Fonds Grothendieck, cote n° 156-8, pages 101–120

p. 93 de l'auteur. La page s'ouvre au milieu d'une démonstration commencée dans le lot précédent : il s'agit de montrer que \operatorname{supp}^\circ(P_a)=\{P_a\}, puis (Cor. 2) l'énoncé analogue pour S_{a,b}. distinct de P_a est |{\circ}| à P_a), d'où résulte aussitôt (à cause de l'antiréflexivité de |{\circ}|) que \operatorname{supp}^\circ(P_a)=\{P_a\}. Si a n'est ni plus petit ni plus grand élément, soient x< x<a<y . Alors ~~\xi~~ S_{x,a}\in\operatorname{cosupp}^\circ(P_a), donc X\,|{\circ}|\,S_{x,a}, donc \delta X\geq a ou \delta X\leq x. Mais on ne peut avoir \delta X\leq x, car on aurait X\,|{\circ}|\,a, i.e. X\in\operatorname{cosupp}^\circ(P_a), ce qui contredit X\in\operatorname{supp}^\circ(P_a) (ou l'antiréflexivité) : \operatorname{cosupp}^\circ(\Phi)\cap\operatorname{supp}^\circ(\Phi)=\emptyset, pour toute partie \Phi de \mathcal{M}). Donc \delta X\geq a. L' argument symétrique, utilisant S_{a,y} au lieu de S_{x,a}, donne \delta X\leq a, d'où la conclusion.

Cor. 2 Raisonnement analogue ; on ~~si a est un p~~ prouver successivement \delta X\geq a, \quad\text{puis}\quad \delta X\leq b en distinguant, pour la première, le cas où a est un plus petit élément (facile) et le cas où il ne l'est pas, donc \exists x, x<a<b et on aurait S_{x,a}\in\operatorname{cosupp}^\circ(S_{a,b}), donc X\,|{\circ}|\,S_{x,a}, donc \delta X\leq x ou \delta X\geq a, et la première exclue comme devant avec X\,|{\circ}|\,\widetilde{S}_{a,b}).

p. 94 de l'auteur. Ceci fait par l'hyp. par exemple

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & b & \\ a \arrow[ur] & & c \arrow[ul] \end{tikzcd}

= \operatorname{cosupp}^\circ(P_b) = \mathcal{M}\setminus\{P_b\} \operatorname{cosupp}^\circ(\{P_a\}) = \{P_b\text{\struck{$\}$}},\ S_{a,b},\ S_{c,b} \operatorname{supp}^\circ(\{P_a\}) = \{P_a,\ P_b\} \neq \{P_a\} les termes S_{a,b}, S_{c,b} de la première ligne sont reliés par un trait à l'accolade de la seconde. \operatorname{cosupp}^\circ(\widetilde{S}_{a,b}) = \emptyset \operatorname{supp}^\circ(\widetilde{S}_{a,b}) = \mathcal{M} \neq \operatorname{Omb}(S_{a,b}) (NB \mathcal{M}=\operatorname{Omb}(S_{a,b})\amalg\{S_{c,b},P_c\}, ici \operatorname{card}\mathcal{M}=5)

Canular

Pour contre-exemple pour Pb

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & b & \\ a \arrow[ur] & & d \arrow[ul] \\ & c \arrow[ul] \arrow[ur] & \end{tikzcd}

p.ex.

~~\operatorname{cosupp}^\circ P_a = \{P_b, P_c\}, S_{a,b}, S_{c,a}\}~~

~~\operatorname{supp}^\circ P_a =~~

le lemme qui suit est biffé de trois traits obliques. ~~Lemme 2~~ ~~Soient~~ ~~\Phi\subset\mathcal{M}, \Psi\subset\mathcal{M}~~ ~~X,Y\in\mathcal{M}~~ ~~X\,\|\,Y, et soit \Phi\subset\operatorname{Omb}(X) (=\operatorname{supp}\widetilde{X} par lemme 1), \Psi\subset\operatorname{Omb}(Y) (=\operatorname{supp}\widetilde{Y}).~~ ~~Alors~~ \text{\struck{$\operatorname{supp}^\circ(\Phi\cup\Psi)=\operatorname{supp}^\circ\Phi\cup\operatorname{supp}^\circ\Psi$.}}

4 juillet Détermination des profigures, ou ensembles constructibles dans \mathcal{M}.

~~Les~~ P la relation d'ordre réduite, une profigure se décompose en composantes connexes (profigures connexes). Les composantes connexes sont des types suivants a) ~~\Phi=\{P_a\}~~ ~~(c'est une~~ figure fermée) b) ~~b) Figure~~

p. 95 de l'auteur. a) ~~Pré~~figures fermées connexes = figures connexes (= déterminées par les éléments de \operatorname{Drap}^*(\mathcal{L}), cf. plus haut)

b) Figures fermantes connexes : ~~cas où~~ elles sont données par T\in\operatorname{Drap}^*(\mathcal{L}), \operatorname{card}T\geq 2, et une partie de \partial F_T \overset{\text{déf}}{=} \partial T = \{\text{ensemble formé du plus petit et du plus grand élément de } T=F_0\} \Phi = F\setminus\partial F NB on a fini par identifier les P_a aux a, i.e. \mathcal{M}_0 à \mathcal{L}…

c) Cas général : on se donne une partie \alpha de \partial F, et on prend \Phi = F\setminus\alpha

Ex Segment fermé, semi-ouvert, ouvert (cas \operatorname{card}T=2)

Soit \text{Préfigcomm}(\mathcal{M}) l'ensemble des préfigures connexes, qui sont d'explicitation, identifiées aux couples (T,\alpha), T\in\operatorname{Drap}^*(\mathcal{L}), \alpha\in\partial T (~~frontière~~ « bord » de la figure connexe F_T ; NB si F_T=\{P_\alpha\}, on prendra \partial F_T=\emptyset).

On pose F=\overline{\Phi} (plus petite figure contenant \Phi), et \partial\Phi=\partial F

On va définir sur \text{Préfigcomm}(\mathcal{M}) une relation d'ordre < en écrivant \Phi < \Phi' \iff \begin{cases} \text{pour tout } X\in\Phi,\ X'\in\Phi',\ \text{on a } X \underset{\mathrm{pos}}{<} X' \\ \text{a) [\dots]}\ \operatorname{card}(\delta\Phi\cap\delta\Phi')\leq 1 \\ \text{b) si } x\in\partial\Phi\cap\partial\Phi',\ \text{on a } x\notin\Phi,\ x\notin\Phi' \end{cases} après X \underset{\mathrm{pos}}{<} X', les mots « au sens » sont biffés, puis « plus bas ».

NB b) indique que si \Phi de dim 0, i.e. \Phi=\{P_a\}, alors

p. 96 de l'auteur. Soit \Phi une profigure, F la figure engendrée (on pose F=\overline{\Phi}, c'est bien l'adhérence de \Phi pour \leq sur \mathcal{M}), on pose \delta\Phi \overset{\text{déf}}{=} \delta F = F\cap\mathcal{M}_0 = \{a\in\mathcal{L} \mid P_a\in F,\ \text{i.e. } \exists X\in\Phi,\ P_a\leq X\} \text{\struck{$\partial\Phi \overset{\text{déf}}{=} \partial F =$}}\quad \text{\struck{$\emptyset$ si $\operatorname{card}\delta F\leq 1$ ; ensemble formé des plus petit et plus grand}} au-dessus de la ligne biffée : « “extrémités” de \delta F ».

NB \delta\Phi=\delta F\in\operatorname{Drap}^*(\mathcal{L}), ens. des ~~pour \Phi, i.e. pour F~~ de la profigure \Phi. Il est vide ssi \Phi=\emptyset, de card 1 ssi \Phi= \{P_a\}, auquel cas \Phi=F.

Montrer que si a de \Phi, P_a\in\Phi, ex : \Phi=\{S_{a,b}\}

Cas \Phi connexe \partial\Phi \overset{\text{déf}}{=} \begin{cases} \text{a) } \emptyset \text{ si } \operatorname{card}\delta\Phi\leq 1, \text{ i.e. } \Phi=\emptyset \text{ ou } \{P_a\} \\ \text{b) bord de } \delta\Phi \text{ dès } \operatorname{card}\delta\Phi\geq 2 \end{cases} i.e. ens. formé des extrémités du drapeau \delta\Phi (plus petit et plus grand élément)

bord de \Phi : \partial\Phi=\partial F

ainsi, \partial\Phi=\emptyset ou \in\operatorname{Drap}_2(\mathcal{L}).

[Cas \Phi connexe \Phi^{\bullet} = \begin{cases} \partial\Phi & \text{si } \operatorname{card}\delta\Phi\geq 2 \\ \{a\} & \text{si } \Phi=\{P_a\}, \text{ i.e. } \operatorname{card}\delta\Phi=1 \\ \emptyset & \text{si } \Phi=\emptyset, \text{ i.e. } \operatorname{card}\delta\Phi=0 \end{cases} ]

\Phi pas néc. connexe \partial\Phi = \bigcup \partial\Phi_i \Phi^{\bullet} = \bigcup \Phi_i^{\bullet} où les \Phi_i sont les comp. connexes.

Ex 1 le chiffre est douteux. \Phi = \{S_{a,b},\ S_{b,c},\ P_d\} où a<b<c<d, comp. connexes S_{a,b}, S_{b,c}, P_d. \delta\Phi = \{a,b,c,d\} \partial\Phi = \{a,b,c\} \Phi^{\bullet} = \{a,b,c,d\}

définition plus petit ou plus grand — mais on n'en a pas besoin… On pose, pour \Psi\in\mathcal{M}, a\in\mathcal{L}, profigure \operatorname{ordre}(a,\Psi) = \operatorname{card}(\{X\in\mathcal{M}_1\cap\Psi \mid a\triangleleft X\}) (cet ordre est 0, 1 ou 2) : 0 point extérieur (si a\notin\Psi) ou isolé (si a\in\Psi) ; 1 point bord ; 2 point frontière intérieur (si a\notin\Psi) ou point redondant (ou de morcellement) si a\in\Psi \partial\Phi = \{a\in\mathcal{L} \mid \operatorname{ordre}(a,\overline{\Phi})=1\} la note marginale, écrite en biais, porte plusieurs biffures dans la formule de \partial\Phi.

p. 97 de l'auteur. Ex 3 \Phi = \{S_{a,b},\ P_b,\ S_{b,c},\ P_d\}, comp. connexes \{S_{a,b}, P_b, S_{b,c}\} et P_d \delta\Phi = \{a,b,c,d\} \partial\Phi = \{a,c\} \Phi^{\bullet} = \{a,c,d\} Tous les termes diffèrent.

NB Dans tous les cas, on a \partial\Phi \subset \Phi^{\bullet} \subset \delta\Phi sous la première inclusion, un mot souligné, connexité, renvoyant à : « (si \exists plus grand ou plus petit élément dans \mathcal{L} !) ».

Et ~~\Phi^{\bullet}~~ On \partial\Phi = \{a\in\delta\Phi \mid \exists X\in\Phi \text{ tel que } P_a<X, \text{ et de plus, quand } P_a\in\Phi, \text{ cet } X \text{ est unique}\} entre les lignes de l'accolade, des essais biffés : « ou bien P_a\notin\Phi, mais existe X\in\Phi ou… », « P_a<X », « ou bien P_a\in\Phi, ». = \text{ens. des sommets non isolés de } \Phi, qui, de plus, quand ils appartiennent à \Phi, ne sont pas « intérieurs » à \Phi.

NB Dire que si P_a\in\Phi, il existe au plus deux X\in\Phi tels que P_a<X

\Phi^{\bullet} = \partial\Phi \amalg \Phi_{\mathrm{isol}} où \Phi_{\mathrm{isol}} est l'ens. des ~~points~~ sommets isolés de \Phi. canular…

Dans \mathcal{M}, on va introduire une relation d'ordre, en écrivant X \underset{\mathrm{pos}}{<} Y \iff \begin{cases} \text{a) } X=P_x,\ Y=P_y & x<y \\ \text{b) } X=P_x,\ Y=S_{a,b} & x\leq a<b \\ \text{c) } X=S_{a,b},\ Y=P_y & a<b\leq y \\ \text{d) } X=S_{a,b},\ Y=S_{a',b'} & a<b\leq a'<b' \end{cases} X \underset{\mathrm{pos}}{<} Y \iff X\,|{\circ}|\,Y \text{ et } \operatorname{or}(\delta X) < \operatorname{ex}(\delta Y) sous \operatorname{or}(\delta X) : « ~~plus petit~~ élément de \delta X » ; sous \operatorname{ex}(\delta Y) : « plus grand él. de \delta Y ».

NB l'indice pos dans \underset{\mathrm{pos}}{<} est , pas besoin de <,\leq pour la relation d'incidence dans \mathcal{M}…

p. 98 de l'auteur. En d'autres termes, on a trouvé une relation d'ordre sur \mathcal{M}, telle que la relation X\,|{\circ}|\,Y sur \mathcal{M} soit la relation de disjonction associée X\,|{\circ}|\,Y \iff X \underset{\mathrm{pos}}{<} Y \ \text{ou}\ Y \underset{\mathrm{pos}}{<} X Si \Phi,\Psi sont deux parties quelconques de \mathcal{M}, on pose \Phi \underset{\mathrm{pos}}{<} \Psi \overset{\text{déf}}{\iff} \forall X\in\Phi,\ Y\in\Psi,\quad X<Y .

NB Si \Phi,\Psi sont des profigures (et non \Phi \underset{\mathrm{pos}}{\leq} \Psi), la \Phi\cup\Psi relation d'ordre sur précédemment, des drapeaux comme ensembles des parties de \mathcal{M}_0\subset\mathcal{M}. ~~Ceci~~

Dans le cas où \Phi,\Psi, et des profigures admissibles, on va introduire une relation un peu plus forte \Phi \underset{\mathrm{pos}}{\overset{1}{<}} \Psi \overset{\text{déf}}{\iff} \begin{cases} \Phi \underset{\mathrm{pos}}{<} \Psi, \text{ et dans le cas où} \\ \operatorname{ex}\Phi = \operatorname{or}\Psi \ (\text{\uncertain{noté} } a), \text{ on a} \\ P_a\notin\Phi,\ P_a\notin\Psi \end{cases} au-dessus de « dans le cas où », une addition peu lisible, « dans ce cas ».

i.e. on exclut un cas comme deux segments consécutifs, \Phi à gauche et \Psi à droite, raccordés en un point marqué (\bullet) : « …——(•)——… » ou l'inverse.

NB si \Phi \underset{\mathrm{pos}}{<} \Psi profigures, alors ~~\delta\Phi \underset{\mathrm{pos}}{<} \delta\Psi ou \delta\Phi\cap\delta\Psi=\{a\}, \operatorname{ex}(\delta\Phi)=\operatorname{or}(\delta\Psi)~~ ~~alors P_a\notin\Phi\cap\Psi~~ \delta\Phi\cap\delta\Psi=\emptyset ou de cardinal 1, a\in\delta\Phi\cap\delta\Psi, et si \Phi\cap\Psi=\emptyset, et si a=\operatorname{ex}(\delta\Phi)=\operatorname{or}(\delta\Psi), on a : \Phi \underset{\mathrm{pos}}{\leq} \Psi \iff \operatorname{ex}\Phi < \operatorname{or}\Psi, ou \operatorname{ex}\Phi=\operatorname{or}\Psi et P_a\notin\Phi\cap\Psi note marginale en biais, en partie biffée ; la lecture est incertaine dans le détail.

p. 99 de l'auteur. Cas du « raccord », ~~quand \Phi~~ En d'autres termes, on exclut le cas où \Phi,\Psi seraient ils pas des parties ouvertes et fermées de \Phi\cup\Psi.

Ceci posé, voici la structure d'une profigure quelconque, en termes de profigures connexes.

Soit D = \{\Phi_1 \underset{\mathrm{pos}}{\overset{1}{<}} \Phi_2 \underset{\mathrm{pos}}{\overset{1}{<}} \cdots \underset{\mathrm{pos}}{\overset{1}{<}} \Phi_n\} un drapeau ~~pour~~ dans \text{Préfigcomm}(\mathcal{M}) D \in \operatorname{Drap}^*_{\overset{1}{<}}(\text{Préfigcomm}(\mathcal{M})) on lui associe la profigure \Phi_D = \bigcup_{\Phi\in D}\Phi \ \text{\struck{$\ill{}$}}\ = \bigcup_{i\in[1,n]}\Phi_i (réunion disjointe). Ce fait qu'il fallait pour que les \Phi_i soient les comp. connexes de \Phi. On trouve que dans le cas général , les figures intérieures , si

Lemme Soient \Phi,\Psi profigures connexes. Pour que \Phi\cap\Psi=\emptyset et \Phi\cup\Psi soit une profigure, ~~\Phi \underset{\mathrm{pre}}{\leq} \Psi~~ il faut et il suffit que \Phi \underset{\mathrm{pos}}{\leq} \Psi . ~~Pour que \Phi~~

p. 100 de l'auteur. et \Psi soient les comp. connexes de \Phi\cup\Psi, i.e. \Phi\cup\Psi déconnecté, il f. et s. \text{que}\quad \Phi \overset{1}{<} \Psi \ \text{ou}\ \Psi \overset{1}{<} \Phi, \ \text{i.e.} \{\Phi,\Psi\} \in \operatorname{Drap}_{\overset{1}{<}}(\text{Préfigcomm}(\mathcal{M})) .

En résumé, on trouve donc la petite proposition récapitulative

Théorème 1) Pour tout D\in\operatorname{Drap}^*(\mathcal{L}), et toute partie \alpha de ~~\delta~~\partial D (cf. …), soit \Phi_{D,\alpha} = F_D\setminus\alpha , où F_D est la figure fermée des strates constructibles du drapeau D. On trouve ainsi une bijection (D,\alpha) \longmapsto \Phi_{D,\alpha} de l'ens. des paires D,\alpha sur l'ens. des profigures connexes.

\partial D = \begin{cases} \emptyset & \text{si } \operatorname{card}D=1 \\ \{\operatorname{or}D,\ \operatorname{ex}D\} & \text{si } \operatorname{card}D\geq 2 \end{cases}

2) Pour que \Phi soit une figure, i.e. fermée, il f. et s. que \alpha=\emptyset. Pour que \Phi soit ouverte, il f. et s., sous réserve de Hyp et en supposant que \mathcal{L} n'a pas de plus petit ni de plus grand élément, que \operatorname{card}D\geq 2 et \alpha=\partial D. En ~~dirigeant~~ éliminant cette Hyp. et dans le cas où il existe un plus petit ou un

p. 101 de l'auteur. plus grand élément dans \mathcal{L}, soit ~~\xi~~ \Theta l'ens. de la partie de \mathcal{L}, de cardinal \{0,1,2\}, formée de ces éléments. Alors \Phi est ouvert ssi \text{\struck{$\alpha=\partial D$}}\quad \operatorname{card}D\geq 2 \ \text{et}\ \alpha = \partial D - (\partial D\cap\Theta) .

3) Pour ~~toute suite de profigures~~ drapeau ~~connexes~~, D = \{\Phi_1 \overset{1}{<} \Phi_2 \overset{1}{<} \cdots \overset{1}{<} \Phi_n\} dans l'ens. ordonné des profigures connexes, D \in \operatorname{Drap}^*_{\overset{1}{<}}(\text{Préfigcomm}(\mathcal{M})), soit \Phi_D = \bigcup_{\Phi\in D}\Phi = \bigcup_{1\leq i\leq n}\Phi_i . C'est une réunion disjointe, et \Phi_D est une profigure, admettant les \Phi\in D comme composantes connexes. L'application D \longmapsto \Phi_D = \bigcup_{\Phi\in D}\Phi \operatorname{Drap}^*_{\overset{1}{<}}(\text{Préfigcomm}(\mathcal{M})) \longrightarrow \text{Préfig}(\mathcal{M}) est bijective. ~~Pour~~

4) Pour que \Phi_D soit fermée, il f. et

p. 102 de l'auteur. suffit que les \Phi\in D le soient fermées. Pour que \Phi_D soit ouverte, il f. et s. que les \Phi\in D le soient.

Ces deux derniers sont faits triviaux, \triangleq

Dans cette description des profigures et des figures, les relations \overset{1}{<} n'ont pas intervenu encore, ni (explicitement) la relation |{\circ}| — à sa place, c'est la relation plus explicite \underset{\mathrm{pos}}{<} (ou plutôt <) dans \mathcal{M} qui nous a servi. Mais maintenant que je passe aux supports, il n'en sera pas de même.

Je veux donner une détermination explicite du support d'une profigure quelconque. Cela se fait en plusieurs étapes

1°) Énoncé « réductif » : si ~~les~~ \Phi a pour composantes connexes les \Phi_i, on a \operatorname{supp}^\circ\Phi = \bigcup_i \operatorname{supp}^\circ(\Phi_i) (réunion disjointe)

2°) Détermination de \operatorname{supp}^\circ\Phi pour \Phi profigure connexe. Pour ceci, trois étapes :

p. 103 de l'auteur. (a) Cas « irréductibles » des figures fermées élémentaires \{P_a\}, \widetilde{S}_{a,b}=\{S_{a,b},P_a,P_b\}, et des profigures associées \widetilde{S}_{a,b}\setminus\alpha (\alpha\in\{P_a,P_b\}). Le résultat ici est connu (p. 91)

hyp. p. 91

(i) Si X\in\mathcal{M}_ql'indice q est douteux., on a \operatorname{supp}X = \operatorname{supp}^\circ(\widetilde{X}) = \operatorname{Omb}(X) = \{Z\in\mathcal{M} \mid |Z|\subset|X|\} sous le premier membre : « déf. de \operatorname{supp}X » ; sous le second signe = : « th. » ; sous le troisième : « tautol. ». en particulier \operatorname{supp}\{P_a\} = \{P_a\} \operatorname{supp}\widetilde{S}_{a,b} = \left\{Z\in\mathcal{M} \;\middle|\; \begin{array}{l} Z=P_x,\ a\leq x\leq b \\ Z=S_{a',b'},\ a\leq a'<b'\leq b \end{array}\right\} (ii) Si X=S_{a,b} et \alpha\subset\{P_a,P_b\}, i.e. \alpha\subset\partial X, on a \operatorname{supp}^\circ(\widetilde{X}\setminus\alpha) = \operatorname{supp}X\setminus\alpha = \left\{Z\in\mathcal{M} \;\middle|\; \begin{array}{l} Z=P_x,\ a\leq x\leq b \text{ et } x\notin\alpha \\ Z=S_{a',b'},\ a\leq a'<b'\leq b \end{array}\right\}

Une autre façon (plus élégante) d'expliciter 2° est ainsi, ~~\forall X\in\mathcal{M}~~

\alpha) \forall X\in\mathcal{M} \operatorname{supp}^\circ X = \operatorname{Omb}^\circ X = \{Z\in\mathcal{M} \mid Z \overset{\circ}{<} X\} en particulier \operatorname{supp}^\circ S_{a,b} = \left\{Z\in\mathcal{M} \;\middle|\; \begin{array}{l} Z=P_x,\ a<x<b \\ Z=S_{a',b'},\ a\leq a'<b'\leq b \end{array}\right\} \beta) Si \beta\subset\partial S_{a,b}, on a \operatorname{supp}^\circ(S_{a,b}\cup\beta) = \operatorname{supp}^\circ(S_{a,b})\cup\beta = \operatorname{Omb}^\circ(S_{a,b})\cup\beta = \left\{Z\in\mathcal{M} \;\middle|\; \begin{array}{l} Z=P_x,\ a<x<b \text{ ou } x\in\beta \\ Z=S_{a',b'},\ a\leq a'<b'\leq b \end{array}\right\} .

\alpha et \beta reliés : \beta=\partial X\setminus\alpha, \alpha=\partial X\setminus\beta

(b) Cas général : Considérons T\in\operatorname{Drap}^*(\mathcal{L}), \operatorname{card}T\geq 3, ~~\alpha~~ a=\operatorname{or}T, b=\operatorname{ex}(T), ~~\alpha~~ \alpha\subset\partial T=\{a,b\}, \beta son compl. dans \partial T, \Phi=F_T\setminus\alpha. On trouve alors :

p. 104 de l'auteur. \operatorname{supp}\Phi = \operatorname{Omb}(\widetilde{S}_{a,b})\setminus\alpha = \operatorname{Omb}^\circ(S_{a,b})\cup\beta (\Phi = \Phi_{T,\alpha}) \qquad \text{(réunion disjointe)}

On a déjà fait (a) plus haut, il faut prouver encore (1°) et (b).

Prouvons 1°). Cela résulte, par réc. sur le nb de composantes connexes, du

Lemme Soit X\in\mathcal{M}, et soient \Phi,\Psi deux parties de \mathcal{M} (profigures ?) telles que \Phi \underset{\mathrm{pos}}{<} X < \Psi [NB si \Phi et \Psi sont des profigures, l'existence d'un tel X équivaut à : \Phi \overset{1}{<} \Psi ; si \operatorname{ex}\delta\Phi = a < \operatorname{or}\delta\Psi = b, on prend X=S_{a,b}. Si a=b, on prend X=P_a]. Alors \operatorname{supp}^\circ(\Phi\cup\Psi) = \operatorname{supp}^\circ(\Phi)\cup\operatorname{supp}^\circ(\Psi)

Ici il faut supposer \Phi,\Psi des profigures

Démonstration On a évidemment \supset, il faut prouver \subset, i.e. Z\in\operatorname{supp}^\circ(\Phi\cup\Psi) \overset{?}{\Longrightarrow} Z\in\operatorname{supp}^\circ\Phi \ \text{ou}\ Z\in\operatorname{supp}^\circ\Psi . Notons que \Phi \underset{\mathrm{pos}}{<} X \underset{\mathrm{pos}}{<} \Psi implique que X\in\operatorname{cosupp}^\circ(\Phi\cup\Psi), donc Z\,|{\circ}|\,X, ce qui signifie Z \underset{\mathrm{pos}}{\leq} X \ \text{ou}\ Z \underset{\mathrm{pos}}{\geq} X .

p. 105 de l'auteur. Je vais prouver Z<X \Longrightarrow Z\in\operatorname{supp}^\circ(\Phi) Z>X \Longrightarrow Z\in\operatorname{supp}^\circ(\Psi) . ~~Pour ceci,~~ Prouvons p.ex. la première, (la seconde ) Z<X \quad (\text{et } Z\in\operatorname{supp}^\circ(\Phi\cup\Psi)) Soit donc Z'\in\operatorname{cosupp}^\circ(\Phi), \quad\text{i.e.}\quad Z'\,|{\circ}|\,\Phi nous devons prouver Z\,|{\circ}|\,Z'. Nous ~~Soit~~ savons que Z\,|{\circ}|\,\Psi, qui si Z'\,|{\circ}|\,\Phi\cup\Psi (c'est seulement Z'\,|{\circ}|\,\Phi).

~~Mais soit~~ Cas où « singulier » X, cas \delta X = \{\operatorname{ex}\delta\Phi,\ \operatorname{or}\delta\Psi\} \quad (\operatorname{ex}\delta\Phi=a,\ \operatorname{or}\delta\Psi=b) i.e. \begin{cases} X=P_a & \text{si } a=b \\ X=S_{a,b} & \text{si } a<b \end{cases}

Comme Z'\,|{\circ}|\,\Phi, il s'ensuit Z'\,|{\circ}|\,P_a ou Z'=P_a, simplement que \delta\Phi\cup\delta Z'\in\operatorname{Drap}(\mathcal{L}), ou fortiori (car on aurait \delta\Phi\cup\{P_a\}\in\operatorname{Drap}\mathcal{L}, si on avait Z'=P_a, comme par hypothèse P_a\notin Z'\,|{\circ}|\,\Phi, et P_a\,|{\circ}|\,\Psi puisque X<\Psi, on a Z'\,|{\circ}|\,\Phi\cup\Psi, et on a gagné. Sinon on aura Z' \underset{\mathrm{pos}}{<} P_a ou Z' \underset{\mathrm{pos}}{>} P_a. Si Z' \underset{\mathrm{pos}}{<} P_a, \ \text{on aura}\ Z' \underset{\mathrm{pos}}{<} \Psi, donc Z'\,\|\,\Psi, on a gagné encore. la parenthèse ouverte après « fortiori » n'est pas refermée sur la page.

Lemme (trivial) Z'\,|{\circ}|\,\Psi, et Z'\,|{\circ}| , alors Z'= Lemme (trivial) X \underset{\mathrm{pos}}{<} \Psi et Y \underset{\mathrm{pos}}{\leq} X \Rightarrow deux petits lemmes en marge, écrits en biais et en partie surchargés.

p. 106 de l'auteur. Reste le cas ~~Z'>P_a~~ Z' > P_a. ~~Mais~~ comme Z<X, on a Z\leq P_a ou ~~Z<P_a~~, donc on aura Z<Z', d'où a fortiori Z\,|{\circ}|\,Z', cqfd.

NB Je n'ai pas eu à utiliser Hyp., ~~ni la constructibilité de \Phi~~ mais j'ai utilisé ~~le constat~~ que \Phi,\Psi sont des profigures.

Dém. de (b) Résulte par récurrence sur \operatorname{card}\delta\Phi de 1°, et du

Lemme : Soient a<b<c, et \Phi = \{S_{a,b},\ P_b,\ S_{b,c}\} . Alors \operatorname{supp}^\circ(\Phi) = \operatorname{supp}^\circ(S_{a,c}) (Lemme de composition des segments).

Démonstration Il suffit de voir que \Phi et S_{a,c} ont même \operatorname{cosupp}^\circ. ~~Soit~~ ~~Cela résulte~~ de ce résultat plus précis : Si X\in\mathcal{M}, on a X \underset{\mathrm{pos}}{<} \Phi \ (\text{i.e. } X<S_{a,b}) \iff X<S_{a,c} X \underset{\mathrm{pos}}{>} \Phi \ (\text{i.e. } X>S_{b,c}) \iff X>S_{a,c} trivial (sans Hyp).

p. 107 de l'auteur. Ainsi, le théorème est établi. On en conclut que ~~tout~~

à partir d'ici, le reste de la page (le corollaire) est biffé de traits obliques ; il est transcrit sans marquer chaque ligne. Corollaire (détermination des supports constructibles de \mathcal{M}). ~~Soit X~~ 1) Tout support constructible peut s'obtenir de la façon suivante : on prend une figure F = F_D, \quad D = (T_1 \underset{\mathrm{pos}}{<} T_2 < \cdots \underset{\mathrm{pos}}{<} T_n) \in \operatorname{Drap}^*(\operatorname{Drap}^*(\mathcal{L})), et pour tout T_i, on prend une partie \beta_i \subset \partial F_{T_i} = \partial T_i . On lui associe la partie constructible \Phi = (F_D\setminus F_D\cap\mathcal{M}_0)\cup\bigcup\beta_i = \bigcup_i\big((F_{T_i}\setminus F_{T_i}\cap\mathcal{M}_0)\cup\beta_i\big) et \operatorname{supp}^\circ\Phi \overset{\text{th}}{=} \operatorname{Omb}^\circ(\Phi) le signe = est peut-être barré (\neq). \operatorname{supp}^\circ\Phi = \operatorname{supp}^\circ\Phi' \Phi' déduit de \Phi en « recollant » les morceaux », et ayant la propriété d'être « non morcelée », i.e. \forall x\in\Phi'\cap\mathcal{M}_0, \quad \operatorname{card}\{X\in\Phi' \mid x\triangleleft X\}\ \text{\struck{$\neq 2$}} (NB ce cardinal est pris \in\{0,1,2\})

Ceci posé, on trouve :

p. 108 de l'auteur. Théorème 1) Tout support constructible S s'écrit sous la forme \operatorname{supp}^\circ\Phi, où \Phi est une profigure non morcelée* ; ~~2) Cette écriture est unique, et on a~~ et pour une telle \Phi, on a \operatorname{supp}^\circ(\Phi) = \operatorname{Omb}^\circ(\Phi) = \bigcup_{X\in\Phi}\operatorname{Omb}^\circ(X) \text{(réunion disjointe).}

* je dis plutôt ?? « irredondante »

~~\Phi_1=~~ Les éléments de \Phi\cap\mathcal{M}_1 sont les éléments 1) de dim 1 et de S qui sont ~~maximaux~~ (ou bien , c'est pareil) 2) maximaux de S pour \overset{\circ}{<}. Les constituants ~~éléments de~~ éléments de \Phi_0=\Phi\cap\mathcal{M}_0 sont ~~les éléments de S\cap\mathcal{M}_0 qui sont suivants : où bien ils sont~~ \Phi_0 = \Big(\bigcup_{X\in\Phi_1}\partial X\Big)\cap S \cup \Phi_{0,\mathrm{is}} (réunion disjointe), où ~~\Phi_{0,\mathrm{is}} est~~ \Phi_{0,\mathrm{is}} = \text{ens. des sommets isolés de } \Phi = \text{ens. des éléts de } S\cap\mathcal{M}_0 \text{ qui sont maximaux dans } S \text{ pour } \ll

En particulier, \Phi est bien déterminé par la connaissance de S. On dit que S est fermé, si \Phi est fermée, i.e. que S est le support vrai, si S est le support d'une figure.

p. 109 de l'auteur. 2) Pour tout support constructible S =\operatorname{supp}^\circ\Phi, il existe un plus petit support constructible fermé qui le contient, il est donné par \overline{S} = \operatorname{supp}^\circ(\overline{\Phi}) = \operatorname{supp}(\overline{\Phi}) — mais je ne suis pas sûr que ~~= si \Phi~~ non morcelée, = si \Phi \overline{\Phi} peut fort bien être morcelée, si \Phi ne l'est pas.

Vérifier ! Facile : c.à.d. aussi \operatorname{supp}^\circ(\widetilde{S})=\overline{S} ? et = adhérence au sens des relations \triangleleft dans \mathcal{M}. en marge : un segment \Phi formé de deux intervalles fermés raccordés en un point (\bullet), « \Phi non morcelée », et en dessous le même avec \overline{\Phi}, « morcelée ».

3) 3) Description combinatoire des supports constructibles via les profigures non morcelées ?

4. juilletla date est d'une écriture plus lourde ; le premier chiffre se lit 4, comme en p. 102. Je voudrais donner une présentation « autoduale » des supports constructibles tout par les profigures non morcelées (ou « irredondantes »). Pour ceci il faut « omettre » pour ses points isolés de \Phi, et les traits ou parties « points isolés » i.e. ceux des points de \mathcal{L} qui ne sont pas dans \Phi, mais adhérents : \Phi dans \mathcal{M}.

et pas \in\partial\Phi — i.e. les « points frontière intérieurs »

On procède ainsi. ~~\Phi_1 =~~ ~~\overline{\Phi}\setminus ens. des points isolés~~ On regarde la figure \text{\struck{$\overline{\Phi}$}}\qquad \Phi_1 = \overline{\Phi}\setminus\{\text{ens. des points isolés de } \overline{\Phi}\} c'est une figure qui peut ne pas être irredondante. Celle-ci l'est ssi ~~\Phi~~ \overline{\Phi}\setminus\Phi \subset \partial\Phi \quad \text{\struck{$\overline{\Phi}\setminus\Phi$}} = \{s\in\delta\Phi \mid \text{ordre de } s \text{ dans } \overline{\Phi} \text{ est } 1\} ~~est formé des points de~~ i.e. ssi \Phi pas de point frontière intérieur.

p. 110 de l'auteur. Parenthèse Zoologie des sommets d'une préfigure.

une droite portant, de gauche à droite : un point plein a, un trait jusqu'à un point ouvert (\ ) en b, un trait jusqu'à un point plein entre parenthèses (\bullet) en c, un trait jusqu'à un crochet en d, puis un point isolé e. \Phi = \{P_a,\ S_{a,b},\ S_{b,c},\ P_c,\ S_{c,d},\ e\} \overline{\Phi} = \{P_a,\ S_{a,b},\ P_b,\ S_{b,c},\ P_c,\ S_{c,d},\ d,\ e\} \partial\Phi = \{a,\ d\} plusieurs termes de ces deux ensembles sont surchargés ; la lecture des P est incertaine.

à droite, séparée par un trait vertical, une première rédaction biffée de traits obliques, reprise plus bas : « \delta\Phi (ens. des sommets de \Phi) =\overline{\Phi}\cap\mathcal{L}=(\overline{\Phi})_0 ; sommets propres : \delta\Phi\cap\Phi_0, impropres \delta\Phi\cap\mathcal{L} ; \operatorname{ord}(a,\Phi)=\operatorname{card}(\{X\in\mathcal{M}_1\cap\Phi=\Phi_1 \mid a\triangleleft X\}) ; \delta\Phi=\{a\in\mathcal{L} \mid \operatorname{ord}(a,\Phi)=\} ; sommet isolé de \Phi : d'ordre 0 ; sommet bord de \Phi : d'ordre 1, deux cas : a\in\Phi sommet bord propre, a\notin\Phi sommet bord impropre ».

Reprenons \delta\Phi \ (\text{ensemble des sommets de } \Phi) = \overline{\Phi}\cap\mathcal{L} = (\overline{\Phi})_0 sommets propres : ceux de \Phi_0=\overline{\Phi}\cap\mathcal{L}\subset\delta\Phi ; sommets impropres : ceux qui ne sont pas dans \Phi_0 \operatorname{ord}(a,\Phi) = \operatorname{card}(\{X\in\Phi_1 \mid a\triangleleft X\}) \in \{0,1,2\} sous a : « \in\mathcal{L} » ; sous \Phi_1 : « =\mathcal{M}_1\cap\Phi ». (ordre de a p.r. à \Phi) Cet ordre est zéro si a n'est pas un sommet, mais il peut être zéro aussi pour un sommet de \Phi,

Lemme Si a\in\delta\Phi, ~~alors~~ et \operatorname{ord}(a,\Phi)=0, on a a\in\Phi. Un tel sommet de \Phi est dit ~~isolément~~ isolé. \Phi_{\mathrm{is}} = \{s\in\delta\Phi \mid \operatorname{ord}(s,\Phi)=0\} \subset \Phi_0 Les sommets d'ordre 1 sont les sommets-bord \partial\Phi = \{s\in\delta\Phi \ (\text{ou } s\in\mathcal{L}) \mid \operatorname{ord}(s,\Phi)=1\} Parmi les sommets-bord, on distingue les sommets-bord propres, et impropres \Phi_0\cap\partial\Phi = \partial_0\Phi \subset \Phi \text{(sommets-bord propres)} Les sommets d'ordre 2 sont les sommets internes \delta_{\mathrm{int}}(\Phi) = \{s\in\delta\Phi \ (\text{ou } s\in\mathcal{L}) \mid \operatorname{ord}(s,\Phi)=2\}

p. 111 de l'auteur. Parmi les sommets internes, on distingue les sommets propres, ou sommets redondants ou « sommets de morcellement », et les sommets impropres, ou sommets lacunaires.

Dans la profigure la même figure qu'en p. 118 : un point plein a, un point ouvert en b, un point plein entre parenthèses en c, un crochet en d, un point isolé e. il y a un sommet de chacun des cinq types combinatoires

sommet isolé e sommet bord propre a, impropre d sommet interne propre ou redondant c sommet interne impropre ou lacunaire b

~~Pour une intervalle~~ J'aime mieux : préférer appeler S_{a,b}=S_{b,a} ou S_{\{a,b\}} un intervalle (plutôt qu'un segment). Le Le segment associé à l'intervalle est \widetilde{S}_{a,b} = \{S_{a,b},\ a,\ b\} — c'est le multisimplexe complet associé : .

~~Si X\in\Phi_{T,D}~~ On a posé \Phi_0 = \Phi\cap\mathcal{M}_0 = \Phi\cap\mathcal{L}, \qquad \Phi_1 = \Phi\cap\mathcal{M}_1 sous \Phi_0 : « ou ens. des sommets propres ».

le paragraphe qui suit est biffé de traits obliques. Pour les éléments de \Phi_1, ou intervalles de \Phi, on distingue les intervalles de \Phi tels que \widetilde{X}\subset\Phi, i.e. \overline{X}\subset\Phi, i.e. \partial X\subset\Phi_0 (ou fermés dans \Phi), et ceux pour lesquels \partial X\cap\Phi_0=\{a\} (semi-ouverts dans

p. 112 de l'auteur. Regardons l'opération suivante sur \Phi \Phi \longmapsto \overline{\Phi} \longmapsto \overline{\Phi}\setminus\overline{\Phi}_{\mathrm{is}} \Longrightarrow \Phi_{\mathrm{comp}} = \Psi sous \overline{\Phi} : « figure associée à \Phi, ou adhérence » ; sous \overline{\Phi}_{\mathrm{is}} : « =\Phi_{\mathrm{is}} » ; sous \overline{\Phi}\setminus\overline{\Phi}_{\mathrm{is}} : « adhérence purement 1-dimensionnelle » ; sous \Phi_{\mathrm{comp}} : « ou “~~télescopage~~complétion par effacement des pts redondants de \overline{\Phi}\setminus\overline{\Phi}_{\mathrm{is}}” ». Après \Phi_{\mathrm{comp}}, quelques mots biffés.

On trouve une figure dont les composantes connexes sont des segments, donc donnée par une ~~suite~~ drapeau dans \mathcal{M}_1, ordonné par \overset{1}{<} D \in \operatorname{Drap}^*(\mathcal{M}_1,\overset{1}{<}) D = \{X_1,\ X_2,\ \ldots,\ X_n\} X_i = S_{a_i,b_i}, une droite portant les segments [a_1,b_1], [a_2,b_2], [a_3,b_3], [a_n,b_n], marqués de croix à l'intérieur et entre eux ; le dernier segment est tracé en gras. de telle façon que \begin{cases} \Psi = \Phi_{\mathrm{comp}} = \Phi_D = \Phi_{X_1,X_2,\ldots,X_n} \\ \delta\Psi = \partial\Psi = \partial\Phi = \{a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_n,b_n\} . \end{cases}

Pour ~~en donner~~ décrire l'écriture \Phi en termes de \Phi_{\mathrm{comp}} il faut :

1°) Donner \delta\Phi \in \operatorname{Drap}^*(\mathcal{L}) \supset \delta\Psi drapeau de \mathcal{L} contenant \delta\Psi. Les nouveaux pts rajoutés* sont donc ~~points~~ les sommets isolés et les sommets internes de \Phi.

* qui sont

la page s'arrête sur le point 1° ; la suite de l'énumération continue au-delà de ce lot.