Notion de support
titre souligné, de sa main
Soit \mathfrak{F} un atelier. Soit \Sigma_{\mathfrak{F}} \subset \mathfrak{P}(\mathfrak{F}) l'ens. des parties de \mathfrak{F} qui sont (définies par \leq) fermées à la fois pour \leq et \ll, et stables par Sup pour \leq (Sup finis ou infinis). Soit \Sigma_{\mathcal{M}} l'ens. des parties de \mathcal{M} fermées pour \ll. Alors on a deux bijections, inverses l'une de l'autre
(*) \qquad \Sigma_{\mathfrak{F}} \rightleftarrows \Sigma_{\mathcal{M}} , \qquad
\mathfrak{S} \longmapsto \mathfrak{S} \cap \mathcal{M} , \qquad
\mathfrak{F}_{S} = \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid \widetilde{F} \subset S \rbrace \longleftarrow\!\shortmid\ S
Iso. d'ens. ordonnés
« (*) » : marque lue sans certitude, dans la marge gauche. La page dispose les deux flèches \rightleftarrows entre \Sigma_{\mathfrak{F}} et \Sigma_{\mathcal{M}}, avec la première flèche « \mathfrak{S} \mapsto \mathfrak{S} \cap \mathcal{M} » au-dessus (un mot biffé à sa suite) et la seconde au-dessous ; l'indice de \Sigma_{\mathcal{M}} est écrit en surcharge ; « Iso. d'ens. ordonnés », souligné, est à droite. La lettre rendue \mathfrak{S} est une capitale cursive surchargée
moyennant quoi on va les identifier, trouvant un ens. \Sigma.
Soit \mathfrak{F} A \subset \mathfrak{F} une partie quelconque. On définit son cosupport par
\operatorname{cosupp} A = \lbrace G \in \mathfrak{F} \mid \forall F \in A,\ F \parallel G \rbrace \subset \mathfrak{F}
le F de « \forall F \in A » est écrit en surcharge
On voit, grâce à At D, que
\operatorname{cosupp} A \in \Sigma_{\mathfrak{F}}
et il est
On
et tout ceci est formel en termes de la donnée d'une relation \parallel dans l'ens. abstrait \mathfrak{F} — se généraliserait aussi pour une relation quelc. entre deux ens.)
On écrit F \parallel A au lieu de F \in \operatorname{cosupp} A. On écrit A \parallel B pour les relations équivalentes :
(i) A \subset \operatorname{cosupp} B ;
(ii) B \subset \operatorname{cosupp} A ;
(iii) \forall X \in A, X \parallel B ;
(iii) \forall Y \in B, Y \parallel A ;
(iii') \forall X \in A, Y \in B, X \parallel Y ;
sera équivalente aussi à deux autres :
\operatorname{supp} A \cap \operatorname{supp} B = \emptyset
(ce qu'indique )
longue note écrite en oblique dans la marge gauche, sur toute la moitié inférieure de la page. Il numérote deux conditions « (iii) », la première surchargée ; la dernière ligne n'est lue qu'en partie
son numéro « 62 » en haut de la page
(i) A \subset B \Longrightarrow \operatorname{cosupp} A \supset \operatorname{cosupp} B
(ii) A \subset \overline{A}, et A \subset B \Rightarrow \overline{A} \subset \overline{B}, donc \bigcup_i \overline{A_i} \subset \overline{\bigcup A_i} pour une famille d'ens. (mais on n'a pas en général l'égalité)
(iii)
(iii) \overline{\overline{A}} = \overline{A}
(iv) Conditions équivalentes sur A \subset \mathfrak{F}.
a) \exists\, B avec A = \operatorname{cosupp} B
b) A = \overline{A}
c)
On dira alors que A est une partie supp-ferméesupport ».
(v) \forall A \subset \mathfrak{F}, \overline{A} est la plus
Soit \Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}} = \ill{} la partie de \Sigma_{\mathfrak{F}} formée des parties fermées de \mathfrak{F}. supports de \mathfrak{F}. \mathfrak{F}-supports. On a alors
un premier « \Sigma^{\circ} », surchargé, est écrit sous la ligne biffée, avec « supp » au-dessous ; la fin de la ligne suivante est biffée
(v) Si A \subset \mathfrak{F}, \overline{A} est la plus petite partie \mathfrak{F} fermée \mathfrak{F}-support contenant A.
(vi) L'application
A \longmapsto \operatorname{cosupp} A \qquad \mathfrak{P}(\mathfrak{F}) \to \Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}
a une application induit une anti-iso. d'ens. ordonnés
\Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}} \longrightarrow \Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}
qui est involutif (exprime le fait que la relation \parallel est symétrique). On pose aussi, si A est un support
\complement A = \operatorname{cosupp} A ,
« anti » est ajouté au-dessus de la ligne ; devant \complement A, un « C » plus appuyé, en marge de la formule
son numéro « 63 » en haut de la page
où s'appelle le support complémentaire du support donné A.
(vii) \Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}} a un plus petit élément (savoir la partie \emptyset réduite à \emptyset_{\mathfrak{F}}^{*}
^{*} Ceci provient du fait que \emptyset_{\mathfrak{F}} est l'unique élément de \mathfrak{F} qui soit \parallel de tout élément de \mathfrak{F} (en nommant \emptyset_{\mathfrak{F}} disjoints d'elles-mêmes…). On le notera, par abus de langage, \emptyset (cf. plus haut), ou \emptyset_{\Sigma}
note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de (vii) et (viii), appelée par l'astérisque
(viii) Dans Plus généralement, \Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}, il y a des Sup Inf et des Sup quelconques, échangés par l'application \complement. Le
(ix) \forall A \in \Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}}, on a
A \cap \complement A = \emptyset_{\Sigma}
(En effet F ) (Exprime le fait que le seul élément de \mathfrak{F}
(x) Cor A \subset B \Longrightarrow A \cap \complement B = \emptyset_{\Sigma}
« (x) » : lecture douteuse du numéro, dans la marge gauche
NB Il n'est pas clair que l'implication \Rightarrow ci-dessus soit (il est parfois faux) claire. soit finis soient (contenant que parties de \mathfrak{F}), i.e. dans \mathfrak{F} — la réunion de deux supports, n'est pas a priori un support : cela exprime le fait intuitif qu'une « figure » (continue [dans ]) dans la réunion des supports [ ] figures n'est pas forcément contenue dans l'un ou l'autre ; elles le seraient dans le cas des multistrates…
paragraphe très chargé d'ajouts interlinéaires, dont l'ordre et le rattachement ne sont pas sûrs ; la dernière ligne de la page n'est lue qu'en partie
son numéro « 64 » en haut de la page
lieux (quand ce n'est pas dans les ateliers ensemblistes tout au moins…). Il n'est pas clair non plus, en général, que l'on ait, dans \Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}},
P \wedge \bigvee_i Q_i = \bigvee_i (P \wedge Q_i)
devant le premier \bigvee, un « Sup » est biffé ; devant le second, un signe raturé
(distributivité de l'intersection des supports, par rapport aux « sommes » même finies…). Pourtant, cela a tendance à être vrai, de même que l'implication réciproque de (*), dans les lieux les plus ateliers auxquels j'ai songé jusqu'à présent, cf. plus bas.
« (*) » : lecture douteuse du renvoi, qui semble viser l'implication « \Rightarrow » du NB de la page 63
Toute ceci se retrouvait dans la vide de \mathcal{M}, et son plus grand élément est \mathcal{M}.
Si A \subset \mathfrak{F} est fermé pour \leq, \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(A) \cap \mathcal{L} = \operatorname{cosupp}_{\mathcal{L}}(A \cap \mathcal{L}), en particulier pour F \in \mathfrak{F}, \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(F) \cap \mathcal{L} = \operatorname{cosupp}_{\mathcal{L}}(\ill{}(F))
note écrite en oblique dans la marge gauche, au bas de la page ; devant le dernier « (F) », un petit signe surmonté d'un rond n'est pas lu
son numéro « 65 » en haut de la page
On a les constructions duales dans \mathcal{L} muni de \parallel, d'où \Sigma^{\circ}_{\mathcal{L}}, ens. des parties de \mathcal{L} « fermées ». Considérons les applications canoniques
\Sigma^{\circ}_{\mathcal{M}} \rightleftarrows \overline{\Sigma_{\mathcal{L}}} \overset{\mathrm{déf}}{=} \mathfrak{P}(\mathcal{L}), A \mapsto A \cap \mathcal{L}, A_S = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid \mathrm{omb}(X) \subset S \rbrace \longleftarrow\!\shortmid\ S
ces lignes, jusqu'à la formule, sont barrées de trois longs traits obliques ; le « \overline{\phantom{x}} » sur \Sigma_{\mathcal{L}} est un trait appuyé qu'on lit sans certitude comme une barre
Cette relation entre supports dans \mathfrak{F}, et supports dans \mathcal{M}, se généralisait en remplaçant \mathcal{M} par une sous-ensemble \Lambda \subset \mathfrak{F}, soumis à la seule condition que voici :
Disj_{\Lambda} : Soit F \in \mathfrak{F}, \mathrm{omb}_{\Lambda}(F) = \lbrace X \in \Lambda \mid X \ll F \rbrace. Alors pour tout G \in \mathfrak{F}, on a
F \parallel G \iff \forall X \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(F),\ X \parallel G
l'énoncé de Disj_{\Lambda} est marqué d'un trait vertical dans la marge gauche ; « Disj » est souligné
Posant, pour A \subset \mathfrak{F}
\mathrm{omb}_{\Lambda}(A) \overset{\mathrm{déf}}{=} \bigcup_{F \in A} \mathrm{omb}_{\Lambda}(F) \subset \Lambda ,
on voit donc que pour toute partie A \in \mathfrak{F}, on a
\operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}} A = \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}} \mathrm{omb}_{\Lambda} A .
« A \in \mathfrak{F} » est ainsi sur la page, pour A \subset \mathfrak{F}
De plus, si A est fermé dans \mathfrak{F} \mathfrak{F} pour \ll, alors on voit aussitôt que
\mathrm{omb}_{\Lambda}(A) = \Lambda \cap A \qquad (A \text{ fermé dans } \mathfrak{F}, \ll)
(en général on a seulement \supset). Donc on a cependant
\operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(A) = \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(A \cap \Lambda) \qquad \text{si } A \text{ fermé dans } \mathfrak{F} \text{ pour } \ll
Ceci implique, en reprenant les cosupports
A
\operatorname{supp}_{\mathfrak{F}}(A) = \operatorname{supp}_{\mathfrak{F}}(A \cap \Lambda) \qquad \text{si } A \text{ fermé dans } \mathfrak{F} \text{ pour } \ll
et sans hyp. sur A
\operatorname{supp}_{\mathfrak{F}}(A) = \operatorname{supp}_{\mathfrak{F}}(\mathrm{omb}_{\Lambda}(A))
dans la formule \operatorname{supp}_{\mathfrak{F}}(A) = \ldots, le premier « \operatorname{supp} » est écrit en surcharge sur un « A » raturé, et le second sur une lettre surchargée ; « A \cap \Lambda » est placé en exposant au-dessus de « \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}} » dans les deux formules
son numéro « 66 » en haut de la page
On trouve ainsi une correspondance biunivoque entre les ens. de \mathfrak{F}-supports et de \Lambda-supports
\Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}} \rightleftarrows \Sigma^{\circ}_{\Lambda} , \qquad
A \longmapsto A \cap \Lambda = \mathrm{omb}_{\Lambda}(A) , \qquad
\operatorname{supp}_{\mathfrak{F}} S = \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid \mathrm{omb}_{\Lambda}(F) \subset S \rbrace \longleftarrow\!\shortmid\ S
la page dispose les deux flèches entre \Sigma^{\circ}_{\mathfrak{F}} et \Sigma^{\circ}_{\Lambda}, puis au-dessous les deux applications ; « \operatorname{supp}_{\mathfrak{F}} S » est relié par un signe = vertical à l'ensemble \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid \ldots \rbrace écrit sous lui
respectant les relations d'ordre (inclusion) et la « passage au complémentaire », que je vais noter \complement_{\mathfrak{F}}, \complement_{\Lambda}.
« passage » : le mot est écrit « p.r.g. » ou approchant ; on lit la même abréviation à la page 68
On a intérêt, pour « comprendre » les supports, de prendre \Lambda aussi petit que possible, mais cela demande . Le choix \mathcal{L} s'impose, mais cela demande que l'axiome At L 2 soit satisfait — ce qui n'est pas toujours cependant. Ainsi, on trouve (dans ce cas) par abus, en laissant tomber l'exposant \Sigma…)
\Sigma_{\mathfrak{F}} \simeq \Sigma_{\mathcal{M}} \simeq \Sigma_{\mathcal{L}}
sous-entendu : chaque fois : la notation d'iso. ensemblistes, des supports, définie ensemblistement, en termes de \parallel_{\mathfrak{F}} ou \parallel_{\mathcal{M}} ou \parallel_{\mathcal{L}}).
« At L 2 » est un nouveau nom d'axiome, pour les lieux ; il revient aux pages 68 et 73. Le passage qui suit est écrit vite, entre les lignes, et n'est lu qu'en partie
NB Les de \mathfrak{F} At L 2, il \mathcal{M} de \mathcal{L}, de la relation \parallel_{\mathcal{L}}
note écrite en oblique dans la marge gauche, au bas de la page, lue par fragments
Un cas particulièrement agréable est celui où \parallel_{\mathcal{L}} est la relation tautologique : x \neq y (p.ex. cas d'un atelier quasi-ensembliste)
« agréable » est souligné
son numéro « 67 » en haut de la page
on trouve
\Sigma_{\mathcal{L}} = \mathfrak{P}(\mathcal{L}) ,
l'opération \complement_{\mathcal{L}} étant simplement le passage au complémentaire. Dans ce cas, le support d'une partie A de \mathfrak{F} (ou de \mathcal{M}, quand on y passe en strates), identifié à une partie de \mathcal{L}, n'est autre que \mathrm{omb}_{\mathcal{L}}(A) = \mathrm{omb}(A). Donc dans ce cas, la définition devient simplement : posons
\operatorname{supp} A = \mathrm{omb}(A) \overset{\mathrm{déf}}{=} \bigcup_{F \in A} \mathrm{omb}(F)
\operatorname{cosupp} A = \complement_{\mathcal{L}} \operatorname{supp} A \qquad \text{(complémentaire ordinaire)}
Ceci traduit en fait que la relation cruciale de disjonction, devient simplement
F \parallel G \iff (\mathrm{omb}\, F \cap \mathrm{omb}\, G = \emptyset)
relation de disjonction ensembliste sur les ombres (relation d'objets supports pour la omb ensembliste). Dans ce cas, les perplexités p. 63, 64 se résolvent, on a
\left\lbrace
\begin{array}{l}
A \subset B \iff A \cap \complement(B) = \emptyset_{\Sigma} \\
A \cap \bigvee_i B_i = \bigvee_i A \cap B_i \quad \text{dans } \Sigma \ —
\end{array}
\right.
une flèche relie le \emptyset de la formule de F \parallel G au mot « ensembliste » de la ligne suivante, dont la fin n'est lue qu'en partie ; sous \complement(B), une petite flèche montante et le mot « compl. » entre guillemets
son numéro « 68 » en haut de la page. Un long trait oblique traverse toute la page, de haut en bas ; on transcrit le texte, qui se lit dessous
Ceci peut se généraliser ainsi. Soit
P \subset \mathcal{L}
P comme « points »
une partie de \mathcal{L} (ou simplement de \mathfrak{F} — mais pratiquement on sera toujours \subset \mathcal{L} je présume) telle que
a) si x, y \in P, x \neq y \Rightarrow x \parallel y (donc sur P, x \parallel y équivaut à x \neq y)
b) si F, G \in \mathfrak{F}, (resp. \mathcal{M}, \widetilde{\mathcal{M}}) alors et si \forall x \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(F), y \in \mathrm{omb}_{\Lambda}(G), x \parallel y, (C'est la condition At \Lambda 2 dans le cas \Lambda = P = condition qui remplace At L 2.)
b) est surchargé de ratures : trois lignes et demie sont biffées d'un trait horizontal et de traits obliques, et l'on ne donne que ce qui se lit ; « (et ss.) » est écrit au-dessus d'un mot raturé. Les lettres A, B de la dernière formule sont sur la page, là où l'on attend F, G
Un peu bref !
écrit en oblique dans la marge gauche, avec une flèche descendant vers « Alors »
Alors l'ens. ordonné des supports s'identifie à
\Sigma_{P} \simeq \mathfrak{P}(P) , \qquad \text{donc} \quad A \longmapsto \lbrace x \in P \mid \operatorname{supp} x \subset A \rbrace
\Sigma_{\mathfrak{F}\ (\text{ou } \mathcal{M},\ \text{ou } \mathcal{L})} \simeq \mathfrak{P}(P)
dans la première formule, la page écrit « \Sigma_{P} \simeq \mathfrak{P}(P), donc », puis au-dessous « A \mapsto \lbrace x \in P \mid \operatorname{supp} x \subset A \rbrace \simeq \mathfrak{P}(P) » ; l'indice \mathfrak{F} de la seconde est surchargé
iso d'ens. ordonnés, compatible à l'application \complement (« complémentaire »). Donc dans ce cas aussi, les perplexités se dissipent. Dans ce cas, il y a lieu de définir le support comme
\operatorname{supp} A = \mathrm{omb}_{\Lambda} A = \bigcup_{F \in A} \mathrm{omb}_{\Lambda}(F) .
Notons que l'isom. d'ens. ordonnés avec application « passage au complémentaire »
\Sigma \simeq \mathfrak{P}(P)
dans les deux dernières formules l'indice de \mathrm{omb} est un \Lambda ; on attend P
son numéro « 69 » en haut de la page
25 juin
date de sa main, « (25 juin) », entre parenthèses, dans l'angle supérieur gauche, avec un trait courbe qui la rattache au début du texte
En dehors du cas quasi-ensembliste, je suspecte que la notion de support, telle qu'elle est présentée ici, est caduque — qu'il ne faudrait parler de support d'une partie A de \mathcal{M}, disons, que quand les X \in A étant sont mutuellement compatibles, ou unions, si deux à deux ils admettent des mutuellement compatibles. Voici une situation un exemple typique.
Exemple Strates associées à un segment ens. ordonné I (p.ex. un « segment ordonné »).
\mathcal{M} = \mathcal{M}_0 \amalg \mathcal{M}_1
\mathcal{M}_0 (0-strates) = \struck{\ill{}}\ (= \mathrm{Drap}_0(I)),
\mathcal{M}_1 (1-strates) = ens. des sous-segments de I, i.e. parties X de la forme I_{a \leq \cdot \leq b}, où a < b. (NB a, b sont uniquement déterminés : origine et extrémité de X. On pose \partial X = \lbrace a, b \rbrace.
« Drap » : lecture douteuse. Une première rédaction des lignes de \mathcal{M}_1, encadrée puis biffée, se lit en partie : « \mathcal{M}_1 (1-strates) = \mathrm{Drap}_1(I) \simeq \lbrace (a,b) \in I \times I \mid a < b \rbrace », « ens. des parties … de I de la forme X_{ab} = \lbrace x \mid a \leq x \leq b \rbrace où a < b. Alors a, b uniquement déterminés, on écrira \partial X = \lbrace a, b \rbrace \subset \mathcal{M}_0 », et dans le cadre : « X \leq Y ssi X \subset Y dans … X < Y ssi X \in \mathcal{M}_1, Y \in \mathcal{M}_1, X \in \partial Y ; X \ll Y ssi … »
X \leq Y \iff \left\lbrace
\begin{array}{l}
X = Y \ \text{ou} \\
X \in \mathcal{M}_0,\ Y \in \mathcal{M}_1,\ X \in \partial Y
\end{array}
\right.
Cela X \mathrel{\triangleleft} Y X \mathrel{\triangleleft} Y
note à droite de la formule, où « X \mathrel{\triangleleft} Y » est écrit deux fois, la première dans une ligne biffée ; dans « X \in \partial Y », le Y est écrit en surcharge
X \ll Y \iff X \subset Y
X \between Y \iff \text{on est dans un des trois cas mutuellement exclusifs}
« mutuellement exclusifs » est lu dans la parenthèse « (X \overset{\circ}{\ll} Y signifie … mutuellement exclusifs) » écrite au-dessus, en partie biffée ; le « \overset{\circ}{\ll} » y est lu sans certitude
(a) X = Y (b) X \in \partial Y ou Y \in \partial X (cas où Y majore X et dans \mathcal{M}_1). (c) \partial X \cup \partial Y tot. ordonné, et X \cap Y est vide, ou réduit à un point, dire
NB. Tous les axiomes sont satisfaits, à l'exception de At L 1 (admissibilité), satisfait ssi les intervalles ]a,b[ sont \neq \emptyset (a < b).
son numéro « 70 » en haut de la page
NB Les strates sont combinatoirement finies — celles de \mathcal{L} = \mathcal{M}_0 sont de dim 0, celles de \mathcal{M}_1 de dim 1. Si X \in \mathcal{M}_0, X \operatorname{card} \widetilde{X} = \uncertain{0}, si X \in \mathcal{M}_1, \operatorname{card} \widetilde{X} = 3. On prend pour \mathfrak{F} les figures finies, i.e. les parties finies F de \mathcal{M}, telles que fermées pour \leq (i.e. contenant, avec X \in \mathcal{M}_1, ses deux extrémités) et telles que X, Y \in F \Rightarrow X \between Y.
« finies » est souligné deux fois. Le chiffre lu 0 pour \operatorname{card} \widetilde{X}, X \in \mathcal{M}_0, est petit et peu formé ; avec \widetilde{X} = \lbrace Y \mid Y \leq X \rbrace on attendrait 1, comme le 3 du cas X \in \mathcal{M}_1 compte X et ses deux extrémités
Comme dans GF III j'ai appelé « parties
sous cette ligne biffée, un croquis : une droite portant, de gauche à droite, un segment subdivisé en deux, un point isolé, un segment, deux points, un segment plus long subdivisé, un segment finement subdivisé, un point — une figure finie de l'exemple
Dans GF III, j'ai pris la peine essentiellement de définir le support d'un tel objet comme partie de I (appelée constructibles les parties que j'appelle « modérées »). Cela donne lieu à un formalisme raisonnable tant que la finitude d'un ens. de figures sujet à la propriété spécifiée au début. Dans le cas d'un , c'est OK si I est un ensemble , c'est (loc. cit. p. 8) et aucun tronçon ordonné. Toujours est-il que l'on trouve une notion de parties constructibles de I, de complémentaire d'une telle partie, et par une notion de compatibilité de parties constructibles, et une bonne formalisme de \cup, \cap, \complement pour les parties constructibles X_\alpha deux à deux disjointes compatibles (i.e. telles que la réunion des \partial X_\alpha soit tot. ordonnée).
« GF III » est le chapitre III, dossier 156-3 ; « loc. cit. p. 8 » y renvoie. La phrase du milieu, écrite vite, n'est lue qu'en partie
son numéro « 71 » en haut de la page
Je pense qu'on aura un tel formalisme sans hyp. sur I (genre « tronçons ordonnés ») à condition de tenir compte de la possibilité qu'il y ait des 1-strates
X = [a,b] \qquad (a < b)
réduites à \lbrace a, b \rbrace (quand ]a,b[ = \emptyset). Dans ce cas, il serait déraisonnable de définir \operatorname{supp} X = [a,b] ou, donc = \struck{\ill{}}\ \operatorname{supp} \partial X. Mais on doit pouvoir définir une notion de supports, associée à une partie tot. ordonnée finie quelconque \Delta de I (à savoir, \Delta = \bigcup_\alpha \partial X_\alpha)
a_1 < a_2 < \cdots < a_n
comme étant Pour Toute famille \mathfrak{X} \subset \mathcal{M}, \mathfrak{X} = \lbrace X_\alpha \rbrace, subordonnée à \Delta i.e. telle que \partial X_\alpha \subset \Delta \forall \alpha, on définit \operatorname{supp} \mathfrak{X} comme partie de cet ens. (partie ens. ordonné fermée, en fait, l'inclusion de I), et on définit de même supports, d'une définition virtuelle X \smallsetminus Y pour Y \ll X, d'une définition F \smallsetminus G pour F \leq G, F, G figures dans la
Mais ceci signifie justement que pour
son numéro « 72 » en haut de la page
on a une notion de « supports modérés »
On va définir cependant la notion de « réalisation par supports » d'un atelier, dans un ensemble P de « points ».
son numéro « 73 » en haut de la page
C'est la donnée d'une application
\mathcal{M} \longrightarrow \mathfrak{P}(P) \qquad X \longmapsto |X|
satisfaisant les conditions
(i)_{\mathcal{M}} X \ll Y \Longrightarrow |X| \subset |Y| application croissante (pour \ll, \subset)
(ii)_{\mathcal{M}} X \between Y \Longrightarrow |X| \cap |Y| = \bigcup_{Z \in X \cap Y} |Z|
(iii)_{\mathcal{M}} X \parallel Y \iff |X| \cap |Y| = \emptyset (NB \Rightarrow par (ii))
(iv)_{\mathcal{M}}
(v)_{\mathcal{M}} |X| = \bigcup_{Z \in \mathrm{omb}(X)} |Z|
(vi)_{\mathcal{M}} (b) si x, y \in P, \exists\, X \in \mathcal{M} avec x \in |X|, y \notin |X| ou l'inverse (a) \bigcup_{X \in \mathcal{M}} |X| = P, et
le « (iii)_{\mathcal{M}} » est entouré d'un cercle, et une flèche y mène depuis la marge ; le numéro de (vi) est écrit en surcharge sur un autre ; « (a) » et « (b) » sont cerclés, (a) est entouré d'un trait qui le renvoie par une flèche avant (b) — il faut sans doute lire (a) avant (b). Dans (ii), l'indice de la réunion, écrit sous la formule, est lu « Z \in X \cap Y » sans certitude ; dans (i), l'ajout « |Z| » au-dessus de la ligne n'est pas rattaché
le fond de l'axiome est dans l'implication \Leftarrow
écrit dans la marge gauche, avec une flèche vers (iii)_{\mathcal{M}}
NB 1)
NB 2) La condition v implique qu'il suffit de connaître |Z| pour Z \in \mathcal{L}. Mais cela définit alors |X| pour X général. Mais la validité des conditions (i) : (iv) dépend des conditions sur les |Z|. La condition (iii) p.ex. équivaut à (ou (iii')) pour x, y \in \mathcal{L}, + la condition At L 3 et (iii') At L 2. La condition (iii') : X_i La condition (i) tautologique (variante \Rightarrow). La condition (iv) résulte des autres (moyennant At L 2, L 3) via de supposer ces conditions. Donc, la variante
\mathcal{L} \longrightarrow \mathfrak{P}(P) , \qquad x \longmapsto |x| ,
le second NB, écrit vite et chargé de ratures et d'ajouts, n'est lu qu'en partie ; « At L 3 » y apparaît pour la première fois dans ce lot. La phrase se poursuit page 74
son numéro « 74 » en haut de la page
conditions
(i)_{\mathcal{L}} Soient x, y \in \mathcal{L}, alors x \neq y x \parallel y \iff |x| \cap |y| = \emptyset
(ii)_{\mathcal{L}}
Exemple P est une ficelle topologique, et \mathcal{M} les strates des (lieux et des) segments (ou bouts-ficelles), la fonction support |x|
NB pour la condition (ii), que les « » ficelles communes
note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de l'exemple, lue par fragments
Dans tous les cas intéressants de strates connus, sauf peut-être celui des strates associé à un ens. ordonné (traversé ) donné ad hoc, on trouve une notion naturelle de supports |\ |.
La question qui se pose donc aussitôt : Une telle donnée détermine-t-elle P à isomorphisme unique près — p.ex. par l'existence d'un iso com. d'ens. ordonnés avec application opération \complement
\Sigma_{\mathcal{M}} \simeq \mathfrak{P}(P) \ ??
sous \Sigma_{\mathcal{M}}, « ens. des supports “abstraits” de \mathcal{M} »
son numéro « 75 » en haut de la page
Pour toute partie A de \mathcal{M}, posons
|A| = \bigcup_{X \in A} |X|
NB |\emptyset| = \emptyset, \ldots vide ainsi… si |\mathcal{M}| = P
note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de la formule ; le dernier |\mathcal{M}| est surchargé
Ceci posé, je voudrais dis que pour deux parties A, B de \mathcal{M}, on ait
(*) \qquad \operatorname{supp} A \subset \operatorname{supp} B \overset{?}{\iff} |A| \subset |B|
(ou encore A \subset \operatorname{supp} B). En effet, on la première on a on a, pour X \in \mathcal{M}
\begin{array}{l}
X \in \operatorname{cosupp} A \overset{\mathrm{déf}}{\iff} X \parallel A \overset{\mathrm{déf}}{\iff} \forall Y \in A,\ X \parallel Y \\
\qquad \overset{\mathrm{iii}_{\mathcal{M}}}{\iff} \forall Y \in A,\ |X| \cap |Y| = \emptyset \iff |X| \cap |A| = \emptyset
\end{array}
Donc l'inclusion \operatorname{supp} A \subset \operatorname{supp} B, ou encore (\alpha), équivaut à
(\cdot) \qquad \forall X \in \mathcal{M}, \quad |X| \cap |B| = \emptyset \Longrightarrow |X| \cap |A| = \emptyset .
et cette propriété B
B = \operatorname{supp} B ,
la marque de la condition « (\cdot) » est lue sans certitude
son numéro « 76 » en haut de la page
alors le 1er membre de (*)
Lemme ! Sous la seule condition (iii_{\mathcal{M}}), si A et B sont deux parties de \mathcal{M} on a
\operatorname{supp} A \subset \operatorname{supp} B \Longleftarrow |A| \subset |B|
(\Leftrightarrow A \subset \operatorname{supp} B)
et l'implication inverse est vraie si B est un support (i.e. B = \operatorname{supp} B).
« Lemme ! » est souligné. Sur la page, « (A \subset \operatorname{supp} B) » est écrit sous le membre de gauche, relié à lui par un signe = vertical ; la parenthèse est rendue ici par \Leftrightarrow
Corollaire L'application
\Sigma_{\mathcal{M}} \longrightarrow \mathfrak{P}(P) \qquad A \longmapsto |A|
est injective, et la relation d'inclusion dans \Sigma_{\mathcal{M}} est induite par la relation d'inclusion dans \mathfrak{P}(P).
« Corollaire » est souligné ; son énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge
Qu'en est-il de de l'intersection \bigwedge_i = \bigcap_i et du la « réunion » sup \bigvee_i des supports ? On a
\left| \bigwedge_i A_i \right| \subset \bigcap_i |A_i| \qquad \text{tautologiques}
\left| \bigvee_i A_i \right| \supset \bigcup_i |A_i| \qquad \text{id}
mais je doute qu'on ait tjrs égalité. D'autre part, je dis que
|\complement_{\mathcal{M}}(A)| \subset P \smallsetminus |A|
dans la dernière formule, le P est écrit en surcharge sur une autre lettre ; la page s'arrête sur cette formule
son numéro « 77 » en haut de la page
En effet,
\complement_{\mathcal{M}}(A) = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \parallel A \rbrace = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid |X| \cap |A| = \emptyset \rbrace
sous le dernier membre : « i.e. |X| \subset P \smallsetminus A »
donc
|\complement_{\mathcal{M}}(A)| = \bigcup \overline{X} \quad \text{pour } X \in \mathcal{M} \text{ t.q.\ } |X| \subset P \smallsetminus A
« \overline{X} » est sur la page, pour |X| ; de même « P \smallsetminus A » pour P \smallsetminus |A| ; un \mathcal{M} est écrit en surcharge dans « X \in \mathcal{M} »
d'où l'inclusion dite, sans garantie qu'on soit tjrs égalité.
On aimerait aussi avoir, pour A partie quelconque de \mathcal{M}
(**) \qquad |A| \overset{?}{=} |\operatorname{supp} A| ,
alors qu'on a a priori (tautologiquement)
|A| \subset |\operatorname{supp} A|
puisque A \subset \operatorname{supp} A. Ce dont on a besoin :
|\operatorname{supp} A| \subset |A|
ce qui serait conséquence de l'implication inverse (hypothétique) de celle du Lemme. La validité de cette implication inverse, pour
Tout se résoud si on fait l'hypothèse suivante
Hyp Soit A \subset \mathcal{M}, et x \in P \smallsetminus |A|. Alors \exists\, X \in \mathcal{M} avec
son numéro « 78 » en haut de la page
Mais ça signifie ni plus ni moins que
\bigcup_{\substack{X \in \mathcal{M} \\ X \parallel A}} |X| = P \smallsetminus |A|
\qquad (\text{i.e.\ } X \in \operatorname{cosupp} A)
i.e. que l'inclusion |\complement_{\mathcal{M}}(A)| \subset P \smallsetminus |A| est une égalité. (En l'occurrence pas seulement pour A
Lemme 2 Sous les conditions (iii_{\mathcal{M}}) et (vi_{\mathcal{M}} a), supposons de plus l'hypothèse précédente satisfaite, i.e.
\forall A \subset \mathcal{M}, \qquad |\operatorname{cosupp} A| = P \smallsetminus |A| .
Alors pour tout A \subset \mathcal{M}, on a
|A| = |\operatorname{supp} A| ,
et pour A, B \subset \mathcal{M}, on a
\operatorname{supp} A \subset \operatorname{supp} B \iff |A| \subset |B|
(\ \iff A \subset \operatorname{supp} B \iff \operatorname{cosupp} B \subset \operatorname{cosupp} A
« Lemme 2 » est souligné. Sur la page, les deux dernières conditions sont écrites en colonne sous « \operatorname{supp} A \subset \operatorname{supp} B », reliées par des signes = verticaux, dans une parenthèse ouverte que ferme la ligne suivante
et pas seulement « \Leftarrow » comme dans le lemme 1). Ainsi (cor. lemme), l'application (injection, plongement ordonné)
\Sigma_{\mathcal{M}} \longrightarrow \mathfrak{P}(P) \qquad A \longmapsto |A|
commute : l'application \complement_{\mathcal{M}}, \complement_{P}.
son numéro « 79 » en haut de la page
Qu'en est-il des formules pour les Sup et les Inf ? Moyennant passage aux complémentaires, on est réduit à celle sur les Inf, qui est l'intersection.
(\times) \qquad \struck{\ill{}}\ \left| \bigcap A_i \right| \overset{?}{=} \bigcap_i |A_i|
(les A_i des parties supports).
En dehors des cas ensembliste et quasi-ensembliste, ces sup ne sont guère intéressants, n'ayant d'intérêt que pour des parties A_i formées d'éléments deux à deux compatibles…
note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard du début de la page et de (\times), avec une flèche vers « Sup et les Inf » ; « (\times) » y est répété
Pour prendre le complément des premiers, soit \mathcal{U} il faut montrer \mathcal{U} \cap \bigcap |A_i| = \emptyset ?? On pose \mathcal{U} = |\bigvee A_i|
ces lignes sont barrées de grands traits obliques croisés ; la page porte « \bigvee_i » dans la dernière formule biffée
Je ne sais pas aller plus loin, sauf si je fais l'hypothèse très commode suivante, beaucoup plus forte que la précédente :
Hyp' \forall\, a \in P, \exists\, X \in \mathcal{M} avec |X| = \lbrace a \rbrace.
« Hyp' » est souligné ; le P de « a \in P » est écrit en surcharge
Cela implique déjà la surjection (vi_{\mathcal{M}} b), la compatibilité de \Sigma_{\mathcal{M}} \to \mathfrak{P}(P) aux applications \complement (plus gén. la formule
|\operatorname{cosupp} A| = P \smallsetminus |A| \qquad \forall A \subset \mathcal{M} ,
et je dis que ça implique aussi l'égalité dans dans |X| ci-dessus. Soit en effet un pt du second membre,
son numéro « 80 » en haut de la page
i.e. X \in A_i, donc X \in \bigcap A_i, donc |X| \subset |\bigcap A_i| d'où x \in |\bigcap A_i|.
On trouve ainsi
Proposition Soit \mathcal{M} un strates,
Supp_{P}^{1}
Supp_{P}^{2} \forall x \in P, \exists\, X \in \mathcal{M} t.q. |X| = \lbrace x \rbrace
« Supp_P^1 » et « Supp_P^2 » sont soulignés ; devant « \forall X, Y \in \mathcal{M} », une formule est raturée de hachures ; dans Supp_P^2 les lettres P et \mathcal{M} sont écrites en surcharge
Posons, pour tout A \subset \mathcal{M},
|A| \overset{\mathrm{déf}}{=} \bigcup_{X \in A} |X| .
Alors on a ce qui suit
(i) \forall A \subset \mathcal{M}, on a
|A| = \operatorname{supp} A .
la page écrit « |A| = \operatorname{supp} A », sans barres au second membre ; le lemme 2 (page 78) énonce |A| = |\operatorname{supp} A|
(ii) Pour |\operatorname{cosupp} A| = P \smallsetminus |A|.
cette formule est écrite sous la précédente, après un « (ii) Pour » biffé
(ii) Pour A, B \subset \mathcal{M}, on a
1°) \operatorname{supp} A \subset \operatorname{supp} B i.e. A \subset \operatorname{supp} B \iff |A| \subset |B|
2°) A \parallel B \iff |A| \cap |B| = \emptyset
(iii) L'application
\Sigma_{\mathcal{M}} \rightleftarrows \mathfrak{P}(P) \qquad A \longmapsto |A|
est bijective est un iso. d'ens. ordonnés commutant aux op. \complement.
Ceci est valable sans Supp^{2} et avec moins même
note dans la marge gauche, avec une flèche vers 2°). Le numéro de (iii) est écrit en surcharge ; « Alors » est souligné. La page, et le lot, s'arrêtent sur cet énoncé