Fonds Grothendieck, cote n° 156-7, pages 21–40 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-27
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)156-7
[Chapitre] VII. Analysis situs (troisième mouture) : notes manuscrites (23-26/06/1986)
Pages 21 à 40 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 2 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1986Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/156-7.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \supplied devient
supplied (restitué par le transcripteur) ;
\add devient add
(ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ;
\struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \drawing devient
note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le
transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils
ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le
fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète
est une restitution (supplied), un ajout
isolé est de l'auteur (add). Certains
add sont donc encore des restitutions du
transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurExport TEI depuis la source LaTeX.Première passe de transcription.
son numéro « 21 » en haut de la page ; sur tout ce lot sa pagination, en tête de chaque feuillet, coïncide avec celle des archivistes, comme dans les deux premières moutures
x \in \mathrm{omb}(X') \subset \mathrm{omb}(X), y \in \mathrm{omb}(Y') \subset \mathrm{omb}(Y), x \parallel y. Or la condition X'_L = \emptyset implique x_L = \emptyset (car x_L \ll X'_L), et cela signifie ici que x \notin \mathrm{omb}(L) (cf lemme) et itou pour y. Donc x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L), y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L), et si on a At CL (spéc), on conclut bien x \parallel y,
la page commence au milieu d'un raisonnement engagé à la page 20 (lot 1) : la démonstration que At CL (spéc) entraîne le critère de compatibilité en termes de raffinements X' \ll X, Y' \ll Y avec X'_L = Y'_L = \emptyset
Donc la condition
(\mathrm{AL}) \qquad \forall\, x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L),\ y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L), \ \text{on a}\ x \parallel ydans le premier \mathrm{omb}(L), le L est écrit en surcharge sur une autre lettre
implique
(\mathrm{A}) \qquad \forall\, X' \in \mathrm{Omb}(X),\ Y' \in \mathrm{Omb}(Y),\ X'_L = Y'_L = \emptyset, \ \text{on a}\ X \parallel Y« X \parallel Y » est sur la page ; on attend X' \parallel Y'
et l'inverse est trivial, comme on voit en prenant X, Y \in \mathcal{L}. On a utilisé ici le
« X, Y \in \mathcal{L} » est sur la page ; on attend X', Y' \in \mathcal{L}
Lemme 1 Soient L \leq FP \leq Q (en l'occurrence L \leq X ou L \leq Y) x \in \mathrm{omb}(Q), alors x \parallel Qx_P = \emptyset \iff x \notin \mathrm{omb}(P) \ \text{i.e.}\ x \not\ll P
()
dans \mathrm{omb}(P) et dans x \not\ll P, le P est écrit en surcharge sur une autre lettre ; la parenthèse finale ne contient qu'une formule biffée, non lue
En effet, x \ll P \iff x_P \neq pour la première équivalence, passant aux négations, on trouvedoit prouver
x \ll P \iff x_P \neq \emptyset_{\mathfrak{F}} ,
et comme x_P \ll x et x minimal dans \mathcal{M} \smallsetminus \lbrace \emptyset_{\mathfrak{F}} \rbrace pour \ll, x_P \neq \emptyset_{\mathfrak{F}} signifie aussi x_P = x i.e. x \ll P. OK.
D'autre part, x \parallel P \Rightarrow x \not\ll P est trivial, Je profite de l'occasion pour expliciter la définition (moyennant At D)
Lemme 2 Soient P \leq Q, et F \ll Q. Conditions équivalentes
F_P = \emptyset \iff F \parallel P .l'énoncé du lemme 2 est marqué d'un trait vertical dans la marge
On utilise que At D (ou plutôt, la prop. qui suit, p. 15) à P, QP \leq P, F \ll Q), pour avoir \Longrightarrow ; l'autre est vrai avec les seuls axiomes At 1 – At 7.
la page 15 est au lot 1
On introduit donc
« On introduit donc » est suivi d'un signe = ; l'axiome qui suit est souligné
At CL (pol) (Critère de compatibilité par les lieux, pour ateliers polyédraux)
Notons
la première ligne du tableau, biffée, se lit : At D_0 + At L 1 + At CL (spéc) \Longleftrightarrow At L 2 \Longrightarrow At D, avec à droite une double flèche descendante vers « At D_0 », barrée elle aussi\begin{array}{ll}
a) & \text{At L 2} + \text{At CL (spéc) (ou pol)} \ \Longleftrightarrow\ \text{At L 2} + \text{At C (spéc) (ou pol)} \\
b) & \text{At D}_0 + \text{At L 1} + \text{At CL (spéc) (ou pol)} \ \Longrightarrow\ \text{At L 2} \\
c) & \text{At L 2} + \text{At L 3} \ \Longrightarrow\ \text{At D} \ \Longrightarrow\ \text{At D}_0 \\
d) & \text{At L 3} + \text{At CL (spéc)} \ \Longrightarrow\ \text{At C} \\
e) & \text{At D} \ \Longrightarrow\ \text{At L 3}
\end{array}les cinq lignes a)–e) sont réunies par une accolade à gauche. Dans a), un « At » est biffé en tête ; dans b), « At D_0 + » est écrit au-dessus d'un mot biffé, et un « At D » est biffé après « At L 2 », d'où part une double flèche descendante vers le « At D_0 » de c) ; dans c), « At D » est récrit sur un premier « At D » biffé, et une double flèche remonte de « At C » (ligne d)) vers « At D » ; à droite de d), un groupe de mots est biffé ; dans e), le « At » de « At L 3 » est en surcharge ; sous e), « At L 1 + A » biffé
Voir diagr. refait p. 45note écrite en oblique à droite des lignes c)–e) ; la page 45 est au lot 3
Pratiquement, je retiens ceci, concernant l'ensemble des axiomes de compatibilité-disjonction [et de divisibilité]
\begin{array}{lll}
C \Rightarrow D \Rightarrow D_0 , & \text{At C (spéc)} & \text{At CL (spéc)} \\
\quad \Downarrow & \text{At C (pol)} & \text{At CL (pol)} \\
{[L 1]}\ L 2,\ L 3 & &
\end{array}la double flèche descend de « D » vers « L 2, L 3 »
1) Du point de vue des axiomes inconditionnels (sans restriction spéc ou pol …), les deux axiomes L 2, L 3 de disjonction impliquant les lieux impliquent D donc D_0, mais non C ( de compatibilité, n'intervenant pas : une disjonction). Pour déduire C d'axiomes pertinents sur les lieux, il nous faut des At CL spéc ou At CL (pol). À ce sujet, on note
\text{At L 2} + \text{At L 3} + \text{At CL (spéc)} \quad
\begin{array}{l}
\text{implique tous les axiomes de compatibilité-} \\
\text{disjonction (style spéc) :} \\
\text{At C (spéc) \quad par (a)} \\
\text{At D \quad par (c) d'où D}_0 \\
\text{At C \quad par NB p.~17 ou par d)}
\end{array}la page 17 est au lot 1
On peut At L « pol » ald « spéc »
« ald » : au lieu de ; ces mots, en bas à gauche de la page, sont écrits sous une ligne biffée
L'axiome de divisibilité At L 1 est à part, il n'intervient pas encore dans ce qui précède, mais on a
\begin{array}{l}
\text{At L 1} + \text{At L 2} + \text{At L 3} + \text{At CL (spéc)} \\
\quad \Updownarrow \\
\text{At D}_0 + \text{At L 1} + \text{At L 3} + \text{At CL (spéc)} \\
\quad \Downarrow \\
\text{At D} + \text{At L 1} + \text{At CL (spéc)} \qquad \text{At C (spéc)}
\end{array}
implique tous les axiomes de compatibilité — en supposant, i.e. style « spéc » — plus bien sûr At L 1 lui-même.
cette dernière phrase est écrite à droite des deux premières lignes du tableausous la première ligne, « At D_0 » biffé. Sur la dernière ligne, « At C (spéc) » est écrit au-dessus, à droite, comme une variante ; au-dessous vient une ligne mal lue : « et At D + At L 1 + At L 2 + « pol » ald « spéc » », le « At D » de tête étant repassé. Une note oblique de la marge gauche, d'où partent deux flèches vers ces deux lignes, se lit : « deux axiomes relatifs At D, At C (sp) et deux axiomes relatifs à L »
Récapitulation des axiomes (à l'exclusion des axiomes d'extension d'une subdivision, version générale, ou « spéc », ou « pol »…)
Sup des familles filtrantes majoréesCritère de \leq par stratesCritère de disjonction compatibilité par stratesCritère de \ll par stratesCritère des raffinements entre sous-figures ()Axiome de la plus petite strate, ou des raffinements intérieurs de strates X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} YTransitivité des raffinements intérieurs
axiomes du « gros œuvre »\leqcompatibilité de \leq et \llaccolades et mots de la marge gauche : « \leq » réunit At 1 – At 3, une seconde accolade At 4 – At 7, une grande accolade, dans la marge, At 1 – At 7 avec « axiomes du “gros œuvre” » écrit de bas en haut. La parenthèse de At 5 contient une formule entre sous-figures, non lue avec assez de sûreté, du type « G \leq F, G \leq H, F \ll G \Leftrightarrow F \ll G »
Critère de compatibilité de raffinements de sous-figures.Critère de disjonction de — — —disjonction stabilité de \parallel par \llCritère de compatibilité dans les ateliers spécieux— — — polyédraux
axiomes de compatibilité, disjonctiondes flèches descendantes vont de At C à At D et de At D à At D_0
Existence des Sup filtrants de une famille loc. finie de raffinements…
ces deux lignes sont entourées d'un cadre, d'où part une longue flèche qui descend le long de la marge droite, passe devant At CL et sort au bas de la page
Axiome de divisibilitéCritère de disjonction par les lieuxAxiome de disjonction pour les lieuxCritère de compatibilité par les lieux (at. spécieux)— — — (— polyédraux)
axiomes concernant les lieux
Je reviens sur la description d'un atelier spécieux ou polyédral, satisfaisant L 1, L 2, L 3 plus At L (spéc) ou At CL (spéc) (ou, au choix, At CL (pol)), en termes de (\mathcal{M}, \leq, \ll, \between) *.
* au moins de lieux…note écrite en oblique dans la marge gauche, appelée par l'astérisque qui suit (\mathcal{M}, \leq, \ll, \between) ; lue seulement en partie
Le point ici, c'est que le critère At CL (spéc) réduit, pour connaître \underset{\mathcal{M}}{\between}, à la connaissance de \underset{\mathcal{L}}{\parallel}, i.e. à celle d'une structure de graphe sur \mathcal{L} (NB dans le cas d'un atelier ensembliste, je rappelle que x \parallel y \Leftrightarrow x \neq y). Donc, la question est, partant de (\mathcal{M}, \leq, \ll), d'où \mathcal{L}devant \underset{\mathcal{L}}{\parallel}, un signe de compatibilité est biffé(1) \qquad (\mathcal{M}, \leq, \ll)
d'où
(2) \qquad \mathcal{L} = \lbrace x \in \mathcal{M} \mid x \ \text{minimal pour}\ \ll \rbrace ,
et d'une relation symétrique antiréflexive x \parallel y (x, y \in \mathcal{L}) (x \neq y) sur \mathcal{L}, quelles conditions pour que ça corresponde bien à un spécieux, satisfaisant At (ou plus At CL (spéc)) les conditions L 1, L 2, L 3.
une seconde note, longue, écrite en oblique sur sept ou huit lignes dans la marge gauche en regard de (2)–(3), n'a pas été lue ; on y distingue « figures », « lieux », « compatibles », « atelier », « L (?) » et « \mathcal{M}_{\leq} »
Il est entendu qu'on va définir\underset{\mathcal{M}}{\between} par
(3) \qquad X \between Y \iff \forall\, x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L),\ y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L), \ \text{on a}\ x \parallel y ,
où
L = X \cap Y = \operatorname*{Sup}_{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} Z \qquad \Bigl(\text{donc}\ \mathrm{omb}(L) \overset{\mathrm{def}}{=} \bigcup_{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}} \mathrm{omb}(Z)\Bigr) .
Pour commencer, il faut vérifierécrire les conditions préliminaires
(4) \qquad X \between Y,\ X' \leq X,\ Y' \leq Y \Longrightarrow X' \between Y'et nous devrions le faire sous des formes plus
D'abord, précisons dégageons quelques conditions concernant \leq, \ll, indépendamment de \parallel.
(\mathrm{ML}\ 0) \qquad X \leq Y \Longrightarrow X \ll Y \qquad \text{pour mémoire}le « 0 » de ML 0 est repassé
(ML 1) Soit X' \leq X \geq X'', soit x \in \mathcal{L} avec x \ll X', x \ll X'', alors \exists\, Z \in avec x \ll Z et Z \leq X', X''.
sur la page, X'' est écrit sous X, relié à lui par un signe \geq vertical[on doit pouvoir supposer x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} ZZ \in \mathcal{M}quelc. ?]note entre crochets à droite de ML 1, rattachée par une flèche à « x \in \mathcal{L} »
[I.e. X' \cap X'' la « figure intersection » X' \cap X'' = \widetilde{X}' \cap \widetilde{X}'' est un Inf de X', X'' pour \ll, \mathcal{L})
Il faudra renforcer, avec X' \ll X, X'' \leq X, les propriétés Inf(X', X'')note oblique dans la marge gauche, cernée d'un trait qui la rattache à ML 1, et marquée d'un double trait vertical
()
Posons pour \mathrm{omb}(X) = \mathrm{omb}X \in \mathcal{M}\begin{aligned}
\mathrm{omb}(X) &= \lbrace x \in \mathcal{L} \mid x \ll X \rbrace \\
\mathrm{omb}(X)^{\circ} &= \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \bigcup_{Y < X} \mathrm{omb}(Y)
\end{aligned}
Posons
x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X \overset{\mathrm{def}}{\iff} x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ} \quad \text{i.e.} \quad x \ll X, \ \text{et}\ x \ll X' \leq X \Rightarrow X' = X .
On définit de même
Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X \iff Y \ll X, \ \text{et}\ Y \ll X' \leq X \Rightarrow X' = X ,
i.e. X minimal dans \widetilde{X}^{Y} = \lbrace X' \in \widetilde{X} \mid Y \ll X' \rbrace.
(ML 2) Soit X \in \mathcal{M}. Alors \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset
(ML 3) Soit X \in \mathcal{M}, x \in \mathcal{L}, x \ll X\exists\, Z, \leq X.ces deux énoncés sont barrés de traits obliques ; ML 2 et ML 3 sont repris à la page 26
Lemme 1 Soient X, Y \in \mathcal{M} Conditions équivalentes.
At L 1 (ML 2) avant le lemme 1note de la marge gauche, reliée par une accolade à ML 2 – ML 3 et au lemme 1
X \leq YX \ll Y\mathrm{omb}\, X \subset \mathrm{omb}\, Y\mathrm{omb}(X)^{\circ} \subset \mathrm{omb}(Y)\mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y) \neq \emptyset
à droite, « \Downarrow via (ML 2) » entre (iii) et (iv), sous un premier renvoi biffé « (ML 2) »
Il suffit de prouver (iv) \Longrightarrow (i). Or si x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y), \exists par ML 1 \exists\, Z, Z \leq X, Y, avec x \ll Z. On a x \ll Z \leq X, d'où Z = X puisque x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X, donc X \leq Y, cqfd.
Cor Si \mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y)^{\circ} \neq \emptyset, on a X = Y [i.e. X \neq Y \Rightarrow \mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y)^{\circ} = \emptyset]
ML 2\forall\, X \in \mathcal{M}, \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset. i.e. \exists\, x \in \mathcal{L}, x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X
ML 3\forall\, X \in \mathcal{M}, les \mathrm{omb}(Y)^{\circ} (Y \in \widetilde{X}) recouvrent \mathrm{omb}(X), i.e. \forall\forall\, x \in \mathcal{L}, x \ll X, \existsXY \leq X, avec x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y.
At L 1At_{\mathcal{M}} 4 a) ML 2 et ML 3 signifient que les \mathrm{omb}(Y)^{\circ} forment une partition de X.ML 2 et ML 3 sont marqués d'un trait vertical ; « At L 1 » est écrit dans la marge en regard de ML 2, « At_{\mathcal{M}} 4 a) » en regard de ML 3, et la troisième note, oblique, au-dessous
NB Par le cor. ci-dessus, cet Y est unique. Par le lemme, si x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}}Y' \leq X, et x \ll Y', comme x \in \mathrm{omb}(Y)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y') on a Y \leq Y' par le lemme, donc Y' est le plus petit élément de \widetilde{X}^{x}. Plus généralement :
on attend : Y est le plus petit élément de \widetilde{X}^{x} ; « Y' » est sur la page
Lemme 2 Soit X, Y \in \mathcal{M}, Y \ll X. Alors
On n'a pas jusqu'à présent utilisé la définition des lieux \mathcal{L} de \mathcal{M}, comme formé d'él. minimaux pour \ll. Dans tout modèle avec un \mathcal{L} quelconque, pourrions supposer ML 2, ML 3 pour cet \mathcal{L}. Si on prenait \mathcal{L} = \mathcal{M}, ML 2 est trivial, ML 3 signifie que \forallX \in \mathcal{M} et Z \ll X, \exists\, Y \in \widetilde{X} tel que Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y, i.e. At_{\mathcal{M}} 4 a) (page 6). Mais il faudrait dans ML 1 généraliser, en remplaçant x par un Z\in \mathcal{M} quelconque.
la page 6 est au lot 1
Mais il devrait être possible de le prouver, via ML 3 et ML 2pourZ. L'idée est (ML 2)Z \ll X, de prendre x \in \mathcal{L}, x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z, et l'unique Y \in \widetilde{X} tel que x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y (ML 3), et il par faudrait prouver que Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y. Ceci se décompose en deux : si x \ll Y \leq X, on a Z \ll Y et donc
x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \ \text{ssi}\ Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y .dans « Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y » de la ligne précédente, le Z et le Y sont écrits en surcharge ; dans « x \ll Y \leq X, on a Z \ll Y », le premier \ll est doublé
Donc on prouver
Lemme 2 Soit Z \ll X \geq X', soit x \in \mathcal{L}, tel que x \ll Z, x \ll X'. Si x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z, on a Z \ll X', et donc
x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' \iff Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' .sur la page, X' est écrit sous X, relié par un signe \geq vertical, et repassé ; un petit « x » est écrit au-dessus du premier \ll ; le \ll de « Z \ll X' » est surchargé
On admettra ML 1 sous forme généralisée, ici que \exists\, Z' \leq Z, Z \ll X'Z' \ll X' et x \ll Z' :
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& Z \arrow[r, no head, "\ll" description] & X \\
& Z' \arrow[u, no head, "\leq" description] \arrow[r, no head, "\ll" description] & X' \arrow[u, no head, "\leq" description] \\
x \arrow[ur, no head, "\ll" description] & &
\end{tikzcd}
Ceci dit, si x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z, on a Z' = Z, donc Z \ll X'. Si de plus x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X', alors a fortioriZ \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' (tautologique), Z' \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} x \ll prouvons l'inverse Zx \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' \Longrightarrow x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' .
Soit en effet X'' \leqX'' avec x \ll X'' \leq X', par ce qui précède, appliqué à X'' \leq X (car X' \leq X) on a Z \ll X'' \leq X', et comme Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' on conclut X'' = X', cqfd.
Ceci prouve donc que \forall\, Z tel que Z \ll X, \exists\, X' \leq X avec Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' (en utilisant ML 1 renforcé, ML 2 et ML 3) (c'est At_{\mathcal{M}} 4 a)). On trouve en temps
Corollaire Soit Z \ll Y \ll XX \ll Y \ll Z. Conditions équivalentes (i) Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y et Z \ll Xdébut de corollaire annulé par un grand trait courbe et des ratures
Corollaire 1 Pour Z \ll X, \exists\, X' avec Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' \leq X.
Corollaire 2 Soit Z \ll X \geq X'. Conditions équivalentes
X' est écrit sous X, relié par un \geq vertical. Deux premières conditions sont biffées : « (i) Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X » et « (ii) \mathrm{omb}(Z)^{\circ} \subset \mathrm{omb}(X) »
« \Downarrow par ML 2 » à droite, entre (ii) et (iii)
Il suffit de voir (iii) \Longrightarrow (i), et c'est ce qu'énonce le lemme précédent.
Corollaire 3 Les notations précédentes, Z \ll X, conditions équivalentes
Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'\mathrm{omb}(Z)^{\circ} \subset \mathrm{omb}(X')^{\circ}\mathrm{omb}(Z)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(X')^{\circ} \neq \emptysetX' est minimal dans \widetilde{X}^{Z} = \lbrace X' \in \widetilde{X} \mid Z \ll X' \rbraceX' est un plus petit élément dans \widetilde{X}^{Z}
le « (v) » est écrit en surcharge sur un « (iv) » ; devant, une ligne biffée « (i) \Longrightarrow (iii) »
On a
\begin{array}{c}
(v) \\ \Downarrow \\ (i) \Longleftrightarrow (iv)
\end{array}
\qquad (ii) \Longrightarrow (iii) \qquad \text{triviales.}
On va prouver (iii) \Longrightarrow (v) et (i) \Longrightarrow (ii), ce qui suffira.
(i) \Longrightarrow (ii) a été vu : si x \in \mathrm{omb}(Z)^{\circ} (existe par ML 2) x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z, et Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X', on a (lemme 2) x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X' i.e. x \in \mathrm{omb}(X')^{\circ}, donc (ii).
(iii) \Longrightarrow (v) Soit x \in \mathrm{omb}(Z)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(X')^{\circ}. Prouvons que X' est plus petit dans \widetilde{X}^{Z}, i.e.
Z \ll X'' \leq X \Longrightarrow X' \leq X'' .
Soit donc x \in \mathrm{omb}(Z)^{\circ} (ML 2) comme x \in \mathrm{omb}(X')^{\circ}, x \in \mathrm{omb}(X''), on a \mathrm{omb}(X')^{\circ} \cap \mathrm{omb}(X'') \neq \emptyset, d'où X' \leq X'' par lemme 1. OK.
dans \mathrm{omb}(X')^{\circ}, le X' est écrit en surcharge sur un X
Corollaire 4X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z \Longrightarrow X \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Zle « 4 » paraît écrit en surcharge ; la page 32 renvoie à ce « cor. 4 p. 29 »
Immédiat sur le critère (ii) du cor. 3
At_{\mathcal{M}} 5
Il est temps maintenant de faire intervenir la relation \parallel sur \mathcal{L}. On va la condition minimal dans x \in \mathcal{L} (?) (je pense) utiliser
At Je rappelle
(ML 0) la relation x \parallel ysur \mathcal{L} est symétrique et antiréflexive (elle implique x \neq y)
ce « ML 0 », pour la relation \parallel sur \mathcal{L}, n'est pas le ML 0 de la page 25 (X \leq Y \Rightarrow X \ll Y). Dans la marge gauche, en oblique : « relation symétrique, réflexive », en partie biffé
On pose dans \mathcal{M}(1) \qquad X \between Y \overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall\, x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L),\ y \in \mathrm{omb}(Y) \smallsetminus \mathrm{omb}(L) \ \text{on a}\ x \parallel y
où
\mathrm{omb}(L) \overset{\mathrm{déf}}{=} \bigcup_{\substack{Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} \\ \text{i.e.}\ Z \leq X, Y}} \mathrm{omb}(Z)
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\mathrm{omb}(X) \arrow[dr, no head] & & \mathrm{omb}(Y) \arrow[dl, no head] \\
& \mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) \arrow[d, no head] & \\
& \mathrm{omb}(L) &
\end{tikzcd}
schéma d'inclusions tracé par simples traits ; un premier « \mathrm{omb}(Y) » est biffé et récrit à côté
Dans , par ML 0, \mathrm{omb}(X), \mathrm{omb}(Y)\mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) = \mathrm{omb}(L)« ML 0 » est sur la page ; c'est ML 1 (page 25) qui donne cette égalité
Lemme 3 Si X, Y \leq Z, on a X \between Y
Soit en effet x \in \mathrm{omb}inutile ici, sera contenu dans lemme 5note oblique dans la marge gauche, en regard du lemme 3 ; le lemme 5 est à la page 30
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& Z & \\
X \arrow[ur, no head, "\leq" description] & & Y \arrow[ul, no head, "\leq" description] \\
& L \arrow[ul, no head, "\leq" description] \arrow[ur, no head, "\leq" description] &
\end{tikzcd}
losange tracé en tête de page (à gauche de son numéro « 30 ») : X, Y \leq Z, L \leq X, Y
En effet, soit x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(L), je dis qu'on a x \notin \mathrm{omb}(Y) — en effet \mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) = \mathrm{omb}(L) par ML 1 appliqué à X, Y. On utilisera alors
ML 4 Soit Y \leq X ( ald Y \leq Z), et x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(Y) (comme Y \neq X …), y \in \mathrm{omb}(Y), alors x \parallel yAt L 3dans « Y \leq X », « \mathrm{omb}(X) », « \mathrm{omb}(Y) » et « Y \neq X », les lettres sont écrites en surcharge sur d'autres ; la parenthèse « (ald Y \leq Z) », au-dessus de la ligne, est reliée par une flèche au X de « Y \leq X »
Lemme 4 Soient X, Y \in \mathcal{M}, X \between Y. Alors l'inverse du lemme 1 est valable pourX, Y. Il suffit encore de prouver
\mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y) \neq \emptyset \Longrightarrow X \leq Y .(N'utilise ML 4 At_{\mathcal{M}} 6)note oblique dans la marge gauche, en regard du lemme 4
Prouvons Soit donc x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y) i.e.
x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X, \quad x \ll YOn ne peut avoir ici x \notinx \in \mathrm{omb}(X)
En fait, comme \mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) = \mathrm{omb}(L), \exists\, Z avec
x \ll Z \leq X, Y
comme x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X, on a Z = X, donc X \leq Y, cqfd.
Lemme 5 Soit X, Y, X', Y' avec , X' \leq X, Y' \leq Y. Alors X \between Y \Longrightarrow X' \between Y'.
Soit en effet
\begin{cases}
x \in \mathrm{omb}(X') \smallsetminus \mathrm{omb}(L') \\
y \in \mathrm{omb}(Y') \smallsetminus \mathrm{omb}(L') \\
\qquad \text{où}\ \mathrm{omb}(L') \overset{\mathrm{déf}}{=} \bigcup_{Z \in \widetilde{X}' \cap \widetilde{Y}'} \mathrm{omb}(Z)
\end{cases}
prouvons x \parallel y.
Si x, y \notin \mathrm{omb}(L), cela résulte de l'hypothèse X \between Y. Si x (p. ex.) est p. ex. x \in \mathrm{omb}(L), i.e.
\exists\, Z \in \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} \quad (\text{i.e.}\ Z \leq X, Y) \ \text{avec}\ x \ll Z
[Appliquons ML 1 à
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X' \arrow[r, no head, "\leq" description] & X \\
x \arrow[u, no head, "\ll" description] \arrow[r, no head, "\ll" description] & Z \arrow[u, no head, "\leq" description]
\end{tikzcd}
, on trouve S \in \mathcal{M}, S \in \widetilde{X}
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X' \arrow[r, no head, "\leq" description] & X & \\
S \arrow[u, no head, "\leq" description] \arrow[r, no head, "\leq" description] & Z \arrow[u, no head, "\leq" description] \arrow[r, no head, "\leq" description] & Y \\
x \arrow[u, no head, "\ll" description] & &
\end{tikzcd}
sur la page, « (\leq Y) » est écrit après Z ; à droite, le même contenu est redessiné en « i.e. » : x \ll S \leq X', S \leq Ydonc S \in \widetilde{L} \overset{\mathrm{déf}}{=} \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}]
donc x \llx \ll Y, i.e. x \in \mathrm{omb}(Y), et pour prouver Je disx \parallel y, il suffit par ML 4 de prouver x \notin \mathrm{omb}(Y'). Mais si on avait x \in \mathrm{omb}(Y'), on aurait i.e. x \ll par ML 1 appliqué à
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
S \arrow[r, no head, "\leq" description] & Y \\
x \arrow[u, no head, "\ll" description] \arrow[r, no head, "\ll" description] & Y' \arrow[u, no head, "\leq" description]
\end{tikzcd}
un T tel que
x \ll T \leq S, Y'
et on aurait donc aussi
T \leq X', Y' \qquad \text{puisque}\ S \leq X'
donc x \in \mathrm{omb}(L'), contrairement à l'hyp., cqfd.
Il faut prouver maintenant seulement At_{\mathcal{M}} 4 At_{\mathcal{M}} b) (At_{\mathcal{M}} 5, 6 et At_{\mathcal{M}} 4 a) sont déjà prouvés) pour conclure que (\mathcal{M}, \leq, \ll, \underset{\mathcal{M}}{\between}) (et la famille\mathfrak{F} = ens. des parties fermées de \mathcal{M} formées d'él. 2 à 2 compatibles pour \underset{\mathcal{M}}{\between})
correspondent à un atelier At 1 – At 7. Donc c'est le contenu du
Lemme 6 Soient X, Y, Z avec
Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X, \quad Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Y, \quad X \between Y
alors X = Y.
Ça résultera du cor. plus général
Cor On a, si X \between YZ \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X, \ Z \ll Y \Longrightarrow X \leq Yle corollaire est marqué d'un trait vertical dans la marge ; le \leq final porte une petite marque, peut-être le rond de \overset{\circ}{\ll}
Dém Soit x \in \mathrm{omb}(Z)^{\circ} (ML 2). On a donc x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}}x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X
donc (lemme 2, cor. 4 p. 29) x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X, donc x \in \mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y), lequel est \neq \emptyset, donc X \leq Y (lemme 4).
Il faut voir que la relation de départ \parallel sur \mathcal{L} est bien la relation de disjonction au sens de l'atelier qu'on vient de construire, i.e.
Lemme 7 a) Soient x, y \in \mathcal{L}. Alors
x \between y \ \text{ssi}\ x = y \ \text{ou}\ x \parallel y
b) On a x \parallel y ssi x \between y et \mathrm{Inf}^{\leq}(x, y) = \emptyset_{\mathfrak{F}}. (i.e. x et y disjoints au sens de l'atelier)
Dans a), il suffit de voir le cas x \neq y. À cause du caractère minimal de x, y, on a \mathrm{omb}\, x = \lbrace x \rbrace, \mathrm{omb}(y) = \lbrace y \rbrace, L = \emptyset, et la condition est bien qui définit x \between y est bien x \parallel y. L'assertion b) résulte,
« \mathrm{omb}\, x = \lbrace x \rbrace, \mathrm{omb}(y) = \lbrace y \rbrace » est écrit dans la marge gauche et rattaché à la ligne
Lemme 8 Soient X, Y \in \mathcal{M}. Alors
\underbrace{X \between Y \ \text{et}\ \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptyset}_{\text{i.e.}\ X \parallel Y \ \text{au sens de l'atelier}}
\iff \forall\, x \in \mathrm{omb}(X),\ y \in \mathrm{omb}(Y) \Longrightarrow x \parallel yAt L 2
C'est tautologique !
Lemme 9 Ainsi, notre atelier satisfait, en plus de At 1 – At 7, les conditions sur les lieux At L 1, At L 2, At L 3. Reste à voir la condition At CL (spéc) — mais elle est vraie par définition.
On trouve ainsi le
Théorème-Scholie Soit (\mathcal{M}, \leq, \ll) un ensemble muni de deux relations d'ordre, \mathcal{L} l'ens. des éléments minimaux de \mathcal{M} pour \ll, \parallel une relation symétrique antiréflexive sur \mathcal{L}. Pour que ces donnéesproviennent soient isom. à celles provenant d'un atelier spécieux satisfaisant At 1 (en plus de At 1 – At 7) les axiomes sur les lieux At L 1, At L 2, At L 3, plus At CL (spéc), il faut et suffit que les conditions suivantes soient satisfaites :
(ML 0) X \leq Y \Longrightarrow X \ll Y
(ML 1) Soient Z \ll X \geq X' dans \mathcal{M}, et soit x \in \mathcal{L} avec x \ll Z, x \ll X'. Alors \exists\, Z' \in \mathcal{M} avec
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& Z \arrow[r, no head, "\ll" description] & X \\
x \arrow[r, no head, "\ll" description] & Z' \arrow[u, no head, "\leq" description] \arrow[r, no head, "\ll" description] & X' \arrow[u, no head, "\leq" description]
\end{tikzcd}
De plus, si Z \leq X, on peut supposer Z' \leq X'.
axiome trivialaxiome des raffinements induitsles deux notes sont écrites en oblique dans la marge gauche, en regard de ML 0 et de ML 1 ; les deux « (ML 0) », « (ML 1) » sont écrits sur un premier sigle biffé. Sur la page, X' est sous X, relié par un \geq vertical
(ML 2)* \forall\, X \in \mathcal{M}, \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset i.e. \exists\, x \in \mathcal{L}, avec x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X i.e. x \ll X et (x \ll X' \leq X) \Rightarrow X' = X
(ML 3) \forall\, X \in \mathcal{M}, x \in \mathcal{L} avec x \ll X, \exists\, X' \leq X avec x \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'axiome de divisibilité et la plus petite stratenote oblique dans la marge gauche, en regard de ML 2 – ML 3, en partie biffée ; « la plus petite strate » est lu avec doute
(ML 4) \parallel est symétrique antiréflexive (x \parallel y \Rightarrow y \parallel x et x \neq y)
(ML 5) \forall\, X, Y \in \mathcal{M} avec Y \leq X, y \in \mathrm{omb}(Y), x \in \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(Y) \Longrightarrow x \parallel yaxiomes de disjonction pour les lieuxc'est tout, des axiomes sur la relation \parallella première note est à droite de ML 4, avec une accolade ; la seconde, oblique, est dans la marge gauche, avec une accolade réunissant ML 4 et ML 5. Le ML 4 de cette page est le ML 0 de la page 29, et son ML 5 le ML 4 de la page 30 : il renumérote
Les ateliers correspondants à ces types de données, réalisés comme des ens. de parties de \mathcal{M}, \mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}), les \mathfrak{F} satisfaisant les conditions suivantes (i)ce paragraphe inachevé est barré de six longs traits obliques
l'astérisque de ML 2 renvoie à la note qui suit, en bas de page
* NB Cet axiome implique que si les relations d'ordre \leq et \ll sont égales, alors \mathcal{M} est discret i.e. \mathcal{M} = \mathcal{L}. L'axiome ML 4 est vide !
« ML 4 » est sur la page ; dans la numérotation de cette page, c'est ML 5 qui est vide quand \leq est discret (Y \leq X force Y = X), ML 4 ne l'étant pas : il s'agit sans doute de l'ancien ML 4 de la page 30
Soit \underline{\Phi} l'ens. des parties de \mathcal{M} qui sont a) fermées pour \leq et b) formées d'éléments deux à deux compatibles (au sens de (1) p. 29). Munissons \underline{\Phi} de la relation \leq \overset{\mathrm{déf}}{=} l'inclusion, et \ll défini par
F \ll G \overset{\mathrm{déf}}{\iff} \forall\, X \in F,\ \exists\, Y \in G \ \text{avec}\ X \ll Y .\underline{\Phi} rend une capitale en forme de \Phi soulignée, écrite après un mot raturé surmonté d'un astérisque ; même sigle dans toute la suite de la page
Alors \underline{\Phi} est un atelier satisfaisant At At L 1, At L 2, At L 3 et At CL (spéc), et les \widetilde{X} = \mathcal{M}_{\leq X} (X \in \mathcal{M}) comme objets figures élémentaires, les \lbrace x \rbrace et induisant sur \mathcal{M} les relations ( de disjonction des figures)et la relation \parallel\leq, \ll de départ, et
Les autresTout atelier correspondant à ces données s'identifie : aux sous-ateliers spécieux de \underline{\Phi}, i.e. parties \mathfrak{F}de \underline{\Phi} i.e. une partie
\mathfrak{F} \subset \underline{\Phi}
satisfaisant
\forall\, F \in \mathfrak{F}, et G \leq F (i.e. G partie fermée de F, \in) on a G \in \mathfrak{F} et\forall\, F, G \in \mathfrak{F}, si F \between G i.e. F \cup G \in \underline{\Phi} (i.e. éléments de F sont compatibles à tous éléments de G) F \cup G \in \mathfrak{F}.
« sous-ateliers » et le mot qui suit sont soulignés ; ce dernier est lu « spécieux » avec doute
Il contient de plus les objets figures élémentaires, i.e. satisfait :
\forall\, X \in \mathcal{M}, \lbrace\lbrace X \rbrace\rbrace \in \mathfrak{F}
ainsi sur la page, avec des accolades doublées ; d'après la page 35, la figure élémentaire attendue est \widetilde{X}
et par suite, il contient toutes les parties fermées de réunions finies de tels \widetilde{X}.
Inversement, tout \mathfrak{F} satisfaisant ces trois conditions, satisfait aux conditions voulues pour que les figures de \mathfrak{F} soient , et soient soita)\ \mathfrak{F} = \mathfrak{F}_0 = \lbrace \text{réunions finies d'ensembles de la forme}\ \widetilde{X} \rbrace
(ce qui donne un atelier qui supposé de plus
b)\ \text{toute partie fermée d'un}\ \widetilde{X}\ \text{\add{(pour $\leq$)} est de type fini}
À part donc un petit flottement dû à la possibilité de familles infinies infinies, on voit que tout s'exprime par (\mathcal{M}, \leq, \ll, \parallel), avec \parallel défini sur \mathcal{L} sans plus, satisfaisant aux quatre axiomes (cinq avec (ML 0)) ML 1 – ML 4 (au lieu
« quatre axiomes … ML 1 – ML 4 » : la page 34 en énumère six, ML 0 – ML 5 ; la phrase se poursuit à la page 37
de la douzaine d'axiomes At 1 – 7, At L 1 – 3, At CL (spéc).
Si on se donne \parallel sur \mathcal{M}, et non sur \mathcal{L}, il faut simplement rajouter un axiome supplémentaire :
(\mathrm{ML}\ 6) \quad \text{Soit}\ X, Y \in \mathcal{M}.\ \text{Alors} \quad X \parallel Y \iff \forall\, x, y \in \mathcal{L},\ x \ll X,\ y \ll Y \Rightarrow x \parallel y .le « 6 » de ML 6 est repassé
Variante pour ateliers polyédraux. (satisfaisant At 1 – At 7, At L 1 – At L 3, (At CL (pol))) Elle consiste en le texte, sauf qu'on change un peu la définition de X \between Y (p. 29), et qu'il faut supposer sur \mathcal{M}, \leq une condition supplémentaire
l'addition entre parenthèses est écrite au-dessus de la ligne, dans un cadre arrondi relié à « polyédraux »
(ML 0 pol) \forall\, X \in \mathcal{M}, \widetilde{X} = \mathcal{M}_{\leq X} est un ens. ordonné polyédral (p. 13), i.e. \exists\, X, Y, Z deux élts Y, Z de \mathcal{M}\widetilde{X}qui sont majorés (par un X) et minorés (par un T) admettent un inf \leq — en d'autres termes, les ensembles \mathcal{M}_{T \leq \cdot \leq X} ont des inf finis (donc aussi des sup finis s'ils sont finis).
le paragraphe (ML 0 pol) est marqué d'un trait vertical dans la marge ; la page 13 est au lot 1
Ça montre, de plus, que si on part de (\mathcal{M}, \leq, \ll), il y a un très large choix pour les \parallel possibles sur \mathcal{L}, i.e. les parties admissibles de \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}). Si on désigne par
\Gamma_0 = \Bigl\lbrace \lbrace x, y \rbrace \in \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) \Bigm| \exists\, X, Y \in \mathcal{M},\ Y \leq X,\ y \ll Y,\ x \ll X,\ x \not\ll Y \Bigr\rbracedans « y \ll Y », le Y est écrit en surcharge
on peut prendre comme structure de graphe \Gammade (pour une relation \parallel) n'importe quelle partie \Gamma \supset \Gamma_0.
\Gamma_0 \subset \Gamma \subset \mathfrak{P}_2(\mathcal{L}) .
Ça fait de la marge ! Pour la suite, il faudra voir comment les traduire les choix de certains axiomes le choix de \parallel (et des variantes). Pour le moment, je songe surtout :
les mots « traduire », « choix » et « certains » de cette phrase sont lus avec doute
At supp cf p. 18)
At ens et ses variantes (cf GF VI, p. 52 …)
la page 18 est au lot 1. « GF VI, p. 52 » renvoie à la deuxième mouture (dossier 156-6), où la page 52 définit l'atelier ensembliste et l'axiome « At ens 1 » ; le « VI » est souligné
Donc Pour qu'un atelier spécieux(resp. polyédral) ensembliste, suffit-il que x \parallel y \Leftrightarrow x \neq y ?? Sans doute pas, car cela n'implique aucune restriction sur les autres données \leq, \ll, et les conditions ML 0 à ML 3 n'impliquent pas que l'application voulue : \mathcal{M} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) soit injective, ni que \ll soit induite par la relation \ll entre fig. ensemblistes dans \mathcal{L}.
ce dernier alinéa est marqué d'un double trait vertical dans la marge ; « (resp. polyédral) » et « suffit-il » sont écrits au-dessus et au-dessous de « Pour qu'un », dans un cadre
Dans le raisonnement précédent, le fait que les éléments de \mathcal{L} soient minimaux n'est intervenu qu'à la fin, pour prouver que la relation de départ \parallel sur \mathcal{L} est bien celle induite par la disjonction des lieux, au sens de l'atelier construit. On va tout reprendre.
DéfinitionSoit\Lambda \subset \mathcal{M}. On dit que \Lambda est dense(dans \mathcal{M}) si \forall\, X\in \mathcal{M}, \exists\, Y \in \Lambda avec Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X.
la définition est marquée d'un trait vertical dans la marge
Ex 1{}^{\circ}) \Lambda = \mathcal{M}, exemple « universel » (on prend Y = X)
2{}^{\circ}) \Lambda = \mathcal{L} quand At L 1 est satisfait
On va donner des axiomes sur (\mathcal{M}, \leq, \ll, \between, \Lambda \subset \mathcal{M}) qui assurent que (\mathcal{M}, \leq, \ll, \between) provient d'un atelier, et que \Lambda \subset \mathcal{M} est dense, avec en plus sur l'atelier (au besoin) la condition At D ou At D_0 ou At C.
(M\Lambda 0) X \leq Y \Longrightarrow X \ll YAxiome trivial
(M\Lambda 1) Si ZY \ll X \geq X' et Z \in \Lambda …, Z \ll Y, Z \ll X', alors \exists\, Y' avec Z' \leq Z,Y'Y' \leq Y, Y' \ll X', Z \ll Y' et si Y \leq X, Y' \leq X'.
ligne très surchargée, lue avec doute : l'hypothèse porte sur Y \ll X \geq X' (le Y est écrit sur un Z biffé) et sur Z \in \Lambda (souligné), avec Z \ll Y, Z \ll X' ; dans la conclusion, les Y' sont écrits sur des lettres biffées. Une flèche en pointillé mène de la fin de la ligne de M\Lambda 0 à une accolade dans la marge droite, où quelques mots obliques ne sont pas lusAxiome du raffinement induit
(M\Lambda 2) \forall\, X \in \mathcal{M}, \exists\, Z \in \Lambda tel que Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} XAxiome de densité
(M\Lambda 3) \forall\, X \in \mathcal{M}, Z \in \Lambda avec Z \ll X, \exists\, X' \leq X avec Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'Axiome de la strate minimale
Il Il est commode d'introduire les
\begin{aligned}
\mathrm{omb}_{\Lambda}(X) &= \lbrace Z \in \Lambda \mid Z \ll X \rbrace \\
\mathrm{omb}_{\Lambda}(X)^{\circ} &= \lbrace Z \in \Lambda \mid Z \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X \rbrace .
\end{aligned}
Les raisonnements précédents montrent la validité des deux lemmes suivants, que je rappelle pour mémoire :
Pour ce il s'agit axiomes \mathcal{L}les quatre notes de marge sont écrites en oblique dans la marge gauche, en regard de M\Lambda 0, M\Lambda 1, M\Lambda 2 et M\Lambda 3 ; la dernière, plus bas, n'est lue qu'en partie
Lemme A Soient X, Y \in \mathcal{M}, supposons \exists\, Z avec X, Y \leq Z. Conditions équivalentes
cf cor. 2 p. 28X' est écrit sous X, relié par un \geq vertical
Corollaire Mêmes notations. Cond. équivalentes
Y \mathrel{\overset{\circ}{\ll}} X'\mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)^{\circ} \subset \mathrm{omb}_{\Lambda}(X')^{\circ}\mathrm{omb}_{\Lambda}(Y)^{\circ} \cap \mathrm{omb}_{\Lambda}(X')^{\circ} \neq \emptysetX' est minimal dans \widetilde{X}^{Y} = \lbrace X' \in \widetilde{X} \mid Z \ll X' \rbraceX' est plus petit élément de \widetilde{X}^{Y}.
cf cor. 3 p. 28les quatre renvois de la marge gauche vont aux pages 25 et 28 de ce lot. Dans (iv), le Y de \widetilde{X}^{Y} est écrit sur un autre signe, et la condition garde « Z \ll X' » de la page 28
Nous faisons maintenant intervenir \between, et allons voir quelles propriétés de \between font marcher nos raisonnements précédents (comme naguère : \parallel). On pose ici, pour X, Y \in \mathcal{M}X \parallel Y \overset{\mathrm{déf}}{\iff} X \between Y, \ \text{et}\ \widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \emptysetdevant \widetilde{X} \cap \widetilde{Y}, un signe raturé
M\Lambda 0'\between est réfl. et sym. Si X \between Y, et X' \leq X, Y' \leq Y, on a X' \between Y'. avec X', Y' \in \Lambdaaxiomes triviaux pour \betweenl'addition finale est entourée ; le « 0' » est écrit sur un autre signe
M\Lambda 4 Soient X' \ll X, Y' \ll Y (supposons X'_{Y} = \emptyset …), \nexists\, X'' \leq X', avec X'' \ll Y. Alors X'' \parallel Y'.Axiome de disjonctionl'énoncé M\Lambda 4 est barré de deux longs traits obliques ; sur la page Y est écrit sous X, relié par un signe = ou \parallel vertical, et plusieurs lettres sont en surcharge