Cote n° 156-7, pages 21–40

Cote n° 156-7 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · [Chapitre] VII. Analysis situs (troisième mouture) : notes manuscrites (23-26/06/1986)
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

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21son numéro « 21 » en haut de la page ; sur tout ce lot sa pagination, en tête de chaque feuillet, coïncide avec celle des archivistes, comme dans les deux premières moutures

[…] […] $x \in \mathrm{omb}(X') \subset \mathrm{omb}(X)$, $y \in \mathrm{omb}(Y') \subset \mathrm{omb}(Y)$, […] $x \parallel y$. Or la condition $X'_L = \emptyset$ implique $x_L = \emptyset$ (car $x_L \ll X'_L$), et […] cela signifie ici que $x \notin \mathrm{omb}(L)$ (cf lemme) et itou pour $y$. Donc $x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L)$, $y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L)$, et si on a At CL (spéc), on conclut bien $x \parallel y$, la page commence au milieu d'un raisonnement engagé à la page 20 (lot 1) : la démonstration que At CL (spéc) entraîne le critère de compatibilité en termes de raffinements $X' \ll X$, $Y' \ll Y$ avec $X'_L = Y'_L = \emptyset$

[…] Donc la condition \[(\mathrm{AL}) \qquad \forall\, x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L),\ y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L), \ \text{on a}\ x \parallel y\] dans le premier $\mathrm{omb}(L)$, le $L$ est écrit en surcharge sur une autre lettre implique \[(\mathrm{A}) \qquad \forall\, X' \in \mathrm{Omb}(X),\ Y' \in \mathrm{Omb}(Y),\ X'_L = Y'_L = \emptyset, \ \text{on a}\ X \parallel Y\] « $X \parallel Y$ » est sur la page ; on attend $X' \parallel Y'$ et l'inverse est trivial, comme on voit en prenant $X, Y \in \mathcal{L}$. On a utilisé ici le « $X, Y \in \mathcal{L}$ » est sur la page ; on attend $X', Y' \in \mathcal{L}$

Lemme 1 Soient $L \leq F$ $P \leq Q$ (en l'occurrence […] $L \leq X$ ou $L \leq Y$) $x \in \mathrm{omb}(Q)$, alors $x \parallel Q$ \[x_P = \emptyset \iff x \notin \mathrm{omb}(P) \ \text{i.e.}\ x \not\ll P\] ([…]) dans $\mathrm{omb}(P)$ et dans $x \not\ll P$, le $P$ est écrit en surcharge sur une autre lettre ; la parenthèse finale ne contient qu'une formule biffée, non lue

En effet, $x \ll P \iff x_P \neq$ pour la première équivalence, passant aux négations, on trouve ⌜doit⌝ prouver \[x \ll P \iff x_P \neq \emptyset_{\mathfrak{F}} ,\] et comme $x_P \ll x$ et $x$ minimal dans $\mathcal{M} \smallsetminus \lbrace \emptyset_{\mathfrak{F}} \rbrace$ pour $\ll$, $x_P \neq \emptyset_{\mathfrak{F}}$ signifie aussi $x_P = x$ i.e. $x \ll P$. OK.

D'autre part, $x \parallel P \Rightarrow x \not\ll P$ est trivial, […] Je profite de l'occasion pour expliciter la définition (moyennant At D)

Lemme 2 Soient $P \leq Q$, et $F \ll Q$. Conditions équivalentes \[F_P = \emptyset \iff F \parallel P .\] l'énoncé du lemme 2 est marqué d'un trait vertical dans la marge On utilise que At D (ou plutôt, la prop. qui suit, […] p. 15) à $P, Q$ $P \leq P$, $F \ll Q$), pour avoir $\Longrightarrow$ ; l'autre est vrai avec les seuls axiomes At 1 – At 7. la page 15 est au lot 1

22On introduit donc « On introduit donc » est suivi d'un signe = ; l'axiome qui suit est souligné

At CL (pol) (Critère de compatibilité par les lieux, pour ateliers polyédraux)

Notons la première ligne du tableau, biffée, se lit : At D$_0$ + At L 1 + At CL (spéc) $\Longleftrightarrow$ At L 2 $\Longrightarrow$ At D, avec à droite une double flèche descendante vers « At D$_0$ », barrée elle aussi \[\begin{array}{ll} a) & \text{At L 2} + \text{At CL (spéc) (ou pol)} \ \Longleftrightarrow\ \text{At L 2} + \text{At C (spéc) (ou pol)} \\ b) & \text{At D}_0 + \text{At L 1} + \text{At CL (spéc) (ou pol)} \ \Longrightarrow\ \text{At L 2} \\ c) & \text{At L 2} + \text{At L 3} \ \Longrightarrow\ \text{At D} \ \Longrightarrow\ \text{At D}_0 \\ d) & \text{At L 3} + \text{At CL (spéc)} \ \Longrightarrow\ \text{At C} \\ e) & \text{At D} \ \Longrightarrow\ \text{At L 3} \end{array}\] les cinq lignes a)–e) sont réunies par une accolade à gauche. Dans a), un « At » est biffé en tête ; dans b), « At D$_0$ + » est écrit au-dessus d'un mot biffé, et un « At D » est biffé après « At L 2 », d'où part une double flèche descendante vers le « At D$_0$ » de c) ; dans c), « At D » est récrit sur un premier « At D » biffé, et une double flèche remonte de « At C » (ligne d)) vers « At D » ; à droite de d), un groupe de mots est biffé ; dans e), le « At » de « At L 3 » est en surcharge ; sous e), « At L 1 + A » biffé

Voir diagr. refait p. 45 note écrite en oblique à droite des lignes c)–e) ; la page 45 est au lot 3

Pratiquement, je retiens ceci, concernant l'ensemble des axiomes de compatibilité-disjonction [et de divisibilité] \[\begin{array}{lll} C \Rightarrow D \Rightarrow D_0 , & \text{At C (spéc)} & \text{At CL (spéc)} \\ \quad \Downarrow & \text{At C (pol)} & \text{At CL (pol)} \\ {[L 1]}\ L 2,\ L 3 & & \end{array}\] la double flèche descend de « D » vers « L 2, L 3 »

1) Du point de vue des axiomes inconditionnels (sans ⌜restriction⌝ spéc ou pol …), les deux axiomes […] L 2, L 3 de disjonction impliquant les lieux impliquent D donc D$_0$, mais non C ([…] […] de compatibilité, […] […] n'intervenant pas : une disjonction). Pour déduire C d'axiomes pertinents sur les lieux, il nous faut des At CL spéc ou At CL (pol). À ce sujet, on note \[\text{At L 2} + \text{At L 3} + \text{At CL (spéc)} \quad \begin{array}{l} \text{implique tous les axiomes de compatibilité-} \\ \text{disjonction (style spéc) :} \\ \text{At C (spéc) \quad par (a)} \\ \text{At D \quad par (c) d'où D}_0 \\ \text{At C \quad par NB p.~17 ou par d)} \end{array}\] la page 17 est au lot 1

On peut […] […] […] At L « pol » ald « spéc » « ald » : au lieu de ; ces mots, en bas à gauche de la page, sont écrits sous une ligne biffée

23L'axiome de divisibilité At L 1 est à part, il n'intervient pas encore dans ce qui précède, mais on a \[\begin{array}{l} \text{At L 1} + \text{At L 2} + \text{At L 3} + \text{At CL (spéc)} \\ \quad \Updownarrow \\ \text{At D}_0 + \text{At L 1} + \text{At L 3} + \text{At CL (spéc)} \\ \quad \Downarrow \\ \text{At D} + \text{At L 1} + \text{At CL (spéc)} \qquad \text{At C (spéc)} \end{array}\] implique tous les axiomes de compatibilité — en supposant, i.e. style « spéc » — plus bien sûr At L 1 lui-même. cette dernière phrase est écrite à droite des deux premières lignes du tableau sous la première ligne, « At D$_0$ » biffé. Sur la dernière ligne, « At C (spéc) » est écrit au-dessus, à droite, comme une variante ; au-dessous vient une ligne mal lue : « et […] At D + At L 1 + At L 2 + […] […] « pol » ald « spéc » », le « At D » de tête étant repassé. Une note oblique de la marge gauche, d'où partent deux flèches vers ces deux lignes, se lit : « […] […] deux axiomes relatifs At D, At C (sp) et deux axiomes relatifs à L »

Récapitulation des axiomes (à l'exclusion des […] axiomes d'extension d'une subdivision, version générale, ou « spéc », ou « pol »…)

At 1Sup des familles filtrantes majorées
At 2Critère de $\leq$ par strates
At 3Critère de disjonction compatibilité par strates
At 4Critère de $\ll$ par strates
At 5Critère des raffinements entre sous-figures ([…])
At 6Axiome de la plus petite strate, ou des raffinements intérieurs de strates $X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y$
At 7Transitivité des raffinements intérieurs

axiomes du « gros œuvre » $\leq$ compatibilité […] de $\leq$ et $\ll$ accolades et mots de la marge gauche : « $\leq$ » réunit At 1 – At 3, une seconde accolade At 4 – At 7, une grande accolade, dans la marge, At 1 – At 7 avec « axiomes du “gros œuvre” » écrit de bas en haut. La parenthèse de At 5 contient une formule entre sous-figures, non lue avec assez de sûreté, du type « $G \leq F$, $G \leq H$, $F \ll G \Leftrightarrow F \ll G$ »

At CCritère de compatibilité de raffinements de sous-figures.
At DCritère de disjonction de — — —
At D$_0$disjonction stabilité de $\parallel$ par $\ll$
At C (spéc)Critère de compatibilité dans les ateliers spécieux
At C (pol)— — — polyédraux

axiomes de compatibilité, disjonction des flèches descendantes vont de At C à At D et de At D à At D$_0$

At Fil.Existence des Sup filtrants de ⌜une famille loc. finie de⌝ raffinements
At supp.…

ces deux lignes sont entourées d'un cadre, d'où part une longue flèche qui descend le long de la marge droite, passe devant At CL et sort au bas de la page

At L 1Axiome de divisibilité
At L 2Critère de disjonction par les lieux
At L 3Axiome de disjonction pour les lieux
At CL (spéc)Critère de compatibilité par les lieux (at. spécieux)
At CL (pol)— — — (— polyédraux)

axiomes concernant les lieux

24Je reviens sur la description d'un atelier spécieux ou polyédral, satisfaisant L 1, L 2, L 3 plus At L (spéc) ou At CL (spéc) (ou, au choix, At CL (pol)), en termes de $(\mathcal{M}, \leq, \ll, \between)$ *.

* […] […] […] au moins […] […] […] […] […] de lieux… note écrite en oblique dans la marge gauche, appelée par l'astérisque qui suit $(\mathcal{M}, \leq, \ll, \between)$ ; lue seulement en partie

Le point ici, c'est que le critère At CL (spéc) […] réduit, pour connaître $\underset{\mathcal{M}}{\between}$, à la connaissance de $\underset{\mathcal{L}}{\parallel}$, i.e. à celle d'une structure de graphe sur $\mathcal{L}$ (NB dans le cas d'un atelier ensembliste, je rappelle que $x \parallel y \Leftrightarrow x \neq y$). Donc, la question est, partant de $(\mathcal{M}, \leq, \ll)$, d'où $\mathcal{L}$ devant $\underset{\mathcal{L}}{\parallel}$, un signe de compatibilité est biffé \[(1) \qquad (\mathcal{M}, \leq, \ll)\] d'où \[(2) \qquad \mathcal{L} = \lbrace x \in \mathcal{M} \mid x \ \text{minimal pour}\ \ll \rbrace ,\] et d'une relation symétrique antiréflexive $x \parallel y$ ($x, y \in \mathcal{L}$) ([…] $x \neq y$) sur $\mathcal{L}$, quelles conditions […] pour que ça corresponde bien à un […] spécieux, satisfaisant At (ou plus At CL (spéc)) les conditions L 1, L 2, L 3.

[…] une seconde note, longue, écrite en oblique sur sept ou huit lignes dans la marge gauche en regard de (2)–(3), n'a pas été lue ; on y distingue « figures », « lieux », « compatibles », « atelier », « L (?) » et « $\mathcal{M}_{\leq}$ »

Il est entendu qu'on va définir $\underset{\mathcal{M}}{\between}$ par \[(3) \qquad X \between Y \iff \forall\, x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L),\ y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L), \ \text{on a}\ x \parallel y ,\] où \[L = X \cap Y = \operatorname*{Sup}_{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} Z \qquad \Bigl(\text{donc}\ \mathrm{omb}(L) \overset{\mathrm{def}}{=} \bigcup_{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} \mathrm{omb}(Z)\Bigr) .\] Pour commencer, il faut vérifier ⌜écrire⌝ les conditions préliminaires \[(4) \qquad X \between Y,\ X' \leq X,\ Y' \leq Y \Longrightarrow X' \between Y'\] et nous devrions le faire sous des formes plus

25D'abord, précisons dégageons quelques conditions concernant $\leq$, $\ll$, […] indépendamment de $\parallel$. \[(\mathrm{ML}\ 0) \qquad X \leq Y \Longrightarrow X \ll Y \qquad \text{pour mémoire}\] le « 0 » de ML 0 est repassé

(ML 1) Soit $X' \leq X \geq X''$, soit $x \in \mathcal{L}$ avec $x \ll X'$, $x \ll X''$, alors $\exists\, Z \in$ […] avec $x \ll Z$ et $Z \leq X', X''$. sur la page, $X''$ est écrit sous $X$, relié à lui par un signe $\geq$ vertical [on doit pouvoir supposer $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z$ […] $Z \in \mathcal{M}$ quelc. ?] note entre crochets à droite de ML 1, rattachée par une flèche à « $x \in \mathcal{L}$ »

[I.e. $X' \cap X''$ la « figure intersection » $X' \cap X'' = \widetilde{X}' \cap \widetilde{X}''$ est un Inf de $X', X''$ pour $\ll$, […] […] […] $\mathcal{L}$)

Il faudra renforcer, avec $X' \ll X$, $X'' \leq X$, […] les propriétés […] Inf$(X', X'')$ note oblique dans la marge gauche, cernée d'un trait qui la rattache à ML 1, et marquée d'un double trait vertical

([…]) Posons pour $\mathrm{omb}(X) = \mathrm{omb}$ ⌜$X \in \mathcal{M}$⌝ \[\begin{aligned} \mathrm{omb}(X) &= \lbrace x \in \mathcal{L} \mid x \ll X \rbrace \\ \mathrm{omb}(X)^{\circ} &= \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \bigcup_{Y < X} \mathrm{omb}(Y) \end{aligned}\] Posons \[x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X \overset{\mathrm{def}}{\iff} x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ} \quad \text{i.e.} \quad x \ll X, \ \text{et}\ x \ll X' \leq X \Rightarrow X' = X .\] On définit de même \[Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X \iff Y \ll X, \ \text{et}\ Y \ll X' \leq X \Rightarrow X' = X ,\] i.e. $X$ minimal dans $\widetilde{X}^{Y} = \lbrace X' \in \widetilde{X} \mid Y \ll X' \rbrace$.

(ML 2) Soit $X \in \mathcal{M}$. Alors $\mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset$

(ML 3) Soit $X \in \mathcal{M}$, $x \in \mathcal{L}$, $x \ll X$ […] $\exists\, Z$, […] $\leq X$. ces deux énoncés sont barrés de traits obliques ; ML 2 et ML 3 sont repris à la page 26

Lemme 1 Soient $X, Y \in \mathcal{M}$ […] Conditions équivalentes. At L 1 (ML 2) avant le lemme 1 note de la marge gauche, reliée par une accolade à ML 2 – ML 3 et au lemme 1

(i)$X \leq Y$
(ii)$X \ll Y$
(ii bis)$\mathrm{omb}\, X \subset \mathrm{omb}\, Y$
(iii)$\mathrm{omb}(X)^{\circ} \subset \mathrm{omb}(Y)$
(iv)$\mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y) \neq \emptyset$

à droite, « $\Downarrow$ via (ML 2) » entre (iii) et (iv), sous un premier renvoi biffé « (ML 2) »

Il suffit de prouver (iv) $\Longrightarrow$ (i). Or si $x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y)$, $\exists$ par ML 1 $\exists\, Z$, $Z \leq X, Y$, avec $x \ll Z$. On a $x \ll Z \leq X$, d'où $Z = X$ puisque $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X$, donc $X \leq Y$, cqfd.

26Cor Si $\mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y)^{\circ} \neq \emptyset$, on a $X = Y$ [i.e. $X \neq Y \Rightarrow \mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y)^{\circ} = \emptyset$]

ML 2 $\forall\, X \in \mathcal{M}$, $\mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset$. i.e. $\exists\, x \in \mathcal{L}$, $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X$

ML 3 $\forall\, X \in \mathcal{M}$, les $\mathrm{omb}(Y)^{\circ}$ ($Y \in \widetilde{X}$) recouvrent $\mathrm{omb}(X)$, i.e. $\forall$ $\forall\, x \in \mathcal{L}$, $x \ll X$, $\exists$ $X$ $Y \leq X$, avec $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y$. At L 1 At$_{\mathcal{M}}$ 4 a) […] ML 2 et ML 3 signifient que les $\mathrm{omb}(Y)^{\circ}$ forment une partition de $X$. ML 2 et ML 3 sont marqués d'un trait vertical ; « At L 1 » est écrit dans la marge en regard de ML 2, « At$_{\mathcal{M}}$ 4 a) » en regard de ML 3, et la troisième note, oblique, au-dessous

NB Par le cor. ci-dessus, cet $Y$ est unique. Par le lemme, si $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}}$ $Y' \leq X$, et $x \ll Y'$, comme $x \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y')$ […] on a $Y \leq Y'$ par le lemme, donc $Y'$ est le plus petit élément de $\widetilde{X}^{x}$. Plus généralement : on attend : $Y$ est le plus petit élément de $\widetilde{X}^{x}$ ; « $Y'$ » est sur la page

Lemme 2 Soit $X, Y \in \mathcal{M}$, $Y \ll X$. Alors

On n'a pas jusqu'à présent utilisé la définition des lieux $\mathcal{L}$ de $\mathcal{M}$, comme formé d'él. minimaux pour $\ll$. Dans tout modèle avec un $\mathcal{L}$ quelconque, pourrions […] supposer ML 2, ML 3 pour cet $\mathcal{L}$. Si on prenait $\mathcal{L} = \mathcal{M}$, ML 2 est trivial, ML 3 signifie que $\forall$ […] $X \in \mathcal{M}$ et $Z \ll X$, $\exists\, Y \in \widetilde{X}$ tel que $Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y$, i.e. At$_{\mathcal{M}}$ 4 a) (page 6). Mais il faudrait dans ML 1 […] ⌜généraliser⌝, en remplaçant $x$ par un $Z$ ⌜$\in \mathcal{M}$⌝ quelconque. la page 6 est au lot 1

Mais il devrait être possible de le prouver, via ML 3 ⌜et ML 2⌝ pour $Z$. L'idée est […] ⌜(ML 2)⌝ $Z \ll X$, ⌜de⌝ prendre $x \in \mathcal{L}$, $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z$, et l'unique $Y \in \widetilde{X}$ tel que $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y$ (ML 3), et il par faudrait prouver que $Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y$. Ceci se décompose en deux : si $x \ll Y \leq X$, on a $Z \ll Y$ et donc \[x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \ \text{ssi}\ Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y .\] dans « $Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y$ » de la ligne précédente, le $Z$ et le $Y$ sont écrits en surcharge ; dans « $x \ll Y \leq X$, on a $Z \ll Y$ », le premier $\ll$ est doublé

27Donc on […] prouver

Lemme 2 Soit $Z \ll X \geq X'$, soit $x \in \mathcal{L}$, tel que $x \ll Z$, $x \ll X'$. Si $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z$, on a $Z \ll X'$, et donc \[x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' \iff Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' .\] sur la page, $X'$ est écrit sous $X$, relié par un signe $\geq$ vertical, et repassé ; un petit « $x$ » est écrit au-dessus du premier $\ll$ ; le $\ll$ de « $Z \ll X'$ » est surchargé

On admettra ML 1 sous forme généralisée, […] ici que $\exists\, Z' \leq Z$, $Z \ll X'$ $Z' \ll X'$ et $x \ll Z'$ :

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & Z \arrow[r, no head, "\ll" description] & X \\
 & Z' \arrow[u, no head, "\leq" description] \arrow[r, no head, "\ll" description] & X' \arrow[u, no head, "\leq" description] \\
x \arrow[ur, no head, "\ll" description] & &
\end{tikzcd}

Ceci dit, si $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z$, on a $Z' = Z$, donc $Z \ll X'$. Si de plus $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'$, alors a fortiori $Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'$ (tautologique), $Z' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} x \ll$ prouvons l'inverse $Z$ \[x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' \Longrightarrow x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' .\] Soit en effet $X'' \leq$ $X''$ avec $x \ll X'' \leq X'$, par ce qui précède, appliqué à $X'' \leq X$ (car $X' \leq X$) on a $Z \ll X'' \leq X'$, et comme $Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'$ on conclut $X'' = X'$, cqfd.

Ceci prouve donc que $\forall\, Z$ tel que $Z \ll X$, $\exists\, X' \leq X$ avec $Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'$ (en utilisant ML 1 renforcé, ML 2 et ML 3) (c'est At$_{\mathcal{M}}$ 4 a)). On trouve en […] temps

28Corollaire Soit $Z \ll Y \ll X$ $X \ll Y \ll Z$. Conditions équivalentes (i) $Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y$ et $Z \ll X$ début de corollaire annulé par un grand trait courbe et des ratures

Corollaire 1 Pour $Z \ll X$, $\exists\, X'$ avec $Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' \leq X$.

Corollaire 2 Soit $Z \ll X \geq X'$. Conditions équivalentes $X'$ est écrit sous $X$, relié par un $\geq$ vertical. Deux premières conditions sont biffées : « (i) $Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X$ » et « (ii) $\mathrm{omb}(Z)^{\circ} \subset \mathrm{omb}(X)$ »

(i)$Z \ll X'$
(i bis)$\mathrm{omb}(Z) \subset \mathrm{omb}(X')$
(ii)$\mathrm{omb}(Z)^{\circ} \subset \mathrm{omb}(X')$
(iii)$\mathrm{omb}(Z)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(X') \neq \emptyset$

« $\Downarrow$ par ML 2 » à droite, entre (ii) et (iii)

Il suffit de voir (iii) $\Longrightarrow$ (i), et c'est ce qu'énonce le lemme précédent.

Corollaire 3 […] Les notations précédentes, $Z \ll X$, conditions équivalentes

(i)$Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'$
(ii)$\mathrm{omb}(Z)^{\circ} \subset \mathrm{omb}(X')^{\circ}$
(iii)$\mathrm{omb}(Z)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(X')^{\circ} \neq \emptyset$
(iv)$X'$ est minimal dans $\widetilde{X}^{Z} = \lbrace X' \in \widetilde{X} \mid Z \ll X' \rbrace$
(v)$X'$ est un plus petit élément dans $\widetilde{X}^{Z}$

le « (v) » est écrit en surcharge sur un « (iv) » ; devant, une ligne biffée « (i) $\Longrightarrow$ (iii) […] »

On a \[\begin{array}{c} (v) \\ \Downarrow \\ (i) \Longleftrightarrow (iv) \end{array} \qquad (ii) \Longrightarrow (iii) \qquad \text{triviales.}\] On va prouver (iii) $\Longrightarrow$ (v) et (i) $\Longrightarrow$ (ii), ce qui suffira.

(i) $\Longrightarrow$ (ii) a été vu : si $x \in \mathrm{omb}(Z)^{\circ}$ (existe par ML 2) […] $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z$, et $Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'$, on a (lemme 2) $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'$ i.e. $x \in \mathrm{omb}(X')^{\circ}$, donc (ii).

(iii) $\Longrightarrow$ (v) Soit $x \in \mathrm{omb}(Z)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(X')^{\circ}$. Prouvons que $X'$ est plus petit dans $\widetilde{X}^{Z}$, i.e.

29\[Z \ll X'' \leq X \Longrightarrow X' \leq X'' .\] Soit donc $x \in \mathrm{omb}(Z)^{\circ}$ (ML 2) comme $x \in \mathrm{omb}(X')^{\circ}$, $x \in \mathrm{omb}(X'')$, […] on a $\mathrm{omb}(X')^{\circ} \cap \mathrm{omb}(X'') \neq \emptyset$, d'où $X' \leq X''$ par lemme 1. OK. dans $\mathrm{omb}(X')^{\circ}$, le $X'$ est écrit en surcharge sur un $X$

Corollaire 4 $X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z \Longrightarrow X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z$ le « 4 » paraît écrit en surcharge ; la page 32 renvoie à ce « cor. 4 p. 29 »

Immédiat sur le critère (ii) du cor. 3 At$_{\mathcal{M}}$ 5

Il est temps maintenant de faire intervenir la relation $\parallel$ sur […] $\mathcal{L}$. On va […] […] la condition minimal dans $x \in \mathcal{L}$ (?) (je pense) utiliser

At Je rappelle (ML 0) la relation $x \parallel y$ ⌜sur $\mathcal{L}$⌝ est symétrique et antiréflexive (elle implique $x \neq y$) ce « ML 0 », pour la relation $\parallel$ sur $\mathcal{L}$, n'est pas le ML 0 de la page 25 ($X \leq Y \Rightarrow X \ll Y$). Dans la marge gauche, en oblique : « relation symétrique, réflexive […] », en partie biffé

On pose dans $\mathcal{M}$ \[(1) \qquad X \between Y \overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall\, x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L),\ y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L) \ \text{on a}\ x \parallel y\] où \[\mathrm{omb}(L) \overset{\mathrm{déf}}{=} \bigcup_{\substack{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} \\ \text{i.e.}\ Z \leq X, Y}} \mathrm{omb}(Z)\]

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\mathrm{omb}(X) \arrow[dr, no head] & & \mathrm{omb}(Y) \arrow[dl, no head] \\
 & \mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) \arrow[d, no head] & \\
 & \mathrm{omb}(L) &
\end{tikzcd}

schéma d'inclusions tracé par simples traits ; un premier « $\mathrm{omb}(Y)$ » est biffé et récrit à côté

Dans […] […], par ML 0, $\mathrm{omb}(X), \mathrm{omb}(Y)$ \[\mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) = \mathrm{omb}(L)\] « ML 0 » est sur la page ; c'est ML 1 (page 25) qui donne cette égalité

Lemme 3 Si $X, Y \leq Z$, on a $X \between Y$

Soit en effet $x \in \mathrm{omb}$ inutile ici, sera contenu dans lemme 5 note oblique dans la marge gauche, en regard du lemme 3 ; le lemme 5 est à la page 30

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & Z & \\
X \arrow[ur, no head, "\leq" description] & & Y \arrow[ul, no head, "\leq" description] \\
 & L \arrow[ul, no head, "\leq" description] \arrow[ur, no head, "\leq" description] &
\end{tikzcd}

losange tracé en tête de page (à gauche de son numéro « 30 ») : $X, Y \leq Z$, $L \leq X, Y$

En effet, soit $x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L)$, je dis qu'on a $x \notin \mathrm{omb}(Y)$ — en effet $\mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) = \mathrm{omb}(L)$ par ML 1 appliqué à $X, Y$. On utilisera ⌜alors⌝

ML 4 Soit $Y \leq X$ ([…] ald $Y \leq Z$), et $x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(Y)$ (comme $Y \neq X$ …), $y \in \mathrm{omb}(Y)$, alors $x \parallel y$ At L 3 dans « $Y \leq X$ », « $\mathrm{omb}(X)$ », « $\mathrm{omb}(Y)$ » et « $Y \neq X$ », les lettres sont écrites en surcharge sur d'autres ; la parenthèse « (ald $Y \leq Z$) », au-dessus de la ligne, est reliée par une flèche au $X$ de « $Y \leq X$ »

Lemme 4 Soient $X, Y \in \mathcal{M}$, $X \between Y$. Alors l'inverse du lemme 1 est valable pour $X, Y$. Il suffit encore de prouver \[\mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y) \neq \emptyset \Longrightarrow X \leq Y .\] (N'utilise […] ML 4 […] At$_{\mathcal{M}}$ 6) note oblique dans la marge gauche, en regard du lemme 4

Prouvons Soit donc $x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y)$ i.e. \[x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X, \quad x \ll Y\] On ne peut avoir ici […] $x \notin$ $x \in \mathrm{omb}(X)$ En fait, comme $\mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) = \mathrm{omb}(L)$, $\exists\, Z$ avec \[x \ll Z \leq X, Y\] comme $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X$, on a $Z = X$, donc $X \leq Y$, cqfd.

Lemme 5 Soit $X, Y, X', Y'$ avec […], $X' \leq X$, $Y' \leq Y$. Alors $X \between Y \Longrightarrow X' \between Y'$.

Soit en effet \[\begin{cases} x \in \mathrm{omb}(X') \smallsetminus \mathrm{omb}(L') \\ y \in \mathrm{omb}(Y') \smallsetminus \mathrm{omb}(L') \\ \qquad \text{où}\ \mathrm{omb}(L') \overset{\mathrm{déf}}{=} \bigcup_{Z \in \widetilde{X}' \cap \widetilde{Y}'} \mathrm{omb}(Z) \end{cases}\] prouvons $x \parallel y$.

31Si $x, y \notin \mathrm{omb}(L)$, cela résulte de l'hypothèse $X \between Y$. Si […] $x$ (p. ex.) est p. ex. $x \in \mathrm{omb}(L)$, […] i.e. \[\exists\, Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} \quad (\text{i.e.}\ Z \leq X, Y) \ \text{avec}\ x \ll Z\] [Appliquons ML 1 à

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X' \arrow[r, no head, "\leq" description] & X \\
x \arrow[u, no head, "\ll" description] \arrow[r, no head, "\ll" description] & Z \arrow[u, no head, "\leq" description]
\end{tikzcd}

, on trouve $S \in \mathcal{M}$, $S \in \widetilde{X}$ […]

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X' \arrow[r, no head, "\leq" description] & X & \\
S \arrow[u, no head, "\leq" description] \arrow[r, no head, "\leq" description] & Z \arrow[u, no head, "\leq" description] \arrow[r, no head, "\leq" description] & Y \\
x \arrow[u, no head, "\ll" description] & &
\end{tikzcd}

sur la page, « $(\leq Y)$ » est écrit après $Z$ ; à droite, le même contenu est redessiné en « i.e. » : $x \ll S \leq X'$, $S \leq Y$ donc $S \in \widetilde{L} \overset{\mathrm{déf}}{=} \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}$]

donc $x \ll$ […] $x \ll Y$, ⌜i.e. $x \in \mathrm{omb}(Y)$⌝, et pour prouver Je dis $x \parallel y$, il suffit par ML 4 de prouver $x \notin \mathrm{omb}(Y')$. Mais si on avait $x \in \mathrm{omb}(Y')$, on aurait i.e. $x \ll$ par ML 1 appliqué à

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
S \arrow[r, no head, "\leq" description] & Y \\
x \arrow[u, no head, "\ll" description] \arrow[r, no head, "\ll" description] & Y' \arrow[u, no head, "\leq" description]
\end{tikzcd}

un $T$ tel que \[x \ll T \leq S, Y'\] et on aurait donc aussi \[T \leq X', Y' \qquad \text{puisque}\ S \leq X'\] donc $x \in \mathrm{omb}(L')$, contrairement à l'hyp., cqfd.

[…] Il faut prouver maintenant […] seulement At$_{\mathcal{M}}$ 4 At$_{\mathcal{M}}$ […] b) (At$_{\mathcal{M}}$ 5, 6 et At$_{\mathcal{M}}$ 4 a) sont déjà prouvés) pour conclure que $(\mathcal{M}, \leq, \ll, \underset{\mathcal{M}}{\between})$ (et la famille $\mathfrak{F}$ = ens. des parties fermées de $\mathcal{M}$ formées d'él. 2 à 2 compatibles pour $\underset{\mathcal{M}}{\between}$)

32[…] correspondent à un atelier At 1 – At 7. Donc c'est le contenu du

Lemme 6 Soient $X, Y, Z$ avec \[Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X, \quad Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y, \quad X \between Y\] alors $X = Y$.

Ça résultera du cor. plus général

Cor On a, si $X \between Y$ \[Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X, \ Z \ll Y \Longrightarrow X \leq Y\] le corollaire est marqué d'un trait vertical dans la marge ; le $\leq$ final porte une petite marque, peut-être le rond de $\overset{\circ}{\ll}$

Dém Soit $x \in \mathrm{omb}(Z)^{\circ}$ (ML 2). On a donc $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}}$ \[x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X\] donc (lemme 2, cor. 4 p. 29) $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X$, donc $x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y)$, lequel est $\neq \emptyset$, donc $X \leq Y$ (lemme 4).

Il faut voir que la relation de départ $\parallel$ sur $\mathcal{L}$ est bien la relation de disjonction au sens de l'atelier qu'on vient de construire, i.e.

Lemme 7 […] a) Soient $x, y \in \mathcal{L}$. Alors \[x \between y \ \text{ssi}\ x = y \ \text{ou}\ x \parallel y\] b) On a $x \parallel y$ ssi $x \between y$ et $\mathrm{Inf}^{\leq}(x, y) = \emptyset_{\mathfrak{F}}$. (i.e. $x$ et $y$ disjoints au sens de l'atelier)

Dans a), il suffit de voir le cas $x \neq y$. À cause du caractère minimal de $x, y$, on a $\mathrm{omb}\, x = \lbrace x \rbrace$, $\mathrm{omb}(y) = \lbrace y \rbrace$, $L = \emptyset$, et la condition est bien qui définit $x \between y$ est bien $x \parallel y$. L'assertion b) résulte, « $\mathrm{omb}\, x = \lbrace x \rbrace$, $\mathrm{omb}(y) = \lbrace y \rbrace$ » est écrit dans la marge gauche et rattaché à la ligne

33Lemme 8 Soient $X, Y \in \mathcal{M}$. Alors \[\underbrace{X \between Y \ \text{et}\ \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset}_{\text{i.e.}\ X \parallel Y \ \text{au sens de l'atelier}} \iff \forall\, x \in \mathrm{omb}(X),\ y \in \mathrm{omb}(Y) \Longrightarrow x \parallel y\] At L 2

C'est tautologique !

Lemme 9 Ainsi, notre atelier satisfait, en plus de At 1 – At 7, les conditions sur les lieux At L 1, At L 2, At L 3. Reste à voir la condition At CL (spéc) — mais elle est vraie par définition.

On trouve ainsi le

Théorème-Scholie Soit $(\mathcal{M}, \leq, \ll)$ un ensemble muni de deux relations d'ordre, $\mathcal{L}$ l'ens. des éléments minimaux de $\mathcal{M}$ pour $\ll$, $\parallel$ une relation symétrique antiréflexive sur $\mathcal{L}$. Pour que ⌜ces données⌝ proviennent soient isom. à celles provenant d'un atelier ⌜spécieux⌝ satisfaisant At 1 (en plus de At 1 – At 7) les axiomes sur les lieux At L 1, At L 2, At L 3, plus At CL (spéc), il faut et suffit que les conditions suivantes soient satisfaites :

34(ML 0) $X \leq Y \Longrightarrow X \ll Y$

(ML 1) Soient $Z \ll X \geq X'$ dans $\mathcal{M}$, et soit $x \in \mathcal{L}$ avec $x \ll Z$, $x \ll X'$. Alors $\exists\, Z' \in \mathcal{M}$ avec

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & Z \arrow[r, no head, "\ll" description] & X \\
x \arrow[r, no head, "\ll" description] & Z' \arrow[u, no head, "\leq" description] \arrow[r, no head, "\ll" description] & X' \arrow[u, no head, "\leq" description]
\end{tikzcd}

De plus, si $Z \leq X$, on peut supposer $Z' \leq X'$. axiome trivial axiome des raffinements induits les deux notes sont écrites en oblique dans la marge gauche, en regard de ML 0 et de ML 1 ; les deux « (ML 0) », « (ML 1) » sont écrits sur un premier sigle biffé. Sur la page, $X'$ est sous $X$, relié par un $\geq$ vertical

(ML 2)* $\forall\, X \in \mathcal{M}$, $\mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset$ i.e. $\exists\, x \in \mathcal{L}$, avec $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X$ i.e. $x \ll X$ et $(x \ll X' \leq X) \Rightarrow X' = X$

(ML 3) […] $\forall\, X \in \mathcal{M}$, $x \in \mathcal{L}$ avec $x \ll X$, $\exists\, X' \leq X$ avec $x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'$ axiome de divisibilité […] […] […] […] et […] […] la plus petite strate note oblique dans la marge gauche, en regard de ML 2 – ML 3, en partie biffée ; « la plus petite strate » est lu avec doute

(ML 4) $\parallel$ est symétrique antiréflexive ($x \parallel y \Rightarrow y \parallel x$ et $x \neq y$)

(ML 5) $\forall\, X, Y \in \mathcal{M}$ avec $Y \leq X$, […] $y \in \mathrm{omb}(Y)$, $x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(Y) \Longrightarrow x \parallel y$ axiomes de disjonction pour les lieux c'est tout, des axiomes […] […] sur la relation $\parallel$ la première note est à droite de ML 4, avec une accolade ; la seconde, oblique, est dans la marge gauche, avec une accolade réunissant ML 4 et ML 5. Le ML 4 de cette page est le ML 0 de la page 29, et son ML 5 le ML 4 de la page 30 : il renumérote

Les ateliers correspondants à ces types de données, réalisés comme des ens. de parties de $\mathcal{M}$, $\mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})$, […] les $\mathfrak{F}$ satisfaisant les conditions suivantes (i) ce paragraphe inachevé est barré de six longs traits obliques

l'astérisque de ML 2 renvoie à la note qui suit, en bas de page * NB Cet axiome implique que si les relations d'ordre $\leq$ et $\ll$ sont égales, alors $\mathcal{M}$ est discret i.e. $\mathcal{M} = \mathcal{L}$. […] […] […] L'axiome ML 4 est vide ! « ML 4 » est sur la page ; dans la numérotation de cette page, c'est ML 5 qui est vide quand $\leq$ est discret ($Y \leq X$ force $Y = X$), ML 4 ne l'étant pas : il s'agit sans doute de l'ancien ML 4 de la page 30

35Soit […] $\underline{\Phi}$ l'ens. des parties de $\mathcal{M}$ qui sont a) fermées pour $\leq$ et b) formées d'éléments deux à deux compatibles (au sens de (1) p. 29). Munissons $\underline{\Phi}$ de la relation $\leq \overset{\mathrm{déf}}{=}$ l'inclusion, et $\ll$ défini par \[F \ll G \overset{\mathrm{déf}}{\iff} \forall\, X \in F,\ \exists\, Y \in G \ \text{avec}\ X \ll Y .\] $\underline{\Phi}$ rend une capitale en forme de $\Phi$ soulignée, écrite après un mot raturé surmonté d'un astérisque ; même sigle dans toute la suite de la page Alors $\underline{\Phi}$ est un atelier […] satisfaisant At At L 1, At L 2, At L 3 et At CL (spéc), et […] les $\widetilde{X} = \mathcal{M}_{\leq X}$ […] ($X \in \mathcal{M}$) comme objets figures élémentaires, les $\lbrace x \rbrace$ […] et […] induisant sur $\mathcal{M}$ les relations ⌜([…] de disjonction des figures)⌝ […] ⌜et⌝ la relation $\parallel$ […] $\leq$, $\ll$ de départ, et […]

Les autres ⌜Tout atelier⌝ correspondant à ces […] données s'identifie : aux sous-ateliers spécieux de $\underline{\Phi}$, i.e. parties $\mathfrak{F}$ de $\underline{\Phi}$ i.e. une partie \[\mathfrak{F} \subset \underline{\Phi}\] satisfaisant

(i)$\forall\, F \in \mathfrak{F}$, et $G \leq F$ […] (i.e. $G$ partie fermée de $F$, $\in$) on a $G \in \mathfrak{F}$ et
(ii)$\forall\, F, G \in \mathfrak{F}$, si $F \between G$ i.e. $F \cup G \in \underline{\Phi}$ (i.e. […] éléments de $F$ sont compatibles à tous éléments de $G$) $F \cup G \in \mathfrak{F}$.

« sous-ateliers » et le mot qui suit sont soulignés ; ce dernier est lu « spécieux » avec doute

36Il contient de plus les objets figures élémentaires, i.e. satisfait :

(iii)$\forall\, X \in \mathcal{M}$, $\lbrace\lbrace X \rbrace\rbrace \in \mathfrak{F}$

ainsi sur la page, avec des accolades doublées ; d'après la page 35, la figure élémentaire attendue est $\widetilde{X}$ et par suite, il contient toutes les parties fermées de réunions finies de tels $\widetilde{X}$.

Inversement, tout $\mathfrak{F}$ satisfaisant ces trois conditions, satisfait aux conditions voulues […] pour que les figures de $\mathfrak{F}$ soient […], […] et soient soit \[a)\ \mathfrak{F} = \mathfrak{F}_0 = \lbrace \text{réunions finies d'ensembles de la forme}\ \widetilde{X} \rbrace\] (ce qui […] donne un atelier qui […] supposé de plus \[b)\ \text{toute partie fermée d'un}\ \widetilde{X}\ \text{\add{(pour $\leq$)} est de type fini}\] À part donc un petit flottement dû à la possibilité de familles […] infinies […] infinies, on voit que […] ⌜tout⌝ s'exprime par $(\mathcal{M}, \leq, \ll, \parallel)$, avec $\parallel$ défini sur $\mathcal{L}$ sans plus, […] […] satisfaisant aux quatre axiomes (cinq avec (ML 0)) ML 1 – ML 4 (au lieu « quatre axiomes … ML 1 – ML 4 » : la page 34 en énumère six, ML 0 – ML 5 ; la phrase se poursuit à la page 37

37de la douzaine d'axiomes At 1 – 7, At L 1 – 3, At CL (spéc).

Si on se donne $\parallel$ sur $\mathcal{M}$, et non sur $\mathcal{L}$, il faut simplement rajouter un axiome supplémentaire : \[(\mathrm{ML}\ 6) \quad \text{Soit}\ X, Y \in \mathcal{M}.\ \text{Alors} \quad X \parallel Y \iff \forall\, x, y \in \mathcal{L},\ x \ll X,\ y \ll Y \Rightarrow x \parallel y .\] le « 6 » de ML 6 est repassé

Variante pour ateliers polyédraux. (⌜satisfaisant At 1 – At 7, At L 1 – At L 3, (At CL (pol))⌝) Elle consiste en le […] texte, sauf qu'on change un peu la définition de $X \between Y$ (p. 29), et qu'il faut supposer sur $\mathcal{M}$, $\leq$ une condition supplémentaire l'addition entre parenthèses est écrite au-dessus de la ligne, dans un cadre arrondi relié à « polyédraux »

(ML 0 pol) $\forall\, X \in \mathcal{M}$, $\widetilde{X} = \mathcal{M}_{\leq X}$ est un ens. ordonné polyédral (p. 13), i.e. $\exists\, X, Y, Z$ deux élts $Y, Z$ de $\mathcal{M}$ ⌜$\widetilde{X}$ qui⌝ sont majorés (par un $X$) et minorés […] (par un $T$) admettent un inf ⌜$\leq$⌝ — en d'autres termes, les ensembles $\mathcal{M}_{T \leq \cdot \leq X}$ ont des inf finis (donc aussi des sup finis s'ils sont finis). le paragraphe (ML 0 pol) est marqué d'un trait vertical dans la marge ; la page 13 est au lot 1

38Ça montre, de plus, que si on part de $(\mathcal{M}, \leq, \ll)$, il y a un très large choix pour les $\parallel$ possibles sur $\mathcal{L}$, i.e. les parties admissibles de $\mathfrak{P}_2(\mathcal{L})$. Si on désigne par \[\Gamma_0 = \Bigl\lbrace \lbrace x, y \rbrace \in \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) \Bigm| \exists\, X, Y \in \mathcal{M},\ Y \leq X,\ y \ll Y,\ x \ll X,\ x \not\ll Y \Bigr\rbrace\] dans « $y \ll Y$ », le $Y$ est écrit en surcharge on peut prendre comme structure de graphe $\Gamma$ de (pour une relation $\parallel$) n'importe quelle partie $\Gamma \supset \Gamma_0$. \[\Gamma_0 \subset \Gamma \subset \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) .\] Ça fait de la marge ! Pour la suite, il faudra voir comment les traduire […] les choix de certains axiomes […] […] le choix de $\parallel$ (et des variantes). Pour le moment, je songe surtout : les mots « traduire », « choix » et « certains » de cette phrase sont lus avec doute

At supp cf p. 18)

At ens et ses variantes (cf GF VI, p. 52 …) la page 18 est au lot 1. « GF VI, p. 52 » renvoie à la deuxième mouture (dossier 156-6), où la page 52 définit l'atelier ensembliste et l'axiome « At ens 1 » ; le « VI » est souligné

Donc Pour qu'un atelier ⌜spécieux⌝ ⌜(resp. polyédral)⌝ ensembliste, ⌜suffit-il⌝ que $x \parallel y \Leftrightarrow x \neq y$ ?? Sans doute pas, car cela n'implique aucune restriction sur les autres données $\leq$, $\ll$, et les conditions ML 0 à ML 3 n'impliquent pas que l'application voulue : $\mathcal{M} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L})$ soit injective, ni que $\ll$ soit induite par la relation $\ll$ entre fig. ensemblistes dans $\mathcal{L}$. ce dernier alinéa est marqué d'un double trait vertical dans la marge ; « (resp. polyédral) » et « suffit-il » sont écrits au-dessus et au-dessous de « Pour qu'un », dans un cadre

39Dans le raisonnement précédent, le fait que les éléments de $\mathcal{L}$ soient minimaux n'est intervenu qu'à la fin, pour prouver que la relation de départ $\parallel$ sur $\mathcal{L}$ est bien celle induite par la disjonction des lieux, au sens de l'atelier construit. On va tout reprendre.

Définition Soit $\Lambda \subset \mathcal{M}$. On dit que $\Lambda$ est dense ⌜(dans $\mathcal{M}$)⌝ si $\forall\, X$ […] $\in \mathcal{M}$, $\exists\, Y \in \Lambda$ avec $Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X$. la définition est marquée d'un trait vertical dans la marge

Ex 1${}^{\circ}$) $\Lambda = \mathcal{M}$, exemple « universel » (on prend $Y = X$)

2${}^{\circ}$) $\Lambda = \mathcal{L}$ […] quand At L 1 est satisfait

On va donner des axiomes sur $(\mathcal{M}, \leq, \ll, \between, \Lambda \subset \mathcal{M})$ qui assurent que $(\mathcal{M}, \leq, \ll, \between)$ provient d'un atelier, et que $\Lambda \subset \mathcal{M}$ est dense, avec […] en plus sur l'atelier (au besoin) la condition At D ou At D$_0$ ou At C.

(M$\Lambda$ 0) $X \leq Y \Longrightarrow X \ll Y$ Axiome trivial

(M$\Lambda$ 1) Si $Z$ $Y \ll X \geq X'$ et […] $Z \in \Lambda$ …, $Z \ll Y$, $Z \ll X'$, […] alors $\exists\, Y'$ avec $Z' \leq Z$, $Y'$ $Y' \leq Y$, $Y' \ll X'$, $Z \ll Y'$ et si $Y \leq X$, $Y' \leq X'$. ligne très surchargée, lue avec doute : l'hypothèse porte sur $Y \ll X \geq X'$ (le $Y$ est écrit sur un $Z$ biffé) et sur $Z \in \Lambda$ (souligné), avec $Z \ll Y$, $Z \ll X'$ ; dans la conclusion, les $Y'$ sont écrits sur des lettres biffées. Une flèche en pointillé mène de la fin de la ligne de M$\Lambda$ 0 à une accolade dans la marge droite, où quelques mots obliques ne sont pas lus Axiome du raffinement induit

(M$\Lambda$ 2) $\forall\, X \in \mathcal{M}$, $\exists\, Z \in \Lambda$ tel que $Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X$ Axiome de densité […]

(M$\Lambda$ 3) $\forall\, X \in \mathcal{M}$, $Z \in \Lambda$ avec $Z \ll X$, $\exists\, X' \leq X$ avec $Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'$ Axiome de la strate minimale

Il Il est commode d'introduire les \[\begin{aligned} \mathrm{omb}_{\Lambda}(X) &= \lbrace Z \in \Lambda \mid Z \ll X \rbrace \\ \mathrm{omb}_{\Lambda}(X)^{\circ} &= \lbrace Z \in \Lambda \mid Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X \rbrace . \end{aligned}\] Les raisonnements précédents montrent la validité des deux lemmes suivants, que je rappelle pour mémoire : Pour ce […] il s'agit […] axiomes […] $\mathcal{L}$ […] […] les quatre notes de marge sont écrites en oblique dans la marge gauche, en regard de M$\Lambda$ 0, M$\Lambda$ 1, M$\Lambda$ 2 et M$\Lambda$ 3 ; la dernière, plus bas, n'est lue qu'en partie

40Lemme A Soient $X, Y \in \mathcal{M}$, supposons $\exists\, Z$ avec $X, Y \leq Z$. Conditions équivalentes

(i)$X \leq Y$
(ii)$X \ll Y$
(ii bis)$\mathrm{omb}_{\Lambda}(X) \subset \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)$
(iii)$\mathrm{omb}_{\Lambda}(X)^{\circ} \subset \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)$
(iv)$\mathrm{omb}_{\Lambda}(X^{\circ}) \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) \neq \emptyset$

cf lemme 1 p. 25 dans « $X, Y \leq Z$ », le $\leq$ est repassé ; dans (iv), le rond est écrit sur $X$ et non sur $\mathrm{omb}_{\Lambda}(X)$

Lemme B Soit $Y \ll X$, alors $\exists\, X'$ avec $Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' \leq X$. cf cor. 1 p. 28

Lemme C Soit $Y \ll X \geq X'$. Conditions équival.

(i)$Y \ll X'$
(i bis)$\mathrm{omb}_{\Lambda}(Y) \subset \mathrm{omb}_{\Lambda}(X')$
(ii)$\mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)^{\circ} \subset \mathrm{omb}_{\Lambda}(X')$
(iii)$\mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)^{\circ} \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(X') \neq \emptyset$

cf cor. 2 p. 28 $X'$ est écrit sous $X$, relié par un $\geq$ vertical

Corollaire Mêmes notations. Cond. équivalentes

(i)$Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'$
(ii)$\mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)^{\circ} \subset \mathrm{omb}_{\Lambda}(X')^{\circ}$
(iii)$\mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)^{\circ} \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(X')^{\circ} \neq \emptyset$
(iv)$X'$ est minimal dans $\widetilde{X}^{Y} = \lbrace X' \in \widetilde{X} \mid Z \ll X' \rbrace$
(v)$X'$ est plus petit élément de $\widetilde{X}^{Y}$.

cf cor. 3 p. 28 les quatre renvois de la marge gauche vont aux pages 25 et 28 de ce lot. Dans (iv), le $Y$ de $\widetilde{X}^{Y}$ est écrit sur un autre signe, et la condition garde « $Z \ll X'$ » de la page 28

Nous faisons maintenant intervenir $\between$, et allons voir quelles propriétés de $\between$ font marcher nos raisonnements précédents (comme […] naguère : $\parallel$). On pose ici, pour $X, Y \in \mathcal{M}$ \[X \parallel Y \overset{\mathrm{déf}}{\iff} X \between Y, \ \text{et}\ \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset\] devant $\widetilde{X} \cap \widetilde{Y}$, un signe raturé

M$\Lambda$ 0' $\between$ est réfl. et sym. Si $X \between Y$, et $X' \leq X$, $Y' \leq Y$, on a $X' \between Y'$. ⌜avec […] $X', Y' \in \Lambda$⌝ axiomes triviaux pour $\between$ l'addition finale est entourée ; le « 0' » est écrit sur un autre signe

M$\Lambda$ 4 Soient $X' \ll X$, $Y' \ll Y$ (supposons $X'_{Y} = \emptyset$ …), $\nexists\, X'' \leq X'$, avec $X'' \ll Y$. Alors $X'' \parallel Y'$. Axiome de disjonction l'énoncé M$\Lambda$ 4 est barré de deux longs traits obliques ; sur la page $Y$ est écrit sous $X$, relié par un signe $=$ ou $\parallel$ vertical, et plusieurs lettres sont en surcharge