Cote n° 156-7 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · [Chapitre] VII. Analysis situs (troisième mouture) : notes manuscrites (23-26/06/1986)
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-04.fr.xml

61son numéro « 61 » en haut de la page ; comme dans les chapitres IV et VI, sa pagination, portée en tête de chaque feuillet, coïncide avec celle des archivistes sur tout le lot (pages 61 à 80)

Notion de support

titre souligné, de sa main

Soit \(\mathfrak{F}\) un atelier. Soit \(\Sigma_{\mathfrak{F}} \subset \mathfrak{P}(\mathfrak{F})\) l'ens. des parties de \(\mathfrak{F}\) qui sont ⌜(définies par \(\leq\))⌝ fermées à la fois pour \(\leq\) et \(\ll\), et stables par Sup pour \(\leq\) (Sup finis ou infinis). Soit \(\Sigma_{\mathcal{M}}\) l'ens. des parties de \(\mathcal{M}\) fermées pour \(\ll\). Alors on a deux bijections, inverses l'une de l'autre \[(*) \qquad \Sigma_{\mathfrak{F}} \rightleftarrows \Sigma_{\mathcal{M}} , \qquad \mathfrak{S} \longmapsto \mathfrak{S} \cap \mathcal{M} , \qquad \mathfrak{F}_{S} = \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid \widetilde{F} \subset S \rbrace \longleftarrow\!\shortmid\ S\] Iso. d'ens. ordonnés « \((*)\) » : marque lue sans certitude, dans la marge gauche. La page dispose les deux flèches \(\rightleftarrows\) entre \(\Sigma_{\mathfrak{F}}\) et \(\Sigma_{\mathcal{M}}\), avec la première flèche « \(\mathfrak{S} \mapsto \mathfrak{S} \cap \mathcal{M}\) » au-dessus (un mot biffé à sa suite) et la seconde au-dessous ; l'indice de \(\Sigma_{\mathcal{M}}\) est écrit en surcharge ; « Iso. d'ens. ordonnés », souligné, est à droite. La lettre rendue \(\mathfrak{S}\) est une capitale cursive surchargée

moyennant quoi on va les identifier, trouvant un ens. \(\Sigma\).

Soit \(\mathfrak{F}\) \(A \subset \mathfrak{F}\) une partie quelconque. On définit son cosupport par \[\operatorname{cosupp} A = \lbrace G \in \mathfrak{F} \mid \forall F \in A,\ F \parallel G \rbrace \subset \mathfrak{F}\] le \(F\) de « \(\forall F \in A\) » est écrit en surcharge On voit, grâce à At D, que \[\operatorname{cosupp} A \in \Sigma_{\mathfrak{F}}\] et il est On […] pose ⌜(ou \(\overline{A}\))⌝ \[\operatorname{supp} A = \operatorname{cosupp}(\operatorname{cosupp} A) ,\] « At D » : lecture douteuse du nom de l'axiome invoqué Ne pas confondre \(\overline{A}\) avec l'adhérence de \(A\) pour la topologie de \(\mathfrak{F}\) associée soit à \(\leq\), soit à \(\ll\) ! note écrite à droite, en regard de « (ou \(\overline{A}\)) »

et tout ceci est formel en termes de la donnée d'une relation \(\parallel\) dans l'ens. abstrait \(\mathfrak{F}\) — se généraliserait aussi pour une relation quelc. entre deux ens.)

On écrit \(F \parallel A\) au lieu de \(F \in \operatorname{cosupp} A\). On écrit \(A \parallel B\) pour les relations équivalentes : (i) \(A \subset \operatorname{cosupp} B\) ; (ii) \(B \subset \operatorname{cosupp} A\) ; (iii) \(\forall X \in A\), \(X \parallel B\) ; (iii) \(\forall Y \in B\), \(Y \parallel A\) ; (iii') \(\forall X \in A\), \(Y \in B\), \(X \parallel Y\) ; sera équivalente aussi à deux autres […] : \(\operatorname{supp} A \cap \operatorname{supp} B = \emptyset\) (ce qu'indique […]) longue note écrite en oblique dans la marge gauche, sur toute la moitié inférieure de la page. Il numérote deux conditions « (iii) », la première surchargée ; la dernière ligne n'est lue qu'en partie

62son numéro « 62 » en haut de la page […] \(\overline{A}\),

(i) \(A \subset B \Longrightarrow \operatorname{cosupp} A \supset \operatorname{cosupp} B\)

(ii) \(A \subset \overline{A}\), et \(A \subset B \Rightarrow \overline{A} \subset \overline{B}\), donc \(\bigcup_i \overline{A_i} \subset \overline{\bigcup A_i}\) pour une famille d'ens. (mais on n'a pas en général l'égalité)

(iii)

(iii) \(\overline{\overline{A}} = \overline{A}\)

(iv) Conditions équivalentes sur \(A \subset \mathfrak{F}\).

a) \(\exists\, B\) avec \(A = \operatorname{cosupp} B\)

b) \(A = \overline{A}\)

c) On dira alors que \(A\) est une partie supp-fermée de \(\mathfrak{F}\), […] ou ⌜est⌝ un « […] \(\mathfrak{F}\)-support ». […] On a alors \(A \in \Sigma_{\mathfrak{F}}\). la parenthèse « (mais on n'a pas en général l'égalité) » est écrite à droite de (ii), sur quatre lignes

(v) \(\forall A \subset \mathfrak{F}\), \(\overline{A}\) est la plus

Soit \(\Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}\) \(= \ill{}\) la partie de \(\Sigma_{\mathfrak{F}}\) formée des parties fermées de \(\mathfrak{F}\). supports de \(\mathfrak{F}\). \(\mathfrak{F}\)-supports. On a alors un premier « \(\Sigma^{\circ}\) », surchargé, est écrit sous la ligne biffée, avec « supp » au-dessous ; la fin de la ligne suivante est biffée

(v) Si \(A \subset \mathfrak{F}\), \(\overline{A}\) est la plus petite partie \(\mathfrak{F}\) fermée \(\mathfrak{F}\)-support contenant \(A\).

(vi) L'application \[A \longmapsto \operatorname{cosupp} A \qquad \mathfrak{P}(\mathfrak{F}) \to \Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}\] a une application […] induit une ⌜anti⌝-iso. d'ens. ordonnés \[\Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}} \longrightarrow \Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}\] qui est involutif (exprime le fait que la relation \(\parallel\) est symétrique). On pose aussi, si \(A\) est un support \[\complement A = \operatorname{cosupp} A ,\] « anti » est ajouté au-dessus de la ligne ; devant \(\complement A\), un « C » plus appuyé, en marge de la formule

63son numéro « 63 » en haut de la page où s'appelle le support complémentaire du support donné \(A\).

(vii) \(\Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}\) a un plus petit élément (savoir la partie ⌜\(\emptyset\)⌝ ⌜réduite à \(\emptyset_{\mathfrak{F}}\)⌝\(^{*}\) […] de \(\mathfrak{F}\)) et un plus grand élément (savoir \(\mathfrak{F}\)), […] qui sont complémentaires l'un de l'autre. « \(\emptyset\) » est écrit au-dessus de « élément », « réduite à : \(\emptyset_{\mathfrak{F}}\) », suivi d'un astérisque, au-dessous de la ligne ; ce qu'il désigne au juste comme plus petit élément reste ainsi indécis sur la page

\(^{*}\) Ceci provient du fait que \(\emptyset_{\mathfrak{F}}\) est l'unique élément de \(\mathfrak{F}\) qui soit \(\parallel\) de tout élément de \(\mathfrak{F}\) (en nommant […] \(\emptyset_{\mathfrak{F}}\) disjoints d'elles-mêmes…). On le notera, par abus de langage, \(\emptyset\) (cf. plus haut), ou \(\emptyset_{\Sigma}\) note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de (vii) et (viii), appelée par l'astérisque

(viii) Dans ⌜Plus généralement,⌝ \(\Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}\), il y a des Sup Inf et des Sup quelconques, échangés par l'application \(\complement\). Le […] Inf s'explicite par \[\operatorname{Inf}^{\Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}}_{i} A_i = \bigcap A_i\] et le Sup par \[\operatorname{Sup}^{\Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}}_{i} A_i = \overline{\textstyle\bigcup A_i} \quad \Longrightarrow \ (= \operatorname{supp}(\textstyle\bigcup A_i))\] un signe « \(\uparrow \Sigma\) », surchargé, est dans la marge gauche en regard de (ix). La première des deux lectures « Inf » et « Sup » du début de (viii) est écrite sur un mot biffé

(ix) \(\forall A \in \Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}\), on a \[A \cap \complement A = \emptyset_{\Sigma}\] (En effet […] […] \(F\) […]) (Exprime le fait que le seul élément de \(\mathfrak{F}\) […] tel que \(F \parallel F\) est \(\emptyset_{\mathfrak{F}}\), lequel est \(\parallel\) de \(\mathfrak{F}\) tout entier…)

(x) Cor \(A \subset B \Longrightarrow A \cap \complement B = \emptyset_{\Sigma}\) « (x) » : lecture douteuse du numéro, dans la marge gauche

NB Il n'est pas clair que l'implication \(\Rightarrow\) ci-dessus soit ⌜(il est parfois faux)⌝ claire. […] Il n'est ⌜dans \(\Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}\)⌝ pas clair que ⌜les Sup⌝ soit ⌜finis⌝ soient […] (contenant que parties de \(\mathfrak{F}\)), i.e. dans \(\mathfrak{F}\) — la réunion de deux supports, n'est pas a priori un support : cela exprime le fait ⌜intuitif⌝ qu'une « figure » ⌜(continue [dans […]])⌝ dans la réunion des supports ⌜[[…] […]]⌝ […] figures n'est pas forcément contenue dans l'un ou l'autre ; elles le seraient dans le cas des multistrates… paragraphe très chargé d'ajouts interlinéaires, dont l'ordre et le rattachement ne sont pas sûrs ; la dernière ligne de la page n'est lue qu'en partie

64son numéro « 64 » en haut de la page lieux (quand ce n'est pas dans les ateliers ensemblistes tout au moins…). Il n'est pas clair non plus, en général, que l'on ait, dans \(\Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}\), \[P \wedge \bigvee_i Q_i = \bigvee_i (P \wedge Q_i)\] devant le premier \(\bigvee\), un « Sup » est biffé ; devant le second, un signe raturé (distributivité de l'intersection des supports, par rapport aux « sommes » même finies…). Pourtant, cela a tendance à être vrai, de même que l'implication réciproque de \((*)\), dans les lieux les plus […] ateliers auxquels j'ai songé jusqu'à présent, cf. plus bas. « \((*)\) » : lecture douteuse du renvoi, qui semble viser l'implication « \(\Rightarrow\) » du NB de la page 63

Toute ceci se retrouvait dans la […] structure \((\mathcal{M}, \leq, \ll, \between)\), […] en codant dans en termes de la seule relation \(\parallel_{\mathcal{M}}\) […] de disjonction dans \(\mathcal{M}\). Et l'ens. \(\Sigma^{\circ}_{\mathcal{M}}\) des « \(\mathcal{M}\)-supports » est en bij. canonique […] avec […] canonique \[\Sigma^{\circ}_{\mathcal{M}} \rightleftarrows \Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}} \qquad \text{iso.\ d'ens.\ ord.}\] le signe rendu \(\between\) dans le quadruplet est un \(\between\) barré, lu sans certitude ; « \(\parallel_{\mathcal{M}}\) » a l'indice \(\mathcal{M}\) écrit sous le signe induite par les bijections de la p. 61) commutant : l'opération « complémentaire ». Cette fois, le plus petit élément de \(\Sigma^{\circ}_{\mathcal{M}}\) est bien la partie vide de \(\mathcal{M}\), et son plus grand élément est \(\mathcal{M}\).

Si \(A \subset \mathfrak{F}\) est fermé pour \(\leq\), […] \(\operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(A) \cap \mathcal{L} = \operatorname{cosupp}_{\mathcal{L}}(A \cap \mathcal{L})\), en particulier pour \(F \in \mathfrak{F}\), \(\operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(F) \cap \mathcal{L} = \operatorname{cosupp}_{\mathcal{L}}(\ill{}(F))\) note écrite en oblique dans la marge gauche, au bas de la page ; devant le dernier « \((F)\) », un petit signe surmonté d'un rond n'est pas lu

65son numéro « 65 » en haut de la page On a les […] constructions duales dans \(\mathcal{L}\) muni de \(\parallel\), d'où \(\Sigma^{\circ}_{\mathcal{L}}\), ens. des parties de \(\mathcal{L}\) « fermées ». Considérons les applications canoniques \(\Sigma^{\circ}_{\mathcal{M}} \rightleftarrows \overline{\Sigma_{\mathcal{L}}} \overset{\mathrm{déf}}{=} \mathfrak{P}(\mathcal{L})\), \(A \mapsto A \cap \mathcal{L}\), \(A_S = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid \mathrm{omb}(X) \subset S \rbrace \longleftarrow\!\shortmid\ S\) ces lignes, jusqu'à la formule, sont barrées de trois longs traits obliques ; le « \(\overline{\phantom{x}}\) » sur \(\Sigma_{\mathcal{L}}\) est un trait appuyé qu'on lit sans certitude comme une barre

Cette relation entre supports dans \(\mathfrak{F}\), et supports dans \(\mathcal{M}\), se généralisait en remplaçant \(\mathcal{M}\) par une sous-ensemble \(\Lambda \subset \mathfrak{F}\), soumis à la seule condition que voici :

Disj\(_{\Lambda}\) : Soit \(F \in \mathfrak{F}\), \(\mathrm{omb}_{\Lambda}(F) = \lbrace X \in \Lambda \mid X \ll F \rbrace\). Alors pour tout \(G \in \mathfrak{F}\), on a \[F \parallel G \iff \forall X \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(F),\ X \parallel G\] l'énoncé de Disj\(_{\Lambda}\) est marqué d'un trait vertical dans la marge gauche ; « Disj » est souligné

Posant, pour \(A \subset \mathfrak{F}\) \[\mathrm{omb}_{\Lambda}(A) \overset{\mathrm{déf}}{=} \bigcup_{F \in A} \mathrm{omb}_{\Lambda}(F) \subset \Lambda ,\] on voit donc que pour toute partie \(A \in \mathfrak{F}\), on a \[\operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}} A = \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}} \mathrm{omb}_{\Lambda} A .\] « \(A \in \mathfrak{F}\) » est ainsi sur la page, pour \(A \subset \mathfrak{F}\) De plus, si \(A\) est fermé dans \(\mathfrak{F}\) \(\mathfrak{F}\) pour \(\ll\), alors on voit aussitôt que \[\mathrm{omb}_{\Lambda}(A) = \Lambda \cap A \qquad (A \text{ fermé dans } \mathfrak{F}, \ll)\] (en général on a seulement \(\supset\)). Donc on a cependant \[\operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(A) = \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(A \cap \Lambda) \qquad \text{si } A \text{ fermé dans } \mathfrak{F} \text{ pour } \ll\] Ceci implique, en reprenant les cosupports \(A\) \[\operatorname{supp}_{\mathfrak{F}}(A) = \operatorname{supp}_{\mathfrak{F}}(A \cap \Lambda) \qquad \text{si } A \text{ fermé dans } \mathfrak{F} \text{ pour } \ll\] et sans hyp. sur \(A\) \[\operatorname{supp}_{\mathfrak{F}}(A) = \operatorname{supp}_{\mathfrak{F}}(\mathrm{omb}_{\Lambda}(A))\] dans la formule \(\operatorname{supp}_{\mathfrak{F}}(A) = \ldots\), le premier « \(\operatorname{supp}\) » est écrit en surcharge sur un « \(A\) » raturé, et le second sur une lettre surchargée ; « \(A \cap \Lambda\) » est placé en exposant au-dessus de « \(\operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}\) » dans les deux formules

66son numéro « 66 » en haut de la page On trouve ainsi une correspondance biunivoque entre les ens. de \(\mathfrak{F}\)-supports et de \(\Lambda\)-supports \[\Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}} \rightleftarrows \Sigma^{\circ}_{\Lambda} , \qquad A \longmapsto A \cap \Lambda = \mathrm{omb}_{\Lambda}(A) , \qquad \operatorname{supp}_{\mathfrak{F}} S = \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid \mathrm{omb}_{\Lambda}(F) \subset S \rbrace \longleftarrow\!\shortmid\ S\] la page dispose les deux flèches entre \(\Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}\) et \(\Sigma^{\circ}_{\Lambda}\), puis au-dessous les deux applications ; « \(\operatorname{supp}_{\mathfrak{F}} S\) » est relié par un signe \(=\) vertical à l'ensemble \(\lbrace F \in \mathfrak{F} \mid \ldots \rbrace\) écrit sous lui respectant les relations d'ordre (inclusion) et la « passage au complémentaire », que je vais noter \(\complement_{\mathfrak{F}}\), \(\complement_{\Lambda}\). « passage » : le mot est écrit « p.r.g. » ou approchant ; on lit la même abréviation à la page 68

On a intérêt, pour ⌜« comprendre » les supports⌝, de prendre \(\Lambda\) aussi petit que possible, mais cela demande […]. Le choix \(\mathcal{L}\) s'impose, mais cela demande que l'axiome At L 2 soit satisfait — ce qui n'est pas toujours cependant. Ainsi, on trouve (dans ce cas) par abus, en […] laissant tomber l'exposant […] […] […] […] \(\Sigma\)…) \[\Sigma_{\mathfrak{F}} \simeq \Sigma_{\mathcal{M}} \simeq \Sigma_{\mathcal{L}}\] […] […] sous-entendu : chaque fois : la notation d'iso. ensemblistes, des supports, définie ensemblistement, en termes de \(\parallel_{\mathfrak{F}}\) ou \(\parallel_{\mathcal{M}}\) ou \(\parallel_{\mathcal{L}}\)). « At L 2 » est un nouveau nom d'axiome, pour les lieux ; il revient aux pages 68 et 73. Le passage qui suit est écrit vite, entre les lignes, et n'est lu qu'en partie

NB Les […] […] […] […] de \(\mathfrak{F}\) […] […] […] At L 2, il […] […] […] \(\mathcal{M}\) […] […] […] […] de \(\mathcal{L}\), […] […] […] de la relation \(\parallel_{\mathcal{L}}\) note écrite en oblique dans la marge gauche, au bas de la page, lue par fragments

Un cas particulièrement agréable est celui où \(\parallel_{\mathcal{L}}\) est la relation tautologique : \(x \neq y\) (p.ex. cas d'un atelier quasi-ensembliste) « agréable » est souligné

67son numéro « 67 » en haut de la page on trouve \[\Sigma_{\mathcal{L}} = \mathfrak{P}(\mathcal{L}) ,\] l'opération \(\complement_{\mathcal{L}}\) étant simplement le passage au complémentaire. Dans ce cas, le support d'une partie \(A\) de \(\mathfrak{F}\) (ou de \(\mathcal{M}\), quand on y passe en strates), identifié à une partie de \(\mathcal{L}\), n'est autre que \(\mathrm{omb}_{\mathcal{L}}(A) = \mathrm{omb}(A)\). Donc dans ce cas, la définition devient simplement : posons \[\operatorname{supp} A = \mathrm{omb}(A) \overset{\mathrm{déf}}{=} \bigcup_{F \in A} \mathrm{omb}(F)\] \[\operatorname{cosupp} A = \complement_{\mathcal{L}} \operatorname{supp} A \qquad \text{(complémentaire ordinaire)}\] Ceci traduit en fait que la relation cruciale de disjonction, devient simplement \[F \parallel G \iff (\mathrm{omb}\, F \cap \mathrm{omb}\, G = \emptyset)\] relation de disjonction ensembliste sur les ombres (relation d'objets supports pour la omb ensembliste). Dans ce cas, les perplexités p. 63, 64 se résolvent, on a \[\left\lbrace \begin{array}{l} A \subset B \iff A \cap \complement(B) = \emptyset_{\Sigma} \\ A \cap \bigvee_i B_i = \bigvee_i A \cap B_i \quad \text{dans } \Sigma \ — \end{array} \right.\] une flèche relie le \(\emptyset\) de la formule de \(F \parallel G\) au mot « ensembliste » de la ligne suivante, dont la fin n'est lue qu'en partie ; sous \(\complement(B)\), une petite flèche montante et le mot « compl. » entre guillemets

68son numéro « 68 » en haut de la page. Un long trait oblique traverse toute la page, de haut en bas ; on transcrit le texte, qui se lit dessous Ceci peut se généraliser ainsi. Soit \[P \subset \mathcal{L}\] \(P\) comme « points » une partie de \(\mathcal{L}\) (ou simplement de \(\mathfrak{F}\) — mais pratiquement on sera toujours \(\subset \mathcal{L}\) je présume) telle que

a) si \(x, y \in P\), \(x \neq y \Rightarrow x \parallel y\) (donc sur \(P\), \(x \parallel y\) équivaut à \(x \neq y\))

b) si \(F, G \in \mathfrak{F}\), (resp. \(\mathcal{M}\), […] […] […] \(\widetilde{\mathcal{M}}\)) alors et si \(\forall x \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(F)\), \(y \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(G)\), […] […] on a \(F \parallel G\) si (et ss.) \(\nexists\, x \in P\), […] avec \(\operatorname{supp} x \subset \operatorname{supp} A \cap \operatorname{supp} B\) […] \(x \parallel y\), […] (C'est la condition […] At \(\Lambda\) 2 dans le cas \(\Lambda = P\) \(=\) condition qui remplace At L 2.) b) est surchargé de ratures : trois lignes et demie sont biffées d'un trait horizontal et de traits obliques, et l'on ne donne que ce qui se lit ; « (et ss.) » est écrit au-dessus d'un mot raturé. Les lettres \(A\), \(B\) de la dernière formule sont sur la page, là où l'on attend \(F\), \(G\)

Un peu bref ! écrit en oblique dans la marge gauche, avec une flèche descendant vers « Alors »

Alors l'ens. ordonné des supports s'identifie à \[\Sigma_{P} \simeq \mathfrak{P}(P) , \qquad \text{donc} \quad A \longmapsto \lbrace x \in P \mid \operatorname{supp} x \subset A \rbrace\] \[\Sigma_{\mathfrak{F}\ (\text{ou } \mathcal{M},\ \text{ou } \mathcal{L})} \simeq \mathfrak{P}(P)\] dans la première formule, la page écrit « \(\Sigma_{P} \simeq \mathfrak{P}(P)\), donc », puis au-dessous « \(A \mapsto \lbrace x \in P \mid \operatorname{supp} x \subset A \rbrace \simeq \mathfrak{P}(P)\) » ; l'indice \(\mathfrak{F}\) de la seconde est surchargé iso d'ens. ordonnés, compatible à l'application \(\complement\) (« complémentaire »). Donc dans ce cas aussi, les perplexités se dissipent. Dans ce cas, il y a lieu de définir le support comme \[\operatorname{supp} A = \mathrm{omb}_{\Lambda} A = \bigcup_{F \in A} \mathrm{omb}_{\Lambda}(F) .\] Notons que l'isom. d'ens. ordonnés avec application « passage au complémentaire » \[\Sigma \simeq \mathfrak{P}(P)\] dans les deux dernières formules l'indice de \(\mathrm{omb}\) est un \(\Lambda\) ; on attend \(P\)

69son numéro « 69 » en haut de la page

25 juin

date de sa main, « (25 juin) », entre parenthèses, dans l'angle supérieur gauche, avec un trait courbe qui la rattache au début du texte

En dehors du cas quasi-ensembliste, je suspecte que la notion de support, telle qu'elle est présentée ici, est caduque — qu'il ne faudrait parler de support d'une partie \(A\) de \(\mathcal{M}\), disons, que quand les \(X \in A\) étant sont mutuellement compatibles, ou […] unions, si deux à deux ils admettent des […] mutuellement compatibles. Voici une situation […] un exemple typique.

Exemple Strates associées à un segment ⌜ens.⌝ ordonné \(I\) (p.ex. un « segment ordonné »). \[\mathcal{M} = \mathcal{M}_0 \amalg \mathcal{M}_1\] \(\mathcal{M}_0\) (0-strates) \(= \struck{\ill{}}\ (= \mathrm{Drap}_0(I))\),

\(\mathcal{M}_1\) (1-strates) \(=\) ens. des sous-segments de \(I\), i.e. parties ⌜\(X\)⌝ de la forme \(I_{a \leq \cdot \leq b}\), où \(a < b\). (NB \(a\), \(b\) sont uniquement déterminés : origine et extrémité de \(X\). On pose \(\partial X = \lbrace a, b \rbrace\). « Drap » : lecture douteuse. Une première rédaction des lignes de \(\mathcal{M}_1\), encadrée puis biffée, se lit en partie : « \(\mathcal{M}_1\) (1-strates) \(= \mathrm{Drap}_1(I) \simeq \lbrace (a,b) \in I \times I \mid a < b \rbrace\) », « ens. des parties … de \(I\) de la forme \(X_{ab} = \lbrace x \mid a \leq x \leq b \rbrace\) où \(a < b\). Alors \(a\), \(b\) uniquement déterminés, on écrira \(\partial X = \lbrace a, b \rbrace \subset \mathcal{M}_0\) », et dans le cadre : « \(X \leq Y\) ssi \(X \subset Y\) dans … \(X < Y\) ssi \(X \in \mathcal{M}_1\), \(Y \in \mathcal{M}_1\), \(X \in \partial Y\) ; \(X \ll Y\) ssi … » \[X \leq Y \iff \left\lbrace \begin{array}{l} X = Y \ \text{ou} \\ X \in \mathcal{M}_0,\ Y \in \mathcal{M}_1,\ X \in \partial Y \end{array} \right.\] Cela […] […] […] \(X \mathrel{\triangleleft} Y\) […] \(X \mathrel{\triangleleft} Y\) note à droite de la formule, où « \(X \mathrel{\triangleleft} Y\) » est écrit deux fois, la première dans une ligne biffée ; dans « \(X \in \partial Y\) », le \(Y\) est écrit en surcharge \[X \ll Y \iff X \subset Y\] \[X \between Y \iff \text{on est dans un des trois cas mutuellement exclusifs}\] « mutuellement exclusifs » est lu dans la parenthèse « (\(X \overset{\circ}{\ll} Y\) signifie […] … mutuellement exclusifs) » écrite au-dessus, en partie biffée ; le « \(\overset{\circ}{\ll}\) » y est lu sans certitude

(a) \(X = Y\) (b) \(X \in \partial Y\) ou \(Y \in \partial X\) (cas où \(Y\) majore \(X\) et dans \(\mathcal{M}_1\)). (c) \(\partial X \cup \partial Y\) tot. ordonné, et \(X \cap Y\) est vide, ou réduit à un point, dire […] ! un point, […] […] écrit dans un des cas : (\(\alpha\)) \(\exists\, a < b < c < d\) avec \(X = [a,b]\), \(Y = [c,d]\), (\(\beta\)) \(\exists\, a < b < c\) avec \(X = [a,b]\), \(Y = [b,c]\), ou l'inverse. « (a) », « (b) », « (c) » sont cerclés ; dans (c), plusieurs mots à la suite de « tot. ordonné » sont raturés à droite. À gauche, trois petits croquis : pour b), un segment \(X\) et un point \(Y\) à son extrémité ; pour c), deux segments \(X\), \(Y\) séparés, « ou » deux segments \(X\), \(Y\) bout à bout

NB. Tous les axiomes sont satisfaits, à l'exception de At L 1 (admissibilité), satisfait ssi les intervalles \(]a,b[\) sont \(\neq \emptyset\) (\(a < b\)).

70son numéro « 70 » en haut de la page NB Les strates sont combinatoirement finies — celles de \(\mathcal{L} = \mathcal{M}_0\) sont de dim \(0\), celles de \(\mathcal{M}_1\) de dim \(1\). Si \(X \in \mathcal{M}_0\), \(X\) \(\operatorname{card} \widetilde{X} = \uncertain{0}\), si \(X \in \mathcal{M}_1\), \(\operatorname{card} \widetilde{X} = 3\). On prend pour \(\mathfrak{F}\) les figures finies, i.e. les parties finies \(F\) de \(\mathcal{M}\), telles que fermées pour \(\leq\) (i.e. contenant, avec \(X \in \mathcal{M}_1\), ses deux extrémités) et telles que \(X, Y \in F \Rightarrow X \between Y\). « finies » est souligné deux fois. Le chiffre lu \(0\) pour \(\operatorname{card} \widetilde{X}\), \(X \in \mathcal{M}_0\), est petit et peu formé ; avec \(\widetilde{X} = \lbrace Y \mid Y \leq X \rbrace\) on attendrait \(1\), comme le \(3\) du cas \(X \in \mathcal{M}_1\) compte \(X\) et ses deux extrémités

Comme […] dans GF III j'ai appelé « parties

sous cette ligne biffée, un croquis : une droite portant, de gauche à droite, un segment subdivisé en deux, un point isolé, un segment, deux points, un segment plus long subdivisé, un segment finement subdivisé, un point — une figure finie de l'exemple

Dans GF III, j'ai pris la peine essentiellement de définir le support d'un tel objet comme partie de \(I\) (appelée […] « modérée fermée » dont j'aurais dû dire « modérée » tout court, et appeler constructibles les parties que j'appelle « modérées »). Cela donne lieu à un formalisme raisonnable tant que la finitude d'un ens. de figures sujet à la propriété spécifiée au début. Dans le cas d'un […], c'est OK si \(I\) est un ensemble […], c'est […] (loc. cit. p. 8) et aucun tronçon ordonné. Toujours est-il que l'on trouve une notion de parties constructibles de \(I\), de complémentaire d'une telle partie, et par une notion de compatibilité de parties constructibles, et une bonne formalisme de \(\cup\), \(\cap\), \(\complement\) pour les parties constructibles ⌜\(X_\alpha\)⌝ deux à deux disjointes compatibles (i.e. telles que la réunion des \(\partial X_\alpha\) soit tot. ordonnée). « GF III » est le chapitre III, dossier 156-3 ; « loc. cit. p. 8 » y renvoie. La phrase du milieu, écrite vite, n'est lue qu'en partie

71son numéro « 71 » en haut de la page Je pense qu'on aura un tel formalisme sans hyp. sur \(I\) (genre « tronçons ordonnés ») à condition de tenir compte de la possibilité qu'il y ait des 1-strates \[X = [a,b] \qquad (a < b)\] réduites à \(\lbrace a, b \rbrace\) (quand \(]a,b[ = \emptyset\)). Dans ce cas, il serait déraisonnable de définir \(\operatorname{supp} X = [a,b]\) ou, donc \(= \struck{\ill{}}\ \operatorname{supp} \partial X\). Mais on doit pouvoir définir une notion de supports, associée à une partie tot. ordonnée finie quelconque \(\Delta\) de \(I\) (à savoir, \(\Delta = \bigcup_\alpha \partial X_\alpha\)) \[a_1 < a_2 < \cdots < a_n\] comme étant […] les éléments de l'algèbre de Boole sur l'ens. des « points » \[\lbrace a_1 \rbrace ,\ [a_1, a_2] ,\ \lbrace a_2 \rbrace ,\ [a_2, a_3] ,\ \ldots ,\ \lbrace a_n \rbrace\] Pour Toute famille \(\mathfrak{X} \subset \mathcal{M}\), \(\mathfrak{X} = \lbrace X_\alpha \rbrace\), subordonnée à \(\Delta\) i.e. telle que \(\partial X_\alpha \subset \Delta\) \(\forall \alpha\), on définit \(\operatorname{supp} \mathfrak{X}\) comme partie de cet ens. (partie ens. ordonné fermée, en fait, […] […] […] […] l'inclusion […] […] de \(I\)), et on définit de même […] supports, d'une définition virtuelle \(X \smallsetminus Y\) pour \(Y \ll X\), d'une définition \(F \smallsetminus G\) pour \(F \leq G\), \(F\), \(G\) figures dans la […] partie \(\leq\)-fermée de \(\mathfrak{F}\) engendrée par \(\mathfrak{X}\). « subordonnée » est souligné. La lettre rendue \(\mathfrak{X}\) est une capitale cursive, la même que pour \(\mathfrak{X} = \lbrace X_\alpha \rbrace\) ; « \(\Delta\) » est tantôt un triangle plein, tantôt un triangle ouvert. La parenthèse sur la partie fermée, écrite serré avec des ajouts, n'est lue qu'en partie

Mais ceci signifie justement que pour […] les figures dans un atelier, i.e. … ) la phrase s'achève sur un croquis : un segment subdivisé, dont les points marqués sont étiquetés \(a_1\), \(a_2\), …, \(a_n\), suivi d'une parenthèse fermante

72son numéro « 72 » en haut de la page on a une notion de « supports modérés » […] associés à cette figure, l'ens. ⌜ordonné⌝ de ses supports s'identifiant à \(\mathfrak{P}(\widetilde{F})\). Et si \(F' \preccurlyeq F\) est une subdivision, ou plus finement \(F' \ll F\) un raffinement, on aura correspondance de l'un à l'autre, via \[\varphi : \widetilde{F'} \longrightarrow \widetilde{F}\] induisant \[\varphi^{*} : \mathfrak{P}(\widetilde{F}) \longrightarrow \mathfrak{P}(\widetilde{F'}) .\] au-dessus de « supports », un mot interlinéaire est lu « ordo… » sans certitude ; le signe de « \(F' \preccurlyeq F\) » est son \(\leq\) à trait inférieur courbé Je ne soupçonnerais pas, dans le cas d'un atelier qui n'est pas quasi-ensembliste, qu'on puisse interpréter […] de façon canonique les \(\mathfrak{P}(\widetilde{F})\), pour des figures différentes (et qui ne seraient ni compatibles, ni reliées par \(F' \ll F\), ni ⌜pré⌝compatibles dans le sens qu'elles deviennent compatibles après subd. de l'une et de l'autre…), comme des parties d'un même \[\mathfrak{P}(P) \quad \text{disons, où } P \text{ est}\] un ensemble de « points » associé d'une façon ou d'une autre au […] strates \(\mathcal{M}\).

On va définir cependant la notion de « réalisation par supports » d'un atelier, dans un ensemble \(P\) de « points ».

73son numéro « 73 » en haut de la page C'est la donnée d'une application \[\mathcal{M} \longrightarrow \mathfrak{P}(P) \qquad X \longmapsto |X|\] satisfaisant les conditions

(i)\(_{\mathcal{M}}\) \(X \ll Y \Longrightarrow |X| \subset |Y|\) ⌜application croissante (pour \(\ll\), \(\subset\))⌝

(ii)\(_{\mathcal{M}}\) \(X \between Y \Longrightarrow |X| \cap |Y| = \bigcup_{Z \in X \cap Y} |Z|\)

(iii)\(_{\mathcal{M}}\) \(X \parallel Y \iff |X| \cap |Y| = \emptyset\) (NB \(\Rightarrow\) par (ii))

(iv)\(_{\mathcal{M}}\) […] \(X \preccurlyeq Y \Longrightarrow |X| = |Y|\)

(v)\(_{\mathcal{M}}\) \(|X| = \bigcup_{Z \in \mathrm{omb}(X)} |Z|\)

(vi)\(_{\mathcal{M}}\) (b) si \(x, y \in P\), \(\exists\, X \in \mathcal{M}\) avec \(x \in |X|\), \(y \notin |X|\) ou l'inverse (a) \(\bigcup_{X \in \mathcal{M}} |X| = P\), et le « (iii)\(_{\mathcal{M}}\) » est entouré d'un cercle, et une flèche y mène depuis la marge ; le numéro de (vi) est écrit en surcharge sur un autre ; « (a) » et « (b) » sont cerclés, (a) est entouré d'un trait qui le renvoie par une flèche avant (b) — il faut sans doute lire (a) avant (b). Dans (ii), l'indice de la réunion, écrit sous la formule, est lu « \(Z \in X \cap Y\) » sans certitude ; dans (i), l'ajout « \(|Z|\) » au-dessus de la ligne n'est pas rattaché le fond de l'axiome est dans l'implication \(\Leftarrow\) écrit dans la marge gauche, avec une flèche vers (iii)\(_{\mathcal{M}}\)

NB 1) […] (L'axiome (vi) est dans la nature d'une normalisation ; il suffit de remplacer \(P\) par son quotient par la relation d'équivalence \[x \sim y \iff \mathcal{M}_x = \mathcal{M}_y \qquad (\text{où } \mathcal{M}_x = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid x \in |X| \rbrace)\]

NB 2) La condition v implique qu'il suffit de connaître \(|Z|\) pour \(Z \in \mathcal{L}\). Mais cela […] On définit alors \(|X|\) pour \(X\) général. Mais la validité des conditions (i) : (iv) dépend des conditions sur les \(|Z|\). La condition (iii) p.ex. équivaut à ⌜(ou (iii'))⌝ pour \(x, y \in \mathcal{L}\), \(+\) la condition […] ⌜(ii)⌝, \(\mathcal{L}\) \(=\) condition (vi') […] […] At L 3 et (iii') At L 2. La condition (iii') : […] \(X_i\) La condition (i) tautologique (variante \(\Rightarrow\)). La condition (iv) résulte des autres ⌜(moyennant At L 2, L 3)⌝ via […] […] de supposer ces conditions. Donc, la variante \[\mathcal{L} \longrightarrow \mathfrak{P}(P) , \qquad x \longmapsto |x| ,\] le second NB, écrit vite et chargé de ratures et d'ajouts, n'est lu qu'en partie ; « At L 3 » y apparaît pour la première fois dans ce lot. La phrase se poursuit page 74

74son numéro « 74 » en haut de la page conditions

(i)\(_{\mathcal{L}}\) Soient \(x, y \in \mathcal{L}\), alors ⌜\(x \neq y\)⌝ \(x \parallel y \iff |x| \cap |y| = \emptyset\)

(ii)\(_{\mathcal{L}}\) […] \(\forall\, \xi, \eta \in P\), ⌜\(\xi \neq \eta\)⌝, \(\exists\, x \in \mathcal{L}\), avec \(\xi \in |x|\), \(\eta \notin |x|\) ou l'inverse les deux conditions sont marquées d'un trait vertical dans la marge ; dans (i)\(_{\mathcal{L}}\), un signe surchargé précède « \(x \parallel y\) » ; « ou l'inverse », écrit sous la fin de (ii) et cerclé d'un trait, est suivi d'un mot biffé

Exemple \(P\) est une ficelle topologique, et \(\mathcal{M}\) les strates des ⌜(lieux et des)⌝ segments (ou bouts-ficelles), la fonction support \(|x|\) […] du dit, la fonction pour les lieux étant la fonction évidente. La condition (ii) n'est pas satisfaite ([…] […] […], si les bouts de […] […] […] : des points de la ficelle ne sont […] […] […], ou […] […] […] […] […]…) mais (vi) sont satisfaites…) « Exemple » est souligné. La fin de l'exemple, écrite vite, n'est lue qu'en partie

NB […] […] pour la condition (ii), que les « […] » […] […] ficelles communes note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de l'exemple, lue par fragments

Dans tous les cas intéressants de strates connus, sauf peut-être celui des strates associé à un ens. ordonné (traversé […] […]) donné ad hoc, on trouve une notion naturelle de supports \(|\ |\).

La question qui se pose donc aussitôt : Une telle donnée détermine-t-elle \(P\) à isomorphisme unique près — p.ex. par l'existence d'un iso com. ⌜d'ens. ordonnés avec⌝ application ⌜opération⌝ \(\complement\) \[\Sigma_{\mathcal{M}} \simeq \mathfrak{P}(P) \ ??\] sous \(\Sigma_{\mathcal{M}}\), « ens. des supports “abstraits” de \(\mathcal{M}\) »

75son numéro « 75 » en haut de la page Pour toute partie \(A\) de \(\mathcal{M}\), posons \[|A| = \bigcup_{X \in A} |X|\] NB \(|\emptyset| = \emptyset\), \(\ldots\) vide ainsi… si \(|\mathcal{M}| = P\) note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de la formule ; le dernier \(|\mathcal{M}|\) est surchargé

Ceci posé, je ⌜voudrais⌝ dis que pour deux parties \(A\), \(B\) de \(\mathcal{M}\), on ait \[(*) \qquad \operatorname{supp} A \subset \operatorname{supp} B \overset{?}{\iff} |A| \subset |B|\] (ou encore \(A \subset \operatorname{supp} B\)). En effet, on la première […] ⌜inclusion⌝ équivaut à \[(\alpha) \qquad \operatorname{cosupp} B \subset \operatorname{cosupp} A ,\] le point d'interrogation est au-dessus du \(\iff\) ; « (ou encore \(A \subset \operatorname{supp} B\)) » est écrit sous le membre de gauche ; « (\(\alpha\)) » est surchargé or on a on a, pour \(X \in \mathcal{M}\) \[\begin{array}{l} X \in \operatorname{cosupp} A \overset{\mathrm{déf}}{\iff} X \parallel A \overset{\mathrm{déf}}{\iff} \forall Y \in A,\ X \parallel Y \\ \qquad \overset{\mathrm{iii}_{\mathcal{M}}}{\iff} \forall Y \in A,\ |X| \cap |Y| = \emptyset \iff |X| \cap |A| = \emptyset \end{array}\] Donc l'inclusion \(\operatorname{supp} A \subset \operatorname{supp} B\), ou encore \((\alpha)\), équivaut à \[(\cdot) \qquad \forall X \in \mathcal{M}, \quad |X| \cap |B| = \emptyset \Longrightarrow |X| \cap |A| = \emptyset .\] et cette ⌜propriété⌝ […] sur \((A, B)\) est évidemment impliquée par \(|A| \subset |B|\). Donc dans (*) on a \(\Leftarrow\). Pour voir \(\Rightarrow\), il revient au même de montrer que dès \(|A| \not\subset |B|\) implique l'existence de \(X \in \mathcal{M}\), avec \(|X| \cap |B| = \emptyset\) mais \(|X| \cap |A| \neq \emptyset\). Ce n'est pas clair en général, et je donnerai plus loin un contre-exemple typique. Mais supposons que \(B\) soit un support, i.e. \(B\) \[B = \operatorname{supp} B ,\] la marque de la condition « \((\cdot)\) » est lue sans certitude

76son numéro « 76 » en haut de la page alors le 1er membre de (*) […] équivaut à \[A \subset B\] qui implique bien \(|A| \subset |B|\) tautologiquement. Ainsi

Lemme ! Sous la ⌜seule⌝ condition (iii\(_{\mathcal{M}}\)), si \(A\) et \(B\) sont deux parties de \(\mathcal{M}\) on a \[\operatorname{supp} A \subset \operatorname{supp} B \Longleftarrow |A| \subset |B|\] \[(\Leftrightarrow A \subset \operatorname{supp} B)\] et l'implication inverse est vraie si \(B\) est un support (i.e. \(B = \operatorname{supp} B\)). « Lemme ! » est souligné. Sur la page, « \((A \subset \operatorname{supp} B)\) » est écrit sous le membre de gauche, relié à lui par un signe \(=\) vertical ; la parenthèse est rendue ici par \(\Leftrightarrow\)

Corollaire L'application \[\Sigma_{\mathcal{M}} \longrightarrow \mathfrak{P}(P) \qquad A \longmapsto |A|\] est injective, et la relation d'inclusion dans \(\Sigma_{\mathcal{M}}\) est induite par la relation d'inclusion dans \(\mathfrak{P}(P)\). « Corollaire » est souligné ; son énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge

Qu'en est-il de de l'intersection \(\bigwedge_i\) ⌜\(= \bigcap_i\)⌝ et du la « réunion » sup \(\bigvee_i\) des supports ? On a \[\left| \bigwedge_i A_i \right| \subset \bigcap_i |A_i| \qquad \text{tautologiques}\] \[\left| \bigvee_i A_i \right| \supset \bigcup_i |A_i| \qquad \text{id}\] mais je doute qu'on ait tjrs égalité. D'autre part, je dis que \[|\complement_{\mathcal{M}}(A)| \subset P \smallsetminus |A|\] dans la dernière formule, le \(P\) est écrit en surcharge sur une autre lettre ; la page s'arrête sur cette formule

77son numéro « 77 » en haut de la page En effet, \[\complement_{\mathcal{M}}(A) = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \parallel A \rbrace = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid |X| \cap |A| = \emptyset \rbrace\] sous le dernier membre : « i.e. \(|X| \subset P \smallsetminus A\) » donc \[|\complement_{\mathcal{M}}(A)| = \bigcup \overline{X} \quad \text{pour } X \in \mathcal{M} \text{ t.q.\ } |X| \subset P \smallsetminus A\] « \(\overline{X}\) » est sur la page, pour \(|X|\) ; de même « \(P \smallsetminus A\) » pour \(P \smallsetminus |A|\) ; un \(\mathcal{M}\) est écrit en surcharge dans « \(X \in \mathcal{M}\) » d'où l'inclusion dite, sans garantie qu'on soit tjrs égalité.

On aimerait aussi avoir, pour \(A\) partie quelconque de \(\mathcal{M}\) \[(**) \qquad |A| \overset{?}{=} |\operatorname{supp} A| ,\] alors qu'on a a priori (tautologiquement) \[|A| \subset |\operatorname{supp} A|\] puisque \(A \subset \operatorname{supp} A\). Ce dont on a besoin : \[|\operatorname{supp} A| \subset |A|\] ce qui serait conséquence de l'implication inverse (hypothétique) de celle du Lemme. La validité de cette implication inverse, pour […] \(A\), \(B\), est d'ailleurs équivalente au cas particulier d'un couple \((\operatorname{supp} A, A)\), i.e. à la validité de (**). Cela fait donc quelques perplexités, liées au formalisme […] des \(P\)-supports. « (**) » : les deux astérisques sont lus sans certitude ; dans la marge de la dernière ligne, un petit triangle surchargé, relié par un trait à un « (2) » cerclé

Tout se résoud si on fait l'hypothèse suivante

Hyp Soit \(A \subset \mathcal{M}\), et \(x \in P \smallsetminus |A|\). Alors \(\exists\, X \in \mathcal{M}\) avec […] \(X \parallel A\) (i.e. \(|X| \subset P \smallsetminus |A|\)) et \(x \in |X|\) « Hyp » est souligné

78son numéro « 78 » en haut de la page Mais ça signifie ni plus ni moins que \[\bigcup_{\substack{X \in \mathcal{M} \\ X \parallel A}} |X| = P \smallsetminus |A| \qquad (\text{i.e.\ } X \in \operatorname{cosupp} A)\] i.e. que l'inclusion \(|\complement_{\mathcal{M}}(A)| \subset P \smallsetminus |A|\) est une égalité. (En l'occurrence pas seulement pour \(A\) […] un ensemble support, mais quelconque…) Comme \(\operatorname{supp} A = \operatorname{cosupp}(\operatorname{cosupp} A)\) on en déduira bien, \(|\operatorname{supp} A| = P \smallsetminus (P \smallsetminus |A|) = A\), OK. \(|\operatorname{cosupp} A| = P - A\) note écrite en oblique dans la marge gauche, cerclée, avec une flèche vers « i.e. » ; « \(= A\) » est sur la page, pour \(|A|\), comme « \(P - A\) » dans la marge. Le premier « \(\operatorname{cosupp}\) » de \(\operatorname{cosupp}(\operatorname{cosupp} A)\) est écrit en surcharge ; sous « OK. », un mot biffé

Lemme 2 Sous les conditions (iii\(_{\mathcal{M}}\)) et (vi\(_{\mathcal{M}}\) a), supposons de plus l'hypothèse précédente satisfaite, i.e. \[\forall A \subset \mathcal{M}, \qquad |\operatorname{cosupp} A| = P \smallsetminus |A| .\] Alors pour tout \(A \subset \mathcal{M}\), on a \[|A| = |\operatorname{supp} A| ,\] et pour \(A, B \subset \mathcal{M}\), on a \[\operatorname{supp} A \subset \operatorname{supp} B \iff |A| \subset |B|\] \[(\ \iff A \subset \operatorname{supp} B \iff \operatorname{cosupp} B \subset \operatorname{cosupp} A\] « Lemme 2 » est souligné. Sur la page, les deux dernières conditions sont écrites en colonne sous « \(\operatorname{supp} A \subset \operatorname{supp} B\) », reliées par des signes \(=\) verticaux, dans une parenthèse ouverte que ferme la ligne suivante et pas seulement « \(\Leftarrow\) » comme dans le lemme 1). Ainsi (cor. lemme), l'application (injection, plongement ordonné) \[\Sigma_{\mathcal{M}} \longrightarrow \mathfrak{P}(P) \qquad A \longmapsto |A|\] commute : l'application \(\complement_{\mathcal{M}}\), \(\complement_{P}\).

79son numéro « 79 » en haut de la page Qu'en est-il des formules pour les Sup et les Inf ? Moyennant passage aux complémentaires, on est réduit à celle sur les Inf, qui est l'intersection. \[(\times) \qquad \struck{\ill{}}\ \left| \bigcap A_i \right| \overset{?}{=} \bigcap_i |A_i|\] (les \(A_i\) des parties supports). En dehors des cas ensembliste et quasi-ensembliste, ces sup ne sont guère intéressants, n'ayant d'intérêt que pour des parties \(A_i\) formées d'éléments deux à deux compatibles… note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard du début de la page et de \((\times)\), avec une flèche vers « Sup et les Inf » ; « \((\times)\) » y est répété

Pour prendre le complément des premiers, soit \(\mathcal{U}\) […] […] il faut montrer \(\mathcal{U} \cap \bigcap |A_i| = \emptyset\) ?? On pose […] \(\mathcal{U} = |\bigvee A_i|\) ces lignes sont barrées de grands traits obliques croisés ; la page porte « \(\bigvee_i\) » dans la dernière formule biffée

Je ne sais pas aller plus loin, sauf si je fais l'hypothèse très commode suivante, beaucoup plus forte que la précédente :

Hyp' \(\forall\, a \in P\), \(\exists\, X \in \mathcal{M}\) avec \(|X| = \lbrace a \rbrace\). « Hyp' » est souligné ; le \(P\) de « \(a \in P\) » est écrit en surcharge

Cela implique déjà la surjection (vi\(_{\mathcal{M}}\) b), la compatibilité de \(\Sigma_{\mathcal{M}} \to \mathfrak{P}(P)\) aux applications \(\complement\) (plus gén. la formule \[|\operatorname{cosupp} A| = P \smallsetminus |A| \qquad \forall A \subset \mathcal{M} ,\] et je dis que ça implique aussi l'égalité dans dans \(|X|\) ci-dessus. Soit en effet un pt du second membre, […] soit \(X \in \mathcal{M}\) ⌜[…]⌝ avec \(|X| = \lbrace x \rbrace\), on a ⌜\(\forall i\)⌝ […] \(|X| \subset |A_i| \iff \operatorname{supp} X \subset \operatorname{supp} A_i\) « surjection » : lecture douteuse ; « \(|X|\) ci-dessus » renvoie sans doute à la formule \((\times)\). Sous le dernier \(\iff\), deux points lus comme « \(A_i\) » ; la page s'arrête sur cette formule

80son numéro « 80 » en haut de la page i.e. \(X \in A_i\), donc \(X \in \bigcap A_i\), donc \(|X| \subset |\bigcap A_i|\) d'où \(x \in |\bigcap A_i|\).

On trouve ainsi

Proposition Soit \(\mathcal{M}\) un strates, […] \(P\) un ens., et \[X \longmapsto |X| : \mathcal{M} \longrightarrow \mathfrak{P}(P)\] satisfaisant les conditions suivantes :

Supp\(_{P}^{1}\) […] \(\forall X, Y \in \mathcal{M}\), \(X \parallel Y \iff |X| \cap |Y| = \emptyset\)

Supp\(_{P}^{2}\) \(\forall x \in P\), \(\exists\, X \in \mathcal{M}\) t.q. \(|X| = \lbrace x \rbrace\) « Supp\(_P^1\) » et « Supp\(_P^2\) » sont soulignés ; devant « \(\forall X, Y \in \mathcal{M}\) », une formule est raturée de hachures ; dans Supp\(_P^2\) les lettres \(P\) et \(\mathcal{M}\) sont écrites en surcharge

Posons, pour tout \(A \subset \mathcal{M}\), \[|A| \overset{\mathrm{déf}}{=} \bigcup_{X \in A} |X| .\] Alors on a ce qui suit

(i) \(\forall A \subset \mathcal{M}\), on a \[|A| = \operatorname{supp} A .\] la page écrit « \(|A| = \operatorname{supp} A\) », sans barres au second membre ; le lemme 2 (page 78) énonce \(|A| = |\operatorname{supp} A|\) (ii) Pour \(|\operatorname{cosupp} A| = P \smallsetminus |A|\). cette formule est écrite sous la précédente, après un « (ii) Pour » biffé

(ii) Pour \(A, B \subset \mathcal{M}\), on a

1°) \(\operatorname{supp} A \subset \operatorname{supp} B\) ⌜i.e. \(A \subset \operatorname{supp} B\)⌝ \(\iff |A| \subset |B|\)

2°) \(A \parallel B \iff |A| \cap |B| = \emptyset\)

(iii) L'application \[\Sigma_{\mathcal{M}} \rightleftarrows \mathfrak{P}(P) \qquad A \longmapsto |A|\] est bijective est ⌜un⌝ iso. d'ens. ordonnés commutant aux op. \(\complement\). Ceci est valable sans Supp\(^{2}\) et avec moins même note dans la marge gauche, avec une flèche vers 2°). Le numéro de (iii) est écrit en surcharge ; « Alors » est souligné. La page, et le lot, s'arrêtent sur cet énoncé