Fonds Grothendieck, cote n° 156-6, pages 41–60

pagination de sa main 41 à 60 en tête des feuillets, qui coïncide avec celle des archivistes ; ici, devant le 41, un numéro biffé le sous-atelier \mathfrak{F}' partie de \mathfrak{F}, comme l'ens. des \mathfrak{F} : \mathfrak{F}' = \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid \widetilde{F} \subset \mathcal{M}' \rbrace \overset{\mathrm{df}}{=} \mathrm{Env}(\mathcal{M}'). Donc On trouve ainsiles quatre premières lignes de la page sont barrées de deux longs traits obliques

Proposition (Ne dépend pas en fait des données \ll sur \mathfrak{F}, seulement de \leq) On a deux applications biunivoques inverses l'une de l'autre \begin{array}{ccc} & \mathfrak{F}' \longmapsto \mathfrak{F}' \cap \mathcal{M} & \\ \text{Sousatspéc}(\mathfrak{F}) & \longrightarrow & \mathrm{Ferm}(\mathcal{M}) \\ & \longleftarrow & \\ \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid \widetilde{F} \subset \mathcal{M}' \rbrace \overset{\mathrm{df}}{=} \mathrm{Env}(\mathcal{M}') & \longleftarrow & \mathcal{M}' \end{array} « Sousatspéc » est écrit sous un « Satsp » biffé ; la flèche du bas, de \mathcal{M}' vers \mathrm{Env}(\mathcal{M}'), porte un talon (\mapsto) entre l'ensemble des ~~sous-ateliers~~ parties fermées spécieuses \mathfrak{F}' de \mathfrak{F}, et l'ens. des parties fermées \mathcal{M}' de \mathcal{M}.

~~Dans~~ on identifie \mathfrak{F} \mathfrak{P}(\mathcal{M}), \mathrm{Env}(\mathcal{M}') = \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid F \subset \mathcal{M}' \rbracenote oblique dans la marge gauche, en haut, lue en partie

Il faut voir, \mathfrak{F} est un atelier, si \mathfrak{F}' est un sous-atelier de \mathfrak{F}', ~~donc~~ pour \leq, \ll, ~~c'est un~~ au sens des ateliers At 1 – At 7. Rappelons que ça signifie At 1 – At 3

At 1 et les Sup majorés (pour \leq) existent dans \mathfrak{F} ; et \mathfrak{F} \neq \emptyset (comme on sait, a un plus petit élément \emptyset_{\mathfrak{F}}). At 2Toute ~~fig.~~ F \in \mathfrak{F} est borne sup. pour \leq des « figures élémentaires » ( strictement irr.) qu'elle majore (pour \leq) At 3Si F, G \in \mathfrak{F}, pour que F \vee G existe dans \mathfrak{F} (i.e. \lbrace F, G \rbrace majoré), il suffit que pour X \trianglelefteq F, Y \trianglelefteq G, X \vee Y existe.

Pour At 1, At 2 c'est clair, pour At 3 il faut ~~de plus~~ imposer, en plus de

Sousat 1\mathfrak{F}' est une partie fermée non vide de \mathfrak{F},

la condition

Sousat 2Si F, G \in \mathfrak{F}' et si pour ~~tout~~ X \in \widetilde{F}, Y \in \widetilde{G}, X \vee Y existe dans \mathfrak{F}' (i.e. ~~X \between Y dans \mathfrak{F}, dans X \vee Y existe dans, X \vee Y \in \mathfrak{F}' ; X \between Y \notin \mathfrak{F}', alors~~ X \between Y dans \mathfrak{F} et ~~X \vee Y \in \mathfrak{F}'~~ X, Y majorés dans \mathfrak{F}') alors F \vee G \in \mathfrak{F}' (NB on sait que F \vee G existe dans \mathfrak{F}) (cf. pages 21, 27).

au milieu de Sousat 2, deux lignes et demie sont biffées de traits horizontaux, et un petit cadre tracé à gauche est barré de traits obliques ; ce qui se lit est donné comme biffé

NB (1-2) une condition ainsi que (\mathfrak{F}', \leq) condition At 3 pour \mathfrak{F}'note oblique dans la marge gauche, en face de Sousat 2, lue en partie

Les conditions At 4, At 5, At 6, At 7 passent sans rien trivialement de \mathfrak{F} à \mathfrak{F}'. Pour At 7, je note seulement une propriété

(*)si X, Y \in \mathcal{M}', alors X \overset{\circ}{\ll} Y dans \mathfrak{F} équivaut à X \overset{\circ}{\ll} Y dans \mathfrak{F}'.

~~Supposons maintenant \mathfrak{F} interprété comme un ensemble de figures (en fait, un sous-atelier) de \mathrm{Fig}(\mathcal{M}).~~ces trois lignes sont barrées de traits obliques

Définition Soit \mathfrak{F} un atelier au sens At 1 – At 7. On ~~appelle~~ sous-atelier de \mathfrak{F}, une partie \mathfrak{F}' de \mathfrak{F} , satisfaisant Sousat 1 et Sousat 2 ci-dessus, i.e. telle que 1°) \mathfrak{F}' soit une partie fermée non vide de (\mathfrak{F}, \leq) et (ce qui s'exprime par Sousat 1) et 2°) \mathfrak{F}', muni de \leq, \ll, est un atelier (ce qui équivaut : Sousat 2). On dit que

\mathfrak{F}' est un sous-atelier spécieux, si c'est une partie fermée spécieuse de \mathfrak{F} ~~Conséquence la condition Sousat 2 est~~ Ce qui suffit à entraîner que c'est un sous-atelier.

Exemple Soit \mathfrak{F} un atelier, et considérons l'application canonique \mathrm{Multomb} : \mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{M}), on a vu que l'image est une partie fermée pour \leq, et que les relations \leq et \ll sur \mathfrak{F} sont induites par celles de \mathrm{Fig}(\mathcal{M}). Ainsi \mathfrak{F} est un sous-atelier de l'atelier des figures ~~dans~~ dans \mathcal{M}. Mais ce n'est pas en général ~~En fait, on a vu aussi que c'est un~~ sous-atelier spécieux (mais ça l'est peut-être dans le cas ensembliste, à voir).

~~Je reviens à la aux « petits »~~

Remarque Soit \mathfrak{F} un ordonné par \leq, \mathfrak{F}' une partie fermée non vide de \mathfrak{F}. Alors les parties fermées non vides de \mathfrak{F}' sont exactement les parties fermées non vides de \mathfrak{F} qui sont contenues dans \mathfrak{F}'. On a le même énoncé pour les parties fermées spécieuses, pourvu que l'on suppose \mathfrak{F}' spécieux. De façon précise, si on a des

inclusions, \mathfrak{F}'' \subset \mathfrak{F}' \subset \mathfrak{F} de parties fermées non vides, si \mathfrak{F}'' est spécieux dans \mathfrak{F}, il l'est dans \mathfrak{F}',les deux \mathfrak{F} de cette proposition sont mal distingués de \mathfrak{F}' sur la page ; la lecture suit le sens (la réciproque demande \mathfrak{F}' spécieux) et la réciproque est vraie si \mathfrak{F}' est spécieux dans \mathfrak{F}. De même, si \mathfrak{F} est un atelier, \mathfrak{F}' un sous-atelier, les sous-ateliers de \mathfrak{F}' sont les sous-ateliers de \mathfrak{F} contenus dans \mathfrak{F}' — en d'autres termes, la condition supplémentaire Sousat 2 pour \mathfrak{F}'' est la même, qu'on la prenne par rapport à \mathfrak{F}'' \subset \mathfrak{F}' ou par \mathfrak{F}'' \subset \mathfrak{F} ; en effet, c'est une condition intrinsèque : \mathfrak{F}'' (savoir, At 3 pour \mathfrak{F}''). Donc, \begin{align*} &(1.50) & \mathrm{Sousat}(\mathfrak{F}') &= \lbrace \mathfrak{F}'' \in \mathrm{Sousat}(\mathfrak{F}) \mid \mathfrak{F}'' \subset \mathfrak{F}' \rbrace \end{align*} et si \mathfrak{F}' spécieux dans \mathfrak{F} \begin{align*} &(1.51) & \text{Sousatspéc}(\mathfrak{F}') &= \lbrace \mathfrak{F}'' \in \text{Sousatspéc}(\mathfrak{F}) \mid \mathfrak{F}'' \subset \mathfrak{F}' \rbrace . \end{align*} numéros de formules de sa main, écrits « (1,50) » et « (1;51) »

Remarque Soit (\mathfrak{F}, \leq) un ordonné satisfaisant At 1 – At 3, ~~donc~~ qui se décrit donc par (\mathcal{M}, \leq, \mathfrak{F}), ~~\mathfrak{F}~~ (\mathcal{M}, \leq) un ensemble ordonné ; \mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\mathcal{M}) ensemble des parties fermées de \mathcal{M} telle que 1°) |\mathfrak{F}| = \mathcal{M} i.e. \forall x \in \mathcal{M}, \exists\, F \in \mathfrak{F} avec x \in F, et 2°) \mathfrak{F} fermé dans \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\mathcal{M}), i.e. si F \in \mathfrak{F} et G partie fermée de F, alors G \in \mathfrak{F}. Prenons dans \mathcal{M} la relation \ll \overset{\mathrm{df}}{=} \leq. Alors, si (\mathcal{M}, \leq) satisfait At 3, alors (\mathcal{M}, \leq, \ll) satisfait At 1 à At 7. Pour moi

axiomes qui vont suivre, il y en a qui les éliminent, je pense, cet exemple trivial d'atelier.

un court trait horizontal sépare ce qui précède de ce qui suit

Revenons aux petites ombres et multiombres. C'est le moment d'introduiredans la première mouture (GF IV, dossier 156-4, p. 88), la condition A^{\circ} = A \smallsetminus \partial A \neq \emptyset pour les membres de la multiombre figure dans une proposition énoncée sans démonstration ; elle est posée ici en axiome, At 8, sous la forme (1.52)

At 8Soit X \in \mathcal{M}, et soit \partial X = \operatorname*{Sup}^{(\leq)}_{\substack{Y \trianglelefteq X \\ Y \neq X}} Y. Alors \exists\, x \in \mathcal{L} tel que x \ll X, ~~x \notin~~ x \not\ll \partial X (i.e. x \overset{\circ}{\ll} X). ~~et En~~

En d'autres termes, posant \begin{aligned} \mathrm{omb}(X)^{\circ} &= \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \mathrm{omb}(\partial X) \\ &= \mathrm{omb}(X) \smallsetminus \bigcup_{\substack{Y \trianglelefteq X \\ Y \neq X}} \mathrm{omb}(Y), \end{aligned} on a : (1.52) \qquad \boxed{\ \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset\ }

Considérons alors, pour F \in \mathfrak{F}, la multiombre, qui est par définition la figure ensembliste ~~partie~~ \mathrm{multomb}(F) = \lbrace \mathrm{omb}(X) \mid X \trianglelefteq F,\ \mathrm{omb}(X)^{\circ} \neq \emptyset \rbrace . sous « X \trianglelefteq F » : « i.e. X \in \widetilde{F} » At 8 nous dit que l'ensemble d'indices ici est \widetilde{F} tout entier. (cf. note ensembliste)addition entre les lignes, lue en partie Ainsi on trouve

Corollaire ~~Soient~~ F une figure, X, Y \in \widetilde{F}. Alors conditions suivantes équivalentes

a)X \leq Y (\Longleftrightarrow X \ll Y) b)\mathrm{omb}(X) \subset \mathrm{omb}(Y) c)\mathrm{omb}(X)^{\circ} \subset \mathrm{omb}(Y) d)\mathrm{omb}(X)^{\circ} \cap \mathrm{omb}(Y) \neq \emptyset

Il y a une correspondance biunivoque (1.53) \quad \left\lbrace \begin{array}{c} F' \longmapsto \mathrm{multomb}(F') \\ \mathrm{Ssfig}(F) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Ssfig}(\mathrm{multomb}(F)) \end{array} \right. sous « \mathrm{Ssfig}(F) », un signe = vertical et « \mathfrak{F}_{\leq F} »

Corollaire Pour que F soit élémentaire, i.e. une multistrate, il faut et il suffit que \mathrm{multomb}(F) le soit.

Remarque Je n'ai aucune raison que At 8 soit stable par passage à un sous-atelier \mathfrak{F}', pourvu que celui-ci soit spécieux. Mais ~~considérons~~ supposons que G F \in \mathfrak{F}', G \in \mathfrak{F}, G \ll F implique G \ll Fsic ; on attend « implique G \in \mathfrak{F}' » i.e. que \mathfrak{F}' soit fermé pour \ll également — on dit alors que le sous-atelier est plein. En général, on aura \mathcal{L} \cap \mathfrak{F}' \subset \mathcal{L}' \quad (\overset{\mathrm{df}}{=} \text{ens. des lieux de } \mathfrak{F}') mais dans le cas d'un atelier plein,^{*} on aura \mathcal{L} \cap \mathfrak{F}' = \mathcal{L}' . Dans ce cas,^{*} si \mathfrak{F} satisfait At 8, \mathfrak{F}' aussi. De plus, — pour F \in \mathfrak{F}', \mathrm{omb}(F) et \mathrm{multomb}(F) sont les mêmes, au sens de \mathfrak{F} ou au sens de \mathfrak{F}'.

^{*} il suffit qu'il soit \mathcal{L}-plein, i.e. F \in \mathfrak{F}', x \in \mathcal{L}, x \ll F \Rightarrow x \in \mathfrak{F}'note oblique dans la marge gauche ; les deux astérisques du texte y renvoient

~~Corollaire 2 Soient F, G \in \mathfrak{F}, G < F. Alors \exists\, x \in \mathrm{omb}(F),~~

~~Je reviens à la notion d'atelier ensembliste~~ces lignes, en haut de la page, sont biffées horizontalement et barrées de traits obliques, ainsi qu'un « Déf » commencé en marge

Je reprends la notion des ~~homomorphismes~~ morphismes d'ateliers.

Définition Soient \mathfrak{F}', \mathfrak{F} deux ateliers. On appelle quasi-morphisme de (car. un morphisme !) de \mathfrak{F}' dans \mathfrak{F}, une application f : \mathfrak{F}' \longrightarrow \mathfrak{F} qui est

a)croissante pour \leq et \ll b)commute aux Sup ~~majorés~~ (majorés) (et donc transforme \emptyset_{\mathfrak{F}'} en \emptyset_{\mathfrak{F}}) et aux Inf pour \leq.

il vaudrait mieux de parler de « quasi-morphismes » (en réservant le nom de morphismes plus bas)note oblique dans la marge gauche, en haut

On n'exige pas qu'elle transforme fig. élémentaires en fig. élémentaires. Mais quand il en est ainsi, cette application est connue quand on connaît sa restriction ~~restriction~~ f_{\mathrm{str}} : \mathcal{M}' \longrightarrow \mathcal{M} aux ens. de multistrates (= fig. élém.). Dans ce cas, pour que f soit injective, il faut et il suffit que f_{\mathrm{str}} le soit (et en termes de plongement ) : \mathfrak{F} \hookrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{M}), \mathfrak{F}' \hookrightarrow \mathfrak{P}(\mathcal{M}'), f s'identifie alors à la restriction de f : A \mapsto f_{\mathrm{str}}(A) : \mathfrak{P}(\mathcal{M}') \to \mathfrak{P}(\mathcal{M}), du moins quand f(\mathcal{M}') une partie fermée de \mathcal{M}, cf plus bas. donne ensuite quasi-morphl. des conditions simples, qui indiquent que lorsque f est injectif, alors l'application induite :

il pas clair faudrait F' \in \mathfrak{F}', f(F') = \ldots voir plus basnote oblique dans la marge gauche, en face des dernières lignes, lue en partie ; un trait vertical la sépare du texte

\begin{array}{ccc} \mathrm{Ssfig}(F') & \longrightarrow & \mathrm{Ssfig}(F') \\ G' & \longmapsto & f(G') \end{array} \qquad \text{où } F = f(F') il écrit \mathrm{Ssfig}(F') des deux côtés ; le second est sans doute \mathrm{Ssfig}(F), comme l'indique « où F = f(F') ». La marge renvoie à cette application sous le numéro (1.54), qui n'est pas écrit ici bijective. Sans supposer f injective, dans les cas à ma connaissance, on aura une application canonique (croissante)

\begin{tikzcd} \widetilde{F} \arrow[d, "{\varphi_{f,F'} = \varphi}"] \\ \widetilde{F}' \end{tikzcd} numéro (1.55) en marge du diagramme ; devant \widetilde{F}, un signe souligné, peut-être un chiffre, non lu

(1.54) un d'un ordonnés, de telle façon, que (1.54) se déduit par l'application en sens inverse (1.56) \quad \left\lbrace \begin{array}{c} \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\widetilde{F}') \longrightarrow \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\widetilde{F}) \\ A \longmapsto \varphi^{-1}(A) \end{array} \right. , et de plus, la ~~topologie de~~ relation d'ordre sur \widetilde{F} est image inverse de celle sur \widetilde{F}'. Dans le cas où f est injective, et où la (1.54) est satisfaite, (1.55) sera un iso. d'un ordonnés. Dans le cas général, on a vu que l'application (1.54) est au moins surjective. & Mais dans ~~tout~~ un (comme \mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{L})), des cas importants même si f n'est pas injective, on aura (1.54) bijective pour tout F.

On notera que dans les cas où (1.54) peut se déduire d'un morphisme d'ordonnés (1.55), celui-ci est unique. En d'autres termes

partie () non , que (1.54) pourtantnote oblique dans la marge gauche, en haut, lue par fragments

Lemme Soient I, I' deux ens. ~~pré~~ordonnés. Alors l'application \mathrm{Hom}_{\mathrm{croiss}}(I, I') \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathrm{cr}}(\mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I'), \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I)) entre applications croissantes de I dans I', et applic. cr. de \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I) en \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I') (parties fermées de I, I') est injective. Son image est formée des contenue dans les (*) \quad \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I') \longrightarrow \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I) et réunions commutant aux intersections (quelconques) ~~(, kif-kif)~~, ~~et réunions~~ si I est sobre (p.ex. I fini) on voit par . la page est très retravaillée : lignes biffées horizontalement, additions interlinéaires et notes marginales ; les indications « de \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I) en \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(I') » et la flèche (*) vont en sens contraires, comme sur la page

Preuve complémentaire , des applications (*) correspondant aux ~~quasi-compatibilités~~ applications \mathrm{Top}(I) \longrightarrow \mathrm{Top}(I') de Topos ~~(compatibilité aux i.e. sobre)~~, intersections quelconques ~~I est ordonné, i.e. sobre~~ applications continues i.e. croissantes I \to \widehat{I}' (\widehat{I}' : I' sobrifié) supposons I sobre) ~~\widetilde{I}~~.

~~NB on n'avait pas \to \widetilde{I}' (I sobre) i.e. ; en effet pour ce bijectivité . Donc cela nous fournit bien (1.55) p.ex. I' fini, au moins si I' sobre~~ce paragraphe est biffé de plusieurs traits horizontaux et lu par fragments

Mais aura-t-on nécessairement que la top de \widetilde{F} est image inv. de celle de \widetilde{F}' ? La surjectivité . En fait, c'est équivalent à la surjectivité de (1.54).

Elles commutent aux réunions quelconques, et ; des parties forme \widehat{I}' = I'_{\mathrm{sobr}} deux notes obliques dans la marge gauche, l'une en haut, l'autre en face du NB biffé, cette dernière reliée au texte par une accolade ; lues par fragments

Ex Prenons des ateliers « triviaux » (p. 44) (\mathcal{M}, \leq, \ll \overset{\mathrm{df}}{=} \leq, \mathfrak{F}). définis par \mathfrak{F} : l'axiome At 8, il signifie que pour ~~tel~~ \forall\, X \in \mathcal{M}, \exists\, x \in \mathcal{M}, x minimal, tel que x \leq X, mais et que X soit « successeur » de (dans le cas X \neq x i.e. X non minimal)

de X. i.e. \nexists\, Y \in \mathcal{M} avec x \leq Y < X. C'est évidemment une condition des plus restrictives sur \mathcal{M} ! Par exemple de At 8. Considérons deux ~~tels~~ ateliers (\mathcal{M}', \leq, \ll \overset{\mathrm{df}}{=} \leq, \mathfrak{F}'), prenons ~~tous~~ p.ex. pour \mathfrak{F} = \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\mathcal{M}), \mathfrak{F}' = \mathfrak{P}_{\mathrm{f}}(\mathcal{M}'), et intéressons-nous aux f : \mathfrak{F}' \longrightarrow \mathfrak{F} ~~tels~~ qui soient des morphismes d'ateliers, au sens de la définition p. 47. Par le lemme, ils correspondent aux applications croissantes en sens inverse

\begin{tikzcd} \mathcal{M} \arrow[d, "\varphi"] \\ \mathcal{M}' \end{tikzcd}

sans aucune condition supplémentaire. Cela montre que la condition que la top. de \varphi dans (1.55) soit telle que la top. de \widetilde{F} soit l'image inverse pour \varphi, i.e. que (1.54) soit toujours surjective, est bien substantielle.

de \mathcal{M} courte note oblique dans la marge gauche, en haut, presque illisible

Exemples 1) Soit f : \mathcal{L} \to \mathcal{L}' application ensembliste, elle induit ~~Fig~~ \begin{array}{rcl} f^{*} : \mathrm{Fig}(\mathcal{L}') & \longrightarrow & \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) \\ \Phi' & \longmapsto & \lbrace f^{-1}(A') \mid A' \in \Phi',\ f^{-1}(A') \neq \emptyset \rbrace \end{array} sous le \Phi' de la seconde ligne, surchargé et souligné, un signe à peine lisible

qui est un quasi-morphisme d'ateliers

2) \boxed{\mathfrak{F} \to \mathrm{Fig}(\mathcal{M})} est un quasi-morphisme d'ateliers injectif, satisfaisant la condition de bijectivité (1.54). En ce composant avec le quasi-morphisme Fig \mathrm{Fig}(\mathcal{M}) \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) induit comme dans 1° de \mathcal{L} \hookrightarrow \mathcal{M}, on trouve le quasi-morphisme \mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) ~~l'application~~ il satisfait la condition de bijectivité (1.54), si cette fois-ci on suppose At 8, et que f est aussi injectif.

Définition On dit qu'un quasi-morphisme f : \mathfrak{F}' \to \mathfrak{F} d'ateliers est un plongement, si

~~a) f est injectif~~ a)l'image f(\mathfrak{F}') est un sous-atelier de \mathfrak{F} (p. 42) b)f induit un iso. \mathfrak{F}' \xrightarrow{\ \sim\ } f(\mathfrak{F}').

~~Les~~ Les conditions ~~a), b)~~ équivalent aux : posant F = f(F')

a')\forall F' \in \mathfrak{F}', l'application (*) \quad \mathrm{Sousfig}(F') \longrightarrow \mathrm{Sousfig}(F), \qquad G' \longmapsto f(G') est bijective (en fait, vu b') la surjectivité suffit) a' par l'image, i.e. \forall G \leq F, \exists\, G' \leq F' telle que G = f(G'). b')\forall F', G' \in \mathfrak{F}', on a f(G') \ll f(F') \Longrightarrow G' \ll F'

Convient-il p. 47 ?NB Si f injectif, a) a') \Rightarrow plus bas.deux notes obliques dans la marge gauche, lues en partie

C'est évidemment nécessaire. Pour ce suffisant, il suffit de voir que f injectif (de façon visible) de b') et que a), b') impliquent, pour F', G' \in \mathfrak{F}' f(G') \leq f(F') \Longrightarrow G' \leq F' « Il suffit de voir que » est encadré ; l'addition interlinéaire est elle-même encadrée en partie

Dém ~~Par~~ Par b'), si f(G') \leq f(F'), \exists\, \overline{G'} \leq F' tel que f(\overline{G'}) = f(G'). Mais alors par b) on a G' = \overline{G'}, d'où G' \leq F', cqfd.

Définition On dit que l'atelier \mathfrak{F} (satisfaisant At 1 – At 8) est ensembliste (ou mieux : « ensembliste » plus ) si le quasi-morphisme canonique \mathfrak{F} \longrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) est un plongement, ou, ce qui revient au même (compte tenu de (1.53) p. 46) si on a

At ens 1\forall F, G \in \mathfrak{F}, \mathrm{multomb}(F) \ll \mathrm{multomb}(G) \Longrightarrow F \ll G .

Pour cf GF VI p. 12note oblique dans la marge gauche, « VI » encadré ; renvoi à sa propre pagination du chapitre VI (ce dossier), transcrit tel quel

Remarques 1) On voit qu'il suffit de poser At ens 1 pour F, G des multistrates ~~pour~~ X, Y \in \mathcal{M}. Ce serait plus joli de poser At ens en termes.

2) On n'exige pas que le sous-atelier \mathfrak{F} \hookrightarrow \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) soit spécieux. Par exemples ~~ex B~~ la disposition de la remarque 2) est incertaine : « que le sous-atelier » termine la ligne qui précède « 2) On n'exige pas que … spécieux » ; devant « Soit E », un signe cerclé non lu Soit E un espace topologique modéré, et \mathcal{M} l'ens. de ses multistrates simplexes (topologiques, ou modérés), mais

(contrairement à l'exemple B) p. 34) sans structure affine. On définit la compatibilité des simplexes comme loc. cit. ~~Mais on n'a pas c'est~~ D'où un ens. de multistrates, i.e. prendre pour \mathfrak{F} ensemble des ~~multistrates~~ simplexes fermés pour \leq, et fermés de simplexes deux à deux compatibles. L'axiome At 8 trivialement (NB E s'identifie à \mathcal{L}). Mais notons la notion de compatibilité des simplexes est plus fine que la compatibilité des figures ensemblistes associées, puisque ici on exige de plus que la figure intersection soit élémentaire, i.e. soit une multistrate commune. On y reviendra par la suite…

Ainsi, dans le cas d'un atelier ensembliste, \mathfrak{F}, \mathfrak{F} se reconstitue à partir de l'ens. des figures dans \mathcal{L} qu'il décrit, comme un sous-atelier de \mathrm{Fig}(\mathcal{L}). La question est donc quels sous-ateliers d'un \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) on obtient ainsi.

Scholie Se donner un atelier (quasi-)ensembliste, « revient au même » que de se donner un couple (\mathcal{L}, \mathfrak{F}), où \mathcal{L} est un ens., \mathfrak{F} un sous-atelier de \mathrm{Fig}(\mathcal{L}), satisfaisant la condition suivante :

Atens*1 Les strates des \Phi \in \mathfrak{F} séparent les points de \mathcal{L}, i.e. si x, y \in \mathcal{L}, x \neq y, alors \exists\, \Phi \in \mathfrak{F}, A \in \Phi, tel que x \in A, y \notin A ou y \in A, x \notin A. Atens*1 \forall x \in \mathcal{L}, \lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace \in \mathfrak{F}

la première forme de Atens*1 est barrée de plusieurs traits obliques ; la seconde la remplace

Il Il est à vérifier que dans ce cas, \mathcal{L} se reconstitue à partir de (\mathfrak{F}, \leq, \ll) comme l'ens. des lieux de \mathfrak{F}, donc que x \longmapsto \lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace = \Phi_x est une bijection de \mathcal{L} ~~avec l'ens de \mathcal{M}~~ avec l'ens. des éléments de \mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace \emptyset \rbrace minimaux pour \llc'est la définition des lieux de la première mouture (GF IV, dossier 156-4, p. 87) : les éléments de \mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace \emptyset_{\mathfrak{F}} \rbrace minimaux pour \ll minimaux dans \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) \smallsetminus \lbrace \emptyset \rbrace. Il est clair que \Phi_x est minimal. Or Soit F \in \mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace \emptyset \rbrace, minimal dans \mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace \emptyset \rbrace. ~~Soit A \in F, on a A^{\circ} \neq \emptyset, soit x \in A^{\circ} alors~~ On a |F| \neq \emptyset (puisque F \neq \emptyset) soit x \in |F|, alors \Phi_x \ll F, donc \Phi_x = F, cqfd.

Je rappelle pour mémoire les conditions Sousat 1, 2 (de la p. 42, pour qu'une partie \mathfrak{F} de \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) l') :

Atens*2\mathfrak{F} est fermé dans \mathrm{Fig}(\mathcal{L}) pour \leq, i.e. si F \in \mathfrak{F}, alors toute sous-figure de F est dans \mathfrak{F}. Atens*3Si F, G \in \mathfrak{F}, et si pour ~~tout F et G sont compat~~ toutes multistrates F_A de F, G_B de G, \lbrace F_A, G_B \rbrace est majoré dans \mathfrak{F} (i.e. F_A \between G_A et F_A \cup G_B \in \mathfrak{F}il écrit G_A puis G_B, ~~alors~~ i.e. ) en figures F, G sont dans ens. multistrates compatibles), ~~F, G~~ F \vee G \in \mathfrak{F}.

Ceci peut s'expliciter (partiellement) aussi en termes d'un ensemble \mathcal{M} de figures (ensemblistes) élémentaires dans \mathcal{L}, ~~par \mathfrak{F}~~ relation refl. et sym. (« compatibilité géométrique ») \underset{\mathcal{M}}{\between} dans \mathcal{M}, satisfaisant les conditions

Atens^{\sharp}1\forall x \in \mathcal{L}, \lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace \in \mathcal{M} Atens^{\sharp}2 \forall X \in \mathcal{M}, toute sous-multistrate est dans \mathcal{M} Atens^{\sharp}3Si X, Y \in \mathcal{M} et X \underset{\mathcal{M}}{\between} Y, et X', Y' \leq X, Y' \leq Y, alors X' \underset{\mathcal{M}}{\between} Y' ; de plus X \underset{\mathcal{M}}{\between} Y \Longrightarrow X \between Y.

il écrit « At ens » suivi d'un dièse, tracé sur l'astérisque des conditions précédentes ; un trait vertical en marge réunit Atens^{\sharp}2 et Atens^{\sharp}3

On trouve

Scholie des ateliers (quasi-) ensemblistes à figures de type fini : se donner un tel atelier, revient au même que de se donner un couple (\mathcal{L}, \mathcal{M}), \mathcal{L} ensemble, \mathcal{M} ens. des figures élémentaires dans \mathcal{L}, telles que toute sous-figure F d'un X \in \mathcal{M} soit de type fini ( si les ) et X \in \mathcal{M} sont des figures finies) et satisfaisant de plus Atens^{\sharp}1 – Atens^{\sharp}3. On reconstitue \mathfrak{F} comme un sous-atelier de \mathrm{Fig}(\mathcal{L}), formé des figures ens. ~~de type fini~~ de type fini telles que ses multistrates soient dans \mathcal{M}.

Dans le cas d'un atelier ens. fig. de type fini, on ~~s'attendrait~~ ~~que pour une figure ensembliste F dans \mathcal{L}, dont les multistrates sont dans \mathcal{M}, l'appartenance à \mathfrak{F} ne dépend que de son ombre.~~les quatre dernières lignes sont barrées de traits obliques ; la phrase est reprise en haut de la page 57

on s'attend pas pourtant que \mathfrak{F} soit une sous-atelier spécieux, au sens ~~le plus~~ fort où nous avons introduit ce terme, i.e. stable par Sup quelconques. ~~Ainsi~~, on ne s'attend pas en général que \lbrace F_x = \lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace \rbrace_{x \in \mathcal{L}} soit dans \mathfrak{F} ! La condition raisonnable que \mathfrak{F} soit dès lors, c'est que \mathfrak{F} soit finiment spécieux. Vu la condition Atens^{\sharp}3, cela signifie simplement que la relation \underset{\mathcal{M}}{\between} est la relation ~~Atens^{\sharp}2~~ \between ensembliste. Donc

On dit alors que \mathfrak{F} est un atelier ensembliste finiment spécieuxnote oblique dans la marge gauche

Corollaire du Scholie Les ateliers (quasi) ensemblistes finiment spécieux, de type fini, correspondent figures de type fini (\mathcal{L}, \mathcal{M}), \mathcal{L} un ens. et \mathcal{M} un ens. de figures élémentaires dans \mathcal{L}, satisfaisant Atens^{\sharp}1 et Atens^{\sharp}2 (i.e. les \lbrace \lbrace x \rbrace \rbrace sont dans \mathcal{M} et si X \in \mathcal{M} multistrates de X ), ~~tel~~ dans \mathcal{M} ~~tels~~ tel que \forall X \in \mathcal{M} ~~toute~~ sous-figure de \mathcal{L} soit de t.f.sic, « sous-figure de \mathcal{L} », pour une sous-figure de X Alors \mathfrak{F} est l'ens. des

figures ensemblistes de type fini dont les multistrates sont dans \mathcal{M}.

Remarque En dehors du cas finiment spécieux, le seul autre cas intéressant que j'ai rencontré, est celui où la relation \underset{\mathcal{M}}{\between} est celle-ci : X et Y ensemblistement compatibles, et X \cap Y est ou bien vide, ou bien élémentaire i.e. est une multistrate commune.

Dans ce cas, \mathfrak{F} a la propriété supplémentaire suivante.

(1.57)\forall F \in \mathfrak{F}, \widetilde{F} admet le inf de ~~deux~~ éléments ~~i.e. tout~~ ou ce qui revient au même : si X, Y \in \widetilde{F}, alors X \cap Y (est l'inf pour \leq) est une multistrate.

la page se termine par un double trait horizontal

J'en viens à des axiomes de disjonction (At 8 était l'« axiome des lieux »).la première mouture (GF IV, dossier 156-4, p. 86) annonçait de même, sous le titre « Axiomes de disjonction et de support », qu'il était temps d'introduire les lieux ; elle s'arrête avant les axiomes de disjonction eux-mêmes

Notations et d'abord ~~At 9 Strict~~

Proposition Soit \mathfrak{F} un atelier \vDash At 1 – At 3 (on n'y va pas utiliser \ll). Si F et G \in \mathfrak{F}, alors F \parallel G \Longleftrightarrow \forall X \in \widetilde{F},\ Y \in \widetilde{G},\quad X \parallel Y . Immédiat. Également, on voudrait

(1.58)~~Corollaire~~ ~~Proposition~~ Si F \parallel G, F' \ll F, G' \ll G, alors F' \parallel G'.

En effet, on est ramené au cas ( ) F = X', G = Y', puis au cas F = X, G = Y, qu'on va utiliser At 9.

Remarque pour X \parallel Y \Longrightarrow \mathrm{Omb}(X) \cap \mathrm{Omb}\, Y = \emptyset \mathrm{omb}(X) \cap \mathrm{omb}(Y) \ldots = 0note oblique dans la marge gauche, en haut, lue en partie

Mais ~~dans~~ dans le cas ensembliste à figures de t.f. ( fini) cela ne semble pas résulter p. 55, Atens^{\sharp}3 dit quelles conditions : la relation \underset{\mathcal{M}}{\between} : d'être stable par passage aux sous-strates, et d'être plus forte que la relation \underset{\mathrm{ens}}{\between}.

NB Pb, si F \parallel G, Z \in \mathcal{M}, Z \ll F, Z \ll G ; F \vee G donc \ll longue note oblique dans la marge gauche de la moitié inférieure, écrite serrée et en partie biffée, lue par fragments

Ça n'a pas l'air d'impliquer la condition. pas que ~~la disjonction~~ la disjonction ensembliste implique la disjonction géométrique. Prenons p.ex. \mathcal{M} réduit : ~~trois~~ des multistrates réduites à une seule ~~ensemble~~ strate (ce qui rend vide la première condition Atens^{\sharp}3) et par exemple définie par les trois ensembles A, B et A' A' \subsetneq A, \qquad A \cap B = \emptyset . ~~Prenons~~ ~~donc~~ X = \lbrace A \rbrace, \quad Y = \lbrace B \rbrace, \quad X' = \lbrace A' \rbrace, \quad \text{et soit } Y' = Y, ~~On définit~~ Le ~~donc~~ X' \ll X, \qquad Y' = Y \text{ donc } Y' \ll Y . le premier signe \ll est surchargé donc compatibilité ensembliste des trois ~~\between comme étant la~~ At multistrates est déjà acquise. Donc on peut prendre pour \underset{\mathcal{M}}{\between} n'importe quelle relation sym. refl., ~~donc~~ n'importe quelle partie de l'ens. des trois paires de ~~strates~~ multistrates X, Y, X' — on choisira X \underset{\mathcal{M}}{\between} Y, \quad \text{et} \quad X' \underset{\mathcal{M}}{\overline{\between}} Y alors X \underset{\mathfrak{F}}{\parallel} Y, \quad \text{mais} \quad X' \underset{\mathfrak{F}}{\overline{\parallel}} Y, \quad \text{ok.}

On posera donc

(*) Si X, Y , X', Y' \in \mathcal{M}, X' \ll X, Y' \ll Y, et si X \parallel Y, alors X' \parallel Y' (il suffit de poser X \between Y)

devant « Si », un mot fortement biffé, sans doute un nom d'axiome (« At … ») ; « (*) » est écrit dans la marge. Le texte se poursuit dans le lot suivant