profigure $\Phi$. Il est vide ssi $\Phi=\emptyset$, de card $1$ ssi $\Phi=$ […] $\{P_a\}$, auquel cas $\Phi=F$.

Montrer que si $a$ […] de $\Phi$, […] […] […] […] $P_a\in\Phi$, ex : $\Phi=\{S_{a,b}\}$

Cas $\Phi$ connexe \[\partial\Phi \overset{\text{déf}}{=} \begin{cases} \text{a) } \emptyset \text{ si } \operatorname{card}\delta\Phi\leq 1, \text{ i.e. } \Phi=\emptyset \text{ ou } \{P_a\} \\ \text{b) bord de } \delta\Phi \text{ dès } \operatorname{card}\delta\Phi\geq 2 \end{cases}\] i.e. ens. formé des extrémités du drapeau $\delta\Phi$ (plus petit et plus grand élément)

bord de $\Phi$ : $\partial\Phi=\partial F$

ainsi, $\partial\Phi=\emptyset$ ou $\in\operatorname{Drap}_2(\mathcal{L})$.

[Cas $\Phi$ connexe \[\Phi^{\bullet} = \begin{cases} \partial\Phi & \text{si } \operatorname{card}\delta\Phi\geq 2 \\ \{a\} & \text{si } \Phi=\{P_a\}, \text{ i.e. } \operatorname{card}\delta\Phi=1 \\ \emptyset & \text{si } \Phi=\emptyset, \text{ i.e. } \operatorname{card}\delta\Phi=0 \end{cases}\] ]

$\Phi$ pas néc. connexe \[\partial\Phi = \bigcup \partial\Phi_i\] \[\Phi^{\bullet} = \bigcup \Phi_i^{\bullet}\] où les $\Phi_i$ sont les comp. connexes.

Ex 1 le chiffre est douteux. \[\Phi = \{S_{a,b},\ S_{b,c},\ P_d\}\] où $a<b<c<d$, comp. connexes $S_{a,b}$, $S_{b,c}$, $P_d$. \[\delta\Phi = \{a,b,c,d\}\] \[\partial\Phi = \{a,b,c\}\] \[\Phi^{\bullet} = \{a,b,c,d\}\]

définition […] plus petit ou plus grand […] — mais on n'en a pas besoin… On pose, pour $\Psi\in\mathcal{M}$, $a\in\mathcal{L}$, ⌜profigure⌝ \[\operatorname{ordre}(a,\Psi) = \operatorname{card}(\{X\in\mathcal{M}_1\cap\Psi \mid a\triangleleft X\})\] (cet ordre est $0$, $1$ ou $2$) : $0$ point extérieur (si $a\notin\Psi$) ou isolé (si $a\in\Psi$) ; $1$ point bord ; $2$ point frontière intérieur (si $a\notin\Psi$) ou point […] redondant (ou de morcellement) si $a\in\Psi$ \[\partial\Phi = \{a\in\mathcal{L} \mid \operatorname{ordre}(a,\overline{\Phi})=1\}\] la note marginale, écrite en biais, porte plusieurs biffures dans la formule de $\partial\Phi$.

105p. 97 de l'auteur. Ex 3 \[\Phi = \{S_{a,b},\ P_b,\ S_{b,c},\ P_d\},\] comp. connexes $\{S_{a,b}, P_b, S_{b,c}\}$ et $P_d$ \[\delta\Phi = \{a,b,c,d\}\] \[\partial\Phi = \{a,c\}\] \[\Phi^{\bullet} = \{a,c,d\}\] Tous les termes diffèrent.

NB Dans tous les cas, on a \[\partial\Phi \subset \Phi^{\bullet} \subset \delta\Phi\] sous la première inclusion, un mot souligné, connexité, renvoyant à : « (si $\exists$ plus grand ou plus petit élément dans $\mathcal{L}$ !) ».

Et $\Phi^{\bullet}$ […] On […] \[\partial\Phi = \{a\in\delta\Phi \mid \exists X\in\Phi \text{ tel que } P_a<X, \text{ et de plus, quand } P_a\in\Phi, \text{ cet } X \text{ est unique}\}\] entre les lignes de l'accolade, des essais biffés : « ou bien $P_a\notin\Phi$, mais existe $X\in\Phi$ ou… », « $P_a<X$ », « ou bien $P_a\in\Phi$, […] ». \[= \text{ens. des sommets non isolés de } \Phi,\] qui, de plus, quand ils appartiennent à $\Phi$, ne sont pas « intérieurs » à $\Phi$.

NB Dire que si $P_a\in\Phi$, il existe au plus deux $X\in\Phi$ tels que $P_a<X$

\[\Phi^{\bullet} = \partial\Phi \amalg \Phi_{\mathrm{isol}}\] où $\Phi_{\mathrm{isol}}$ est l'ens. des points sommets isolés de $\Phi$. canular…

Dans $\mathcal{M}$, on va introduire une relation d'ordre, en écrivant \[X \underset{\mathrm{pos}}{<} Y \iff \begin{cases} \text{a) } X=P_x,\ Y=P_y & x<y \\ \text{b) } X=P_x,\ Y=S_{a,b} & x\leq a<b \\ \text{c) } X=S_{a,b},\ Y=P_y & a<b\leq y \\ \text{d) } X=S_{a,b},\ Y=S_{a',b'} & a<b\leq a'<b' \end{cases}\] \[X \underset{\mathrm{pos}}{<} Y \iff X\,|{\circ}|\,Y \text{ et } \operatorname{or}(\delta X) < \operatorname{ex}(\delta Y)\] sous $\operatorname{or}(\delta X)$ : « plus petit élément de $\delta X$ » ; sous $\operatorname{ex}(\delta Y)$ : « plus grand él. de $\delta Y$ ».

NB l'indice pos dans $\underset{\mathrm{pos}}{<}$ est […], […] pas besoin de […] $<,\leq$ pour la relation d'incidence dans $\mathcal{M}$…

106p. 98 de l'auteur. En d'autres termes, on a trouvé une relation d'ordre sur $\mathcal{M}$, telle que la relation $X\,|{\circ}|\,Y$ sur $\mathcal{M}$ soit la relation de disjonction […] associée \[X\,|{\circ}|\,Y \iff X \underset{\mathrm{pos}}{<} Y \ \text{ou}\ Y \underset{\mathrm{pos}}{<} X\] Si $\Phi,\Psi$ sont deux parties quelconques de $\mathcal{M}$, on pose \[\Phi \underset{\mathrm{pos}}{<} \Psi \overset{\text{déf}}{\iff} \forall X\in\Phi,\ Y\in\Psi,\quad X<Y .\]

NB Si $\Phi,\Psi$ sont des profigures (et non $\Phi \underset{\mathrm{pos}}{\leq} \Psi$), la $\Phi\cup\Psi$ […] relation d'ordre sur […] précédemment, […] des drapeaux comme ensembles des parties de $\mathcal{M}_0\subset\mathcal{M}$. Ceci

Dans le cas où $\Phi,\Psi$, et des profigures admissibles, on va introduire une relation un peu plus forte \[\Phi \underset{\mathrm{pos}}{\overset{1}{<}} \Psi \overset{\text{déf}}{\iff} \begin{cases} \Phi \underset{\mathrm{pos}}{<} \Psi, \text{ et dans le cas où} \\ \operatorname{ex}\Phi = \operatorname{or}\Psi \ (\text{\uncertain{noté} } a), \text{ on a} \\ P_a\notin\Phi,\ P_a\notin\Psi \end{cases}\] au-dessus de « dans le cas où », une addition peu lisible, « dans ce cas ».

i.e. on exclut un cas comme deux segments consécutifs, $\Phi$ à gauche et $\Psi$ à droite, raccordés en un point marqué $(\bullet)$ : « …——(•)——… » ou l'inverse.

NB si $\Phi \underset{\mathrm{pos}}{<} \Psi$ ⌜profigures⌝, alors $\delta\Phi \underset{\mathrm{pos}}{<} \delta\Psi$ ou $\delta\Phi\cap\delta\Psi=\{a\}$, $\operatorname{ex}(\delta\Phi)=\operatorname{or}(\delta\Psi)$ alors $P_a\notin\Phi\cap\Psi$ $\delta\Phi\cap\delta\Psi=\emptyset$ ou de cardinal $1$, $a\in\delta\Phi\cap\delta\Psi$, et si $\Phi\cap\Psi=\emptyset$, et si $a=\operatorname{ex}(\delta\Phi)=\operatorname{or}(\delta\Psi)$, on a : \[\Phi \underset{\mathrm{pos}}{\leq} \Psi \iff \operatorname{ex}\Phi < \operatorname{or}\Psi,\] ou $\operatorname{ex}\Phi=\operatorname{or}\Psi$ et $P_a\notin\Phi\cap\Psi$ note marginale en biais, en partie biffée ; la lecture est incertaine dans le détail.

107p. 99 de l'auteur. Cas du « raccord », quand $\Phi$ En d'autres termes, on exclut le cas où $\Phi,\Psi$ seraient ⌜ils pas⌝ des parties ouvertes et fermées de $\Phi\cup\Psi$.

Ceci posé, voici la structure d'une profigure quelconque, en termes de profigures connexes.

[…] Soit \[D = \{\Phi_1 \underset{\mathrm{pos}}{\overset{1}{<}} \Phi_2 \underset{\mathrm{pos}}{\overset{1}{<}} \cdots \underset{\mathrm{pos}}{\overset{1}{<}} \Phi_n\}\] un drapeau pour dans $\text{Préfigcomm}(\mathcal{M})$ \[D \in \operatorname{Drap}^*_{\overset{1}{<}}(\text{Préfigcomm}(\mathcal{M}))\] on lui associe la profigure \[\Phi_D = \bigcup_{\Phi\in D}\Phi \ \text{\struck{$\ill{}$}}\ = \bigcup_{i\in[1,n]}\Phi_i\] (réunion disjointe). Ce fait qu'il fallait pour que les $\Phi_i$ soient les comp. connexes de $\Phi$. On trouve […] que dans le cas général […], […] les figures […] intérieures […], si

Lemme Soient $\Phi,\Psi$ profigures connexes. Pour que $\Phi\cap\Psi=\emptyset$ et $\Phi\cup\Psi$ soit une profigure, […] $\Phi \underset{\mathrm{pre}}{\leq} \Psi$ il faut et il suffit que \[\Phi \underset{\mathrm{pos}}{\leq} \Psi .\] Pour que $\Phi$ […]

108p. 100 de l'auteur. et $\Psi$ soient les comp. connexes de $\Phi\cup\Psi$, i.e. $\Phi\cup\Psi$ déconnecté, il f. et s. \[\text{que}\quad \Phi \overset{1}{<} \Psi \ \text{ou}\ \Psi \overset{1}{<} \Phi, \ \text{i.e.}\] \[\{\Phi,\Psi\} \in \operatorname{Drap}_{\overset{1}{<}}(\text{Préfigcomm}(\mathcal{M})) .\]

En résumé, on trouve donc la petite proposition récapitulative

Théorème 1) Pour tout $D\in\operatorname{Drap}^*(\mathcal{L})$, et toute partie $\alpha$ de $\delta$$\partial D$ (cf. …), soit \[\Phi_{D,\alpha} = F_D\setminus\alpha ,\] où $F_D$ est la figure fermée des strates constructibles du drapeau $D$. On trouve ainsi une bijection \[(D,\alpha) \longmapsto \Phi_{D,\alpha}\] de l'ens. des paires $D,\alpha$ sur l'ens. des profigures connexes.

$\partial D = \begin{cases} \emptyset & \text{si } \operatorname{card}D=1 \\ \{\operatorname{or}D,\ \operatorname{ex}D\} & \text{si } \operatorname{card}D\geq 2 \end{cases}$

2) Pour que $\Phi$ soit une figure, i.e. fermée, il f. et s. que $\alpha=\emptyset$. Pour que $\Phi$ soit ouverte, […] il f. et s., sous réserve de Hyp […] et en supposant que $\mathcal{L}$ n'a pas de plus petit ni de plus grand élément, que $\operatorname{card}D\geq 2$ et $\alpha=\partial D$. En dirigeant […] éliminant cette Hyp. et dans le cas où il existe un plus petit ou un

109p. 101 de l'auteur. plus grand élément dans $\mathcal{L}$, soit $\xi$ $\Theta$ l'ens. ⌜de la partie⌝ de $\mathcal{L}$, de cardinal $\{0,1,2\}$, formée de ces éléments. Alors $\Phi$ est ouvert ssi \[\text{\struck{$\alpha=\partial D$}}\quad \operatorname{card}D\geq 2 \ \text{et}\ \alpha = \partial D - (\partial D\cap\Theta) .\]

3) Pour toute suite de profigures ⌜drapeau⌝ connexes, \[D = \{\Phi_1 \overset{1}{<} \Phi_2 \overset{1}{<} \cdots \overset{1}{<} \Phi_n\}\] dans l'ens. ordonné des ⌜pro⌝figures connexes, \[D \in \operatorname{Drap}^*_{\overset{1}{<}}(\text{Préfigcomm}(\mathcal{M})),\] soit \[\Phi_D = \bigcup_{\Phi\in D}\Phi = \bigcup_{1\leq i\leq n}\Phi_i .\] C'est une réunion disjointe, et […] $\Phi_D$ est une profigure, admettant les $\Phi\in D$ comme composantes connexes. L'application \[D \longmapsto \Phi_D = \bigcup_{\Phi\in D}\Phi\] \[\operatorname{Drap}^*_{\overset{1}{<}}(\text{Préfigcomm}(\mathcal{M})) \longrightarrow \text{Préfig}(\mathcal{M})\] est bijective. Pour

4) Pour que $\Phi_D$ soit fermée, il f. et

110p. 102 de l'auteur. suffit que les $\Phi\in D$ le soient fermées. Pour que $\Phi_D$ soit ouverte, il f. et s. que les $\Phi\in D$ le soient.

Ces deux derniers sont faits […] triviaux, […] […] […] $\triangleq$ […]

Dans cette description des profigures et des figures, les relations $\overset{1}{<}$ n'ont pas intervenu encore, ni (explicitement) la relation $|{\circ}|$ — à sa place, c'est la relation plus explicite $\underset{\mathrm{pos}}{<}$ (ou plutôt $<$) dans $\mathcal{M}$ qui nous a servi. Mais maintenant que je passe aux supports, il n'en sera pas de même.

Je veux […] donner une détermination explicite du support d'une profigure quelconque. Cela se fait en plusieurs étapes

1°) Énoncé « réductif » : si les $\Phi$ a pour composantes connexes les $\Phi_i$, on a \[\operatorname{supp}^\circ\Phi = \bigcup_i \operatorname{supp}^\circ(\Phi_i)\] (réunion disjointe)

2°) Détermination de $\operatorname{supp}^\circ\Phi$ pour $\Phi$ profigure connexe. Pour ceci, trois étapes :

111p. 103 de l'auteur. (a) Cas « irréductibles » des figures fermées élémentaires $\{P_a\}$, $\widetilde{S}_{a,b}=\{S_{a,b},P_a,P_b\}$, et des profigures associées $\widetilde{S}_{a,b}\setminus\alpha$ ($\alpha\in\{P_a,P_b\}$). Le résultat ici est connu (p. 91)

[…] hyp. p. 91

(i) Si $X\in\mathcal{M}_q$l'indice $q$ est douteux., on a \[\operatorname{supp}X = \operatorname{supp}^\circ(\widetilde{X}) = \operatorname{Omb}(X) = \{Z\in\mathcal{M} \mid |Z|\subset|X|\}\] sous le premier membre : « déf. de $\operatorname{supp}X$ » ; sous le second signe $=$ : « th. » ; sous le troisième : « tautol. ». en particulier \[\operatorname{supp}\{P_a\} = \{P_a\}\] \[\operatorname{supp}\widetilde{S}_{a,b} = \left\{Z\in\mathcal{M} \;\middle|\; \begin{array}{l} Z=P_x,\ a\leq x\leq b \\ Z=S_{a',b'},\ a\leq a'<b'\leq b \end{array}\right\}\] (ii) Si ⌜$X=S_{a,b}$ et⌝ $\alpha\subset\{P_a,P_b\}$, i.e. $\alpha\subset\partial X$, on a \[\operatorname{supp}^\circ(\widetilde{X}\setminus\alpha) = \operatorname{supp}X\setminus\alpha\] \[= \left\{Z\in\mathcal{M} \;\middle|\; \begin{array}{l} Z=P_x,\ a\leq x\leq b \text{ et } x\notin\alpha \\ Z=S_{a',b'},\ a\leq a'<b'\leq b \end{array}\right\}\]

Une autre façon ⌜(plus élégante)⌝ d'expliciter 2° est ainsi, $\forall X\in\mathcal{M}$

$\alpha$) $\forall X\in\mathcal{M}$ \[\operatorname{supp}^\circ X = \operatorname{Omb}^\circ X = \{Z\in\mathcal{M} \mid Z \overset{\circ}{<} X\}\] en particulier \[\operatorname{supp}^\circ S_{a,b} = \left\{Z\in\mathcal{M} \;\middle|\; \begin{array}{l} Z=P_x,\ a<x<b \\ Z=S_{a',b'},\ a\leq a'<b'\leq b \end{array}\right\}\] $\beta$) Si $\beta\subset\partial S_{a,b}$, on a \[\operatorname{supp}^\circ(S_{a,b}\cup\beta) = \operatorname{supp}^\circ(S_{a,b})\cup\beta = \operatorname{Omb}^\circ(S_{a,b})\cup\beta\] \[= \left\{Z\in\mathcal{M} \;\middle|\; \begin{array}{l} Z=P_x,\ a<x<b \text{ ou } x\in\beta \\ Z=S_{a',b'},\ a\leq a'<b'\leq b \end{array}\right\} .\]

$\alpha$ et $\beta$ reliés : $\beta=\partial X\setminus\alpha$, $\alpha=\partial X\setminus\beta$

(b) Cas général : Considérons $T\in\operatorname{Drap}^*(\mathcal{L})$, $\operatorname{card}T\geq 3$, $\alpha$ $a=\operatorname{or}T$, $b=\operatorname{ex}(T)$, $\alpha$ $\alpha\subset\partial T=\{a,b\}$, $\beta$ son compl. dans $\partial T$, $\Phi=F_T\setminus\alpha$. On trouve alors :

112p. 104 de l'auteur. \[\operatorname{supp}\Phi = \operatorname{Omb}(\widetilde{S}_{a,b})\setminus\alpha = \operatorname{Omb}^\circ(S_{a,b})\cup\beta\] \[(\Phi = \Phi_{T,\alpha}) \qquad \text{(réunion disjointe)}\]

On a déjà fait (a) plus haut, il faut prouver encore (1°) et (b).

Prouvons 1°). Cela résulte, par réc. sur le nb de composantes connexes, du

Lemme Soit $X\in\mathcal{M}$, et soient $\Phi,\Psi$ deux parties de $\mathcal{M}$ (profigures ?) telles que \[\Phi \underset{\mathrm{pos}}{<} X < \Psi\] [NB si $\Phi$ et $\Psi$ sont des profigures, l'existence d'un tel $X$ équivaut à : $\Phi \overset{1}{<} \Psi$ ; si $\operatorname{ex}\delta\Phi = a < \operatorname{or}\delta\Psi = b$, on prend $X=S_{a,b}$. Si $a=b$, on prend $X=P_a$]. Alors \[\operatorname{supp}^\circ(\Phi\cup\Psi) = \operatorname{supp}^\circ(\Phi)\cup\operatorname{supp}^\circ(\Psi)\]

Ici il faut supposer $\Phi,\Psi$ des profigures

Démonstration On a évidemment $\supset$, il faut prouver $\subset$, i.e. \[Z\in\operatorname{supp}^\circ(\Phi\cup\Psi) \overset{?}{\Longrightarrow} Z\in\operatorname{supp}^\circ\Phi \ \text{ou}\ Z\in\operatorname{supp}^\circ\Psi .\] […] Notons que \[\Phi \underset{\mathrm{pos}}{<} X \underset{\mathrm{pos}}{<} \Psi\] implique que \[X\in\operatorname{cosupp}^\circ(\Phi\cup\Psi),\] donc $Z\,|{\circ}|\,X$, ce qui signifie […] \[Z \underset{\mathrm{pos}}{\leq} X \ \text{ou}\ Z \underset{\mathrm{pos}}{\geq} X .\]

113p. 105 de l'auteur. Je vais prouver \[Z<X \Longrightarrow Z\in\operatorname{supp}^\circ(\Phi)\] \[Z>X \Longrightarrow Z\in\operatorname{supp}^\circ(\Psi) .\] Pour ceci, Prouvons p.ex. la première, (la seconde […]) \[Z<X \quad (\text{et } Z\in\operatorname{supp}^\circ(\Phi\cup\Psi))\] Soit donc \[Z'\in\operatorname{cosupp}^\circ(\Phi), \quad\text{i.e.}\quad Z'\,|{\circ}|\,\Phi\] nous […] devons prouver $Z\,|{\circ}|\,Z'$. Nous Soit savons […] que ⌜$Z\,|{\circ}|\,\Psi$, […] qui si⌝ $Z'\,|{\circ}|\,\Phi\cup\Psi$ (c'est […] seulement $Z'\,|{\circ}|\,\Phi$).

Mais soit Cas où « singulier » $X$, cas […] \[\delta X = \{\operatorname{ex}\delta\Phi,\ \operatorname{or}\delta\Psi\} \quad (\operatorname{ex}\delta\Phi=a,\ \operatorname{or}\delta\Psi=b)\] i.e. \[\begin{cases} X=P_a & \text{si } a=b \\ X=S_{a,b} & \text{si } a<b \end{cases}\]

[…] Comme $Z'\,|{\circ}|\,\Phi$, il s'ensuit […] $Z'\,|{\circ}|\,P_a$ ou $Z'=P_a$, simplement que $\delta\Phi\cup\delta Z'\in\operatorname{Drap}(\mathcal{L})$, ou fortiori (car on aurait $\delta\Phi\cup\{P_a\}\in\operatorname{Drap}\mathcal{L}$, […] si on avait $Z'=P_a$, comme par hypothèse $P_a\notin Z'\,|{\circ}|\,\Phi$, et $P_a\,|{\circ}|\,\Psi$ puisque $X<\Psi$, on a $Z'\,|{\circ}|\,\Phi\cup\Psi$, et on a gagné. Sinon on aura $Z' \underset{\mathrm{pos}}{<} P_a$ ou $Z' \underset{\mathrm{pos}}{>} P_a$. Si \[Z' \underset{\mathrm{pos}}{<} P_a, \ \text{on aura}\ Z' \underset{\mathrm{pos}}{<} \Psi,\] donc $Z'\,\|\,\Psi$, on a gagné encore. la parenthèse ouverte après « fortiori » n'est pas refermée sur la page.

Lemme (trivial) $Z'\,|{\circ}|\,\Psi$, et $Z'\,|{\circ}|$ […], alors $Z'=$ […] […] Lemme (trivial) $X \underset{\mathrm{pos}}{<} \Psi$ et $Y \underset{\mathrm{pos}}{\leq} X$ $\Rightarrow$ […] deux petits lemmes en marge, écrits en biais et en partie surchargés.

114p. 106 de l'auteur. Reste le cas $Z'>P_a$ $Z' > P_a$. Mais comme $Z<X$, on a $Z\leq P_a$ ou $Z<P_a$, donc on aura $Z<Z'$, d'où a fortiori $Z\,|{\circ}|\,Z'$, cqfd.

NB Je n'ai pas eu à utiliser Hyp., ni la constructibilité de $\Phi$ mais […] j'ai utilisé le constat que $\Phi,\Psi$ sont des profigures.

Dém. de (b) Résulte par récurrence ⌜sur $\operatorname{card}\delta\Phi$⌝ de 1°, […] et du

Lemme : Soient $a<b<c$, et \[\Phi = \{S_{a,b},\ P_b,\ S_{b,c}\} .\] Alors \[\operatorname{supp}^\circ(\Phi) = \operatorname{supp}^\circ(S_{a,c})\] (Lemme de composition des segments).

Démonstration Il suffit de voir que $\Phi$ et $S_{a,c}$ ont même $\operatorname{cosupp}^\circ$. Soit Cela résulte de ce résultat plus précis : Si $X\in\mathcal{M}$, on a \[X \underset{\mathrm{pos}}{<} \Phi \ (\text{i.e. } X<S_{a,b}) \iff X<S_{a,c}\] \[X \underset{\mathrm{pos}}{>} \Phi \ (\text{i.e. } X>S_{b,c}) \iff X>S_{a,c}\] trivial (sans Hyp).

115p. 107 de l'auteur. Ainsi, le théorème est établi. On en conclut que tout

à partir d'ici, le reste de la page (le corollaire) est biffé de traits obliques ; il est transcrit sans marquer chaque ligne. Corollaire (détermination des supports constructibles de $\mathcal{M}$). Soit $X$ 1) Tout support constructible peut s'obtenir de la façon suivante : on prend une […] figure \[F = F_D, \quad D = (T_1 \underset{\mathrm{pos}}{<} T_2 < \cdots \underset{\mathrm{pos}}{<} T_n) \in \operatorname{Drap}^*(\operatorname{Drap}^*(\mathcal{L})),\] et pour tout $T_i$, on prend une partie \[\beta_i \subset \partial F_{T_i} = \partial T_i .\] […] On lui associe la partie constructible \[\Phi = (F_D\setminus F_D\cap\mathcal{M}_0)\cup\bigcup\beta_i = \bigcup_i\big((F_{T_i}\setminus F_{T_i}\cap\mathcal{M}_0)\cup\beta_i\big)\] et \[\operatorname{supp}^\circ\Phi \overset{\text{th}}{=} \operatorname{Omb}^\circ(\Phi)\] le signe $=$ est peut-être barré ($\neq$). \[\operatorname{supp}^\circ\Phi = \operatorname{supp}^\circ\Phi'\] $\Phi'$ déduit de $\Phi$ en « recollant » les morceaux », et ayant la propriété d'être « non morcelée », i.e. \[\forall x\in\Phi'\cap\mathcal{M}_0, \quad \operatorname{card}\{X\in\Phi' \mid x\triangleleft X\}\ \text{\struck{$\neq 2$}}\] (NB ce cardinal est pris $\in\{0,1,2\}$)

Ceci posé, on trouve :

116p. 108 de l'auteur. Théorème 1) Tout support constructible $S$ s'écrit sous la forme $\operatorname{supp}^\circ\Phi$, où $\Phi$ est une profigure non morcelée⌜*⌝ ; 2) Cette écriture est unique, et on a et pour une telle $\Phi$, on a \[\operatorname{supp}^\circ(\Phi) = \operatorname{Omb}^\circ(\Phi) = \bigcup_{X\in\Phi}\operatorname{Omb}^\circ(X)\] \[\text{(réunion disjointe).}\]

* je dis plutôt ?? « irredondante »

$\Phi_1=$ Les éléments de $\Phi\cap\mathcal{M}_1$ sont les éléments 1) de dim $1$ et de $S$ qui sont maximaux ⌜(ou bien […], c'est pareil)⌝ 2) maximaux de $S$ pour $\overset{\circ}{<}$. Les ⌜constituants⌝ éléments de éléments de $\Phi_0=\Phi\cap\mathcal{M}_0$ sont les éléments de $S\cap\mathcal{M}_0$ qui sont suivants : où bien ils sont \[\Phi_0 = \Big(\bigcup_{X\in\Phi_1}\partial X\Big)\cap S \cup \Phi_{0,\mathrm{is}}\] (réunion disjointe), où $\Phi_{0,\mathrm{is}}$ est \[\Phi_{0,\mathrm{is}} = \text{ens. des sommets isolés de } \Phi\] \[= \text{ens. des éléts de } S\cap\mathcal{M}_0 \text{ qui sont maximaux dans } S \text{ pour } \ll\] […]

[…] En particulier, $\Phi$ est bien déterminé par la connaissance de $S$. On dit que $S$ est fermé, si $\Phi$ est fermée, i.e. que $S$ est le support vrai, si $S$ est le support d'une figure.

117p. 109 de l'auteur. 2) Pour tout support constructible $S$ […] ⌜$=\operatorname{supp}^\circ\Phi$⌝, il existe un plus petit support constructible fermé ⌜qui le contient⌝, il est donné par \[\overline{S} = \operatorname{supp}^\circ(\overline{\Phi}) = \operatorname{supp}(\overline{\Phi})\] — mais je ne suis pas sûr […] que $=$ si $\Phi$ […] non morcelée, $=$ si $\Phi$ […] $\overline{\Phi}$ peut fort bien être morcelée, si $\Phi$ ne l'est pas.

Vérifier ! Facile : c.à.d. aussi $\operatorname{supp}^\circ(\widetilde{S})=\overline{S}$ ? et $=$ adhérence au sens des relations $\triangleleft$ dans $\mathcal{M}$. en marge : un segment $\Phi$ formé de deux intervalles fermés raccordés en un point $(\bullet)$, « $\Phi$ non morcelée », et en dessous le même avec $\overline{\Phi}$, « morcelée ».

3) 3) Description combinatoire des supports constructibles via les profigures non morcelées ?

4. juilletla date est d'une écriture plus lourde ; le premier chiffre se lit 4, comme en p. 102. Je voudrais donner une présentation « autoduale » des supports constructibles tout par les profigures non morcelées (ou « irredondantes »). Pour ceci il faut « omettre » […] pour ses points isolés ⌜de $\Phi$⌝, et les traits ou parties « points isolés » i.e. ceux des points de $\mathcal{L}$ qui […] ne sont pas dans $\Phi$, mais adhérents : $\Phi$ dans $\mathcal{M}$.

⌜et pas $\in\partial\Phi$⌝ — i.e. les « points frontière intérieurs »

On procède ainsi. $\Phi_1 =$ $\overline{\Phi}\setminus$ ens. des points isolés On regarde la figure \[\text{\struck{$\overline{\Phi}$}}\qquad \Phi_1 = \overline{\Phi}\setminus\{\text{ens. des points isolés de } \overline{\Phi}\}\] c'est une figure qui […] peut ne pas être irredondante. Celle-ci l'est ssi $\Phi$ \[\overline{\Phi}\setminus\Phi \subset \partial\Phi \quad \text{\struck{$\overline{\Phi}\setminus\Phi$}} = \{s\in\delta\Phi \mid \text{ordre de } s \text{ dans } \overline{\Phi} \text{ est } 1\}\] est formé des points de i.e. ssi $\Phi$ […] pas de point frontière intérieur.

118p. 110 de l'auteur. Parenthèse Zoologie des sommets d'une préfigure.

une droite portant, de gauche à droite : un point plein $a$, un trait jusqu'à un point ouvert $(\ )$ en $b$, un trait jusqu'à un point plein entre parenthèses $(\bullet)$ en $c$, un trait jusqu'à un crochet en $d$, puis un point isolé $e$. \[\Phi = \{P_a,\ S_{a,b},\ S_{b,c},\ P_c,\ S_{c,d},\ e\}\] \[\overline{\Phi} = \{P_a,\ S_{a,b},\ P_b,\ S_{b,c},\ P_c,\ S_{c,d},\ d,\ e\}\] \[\partial\Phi = \{a,\ d\}\] plusieurs termes de ces deux ensembles sont surchargés ; la lecture des $P$ est incertaine.

à droite, séparée par un trait vertical, une première rédaction biffée de traits obliques, reprise plus bas : « $\delta\Phi$ (ens. des sommets de $\Phi$) $=\overline{\Phi}\cap\mathcal{L}=(\overline{\Phi})_0$ ; sommets propres : $\delta\Phi\cap\Phi_0$, impropres $\delta\Phi\cap\mathcal{L}$ ; $\operatorname{ord}(a,\Phi)=\operatorname{card}(\{X\in\mathcal{M}_1\cap\Phi=\Phi_1 \mid a\triangleleft X\})$ ; $\delta\Phi=\{a\in\mathcal{L} \mid \operatorname{ord}(a,\Phi)=\}$ ; sommet isolé de $\Phi$ : d'ordre $0$ ; sommet bord de $\Phi$ : d'ordre $1$, deux cas : $a\in\Phi$ sommet bord propre, $a\notin\Phi$ sommet bord impropre ».

Reprenons \[\delta\Phi \ (\text{ensemble des sommets de } \Phi) = \overline{\Phi}\cap\mathcal{L} = (\overline{\Phi})_0\] sommets propres : ceux de $\Phi_0=\overline{\Phi}\cap\mathcal{L}\subset\delta\Phi$ ; sommets impropres : ceux qui ne sont pas dans $\Phi_0$ \[\operatorname{ord}(a,\Phi) = \operatorname{card}(\{X\in\Phi_1 \mid a\triangleleft X\}) \in \{0,1,2\}\] sous $a$ : « $\in\mathcal{L}$ » ; sous $\Phi_1$ : « $=\mathcal{M}_1\cap\Phi$ ». (ordre de $a$ p.r. à $\Phi$) Cet ordre est zéro si $a$ n'est pas un sommet, mais il peut être zéro aussi pour un sommet de $\Phi$, […]

Lemme Si $a\in\delta\Phi$, alors ⌜et⌝ $\operatorname{ord}(a,\Phi)=0$, on a $a\in\Phi$. Un tel sommet de $\Phi$ est dit isolément isolé. \[\Phi_{\mathrm{is}} = \{s\in\delta\Phi \mid \operatorname{ord}(s,\Phi)=0\} \subset \Phi_0\] Les sommets d'ordre $1$ sont les sommets-bord \[\partial\Phi = \{s\in\delta\Phi \ (\text{ou } s\in\mathcal{L}) \mid \operatorname{ord}(s,\Phi)=1\}\] Parmi les sommets-bord, on distingue les sommets-bord propres, et impropres \[\Phi_0\cap\partial\Phi = \partial_0\Phi \subset \Phi\] \[\text{(sommets-bord propres)}\] Les sommets d'ordre $2$ sont les sommets internes \[\delta_{\mathrm{int}}(\Phi) = \{s\in\delta\Phi \ (\text{ou } s\in\mathcal{L}) \mid \operatorname{ord}(s,\Phi)=2\}\]

119p. 111 de l'auteur. Parmi les sommets internes, on distingue les sommets propres, ou sommets redondants ou « sommets de morcellement », et les sommets impropres, ou sommets lacunaires.

Dans la profigure la même figure qu'en p. 118 : un point plein $a$, un point ouvert en $b$, un point plein entre parenthèses en $c$, un crochet en $d$, un point isolé $e$. il y a un sommet de chacun des cinq types combinatoires

sommet isolé $e$
sommet bord propre $a$, impropre $d$
sommet interne propre ou redondant $c$
sommet interne impropre ou lacunaire $b$

Pour une intervalle J'aime mieux : préférer appeler $S_{a,b}=S_{b,a}$ ou $S_{\{a,b\}}$ un intervalle (plutôt qu'un segment). Le Le segment associé à l'intervalle est \[\widetilde{S}_{a,b} = \{S_{a,b},\ a,\ b\}\] — c'est le multisimplexe complet associé : […].

Si $X\in\Phi_{T,D}$ On a posé \[\Phi_0 = \Phi\cap\mathcal{M}_0 = \Phi\cap\mathcal{L}, \qquad \Phi_1 = \Phi\cap\mathcal{M}_1\] sous $\Phi_0$ : « ou ens. des sommets propres ».

le paragraphe qui suit est biffé de traits obliques. Pour les éléments de $\Phi_1$, ou intervalles de $\Phi$, on distingue les intervalles de $\Phi$ tels que $\widetilde{X}\subset\Phi$, i.e. $\overline{X}\subset\Phi$, i.e. $\partial X\subset\Phi_0$ (ou fermés dans $\Phi$), et ceux pour lesquels $\partial X\cap\Phi_0=\{a\}$ (semi-ouverts dans

120p. 112 de l'auteur. Regardons l'opération suivante sur $\Phi$ \[\Phi \longmapsto \overline{\Phi} \longmapsto \overline{\Phi}\setminus\overline{\Phi}_{\mathrm{is}} \Longrightarrow \Phi_{\mathrm{comp}} = \Psi\] sous $\overline{\Phi}$ : « figure […] associée à $\Phi$, ou adhérence » ; sous $\overline{\Phi}_{\mathrm{is}}$ : « $=\Phi_{\mathrm{is}}$ » ; sous $\overline{\Phi}\setminus\overline{\Phi}_{\mathrm{is}}$ : « adhérence purement $1$-dimensionnelle » ; sous $\Phi_{\mathrm{comp}}$ : « ou “télescopage⌜complétion⌝ par effacement des pts redondants de $\overline{\Phi}\setminus\overline{\Phi}_{\mathrm{is}}$” ». Après $\Phi_{\mathrm{comp}}$, quelques mots biffés.

On trouve une figure dont les composantes connexes sont des segments, donc donnée par une suite drapeau dans $\mathcal{M}_1$, ordonné par $\overset{1}{<}$ \[D \in \operatorname{Drap}^*(\mathcal{M}_1,\overset{1}{<})\] \[D = \{X_1,\ X_2,\ \ldots,\ X_n\}\] \[X_i = S_{a_i,b_i},\] une droite portant les segments $[a_1,b_1]$, $[a_2,b_2]$, $[a_3,b_3]$, $[a_n,b_n]$, marqués de croix à l'intérieur et entre eux ; le dernier segment est tracé en gras. de telle façon que \[\begin{cases} \Psi = \Phi_{\mathrm{comp}} = \Phi_D = \Phi_{X_1,X_2,\ldots,X_n} \\ \delta\Psi = \partial\Psi = \partial\Phi = \{a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_n,b_n\} . \end{cases}\]

Pour en donner ⌜décrire⌝ l'écriture $\Phi$ en termes de $\Phi_{\mathrm{comp}}$ il faut :

1°) Donner \[\delta\Phi \in \operatorname{Drap}^*(\mathcal{L}) \supset \delta\Psi\] drapeau de $\mathcal{L}$ contenant $\delta\Psi$. Les nouveaux pts rajoutés⌜*⌝ sont donc points les ⌜sommets⌝ isolés et les sommets internes de $\Phi$.

* qui sont […] […]

la page s'arrête sur le point 1° ; la suite de l'énumération continue au-delà de ce lot.