Cote n° 156-8, pages 41–60

Cote n° 156-8 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · [Chapitre] VIII. Analysis situs (quatrième mouture) : notes manuscrites (26/06-04/07/1986).
Datation de l’inventaire : 1986
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Fonction support

41p. 33 de l'auteur ; sa pagination court sans interruption de 33 à 52 sur ce lot. J'en viens maintenant à la question d'une fonction genre « support » \[X \longmapsto |X| \qquad M \longrightarrow \mathfrak{P}(P),\] où $P$ est un ensemble (dont les éléments jouent le rôle de « points »). Voici le minimum auquel je songe immédiatement (comparer CF VII, p. 73)lecture de « CF » douteuse ; peut-être « Ch » (chapitre). Même sigle p. 46. :

On veut […] $|A| = \bigcup_{X\in A} |X|$ […] $M'$ […]

(i)$X \ll Y \Longrightarrow |X| \subset |Y|$ concerne $\ll$
(ii)$\big[$ (ii) $\forall X \in M$, $|X|^\circ \overset{\text{déf}}{=} |X| \smallsetminus |\partial X| \neq \emptyset$ $\big]$ concerne $\leq$ (est impliqué par (iii))
(iii)$\forall X, Y \in M$, $X \mathbin{|{\circ}|} Y \Longleftrightarrow |X|^\circ \cap |Y|^\circ = \emptyset$ concerne $|{\circ}|$
(iv)(Pour normaliser $X$) $|M| = P$, et les $|X|^\circ$ séparent les points de $X$, […]

la condition (ii) est enfermée par l'auteur entre crochets ; un premier début de ligne, (ii) $\forall X$ […], est biffé.

NB La condition (i) signifie : dire que $X \mapsto |X|$ est croissante pour $\ll$, ou encore, pour $\mathring{\ll}$ et $\leq$. Si les $|X|$ séparent les points de $X$le $X$ est entouré., en est-il de même des $|X|^\circ$ ? Soient $x \in |X|$, $y \notin |X|$. On voudrait trouver $Y \leq X$ avec $x \in |Y|^\circ$, bien mieux encore $y \notin |Y|^\circ$ puisque $|Y|^\circ \subset |Y| \subset |X|$. Donc la question est de […] savoir si $\exists\, Y \in \tilde{X}$ avec $x \in |Y|^\circ$. Donc on est amené à renforcer (ii) en

(ii bis)$\forall X \in M$, la famille des $|Y|$, $Y \in \tilde{X}$, forme une figure ⌜ens.⌝ dans (élémentaire) dans $P$, indexée par $\tilde{X}$, de support $|X|$.

Cela signifie […] jusqu'à […] ⌜Les sorts déjà ([…] de (ii bis))⌝ que $\tilde{X} \to \mathfrak{P}(P)$, $Y \mapsto |Y|$ est injective, car si $Y, Y' \in \tilde{X}$ avec $Y \neq Y'$, on a $Y \mathbin{|{\circ}|} Y'$ ⌜(ii)⌝ dès que $Y \neq Y'$, donc par (iii) $|Y|^\circ \cap |Y'|^\circ = \emptyset$, donc par […] on sait Je dis quela phrase reste en suspens au bas de la page.

42A-t-on inversement, pour $Y, Z \in \tilde{X}$, \[|Y| \subset |Z| \Longrightarrow Y \leq Z \quad ??\] Ça ne semble pas conséquence de (i)(ii)(iii)(iv), À moins. Cela L'est. Est-il impliqué par (ii bis) ?? J'explicite À vrai dire, j'ai sous-entendu en y disant « indexé par $\tilde{X}$ » […] comme un ens. ordonné (je présume) — mais peut-on le prouver ? Soit $L = \tilde{Y} \cap \tilde{Z}$ Ce qui est sûr, c'est que j'aurai besoin de savoir que, pour $Y \in \tilde{X}$, $|Y|^\circ$ est aussi l'ens. des […] que, défini en termes de la figure ens. indexée par $\tilde{X}$, i.e. que \[|Y|^\circ \overset{?}{=} |Y| \smallsetminus \bigcup_{\substack{Z \in \tilde{X} \text{ tel que}\\ |Z| \subsetneq |Y|}} |Z| \overset{\text{déf}}{=} |Y|^{\circ\prime}\] mais dans la $\bigcup$, il y a a priori ⌜peut-être⌝ plus des $Z$ que ceux les seuls $Z < Y$, donc le […] risque d'être plus petit ⌜(forcément égal ?)⌝ que le précédent. Mais (ii bis) ([…] définition) […] que les $|Y|^{\circ\prime}$ recouvrent déjà $|X|$ (et sont non vides). A fortiori les $|Y|^\circ$ recouvrent donc. Mais on sait ⌜qu'ils sont deux à deux⌝ disjoints par (iii) — d'où finalement l'égalité $|Y|^\circ = |Y|^{\circ\prime}$, et la relation \[|X| = \bigcup_{Y \in \tilde{X}} |Y|^\circ .\] Revenons donc à la question si \[|Y| \subset |Z| \Longrightarrow Y \leq Z ,\] introduisons $\tilde{Y} \cap \tilde{Z} = L$, […] $\tilde{Y} \cup \tilde{Z} = M$.

43\[\text{\struck{$|Y| = \coprod_{Z \in \tilde{Y}} |Z|^\circ = \bigcup_{Z \in L}$}}\] Comme les $|Z|^\circ$ ($Z \in M$) sont ⌜non vides et⌝ deux à deux disjoints, et […] et on adans les réunions qui suivent, l'indice muet est écrit avec un $Z$ barré, que nous rendons par $Z$ ; le $|Z|$ de gauche de la deuxième ligne est le $Z$ fixé. ici on utilise (ii bis) non seulement pour $X$, mais aussi pour $Y$ et $Z$ \[|Y| = \bigcup_{Z \in \tilde{Y}} |Z|^\circ = \Big(\bigcup_{Z \in L} |Z|^\circ\Big) \cup \Big(\bigcup_{Z \in \tilde{Y} \smallsetminus L} |Z|^\circ\Big)\] $|Z| =$ et de même \[|Z| = \Big(\bigcup_{Z \in L} |Z|^\circ\Big) \cup \Big(\bigcup_{Z \in \tilde{Z} \smallsetminus L} |T|^\circ\Big)\] le dernier terme porte bien $|T|^\circ$ sur la page. d'où \[|Y| \cap |Z| = \bigcup_{Z \in L} |Z|^\circ ,\] et on voit égal à $|Y|$ […] i.e. $|Y| \subset |Z|$, que si la […] […] $\bigcup_{Z \in \tilde{Y} \smallsetminus L} |Z|^\circ \neq \emptyset$ on attendrait « $= \emptyset$ » ; nous lisons « $\neq$ ». i.e. $\tilde{Y} \smallsetminus L = \emptyset$, i.e. $Y \leq Z$, […] on gagne ! Ainsi, on a ⌜(pour $X$ et les $Y \in \tilde{X}$)⌝ […] que (ii bis) ⌜(implique)⌝

(ii ter)$\displaystyle |X| = \bigcup_{Y \in \tilde{X}} |Y|^\circ$ sous la réunion l'auteur a d'abord écrit $|X|^\circ$, puis entouré le $X$ et l'a corrigé en $Y$ par une flèche.

([…] c'est une partition ⌜indexée par $\tilde{X}$⌝, par (ii) et (iii), impliquant que $Y \neq Z$ ($Y, Z \in \tilde{X}$) $\Rightarrow |Y|^\circ \cap |Z|^\circ = \emptyset$ donc $|Y|^\circ \neq |Z|^\circ$ (puisque $|Y|^\circ \neq \emptyset$ par (ii)))

Inversement, si on suppose (ii ter), a-t-on (ii bis) ? Voyons CF V p. 1 Prop. 1 condition 3° ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$). La […] […] $\gamma$ déjà vu la […] […] ici, et en celui déduit de la […] avec (i) les $|X|^\circ \neq \emptyset$ (NB l'identité des $|X|^\circ$ défini ici, et de celui défini par la famille des $|Y|$ ($Y \in \tilde{X}$) est vraie […] ⌜(cf deux lignes plus haut) […] …⌝) et (ii) $\forall x \in |X|$, $\exists$ un plus petit $Y \in \tilde{X}$ avec $x \in |Y|^\circ$. Que la relation d'ordre de $\tilde{X}$ soit celle induite par l'inclusion dans $\mathfrak{P}(P)$, on l'a vu par l'argument passage très raturé : un premier énoncé biffé, puis un « NB » encadré entre deux traits ; la lecture ci-dessus en donne la suite des idées, non l'ordre exact des ajouts.

44précédent, qui a utilisé seulement le fait que les $|Y|$ sont les réunions disjointes des $|Z|^\circ$ pour $Z \in \tilde{Y}$.) Soit donc $x$. Comme Il faut […] Soit donc $Y \in \tilde{X}$ avec $x \in |Y|^\circ$. Prouvons que $Y$ est le plus petit él. de $\tilde{X}$ tel que $x \in |Z|$, i.e. \[x \in |Y|^\circ,\ x \in |Z| \Longrightarrow Y \leq Z .\] Cela se voit toujours par le même argument que tantôt : puisque donc ici $Y \in \tilde{Z}$ donc $Y \leq Z$.

Dans tous ces cas, la relation $\ll$ n'a pas joué de rôle, […] on a travaillé dans l'ens. ordonné […]. Donc il faut expliciter la […]

de « Donc il faut » jusqu'au bas de la page, le texte est barré d'un long trait oblique ; nous le donnons tel qu'il se lit sous la rature.

Lemme Soit $I$ un ens. ordonné, $P$ un ens., \[\text{\struck{$\varphi : I \longrightarrow \mathfrak{P}(P), \quad i \longmapsto X_i \text{ ou } |i|$}}\] une application, qui soit […] satisfaisant les conditions (on a posé $X_i^\circ = X_i \smallsetminus \bigcup_{j<i} X_j$)

(i)croissante : $i \leq j \Rightarrow X_i \subset X_j$
(ii)$\forall i, j$, $i \neq j \Longrightarrow X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset$, puis on demande que $\forall i$ $X_i^\circ \neq \emptyset$

(ii) a d'abord été écrit « $\forall i,j \in I$, $i \neq j \Longleftrightarrow |X_i|^\circ \cap |X_j|^\circ = \emptyset$ », puis corrigé en surcharge. (Alors $\varphi$ ⌜est injective⌝). Alors les conditions suivantes sont équivalentes

(iii)L'image de $\varphi(I) = I' \subset \mathfrak{P}(P)$ est une figure ensembliste dans $P$, et $\forall i$ il en est de même ⌜de l'image⌝ de $I_{\leq i}$ ou $I_{<i}$
(iii bis)$\forall i$, $X_i = \bigcup_{j \leq i} X_j^\circ$

Les conditions […] impliquent que $\varphi$ ⌜induit⌝ un isom. d'ens. ordonnés $I \xrightarrow{\sim} \tilde{I}$

Figures indexées

45Je vais reprendre ici la prop. 1 p. 1 de CF V, dans un contexte « indiciel » qui sera, en fait, un peu plus général.

Proposition Soient $I$ un ens. ordonné, […] $X$ un ensemble (c.-à-d. […] ce qui désignait $P$ dans les pages précédentes), $\Phi = (X_i)_{i \in I}$ une famille d'ens. indexée par $I$. On pose, $\forall i \in I$ On suppose $i \leq j \Rightarrow X_i \subset X_j$ [je ne suppose […] […], mais […] pour définir $X_i^\circ = X_i \smallsetminus \partial X_i$ […] […] $\partial X_i \subset X_i$) \[\begin{align*} \partial X_i &= \bigcup_{j<i} X_j \;\subset X_i \\ X_i^\circ &= X_i \smallsetminus \partial X_i \\ |\Phi| &= \bigcup_{i \in I} X_i . \end{align*}\] On note que $\forall x \in X$, $i \in I$, si on pose \[I^x = \{ i \in I \mid x \in X_i \}\] on a l'équivalence \[x \in X_i^\circ \Longleftrightarrow i \text{ est un élément minimal de } I^x .\] Conditions équivalentes

(i)$\forall x \in |\Phi|$, l'ensemble $I^x$ a un plus petit élément.
(ii)Pour tout $x \in |\Phi|$, l'ensemble $I^x$ a un élément minimal, ⌜(automat. si $I$ fini)⌝ et de plus pour $i, j \in I$, on a \[X_i \cap X_j = \bigcup_{k \leq i, j} X_k .\]
(iii)On a les conditions suivantes

a)$\forall i, j \in I$ avec $i \neq j$, on a $X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset$
b)[…] $\forall i \in I$, on a \[X_i = \bigcup_{j \leq i} X_j^\circ \qquad \text{(automat. si $I$ fini)}\]

(iv)Posant (cas NB a) et b) impliquent que la famille […] pour \[I' = \{ i \in I \mid X_i^\circ \neq \emptyset \} ,\] on a : alors la famille des

$\alpha$)La famille $\{X_i^\circ\}_{i \in I'}$ forme une partition de $|\Phi|$, […]

la condition (iv) se poursuit p. 46.

46Question : $\beta$) et $\gamma$) conséquences de $\alpha$) ? Oui si $I$ fini, cf p. 44, mais exemple […] $\alpha$) et $\gamma$) […], mais […] $\beta$) ? Non, $\beta$) conséquence […] […] […]

$\beta$)Pour tout $i \in I$, $X_i$ est saturé par la relation d'équivalence d'équivalence définie par cette partition.
$\gamma$)Pour $i, j \in I$, avec $X_j^\circ \neq 0$, la relation ⌜et $X_j^\circ \neq \emptyset$⌝ on a \[X_j^\circ \subset X_i \Longrightarrow j \leq i .\]

dans $\gamma$) l'indice de droite a été surchargé ; nous lisons $i$.

Disons la condition (i), i.e. […] des $I^x$ signifie ⌜pour tout $x \in |\Phi|$, $I^x$⌝ (qu'il ait un plus petit élément), signifie ($\forall x \in X$) trois choses trois choses ⌜(dont on sait qu'il est $\neq \emptyset$)⌝ : évidemment $3°) \Rightarrow 1°)$ (car on sait $I^x \neq \emptyset$)

1°)$I^x$ a un élément minimal, $i$, i.e. $\exists\, i \in I$ tel que […] $i$ est élt. minim. de $I^x$ i.e. \[x \in X_i^\circ .\]
2°)Deux él. minimaux de $I^x$ sont égaux i.e. \[\forall i, j \in I,\ x \in X_i^\circ \cap X_j^\circ \Longrightarrow i = j\]
3°)Tout élément de $I^x$ est minoré par un élément minimal, […] i.e. \[\forall i \in I \text{ tel que } x \in X_i,\ \exists\, j \leq i \text{ tel que } x \in X_j^\circ .\]

C'est donc la conjonction des trois conditions : $\forall x$ on a 1°, $\forall x$ on a 2°, $\forall x$ on a 3°. Cela s'écrivent

1')$|\Phi| = \bigcup X_i^\circ$ (automat. si $I$ fini)
2')$\big[X_i^\circ \cap X_j^\circ \neq \emptyset \Rightarrow i = j$ i.e.$\big]$ $i \neq j \Longrightarrow X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset$
3')$\forall i \in I$, on a $X_i = \bigcup_{j \leq i} X_j^\circ$ (automat. si $I$ fini)

On voit d'ailleurs, puisque $|\Phi| = \bigcup_{i \in I} X_i$, que 3') implique 1'). Donc la condition (i) équivaut à la conjonction de 2' et 3'), qui ne sont autres que a), b) de (iii). Ainsi \[\text{(i)} \Longleftrightarrow \text{(iii)} .\] NB 3', 3' […] $I^x$ […] […] […] $X_i^\circ \cap X_j^\circ$ […] — Question : si $\forall i,j$, $i \neq j$ […] ? Oui si $I$ fini, Non, cf p. 44 D'autre part, les parties $\alpha$), $\beta$), $\gamma$) de (iv) se traduisent respectivement en :

1'')$|\Phi| = \bigcup_{i \in I'} X_i^\circ$ (équivalent à 1') et $i, j \in I'$
2'')$\forall i \in I$, posant $I(i) =$

et $\forall i, j \in I'$, $X_i^\circ \cap X_j$ on a $X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset$ (équivalent à 2').

2'')$\forall i \in I$, posant \[I'(i) = \{ j \in I' \mid X_j^\circ \subset X_i \} ,\] \[\text{\struck{$I(i) = \{ j \in I \mid X_j^\circ \subset X_i \}$}}\] (on note que $I'(i) = I(i) \cap I'$, et $\bigcup_{j \in I(i)} X_j^\circ = \bigcup_{j \in I'(i)} X_j^\circ$), on a \[X_i = \bigcup_{j \in I'(i)} X_j^\circ\] on a qui revient au même $X_i = \bigcup_{j \in I'(i)} X_j^\circ$, i.e. 3')
3'')On a, pour tout $i \in I$ \[I'(i) = I' \cap I_{\leq i}\] ce qui implique que $\bigcup_{j \in I'(i)} X_j^\circ = \bigcup_{j \leq i} X_j^\circ$

On voit donc que moyennant 3''), 2'') équivaut à 1'', 2'', 3'', 3'). Ceci dit, l'ens. des conditions 1'', 2'', 3'' équivaut aussi à celui-ci \[\left\{ \begin{array}{lll} |\Phi| = \bigcup_{i \in I} X_i^\circ & & \text{i.e. (1')} \\ \forall i, j \in I & X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset & \text{i.e. (2')} \\ \forall i \in I & X_i = \bigcup_{j \leq i} X_j^\circ & \text{i.e. (3')} \\ \end{array} \right.\] $+$ la condition $\gamma$) ⌜et $X_j^\circ \neq \emptyset$⌝ : \[\forall i, j \in I \quad X_j^\circ \subset X_i \Longrightarrow j \leq i . \qquad 3'') \Leftrightarrow \gamma)\] dans la deuxième ligne l'auteur omet ici l'hypothèse $i \neq j$. Cela montre donc que \[\text{(iv)} \Longleftrightarrow \text{(i)} + \gamma)\] et l'équivalence (iv) $\Longleftrightarrow$ (i) revient donc à (i) $\Longrightarrow$ ($\gamma$) qui est contenu dans le

Attention ! […] $X_j \subset X_i$ […] conditions (avec $X_j^\circ \neq \emptyset$) […] $X_i \supset X_j^\circ$ ([…] […] si (i) est […]) […] $\Phi$ […] !! […] […] […]

Cor. Main 1 Sous les conditions équivalentes (i), (iii), […] tel que $X_j^\circ \neq 0$ les ⌜(équivalentes puis […]⌝ on a, pour $i, j \in I$, Conditions […] \[(j \leq i) \Longleftrightarrow (X_j \subset X_i) \Longleftrightarrow (X_j^\circ \subset X_i) \Longleftrightarrow (X_j^\circ \cap X_i \neq \emptyset)\] les indices de cette ligne sont surchargés à plusieurs reprises ; une variante biffée au-dessus de la dernière équivalence est illisible.

(NB Dans l'énoncé de la prop., on n'a pas supposé que $i \leq j \Rightarrow X_i \subset X_j$ ?!)

Dém. du Cor. 1 en vertu de 3') on a \[X_i = \bigcup_{i' \leq i} X_{i'}^\circ , \qquad X_j = \bigcup_{j' \leq j} X_{j'}^\circ\] donc \[i \leq j \Longrightarrow X_i \subset X_j \Longrightarrow \text{\struck{\ill{}}} \quad \text{(si on suppose $X_j^\circ \neq \emptyset$)}\] la ligne se poursuit p. 48.

48D'ailleurs les implications \[(X_j \subset X_i) \Longrightarrow (X_j^\circ \subset X_i) \overset{\text{si } X_j^\circ \neq \emptyset}{\Longrightarrow} (X_j^\circ \cap X_i)\] sont triviales. Reste il reste à prouver, si $X_j^\circ \neq \emptyset$ \[\text{\struck{$X_j^\circ \cap X_i \Longrightarrow i \leq j$}}\] \[X_j^\circ \cap X_i \neq \emptyset \Longrightarrow j \leq i .\] au-dessus de $X_i$ dans la ligne biffée, l'auteur a écrit $X_i^\circ$. Mais $X_i = \bigcup_{i' \in I'(i)} X_{i'}^\circ$ est saturé pour ⌜par 3')⌝, et comme les $X_{i'}^\circ$ ($i' \in I'$) forment une partition de $|\Phi|$, […] ⌜la partition⌝ $X_j^\circ$ (pour $j \in I'$ donc) ne peut rencontrer $X_i$ que si $j \in$ $I'(i)$ $I'(i)$ i.e. $j \leq i$, cqfd.

Ainsi on a prouvé \[\text{(i)} \Longleftrightarrow \text{(iii)} \Longleftrightarrow \text{(iv)}\] on a même tenu (?) le cor. Main, dont je signale tout de suite le (dans les conditions équiv. de la prop.)

Cor. Main 2 Supposons ⌜(que $\forall i \in I$, on ait $X_i^\circ \neq \emptyset$.)⌝ Alors l'application \[i \longmapsto X_i : \varphi : I \longrightarrow \mathfrak{P}(X)\] est injective, et est ⌜est un plongement⌝ d'ensembles ordonnés : $\forall i, j \in I$, on a \[X_i \subset X_j \Longleftrightarrow i \leq j .\] Ainsi, les conditions envisagées (i) […] ⌜plus $\forall i \in I$, $X_i^\circ \neq \emptyset$,⌝ ⌜sont⌝ […] nécessaires et suff. pour que $\varphi$ […] ⌜soit⌝ une $(X_i)_{i \in I}$ […] soit une figure ensembliste indexée par l'ens. ord. $I$. ([…] […] !?)

Il reste à voir l'équivalence avec (ii).

La condition (iii b) […] que Le fait que […] $I^x$ ⌜(⌝ ait un élt. minimal ⌜($x \in |\Phi|$)⌝ équivaut à 3') revient à l'[…] : $|\Phi| = \bigcup_{i \in I} X_i^\circ$, i.e. 1'). ces dernières lignes sont barrées de plusieurs traits obliques.

49(i) $\Longrightarrow$ (ii). Il reste à prouver la formule \[X_i \cap X_j = \bigcup_{k \leq i, j} X_k\] (où $\supset$ est évidente). Mais par 3') on a \[X_i = \bigcup_{i' \leq i} X_{i'}^\circ , \qquad X_j = \bigcup_{j' \leq j} X_{j'}^\circ\] d'où \[X_i \cap X_j = \bigcup_{\substack{i' \leq i \\ j' \leq j}} X_{i'}^\circ \cap X_{j'}^\circ .\] Or par 2') on a $X_{i'}^\circ \cap X_{j'}^\circ = \emptyset$ toujours si $i' \neq j'$, d'où \[X_i \cap X_j = \bigcup_{k \leq i, j} X_k^\circ \subset \bigcup_{k \leq i, j} X_k \qquad \text{cqfd}\]

(ii) $\Longrightarrow$ (i). Cela résulte du

Lemme Conditions Supposons qu'on ait, $\forall i, j \in I$ \[X_i \cap X_j = \bigcup_{k \leq i, j} X_k .\] Alors on a les propriétés : Si de plus $\bigcup_{i \in I} X_i^\circ = |\Phi|$ on a […]

2')$\forall i, j \in I$, $i \neq j$ […] : $X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset$
3')$\forall i \in I$ : $X_i = \bigcup_{j \leq i} X_j^\circ$

la condition 3') est barrée d'un trait qui coupe aussi la fin de 2') ; seul 2') est démontré ensuite.

Prouvons 2') : on a \[X_i^\circ \cap X_j^\circ \subset X_i \cap X_j = \bigcup_{k \leq i, j} X_k\] si $i \neq j$, et et les éléments $k$, tous $k \leq i, j$ ⌜sont⌝ ou bien $< i$, ou bien $< j$ (vu que les deux égalités $k = i$ et $k = j$ s'excluent) donc ($k$ […] $X_k \subset \partial X_i$ ou $X_k \subset \partial X_j$, donc \[i \neq j \Longrightarrow X_i \cap X_j \subset \partial X_i \cup \partial X_j \subset \complement (X_i^\circ \cap X_j^\circ)\] donc $X_i^\circ \cap X_j^\circ \subset \complement X_i^\circ \cap X_j^\circ$ d'où $X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset$ ⌜(ou bien moins $\supset$, il faut aussi $\subset$.)⌝

Prouvons 3'). (Soit $x \in X_i$, par hyp. $\exists\, j \in I$ tel que $x \in X_j^\circ$, tout revient à voir que $X_j^\circ \subset X_i$ la phrase se poursuit p. 50.

50i.e. la susdite implication \[X_j^\circ \cap X_i \neq \emptyset \Longrightarrow j \leq i .\] Mais on a \[X_j^\circ \cap X_i \subset X_j \cap X_i = \bigcup_{k \leq i, j} X_k\] et si on n'avait pas $j \leq i$, on ne trouverait dans la réunion des derniers membres aucun $k = j$, donc cette réunion est $\subset \bigcup_{k < j} X_k = \partial X_j \subset \complement X_j^\circ$ ⌜$\complement (X_j^\circ \cap X_i)$ donc⌝ : $X_j^\circ \cap X_i$ est contenu dans son complémentaire, ce qui contredit l'hyp. que c'est vide. lire sans doute « non vide » ; l'hypothèse est $X_j^\circ \cap X_i \neq \emptyset$.

La prop. est prouvée.

Cor. Main 3 Pour que $(X_i)_{i \in I}$ soit une figure ensembliste indexée par l'ens. ordonné $I$ (cf Cor. 2), il faut et il suffit qu'on ait les conditions suivantes

a)$\forall i, j \in I$ avec $i \leq j$, on a $X_i \subset X_j$ $X_i^\circ \neq \emptyset$, $i \neq j \Leftrightarrow$ […] $i \neq j$ ⌜$X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset$⌝
b)$\forall i, j \in I$, on a […] […] $\Phi_i \subset \mathfrak{P}(X)$
c)$\forall i \in I$, si on désigne par $\Phi_i$ … l'ens. des parties de $X$ de la forme $X_j$, $j \leq i$, $\Phi_i$ est une figure ensembliste.

l'ordre des lignes b) et c) est incertain : les lettres sont surchargées et la ligne b) semble se fondre dans c). NB b) équivaut à […] […] $X_i^\circ \neq \emptyset$, $X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset$ … b') $\forall i \in I$, b'') $\forall i, j$, $i \neq j$) NB La condition b) […] implique déjà $\bigcup X_i^\circ$ […]

On trouve $\Phi_i$ est une figure « quasi-ordonnée », et moins encore, (Il suffit = qu'elle soit ([…] […] $\forall i$ que tout $x \in X_i$, ⌜dans l'ens. des $X_j$ ($j \leq i$) qui le contiennent, il y ait un élément minimal⌝ […] qu'il $X_i$ […] i.e. $I$ […] $F$ !!) […] conditions […] ; prouvons $3'$) que $X_i = \bigcup_{j \leq i} X_j^\circ$ ([…] […] […] 2'), […] 2') $= b''$).

a) b) implique […] $\forall i, j \in I$, […] $X_i \subset X_j \Longleftrightarrow i \leq j$ ($\Leftarrow$ est contenu par a))

Ce qui implique 2') et 3') donc (i).

Donc, $\forall i \in I$, $X_i^\circ =$ intérieur […] de $X_i$ dans $\Phi_i$ $= X_i \smallsetminus \bigcup_{j \leq i,\ X_j \neq X_i} X_j$ le bas de la page est barré de longs traits obliques.

51Fixons un $i \in I$. Pour tout $j \leq i$, posons \[X_j^{\circ\prime} = \text{cellule ouverte de } X_j \text{ dans } \Phi_i = X_j \smallsetminus \bigcup_{\substack{j' \leq i \\ \text{t.q. } X_{j'} \subsetneq X_j}} X_{j'}\] NB dans la somme, on ne suppose pas $j' \leq j$ ⌜Je dis que⌝ cette somme comporte plus de termes que la somme analogue qui figure dans la déf. de \[X_j^\circ = X_j \smallsetminus \bigcup_{j' < j} X_{j'} ,\] i.e. que \[j' < j \Longrightarrow X_{j'} \subsetneq X_j .\] En effet, on […] $X_j$ $X_{j'} \subset \partial X_j$, donc $X_j \smallsetminus X_{j'} \supset X_j \smallsetminus \partial X_j = X_j^\circ$, comme […] donc on conclut que bien $X_j \smallsetminus X_{j'} \neq \emptyset$ i.e. $X_j^\circ \neq \emptyset$ par hyp. on conclut $X_{j'} \neq X_j$.

On a donc prouvé par là-même \[X_j^{\circ\prime} \subset X_j^\circ\] donc $\bigcup X_j^{\circ\prime} = X_i$ […] $\bigcup X_j^\circ = X_i$, cqfd. (« figure ») ⌜(par la cellule :)⌝. Or Mais Mais par hyp. […] l'une (des $X_j^{\circ\prime}$) recouvre ⌜tout⌝ donc \[\bigcup_{j \leq i} X_j^{\circ\prime} \subset \bigcup_{j \leq i} X_j^\circ \subset X_i\] avec égalité des deux extrémités. Comme les $X_j^\circ$ sont $\neq \emptyset$ et deux à deux disjoints, cela implique que \[X_j^{\circ\prime} = X_j^\circ :\] les cellules ouvertes sont les $X_j^\circ$. ⌜En même⌝ En même temps, […] […] que ⌜temps,⌝ si $j, k \leq i$, je dis que $j \neq k \Rightarrow$

Soient $i, j \in I$ tels que $X_i \subset X_j$, prouvons $i \leq j$. Soit $x \in X_i^\circ$ ($X_i^\circ \neq \emptyset$ par b')) toute la seconde moitié de la page, depuis « On a donc prouvé », est barrée de longs traits obliques ; la fin, en particulier, est entourée et biffée.

52par […] $\exists\, j' \leq j$ avec $x \in X_{j'}^{\circ\prime}$, a fortiori $x \in X_{j'}^\circ$. Donc $X_i^\circ \cap X_{j'}^\circ \neq \emptyset$, d'où par b''), on a $i = j'$, d'où $i \leq j$, cqfd. ces trois lignes, suite de la page précédente, sont barrées de traits obliques.

Exemple Voici un exemple où on a 1' et 2', et en plus tous les $X_i^\circ \neq \emptyset$, sans avoir 3') (indexations respectant la relation d'inclusion $i \leq j \Rightarrow X_i \subset X_j$). Soit $X =$ $A_0 \supset A_1 \supset \cdots \supset A_n \supset \cdots$ une suite strictement décroissante d'ens. dans $X$, avec \[\text{\struck{$A_\infty$}}\ N = \bigcap A_n \neq \emptyset .\] $B = A_n$ Soit $A_\infty \subset X$ avec $A_\infty \cap A_0 = N$, $A_\infty \not\subset A_0$ i.e. $N \neq A_\infty$. On prend $I \subset \mathfrak{P}(X)$ défini comme ⌜$I \smallsetminus \{\infty\}$⌝ l'ens. […] […] ordonné par inclusion, mais $\infty$ est un « pt isolé ». On a \[A_i^\circ = A_i \smallsetminus A_{i+1} \neq \emptyset \quad \text{si } i \neq \infty\] \[A_\infty^\circ = A_\infty \neq \emptyset .\] […] Les $A_i^\circ$ ($i \in I$) sont mutuellement disjoints non vides, leur réunion est $A_0 \cup A_\infty$ ($= |\Phi|$). Mais un $A_i$ ($i \neq \infty$) n'est pas réunion des $A_j^\circ$ avec $A_j \subset A_i$ (il manque $N$ !), il n'est pas saturé par la relation d'équivalence définie par les $A_j^\circ$ ($j \in I$). D'autre part, ⌜Un⌝ $x \in N$ n'est pas contenu dans un plus petit élément de $\Phi'$ ⌜($= N$)⌝. On a $A_\infty^\circ \cap A_i \neq \emptyset$ ⌜$\overset{\shortparallel}{A_\infty \cap A_i}$⌝, sans pour autant avoir $A_\infty^\circ \subset A_i$ […] bien $A_\infty^\circ \subset A_i$.

Ici la condition (iv $\beta$) n'est pas satisfaite ([…] des $A_i$), alors que $\alpha$, $\gamma$) le sont.

Question : si on suppose, \[\left\{ \begin{array}{l} \forall i \quad X_i^\circ \neq \emptyset \\ \forall i \neq j \quad X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset \\ \text{\struck{$\bigcup X_i^\circ = |\Phi|$}} \end{array} \right.\] $+$ la saturation des dits $X_i$, \[X_i = \bigcup_{j \text{ t.q. } X_j^\circ \subset X_i} X_j\]

53a-t-on $\gamma$) i.e. savoir que \[X_j^\circ \subset X_i \Longrightarrow j \leq i\] dans tous ? Du moins si l'indexation on suppose \[X_j \subset X_i \Longrightarrow j \leq i\] (« indexations respectant les inclusions ») i.e. \[X_j^\circ \subset X_i \Longrightarrow \text{\struck{$j \leq$}}\ X_j \subset X_i \ ?\] Voici un autre contre-exemple, moins idiot. Supposons qu'on ait deux familles str. décroissantes, $(A_i)$ comme dessus et $B_0 \supset B_1 \supset \cdots B_n \supset \cdots$ Supposons $A_0 \cap B_0 = \bigcap A_i = \bigcap B_i$, soit $N$ et prenons $\Phi = \{ A_i, B_j \}$. On ⌜$A_i$⌝ ce premier essai est barré de longs traits obliques ; l'auteur reprend avec la seule famille $(A_i)$.

Reprenons⌜ :⌝ la famille un dernier ensemble \[A = A_\infty - N\] i.e. prenons \[\Phi = \{ (A_i), A_\infty, A \}\] on trouve \[A_i^\circ = A_i - A_{i-1} , \qquad A_\infty^\circ = N , \qquad A^\circ = A\] la page porte $A_i - A_{i-1}$ ; à la p. 52 c'était $A_i \smallsetminus A_{i+1}$ ; la suite étant décroissante, on attendrait $i+1$. tous ces ens. sont $\neq \emptyset$ et mutuellement disjoints, réunion est $|\Phi| = A_0 \cup A_\infty = A_0 \amalg A$. On a ici $A_\infty^\circ \subset A_i$ pour $i \neq \circ$sic, sans doute $i \neq \infty$., alors que $A_\infty \not\subset A_i$.

Homomorphismes d'ateliers

titre de l'auteur, souligné, p. 54 ; au-dessus, entre « Homomorphismes » et « d'ateliers », il insère « de magasins et ».

54Soient

Ex 1 Soit $f : \mathcal{L}' \to \mathcal{L}$ une application ensembliste, on va en déduire une application canonique \[f^* : \mathrm{Figures}(\mathcal{L}) \longrightarrow \mathrm{Figures}(\mathcal{L}') .\] Pour toute figure ⌜une $\Phi$⌝ dans $\mathcal{L}$, on pose \[\text{(1)} \qquad f^*(\Phi) = \{ f^{-1}(A) \mid A \in \Phi,\ f^{-1}(A^\circ) \neq \emptyset \}\] \[\text{i.e. } A^\circ \cap \mathcal{L}_0 \neq \emptyset, \quad \text{où } \mathcal{L}_0 = f(\mathcal{L}')\] On peut considérer $f^*$ comme un composé de deux ⌜trois⌝ applications ; l'une \[A \longmapsto \text{\struck{$A$}}\ F_{\mathcal{L}_0} \cdot A\] $F_{\mathcal{L}_0} = \{\mathcal{L}_0\}$, figure réduite à la seule strate $\{\mathcal{L}_0\}$ si $\mathcal{L}_0 \neq \emptyset$ i.e. $\mathcal{L}' \neq \emptyset$, sinon $F_{\mathcal{L}_0} = \emptyset$ va de \[\mathrm{Figures}(\mathcal{L}) \longrightarrow \mathrm{Figures}(\mathcal{L})_{\mathcal{L}_0} ,\] ce dernier ens. désignant le sous-ens. des premières formé des figures ayant support dans $\mathcal{L}_0$. On a d'autre part ([…]) \[\mathrm{Figures}_{\mathcal{L}_0}(\mathcal{L}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Figures}(\mathcal{L}_0)\] et enfin \[f_0^* : \mathrm{Figures}(\mathcal{L}_0) \longrightarrow \mathrm{Figures}(\mathcal{L}') ,\] où cette fois, vu que $f$ est surjectif, on peut poser simplement \[\text{(2)} \qquad f_0^*(\Phi_0) = \{ f^{-1}(A) \mid A \in \Phi_0 \} ,\] la condition $f_0^{-1}(A^\circ) \neq \emptyset$ étant automatique la phrase se poursuit p. 55. […] l'ens. […] cas […] cas ([…]) […] : $\mathrm{Figures}(\mathcal{L}) \to \mathrm{Figures}$ […] […] […] […] […] … $f_0$ […] l'appl. ([…]) […] $\mathcal{L}' \to \mathcal{L}_0$

55pour tout $A \in \Phi_0$.

L'application ([…]) peut être vue comme un « passage au quotient », obtenu en posant dans $\mathrm{Fig}(\mathcal{L})$ formellement « $X = \emptyset$ » pour toute multistructure $X$ telle que \[X^\circ \cap \mathcal{L}_0 = \emptyset \quad \text{i.e.} \quad F_{\mathcal{L}_0} \mathbin{|{\circ}|} X\] Il y a deux […], une (en […] attention, on conserve les sous-strates $Y$ pour lesquelles $Y^\circ \cap \mathcal{L}_0 \neq \emptyset$). Il y On devine que de façon générale, un tel passage au quotient revient à se donner, dans un magasin $M$, une partie qui soit $|{\circ}|$-fermée, ou un « $|{\circ}|$ »-support, dont les éléments seront « négligés » : $\circ$. Si on néglige $X$, on ne néglige pas pour autant toutes ses strates, mais du moins toutes les $Y$ telles que $Y \mathring{\ll} X$ (moralement, telles que $Y^\circ \subset X^\circ$) NB

L'application L'application ([…]) est un isomorphisme, inverse de \[\mathrm{Figures}_{\mathcal{L}_0}(\mathcal{L}_0) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Figures}(\mathcal{L})_{\mathcal{L}_0} \hookrightarrow \mathrm{Figures}(\mathcal{L}) ,\] et le composé \[i_* : \mathrm{Figures}(\mathcal{L}_0) \longrightarrow \mathrm{Figures}(\mathcal{L})\] est […] « plongement », d'image $\mathrm{Figures}(\mathcal{L})_{\mathcal{L}_0}$.

56Il a l'air d'avoir les propriétés similaires de celles de $f_0^*$ (qui est elle aussi un plongement) avec une différence importante. Dans les ateliers considérés, il y a un plus petit élément $F_{\mathcal{L}}$, $F_{\mathcal{L}'}$, $F_{\mathcal{L}_0}$. Dans les cas ⌜$f^*$ (1), $f_0^*$ (ou $i_0^*$)⌝ ([…]) et ([…]), […] (cas d'une application « surjective ») l'élément unité est transformé en itou, mais pas dans le cas d'une application « non surjective » par une inclusion. Du pt de vue supports, on devine que la différence cruciale, c'est que dans le cas $\varphi^*$, le support […] total est transformé en itou, mais pas dans le cas $\varphi_*$. Et encore : $\varphi^*$ commute (sur les supports) au passage au complémentaire, et $\varphi_*$ pas.

Notons que dans le cas d'une inclusion $\varphi = i : \mathcal{L}_0 \hookrightarrow \mathcal{L}$, ⌜$i$⌝ on a vu à la fois avec $i^*$, et avec $i_*$, on a \[i^* i_* = \mathrm{id}_{\mathcal{F}_0} , \qquad \text{\struck{$i_* i^*$}}\ i_* i^*(X) = i_*(\mathbb{1}) \cdot X , \qquad \text{plus généralement}\] \[i_*(X') \cdot Y = i_*(X' \cdot i^*(Y)) \qquad \text{(formule de projection)}\] le facteur $i_*(\mathbb{1})$ est lu sur une surcharge. À la fois les $\varphi^*$ et les $\varphi_*$ commutent aux $\mathrm{Sup}^s$ quelconques (y inclus $\varphi^*(\emptyset) = \emptyset$) et $\varphi_*$ aux $\mathrm{Inf}^s$ de familles non vides.

57Il y a une difficulté avec $f^*$, i.e. (qui ne se présente pas pour $f_0^*$, $i_*$) : il est bien vrai que si $X$, $Y$ sont des multistructures, $X'$, $Y'$ leurs images, on a \[X \mathring{\ll} Y \Longrightarrow X' \mathring{\ll} Y'\] mais pas \[X \leq Y \Longrightarrow X' \leq Y' \quad \text{ou seulement } X' \ll Y'\] puisqu'il peut arriver que $Y' = \emptyset$, $X' \neq \emptyset$ ! Cela montre donc que les images ⌜applications⌝ « inverses » $f^*$, celles qui ne sont pas des « plongements » pour $f$ non surjectif, […] doivent être traitées avec mais qui impliquent un peu des passages au quotient, doivent être traitées avec ⌜soin⌝ attention. Elles ne sont pas justiciables d'une notion pour-bonhomme de « morphismes » de magasins ou d'ateliers, où on aurait \[X \mathring{\ll} Y \Longrightarrow X' \mathring{\ll} Y' \quad \text{mais aussi}\] \[X \leq Y \Longrightarrow X' \leq Y' \quad \text{donc aussi}\] \[X \ll Y \Longrightarrow X' \ll Y'\] Mais dans tous les cas, morphismes ou non, pourtant \[X \mathbin{|{\circ}|} Y \Longrightarrow X' \mathbin{|{\circ}|} Y' .\] « pour-bonhomme » est lu tel quel ; le mot est incertain.

58Le point délicat ici, est apparemment dans la notion de passage au quotient, plus […] […] contraction qui nous fait sortir de la notion d'homomorphismes pousse-bouton.

Dans tous ces exemples, une multistructure était transformée en itou (cas de ⌜$f^*$ pour⌝ $f$ surjectif, ou de $i_*$), ou bien en itou ou $\emptyset$ (cas de $f^*$ en général). Il y a des cas qui s'apparentent aux « plongements » d'un atelier dans un autre, où multistructure n'est […] pas transformée en itou :

Exemple 2 Soient $\mathcal{L}$, $\mathcal{L}'$ deux ens., $\mathcal{L}' \neq \emptyset$ considérons $F' \in \mathrm{Figures}(\mathcal{L}')$, ⌜$F' \neq \emptyset$,⌝ et \[\mathrm{Fig}(\mathcal{L}) \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L} \times \mathcal{L}')\] \[F \longmapsto F \times F' = \mathrm{pr}_1^*(F) \cdot \mathrm{pr}_2^*(F')\] C'est le composé d'un $\mathrm{pr}_1^*$ (par déf. régulier, $\mathrm{pr}_1$ surjectif), et d'une application interne à $\mathrm{Fig}(\mathcal{L} \times \mathcal{L}')$, savoir la \[\Phi \longmapsto \Phi \cdot F \qquad (\text{où } F = \mathrm{pr}_2^*(F')) .\] C'est là un autre exemple d'une application qui (si $\mathrm{supp}\,F$ est tout […]) a […] […] […] […] les […] multistructures […] […] les deux dernières lignes, serrées au bas de la feuille avec des ajouts interlinéaires, ne se lisent que par fragments.

59Exemple 3 Passage d'un atelier à un sous-atelier, ou d'un magasin ⌜$M$⌝ à un sous-magasin ⌜$M'$⌝, dans l'esprit de restreindre le type de multistructures envisagées (par des propriétés de type connexité ou irréductibilité, régularité, être des « boules » ou des « simplexes » [dans un sens plus ou moins fort]) mais qui restent assez nombreuses pour « ⌜pouvoir⌝ résumer $M$ » — notamment une des […] ⌜$M'$⌝ subdivisions arbitraires.

Dans un tel cas, sûrement on s'attendra que pour le plongement $M' \to M$, toutes les structures \[\leq ,\quad \mathring{\ll} ,\quad \mathbin{|{\circ}|} \quad /\!/ \quad \text{\struck{$\ll$}} ,\quad \|\] la ligne porte, après $\mathbin{|{\circ}|}$, deux traits obliques puis un $\ll$ barré et deux traits verticaux. soient conservées, à l'exception toutefois de $\mathring{\ll}$ qui serait remplacé par $\mathring{\ll}_{\mathrm{pol}}$, et par conséquent $\ll$ par $\ll_{\mathrm{pol}}$ $\ll_{\mathrm{rel}}$. l'indice « pol » est lu deux fois ; sous le dernier $\ll$, biffé, un indice que nous lisons « rel ». Donc on est ici dans le cas d'une notion d'homomorphisme de magasins, qui est un plongement — donc pas de difficultés du type de celles évoquées avec les exemples 1.

60Cela nous conduit au passage avec la question de la stabilité des ⌜(des magasins)⌝ axiomes, par passage : à un sous-magasin (d'axiomatique, pour un atelier associé au magasin, un sous-atelier correspondant).

Soit donc $(M, \leq, \mathring{\ll}, \mathbin{|{\circ}|})$ un magasin, $M'$ un sous-ens., que je munis des relations induites. Je suppose

a)$M'$ fermé dans $M$, $\leq$ i.e. le membre des dessus ! $\mathrm{Mag}\,1^*$ (trivial, p. 22), $\mathrm{Mag}\,2^*$ a) b) aussi⌜, grâce à a)⌝. Mais on voudrait que $\ll_{M'}$ soit $\ll_M \mid M'$, ce qui amène à poser
b)Si $X \mathring{\ll} Y' \leq Y$, alors $X, Y \in M' \Rightarrow Y' \in M'$

$\mathrm{Mag}\,3$ trivial, $\mathrm{Mag}\,4$ aussi. Notons aussi que \[\|_{M'} = \|_M \mid M' , \qquad \ll_{M'} = \ll_M \mid M .\] Tout marche ! « p. 22 » renvoie à la pagination de l'auteur, hors de ce lot. Dans la dernière formule le second $\ll$ porte une barre, et la restriction est écrite $\mid M$ (sic) ; on attendrait $\mid M'$. L'étude du sous-magasin se poursuit après la fin du lot.