Cote n° 156-4, pages 61–80

Cote n° 156-4 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · [Chapitre] IV. Analysis situs (première mouture) : notes manuscrites (10/06/1986)
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

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61Soit Ainsi, les systèmes \((\mathfrak{F}, \leq)\) satisfaisant C1, C2, C3 et tels que toute \(F \in \mathfrak{F}\) soit « finie » (i.e. l'ens. \(\mathfrak{F}_{\leq F}\) des sous-figures est fini, ou encore, l'ens. \(\mathcal{M}_{\leq F} = F\) […] de […] ses strates est fini) équivalent à : \((\mathcal{M}, \leq, R)\) […] où \(\leq\) relation d'ordre, \(R\) relation réfl. et sym., satisfaisant

a)les \(\mathcal{M}_{\leq X}\) finis (\(X \in \mathcal{M}\))
b)si \((X,Y) \in R\) et \(X' \leq X\), \(Y' \leq Y\), on a \((X',Y') \in R\) ;

où les figures sont […] parties ⌜\(A\)⌝ […] les parties fermées, finies de \(\mathcal{M}\), telles que […] \(X, Y \in A\), on ait \((X,Y) \in R\). les conditions C1, C2, C3 sont celles des pages précédentes (page 58 pour C3) ; une longue note oblique, écrite en travers du bas de cet alinéa et tachée d'encre, n'est lue qu'en fragments (« […] la relation de compatibilité […] les strates […] En fait, […] ») ; au-dessus de « fermées » un mot inséré n'est pas lu

Composantes connexes Une figure est connexe si […] (⌜avec \(F'\), \(F''\) disjointes i.e. \(F' \cap F'' = \emptyset\)⌝) \[F = F' \cup F'' \Longrightarrow F' = F \ \text{ou}\ F'' = F .\] les seconds membres \(F\) sont écrits en surcharge sur d'autres lettres NB […] \(F\) connexe […] Une figure est dite 0-connexe si elle est connexe et \(\neq \emptyset_{\mathfrak{F}}\). Une sous-figure \(F_0\) de \(F\) est dite composante connexe de \(F\) si elle est 0-connexe et \(F = F_0 \amalg G\), \(G\) […] \(F_1\) disjoint de \(F_0\).

b) \(F_0\) est une composante

Lemme NB Soit \(F = F' \amalg F''\), avec \(F' \cap F'' = \emptyset\), et soit \(G\) une sous-figure connexe de \(G\). Alors \(G\) est contenue dans \(F'\) ou \(F''\). « de \(G\) » pour « de \(F\) » sur la page

On a \(F = F' \amalg F''\) […] chaque figure […] disjointe […] \(F'\), \(F''\) […] (NB si […]) […] note oblique de la marge gauche, en bas de page, lue en partie seulement

62En effet, \(G = G' \amalg G''\) avec \(G' \subset F'\), \(G'' \subset F''\) \(G'\) et \(G''\) disjoints (cf. p. 57) donc on a \(G' = G\) ou \(G'' = G\), donc \(G \subset F'\) ou \(G \subset F''\) cqfd.

Corollaire 1 Deux Soient \(F_0\), \(F_1\) deux comp. connexes de \(F\). Alors ou \(F_0 = F_1\), ou \(F_0\) et \(F_1\) sont disjoints, et […] ⌜dans ce cas⌝ \(F = F_0 \amalg F_1\) \(\amalg H\). « Corollaire 1 » est souligné et une accolade verticale borde l'énoncé à gauche

On écrit \(F = F_0 \amalg G\), et on […] que \(G\) […]

Corollaire 2 Soit \((F_i)_{i \in I}\) une famille de composantes connexes deux à deux distinctes. Alors \(F_0 \amalg F_1\) […] figures […] par les \(F_i\) est […] réunion disjointe \(\coprod F_i \subset F\), et si la famille est finie (p. ex. \(F\) fini figure finie) alors \[F = \Bigl(\coprod F_i\Bigr) \amalg H .\]

Je n'ai pas pu déduire que […] figure […] soit […] […] comp. connexes, Mais […] […] des […], […] […] et […] […] pour les […] des sous-figures « […] » figures finies. Les le Corollaire 2 et l'alinéa qui le suit sont barrés de cinq longs traits obliques

Proposition Soit \(F\) une figure, \(A = \overline{F} \subset \mathcal{M}\) l'ens. de ses strates. Alors l'application Pour qu'une sous-figure \(F_0\) \(F_0\) de \(F\) soit une comp. conn. de \(F\), il faut et il suffit que \(\overline{F_0}\) soit une composante connexe de l'ens. ordonné \(A\) (pour l'ordre induit par \(\leq\)). On trouve ainsi une corr. biunivoque entre l'ens. des composantes

63de \(F\), et celles de \(A\). De plus, \(F\) est somme directe disjointe de ses comp. connexes, i.e. \(F = \operatorname{Sup}_i F_i\), les comp. connexes \(F_i\) deux à deux disjointes… NB […] C3 […] note oblique de la marge gauche, en haut de page, lue en fragments

Composantes connexes de la contrée \(\mathfrak{F}\)

Soit \(\mathcal{M} = \coprod_{i \in I} \mathcal{M}_i\) la décomposition de \(\mathcal{M}\) en composantes connexes. Pour toute figure \(F\), posons \[F_i = \operatorname{Sup}_{X \in \mathcal{M}_i \cap \mathcal{M}_{\leq F}} X .\] Alors \(F\) est la somme directe des \(F_i\), […] si \(F\) est de t.f. (ou \(I = \pi_0(\mathcal{M})\) fini!) alors tous les \(F_i\) sauf un nb fini […] \(\emptyset\). […] les composantes […] \(F_i\) […] de \(F\) sur \(\mathcal{M}_i\) note oblique de la marge gauche, lue en partie seulement

Inversement Soit \(\mathfrak{F}_i\) l'ens. des \(F \in \mathfrak{F}\) telles que \(F \subset \mathcal{M}_i\). Alors […] \(\mathfrak{F}_i\) satisfait les conditions C1, C2, […] (et C3 aussi, si \(\mathfrak{F}\) y satisfait), et \(\mathcal{M}_i\) est l'ens. de ses objets irréductibles. L'application Si \(F \in \mathfrak{F}\), si \(F_i\) sont ses composantes suivant les \(\mathcal{M}_i\), \(\mathfrak{F} \to \prod \mathfrak{F}_i\) […] \(F \mapsto (F_i)_{i \in I}\) […] \(F_i\) […] alors \[\overline{F_i} = \overline{F} \cap \mathcal{M}_i , \qquad \overline{F} = \bigcup \overline{F_i} \quad (\text{réunion disj.}) .\] Pour \(i\) fixé, l'application \(\mathfrak{F} \to \mathfrak{F}_i\) commute aux Sup quelc. et aux Inf non vides. L'application \[\mathfrak{F} \to \prod \mathfrak{F}_i , \qquad F \mapsto (F_i)\] est injective, et la relation d'ordre de \(\mathfrak{F}\) est induite par l'ordre produit

64Inversement, donnons-nous, \(F_i \in\) \(\forall i \in I\), un \(F_i \in \mathfrak{F}_i\), pouvons-nous affirmer qu'il existe \(F \in \mathfrak{F}\) telle que \(\forall i\), \(F_i\) soit la \(i\)-composante de \(F\) ?

Déjà, il le faut sûrement pour […] […] tous les \(F_i\) sauf un nb fini soient \(\emptyset\) vides. Donc on supposera donc

C4 Si \(X, Y \in \mathcal{M}\) appartiennent à deux comp. connexes disjointes de \(\mathcal{M}\), alors \(X\) et \(Y\) sont compatibles.

C'est nécessaire et suffisant pour la […] des […]

Cor

Corollaire 1 L'image de \(\mathfrak{F} \to \prod \mathfrak{F}_i\) contient les \((F_i)_{i \in I}\) tels que \(F_i = \emptyset\) sauf pour […] un nb fini d'\(i\).

Cor. 2 Donc \(\mathfrak{F} \to \prod \mathfrak{F}_i\) est une bijection dans les deux cas où \(I\) est fini suivants : a) \(I\) est fini ; b) toute figure est de t.f. […] alors « Cor. 2 » est écrit dans un cadre tracé à l'intérieur du Corollaire 1

Cor 3 Supposons que les figures […] \(\in \mathfrak{F}\) soient de t.f. (resp. finies) […]. Alors il en est de même pour \(\mathfrak{F}_i\), de plus \(\mathfrak{F} \to \prod \mathfrak{F}_i\) a comme image l'ens. des \((F_i)\) tels que \(F_i\) soit \(\emptyset\) pour presque tout \(i\).

65Ceci résulte de C4 et cor. 1 et du

Lemme Pour que \(F\) soit de t.f. (resp. fini) il faut et il suffit que a) les \(F_i\) le soient et b) tous les \(F_i\) sauf un nb fini soient \(\emptyset\).

Notations \(\pi_0(F)\) (NB si \(F \leq G\) on a \(\pi_0(F) \to \pi_0(G)\) […], et transitivité), \(\pi_0(\mathcal{M})\), \(\pi_0^{\cdot}(\mathfrak{F})\). (Attention, le \(\pi_0^{\cdot}(\mathfrak{F})\) n'est pas le \(\pi_0(\mathfrak{F}, \leq)\), mais le \(\pi_0\) […] en tenant compte des « Sup ».) Si \(\mathcal{C} = (\mathfrak{F}, \leq, \ldots)\), on peut aussi écrire \(\pi_0(\mathcal{C})\). l'exposant de \(\pi_0(\mathfrak{F})\), un point surmonté d'un signe biffé puis d'un « d » à sa seconde occurrence, est douteux ; sous \(\mathcal{C}\) il écrit « contrée », le troisième terme du triplet, rendu ici « \(\ldots\) », est un signe biffé non lu, sous lequel deux lignes ne se lisent qu'en partie (« […] vues ici »)

Axiome renforcé

C4 bis Pour tout \((F_i)_i \in \prod \mathfrak{F}_i\), […] \(\exists\, F \in \mathfrak{F}\) telle que \(F|\mathcal{M}_i = F_i\) pour \(i \in I\).

Contrée résiduelle Support et complément

Soit […] \(\Phi \subset \mathfrak{F}\) ⌜\(H_i\)⌝ un ens. de figures. On posera Soit \(F\) une figure. Pour Compl. \(\Phi\) que \(F\) soit disjointe de tous les \(H_i\), il faut et il suffit que ce soit le cas pour toutes les strates de \(F\) (cf. conséquence de C3). Posons Posons

66\[\begin{align*} \mathfrak{F}' &= \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(\Phi) = \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid F \ \text{disjoint des}\ H_i \in \Phi \rbrace \quad (\subset \mathfrak{F}) \\ \mathcal{M}' &= \operatorname{cosupp}_{\mathcal{M}}(\Phi) = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \ \text{disjoint des}\ H_i \in \Phi \rbrace \\ &= \mathcal{M} \cap \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(\Phi) \subset \mathcal{M} \end{align*}\]

Donc […], pour \(F \in \mathfrak{F}\), posant \(\mathfrak{F}' = \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(\Phi)\), \(\mathcal{M}' = \mathfrak{F}' \cap \mathcal{M} = \operatorname{cosupp}_{\mathcal{M}}(\mathfrak{F})\) \(\Phi\) \(F \in \operatorname{cosupp}\)

Donc pour \(F \in \mathfrak{F}\) \[\left\lbrace \begin{array}{l} F \in \mathfrak{F}' \Longleftrightarrow \overline{F} \subset \mathcal{M}' \\ \mathcal{M}' = \mathfrak{F}' \cap \mathcal{M} \end{array} \right.\] ainsi, \(\mathcal{M}'\) et \(\mathfrak{F}'\) se déterminent mutuellement NB \(\mathfrak{F}'\), \(\mathcal{M}'\) sont des parties fermées de \(\mathfrak{F}\), \(\mathcal{M}\). […] \(\mathfrak{F}'\) (stables par sup.) la première note est en marge gauche, avec une flèche vers l'accolade ; la seconde en marge droite

Soit d'autre part \[\begin{align*} \mathfrak{F}'' &= \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(\mathfrak{F}') \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{supp}_{\mathfrak{F}}(\Phi) \\ \mathcal{M}'' &= \operatorname{cosupp}_{\mathcal{M}}(\mathfrak{F}') \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{supp}_{\mathcal{M}}(\Phi) \end{align*}\] On a donc \(\mathfrak{F}'' \supset \Phi\), \(\mathfrak{F}''\) stable par Sup. […] \(\Phi\) et par passage aux sous-figures. Soit \(\overline{\Phi} = \bigcup_{H_i \in \Phi} \overline{H_i}\), alors \[\begin{align*} \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(\Phi) &= \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(\mathcal{M}_{\overline{\Phi}}) \\ \operatorname{cosupp}_{\mathcal{M}}(\Phi) &= \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \ \text{disjoint de tt}\ Y \in \mathcal{M}_{\overline{\Phi}} \rbrace \end{align*}\] donc on est ramené à des constructions dans \(\mathcal{M}\). § « passage aux sous-figures » : lecture probable d'une fin de ligne écrite vite

Partie saturée de \(\mathfrak{F}\) \(\mathfrak{F}_0\) : égale au cosupport (p.r. à \(\mathfrak{F}\)) de son cosupport. Partie saturée ⌜\(\mathcal{M}_0\)⌝ de \(\mathcal{M}\) : égale au cosupport de son cosupport (dans \(\mathcal{M}\)). Elles se correspondent mutuellement par \[\mathcal{M}_0 = \mathfrak{F}_0 \cap \mathcal{M} , \qquad \mathfrak{F}_0 = \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid F \subset \mathcal{M}_0 \rbrace .\]

67On a une notion de […]

Toute partie de \(\mathfrak{F}\) (resp. \(\mathcal{M}\)) est contenue dans une partie saturée minimale (parmi celles la contenant), qui s'appelle le n'est autre que le cosupport du cosupport, et s'appelle aussi son support. Les parties saturées sont celles qui sont égales au support, ou au cosupport, d'une partie. L'application cosupp définit une bijection de l'ens. des parties saturées sur […], renversant la relation d'inclusion.

On désigne par \(\Sigma\) l'ens. des supports virtuels, ou parties saturées ⌜\(\mathcal{M}_0\)⌝ de \(\mathcal{M}\), ou de \(\mathfrak{F}_0\) de \(\mathcal{M}\). […]

L'application de cosupport d

On […] \(\Sigma\) à […] un […] (comme partie de \(\mathfrak{P}(\mathcal{M})\), ou de \(\mathfrak{P}(\mathfrak{F})\)) et on écrit, pour \(\sigma \in \Sigma\), \[\mathcal{M}_\sigma \subset \mathcal{M}, \qquad \mathfrak{F}_\sigma \subset \mathfrak{F} .\] Dans \(\Sigma\), pour la notion de cosupport est une anti[…] d'ens. ordonnés. Dans \(\Sigma\), on a des Inf quelconques (c'est l'intersection des parties de \(\mathcal{M}\), ou de \(\mathfrak{F}\)), et des Sup quelconques (c'est la partie saturée « \(\mathfrak{F}_0\) de \(\mathcal{M}\) » : lire « de \(\mathfrak{F}\) » ; la lettre finale est surchargée

68engendrée par la réunion). Je dis ⌜présume⌝ qu'on a en fait une algèbre de Boole (« ultra-stonienne », à cause des Sup quelc.)

Il faudra y revenir […] les supports s'identifient aux […] […] et […] […] espace, qui serait un espace […] discontinu ultra-stonien. […] correspondant au passage […] l'inclusion […]

[…] la construction […] \(\Sigma\) en […] que […] l'ens. ordonné \(\mathcal{M}\) ⌜et de la relation \(R\) de compatibilité⌝ (sans connaître ⌜toutes⌝ les parties \(\Phi\) de \(\mathcal{M}\), correspondant aux figures). En effet, en termes de \((\mathcal{M}, \leq, R)\), le cosupport d'une partie \(\mathcal{M}'\) de \(\mathcal{M}\) est défini par \[\operatorname{cosupp}_{\mathcal{M}}(\mathcal{M}') = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid (X, X') \in R \ \forall X' \in \mathcal{M}' \rbrace\] la longue note oblique de la marge gauche, qui court sur toute la hauteur de la page, n'est lue qu'en fragments (« […] ensembliste […] les exemples […] \(\Sigma\) […] », avec les lettres \(P\), \(Q\), \(R\)) ; la relation écrite dans la formule est bien \(R\), la compatibilité, et non la disjonction

Ex des supports : parties saturées de \(\mathcal{M}\) : […] comp. conn. de \(\mathcal{M}\) (utiliser C4). écrit en oblique au bas de la page, séparé du reste par un trait

69J'en viens à la rel. d'ordre \(\preccurlyeq\) (subdivision) de nature très différente. Il n'y a pas de plus petit (ni de plus grand) élément, pas de Sup de deux […] ⌜\(F'\), \(F''\)⌝ \(\preccurlyeq\) toujours (i.e. subdivisions d'une même figure \(F\)), mais parfois un inf. le signe de la subdivision, un \(\leq\) dont les traits sont incurvés, est rendu \(\preccurlyeq\) dans toute la suite

On dit que deux subdivisions \(F'\), \(F''\) de \(F\) sont compatibles quand et que seulement (je ne dirai pas « compatibles », car le terme est déjà pris) si elles admettent une subdivision commune. le mot souligné est surchargé, et la parenthèse qui suit dit qu'il ne s'agit pas de « compatibles » : la lecture est à reprendre sur la page On sera amené à […] […] […] les contrées modérées ! \(F''' \preccurlyeq F' \preccurlyeq F\), \(F''' \preccurlyeq F'' \preccurlyeq\) note oblique de la marge gauche, avec un petit schéma de subdivisions emboîtées dont le second terme de la seconde ligne n'est pas écrit

On dit que la contrée est modérée si deux ⌜subdivisions⌝ […] de \(F\) sont toujours comparables. Dans le cas général,

[…] Je ne saurais donner […] aucune propriété particulière de \(\preccurlyeq\) tout seule. Les propriétés que j'ai en vue concernent les relations ⌜avec⌝ \(\leq\).

C5 Soit \(F' \preccurlyeq F\). Alors pour toute figure \(G\), \(G\) est disjointe de \(F\) ssi elle est disjointe de \(F'\). [NB Il suffit de le poser pour \(G = X \in \mathcal{M}\), à cause de C3] […] après C6, C7, […] des disjonctions double trait vertical en marge de C5

70son numéro de page, 70, est écrit en surcharge sur un autre chiffre Il revient au même de dire que \(F\) et \(F'\) ont même cosupport, ou encore, même support. Donc […] un support.

Une autre façon de dire (que \(F, G\) disj. \(\Longrightarrow F', G\) disj.) est ainsi :

Corollaire Le cosupport de ⌜dans \(\mathfrak{F}\)⌝ tout objet \(G\) de \(\mathfrak{F}\) est fermé, non seulement pour \(\leq\), mais aussi pour \(\preccurlyeq\) — c'est donc […] […] une sous-contrée. Donc itou pour toute partie \(\Phi \subset \mathfrak{F}\). En d'autres termes, toute partie de \(\mathfrak{F}\) qui est un \(\mathfrak{F}\)-support (ou « \(\mathfrak{F}\)-saturée », sous-entendu : en termes de \(\leq\), cf p. 67) est automatiquement une sous-contrée.

un ensemble, et \(\Phi\) un ens. de parties de \(\mathcal{M}\), satisfaisant à la condition précédente ([…]). Alors \(\Phi\), muni de la relation d'inclusion satisfait C1, et ses objets irréductibles sont les \(A_X\) (\(X \in \mathcal{M}\)), l'application \(X \mapsto A_X\) étant une bijection de \(\mathcal{M}\) sur l'ens. des […] objets irréductibles de \(\Phi\). Dém. \(A_X\) est irréductible, car si \(A_X = \bigcup_{i \in I} A_i\) la moitié inférieure de la feuille porte, écrit tête-bêche et séparé du haut par un trait, un début de page numéroté « 55 » (chiffre surchargé), barré de longs traits obliques : c'est le texte donné ici entre les marques de biffure

71Par la suite, il faut faire attention si les axiomes […] passent aux sous-contrées. Introduisons quand même la définition en forme [[…]]

Définition 1 On appelle sous-contrée de la contrée \(\mathcal{C} = (\mathfrak{F}, \leq, \preccurlyeq)\), tout sous-ens. qui satisfait les conditions

a)fermé pour \(\leq\), et stable par sup quelc. pour \(\leq\) [et à ce titre, s'en correspond, ⌜par \(\mathfrak{F}' \mapsto \mathfrak{F}' \cap \mathcal{M}\),⌝ aux parties fermées ⌜\(\mathcal{M}'\)⌝ de \(\mathcal{M}\), par \(\mathcal{M}' \mapsto \mathfrak{F}' = \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid F \subset \mathcal{M}' \rbrace\)].
b)fermé pour \(\preccurlyeq\) (ce qui impose une restriction aux parties envisagées \(\mathcal{M}'\) de \(\mathcal{M}\), […] plus bas) […] si \(X \in F\)

il faudra […] des […] ([…]) (c) Pour \(F' \preccurlyeq F\) subd. fixée, l'application \(G \mapsto G'\), sous-fig. de \(F\) \(\to\) sous-fig. de \(F'\), […] aux Sup (pour \(\leq\)) i.e. au-dessus de la biffure de b) sont insérés deux mots, « qui ne » et un mot souligné non lu ; le « (c) », entouré, est en marge droite, d'où une flèche descend vers l'énoncé C6

C6 Soit \(F' \preccurlyeq F\), \(G \leq F\) dans \(\mathfrak{F}\).

(a) Alors il existe un unique \(H \in \mathfrak{F}\) […] : \[F' \preccurlyeq F , \quad G' \preccurlyeq G , \qquad G' \leq F' , \quad G \leq F\] (b) et les strates de \(G'\) sont les strates \(X'\) de \(F'\) telles que \(X' \ll G\). les lettres (a) et (b) sont entourées ; sur la page, les relations sont disposées en carré, \(F' \preccurlyeq F\) au-dessus de \(G' \preccurlyeq G\), avec des signes \(\leq\) verticaux ; l'énoncé nomme \(H\) la figure que le carré appelle \(G'\) ; (b) est bordé d'un double trait, et sous « \(X' \ll G\) » une ligne ajoutée n'est lue qu'en partie (« […] complètement […] ») ; un trait vertical borde C6 à gauche […] symétrie […] \(\leq\), \(\preccurlyeq\) […] sur la sous-figure \(G\) de \(F\)

On dit que \(G'\) est la subd. de \(G\) induite par la subd. \(F'\) de \(F\), […] que \(G'\) est la sous-fig.

72sous-figure de […] la subdivision \(F'\) de \(F\), induite par la sous-figure \(G\) de \(F\). […] […] […] note oblique de la marge gauche, en haut de page, non lue

C\(7_0\) Pour toute figure \(F\), sous-figure \(G\), et subdivision \(G'\) de \(G\), il existe une subdivision \(F'\) de \(F\) qui induise \(G'\).

(mais l'énoncé symétrique, où on échangerait les rôles de \(\leq\) et \(\preccurlyeq\), est faux : il n'est pas vrai, pour \(F' \preccurlyeq F\) donnés, que ttes sous-figures \(G'\) de \(F'\) soient induites par une ss-figure \(G\) de \(F\)).

On peut renforcer un peu […] C\(7_0\) en C7, en prenant un choix canonique de \(F'\).

[…] Soient \(F\), \(G\) deux figures. Considérons les conditions équivalentes :

a)\(G\) est une sous-figure d'une subd. de \(F\) : \(G \leq F' \preccurlyeq F\)
b)\(G\) est une subdivision d'une sous-figure de \(F\) : \(G \preccurlyeq G' \leq F\).

On a alors b) \(\Rightarrow\) a) (Mais pas nécess. a \(\Rightarrow\) b !!!)

a) \(\Rightarrow\) b) résulte de C6

b) \(\Rightarrow\) a) résulte de C\(7_0\). ce dernier alinéa, depuis « Soient \(F\), \(G\) », est traversé de deux longs traits obliques ; en marge droite un petit schéma : \(F\) et \(F'\) reliés par un signe de subdivision barré, \(G \leq F\) au-dessous, et \(G'\) sous \(F'\) relié par des pointillés à \(G\) ; le mot barré qui précède « Soient » est illisible (on devine « Corollaire »), et le mot souligné ajouté dessous est « considérons »

73Corollaire 2 […]

Définition On dit […] que \(G\) raffine \(F\) ou est un raffinement de \(F\) . On écrit […] si \(\exists\, F'\) avec \(G \ll F\) \(G \leq F' \preccurlyeq F\). On écrit \(G \ll F\). au-dessus de « raffine \(F\) » une insertion biffée n'est pas lue ; il écrit le signe du raffinement à deux chevrons, parfois à trois (ici même, et page 73 dans « Transitivité ») ; il est rendu partout \(\ll\), comme au lot 5

Corollaire […] La relation \(G \ll F\) est une relation d'ordre (impliquée par \(G \leq F\) et par \(G \preccurlyeq F\)). Utilise C6, ni C5 ni C7.

Transitivité : Soit \(F \ll G \ll H\), donc \[\begin{array}{ccc} H & \succcurlyeq & H' \\ & & \geq \\ G & \succcurlyeq & G' \\ \geq & & \\ F & & \end{array} \qquad \text{on complète par C6} \qquad \begin{array}{ccccc} H & \succcurlyeq & H' & & \\ \geq & & \geq & & \\ \overline{H} & \succcurlyeq & G & \succcurlyeq & G' \\ \geq & & \geq & & \geq \\ K & \succcurlyeq & \overline{G} & \succcurlyeq & F \end{array} \quad (*)\] les deux schémas sont des carrés de relations, les signes \(\geq\) étant écrits verticalement ; le premier est lu d'après sa disposition (« \(H \succcurlyeq H'\) », « \(G \succcurlyeq G'\) », \(F\) sous \(G'\)), le second a des points aux sommets complétés ; au-dessus, une première esquisse du même schéma est biffée de longs traits obliques

et […], on a \(F \preccurlyeq K \leq H\).

Supposons maintenant que \(F = H\) i.e. \(F \ll G\) et \(G \ll F\), prouvons \(F = G\). On trouve \[F \preccurlyeq K \leq \underset{\overset{\shortparallel}{H}}{F}\] on va en déduire \(K = F\) et comme \(K \leq \overline{H} \leq F\), il en résultera \(\overline{H} = F\) et donc […] (comme \(F \preccurlyeq \overline{G} \leq K\)) \(\overline{G} = F\) donc \(G \preccurlyeq F\). De façon symétrique on aura \(F \preccurlyeq G\), d'où \(F = G\). Donc il reste à prouver le

Lemme Soient \(F, K \in \mathfrak{F}\) avec \(F \preccurlyeq K \leq F\). Alors \(K = F\) (i.e. si \(F\) est une subdivision d'une sous-figure \(K\), alors \(F = K\))

74Cela résulte du Corollaire qui suit et de C5

Corollaire (Propriété de la relation \(\leq\) !) Soient \(F\) une figure, \(K\) une sous-figure […] telle que \(K \neq F\). Alors il existe une […] figure \(G\) (une multistrate, si on veut) qui est donc disjointe de \(K\), mais non de \(F\). […] En d'autres termes, \(\operatorname{supp} K \neq \operatorname{supp} F\).

Ça n'est pas « formel » en termes ⌜des axiomes C1 à C4⌝ sur \((\mathfrak{F}, \leq)\). Supposons p.ex. que \(\mathfrak{F}\) admette un plus grand élément, donc il est défini comme l'ens. de toutes les parties fermées de l'ens. ordonné \(\mathcal{M}\), et « disjoint » signifie ici \(A \cap B = \emptyset\) sans plus (la relation de compatibilité \(R\) est la relation tjrs vraie). Mais si \(F\) est une partie fermée, \(K \subset F\) une sous-partie fermée ⌜\(\neq F\)⌝, il n'est pas clair qu'on puisse trouver une partie fermée \(G\) telle que \(G \cap K = \emptyset\), \(G \cap F \neq \emptyset\). Par ex. Si \(\mathcal{M}\) a un plus petit élément \(0\), p.ex. \(\mathcal{M} = [0, N]\), \(R\) avec l'ordre habituel, \(F = \mathcal{M}\), \(K = [0, 1]\), Alors pour toute partie fermée non vide, les \(G\) tels que \(F\) et \(G\) disjoints sont les \(G\) vides, donc ça ne change pas si on remplace \(F\) par \(K \in F\), […] pourvu que \(K\) n'est pas vide

75Dans ce cas, l'axiome C6 (pour une relation ⌜d'ordre⌝ quelconque \(\preccurlyeq\) sur \(\mathfrak{F} = \mathfrak{P}_f(\mathcal{M})\)) signifie seulement que si \(F' \preccurlyeq F\), \(F'\) est vide ssi \(F\) l'est. Prenons p.ex. […] \(\preccurlyeq\) égal à la relation d'ordre discrète, ça OK. C\(7_0\) est tautologique C6, C7 tautologiques. On voit donc qu'il manque un axiome, pour assurer la validité du corollaire. On désire que ce soit la […] de Cont 4 (p. 35), ⌜[…]⌝ Cont 7 : […] pour l'instant […] sais pas utiliser que la relation \(\ll\) soit […] […] la propriété suivante, qu'il faudrait […] […] […] : Aussi cela […] résulte […] de C4 […] ([…] p. 47) « Cont 4 (p. 35) » renvoie au lot précédent (page 35) ; la note de la marge gauche est lue en partie seulement

Soient \(Y, X \in \mathcal{M}\), si \(Y \ll X\), et supposons que \(\nexists\, Y' \leq Y\), \(Y' \in \partial X\), \(Y \cap \partial X =\) […] […] \(Y' \leq Y\), \(Y' \ll \partial X\) […] les \(Y' \leq Y\) (\(Y' \in \mathcal{M}\)) tels que […] Soient \(F\) figure, \(F'\) sous-figure, \(G \ll F\), \(G'\) ⌜\(\leq G\)⌝ le raffinement de \(F'\) induit par \(G\) (cf plus bas). supposons, Alors \(G' = \emptyset\) Alors ssi \(G\) disjoint de \(F'\). \(G\) […] tout ce passage est barré de longs traits obliques ; une partie en est encadrée à gauche

Il faut développer la notion de raffinement induit. J'ai envie de […] ⌜[…]⌝ l'énoncé (quitte à rajouter des axiomes) :

76[…] Prop. Soit \[\begin{array}{ccc} G & \ll & F \\ & & \geq \\ & & F' \end{array}\] alors il existe une plus grande sous-figure \(F'\) de \(G\), qui raffine \(F'\) (et qu'on appelle raffinement de \(F'\) induit […] par le raffinement \(G\) de \(F\), ou la sous-figure de \(G\) induite raff. \(G\) de \(F\), induite par la sous-figure \(F'\) de \(F\)). […] Les strates […] tautologiques sont les strates de \(G\) qui raffinent \(F'\). De plus, \(G\) et \(F\) sous \(G\), dans le premier schéma, un \(\geq\) et un \(G'\) sont biffés ; « une plus grande sous-figure \(F'\) de \(G\) » : lire \(G'\), comme le schéma suivant \[\begin{array}{ccc} G & \ll & F \\ \geq & & \geq \\ G' & \ll & F' \end{array}\] De plus, \(G'\) est un Inf de \(G\) et \(F'\) pour la relation \(\ll\), en d'autres termes, si \(G\) est \(K\) est une figure telle que \(K \ll G\) et \(K \ll F'\), alors \(K \ll G'\). Dire (on posera) que \(G' = \emptyset \Longleftrightarrow G\) disjoint de \(F'\) (seul \(\Longrightarrow\) non évident…) \(\exists\, G\) telle que

Dém. Soit \(H\) une sous-figure ⌜[…]⌝ telle que \(H \ll F'\), donc pour ttes strates \(X \leq H\), on a \(X \ll F'\), donc si on désigne par \(G'\) la sous-figure de \(G\) engendrée par les strates \(Y \leq G\) telles que \(Y \ll H\), alors […] \(H \leq G\) puisque \[H = \operatorname*{Sup}_{\substack{X \in \mathcal{M} \\ X \leq H}} X \leq \operatorname*{Sup}_{\substack{X \in \mathcal{M} \\ X \in G'}} X = G' .\] D'autre part, \(G' \ll\) la démonstration est barrée de longs traits obliques ; « \(Y \ll H\) » et « \(H \leq G\) » sont tels sur la page, là où l'on attend \(F'\) et \(G'\)

77On a par définition de \(\ll\) \[G \leq \overline{F} \preccurlyeq F\] \(G\) sous-figure d'une subd. \(\overline{F}\) de \(F\) et on va appliquer C6 \[\begin{array}{ccccc} G & \leq & \overline{F} & \preccurlyeq & F \\ \geq & & \geq & & \geq \\ G' & \leq & \overline{F}' & \preccurlyeq & F' \\ \shortparallel & & & & \\ G \cap \overline{F}' & & & & \end{array}\]

[…] Prouvons que \(G'\) est un inf pour \(\ll\).

Soit \(K\) telle que \(K \ll G\), \(K \ll F'\). On doit prouver \(K \ll G'\). Pour ceci, on doit prouver d'abord \(K \ll \overline{F}'\), et on est ramené aux deux cas particuliers où soit \(G \preccurlyeq F\), soit \(G \leq F\). […]

Lemme 1 Soit \[\begin{array}{ccc} G & \preccurlyeq & F \\ \geq & & \geq \\ G' & \preccurlyeq & F' \end{array} \qquad (\text{cf C6})\] et soit \(K\) tel que \(K \ll G\) et \(K \ll F'\), alors \(K \ll G'\).

En effet, par déf. ⌜[…]⌝ on a \(K \leq \overline{G} \preccurlyeq G\) \[\begin{array}{ccccccc} K & \leq & \overline{G} & \preccurlyeq & G & \preccurlyeq & F \\ & & \geq & & \geq & & \geq \\ & & \overline{G}' & \preccurlyeq & G' & \preccurlyeq & F' \end{array}\] pour prouver \(K \ll G'\), il suffit de prouver \(K \leq \overline{G}'\). […] \(X \in \mathcal{M}\), \(\forall X \in G\) […] que pour \(X \in \mathcal{M}\), \(X \leq K \Longrightarrow X \leq \overline{G}'\), or cela résulte de C6, (b) appliqué à : \[\begin{array}{ccc} \overline{G} & \preccurlyeq & F \\ \geq & & \geq \\ \overline{G}' & \preccurlyeq & F' \end{array}\] sous « \(X \leq K\) » il ajoute : « donc \(X \leq \overline{G}\), \(X \ll F'\) » ; dans les schémas de cette page les signes \(\geq\) sont écrits verticalement entre les lignes

78Lemme 2 Soit \[\begin{array}{ccc} G & \leq & F \\ \geq & & \geq \\ G' & \leq & F' \\ \shortparallel & & \\ G \cap F' & & \end{array}\] et soit \(K\) tel que \(K \ll G\) et \(K \ll F'\), alors \(K \ll G'\).

On écrit encore \(K \leq \overline{G} \preccurlyeq G\), et …

J'abandonne ici ! Il […] mieux se reporter […] page 51.

NB \(F' \mapsto G'\), sous-fig \(F\) \(\to\) sous-fig \(G\), commute aux Sup\(_{\leq}\) quelc., […] et aux Infs\(_{\leq}\) quelconques… le NB, souligné deux fois, est en marge droite, séparé du texte par un triple trait vertical

Soit \(F\) une figure

C 8 Soit \(F\) une figure, et \(X\) une multistrate telle que \(X \ll F\) (i.e. \(X \leq F' \preccurlyeq F\)). Alors \(\exists\, Y\) […] de \(F\), telle que \(X \ll Y\). C8 est barré de longs traits obliques ; sous « C 8 » un mot biffé n'est pas lu

Proposition Soient \(F\) une figure, \(X \in \mathcal{M}\), tels que \(X \ll F\).

a)Alors, […] \(\exists\, Y \in \mathcal{M}\), \(Y \leq F\) tel que \(X \ll Y\)
b)Parmi les \(Y\) satisfaisant cette condition, il y […] a un plus petit élément, […] caractérisé par caractérisé par la propriété que la sous-figure de \(X\) induite par \(Y\) est \(\neq X\).

Démonstration \(F = \operatorname{Sup}_{Y_i \in \overline{F}} Y_i\), donc \(X\) (par C6 (c)) \(X = \operatorname{Sup}_i G_i\) où \(G_i\) est la ss-fig. de \(X\) induite par les \(Y_i\), donc \(\exists\, i\) tel que \(X \in G_i\), donc \(X \ll Y_i\).

79Parmi les \(Y\) ⌜\(\in \overline{F}\)⌝ tels que \(X \ll Y\), choisissons un élément minimal (cela existe, si on admet que la dim. combinatoire des figures irréd. (i.e. multistrates) est finie — on y reviendra […] […] plus tard encore…) […]

Dire que \(Y\) est minimal signifie que pour \(Y'\) multistrate ⌜[…]⌝ de \(Y\), on n'a pas \(X \ll Y'\) i.e. \(X \neq F_{Y'}\), sous-figure de \(X\) induite par \(Y'\). Mais cela signifie […] que \[\partial Y = \operatorname*{Sup}_{\substack{Y' \in \mathcal{M} \\ Y' \leq Y}} Y'\] est […] par l'image […] de \(\partial Y\) différent de \(X\) (appliquer C6 (c)). sous le Sup, une première condition sur \(Y'\) est biffée

Si […] Si maintenant \(Y' \in \overline{F}\) tel que \(X \ll Y'\), prouvons que \(X\) \(Y \leq Y'\). On En effet l'image inverse \(F_{Y'} = X\), […] or \[\underset{\overset{\shortparallel}{X}}{F_Y} \cap \underset{\overset{\shortparallel}{X}}{F_{Y'}} = F_{Y \cap Y'}\] à cause des propriétés « fonctorielles » des Inf pour \(\ll\), donc \(F_{Y \cap Y'} = X\), i.e. \(X\) se factorise par \(Y \cap Y'\) donc par un \(Z \leq Y \cap Y' \leq Y\), et donc \(Z = Y\) (condition minimale) et par suite \(Y = Y'\), […] !

80Corollaire Soient \(F\), \(G\) avec \(F \ll G\). Pour tout \(X \in \overline{F}\), soit \(\varphi(X) \in \overline{G}\) la plus petite multistrate ⌜\(Y\)⌝ de \(G\) telle que \(\varphi(X) \ll\) \(X \ll Y\). L'application \[\varphi : \overline{F} \to \overline{G}\] ainsi obtenue est croissante (trivial).

Jusqu'à maintenant, les axiomes […] C5, C6, C7 […] pour \(\preccurlyeq\) sont tautologiques ⌜dans […]⌝ \(\leq\) ⌜si on prend pour \(\preccurlyeq\) […] de figures⌝, l'égalité. Il serait temps d'en venir à des propriétés telles que plus spécifiques ! les insertions au-dessus de la ligne sont reliées au texte par une longue accolade et ne se lisent qu'en partie

14 juin

date de sa main, « 14 juin », soulignée, en marge gauche de l'alinéa qui suit

Proposition Corollaire de prop. p. 78 Je vais poser \(\widetilde{F}\) ald \(\overline{F}\) pour l'ens. des \(X \in \mathcal{M}\) tels que \(X \ll F\) (pour éviter confusion avec notion d'adhérence — Cf l'ancien C4 […] p. 47) « ald » : « au lieu de » ; le numéro de page du renvoi « p. 78 » est surchargé ; « Cf l'ancien C4 p. 47) », souligné, est écrit sous l'insertion, au niveau du titre

Soient \(G' \preccurlyeq G \preccurlyeq F\) alors \(\widetilde{G}' \cap \widetilde{F} \subset \widetilde{G}\) (donc \(\widetilde{G}' \cap \widetilde{F} = \widetilde{G}' \cap \widetilde{G}\)).les deux signes de \(G' \preccurlyeq G \preccurlyeq F\) sont repassés à l'encre ; lus comme le signe de la subdivision, comme au lot 5, mais le premier pourrait être un \(\leq\) transformé En d'autres termes, toute ⌜(multi)⌝ strate de \(X\) […] qui raffine la sous-figure \(G\) de \(F\) ⌜[…]⌝ ⌜(multi)⌝ strates de \(F\) est strate de \(G\).

Soit \(X\) strate de \(G'\) qui est strate de \(F\)

Dém. \(X\) est une strate d'un raffinement \(\overline{F}\) de \(F\) ⌜[…]⌝ induit par un raffinement \(\overline{G}\) de \(G\), \[\begin{array}{ccccc} G & \leq & F & \geq & X \\ \succcurlyeq & & \succcurlyeq & & \\ \overline{G} & \leq & \overline{F} & & \\ \geq & & & & \\ X & & & & \end{array}\] Supposons \(X \leq F\), considérons les images inverses l'image inverse de Si, si C(C[…]) la démonstration est traversée de trois longs traits obliques ; les signes \(\succcurlyeq\) du schéma sont écrits verticalement