Fonds Grothendieck, cote n° 156-8, pages 41–60

Fonction support

p. 33 de l'auteur ; sa pagination court sans interruption de 33 à 52 sur ce lot. J'en viens maintenant à la question d'une fonction genre « support » X \longmapsto |X| \qquad M \longrightarrow \mathfrak{P}(P), où P est un ensemble (dont les éléments jouent le rôle de « points »). Voici le minimum auquel je songe immédiatement (comparer CF VII, p. 73)lecture de « CF » douteuse ; peut-être « Ch » (chapitre). Même sigle p. 46. :

On veut |A| = \bigcup_{X\in A} |X| M'

(i)X \ll Y \Longrightarrow |X| \subset |Y| concerne \ll ~~(ii)~~\big[ (ii) \forall X \in M, |X|^\circ \overset{\text{déf}}{=} |X| \smallsetminus |\partial X| \neq \emptyset \big] concerne \leq ~~(est impliqué par (iii))~~ (iii)\forall X, Y \in M, X \mathbin{|{\circ}|} Y \Longleftrightarrow |X|^\circ \cap |Y|^\circ = \emptyset concerne |{\circ}| (iv)(Pour normaliser X) |M| = P, et les |X|^\circ séparent les points de X,

la condition (ii) est enfermée par l'auteur entre crochets ; un premier début de ligne, ~~(ii) \forall X~~ , est biffé.

NB La condition (i) signifie : dire que X \mapsto |X| est croissante pour \ll, ou encore, pour \mathring{\ll} et \leq. Si les |X| séparent les points de Xle X est entouré., en est-il de même des |X|^\circ ? Soient x \in |X|, y \notin |X|. On voudrait trouver Y \leq X avec x \in |Y|^\circ, bien mieux encore y \notin |Y|^\circ puisque |Y|^\circ \subset |Y| \subset |X|. Donc la question est de savoir si \exists\, Y \in \tilde{X} avec x \in |Y|^\circ. Donc on est amené à renforcer (ii) en

(ii bis)\forall X \in M, la famille des |Y|, Y \in \tilde{X}, forme une figure ens. ~~dans~~ (élémentaire) dans P, indexée par \tilde{X}, de support |X|.

~~Cela signifie jusqu'à~~ Les sorts déjà ( de (ii bis)) que \tilde{X} \to \mathfrak{P}(P), Y \mapsto |Y| est injective, car si Y, Y' \in \tilde{X} avec Y \neq Y', on a Y \mathbin{|{\circ}|} Y' (ii) dès que Y \neq Y', donc par (iii) |Y|^\circ \cap |Y'|^\circ = \emptyset, donc par ~~on sait Je dis que~~la phrase reste en suspens au bas de la page.

A-t-on inversement, pour Y, Z \in \tilde{X}, |Y| \subset |Z| \Longrightarrow Y \leq Z \quad ?? Ça ne semble pas conséquence de (i)(ii)(iii)(iv), ~~À moins. Cela L'est~~. Est-il impliqué par (ii bis) ?? ~~J'explicite~~ À vrai dire, j'ai sous-entendu en y disant « indexé par \tilde{X} » comme un ens. ordonné (je présume) — mais peut-on le prouver ? ~~Soit L = \tilde{Y} \cap \tilde{Z}~~ Ce qui est sûr, c'est que j'aurai besoin de savoir que, pour Y \in \tilde{X}, |Y|^\circ est aussi l'ens. ~~des~~ que, défini en termes de la figure ens. indexée par \tilde{X}, i.e. que |Y|^\circ \overset{?}{=} |Y| \smallsetminus \bigcup_{\substack{Z \in \tilde{X} \text{ tel que}\\ |Z| \subsetneq |Y|}} |Z| \overset{\text{déf}}{=} |Y|^{\circ\prime} mais dans la \bigcup, il y a a priori peut-être plus des Z que ~~ceux~~ les seuls Z < Y, donc le risque d'être plus petit (forcément égal ?) que le ~~précédent~~. Mais (ii bis) ( définition) que les |Y|^{\circ\prime} recouvrent déjà |X| (et sont non vides). A fortiori les |Y|^\circ recouvrent ~~donc~~. Mais on sait qu'ils sont deux à deux disjoints par (iii) — d'où finalement l'égalité |Y|^\circ = |Y|^{\circ\prime}, et la relation |X| = \bigcup_{Y \in \tilde{X}} |Y|^\circ . Revenons donc à la question si |Y| \subset |Z| \Longrightarrow Y \leq Z , introduisons \tilde{Y} \cap \tilde{Z} = L, \tilde{Y} \cup \tilde{Z} = M.

\text{\struck{$|Y| = \coprod_{Z \in \tilde{Y}} |Z|^\circ = \bigcup_{Z \in L}$}} Comme les |Z|^\circ (Z \in M) sont non vides et deux à deux disjoints, et et on adans les réunions qui suivent, l'indice muet est écrit avec un Z barré, que nous rendons par Z ; le |Z| de gauche de la deuxième ligne est le Z fixé. ici on utilise (ii bis) non seulement pour X, mais aussi pour Y et Z |Y| = \bigcup_{Z \in \tilde{Y}} |Z|^\circ = \Big(\bigcup_{Z \in L} |Z|^\circ\Big) \cup \Big(\bigcup_{Z \in \tilde{Y} \smallsetminus L} |Z|^\circ\Big) ~~|Z| =~~ et de même |Z| = \Big(\bigcup_{Z \in L} |Z|^\circ\Big) \cup \Big(\bigcup_{Z \in \tilde{Z} \smallsetminus L} |T|^\circ\Big) le dernier terme porte bien |T|^\circ sur la page. d'où |Y| \cap |Z| = \bigcup_{Z \in L} |Z|^\circ , et on voit égal à |Y| i.e. |Y| \subset |Z|, que si la \bigcup_{Z \in \tilde{Y} \smallsetminus L} |Z|^\circ \neq \emptyset on attendrait « = \emptyset » ; nous lisons « \neq ». i.e. \tilde{Y} \smallsetminus L = \emptyset, i.e. Y \leq Z, on gagne ! Ainsi, on a (pour X et les Y \in \tilde{X}) que (ii bis) (implique)

(ii ter)\displaystyle |X| = \bigcup_{Y \in \tilde{X}} |Y|^\circ sous la réunion l'auteur a d'abord écrit |X|^\circ, puis entouré le X et l'a corrigé en Y par une flèche.

( c'est une partition indexée par \tilde{X}, par (ii) et (iii), impliquant que Y \neq Z (Y, Z \in \tilde{X}) \Rightarrow |Y|^\circ \cap |Z|^\circ = \emptyset donc |Y|^\circ \neq |Z|^\circ (puisque |Y|^\circ \neq \emptyset par (ii)))

Inversement, si on suppose (ii ter), a-t-on (ii bis) ? ~~Voyons CF V p. 1~~ ~~Prop. 1 condition 3° (\alpha, \beta, \gamma). La~~ \gamma ~~déjà vu la ici, et en celui déduit de la~~ avec (i) les |X|^\circ \neq \emptyset (NB l'identité des |X|^\circ défini ici, et de celui défini par la famille des |Y| (Y \in \tilde{X}) est vraie (cf deux lignes plus haut) …) et (ii) \forall x \in |X|, \exists un plus petit Y \in \tilde{X} avec x \in |Y|^\circ. Que la relation d'ordre de \tilde{X} soit celle induite par l'inclusion dans \mathfrak{P}(P), on l'a vu par l'argument passage très raturé : un premier énoncé biffé, puis un « NB » encadré entre deux traits ; la lecture ci-dessus en donne la suite des idées, non l'ordre exact des ajouts.

précédent, qui a utilisé seulement le fait que les |Y| sont les réunions disjointes des |Z|^\circ pour Z \in \tilde{Y}.) ~~Soit donc x. Comme Il faut~~ Soit donc Y \in \tilde{X} avec x \in |Y|^\circ. Prouvons que Y est le plus petit él. de \tilde{X} tel que x \in |Z|, i.e. x \in |Y|^\circ,\ x \in |Z| \Longrightarrow Y \leq Z . Cela se voit toujours par le même argument que tantôt : puisque donc ici Y \in \tilde{Z} donc Y \leq Z.

Dans ~~tous~~ ces cas, la relation \ll n'a pas joué de rôle, on a travaillé dans l'ens. ordonné . Donc il faut expliciter la

de « Donc il faut » jusqu'au bas de la page, le texte est barré d'un long trait oblique ; nous le donnons tel qu'il se lit sous la rature.

~~Lemme Soit I un ens. ordonné, P un ens.,~~ \text{\struck{$\varphi : I \longrightarrow \mathfrak{P}(P), \quad i \longmapsto X_i \text{ ou } |i|$}} ~~une application, ~~qui soit~~ satisfaisant les conditions (on a posé X_i^\circ = X_i \smallsetminus \bigcup_{j<i} X_j)~~

(i)~~croissante : i \leq j \Rightarrow X_i \subset X_j~~ (ii)~~\forall i, j, i \neq j \Longrightarrow X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset, puis on demande que \forall i X_i^\circ \neq \emptyset~~

(ii) a d'abord été écrit « \forall i,j \in I, i \neq j \Longleftrightarrow |X_i|^\circ \cap |X_j|^\circ = \emptyset », puis corrigé en surcharge. ~~(Alors \varphi est injective). Alors les conditions suivantes sont équivalentes~~

(iii)~~~~L'image de~~ \varphi(I) = I' \subset \mathfrak{P}(P) est une figure ensembliste dans P, et \forall i il en est de même de l'image de I_{\leq i} ou I_{<i}~~ (iii bis)~~\forall i, X_i = \bigcup_{j \leq i} X_j^\circ~~

~~Les conditions impliquent que \varphi induit un isom. d'ens. ordonnés I \xrightarrow{\sim} \tilde{I}~~

Figures indexées

Je vais reprendre ici la prop. 1 p. 1 de CF V, dans un contexte « indiciel » qui sera, en fait, un peu plus général.

Proposition Soient I un ens. ordonné, X un ensemble (c.-à-d. ce qui désignait P dans les pages précédentes), \Phi = (X_i)_{i \in I} une famille d'ens. indexée par I. On pose, \forall i \in I On suppose i \leq j \Rightarrow X_i \subset X_j [je ne suppose , mais pour définir X_i^\circ = X_i \smallsetminus \partial X_i \partial X_i \subset X_i) \begin{align*} \partial X_i &= \bigcup_{j<i} X_j \;\subset X_i \\ X_i^\circ &= X_i \smallsetminus \partial X_i \\ |\Phi| &= \bigcup_{i \in I} X_i . \end{align*} On note que \forall x \in X, ~~i \in I~~, si on pose I^x = \{ i \in I \mid x \in X_i \} on a l'équivalence x \in X_i^\circ \Longleftrightarrow i \text{ est un élément minimal de } I^x . Conditions équivalentes

(i)\forall x \in |\Phi|, l'ensemble I^x a un plus petit élément. (ii)~~Pour~~ tout x \in |\Phi|, l'ensemble I^x a un élément minimal, (automat. si I fini) et de plus pour i, j \in I, on a X_i \cap X_j = \bigcup_{k \leq i, j} X_k . (iii)On a les conditions suivantes a)\forall i, j \in I avec i \neq j, on a X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset b) \forall i \in I, on a X_i = \bigcup_{j \leq i} X_j^\circ \qquad \text{(automat. si $I$ fini)} (iv)Posant ~~(cas NB a) et b) impliquent que la famille pour~~ I' = \{ i \in I \mid X_i^\circ \neq \emptyset \} , on a : ~~alors la famille des~~ \alpha)La famille \{X_i^\circ\}_{i \in I'} forme une partition de |\Phi|,

la condition (iv) se poursuit p. 46.

Question : \beta) et \gamma) conséquences de \alpha) ? Oui si I fini, cf p. 44, mais exemple \alpha) et \gamma) , mais \beta) ? Non, \beta) conséquence

\beta)Pour tout i \in I, X_i est saturé par la relation ~~d'équivalence~~ d'équivalence définie par cette partition. \gamma)Pour i, j \in I, ~~avec X_j^\circ \neq 0, la relation~~ et X_j^\circ \neq \emptyset on a X_j^\circ \subset X_i \Longrightarrow j \leq i .

dans \gamma) l'indice de droite a été surchargé ; nous lisons i.

Disons la condition (i), ~~i.e. des I^x signifie~~ pour tout x \in |\Phi|, I^x ~~(qu'il~~ ait un plus petit élément), signifie (\forall x \in X) trois choses ~~trois choses~~ (dont on sait qu'il est \neq \emptyset) : évidemment 3°) \Rightarrow 1°) (car on sait I^x \neq \emptyset)

1°)I^x a un élément minimal, i, i.e. \exists\, i \in I tel que i est élt. minim. de I^x i.e. x \in X_i^\circ . 2°)Deux él. minimaux de I^x sont égaux i.e. \forall i, j \in I,\ x \in X_i^\circ \cap X_j^\circ \Longrightarrow i = j 3°)Tout élément de I^x est minoré par un élément minimal, i.e. \forall i \in I \text{ tel que } x \in X_i,\ \exists\, j \leq i \text{ tel que } x \in X_j^\circ .

C'est donc la conjonction des trois conditions : \forall x on a 1°, \forall x on a 2°, \forall x on a 3°. Cela s'écrivent

1')|\Phi| = \bigcup X_i^\circ (automat. si I fini) 2')\big[X_i^\circ \cap X_j^\circ \neq \emptyset \Rightarrow i = j i.e.\big] i \neq j \Longrightarrow X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset 3')\forall i \in I, on a X_i = \bigcup_{j \leq i} X_j^\circ (automat. si I fini)

On voit d'ailleurs, puisque |\Phi| = \bigcup_{i \in I} X_i, que 3') implique 1'). Donc la condition (i) équivaut à la conjonction de 2' et 3'), qui ne sont autres que a), b) de (iii). Ainsi \text{(i)} \Longleftrightarrow \text{(iii)} . NB 3', 3' I^x X_i^\circ \cap X_j^\circ — Question : si \forall i,j, i \neq j ? Oui si I fini, Non, cf p. 44 D'autre part, les parties \alpha), \beta), \gamma) de (iv) se traduisent respectivement en :

1'')|\Phi| = \bigcup_{i \in I'} X_i^\circ (équivalent à 1') ~~et i, j \in I'~~ ~~2'')\forall i \in I, posant I(i) =~~

et \forall i, j \in I', ~~X_i^\circ \cap X_j~~ on a X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset (équivalent à 2').

2'')\forall i \in I, posant I'(i) = \{ j \in I' \mid X_j^\circ \subset X_i \} , \text{\struck{$I(i) = \{ j \in I \mid X_j^\circ \subset X_i \}$}} ~~(on note que I'(i) = I(i) \cap I', et \bigcup_{j \in I(i)} X_j^\circ = \bigcup_{j \in I'(i)} X_j^\circ)~~, on a X_i = \bigcup_{j \in I'(i)} X_j^\circ ~~on a qui revient au même X_i = \bigcup_{j \in I'(i)} X_j^\circ, i.e. 3')~~ 3'')On a, pour tout i \in I I'(i) = I' \cap I_{\leq i} ce qui implique que \bigcup_{j \in I'(i)} X_j^\circ = \bigcup_{j \leq i} X_j^\circ

On voit donc que moyennant 3''), 2'') équivaut à ~~1'', 2'', 3'',~~ 3'). Ceci dit, l'ens. des conditions 1'', 2'', 3'' équivaut aussi à celui-ci \left\{ \begin{array}{lll} |\Phi| = \bigcup_{i \in I} X_i^\circ & & \text{i.e. (1')} \\ \forall i, j \in I & X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset & \text{i.e. (2')} \\ \forall i \in I & X_i = \bigcup_{j \leq i} X_j^\circ & \text{i.e. (3')} \\ \end{array} \right. + la condition \gamma) et X_j^\circ \neq \emptyset : \forall i, j \in I \quad X_j^\circ \subset X_i \Longrightarrow j \leq i . \qquad 3'') \Leftrightarrow \gamma) dans la deuxième ligne l'auteur omet ici l'hypothèse i \neq j. Cela montre donc que \text{(iv)} \Longleftrightarrow \text{(i)} + \gamma) et l'équivalence (iv) \Longleftrightarrow (i) revient ~~donc~~ à (i) \Longrightarrow (\gamma) qui est contenu dans le

Attention ! X_j \subset X_i conditions (avec X_j^\circ \neq \emptyset) X_i \supset X_j^\circ ( si (i) est ) \Phi !!

Cor. Main 1 Sous les conditions équivalentes (i), (iii), ~~tel que X_j^\circ \neq 0 les~~ ~~(équivalentes~~ puis on a, pour i, j \in I, ~~Conditions~~ (j \leq i) \Longleftrightarrow (X_j \subset X_i) \Longleftrightarrow (X_j^\circ \subset X_i) \Longleftrightarrow (X_j^\circ \cap X_i \neq \emptyset) les indices de cette ligne sont surchargés à plusieurs reprises ; une variante biffée au-dessus de la dernière équivalence est illisible.

(NB Dans l'énoncé de la prop., on n'a pas supposé que i \leq j \Rightarrow X_i \subset X_j ?!)

Dém. du Cor. 1 en vertu de 3') on a X_i = \bigcup_{i' \leq i} X_{i'}^\circ , \qquad X_j = \bigcup_{j' \leq j} X_{j'}^\circ donc i \leq j \Longrightarrow X_i \subset X_j \Longrightarrow \text{\struck{\ill{}}} \quad \text{(si on suppose $X_j^\circ \neq \emptyset$)} la ligne se poursuit p. 48.

D'ailleurs les implications (X_j \subset X_i) \Longrightarrow (X_j^\circ \subset X_i) \overset{\text{si } X_j^\circ \neq \emptyset}{\Longrightarrow} (X_j^\circ \cap X_i) sont triviales. Reste il reste à prouver, si X_j^\circ \neq \emptyset \text{\struck{$X_j^\circ \cap X_i \Longrightarrow i \leq j$}} X_j^\circ \cap X_i \neq \emptyset \Longrightarrow j \leq i . au-dessus de X_i dans la ligne biffée, l'auteur a écrit X_i^\circ. Mais X_i = \bigcup_{i' \in I'(i)} X_{i'}^\circ ~~est saturé pour~~ par 3'), et comme les X_{i'}^\circ (i' \in I') forment une partition de |\Phi|, la partition X_j^\circ (pour j \in I' donc) ne peut rencontrer X_i que si j \in ~~I'(i)~~ I'(i) i.e. j \leq i, cqfd.

Ainsi on a prouvé \text{(i)} \Longleftrightarrow \text{(iii)} \Longleftrightarrow \text{(iv)} on a même tenu (?) le cor. Main, dont je signale tout de suite le (dans les conditions équiv. de la prop.)

Cor. Main 2 Supposons (que \forall i \in I, on ait X_i^\circ \neq \emptyset.) Alors l'application i \longmapsto X_i : \varphi : I \longrightarrow \mathfrak{P}(X) est injective, et ~~est~~ est un plongement d'ensembles ordonnés : \forall i, j \in I, on a X_i \subset X_j \Longleftrightarrow i \leq j . Ainsi, les conditions envisagées (i) plus \forall i \in I, X_i^\circ \neq \emptyset, sont nécessaires et suff. pour que \varphi soit ~~une~~ (X_i)_{i \in I} ~~soit~~ une figure ensembliste indexée par l'ens. ord. I. ~~( !?)~~

Il reste à voir l'équivalence avec (ii).

~~La condition (iii b) que~~ ~~Le fait que I^x ( ait un élt. minimal (x \in |\Phi|) équivaut à 3') revient à l' : |\Phi| = \bigcup_{i \in I} X_i^\circ, i.e. 1').~~ ces dernières lignes sont barrées de plusieurs traits obliques.

(i) \Longrightarrow (ii). Il reste à prouver la formule X_i \cap X_j = \bigcup_{k \leq i, j} X_k (où \supset est évidente). Mais par 3') on a X_i = \bigcup_{i' \leq i} X_{i'}^\circ , \qquad X_j = \bigcup_{j' \leq j} X_{j'}^\circ d'où X_i \cap X_j = \bigcup_{\substack{i' \leq i \\ j' \leq j}} X_{i'}^\circ \cap X_{j'}^\circ . Or par 2') on a X_{i'}^\circ \cap X_{j'}^\circ = \emptyset toujours si i' \neq j', d'où X_i \cap X_j = \bigcup_{k \leq i, j} X_k^\circ \subset \bigcup_{k \leq i, j} X_k \qquad \text{cqfd}

(ii) \Longrightarrow (i). Cela résulte du

Lemme ~~Conditions~~ Supposons qu'on ait, \forall i, j \in I X_i \cap X_j = \bigcup_{k \leq i, j} X_k . Alors on a les propriétés : Si de plus \bigcup_{i \in I} X_i^\circ = |\Phi| on a

2')\forall i, j \in I, i \neq j : X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset ~~3')\forall i \in I : X_i = \bigcup_{j \leq i} X_j^\circ~~

la condition 3') est barrée d'un trait qui coupe aussi la fin de 2') ; seul 2') est démontré ensuite.

Prouvons 2') : on a X_i^\circ \cap X_j^\circ \subset X_i \cap X_j = \bigcup_{k \leq i, j} X_k si i \neq j, et et les éléments k, tous k \leq i, j sont ou bien < i, ou bien < j (vu que les deux égalités k = i et k = j s'excluent) donc (k X_k \subset \partial X_i ou X_k \subset \partial X_j, donc i \neq j \Longrightarrow X_i \cap X_j \subset \partial X_i \cup \partial X_j \subset \complement (X_i^\circ \cap X_j^\circ) donc X_i^\circ \cap X_j^\circ \subset \complement X_i^\circ \cap X_j^\circ d'où X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset (ou bien moins \supset, il faut aussi \subset.)

Prouvons 3'). (Soit x \in X_i, par hyp. \exists\, j \in I tel que x \in X_j^\circ, tout revient à voir que X_j^\circ \subset X_i la phrase se poursuit p. 50.

i.e. la susdite implication X_j^\circ \cap X_i \neq \emptyset \Longrightarrow j \leq i . Mais on a X_j^\circ \cap X_i \subset X_j \cap X_i = \bigcup_{k \leq i, j} X_k et si on n'avait pas j \leq i, on ne trouverait dans la réunion des derniers membres aucun k = j, donc cette réunion est \subset \bigcup_{k < j} X_k = \partial X_j \subset \complement X_j^\circ \complement (X_j^\circ \cap X_i) donc : X_j^\circ \cap X_i est contenu dans son complémentaire, ce qui contredit l'hyp. que c'est vide. lire sans doute « non vide » ; l'hypothèse est X_j^\circ \cap X_i \neq \emptyset.

La prop. est prouvée.

Cor. Main 3 Pour que (X_i)_{i \in I} soit une figure ensembliste indexée par l'ens. ordonné I (cf Cor. 2), il faut et il suffit qu'on ait les conditions suivantes

a)\forall i, j \in I ~~avec i \leq j, on a X_i \subset X_j~~ ~~X_i^\circ \neq \emptyset, i \neq j \Leftrightarrow i \neq j~~ X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset b)\forall i, j \in I, on a \Phi_i \subset \mathfrak{P}(X) c)\forall i \in I, si on désigne par \Phi_i … l'ens. des parties de X de la forme X_j, j \leq i, \Phi_i est une figure ensembliste.

l'ordre des lignes b) et c) est incertain : les lettres sont surchargées et la ligne b) semble se fondre dans c). NB b) équivaut à X_i^\circ \neq \emptyset, X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset … b') \forall i \in I, b'') \forall i, j, i \neq j) NB La condition b) implique déjà \bigcup X_i^\circ

~~On trouve~~ \Phi_i est une figure « quasi-ordonnée », et moins encore, ~~(Il suffit = qu'elle soit~~ ~~( \forall i~~ que ~~tout~~ x \in X_i, dans l'ens. des X_j (j \leq i) qui le contiennent, il y ait un élément minimal qu'il X_i i.e. I F !!) conditions ; prouvons 3') que X_i = \bigcup_{j \leq i} X_j^\circ ~~( 2'), 2') = b'')~~.

~~a) b) implique \forall i, j \in I,~~ ~~X_i \subset X_j \Longleftrightarrow i \leq j (\Leftarrow est contenu par a))~~

~~Ce qui implique 2') et 3') donc (i).~~

~~Donc, \forall i \in I, X_i^\circ = intérieur de X_i dans \Phi_i = X_i \smallsetminus \bigcup_{j \leq i,\ X_j \neq X_i} X_j~~ le bas de la page est barré de longs traits obliques.

Fixons un i \in I. Pour tout j \leq i, posons X_j^{\circ\prime} = \text{cellule ouverte de } X_j \text{ dans } \Phi_i = X_j \smallsetminus \bigcup_{\substack{j' \leq i \\ \text{t.q. } X_{j'} \subsetneq X_j}} X_{j'} NB dans la somme, on ne suppose pas j' \leq j Je dis que cette somme comporte plus de termes que la somme analogue qui figure dans la déf. de X_j^\circ = X_j \smallsetminus \bigcup_{j' < j} X_{j'} , i.e. que j' < j \Longrightarrow X_{j'} \subsetneq X_j . En effet, on ~~X_j~~ X_{j'} \subset \partial X_j, donc X_j \smallsetminus X_{j'} \supset X_j \smallsetminus \partial X_j = X_j^\circ, comme donc on conclut que bien X_j \smallsetminus X_{j'} \neq \emptyset i.e. X_j^\circ \neq \emptyset par hyp. on conclut X_{j'} \neq X_j.

On a donc prouvé par là-même X_j^{\circ\prime} \subset X_j^\circ donc \bigcup X_j^{\circ\prime} = X_i \bigcup X_j^\circ = X_i, cqfd. (« figure ») (par la cellule :). Or ~~Mais~~ Mais par hyp. l'une (des X_j^{\circ\prime}) recouvre tout ~~donc~~ \bigcup_{j \leq i} X_j^{\circ\prime} \subset \bigcup_{j \leq i} X_j^\circ \subset X_i avec égalité des deux extrémités. Comme les X_j^\circ sont \neq \emptyset et deux à deux disjoints, cela implique que X_j^{\circ\prime} = X_j^\circ : ~~les cellules ouvertes sont les X_j^\circ.~~ En même ~~En même temps,~~ ~~que~~ temps, si j, k \leq i, je dis que ~~j \neq k \Rightarrow~~

~~Soient i, j \in I tels que X_i \subset X_j, prouvons i \leq j. Soit x \in X_i^\circ (X_i^\circ \neq \emptyset par b'))~~ toute la seconde moitié de la page, depuis « On a donc prouvé », est barrée de longs traits obliques ; la fin, en particulier, est entourée et biffée.

~~par \exists\, j' \leq j avec x \in X_{j'}^{\circ\prime}, a fortiori x \in X_{j'}^\circ. Donc X_i^\circ \cap X_{j'}^\circ \neq \emptyset, d'où par b''), on a i = j', d'où i \leq j, cqfd.~~ ces trois lignes, suite de la page précédente, sont barrées de traits obliques.

Exemple Voici un exemple où on a 1' et 2', et en plus tous les X_i^\circ \neq \emptyset, sans avoir 3') (indexations respectant la relation d'inclusion i \leq j \Rightarrow X_i \subset X_j). Soit ~~X =~~ A_0 \supset A_1 \supset \cdots \supset A_n \supset \cdots une suite strictement décroissante d'ens. dans X, avec \text{\struck{$A_\infty$}}\ N = \bigcap A_n \neq \emptyset . ~~B = A_n~~ Soit A_\infty \subset X avec A_\infty \cap A_0 = N, A_\infty \not\subset A_0 i.e. N \neq A_\infty. On prend I \subset \mathfrak{P}(X) défini comme I \smallsetminus \{\infty\} ~~l'ens.~~ ordonné par inclusion, mais \infty est un « pt isolé ». On a A_i^\circ = A_i \smallsetminus A_{i+1} \neq \emptyset \quad \text{si } i \neq \infty A_\infty^\circ = A_\infty \neq \emptyset . Les A_i^\circ (i \in I) sont mutuellement disjoints non vides, leur réunion est A_0 \cup A_\infty (= |\Phi|). Mais un A_i (i \neq \infty) n'est pas réunion des A_j^\circ avec A_j \subset A_i (il manque N !), il n'est pas saturé par la relation d'équivalence définie par les A_j^\circ (j \in I). ~~D'autre part,~~ Un x \in N n'est pas contenu dans un plus petit élément de \Phi' (= N). On a A_\infty^\circ \cap A_i \neq \emptyset \overset{\shortparallel}{A_\infty \cap A_i}, sans pour autant avoir A_\infty^\circ \subset A_i ~~bien A_\infty^\circ \subset A_i~~.

Ici la condition (iv \beta) n'est pas satisfaite ( des A_i), alors que \alpha, \gamma) le sont.

Question : si on suppose, \left\{ \begin{array}{l} \forall i \quad X_i^\circ \neq \emptyset \\ \forall i \neq j \quad X_i^\circ \cap X_j^\circ = \emptyset \\ \text{\struck{$\bigcup X_i^\circ = |\Phi|$}} \end{array} \right. + la saturation des dits X_i, X_i = \bigcup_{j \text{ t.q. } X_j^\circ \subset X_i} X_j

a-t-on \gamma) i.e. savoir que X_j^\circ \subset X_i \Longrightarrow j \leq i dans tous ? Du moins si ~~l'indexation~~ on suppose X_j \subset X_i \Longrightarrow j \leq i (« indexations respectant les inclusions ») i.e. X_j^\circ \subset X_i \Longrightarrow \text{\struck{$j \leq$}}\ X_j \subset X_i \ ? Voici un autre contre-exemple, moins idiot. Supposons qu'on ait deux familles str. décroissantes, (A_i) comme dessus et B_0 \supset B_1 \supset \cdots B_n \supset \cdots Supposons A_0 \cap B_0 = \bigcap A_i = \bigcap B_i, soit N et prenons \Phi = \{ A_i, B_j \}. On A_i ce premier essai est barré de longs traits obliques ; l'auteur reprend avec la seule famille (A_i).

Reprenons : la famille un dernier ensemble A = A_\infty - N i.e. prenons \Phi = \{ (A_i), A_\infty, A \} on trouve A_i^\circ = A_i - A_{i-1} , \qquad A_\infty^\circ = N , \qquad A^\circ = A la page porte A_i - A_{i-1} ; à la p. 52 c'était A_i \smallsetminus A_{i+1} ; la suite étant décroissante, on attendrait i+1. tous ces ens. sont \neq \emptyset et mutuellement disjoints, réunion est |\Phi| = A_0 \cup A_\infty = A_0 \amalg A. On a ici A_\infty^\circ \subset A_i pour i \neq \circsic, sans doute i \neq \infty., alors que A_\infty \not\subset A_i.

Homomorphismes d'ateliers

titre de l'auteur, souligné, p. 54 ; au-dessus, entre « Homomorphismes » et « d'ateliers », il insère « de magasins et ».

~~Soient~~

Ex 1 Soit f : \mathcal{L}' \to \mathcal{L} une application ensembliste, on va en déduire une application canonique f^* : \mathrm{Figures}(\mathcal{L}) \longrightarrow \mathrm{Figures}(\mathcal{L}') . Pour toute figure une \Phi dans \mathcal{L}, on pose \text{(1)} \qquad f^*(\Phi) = \{ f^{-1}(A) \mid A \in \Phi,\ f^{-1}(A^\circ) \neq \emptyset \} \text{i.e. } A^\circ \cap \mathcal{L}_0 \neq \emptyset, \quad \text{où } \mathcal{L}_0 = f(\mathcal{L}') On peut considérer f^* comme un composé de ~~deux~~ trois applications ; l'une A \longmapsto \text{\struck{$A$}}\ F_{\mathcal{L}_0} \cdot A F_{\mathcal{L}_0} = \{\mathcal{L}_0\}, figure réduite à la seule strate \{\mathcal{L}_0\} si \mathcal{L}_0 \neq \emptyset i.e. \mathcal{L}' \neq \emptyset, sinon F_{\mathcal{L}_0} = \emptyset va de \mathrm{Figures}(\mathcal{L}) \longrightarrow \mathrm{Figures}(\mathcal{L})_{\mathcal{L}_0} , ce dernier ens. désignant le sous-ens. des premières formé des figures ayant support dans \mathcal{L}_0. On a d'autre part () \mathrm{Figures}_{\mathcal{L}_0}(\mathcal{L}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Figures}(\mathcal{L}_0) et enfin f_0^* : \mathrm{Figures}(\mathcal{L}_0) \longrightarrow \mathrm{Figures}(\mathcal{L}') , où cette fois, vu que f est surjectif, on peut poser simplement \text{(2)} \qquad f_0^*(\Phi_0) = \{ f^{-1}(A) \mid A \in \Phi_0 \} , la condition f_0^{-1}(A^\circ) \neq \emptyset étant automatique la phrase se poursuit p. 55. l'ens. cas cas () : \mathrm{Figures}(\mathcal{L}) \to \mathrm{Figures} … f_0 l'appl. () \mathcal{L}' \to \mathcal{L}_0

pour tout A \in \Phi_0.

L'application () peut être vue comme un « passage au quotient », obtenu en posant dans \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) formellement « X = \emptyset » pour toute multistructure X telle que X^\circ \cap \mathcal{L}_0 = \emptyset \quad \text{i.e.} \quad F_{\mathcal{L}_0} \mathbin{|{\circ}|} X ~~Il y a deux ,~~ ~~une~~ (en attention, on conserve les sous-strates Y pour lesquelles Y^\circ \cap \mathcal{L}_0 \neq \emptyset). ~~Il y~~ On devine que de façon générale, un tel passage au quotient revient à se donner, dans un magasin M, une partie qui soit |{\circ}|-fermée, ou un « |{\circ}| »-support, dont les éléments seront « négligés » : \circ. Si on néglige X, on ne néglige pas pour autant toutes ses strates, mais du moins toutes les Y telles que Y \mathring{\ll} X (moralement, telles que Y^\circ \subset X^\circ) NB

~~L'application~~ L'application () est un isomorphisme, inverse de \mathrm{Figures}_{\mathcal{L}_0}(\mathcal{L}_0) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Figures}(\mathcal{L})_{\mathcal{L}_0} \hookrightarrow \mathrm{Figures}(\mathcal{L}) , et le composé i_* : \mathrm{Figures}(\mathcal{L}_0) \longrightarrow \mathrm{Figures}(\mathcal{L}) est « plongement », d'image \mathrm{Figures}(\mathcal{L})_{\mathcal{L}_0}.

Il a l'air d'avoir les propriétés similaires de celles de f_0^* (qui est elle aussi un plongement) avec une différence importante. Dans les ateliers considérés, il y a un plus petit élément F_{\mathcal{L}}, F_{\mathcal{L}'}, F_{\mathcal{L}_0}. Dans les cas f^* (1), f_0^* (ou i_0^*) () et (), (cas d'une application « surjective ») l'élément unité est transformé en itou, mais pas dans le cas d'une application « non surjective » par une inclusion. Du pt de vue supports, on devine que la différence cruciale, c'est que dans le cas \varphi^*, le support total est transformé en itou, mais pas dans le cas \varphi_*. Et encore : \varphi^* commute (sur les supports) au passage au complémentaire, et \varphi_* pas.

Notons que dans le cas d'une inclusion \varphi = i : \mathcal{L}_0 \hookrightarrow \mathcal{L}, i on a vu à la fois avec i^*, et avec i_*, on a i^* i_* = \mathrm{id}_{\mathcal{F}_0} , \qquad \text{\struck{$i_* i^*$}}\ i_* i^*(X) = i_*(\mathbb{1}) \cdot X , \qquad \text{plus généralement} i_*(X') \cdot Y = i_*(X' \cdot i^*(Y)) \qquad \text{(formule de projection)} le facteur i_*(\mathbb{1}) est lu sur une surcharge. À la fois les \varphi^* et les \varphi_* commutent aux \mathrm{Sup}^s quelconques (y inclus \varphi^*(\emptyset) = \emptyset) et \varphi_* aux \mathrm{Inf}^s de familles non vides.

Il y a une difficulté avec f^*, i.e. (qui ne se présente pas pour f_0^*, i_*) : il est bien vrai que si X, Y sont des multistructures, X', Y' leurs images, on a X \mathring{\ll} Y \Longrightarrow X' \mathring{\ll} Y' mais pas X \leq Y \Longrightarrow X' \leq Y' \quad \text{ou seulement } X' \ll Y' puisqu'il peut arriver que Y' = \emptyset, X' \neq \emptyset ! Cela montre donc que les ~~images~~ applications « inverses » f^*, ~~celles qui ne sont pas des « plongements »~~ pour f non surjectif, ~~doivent être traitées avec~~ mais qui impliquent un peu des passages au quotient, doivent être traitées avec soin ~~attention~~. Elles ne sont pas justiciables d'une notion pour-bonhomme de « morphismes » de magasins ou d'ateliers, où on aurait X \mathring{\ll} Y \Longrightarrow X' \mathring{\ll} Y' \quad \text{mais aussi} X \leq Y \Longrightarrow X' \leq Y' \quad \text{donc aussi} X \ll Y \Longrightarrow X' \ll Y' Mais dans tous les cas, morphismes ou non, pourtant X \mathbin{|{\circ}|} Y \Longrightarrow X' \mathbin{|{\circ}|} Y' . « pour-bonhomme » est lu tel quel ; le mot est incertain.

Le point délicat ici, est apparemment dans la notion de passage au quotient, ~~plus contraction~~ qui nous fait sortir de la notion d'homomorphismes pousse-bouton.

Dans tous ces exemples, une multistructure était transformée en itou (cas de f^* pour f surjectif, ou de i_*), ou bien en itou ou \emptyset (cas de f^* en général). Il y a des cas qui s'apparentent aux « plongements » d'un atelier dans un autre, où multistructure n'est pas transformée en itou :

Exemple 2 Soient \mathcal{L}, \mathcal{L}' deux ens., \mathcal{L}' \neq \emptyset considérons F' \in \mathrm{Figures}(\mathcal{L}'), F' \neq \emptyset, et \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L} \times \mathcal{L}') F \longmapsto F \times F' = \mathrm{pr}_1^*(F) \cdot \mathrm{pr}_2^*(F') C'est le composé d'un \mathrm{pr}_1^* (par déf. régulier, \mathrm{pr}_1 surjectif), et d'une application interne à \mathrm{Fig}(\mathcal{L} \times \mathcal{L}'), savoir la \Phi \longmapsto \Phi \cdot F \qquad (\text{où } F = \mathrm{pr}_2^*(F')) . C'est là un autre exemple d'une application qui (si \mathrm{supp}\,F est tout ) a les multistructures les deux dernières lignes, serrées au bas de la feuille avec des ajouts interlinéaires, ne se lisent que par fragments.

Exemple 3 Passage d'un atelier à un sous-atelier, ou d'un magasin M à un sous-magasin M', dans l'esprit de restreindre le type de multistructures envisagées (par des propriétés de type connexité ou irréductibilité, régularité, être des « boules » ou des « simplexes » [dans un sens plus ou moins fort]) mais qui restent assez nombreuses pour « pouvoir résumer M » — notamment une des M' subdivisions arbitraires.

Dans un tel cas, sûrement on s'attendra que pour le plongement M' \to M, toutes les structures \leq ,\quad \mathring{\ll} ,\quad \mathbin{|{\circ}|} \quad /\!/ \quad \text{\struck{$\ll$}} ,\quad \| la ligne porte, après \mathbin{|{\circ}|}, deux traits obliques puis un \ll barré et deux traits verticaux. soient conservées, à l'exception toutefois de \mathring{\ll} qui serait remplacé par \mathring{\ll}_{\mathrm{pol}}, et par conséquent \ll par \ll_{\mathrm{pol}} ~~\ll_{\mathrm{rel}}~~. l'indice « pol » est lu deux fois ; sous le dernier \ll, biffé, un indice que nous lisons « rel ». Donc on est ici dans le cas d'une notion d'homomorphisme de magasins, qui est un plongement — donc pas de difficultés du type de celles évoquées avec les exemples 1.

Cela nous conduit au passage avec la question de la stabilité des (des magasins) axiomes, par passage : à un sous-magasin (d'axiomatique, pour un atelier associé au magasin, un sous-atelier correspondant).

Soit donc (M, \leq, \mathring{\ll}, \mathbin{|{\circ}|}) un magasin, M' un sous-ens., que je munis des relations induites. Je suppose

a)M' fermé dans M, \leq i.e. le membre des dessus ! \mathrm{Mag}\,1^* (trivial, p. 22), \mathrm{Mag}\,2^* a) b) aussi, grâce à a). Mais on voudrait que \ll_{M'} soit \ll_M \mid M', ce qui amène à poser b)Si X \mathring{\ll} Y' \leq Y, alors X, Y \in M' \Rightarrow Y' \in M'

\mathrm{Mag}\,3 trivial, \mathrm{Mag}\,4 aussi. Notons aussi que \|_{M'} = \|_M \mid M' , \qquad \ll_{M'} = \ll_M \mid M . Tout marche ! « p. 22 » renvoie à la pagination de l'auteur, hors de ce lot. Dans la dernière formule le second \ll porte une barre, et la restriction est écrite \mid M (sic) ; on attendrait \mid M'. L'étude du sous-magasin se poursuit après la fin du lot.