Cote n° 156-6 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · [Chapitre] VI. Analysis situs (deuxième mouture) : notes manuscrites (18-20/06/1986)
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

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41pagination de sa main 41 à 60 en tête des feuillets, qui coïncide avec celle des archivistes ; ici, devant le 41, un numéro biffé le sous-atelier \(\mathfrak{F}'\) […] partie de \(\mathfrak{F}\), comme l'ens. des \(\mathfrak{F}\) : \(\mathfrak{F}' = \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid \widetilde{F} \subset \mathcal{M}' \rbrace \overset{\mathrm{df}}{=} \mathrm{Env}(\mathcal{M}')\). Donc On trouve ainsiles quatre premières lignes de la page sont barrées de deux longs traits obliques

Proposition (Ne dépend pas en fait des données \(\ll\) sur \(\mathfrak{F}\), ⌜seulement de \(\leq\)⌝) On a deux applications […] biunivoques inverses l'une de l'autre \[\begin{array}{ccc} & \mathfrak{F}' \longmapsto \mathfrak{F}' \cap \mathcal{M} & \\ \text{Sousatspéc}(\mathfrak{F}) & \longrightarrow & \mathrm{Ferm}(\mathcal{M}) \\ & \longleftarrow & \\ \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid \widetilde{F} \subset \mathcal{M}' \rbrace \overset{\mathrm{df}}{=} \mathrm{Env}(\mathcal{M}') & \longleftarrow & \mathcal{M}' \end{array}\] « Sousatspéc » est écrit sous un « Satsp » biffé ; la flèche du bas, de \(\mathcal{M}'\) vers \(\mathrm{Env}(\mathcal{M}')\), porte un talon (\(\mapsto\)) entre l'ensemble des sous-ateliers ⌜parties fermées⌝ ⌜spécieuses⌝ \(\mathfrak{F}'\) de \(\mathfrak{F}\), et l'ens. des parties fermées \(\mathcal{M}'\) de \(\mathcal{M}\).

Dans […] on identifie […] \(\mathfrak{F}\) […] \(\mathfrak{P}(\mathcal{M})\), […] […] \(\mathrm{Env}(\mathcal{M}') = \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid F \subset \mathcal{M}' \rbrace\)note oblique dans la marge gauche, en haut, lue en partie

Il faut voir, […] ⌜[…] \(\mathfrak{F}\) est un atelier, si⌝ \(\mathfrak{F}'\) est un sous-atelier de \(\mathfrak{F}'\), donc pour \(\leq\), \(\ll\), c'est un ⌜au sens des⌝ ateliers At 1 – At 7. Rappelons que ça signifie At 1 – At 3

42Pour At 1, At 2 c'est clair, pour At 3 il faut de plus imposer, en plus de

la condition

au milieu de Sousat 2, deux lignes et demie sont biffées de traits horizontaux, et un petit cadre tracé à gauche est barré de traits obliques ; ce qui se lit est donné comme biffé

NB (1-2) une condition […] ainsi […] que \((\mathfrak{F}', \leq)\) […] […] condition […] At 3 pour \(\mathfrak{F}'\)note oblique dans la marge gauche, en face de Sousat 2, lue en partie

Les conditions At 4, At 5, At 6, At 7 passent ⌜sans rien⌝ trivialement de \(\mathfrak{F}\) à \(\mathfrak{F}'\). Pour At 7, je note seulement une propriété

Supposons maintenant \(\mathfrak{F}\) interprété comme un ensemble de figures (en fait, un sous-atelier) de \(\mathrm{Fig}(\mathcal{M})\).ces trois lignes sont barrées de traits obliques

Définition Soit \(\mathfrak{F}\) un atelier au sens At 1 – At 7. On appelle sous-atelier de \(\mathfrak{F}\), une partie \(\mathfrak{F}'\) de \(\mathfrak{F}\) […], satisfaisant Sousat 1 et Sousat 2 ci-dessus, i.e. telle que 1°) \(\mathfrak{F}'\) soit une partie fermée non vide de \((\mathfrak{F}, \leq)\) et (ce qui s'exprime par Sousat 1) et 2°) \(\mathfrak{F}'\), muni de \(\leq\), \(\ll\), est un atelier (ce qui équivaut : Sousat 2). On dit que

43\(\mathfrak{F}'\) est un sous-atelier spécieux, si c'est une partie fermée spécieuse de \(\mathfrak{F}\) Conséquence la condition Sousat 2 est Ce qui suffit à entraîner que c'est un sous-atelier.

Exemple Soit \(\mathfrak{F}\) un atelier, et considérons l'application canonique \[\mathrm{Multomb} : \mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{M}),\] on a vu que l'image est une partie fermée pour \(\leq\), et que les relations \(\leq\) et \(\ll\) sur \(\mathfrak{F}\) sont induites par celles de \(\mathrm{Fig}(\mathcal{M})\). Ainsi \(\mathfrak{F}\) est un sous-atelier de l'atelier des figures dans ⌜dans⌝ \(\mathcal{M}\). ⌜Mais ce n'est pas en général⌝ En fait, on a vu aussi que c'est un sous-atelier spécieux (mais ça l'est peut-être dans le cas ensembliste, à voir).

Je reviens à la […] aux « petits » […]

Remarque Soit \(\mathfrak{F}\) un ordonné par \(\leq\), \(\mathfrak{F}'\) une partie fermée ⌜non vide⌝ de \(\mathfrak{F}\). Alors les parties fermées non vides de \(\mathfrak{F}'\) sont exactement les parties fermées non vides de \(\mathfrak{F}\) qui sont contenues dans \(\mathfrak{F}'\). On a le même énoncé pour les parties fermées spécieuses, pourvu que l'on suppose \(\mathfrak{F}'\) spécieux. De façon précise, si […] on a des

44inclusions, \[\mathfrak{F}'' \subset \mathfrak{F}' \subset \mathfrak{F}\] de parties fermées non vides, si \(\mathfrak{F}''\) est spécieux dans \(\mathfrak{F}\), il l'est dans \(\mathfrak{F}'\),les deux \(\mathfrak{F}\) de cette proposition sont mal distingués de \(\mathfrak{F}'\) sur la page ; la lecture suit le sens (la réciproque demande \(\mathfrak{F}'\) spécieux) et la réciproque est vraie si \(\mathfrak{F}'\) est spécieux dans \(\mathfrak{F}\). De même, si \(\mathfrak{F}\) est un atelier, \(\mathfrak{F}'\) un sous-atelier, les sous-ateliers de \(\mathfrak{F}'\) sont les sous-ateliers de \(\mathfrak{F}\) contenus dans \(\mathfrak{F}'\) — en d'autres termes, la condition supplémentaire Sousat 2 pour \(\mathfrak{F}''\) est la même, qu'on la prenne par rapport à \(\mathfrak{F}'' \subset \mathfrak{F}'\) ou par \(\mathfrak{F}'' \subset \mathfrak{F}\) ; en effet, c'est une condition intrinsèque : \(\mathfrak{F}''\) […] (savoir, At 3 pour \(\mathfrak{F}''\)). Donc, […] \[\begin{align*} &(1.50) & \mathrm{Sousat}(\mathfrak{F}') &= \lbrace \mathfrak{F}'' \in \mathrm{Sousat}(\mathfrak{F}) \mid \mathfrak{F}'' \subset \mathfrak{F}' \rbrace \end{align*}\] et si \(\mathfrak{F}'\) spécieux dans \(\mathfrak{F}\) \[\begin{align*} &(1.51) & \text{Sousatspéc}(\mathfrak{F}') &= \lbrace \mathfrak{F}'' \in \text{Sousatspéc}(\mathfrak{F}) \mid \mathfrak{F}'' \subset \mathfrak{F}' \rbrace . \end{align*}\] numéros de formules de sa main, écrits « (1,50) » et « (1;51) »

Remarque Soit \((\mathfrak{F}, \leq)\) un ordonné satisfaisant At 1 – At 3, donc qui se décrit donc par \((\mathcal{M}, \leq, \mathfrak{F})\), \(\mathfrak{F}\) […] \((\mathcal{M}, \leq)\) un ensemble ordonné ; \(\mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\mathcal{M})\) ⌜ensemble des parties fermées de \(\mathcal{M}\)⌝ telle que 1°) \(|\mathfrak{F}| = \mathcal{M}\) i.e. \(\forall x \in \mathcal{M}\), \(\exists\, F \in \mathfrak{F}\) avec \(x \in F\), et 2°) \(\mathfrak{F}\) fermé dans \(\mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\mathcal{M})\), i.e. si \(F \in \mathfrak{F}\) et \(G\) partie fermée de \(F\), alors \(G \in \mathfrak{F}\). Prenons dans \(\mathcal{M}\) la relation \(\ll \overset{\mathrm{df}}{=} \leq\). Alors, si \((\mathcal{M}, \leq)\) satisfait At 3, alors \((\mathcal{M}, \leq, \ll)\) satisfait At 1 à At 7. Pour moi

45axiomes qui vont suivre, il y en a qui les éliminent, je pense, cet exemple trivial d'atelier.

un court trait horizontal sépare ce qui précède de ce qui suit

Revenons aux petites ombres et multiombres. C'est le moment d'introduiredans la première mouture (GF IV, dossier 156-4, p. 88), la condition \(A^{\circ} = A \smallsetminus \partial A \neq \emptyset\) pour les membres de la multiombre figure dans une proposition énoncée sans démonstration ; elle est posée ici en axiome, At 8, sous la forme (1.52)

En d'autres termes, posant […] \[\begin{aligned} \mathrm{omb}(X)^{\circ} &= \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(\partial X) \\ &= \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \bigcup_{\substack{Y \trianglelefteq X \\ Y \neq X}} \mathrm{omb}(Y), \end{aligned}\] on a : \[(1.52) \qquad \boxed{\ \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset\ }\]

Considérons alors, pour \(F \in \mathfrak{F}\), ⌜la⌝ multiombre, qui est par définition ⌜la figure ensembliste⌝ partie […] \[\mathrm{multomb}(F) = \lbrace \mathrm{omb}(X) \mid X \trianglelefteq F,\ \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset \rbrace .\] sous « \(X \trianglelefteq F\) » : « i.e. \(X \in \widetilde{F}\) » At 8 nous dit que l'ensemble d'indices ici est \(\widetilde{F}\) tout entier. ⌜(cf. note ensembliste)⌝addition entre les lignes, lue en partie Ainsi on trouve

Corollaire Soient \(F\) une figure, \(X, Y \in \widetilde{F}\). Alors conditions suivantes équivalentes

46

Il y a une correspondance biunivoque \[(1.53) \quad \left\lbrace \begin{array}{c} F' \longmapsto \mathrm{multomb}(F') \\ \mathrm{Ssfig}(F) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Ssfig}(\mathrm{multomb}(F)) \end{array} \right.\] sous « \(\mathrm{Ssfig}(F)\) », un signe \(=\) vertical et « \(\mathfrak{F}_{\leq F}\) »

Corollaire Pour que \(F\) soit élémentaire, i.e. une multistrate, il faut et il suffit que \(\mathrm{multomb}(F)\) le soit.

Remarque Je n'ai aucune raison que At 8 soit stable par passage à un sous-atelier \(\mathfrak{F}'\), […] pourvu que celui-ci soit spécieux. Mais considérons supposons que \(G\) \(F \in \mathfrak{F}'\), \(G \in \mathfrak{F}\), \(G \ll F\) implique \(G \ll F\)sic ; on attend « implique \(G \in \mathfrak{F}'\) » i.e. que \(\mathfrak{F}'\) soit fermé pour \(\ll\) également — on dit alors que le sous-atelier est plein. En général, on aura \[\mathcal{L} \cap \mathfrak{F}' \subset \mathcal{L}' \quad (\overset{\mathrm{df}}{=} \text{ens. des lieux de } \mathfrak{F}')\] mais dans le cas d'un atelier plein,\(^{*}\) on aura \[\mathcal{L} \cap \mathfrak{F}' = \mathcal{L}' .\] Dans ce cas,\(^{*}\) si \(\mathfrak{F}\) satisfait At 8, \(\mathfrak{F}'\) aussi. De plus, — pour \(F \in \mathfrak{F}'\), \(\mathrm{omb}(F)\) et \(\mathrm{multomb}(F)\) sont les mêmes, au sens de \(\mathfrak{F}\) ou au sens de \(\mathfrak{F}'\).

\(^{*}\) il suffit qu'il soit \(\mathcal{L}\)-plein, i.e. \(F \in \mathfrak{F}'\), \(x \in \mathcal{L}\), \(x \ll F \Rightarrow x \in \mathfrak{F}'\)note oblique dans la marge gauche ; les deux astérisques du texte y renvoient

47Corollaire 2 Soient \(F, G \in \mathfrak{F}\), […] \(G < F\). Alors \(\exists\, x \in \mathrm{omb}(F)\), […]

Je reviens à la notion d'atelier ensemblisteces lignes, en haut de la page, sont biffées horizontalement et barrées de traits obliques, ainsi qu'un « Déf » commencé en marge

Je reprends la notion des homomorphismes morphismes d'ateliers.

Définition Soient \(\mathfrak{F}'\), \(\mathfrak{F}\) deux ateliers. On appelle […] quasi-morphisme de (car. […] […] un morphisme !) de \(\mathfrak{F}'\) dans \(\mathfrak{F}\), une application \[f : \mathfrak{F}' \longrightarrow \mathfrak{F}\] qui est

il vaudrait mieux de parler de « quasi-morphismes » (en réservant le nom de morphismes […] plus bas)note oblique dans la marge gauche, en haut

On n'exige pas qu'elle transforme fig. élémentaires en fig. élémentaires. Mais quand il en est ainsi, cette application est connue quand on connaît sa restriction restriction \[f_{\mathrm{str}} : \mathcal{M}' \longrightarrow \mathcal{M}\] aux ens. de multistrates ⌜(= fig. élém.)⌝. Dans ce cas, pour que \(f\) soit injective, il faut et il suffit que \(f_{\mathrm{str}}\) le soit (et en termes de plongement […]) […] […] : \(\mathfrak{F} \hookrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{M})\), \(\mathfrak{F}' \hookrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{M}')\), \(f\) s'identifie alors à la restriction […] de \(f : A \mapsto f_{\mathrm{str}}(A) : \mathfrak{P}(\mathcal{M}') \to \mathfrak{P}(\mathcal{M})\), ⌜du moins quand \(f(\mathcal{M}')\) […] une partie⌝ ⌜[…] fermée de \(\mathcal{M}\), cf plus bas⌝. […] […] […] donne ensuite […] […] […] quasi-morphl. des conditions simples, qui indiquent que lorsque \(f\) est injectif, alors l'application induite :

il pas clair […] faudrait \(F' \in \mathfrak{F}'\), \(f(F') = \ldots\) […] voir plus basnote oblique dans la marge gauche, en face des dernières lignes, lue en partie ; un trait vertical la sépare du texte

48\[\begin{array}{ccc} \mathrm{Ssfig}(F') & \longrightarrow & \mathrm{Ssfig}(F') \\ G' & \longmapsto & f(G') \end{array} \qquad \text{où } F = f(F')\] il écrit \(\mathrm{Ssfig}(F')\) des deux côtés ; le second est sans doute \(\mathrm{Ssfig}(F)\), comme l'indique « où \(F = f(F')\) ». La marge renvoie à cette application sous le numéro (1.54), qui n'est pas écrit ici bijective. Sans supposer \(f\) injective, dans les cas à ma connaissance, on aura une application canonique (croissante)

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  \widetilde{F} \arrow[d, "{\varphi_{f,F'} = \varphi}"] \\
  \widetilde{F}'
\end{tikzcd}
numéro (1.55) en marge du diagramme ; devant \(\widetilde{F}\), un signe souligné, peut-être un chiffre, non lu

[…] […] (1.54) un […] d'un ordonnés, de telle façon, que (1.54) se déduit par l'application en sens inverse \[(1.56) \quad \left\lbrace \begin{array}{c} \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\widetilde{F}') \longrightarrow \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\widetilde{F}) \\ A \longmapsto \varphi^{-1}(A) \end{array} \right. ,\] et de plus, la topologie de relation d'ordre sur \(\widetilde{F}\) est image inverse de celle sur \(\widetilde{F}'\). Dans le cas où \(f\) est injective, et où la (1.54) est satisfaite, (1.55) sera un iso. d'un ordonnés. Dans le cas général, on a vu que l'application (1.54) est […] au moins surjective. & Mais dans tout un […] (comme \(\mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{L})\)), des cas importants même si \(f\) n'est pas injective, on aura (1.54) bijective pour tout \(F\).

On notera que dans les cas où (1.54) peut se déduire d'un […] morphisme d'ordonnés (1.55), celui-ci est unique. En d'autres termes

[…] […] partie ([…]) […] non […], […] que (1.54) […] pourtantnote oblique dans la marge gauche, en haut, lue par fragments

49Lemme Soient \(I\), \(I'\) deux ens. préordonnés. Alors l'application \[\mathrm{Hom}_{\mathrm{croiss}}(I, I') \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathrm{cr}}(\mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I'), \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I))\] entre applications croissantes de \(I\) dans \(I'\), et applic. cr. de \(\mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I)\) en \(\mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I')\) (parties fermées de \(I\), \(I'\)) est injective. Son image […] est formée des ⌜contenue dans les⌝ \[(*) \quad \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I') \longrightarrow \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I)\] ⌜et réunions⌝ commutant aux intersections ⌜(quelconques)⌝ ([…], […] kif-kif), et réunions […] ⌜[…]⌝ si \(I\) est sobre (p.ex. \(I\) fini) on voit par […] […]. la page est très retravaillée : lignes biffées horizontalement, additions interlinéaires et notes marginales ; les indications « de \(\mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I)\) en \(\mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I')\) » et la flèche (*) vont en sens contraires, comme sur la page

[…] Preuve […] […] complémentaire […], ⌜[…] […] des⌝ ⌜[…]⌝ applications (*) correspondant aux quasi-compatibilités […] […] ⌜[…] […]⌝ applications \[\mathrm{Top}(I) \longrightarrow \mathrm{Top}(I')\] de Topos […] (compatibilité aux […] […] i.e. sobre), ⌜intersections quelconques⌝ \(I\) est ordonné, i.e. sobre applications continues ⌜i.e. croissantes⌝ […] […] \(I \to \widehat{I}'\) (\(\widehat{I}'\) : \(I'\) sobrifié) […] supposons \(I\) sobre) \(\widetilde{I}\).

NB on n'avait pas […] \(\to \widetilde{I}'\) (\(I\) sobre) […] […] […] […] i.e. […] ; en effet pour ce bijectivité […]. Donc cela nous fournit bien (1.55) p.ex. \(I'\) fini, au moins si \(I'\) sobrece paragraphe est biffé de plusieurs traits horizontaux et lu par fragments

Mais aura-t-on nécessairement que la top de \(\widetilde{F}\) est image inv. de celle de \(\widetilde{F}'\) ? La surjectivité […]. En fait, c'est équivalent à la surjectivité de (1.54).

Elles commutent aux réunions quelconques, et […] […] […] ; […] […] […] des parties […] […] forme \(\widehat{I}'\) […] \(= I'_{\mathrm{sobr}}\) […] […]deux notes obliques dans la marge gauche, l'une en haut, l'autre en face du NB biffé, cette dernière reliée au texte par une accolade ; lues par fragments

Ex Prenons des ateliers « triviaux » (p. 44) \[(\mathcal{M}, \leq, \ll \overset{\mathrm{df}}{=} \leq, \mathfrak{F}).\] […] […] définis par […] \(\mathfrak{F}\) : l'axiome At 8, il signifie que pour tel \(\forall\, X \in \mathcal{M}\), \(\exists\, x \in \mathcal{M}\), \(x\) minimal, tel que \(x \leq X\), mais et que \(X\) soit « successeur » de ⌜(dans le cas \(X \neq x\) i.e. \(X\) non minimal)⌝

50de \(X\). i.e. \(\nexists\, Y \in \mathcal{M}\) avec \(x \leq Y < X\). C'est évidemment une condition des plus restrictives sur \(\mathcal{M}\) ! Par exemple […] […] […] […] de At 8. Considérons deux tels ateliers \[(\mathcal{M}', \leq, \ll \overset{\mathrm{df}}{=} \leq, \mathfrak{F}'),\] prenons tous p.ex. pour \(\mathfrak{F} = \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\mathcal{M})\), \(\mathfrak{F}' = \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\mathcal{M}')\), et intéressons-nous aux \[f : \mathfrak{F}' \longrightarrow \mathfrak{F}\] tels qui soient des morphismes d'ateliers, au sens de la définition p. 47. Par le lemme, ils correspondent aux […] applications croissantes en sens inverse

LaTeX source
\begin{tikzcd}
  \mathcal{M} \arrow[d, "\varphi"] \\
  \mathcal{M}'
\end{tikzcd}

sans aucune condition supplémentaire. Cela montre que la condition que […] […] la top. de \(\varphi\) dans (1.55) soit telle que la top. de \(\widetilde{F}\) soit l'image inverse pour \(\varphi\), i.e. que (1.54) soit toujours surjective, est bien substantielle.

[…] […] de \(\mathcal{M}\) […] […] […]courte note oblique dans la marge gauche, en haut, presque illisible

Exemples 1) Soit \(f : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\) application ensembliste, elle induit Fig \[\begin{array}{rcl} f^{*} : \mathrm{Fig}(\mathcal{L}') & \longrightarrow & \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) \\ \Phi' & \longmapsto & \lbrace f^{-1}(A') \mid A' \in \Phi',\ f^{-1}(A') \neq \emptyset \rbrace \end{array}\] sous le \(\Phi'\) de la seconde ligne, surchargé et souligné, un signe à peine lisible

51qui est un quasi-morphisme d'ateliers

2) \(\boxed{\mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{M})}\) est un quasi-morphisme d'ateliers injectif, satisfaisant la condition ⌜de bijectivité⌝ (1.54). ⌜[…]⌝ En ce composant avec le quasi-morphisme Fig \[\mathrm{Fig}(\mathcal{M}) \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L})\] induit comme dans 1° de \(\mathcal{L} \hookrightarrow \mathcal{M}\), on trouve le quasi-morphisme \[\mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L})\] l'application ⌜il⌝ satisfait la condition ⌜de bijectivité⌝ (1.54), si cette fois-ci on suppose At 8, et […] […] que \(f\) est aussi injectif.

Définition On dit qu'un quasi-morphisme \(f : \mathfrak{F}' \to \mathfrak{F}\) d'ateliers est un plongement, si

Les Les conditions a), b) équivalent ⌜[…]⌝ aux […] […] : ⌜posant \(F = f(F')\)⌝

Convient-il […] […] p. 47 ?NB Si \(f\) injectif, a) […] a') \(\Rightarrow\) […] plus bas.deux notes obliques dans la marge gauche, lues en partie

52C'est évidemment nécessaire. Pour ce suffisant, […] il suffit de voir que ⌜\(f\) injectif (de façon visible) de b') et que⌝ a), b') impliquent, pour \(F', G' \in \mathfrak{F}'\) \[f(G') \leq f(F') \Longrightarrow G' \leq F'\] « Il suffit de voir que » est encadré ; l'addition interlinéaire est elle-même encadrée en partie

Dém Par Par b'), […] si \(f(G') \leq f(F')\), \(\exists\, \overline{G'} \leq F'\) tel que \(f(\overline{G'}) = f(G')\). Mais alors par b) on a \(G' = \overline{G'}\), d'où \(G' \leq F'\), cqfd.

Définition On dit que l'atelier \(\mathfrak{F}\) ⌜(satisfaisant At 1 – At 8)⌝ est […] […] ensembliste (ou mieux : […] « ensembliste » plus […]) si le quasi-morphisme canonique \[\mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L})\] est un plongement, ou, ce qui revient au même (compte tenu de (1.53) p. 46) si on a

Pour […] […] cf GF VI p. 12note oblique dans la marge gauche, « VI » encadré ; renvoi à sa propre pagination du chapitre VI (ce dossier), transcrit tel quel

Remarques 1) On voit qu'il suffit de poser At ens 1 pour \(F\), \(G\) des multistrates pour \(X, Y \in \mathcal{M}\). Ce serait plus joli de poser At ens […] […] en termes.

2) On n'exige pas que le sous-atelier \(\mathfrak{F} \hookrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L})\) soit spécieux. Par exemples ex […] […] B […]la disposition de la remarque 2) est incertaine : « que le sous-atelier » termine la ligne qui précède « 2) On n'exige pas que … spécieux » ; devant « Soit \(E\) », un signe cerclé non lu Soit \(E\) un espace topologique […] modéré, et \(\mathcal{M}\) l'ens. de ses multistrates simplexes (topologiques, ou modérés), mais

53(contrairement à l'exemple B) p. 34) sans structure affine. On définit la compatibilité des simplexes comme loc. cit. Mais on n'a pas […] c'est D'où un ens. de multistrates, i.e. ⌜prendre pour⌝ \(\mathfrak{F}\) ensemble des multistrates ⌜simplexes⌝ fermés pour \(\leq\), et fermés de simplexes deux à deux compatibles. L'axiome At 8 trivialement […] (NB \(E\) s'identifie à \(\mathcal{L}\)). Mais notons […] la notion de compatibilité des simplexes est plus fine que la compatibilité des figures ensemblistes associées, puisque ici on exige ⌜de plus⌝ que la figure intersection soit élémentaire, i.e. soit une multistrate commune. On y reviendra par la suite…

Ainsi, dans le cas d'un atelier ensembliste, \(\mathfrak{F}\), \(\mathfrak{F}\) se reconstitue à partir de l'ens. des figures dans \(\mathcal{L}\) qu'il décrit, comme un sous-atelier de \(\mathrm{Fig}(\mathcal{L})\). La question est donc quels sous-ateliers d'un \(\mathrm{Fig}(\mathcal{L})\) on obtient ainsi.

54Scholie Se donner un atelier (quasi-)ensembliste, « revient au même » que de se donner un couple \((\mathcal{L}, \mathfrak{F})\), où \(\mathcal{L}\) est un ens., \(\mathfrak{F}\) un sous-atelier de \(\mathrm{Fig}(\mathcal{L})\), satisfaisant la condition suivante :

la première forme de Atens*1 est barrée de plusieurs traits obliques ; la seconde la remplace

Il Il […] est à vérifier que dans ce cas, \(\mathcal{L}\) se reconstitue à partir de \((\mathfrak{F}, \leq, \ll)\) comme l'ens. des lieux de \(\mathfrak{F}\), donc que \[x \longmapsto \lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace = \Phi_x\] est une bijection de \(\mathcal{L}\) avec l'ens de \(\mathcal{M}\) ⌜avec⌝ l'ens. des éléments de \(\mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace \emptyset \rbrace\) minimaux pour \(\ll\)c'est la définition des lieux de la première mouture (GF IV, dossier 156-4, p. 87) : les éléments de \(\mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace \emptyset_{\mathfrak{F}} \rbrace\) minimaux pour \(\ll\) ⌜[…] minimaux dans \(\mathrm{Fig}(\mathcal{L}) \smallsetminus \lbrace \emptyset \rbrace\)⌝. Il est clair que \(\Phi_x\) est minimal. Or Soit \(F \in \mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace \emptyset \rbrace\), ⌜minimal dans \(\mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace \emptyset \rbrace\)⌝. Soit \(A \in F\), on a \(A^{\circ} \neq \emptyset\), soit \(x \in A^{\circ}\) alors On a \(|F| \neq \emptyset\) (puisque \(F \neq \emptyset\)) soit \(x \in |F|\), alors \(\Phi_x \ll F\), donc \(\Phi_x = F\), cqfd.

55Je rappelle pour mémoire les conditions ⌜Sousat 1, 2⌝ (de la p. 42, pour qu'une partie \(\mathfrak{F}\) de \(\mathrm{Fig}(\mathcal{L})\) […] l'[…]) :

Ceci peut s'expliciter ⌜(partiellement)⌝ aussi en termes d'un ensemble \(\mathcal{M}\) de figures ⌜(ensemblistes)⌝ élémentaires dans \(\mathcal{L}\), […] […] par \(\mathfrak{F}\) ⌜relation refl. et sym.⌝ (« compatibilité géométrique ») \(\underset{\mathcal{M}}{\between}\) dans \(\mathcal{M}\), satisfaisant les conditions

il écrit « At ens » suivi d'un dièse, tracé sur l'astérisque des conditions précédentes ; un trait vertical en marge réunit Atens\(^{\sharp}\)2 et Atens\(^{\sharp}\)3

56On trouve

Scholie des ateliers ⌜(quasi-)⌝ ensemblistes à figures de type fini : se donner un tel atelier, revient au même que de se donner un […] couple \((\mathcal{L}, \mathcal{M})\), \(\mathcal{L}\) […] ensemble, \(\mathcal{M}\) ens. des figures élémentaires dans \(\mathcal{L}\), telles que toute sous-figure \(F\) d'un \(X \in \mathcal{M}\) soit de type fini ([…] si les […] […]) et \(X \in \mathcal{M}\) sont des figures finies) et satisfaisant de plus Atens\(^{\sharp}\)1 – Atens\(^{\sharp}\)3. On reconstitue \(\mathfrak{F}\) comme un sous-atelier de \(\mathrm{Fig}(\mathcal{L})\), formé des figures ⌜ens.⌝ de type fini de type fini telles que ses multistrates soient dans \(\mathcal{M}\).

Dans le cas d'un atelier ens. ⌜fig.⌝ de type fini, on s'attendrait […] que pour une figure ensembliste \(F\) dans \(\mathcal{L}\), dont les multistrates sont dans \(\mathcal{M}\), l'appartenance à \(\mathfrak{F}\) ne dépend que de son ombre.les quatre dernières lignes sont barrées de traits obliques ; la phrase est reprise en haut de la page 57

57on s'attend pas ⌜pourtant⌝ que \(\mathfrak{F}\) soit une sous-atelier spécieux, au sens le plus fort où nous avons introduit ce terme, i.e. stable par Sup quelconques. Ainsi, on ne s'attend pas en général que […] \(\lbrace F_x = \lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace \rbrace_{x \in \mathcal{L}}\) soit dans \(\mathfrak{F}\) ! La condition raisonnable […] […] que \(\mathfrak{F}\) soit […] […] dès lors, c'est que \(\mathfrak{F}\) soit finiment spécieux. Vu la condition Atens\(^{\sharp}\)3, cela signifie simplement que la relation \(\underset{\mathcal{M}}{\between}\) est la relation Atens\(^{\sharp}\)2 \(\between\) ensembliste. Donc

On dit alors que \(\mathfrak{F}\) est un atelier ensembliste finiment spécieuxnote oblique dans la marge gauche

Corollaire du Scholie Les ateliers (quasi) ensemblistes finiment spécieux, ⌜[…]⌝ de type fini, correspondent […] figures de type fini \[(\mathcal{L}, \mathcal{M}),\] \(\mathcal{L}\) un ens. et \(\mathcal{M}\) un ens. de figures élémentaires dans \(\mathcal{L}\), satisfaisant Atens\(^{\sharp}\)1 et Atens\(^{\sharp}\)2 (i.e. les \(\lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace\) sont dans \(\mathcal{M}\) et si \(X \in \mathcal{M}\) […] multistrates de \(X\) […]), tel dans \(\mathcal{M}\) tels tel que \(\forall X \in \mathcal{M}\) toute sous-figure de \(\mathcal{L}\) soit de t.f.sic, « sous-figure de \(\mathcal{L}\) », pour une sous-figure de \(X\) Alors \(\mathfrak{F}\) est l'ens. des

58figures ensemblistes de type fini dont les multistrates sont dans \(\mathcal{M}\).

Remarque En dehors du cas ⌜finiment⌝ spécieux, le seul ⌜autre⌝ cas intéressant que j'ai rencontré, est celui où la […] relation \(\underset{\mathcal{M}}{\between}\) est celle-ci : \(X\) et \(Y\) ensemblistement compatibles, et \(X \cap Y\) est […] ⌜ou bien vide, ou bien⌝ élémentaire i.e. est une multistrate commune.

Dans ce cas, \(\mathfrak{F}\) a la propriété supplémentaire suivante. […]

la page se termine par un double trait horizontal

59J'en viens à des axiomes de disjonction (At 8 était l'« axiome des lieux »).la première mouture (GF IV, dossier 156-4, p. 86) annonçait de même, sous le titre « Axiomes de disjonction et de support », qu'il était temps d'introduire les lieux ; elle s'arrête avant les axiomes de disjonction eux-mêmes

Notations et d'abord At 9 […] Strict […]

Proposition Soit \(\mathfrak{F}\) un atelier ⌜[…]⌝ \(\vDash\) At 1 – At 3 (on n'y va pas utiliser \(\ll\)). Si \(F\) et \(G \in \mathfrak{F}\), alors \[F \parallel G \Longleftrightarrow \forall X \in \widetilde{F},\ Y \in \widetilde{G},\quad X \parallel Y .\] Immédiat. Également, […] on voudrait

En effet, […] on est ramené au cas ⌜([…] […])⌝ \(F = X'\), \(G = Y'\), puis au cas \(F = X\), \(G = Y\), qu'on va utiliser At 9.

Remarque […] pour \(X \parallel Y \Longrightarrow \mathrm{Omb}(X) \cap \mathrm{Omb}\, Y = \emptyset\) […] […] \(\mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) \ldots = 0\)note oblique dans la marge gauche, en haut, lue en partie

Mais dans dans le cas ensembliste à figures de t.f. ([…] […] fini) cela ne semble pas résulter […] […] […] […] p. 55, […] […] Atens\(^{\sharp}\)3 […] […] dit quelles conditions […] : la relation \(\underset{\mathcal{M}}{\between}\) […] : d'être stable par passage aux sous-strates, et d'être plus forte que la relation \(\underset{\mathrm{ens}}{\between}\).

NB Pb, si \(F \parallel G\), […] […] \(Z \in \mathcal{M}\), \(Z \ll F\), \(Z \ll G\) […] […] ; \(F \vee G\) […] […] […] […] donc […] \(\ll\) […] […]longue note oblique dans la marge gauche de la moitié inférieure, écrite serrée et en partie biffée, lue par fragments

60Ça n'a pas l'air d'impliquer la condition. […] […] […] pas que la disjonction la disjonction ensembliste implique la disjonction géométrique. Prenons p.ex. \(\mathcal{M}\) réduit : trois ⌜des⌝ multistrates […] réduites à une seule ensemble ⌜strate⌝ (ce qui rend vide la première condition Atens\(^{\sharp}\)3) et par exemple définie par les trois ensembles \(A\), \(B\) et \(A'\) \[A' \subsetneq A, \qquad A \cap B = \emptyset .\] Prenons donc \[X = \lbrace A \rbrace, \quad Y = \lbrace B \rbrace, \quad X' = \lbrace A' \rbrace, \quad \text{et soit } Y' = Y,\] On définit Le donc \[X' \ll X, \qquad Y' = Y \text{ donc } Y' \ll Y .\] le premier signe \(\ll\) est surchargé donc […] […] compatibilité ensembliste des trois \(\between\) comme étant […] la […] At multistrates est déjà acquise. Donc on peut prendre pour \(\underset{\mathcal{M}}{\between}\) n'importe quelle relation sym. refl., donc ⌜n'importe quelle⌝ partie […] de l'ens. des trois paires de strates multistrates \(X, Y, X'\) — on choisira \[X \underset{\mathcal{M}}{\between} Y, \quad \text{et} \quad X' \underset{\mathcal{M}}{\overline{\between}} Y\] alors \[X \underset{\mathfrak{F}}{\parallel} Y, \quad \text{mais} \quad X' \underset{\mathfrak{F}}{\overline{\parallel}} Y, \quad \text{ok.}\]

On posera donc

devant « Si », un mot fortement biffé, sans doute un nom d'axiome (« At … ») ; « (*) » est écrit dans la marge. Le texte se poursuit dans le lot suivant