Fonds Grothendieck, cote n° 156-4, pages 61–80

~~Soit~~ Ainsi, les systèmes (\mathfrak{F}, \leq) satisfaisant C1, C2, C3 et tels que toute F \in \mathfrak{F} soit « finie » (i.e. l'ens. \mathfrak{F}_{\leq F} des sous-figures est fini, ou encore, l'ens. \mathcal{M}_{\leq F} = F de ses strates est fini) équivalent à : (\mathcal{M}, \leq, R) où \leq relation d'ordre, R relation réfl. et sym., satisfaisant

a)les \mathcal{M}_{\leq X} finis (X \in \mathcal{M}) b)si (X,Y) \in R et X' \leq X, Y' \leq Y, on a (X',Y') \in R ;

où les figures sont parties A les parties fermées, finies de \mathcal{M}, telles que X, Y \in A, on ait (X,Y) \in R. les conditions C1, C2, C3 sont celles des pages précédentes (page 58 pour C3) ; une longue note oblique, écrite en travers du bas de cet alinéa et tachée d'encre, n'est lue qu'en fragments (« la relation de compatibilité les strates En fait, ») ; au-dessus de « fermées » un mot inséré n'est pas lu

Composantes connexes Une figure est connexe si (avec F', F'' disjointes i.e. F' \cap F'' = \emptyset) F = F' \cup F'' \Longrightarrow F' = F \ \text{ou}\ F'' = F . les seconds membres F sont écrits en surcharge sur d'autres lettres NB F connexe Une figure est dite 0-connexe si elle est connexe et \neq \emptyset_{\mathfrak{F}}. Une sous-figure F_0 de F est dite composante connexe de F si elle est 0-connexe et F = F_0 \amalg G, G F_1 disjoint de F_0.

b) ~~F_0 est une composante~~

~~Lemme~~ NB Soit F = F' \amalg F'', ~~avec F' \cap F'' = \emptyset~~, et soit G une sous-figure connexe de G. Alors G est contenue dans F' ou F''. « de G » pour « de F » sur la page

On a F = F' \amalg F'' chaque figure disjointe F', F'' (NB si ) note oblique de la marge gauche, en bas de page, lue en partie seulement

En effet, G = G' \amalg G'' avec G' \subset F', G'' \subset F'' ~~G' et G'' disjoints~~ (cf. p. 57) donc on a G' = G ou G'' = G, donc G \subset F' ou G \subset F'' cqfd.

Corollaire 1 ~~Deux~~ Soient F_0, F_1 deux comp. connexes de F. Alors ou F_0 = F_1, ou F_0 et F_1 sont disjoints, et dans ce cas F = F_0 \amalg F_1 ~~\amalg H~~. « Corollaire 1 » est souligné et une accolade verticale borde l'énoncé à gauche

On écrit F = F_0 \amalg G, et on que G

Corollaire 2 Soit (F_i)_{i \in I} une famille de composantes connexes deux à deux distinctes. Alors ~~F_0 \amalg F_1~~ figures par les F_i est réunion disjointe \coprod F_i \subset F, et si la famille est finie (p. ex. F ~~fini~~ figure finie) alors F = \Bigl(\coprod F_i\Bigr) \amalg H .

Je n'ai pas pu déduire que figure soit comp. connexes, ~~Mais des , et pour les des sous-figures « »~~ figures finies. Les le Corollaire 2 et l'alinéa qui le suit sont barrés de cinq longs traits obliques

Proposition Soit F une figure, A = \overline{F} \subset \mathcal{M} l'ens. de ses strates. ~~Alors l'application~~ Pour qu'une sous-figure ~~F_0~~ F_0 de F soit une comp. conn. de F, il faut et il suffit que \overline{F_0} soit une composante connexe de l'ens. ordonné A (pour l'ordre induit par \leq). On trouve ainsi une corr. biunivoque entre l'ens. des composantes

de F, et celles de A. De plus, F est somme directe disjointe de ses comp. connexes, i.e. F = \operatorname{Sup}_i F_i, les comp. connexes F_i deux à deux disjointes… NB C3 note oblique de la marge gauche, en haut de page, lue en fragments

Composantes connexes de la contrée \mathfrak{F}

Soit \mathcal{M} = \coprod_{i \in I} \mathcal{M}_i la décomposition de \mathcal{M} en composantes connexes. Pour toute figure F, posons F_i = \operatorname{Sup}_{X \in \mathcal{M}_i \cap \mathcal{M}_{\leq F}} X . Alors F est la somme directe des F_i, si F est de t.f. (ou I = \pi_0(\mathcal{M}) fini!) alors tous les F_i sauf un nb fini \emptyset. les composantes F_i de F sur \mathcal{M}_i note oblique de la marge gauche, lue en partie seulement

~~Inversement~~ Soit \mathfrak{F}_i l'ens. des F \in \mathfrak{F} telles que F \subset \mathcal{M}_i. Alors \mathfrak{F}_i satisfait les conditions C1, C2, (et C3 aussi, si \mathfrak{F} y satisfait), et \mathcal{M}_i est l'ens. de ses objets irréductibles. ~~L'application~~ Si F \in \mathfrak{F}, si F_i sont ses composantes suivant les \mathcal{M}_i, ~~\mathfrak{F} \to \prod \mathfrak{F}_i F \mapsto (F_i)_{i \in I} F_i~~ alors \overline{F_i} = \overline{F} \cap \mathcal{M}_i , \qquad \overline{F} = \bigcup \overline{F_i} \quad (\text{réunion disj.}) . Pour i fixé, l'application \mathfrak{F} \to \mathfrak{F}_i commute aux Sup quelc. et aux Inf non vides. L'application \mathfrak{F} \to \prod \mathfrak{F}_i , \qquad F \mapsto (F_i) est injective, et la relation d'ordre de \mathfrak{F} est induite par l'ordre produit

Inversement, donnons-nous, ~~F_i \in~~ \forall i \in I, un F_i \in \mathfrak{F}_i, pouvons-nous affirmer qu'il existe F \in \mathfrak{F} telle que \forall i, F_i soit la i-composante de F ?

Déjà, il le faut sûrement pour tous les F_i sauf un nb fini soient ~~\emptyset~~ vides. Donc on supposera donc

C4 Si X, Y \in \mathcal{M} appartiennent à deux comp. connexes disjointes de \mathcal{M}, alors X et Y sont compatibles.

C'est nécessaire et suffisant pour la des

~~Cor~~

Corollaire 1 L'image de \mathfrak{F} \to \prod \mathfrak{F}_i contient les (F_i)_{i \in I} tels que F_i = \emptyset sauf pour un nb fini d'i.

Cor. 2 ~~Donc~~ \mathfrak{F} \to \prod \mathfrak{F}_i est une bijection dans les ~~deux~~ cas où I est fini ~~suivants : a) I est fini ; b) toute figure est de t.f. alors~~ « Cor. 2 » est écrit dans un cadre tracé à l'intérieur du Corollaire 1

Cor 3 Supposons que les figures \in \mathfrak{F} soient de t.f. (resp. finies) . Alors il en est de même pour \mathfrak{F}_i, de plus \mathfrak{F} \to \prod \mathfrak{F}_i a comme image l'ens. des (F_i) tels que F_i soit \emptyset pour presque tout i.

Ceci résulte de ~~C4 et~~ cor. 1 et du

Lemme Pour que F soit de t.f. (resp. fini) il faut et il suffit que a) les F_i le soient et b) tous les F_i sauf un nb fini soient \emptyset.

Notations \pi_0(F) (NB si F \leq G on a \pi_0(F) \to \pi_0(G) , et transitivité), \pi_0(\mathcal{M}), \pi_0^{\cdot}(\mathfrak{F}). (Attention, le \pi_0^{\cdot}(\mathfrak{F}) n'est pas le \pi_0(\mathfrak{F}, \leq), mais le \pi_0 en tenant compte des « Sup ».) Si \mathcal{C} = (\mathfrak{F}, \leq, \ldots), on peut aussi écrire \pi_0(\mathcal{C}). l'exposant de \pi_0(\mathfrak{F}), un point surmonté d'un signe biffé puis d'un « d » à sa seconde occurrence, est douteux ; sous \mathcal{C} il écrit « contrée », le troisième terme du triplet, rendu ici « \ldots », est un signe biffé non lu, sous lequel deux lignes ne se lisent qu'en partie (« vues ici »)

Axiome renforcé

C4 bis Pour tout (F_i)_i \in \prod \mathfrak{F}_i, \exists\, F \in \mathfrak{F} telle que F|\mathcal{M}_i = F_i pour i \in I.

Contrée résiduelle Support et complément

Soit \Phi \subset \mathfrak{F} H_i un ens. de figures. ~~On posera~~ Soit F une figure. Pour ~~Compl. \Phi~~ que F soit disjointe de tous les H_i, il faut et il suffit que ce soit le cas pour toutes les strates de F (cf. conséquence de C3). ~~Posons~~ Posons

\begin{align*} \mathfrak{F}' &= \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(\Phi) = \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid F \ \text{disjoint des}\ H_i \in \Phi \rbrace \quad (\subset \mathfrak{F}) \\ \mathcal{M}' &= \operatorname{cosupp}_{\mathcal{M}}(\Phi) = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \ \text{disjoint des}\ H_i \in \Phi \rbrace \\ &= \mathcal{M} \cap \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(\Phi) \subset \mathcal{M} \end{align*}

~~Donc , pour F \in \mathfrak{F}, posant \mathfrak{F}' = \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(\Phi), \mathcal{M}' = \mathfrak{F}' \cap \mathcal{M} = \operatorname{cosupp}_{\mathcal{M}}(\mathfrak{F})~~ ~~\Phi~~ ~~F \in \operatorname{cosupp}~~

Donc pour F \in \mathfrak{F} \left\lbrace \begin{array}{l} F \in \mathfrak{F}' \Longleftrightarrow \overline{F} \subset \mathcal{M}' \\ \mathcal{M}' = \mathfrak{F}' \cap \mathcal{M} \end{array} \right. ainsi, \mathcal{M}' et \mathfrak{F}' se déterminent mutuellement NB \mathfrak{F}', \mathcal{M}' sont des parties fermées de \mathfrak{F}, \mathcal{M}. \mathfrak{F}' (stables par sup.) la première note est en marge gauche, avec une flèche vers l'accolade ; la seconde en marge droite

Soit d'autre part \begin{align*} \mathfrak{F}'' &= \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(\mathfrak{F}') \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{supp}_{\mathfrak{F}}(\Phi) \\ \mathcal{M}'' &= \operatorname{cosupp}_{\mathcal{M}}(\mathfrak{F}') \overset{\text{déf}}{=} \operatorname{supp}_{\mathcal{M}}(\Phi) \end{align*} On a donc \mathfrak{F}'' \supset \Phi, \mathfrak{F}'' stable par Sup. ~~\Phi~~ et par passage aux sous-figures. Soit \overline{\Phi} = \bigcup_{H_i \in \Phi} \overline{H_i}, alors \begin{align*} \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(\Phi) &= \operatorname{cosupp}_{\mathfrak{F}}(\mathcal{M}_{\overline{\Phi}}) \\ \operatorname{cosupp}_{\mathcal{M}}(\Phi) &= \lbrace X \in \mathcal{M} \mid X \ \text{disjoint de tt}\ Y \in \mathcal{M}_{\overline{\Phi}} \rbrace \end{align*} donc on est ramené à des constructions dans \mathcal{M}. § « passage aux sous-figures » : lecture probable d'une fin de ligne écrite vite

Partie saturée de \mathfrak{F} ~~\mathfrak{F}_0~~ : égale au cosupport (p.r. à \mathfrak{F}) de son cosupport. Partie saturée \mathcal{M}_0 de \mathcal{M} : égale au cosupport de son cosupport (dans \mathcal{M}). Elles se correspondent mutuellement par \mathcal{M}_0 = \mathfrak{F}_0 \cap \mathcal{M} , \qquad \mathfrak{F}_0 = \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid F \subset \mathcal{M}_0 \rbrace .

~~On a une notion de~~

Toute partie de \mathfrak{F} (resp. \mathcal{M}) est contenue dans une partie saturée minimale (parmi celles la contenant), qui ~~s'appelle le~~ n'est autre que le cosupport du cosupport, et s'appelle aussi son support. Les parties saturées sont celles qui sont égales au support, ou au cosupport, d'une partie. L'application cosupp définit une bijection de l'ens. des parties saturées sur , renversant la relation d'inclusion.

On désigne par \Sigma l'ens. des supports virtuels, ou parties saturées \mathcal{M}_0 de \mathcal{M}, ou de \mathfrak{F}_0 de \mathcal{M}.

~~L'application de cosupport d~~

On \Sigma à un (comme partie de \mathfrak{P}(\mathcal{M}), ou de \mathfrak{P}(\mathfrak{F})) et on écrit, pour \sigma \in \Sigma, \mathcal{M}_\sigma \subset \mathcal{M}, \qquad \mathfrak{F}_\sigma \subset \mathfrak{F} . Dans \Sigma, ~~pour~~ la notion de cosupport est une anti d'ens. ordonnés. Dans \Sigma, on a des Inf quelconques (c'est l'intersection des parties de \mathcal{M}, ou de \mathfrak{F}), et des Sup quelconques (c'est la partie saturée « \mathfrak{F}_0 de \mathcal{M} » : lire « de \mathfrak{F} » ; la lettre finale est surchargée

engendrée par la réunion). Je ~~dis~~ présume qu'on a en fait une algèbre de Boole (« ultra-stonienne », à cause des Sup quelc.)

~~Il faudra y revenir~~ les supports s'identifient aux et espace, qui serait un espace discontinu ultra-stonien. correspondant au passage l'inclusion

la construction \Sigma en que l'ens. ordonné \mathcal{M} et de la relation R de compatibilité (sans connaître toutes les parties \Phi de \mathcal{M}, correspondant aux figures). En effet, en termes de (\mathcal{M}, \leq, R), le cosupport d'une partie \mathcal{M}' de \mathcal{M} est défini par \operatorname{cosupp}_{\mathcal{M}}(\mathcal{M}') = \lbrace X \in \mathcal{M} \mid (X, X') \in R \ \forall X' \in \mathcal{M}' \rbrace la longue note oblique de la marge gauche, qui court sur toute la hauteur de la page, n'est lue qu'en fragments (« ensembliste les exemples \Sigma », avec les lettres P, Q, R) ; la relation écrite dans la formule est bien R, la compatibilité, et non la disjonction

Ex des supports : parties saturées de \mathcal{M} : comp. conn. de \mathcal{M} (utiliser C4). écrit en oblique au bas de la page, séparé du reste par un trait

J'en viens à la rel. d'ordre \preccurlyeq (subdivision) de nature très différente. Il n'y a pas de plus petit (ni de plus grand) élément, pas de Sup de deux F', F'' ~~\preccurlyeq~~ toujours (i.e. subdivisions d'une même figure F), mais parfois un inf. le signe de la subdivision, un \leq dont les traits sont incurvés, est rendu \preccurlyeq dans toute la suite

On dit que deux subdivisions F', F'' de F sont compatibles ~~quand et que seulement~~ (je ne dirai pas « compatibles », car le terme est déjà pris) si elles admettent une subdivision commune. le mot souligné est surchargé, et la parenthèse qui suit dit qu'il ne s'agit pas de « compatibles » : la lecture est à reprendre sur la page On sera amené à les contrées modérées ! F''' \preccurlyeq F' \preccurlyeq F, F''' \preccurlyeq F'' \preccurlyeq note oblique de la marge gauche, avec un petit schéma de subdivisions emboîtées dont le second terme de la seconde ligne n'est pas écrit

On dit que la contrée est modérée si deux subdivisions de F sont toujours comparables. ~~Dans le cas général,~~

Je ne saurais donner aucune propriété particulière de \preccurlyeq ~~tout~~ seule. Les propriétés que j'ai en vue concernent les relations avec \leq.

C5 Soit F' \preccurlyeq F. Alors pour toute figure G, G est disjointe de F ssi elle est disjointe de F'. [NB Il suffit de le poser pour G = X \in \mathcal{M}, à cause de C3] après C6, C7, des disjonctions double trait vertical en marge de C5

son numéro de page, 70, est écrit en surcharge sur un autre chiffre Il revient au même de dire que F et F' ont même cosupport, ou encore, même support. Donc un support.

Une autre façon de dire (que F, G disj. \Longrightarrow F', G disj.) est ainsi :

Corollaire Le cosupport de dans \mathfrak{F} tout objet G de \mathfrak{F} est fermé, non seulement pour \leq, mais aussi pour \preccurlyeq — c'est donc une sous-contrée. Donc itou pour toute partie \Phi \subset \mathfrak{F}. En d'autres termes, toute partie de \mathfrak{F} qui est un \mathfrak{F}-support (ou « \mathfrak{F}-saturée », sous-entendu : en termes de \leq, cf p. 67) est automatiquement une sous-contrée.

un ensemble, et \Phi un ens. de parties de \mathcal{M}, satisfaisant à la condition précédente (). Alors \Phi, muni de la relation d'inclusion satisfait C1, et ses objets irréductibles sont les A_X (X \in \mathcal{M}), l'application X \mapsto A_X étant une bijection de \mathcal{M} sur l'ens. des objets irréductibles de \Phi. Dém. A_X est irréductible, car si A_X = \bigcup_{i \in I} A_i la moitié inférieure de la feuille porte, écrit tête-bêche et séparé du haut par un trait, un début de page numéroté « 55 » (chiffre surchargé), barré de longs traits obliques : c'est le texte donné ici entre les marques de biffure

Par la suite, il faut faire attention si les axiomes passent aux sous-contrées. Introduisons quand même la définition en forme []

Définition 1 On appelle sous-contrée de la contrée \mathcal{C} = (\mathfrak{F}, \leq, \preccurlyeq), ~~tout~~ sous-ens. qui satisfait les conditions

a)fermé pour \leq, et stable par sup quelc. pour \leq [et à ce titre, s'en correspond, par \mathfrak{F}' \mapsto \mathfrak{F}' \cap \mathcal{M}, aux parties fermées \mathcal{M}' de \mathcal{M}, par \mathcal{M}' \mapsto \mathfrak{F}' = \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid F \subset \mathcal{M}' \rbrace]. b)fermé pour \preccurlyeq (ce qui impose une restriction aux parties envisagées \mathcal{M}' de \mathcal{M}, plus bas) ~~si X \in F~~

il faudra des () (c) Pour F' \preccurlyeq F subd. fixée, l'application G \mapsto G', sous-fig. de F \to sous-fig. de F', aux Sup (pour \leq) i.e. au-dessus de la biffure de b) sont insérés deux mots, « qui ne » et un mot souligné non lu ; le « (c) », entouré, est en marge droite, d'où une flèche descend vers l'énoncé C6

C6 Soit F' \preccurlyeq F, G \leq F dans \mathfrak{F}.

(a) Alors il existe un unique H \in \mathfrak{F} : F' \preccurlyeq F , \quad G' \preccurlyeq G , \qquad G' \leq F' , \quad G \leq F (b) et les strates de G' sont les strates X' de F' telles que X' \ll G. les lettres (a) et (b) sont entourées ; sur la page, les relations sont disposées en carré, F' \preccurlyeq F au-dessus de G' \preccurlyeq G, avec des signes \leq verticaux ; l'énoncé nomme H la figure que le carré appelle G' ; (b) est bordé d'un double trait, et sous « X' \ll G » une ligne ajoutée n'est lue qu'en partie (« complètement ») ; un trait vertical borde C6 à gauche symétrie \leq, \preccurlyeq sur la sous-figure G de F

On dit que G' est la subd. de G induite par la subd. F' de F, que G' est la ~~sous-fig.~~

sous-figure de la subdivision F' de F, induite par la sous-figure G de F. note oblique de la marge gauche, en haut de page, non lue

C7_0 Pour toute figure F, sous-figure G, et subdivision G' de G, il existe une subdivision F' de F qui induise G'.

(mais l'énoncé symétrique, où on échangerait les rôles de \leq et \preccurlyeq, est faux : il n'est pas vrai, pour F' \preccurlyeq F donnés, que ttes sous-figures G' de F' soient induites par une ss-figure G de F).

On ~~peut~~ renforcer un peu C7_0 en C7, en prenant un choix canonique de F'.

Soient F, G deux figures. Considérons les conditions ~~équivalentes~~ :

a)G est une sous-figure d'une subd. de F : G \leq F' \preccurlyeq F b)G est une subdivision d'une sous-figure de F : G \preccurlyeq G' \leq F.

On a alors b) \Rightarrow a) (Mais pas nécess. a \Rightarrow b !!!)

~~a) \Rightarrow b) résulte de C6~~

b) \Rightarrow a) résulte de C7_0. ce dernier alinéa, depuis « Soient F, G », est traversé de deux longs traits obliques ; en marge droite un petit schéma : F et F' reliés par un signe de subdivision barré, G \leq F au-dessous, et G' sous F' relié par des pointillés à G ; le mot barré qui précède « Soient » est illisible (on devine « Corollaire »), et le mot souligné ajouté dessous est « considérons »

~~Corollaire 2~~

Définition On dit que G raffine F ou est un raffinement de F ~~. On écrit~~ si \exists\, F' avec ~~G \ll F~~ G \leq F' \preccurlyeq F. On écrit G \ll F. au-dessus de « raffine F » une insertion biffée n'est pas lue ; il écrit le signe du raffinement à deux chevrons, parfois à trois (ici même, et page 73 dans « Transitivité ») ; il est rendu partout \ll, comme au lot 5

Corollaire La relation G \ll F est une relation d'ordre (impliquée par G \leq F et par G \preccurlyeq F). Utilise C6, ni C5 ni C7.

Transitivité : Soit F \ll G \ll H, donc \begin{array}{ccc} H & \succcurlyeq & H' \\ & & \geq \\ G & \succcurlyeq & G' \\ \geq & & \\ F & & \end{array} \qquad \text{on complète par C6} \qquad \begin{array}{ccccc} H & \succcurlyeq & H' & & \\ \geq & & \geq & & \\ \overline{H} & \succcurlyeq & G & \succcurlyeq & G' \\ \geq & & \geq & & \geq \\ K & \succcurlyeq & \overline{G} & \succcurlyeq & F \end{array} \quad (*) les deux schémas sont des carrés de relations, les signes \geq étant écrits verticalement ; le premier est lu d'après sa disposition (« H \succcurlyeq H' », « G \succcurlyeq G' », F sous G'), le second a des points aux sommets complétés ; au-dessus, une première esquisse du même schéma est biffée de longs traits obliques

et , on a F \preccurlyeq K \leq H.

Supposons maintenant que F = H i.e. F \ll G et G \ll F, prouvons F = G. On trouve F \preccurlyeq K \leq \underset{\overset{\shortparallel}{H}}{F} on va en déduire K = F et comme K \leq \overline{H} \leq F, il en résultera \overline{H} = F ~~et donc (comme F \preccurlyeq \overline{G} \leq K) \overline{G} = F~~ donc G \preccurlyeq F. De façon symétrique on aura F \preccurlyeq G, d'où F = G. Donc il reste à prouver le

Lemme Soient F, K \in \mathfrak{F} avec F \preccurlyeq K \leq F. Alors K = F (i.e. si F est une subdivision d'une sous-figure K, alors F = K)

Cela résulte du Corollaire qui suit et de C5

Corollaire (Propriété de la relation \leq !) Soient F une figure, K une sous-figure telle que K \neq F. Alors il existe une figure G (une multistrate, si on veut) qui est ~~donc~~ disjointe de K, mais non de F. En d'autres termes, \operatorname{supp} K \neq \operatorname{supp} F.

Ça n'est pas « formel » en termes des axiomes C1 à C4 sur (\mathfrak{F}, \leq). Supposons p.ex. que \mathfrak{F} admette un plus grand élément, donc il est défini comme l'ens. de toutes les parties fermées de l'ens. ordonné \mathcal{M}, et « disjoint » signifie ici A \cap B = \emptyset sans plus (la relation de compatibilité R est la relation tjrs vraie). Mais si F est une partie fermée, K \subset F une sous-partie fermée \neq F, il n'est pas clair qu'on puisse trouver une partie fermée G telle que G \cap K = \emptyset, G \cap F \neq \emptyset. ~~Par ex.~~ Si \mathcal{M} a un plus petit élément 0, ~~p.ex. \mathcal{M} = [0, N], R avec l'ordre habituel, F = \mathcal{M}, K = [0, 1],~~ Alors pour toute partie fermée non vide, les G tels que F et G disjoints sont les G vides, donc ça ne change pas si on remplace F par K \in F, pourvu que K n'est pas vide

Dans ce cas, l'axiome C6 (pour une relation d'ordre quelconque \preccurlyeq sur \mathfrak{F} = \mathfrak{P}_f(\mathcal{M})) signifie seulement que si F' \preccurlyeq F, F' est vide ssi F l'est. Prenons p.ex. \preccurlyeq ~~égal à~~ la relation d'ordre discrète, ça OK. ~~C7_0 est tautologique~~ C6, C7 tautologiques. On voit donc qu'il manque un axiome, pour assurer la validité du corollaire. On désire que ce soit la de Cont 4 (p. 35), Cont 7 : pour l'instant sais pas utiliser que la relation \ll soit la propriété suivante, qu'il faudrait : Aussi cela résulte de C4 ( p. 47) « Cont 4 (p. 35) » renvoie au lot précédent (page 35) ; la note de la marge gauche est lue en partie seulement

Soient Y, X \in \mathcal{M}, si Y \ll X, et supposons que \nexists\, Y' \leq Y, Y' \in \partial X, Y \cap \partial X = Y' \leq Y, Y' \ll \partial X les Y' \leq Y (Y' \in \mathcal{M}) tels que Soient F figure, F' sous-figure, G \ll F, G' \leq G le raffinement de F' induit par G (cf plus bas). ~~supposons,~~ Alors G' = \emptyset ~~Alors~~ ssi G disjoint de F'. G tout ce passage est barré de longs traits obliques ; une partie en est encadrée à gauche

Il faut développer la notion de raffinement induit. J'ai envie de l'énoncé (quitte à rajouter des axiomes) :

Prop. Soit \begin{array}{ccc} G & \ll & F \\ & & \geq \\ & & F' \end{array} alors il existe une plus grande sous-figure F' de G, qui raffine F' (et qu'on appelle raffinement de F' induit par le raffinement G de F, ou la sous-figure de ~~G induite~~ raff. G de F, induite par la sous-figure F' de F). Les strates ~~tautologiques~~ sont les strates de G qui raffinent F'. ~~De plus, G et F~~ sous G, dans le premier schéma, un \geq et un G' sont biffés ; « une plus grande sous-figure F' de G » : lire G', comme le schéma suivant \begin{array}{ccc} G & \ll & F \\ \geq & & \geq \\ G' & \ll & F' \end{array} De plus, G' est un Inf de G et F' pour la relation \ll, en d'autres termes, si ~~G est~~ K est une figure telle que K \ll G et K \ll F', alors K \ll G'. Dire (on posera) que G' = \emptyset \Longleftrightarrow G disjoint de F' (seul \Longrightarrow non évident…) ~~\exists\, G telle que~~

~~Dém.~~ Soit H une sous-figure telle que H \ll F', donc pour ttes strates X \leq H, on a X \ll F', donc si on désigne par G' la sous-figure de G engendrée par les strates Y \leq G telles que Y \ll H, alors H \leq G puisque H = \operatorname*{Sup}_{\substack{X \in \mathcal{M} \\ X \leq H}} X \leq \operatorname*{Sup}_{\substack{X \in \mathcal{M} \\ X \in G'}} X = G' . D'autre part, G' \ll la démonstration est barrée de longs traits obliques ; « Y \ll H » et « H \leq G » sont tels sur la page, là où l'on attend F' et G'

On a par définition de \ll G \leq \overline{F} \preccurlyeq F G sous-figure d'une subd. \overline{F} de F et on va appliquer C6 \begin{array}{ccccc} G & \leq & \overline{F} & \preccurlyeq & F \\ \geq & & \geq & & \geq \\ G' & \leq & \overline{F}' & \preccurlyeq & F' \\ \shortparallel & & & & \\ G \cap \overline{F}' & & & & \end{array}

Prouvons que G' est un inf pour \ll.

Soit K telle que K \ll G, K \ll F'. On doit prouver K \ll G'. Pour ceci, on doit prouver d'abord K \ll \overline{F}', et on est ramené aux deux cas particuliers où soit G \preccurlyeq F, soit G \leq F.

Lemme 1 Soit \begin{array}{ccc} G & \preccurlyeq & F \\ \geq & & \geq \\ G' & \preccurlyeq & F' \end{array} \qquad (\text{cf C6}) et soit K tel que K \ll G et K \ll F', alors K \ll G'.

En effet, par ~~déf.~~ on a K \leq \overline{G} \preccurlyeq G \begin{array}{ccccccc} K & \leq & \overline{G} & \preccurlyeq & G & \preccurlyeq & F \\ & & \geq & & \geq & & \geq \\ & & \overline{G}' & \preccurlyeq & G' & \preccurlyeq & F' \end{array} pour prouver K \ll G', il suffit de prouver K \leq \overline{G}'. ~~X \in \mathcal{M}, \forall X \in G~~ que pour X \in \mathcal{M}, X \leq K \Longrightarrow X \leq \overline{G}', or cela résulte de C6, (b) appliqué à : \begin{array}{ccc} \overline{G} & \preccurlyeq & F \\ \geq & & \geq \\ \overline{G}' & \preccurlyeq & F' \end{array} sous « X \leq K » il ajoute : « donc X \leq \overline{G}, X \ll F' » ; dans les schémas de cette page les signes \geq sont écrits verticalement entre les lignes

Lemme 2 Soit \begin{array}{ccc} G & \leq & F \\ \geq & & \geq \\ G' & \leq & F' \\ \shortparallel & & \\ G \cap F' & & \end{array} et soit K tel que K \ll G et K \ll F', alors K \ll G'.

On écrit encore K \leq \overline{G} \preccurlyeq G, et …

J'abandonne ici ! Il mieux se reporter page 51.

NB F' \mapsto G', sous-fig F \to sous-fig G, commute aux Sup_{\leq} quelc., et aux Infs_{\leq} quelconques… le NB, souligné deux fois, est en marge droite, séparé du texte par un triple trait vertical

~~Soit F une figure~~

~~C 8 Soit F une figure, et X une multistrate telle que X \ll F (i.e. X \leq F' \preccurlyeq F). Alors \exists\, Y de F, telle que X \ll Y.~~ C8 est barré de longs traits obliques ; sous « C 8 » un mot biffé n'est pas lu

Proposition Soient F une figure, X \in \mathcal{M}, tels que X \ll F.

a)~~Alors,~~ \exists\, Y \in \mathcal{M}, Y \leq F tel que X \ll Y b)Parmi les Y satisfaisant cette condition, il y a un plus petit élément, ~~caractérisé par~~ caractérisé par la propriété que la sous-figure de X induite par Y est \neq X.

Démonstration F = \operatorname{Sup}_{Y_i \in \overline{F}} Y_i, donc X (par C6 (c)) X = \operatorname{Sup}_i G_i où G_i est la ss-fig. de X induite par les Y_i, donc \exists\, i tel que X \in G_i, donc X \ll Y_i.

Parmi les Y \in \overline{F} tels que X \ll Y, choisissons un élément minimal (cela existe, si on admet que la dim. combinatoire des figures irréd. (i.e. multistrates) est finie — on y reviendra plus tard encore…)

Dire que Y est minimal signifie que pour Y' ~~multistrate~~ de Y, on n'a pas X \ll Y' i.e. X \neq F_{Y'}, sous-figure de X induite par Y'. Mais cela signifie que \partial Y = \operatorname*{Sup}_{\substack{Y' \in \mathcal{M} \\ Y' \leq Y}} Y' est par l'image de \partial Y différent de X (appliquer C6 (c)). sous le Sup, une première condition sur Y' est biffée

Si Si maintenant Y' \in \overline{F} tel que X \ll Y', prouvons que X Y \leq Y'. On En effet l'image inverse F_{Y'} = X, or \underset{\overset{\shortparallel}{X}}{F_Y} \cap \underset{\overset{\shortparallel}{X}}{F_{Y'}} = F_{Y \cap Y'} à cause des propriétés « fonctorielles » des Inf pour \ll, donc F_{Y \cap Y'} = X, i.e. X se factorise par Y \cap Y' donc par un Z \leq Y \cap Y' \leq Y, et donc Z = Y (condition minimale) et par suite Y = Y', !

Corollaire Soient F, G avec F \ll G. Pour tout X \in \overline{F}, soit \varphi(X) \in \overline{G} la plus petite ~~multi~~strate Y de G telle que ~~\varphi(X) \ll~~ X \ll Y. L'application \varphi : \overline{F} \to \overline{G} ainsi obtenue est croissante (trivial).

Jusqu'à maintenant, les axiomes C5, C6, C7 pour \preccurlyeq sont tautologiques dans \leq si on prend pour \preccurlyeq de figures, l'égalité. Il serait temps d'en venir à des propriétés ~~telles que~~ plus spécifiques ! les insertions au-dessus de la ligne sont reliées au texte par une longue accolade et ne se lisent qu'en partie

14 juin

date de sa main, « 14 juin », soulignée, en marge gauche de l'alinéa qui suit

~~Proposition~~ Corollaire de prop. p. 78 Je vais poser \widetilde{F} ald \overline{F} pour l'ens. des X \in \mathcal{M} tels que X \ll F (pour éviter confusion avec notion d'adhérence — Cf l'ancien C4 p. 47) « ald » : « au lieu de » ; le numéro de page du renvoi « p. 78 » est surchargé ; « Cf l'ancien C4 p. 47) », souligné, est écrit sous l'insertion, au niveau du titre

Soient G' \preccurlyeq G \preccurlyeq F alors \widetilde{G}' \cap \widetilde{F} \subset \widetilde{G} (donc \widetilde{G}' \cap \widetilde{F} = \widetilde{G}' \cap \widetilde{G}).les deux signes de G' \preccurlyeq G \preccurlyeq F sont repassés à l'encre ; lus comme le signe de la subdivision, comme au lot 5, mais le premier pourrait être un \leq transformé En d'autres termes, toute (multi) strate de X qui raffine la sous-figure G de F (multi) strates de F est strate de G.

~~Soit X strate de G' qui est strate de F~~

Dém. X est une strate d'un raffinement \overline{F} de F induit par un raffinement \overline{G} de G, \begin{array}{ccccc} G & \leq & F & \geq & X \\ \succcurlyeq & & \succcurlyeq & & \\ \overline{G} & \leq & \overline{F} & & \\ \geq & & & & \\ X & & & & \end{array} Supposons X \leq F, ~~considérons les images inverses~~ l'image inverse de Si, si C(C) la démonstration est traversée de trois longs traits obliques ; les signes \succcurlyeq du schéma sont écrits verticalement