Cote n° 156-4, pages 41–60

Cote n° 156-4 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · [Chapitre] IV. Analysis situs (première mouture) : notes manuscrites (10/06/1986)
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-03.fr.xml

41Prop. Soit \(F'\) un raffinement de \(F\). Conditions équivalentes :

a)\(F'\) est une subdivision
b)Il n'existe pas de \(X \in \mathcal{M}\) qui raffine \(F\), et disjoint de \(F'\)
c)Il n'existe pas […] \(\widetilde{F}' = \widetilde{F}\), i.e., […] il n'existe pas de lieu dans \(F\) Il n'existe pas de lieu dans l'ombre \(\widetilde{F}\), qui soit disjoint de \(F'\) (avec Cont 6) i.e. \(\forall x \in \widetilde{F} \smallsetminus \widetilde{F}'\), \(\exists\, y \in \widetilde{F}'\) tel que \(x\) et \(y\) non compatibles, ou (positivement) : si \(x \in \widetilde{F}\) est compatible à […] tout élément de \(\widetilde{F}'\), il est dans \(\widetilde{F}'\).

la condition c) est d'abord commencée puis barrée sur deux lignes ; « (avec Cont 6) » est ajouté au-dessus de la ligne, en fin de ligne

Dém. a \(\Rightarrow\) b, car si \(X \in \mathcal{M}\) raffine \(F\) et est disjoint de \(F'\), alors la figure \(F \cup F_X\) est un raffinement de \(F\), strictement plus grand que \(F'\). on attend \(F' \cup F_X\) ; la page porte \(F \cup F_X\)

b) \(\Rightarrow\) c) tautologique

c) \(\Rightarrow\) a) Soit […], \(F' \subset F'' \lll F\), et soit \(X \in F''\), tel que \(X \notin F'\), et soit \(x \in \widetilde{X}^{\circ}\). Alors \(x \in \widetilde{F} \smallsetminus \widetilde{F}'\), et […] je dis que \(x\) est compatible à \(F'\) donc c) n'est pas vérifié. à vérifier « à vérifier » est écrit en marge gauche, avec une parenthèse qui embrasse les deux dernières lignes

Mais on a utilisé que \(x\) est compatible à \(F'\), il faut un axiome pour l'assurer.

Cont 7 Soient \(X, Y \in \mathcal{M}\), ⌜\(X\) et \(Y\) compatibles (donc \(\widetilde{X}^{\circ} \cap \widetilde{Y}^{\circ} = \emptyset\))⌝, \(X \neq Y\). Alors tout \(x \in \widetilde{X}^{\circ}\) est disjoint de tout \(y \in \widetilde{Y}^{\circ}\) (ou, ce qui revient au même par Cont 6, […] tout \(x \in X^{\circ}\) est disjoint de \(Y\)) triple trait vertical en marge de Cont 7 ; l'insertion est écrite au-dessus de la ligne et reliée au texte par un trait

Cor. 1 Soient \(F\) une figure, \(F'\) une sous-figure et \(X \in F \smallsetminus F'\). Alors \(\forall x \in X^{\circ}\) est ⌜disjoint⌝ compatible de \(F'\). « disjoint » est écrit au-dessus de « compatible » biffé ; lecture douteuse

42Cor. 2 Soit \(F\) une figure. Deux lieux dans l'ombre de \(F\), qui appartiennent à des ombres ouvertes de strates distinctes, sont disjoints. deux lignes barrées en tête de page, qui recommencent un « Cor. 2 » ; le numéro « 42 » est écrit au milieu de la première

Soient \(F\) une figure, \(X \in \mathcal{M}\) un \(F'\) un raffinement raffinement de \(F\) de \(F\). Je veux définir une application \[F' \to F\] en associant : \(\forall X' \in F'\) (l'unique) \(X \in F\) tel que \[\widetilde{X}'^{\circ} \subset \widetilde{X}^{\circ}\] (ou encore le plus petit \(X \in F\) tel que \(\widetilde{X}'^{\circ} \subset \widetilde{X}\)). Savons-nous déjà qu'un tel \(X\) existe, i.e. que la relation d'équivalence […] sur l'ombre de \(F'\), est plus fine que celle induite par l'ombre de \(F\) ? Soit \(X\) un élément de \(F\) minimal, parmi ceux satisfaisant \[X' \ll X\] (existe, à cause de l'axiome des lieux), savons-nous dès lors \(\widetilde{X}'^{\circ} \subset \widetilde{X}^{\circ}\) ? Évid On sait que \(\widetilde{X}' \subset \widetilde{X}\) donc si \(x \in \widetilde{X}'^{\circ} \subset \widetilde{X}'\), i.e. \(x \in \widetilde{Y}^{\circ} \subset \widetilde{Y}\) pour \(Y \leq X\), on veut prouver que \(Y = X\). Il semblerait qu'il manque quelque chose. « i.e. » sous \(\widetilde{X}'\) est ajouté sous la ligne ; le \(Y\) de \(\widetilde{Y}^{\circ}\) est écrit sur une autre lettre

43Relation avec raffinement induit Cont 8 Soient \(X\), \(Y\), \(X'\) dans \(\mathcal{M}\), \(Y \ll X\), \(X' < X\). Considérons l'ens. des \(Y' \in F_Y\) (i.e. \(Y' \leq Y\)) tels que \(Y' \ll X'\) :

\[\begin{array}{ccc} Y & \ll & X \\ \vee & & \vee \\ Y' & \ll & X' \end{array}\] les deux signes verticaux sont des \(\leq\) couchés : \(Y' \leq Y\), \(X' \leq X\)

(lesquels forment une sous-figure \(R_{X'}\) […] multistrate \(\in F_Y\), qu'on appelle raffinant \(X'\), et qu'on appellera le raffinement de \(X'\) induit par \(Y\) sur \(X'\)). Alors tout raffinement commun \(Z\) de \(Y\) et de \(X'\) raffine un des \(Y'\), i.e. raffine \(R_{X'}\). (Donc toute figure qui raffine à la fois \(F_Y\) et \(F_{X'}\), raffine \(R_{X'}\), qui est donc la bonne la borne inf. de \(F_Y\) et \(F_{X'}\) pour la relation \(\ll\)) En particulier, \[\widetilde{Y} \cap \widetilde{X}' = \bigcup_{Y' \in R_{X'}} \widetilde{Y}'\] la marge gauche porte, en oblique, trois mots de lecture douteuse ; la lettre \(R\) de \(R_{X'}\) est barrée d'un trait, comme dans tout ce passage

Cor […], Supposons que \(\nexists\, X_1 \in \mathcal{M}\), \(Y \ll X_1 < X\) (c'est la situation de […]). Alors \(\widetilde{Y}^{\circ} \subset \widetilde{X}^{\circ}\).

En effet, si \(x \in \widetilde{Y}^{\circ}\), s'il avait \(x \in \widetilde{X}'\) pour \(X' < X\), on aurait \(x \in \widetilde{Y}'\) avec \(Y' \in R_{X'}\), donc \(Y' = Y\) \(X\) par déf. de \(\widetilde{Y}^{\circ}\), donc \(Y \ll X' < X\), contradiction.

44Corollaire Si […] \(Y \ll X\), alors la relation toute ombre ouverte d'une […] ⌜strate […] \(Y\)⌝ est contenue dans l'ombre ouverte d'une strate de \(X\). Plus généralement et précisé, pour […] figure \(F\) et ⌜[…]⌝ raffinement \(F'\) de \(F\), […] […] de l'ombre ouverte d'une strate ouverte de \(F'\) est contenue dans une (unique) strate ouverte de \(F\). la phrase a été corrigée en cours d'écriture ; seule la ligne principale est lue

Cont 8 […] un titre biffé, suivi d'un grand trait oblique

Je viens de m'apercevoir que dans le cas des pseudo-disques, […] deux lieux disjoints ⌜\(x\), \(y\)⌝ de l'intérieur (lesquels définissent deux deux « raffinements » induits pseudo-disques), qu'il existe une « subdivision » des disques […] ils soient des ⌜de \(F\)⌝ noeuds. [NB. Les noeuds d'une figure ⌜\(F\)⌝ sont les multistrates ⌜de \(F\)⌝ réduites à un lieu, i.e. les éléments de \(F \cap \mathcal{L}\)] Donc […] il n'y a pas lieu de considérer \(\{x, y\}\) comme un […] « raffinement », ou qu'il ne définit pas une subdivision. Donc il est inapproprié « de \(F\) » est ajouté en marge gauche devant « réduites » ; au-dessus de « des » un second « de \(F\) » ; la construction de la première phrase est celle de la page

45de définir une figure \(F'\) comme raffinement de \(F\), si chaque \(X' \in F'\) est un raffinement d'un \(X \in F\). Donc il vaut mieux prendre comme notion primitive celle de subdivision d'une figure, (qui […] ; celle d'une multistrate), et définir un raffinement d'une figure comme une sous-figure d'une subdivision.

Donc, nouveau départ !

Une contrée \(C\) est définie par un triple \[(\mathcal{M}, \mathfrak{F}, \Sigma)\] où \(\mathcal{M}\) est un ens. (l'ens. des multistrates), \(\mathfrak{F}\) un ensemble de parties de \(\mathcal{M}\) ⌜dites figures⌝, (\(\mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\)), et \(\Sigma\) une relation sur \(\mathfrak{F}\) dite : \(F'\) subdivise \(F\). Axiomes ⌜[…] des éléments de \(\mathcal{M}\)⌝ Si \(F \in \mathfrak{F}\) les \(X \in F\) sont […] strates de \(F\)

C 1 Pour tout \(X \in \mathcal{M}\), \(\exists\) une ⌜[…]⌝ plus petite figure \(F_X\) telle que \(X \in F\). […] figure qui ⌜i.e.⌝ […] figure élémentaire définie par \(X\) ⌜si \(X \neq Y\), \(F_X \neq F_Y\)⌝. On écrit \[X \leq Y \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} F_X \subset F_Y \quad \text{i.e. } X \in F_Y\] et on trouve une relation d'ordre* \(\leq\) sur \(\mathcal{M}\). * On veut que ce soit une relation d'ordre […] C'1 \(\exists\, F \in \mathfrak{F}\) […] C 1 est marqué d'un double trait vertical en marge ; une insertion en petit, entre les lignes, porte « \(F_X \neq F_Y\) » et « \(X \neq Y\) » et n'est lue qu'en partie ; en marge gauche, en bas, un « C'1 » précédé de deux traits, dont le texte n'est lu qu'en fragments

46[…] \(F_X\)

[…] \(F\) est une figure, alors \(X \in F\) équivaut à : \(F_X \subset F\), qui implique que pour tout \(Y \in F_X\) (i.e. \(Y \leq X\)) on a \(F_Y \subset F\) i.e. \(Y \in F\). Ainsi, \(F\) est une partie de \(\mathcal{M}\) fermée pour \(\leq\). la marge gauche, en haut, porte une longue note oblique de six ou sept lignes, en partie biffée (elle commence par « Donc, \(\mathcal{M}\) s'identifie […] », et mentionne \(F_X\) et « relation d'ordre ») ; elle n'est lue qu'en fragments

On dit que deux figures ⌜\(F\), \(G\)⌝ sont compatibles si \(F \cup G\) est une figure, et que \(X, Y \in \mathcal{M}\) sont compatibles si \(F_X\), \(F_Y\) le sont.

C 2 Pour que \(F\) et \(G\) soient compatibles, il f. et s. que \(\forall X \in F\), \(Y \in G\), \(X\) et \(Y\) le soient. correspond à Fig 4 double trait vertical en marge ; le chiffre 2 est écrit sur un autre

Cor. […] pour que \(X, Y \in \mathcal{M}\) soient compatibles, il f. et s. qu'ils […] appartiennent à une figure

C 3 […]

C 3 Soit \(F\) une figure, alors toute partie de \(F\) fermée pour \(\leq\) est une figure (i.e. pour qu'une partie \(F'\) de \(F\) soit une figure, il f. et il suffit qu'elle soit fermée pour \(\leq\)). intersection double trait vertical en marge ; le chiffre 3 est écrit sur un autre ; la note marginale est reliée par une flèche à C 3, une autre flèche remonte vers C 2

(Sous-figures) Si \(\mathcal{M} \neq \emptyset\) cela implique que la partie vide de \(\mathcal{M}\) est une figure. Si \(\mathcal{M} = \emptyset\), cela implique que on aura \(\mathfrak{F} = \emptyset\) […] ou \(\mathfrak{F} = \{\emptyset\}\), et on suppose que c'est le deuxième cas : figure vide existe toujours Contrée vide si \(\mathcal{M} = \emptyset\)

47Définition Soient \(F\), \(G\) deux figures. On dit que \(G\) est un raffinement de \(F\), s'il existe une raffinement subdivision \(F'\) de \(F\), telle que \(G \subset F'\) ⌜sous-figure⌝. On écrit \(F \ll G\) le sens du signe de la note marginale est douteux ; aux pages 48 et 49 il écrit \(G \ll F\) pour « \(G\) raffine \(F\) »

On veut que ce soit une relation d'ordre, et pour ceci on va poser

C 4 Soient \(F\) une figure, \(G\) une sous-figure, ⌜(i.e. \(G\) figure et \(G \subset F\))⌝ \(G'\) une subdivision de \(G\). Alors il existe une subdivision \(F'\) de \(F\), ⌜\(G' \cup (F \smallsetminus G)\) est une⌝ subdivision ⌜de \(F\)⌝, et la réunion est disjointe (i.e. […] \[\boxed{G' \cap F \subset G}\] donc \(G' \cap F = G' \cap G\)) Corriger : \(\exists\) subdivision qui induit \(G'\) + la relation \(G' \cap F \subset G\) OK double trait vertical en marge de C 4 ; « \(G' \cup (F \smallsetminus G)\) est une » est écrit en gros caractères au-dessus de la ligne biffée ; en marge gauche une note de cinq lignes, reliée par une flèche à la formule encadrée (« […] multistrates […] qui sont dans \(G\) »), n'est lue qu'en fragments ; la correction de droite est écrite en petit sous « donc »

Cor. 1 Toute raffinement subdivision d'une sous-figure de \(F\) est induite par une « subdivision » de \(F\). OK

Cor. 2 La relation de raffinement entre figures \[F \ll G\] est une relation d'ordre. OK.

Proposition ([…]) Soient \(X \in \mathcal{M}\), \(G \in \mathfrak{F}\). Pour que \(X \in G\) \(F_X \subset F\), il f. et s. que \(X\) et \(G\) compatibles (i.e. \(F = F_X \cup G\) une figure) et \(X \ll G\) i.e. \(F_X\) raffine \(G\). […] Supposons en effet que \(X\) et \(F\) compatibles, et que \(F_X\) raffine la sous-figure \(F_Y = \ill{}\). Donc \(\exists\) subd. \(G'\) de C'est la définition […] en \(\ll\) et \(\mathcal{R}\) toute cette proposition, qui déborde sur la page 48, est barrée de grands traits obliques ; la lettre \(G\) y est plusieurs fois écrite sur \(F\)

48\(G\) telle que \(F_{X'} \subset G'\) i.e. \(X' \in G'\). Cette subdivision est induite par subdivision \(G' \cup (F \smallsetminus G)\), qui […] disjointes, et comme \(X' \in G'\) […] fin de la proposition barrée de la page 47, barrée elle aussi de traits obliques et entourée

Proposition Cor. 3 Soient \(G\), \(F\) deux figures. Pour que \(G \subset F\) ⌜(i.e. \(G\) sous-figure de \(F\))⌝, il f. et s. que \(G\) compatible à \(F\) (i.e. \(F \cup G\) une figure, soit \(H\)) et \(G \ll F\), i.e. \(G \subset F'\), \(F'\) subd. de \(F\).

En effet, par […] C 4, […] \[G \subset F' \cap H \overset{\text{C 4}}{\subset} F\] donc \(G \subset F\). \[\begin{array}{c} F \subset H = F \cup G \\ \uparrow{\scriptstyle \text{subd.}} \\ F' \\ \cup \\ G \end{array}\] le petit schéma est à gauche de la formule ; après \(F' \cap H\) quelques signes surchargés sont biffés

En particulier, on trouve : si \(X \in \mathcal{M}\), \(F \in \mathfrak{F}\), alors \[X \in F \Longleftrightarrow \begin{cases} X \text{ comp. à } F \\ X \text{ raffine } F \end{cases}\] donc si \(X, Y \in \mathcal{M}\), alors \[X \leq Y \Longleftrightarrow \begin{cases} X \text{ comp. à } Y \\ X \ll Y \end{cases}\] […] de C 4 dans la seconde accolade, « raffine » est biffé et remplacé par \(\ll\)

Déf \(F, G \in \mathfrak{F}\) sont dites disjointes si elles sont compatibles (i.e. \(F \cup G \in \mathfrak{F}\)) et \(F \cap G = \emptyset\). On dit que \(X\), \(Y\) sont disjoints si \(F_X\) et \(F_Y\) le sont i.e. \(X\) et \(Y\) compatibles, et \(\nexists\, Z\) avec \(Z \leq X, Y\). Si \(F\) et \(G\) sont disjointes, alors pour \(F' \subset F\), \(G' \subset G\) sous-figures, elles sont disjointes. De plus ; NB \(F \cap G\) disjoints \(\Leftrightarrow\) \(\forall X \in F\), \(Y \in G\), \(X\) et \(Y\) disj. (i.e. compatibles et distincts) la note marginale est écrite en oblique dans l'angle inférieur gauche ; au-dessus de « Déf », une insertion oblique (« \(X\) et \(Y\) disj. […] distincts ») n'est lue qu'en partie

49Cont 5 Si \(F\) et \(G\) sont deux figures disjointes, et \(F'\) ⌜de \(F\)⌝ […] subdivisions, alors \(F'\) et \(G\) sont disjointes. [NB \(F \cap G\) […] dans \(F\) et \(G\) compatibles […]]

Cor Si \(F'\) raffine \(F\), \(G'\) raffine \(G\), […] \(F\) et \(G\) disjointes alors \(F'\) et \(G'\) disjoints. ces deux énoncés sont barrés de grands traits obliques

C 5 Soient \(F\) une figure, \(F'\) une subdivision de \(F\). Alors pour toute figure \(G\), \(G\) est disjointe de \(F\) ssi elle est disjointe de \(F'\) ; double trait vertical en marge ; « C » est écrit sur un autre signe ; « \(F\) ssi elle est disjointe de \(F'\) » est écrit au bout de la ligne, au-dessus de « \(G\) est disjointe ; »

NB Il suffit de le prouver pour \(G\) élémentaire.

Il résulte alors de Cont 4 C 4 que \(F' \cup G\) est une subdivision de \(F \cup G\).

Cor Soient \(F\) et \(G\) figures disjointes, alors pour \(F' \ll F\), \(G' \ll F\), \(F'\) et \(G'\) sont disjointes, et \(F' \cup G' \ll F \cup G\). Si \(F'\) et \(G'\) sont des subd. de \(F\), \(G\), alors \(F' \cup G'\) en est une de \(F \cup G\). on attend \(G' \ll G\) ; la page porte \(G' \ll F\)

C 6 (Subdivisions induites) Soient \(F\) une figure, \(F'\) une subdivision de \(F\), \(G\) une sous-figure de \(F\). Alors il existe une unique subdivision \(G'\) de \(G\), telle que \[G' \subset F'\] (subdivision induite) ⌜(et \(G'\) est formé des \(X \in F'\) tels que \(X \ll G\))⌝. double trait vertical en marge

NB Transitivité de l'induction. Notation \(F'|G\) Doublé

C 7 ([…] Recollement de subdivisions) Soient \(F\) une figure, […] ⌜\(F_i\) des sous-figures, […]⌝ tels que \(F = \bigcup F_i\). Soit, pour tout \(i\), \(F'_i\) une subdivision de \(F_i\), et supposons double trait vertical en marge ; le titre entre parenthèses est écrit au-dessus de la ligne

50que pour […] \(i, j \in I\), \(i \neq j\), \[F'_i \,|\, F_i \cap F_j = F'_j \,|\, F_i \cap F_j\] Alors il existe une unique subdivision \(F'\) de \(F\) telle que \(F' \,|\, F_i = F'_i\) \(\forall i \in I\).

Cor Pour que deux subdivisions ⌜\(F'\), \(F''\) de \(F\)⌝ soient égales, il f. et s. qu'elles induisent la même subdivision sur chaque sous-figure élémentaire \(F_X\), i.e. sur chaque multistrate.

Cor Proposition Soient \(F\) une figure, \(G\) une sous-figure, \(F'\) un raffinement de \(F\), et \[G' = \lbrace X \in F' \mid X \ll G \rbrace\] Je dis que c'est donc une sous-figure ⌜[…]⌝ de \(F'\), et elle raffine \(G\) et c'est la plus grande sous-figure de \(F'\) qui raffine \(G'\). NB […] \(F' \in \ill{}\) […] \(G'\) […] raffinement induit on attend « qui raffine \(G\) » ; la page porte \(G'\). En marge gauche, sous la note oblique, un petit schéma : \(F' \ll F\) au-dessus de \(G' \ll G\), reliés par deux signes d'inclusion verticaux

Cela dit, Il y a qqch à prouver, car le seul fait que les \(X \in G'\) raffinent \(G\) n'implique pas que \(G'\) raffine \(G\). Mais on a une raffinement ⌜subdiv.⌝ \(\overline{F}'\) de \(F\) tel que \[\begin{array}{ccc} F' \subset \overline{F}' & \xrightarrow[s]{\sim} & F \\ \cup & & \cup \\ \overline{G}' & \xrightarrow[s]{\sim} & G \end{array}\] considérons la subd. (C, 6) induit […] \(G\), \(\overline{G}'\), formé des \(X \in \overline{F}'\) tels que \(X \ll G\). […] Par définition, on a donc \(G' = F' \cap \overline{G}'\), qui est […] une sous-figure de \(\overline{G}'\) donc raffine \(G\). dans le schéma, la flèche marquée \(\sim\) et \(s\) figure une subdivision ; les inclusions verticales sont dessinées comme des \(\cup\)

51Corollaire Sous les conditions précédentes, \(G'\) est la Inf de \(F'\) et \(G\), dans l'ens. des figures pour la ⌜relation⌝ […] de raffinement. En d'autres termes, toute figure ⌜\(\Phi\)⌝ qui raffine à la fois \(F'\) et \(G\), raffine \(G'\). trait vertical en marge de l'énoncé ; la lettre \(\Phi\), ajoutée au-dessus de « figure », rend sa capitale cursive barrée, comme au premier lot

On utilise que \(F' \subset \overline{F}'\), où \(\overline{F}'\) subd. de \(F\), et que \(\Phi \subset \overline{F}''\), où \(\overline{F}''\) subd. de \(F'\), […] On va […] ⌜(d'où \(\Phi \ll G'\))⌝ \(\Phi \subset \overline{G}'\). Soit \(X \in \Phi\), on a \(X \in \overline{F}'\), et \(X\) il faut prouver \(X \in \overline{G}'\), i.e. […] pour tt élément de \(\overline{F}'\) qui raffine \(G\), est dans \(\overline{G}'\). Mais \(\overline{F}'\) est induit par une subd. \(\widetilde{F}\) de \(F\) (C 4 revu et corrigé – cf. ci-con.) donc \(X \in \widetilde{F}\) et \(X\) raffine \(G\), donc […] \(X \in \widetilde{G}\), subd. subd. de \(G\) induite par la subd. \(\widetilde{F}\) de \(F\), donc \[X \in \overline{F}' \cap \widetilde{G} = \overline{G}' , \quad \text{qed,}\] ouf ! (C'était l'ancien Cont 8) la démonstration est écrite dans la moitié droite de la page, la moitié gauche portant quatre schémas successifs. Le premier ([…] \(\to F' \subset \overline{F}' \simeq F\) au-dessus de \(\overline{G}' \simeq \overline{G}' \subset \overline{G} \simeq G\), avec inclusions verticales) est surchargé et barré de traits obliques. Le deuxième aligne \(\Phi \subset \overline{F}'' \simeq F' \subset \overline{F}' \simeq F\) au-dessus de \(\overline{G}'' \simeq G' \subset \overline{G} \simeq G\), flèches verticales descendantes. Le troisième, \(\overline{F}' \subset \widetilde{F} \simeq \vec{F} \simeq F\) au-dessus de \(\widetilde{G} \simeq \overline{G} \simeq G\). Le quatrième, entouré d'un grand arc, est un cube : \(\Phi \subset \overline{F}'\), \(\widetilde{F}\), \(\vec{F}\), \(F\) en haut, \(F'\) au milieu, \(\overline{G}'\), \(\widetilde{G}\), \(\overline{G}\), \(G\), \(G'\) en bas, reliés par des flèches marquées \(\simeq\) (subdivisions) et des flèches verticales ; il n'est pas redessiné. Le « ci-con. » renvoie sans doute à la correction de C 4 en marge de la page 47

13 juin

la date, soulignée, est de sa main en tête de la page, en début de ligne On n'a pas encore exprimé tous les axiomes Cont. 1, …, il reste pour compte

Cont 3dim finie
Cont 4« admissibilité » – mais résulte déjà […] des axiomes C.
Cont 6⌜critères de⌝ disjonction via les lieux – on y reviendra
Cont 7Deux lieux de strates ouvertes différentes sont disjoints.

Mais avant de continuer, je vais encore une fois changer d'optique ! Prendre comme ens. de base \(\mathfrak{F}\), l'ens. des figures, avec les deux relations d'ordre \(\leq\) (ou l'inclusion) et \(\preccurlyeq\) (la subdivision)

Contrée (quatrième mouture !)

titre de sa main au milieu de la page, « Contrée » souligné

C'est un ens. \(\mathfrak{F}\) d'objets, appelés figures, et deux relations d'ordre \(\leq\) et \(\preccurlyeq\) sur \(\mathfrak{F}\) : \[\mathcal{C} = (\mathfrak{F}, \leq, \preccurlyeq)\] satisfaisant à des axiomes qu'on va énumérer. Si \(F\) et \(G\) sont deux figures et \(F \leq G\), on dit que \(F\) est une sous-figure, et on écrira aussi souvent \(F \subset G\). Si \(F \preccurlyeq G\), on dit que \(F\) est une subdivision de \(G\), ou que \(F\) subdivise \(G\).

53D'abord, on va dégager les axiomes pour \(\leq\)

C 1 a) \(\mathfrak{F} \neq \emptyset\)

[…] b) Si \(F \in \mathfrak{F}\), et \((F_i)_{i \in I}\) est une famille d'objets de \(\mathfrak{F}\) avec \(F_i \leq F\), alors \(\operatorname{Sup}_i F_i\) existe. (Toute famille majorée de figures a une borne sup.) double trait vertical en marge de C 1 ; un signe \(\leq\) est écrit en indice sous le \(\mathfrak{F}\) de « \(F \in \mathfrak{F}\) »

Corollaire \(\mathfrak{F}\) a un plus petit élément (savoir, la Sup de la famille vide d'objets)

NB En présence de […] C 1 b), la validité de a) équivaut à celle du corollaire.

Le plus petit élément est appelé figure vide, noté \(\emptyset_{\mathfrak{F}}\) ou simplement \(\emptyset\), […] si confusion n'est à craindre

[…] des figures compat. Définition figures irréductibles \(F\) : telles que si \(F = \operatorname{Sup}\) ces lignes sont encadrées et barrées de traits obliques

Figures compatibles, ens. de figures compatibles ⌜deux à deux⌝ que (ou configurations) : qui est majoré pour \(\leq\). Figure engendrée, ou réunion (\(F \cup G\), \(\bigvee_i F_i\), \(\operatorname{Sup} F_i\), parfois noté \(F \cup G\) – \(\bigcup_i F_i\) cf plus bas). en fin de ligne, au-dessus de « Figures », un mot biffé

Déf Figure irréductible \(F\) : telle que \[F = \operatorname{Sup}_{i \in I} F_i \Longrightarrow \exists\, i \in I, \ F_i = F .\]

C 2 Les figures irréductibles sont ⌜dites⌝ des multistrates. ⌜L'ens. des multistrates est noté \(\mathcal{M}\)⌝, les figures irréductibles

54majorées par \(F\) s'appellent les strates de \(F\). (Donc, […] strate de \(F\) est une multistrate) L'ens. des strates de \(F\) s'appellera sera noté \(\overline{F}\) : \[\struck{\ill{}} \quad \mathcal{M} \subset \mathfrak{F}\] \[F \mapsto \overline{F} \qquad \mathfrak{F} \to \mathfrak{P}(\mathcal{M}) .\]

C 2 Toute figure est la borne supérieure de ses strates : \[F = \operatorname*{Sup}_{X \in \overline{F}} X\] double trait vertical en marge

Corollaire 1 L'application \(F \mapsto \overline{F}\) \[\mathfrak{F} \to \mathfrak{P}(\mathcal{M})\] est injective, et induit un iso […] d'ens. ordonnés de \(\mathfrak{F}\) avec l'ens. \(\Phi \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\) formé des \(\overline{F}\). Cet iso transforme \(\operatorname{Sup}_i\) en \(\bigcup_i\).

Corollaire 2 L'ens. \(\Phi\) de parties de \(\mathcal{M}\) satisfait les deux conditions,

a)\(\Phi \neq \emptyset\)
a)Si \(A \in \Phi\), et \((A_i)_{i \in I}\) est une famille d'éléments de \(\Phi\), avec \(A_i \subset A\), alors \(\bigcup_i A_i \in \Phi\).
b)\(\forall X \in \mathcal{M}\), il existe un plus petit \(A = A_X\) tel que \(X \in A\) (a fortiori, \(\Phi\) recouvre \(\mathcal{M}\)).

Ceci trait vertical en marge du Corollaire 2 ; le « a) » est écrit sur un « b) »

55c) \(A \in \Phi\) […] [car […] vu b), c'est équivalent à \(\mathcal{M} \neq \emptyset\)] Prop. équivalente : […] \(\mathcal{M} \neq \emptyset\) […] \(\emptyset \in \Phi\) […] deux lignes barrées en tête de page, autour du numéro « 55 »

Remarque Inversement, soient \(\mathcal{M}\) un ens., \(\Phi \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\) satisf. ⌜et⌝ les conditions a) b) c). NB La condition c) résulte de a)/b) si \(\mathcal{M} \neq \emptyset\). Dans tous les cas, elles équivalent :

c')\(\Phi \neq \emptyset\) i.e. existe \(A \subset \mathcal{M}\) telle que \(A \in \Phi\).

[…] la condition […] par c […] \(A \cap B\) […] (mais \(\mathcal{M} \neq \emptyset\) !) la note marginale, oblique, en bas à gauche, n'est lue qu'en fragments

Alors

1°)\(\Phi\) ordonné par inclusion satisfait les conditions C 1, C 2. Ces objets irréductibles
2°)Les objets irréductibles sont les \(A_X\), et \(X \mapsto A_X\) est une bijection de \(\mathcal{M}\) ⌜sur⌝ l'ens. des objets irréd. de \(\Phi\).
3°)Si \(X \in \mathcal{M}\), \(A \in \Phi\), alors \[X \in A \Longleftrightarrow A_X \subset A \quad \text{(tautologique)}\] donc […] si on identifie ⌜(par \(X \mapsto A_X\))⌝ \(\mathcal{M}\) à l'ens. des objets irréductibles de \(\Phi\), alors pour \(A \in \Phi\), \[\overline{A} = \lbrace A_X \mid A_X \subset A \rbrace \quad \text{i.e. } X \in A\] s'identifie à \(A\) lui-même.

On considérera \(\mathcal{M}\) comme ordonné par \(\leq\) (jamais par \(\preccurlyeq\) !) : multistrates et sous-multistrates. Les figures ⌜\(F\)⌝ s'identifient aux parties ens. de multistrates \(\overline{F}\) correspondantes (cl. par figure à l'ens. de ses strates).

56Proposition a) Si \(F\) […] est une figure, alors les figures \(F'\) telles que \(F' \leq F\) s'identifient, par l'application \(F' \mapsto \overline{F}'\), aux parties de \(\overline{F}\) qui sont fermées pour la relation d'ordre ⌜\(\leq\)⌝ de \(\mathcal{M}\).

b) Si \(F\) et \(G\) sont deux figures, \(F \wedge G\) existe (inf pour \(\leq\)) et \(\overline{F \wedge G} = \overline{F} \cap \overline{G}\). Même chose pour une famille \((F_i)_{i \in I}\) quelc. ⌜avec \(I \neq \emptyset\)⌝ Mais attention, il n'y a […] \(F \wedge G\) […] la marge gauche, en haut, porte une note verticale de six lignes, reliée au mot « Proposition », qui n'est lue qu'en fragments ; la mention « avec \(I \neq \emptyset\) » est en marge, reliée par un trait

et […] [Lieux de \(\mathfrak{F}\) : ce sont les figures figures qui sont minimales dans \(\mathfrak{F} \smallsetminus \lbrace \emptyset_{\mathfrak{F}} \rbrace\). Un lieux est donc Tout lieu est ⌜donc⌝ irréductible. Donc les lieux sont aussi les éléments minimaux de \(\mathcal{M}\) : ce sont les multistrates qui n'ont d'autres strates qu'elle-même.] Si \(F\) […] « figures irréductibles » est ajouté en marge, relié au crochet par un trait ; en marge gauche, sur toute la moitié inférieure de la page, une longue note oblique (« […] de \(\mathcal{M}\) […] critère […] ») n'est lue qu'en fragments

Figures disjointes \(F\) et \(G\) : telles que

a)\(F\) et \(G\) compatibles i.e. \(F \cup G\) existe ⌜i.e. \(\lbrace F, G \rbrace\) majoré pour \(\leq\)⌝ et b) on a […] (i.e. […] \(F \cap G = \emptyset\))
b)\(F \cap G = \emptyset_{\mathfrak{F}}\) […]

Si \(F\) et \(G\) sont

Prop Si \(F\) et \(G\) sont disjointes, alors pour \(F' \leq F\), \(G' \leq G\), \(F'\) et \(G'\) sont disjointes, et \(F' \cup G'\) est une sous-figure de \(F \cup G\), et l'application \((F', G') \mapsto F' \cup G'\) est une bijection de l'ens. de \(\mathfrak{F}\)

57\[\underset{\text{ss-figures de } F}{\mathfrak{F}_{\leq F}} \times \underset{\text{ss-fig. de } G}{\mathfrak{F}_{\leq G}} \xrightarrow{\ \sim\ } \underset{\text{ss-fig. de } F \cup G = H}{\mathfrak{F}_{\leq F \cup G}}\] (On récupère \(F'\), \(G'\) : parties de \(H' = F' \cup G'\) comme \(H \cap F\) et \(H \cap G\).) Itou pour ⌜des⌝ figures ⌜deux à deux disjointes, […]⌝ […] mutuellement disjointes d'une configuration (famille pas nécessairement finie). figure ([…]) on attend \(H' \cap F\) et \(H' \cap G\) ; la page porte \(H\)

Dévissage Particulièrement clair, quand on interprète \(\mathfrak{F}\) en termes de l'ens. \(\Phi \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\) satisfaisant a) b) c). L'ens. ordonné \(\mathcal{M}_{\leq F \vee G}\) s'identifie à la réunion disjointe de l'ens. ordonné somme de \(\mathcal{M}_{\leq F}\) et \(\mathcal{M}_{\leq G}\), dont ses parties fermées sont […] en bijection avec les couples de parties fermées de \(\mathcal{M}_{\leq F}\) et \(\mathcal{M}_{\leq G}\)…

Remarque ⌜En fin de compte⌝, la donnée de l'ens. ordonné \(\mathcal{M}\), ⌜et⌝ de \(\Phi\) équivalent à : un ens. \(\Phi\) de parties fermées de \(\mathcal{M}\), satisfaisant

a)\(\forall A \in \Phi\), […] ⌜et⌝ partie fermée \(A'\) de \(A\), on a \(A' \in \Phi\)
b)\(\emptyset \in \Phi\) (\(\Leftrightarrow \Phi \neq \emptyset\), compte tenu de a)), et
b)\(\bigcup_{A \in \Phi} A = \mathcal{M}\) [\(\Longleftrightarrow\) ⌜compte tenu de a)⌝ \(\forall x \in \mathcal{M}\), \(\mathcal{M}_{\leq x} \in \Phi\)]
c)\(\emptyset \in \Phi\) (\(\Longleftrightarrow\) ⌜(a)⌝ \(\Phi \neq \emptyset\), et automatiquement satisfait (compte tenu de b)) si \(\mathcal{M} \neq \emptyset\).)

[…] à partir de […] de […]

NB Soit \(\mathfrak{P}_f(\mathcal{M})\) l'ens. des parties fermées de \(\mathcal{M}\), ⌜\(\mathfrak{P}_f(\mathfrak{F})\) […] de \(\mathfrak{F}\) qui sont stables par Sup.⌝ Si \(\mathfrak{F}'\) et \(\mathcal{M}'\) se correspondent, \[\boxed{\mathfrak{P}_f(\mathfrak{F}) \underset{\psi}{\overset{\varphi}{\rightleftarrows}} \mathfrak{P}_f(\mathcal{M})} \qquad \varphi(\mathfrak{F}') = \mathfrak{F}' \cap \mathcal{M} , \quad \psi(\mathcal{M}') = \lbrace F \in \mathfrak{F} \mid \overline{F} \subset \mathcal{M}' \rbrace\] alors \(\varphi\), \(\psi\) bij. inverses l'une de l'autre. TSVP ce NB est serré au pied de la page ; la lecture de l'insertion sur \(\mathfrak{P}_f(\mathfrak{F})\) est douteuse

58C 3 Soient \(F\), \(G\), \(H\) deux trois figures mutuellement ⌜i.e. deux à deux⌝ compatibles. Alors \(\lbrace F, G, H \rbrace\) est une configuration \(F, G, H\) \(\exists\) figure \(K\) telle que \(F\), \(G\), \(H\) soient des sous-figures de \(K\) (donc borne supérieure existe) alors \(\mathfrak{F}'\) satisfait C 1, C 2, […] et ses objets irréductibles […] \(\mathcal{M}'\) […] (3) […] cette première version de C 3 est barrée de traits obliques ; la note marginale oblique qui l'accompagne, en haut à gauche, n'est lue qu'en fragments

C 3 Soient \(F, G \in \mathfrak{F}\), telles que \(\forall X \in \overline{F}\), \(Y \in \overline{G}\), \(X\) et \(Y\) compatibles. Alors \(F\) et \(G\) sont compatibles. Cor Pour que \(F\), \(G\) compatibles, il f. et s. que \(\forall X \in \overline{F}\), \(Y \in \overline{G}\), \(X\) et \(Y\) le soient double trait vertical en marge ; les barres de \(\overline{F}\), \(\overline{G}\) sont tracées comme de petites flèches

NB L'inverse évident : si \(F\) et \(G\) sont compatibles, alors pour toutes sous-figures ⌜\(F'\) de \(F\) (resp. ss-fig. id.) et \(G'\) de \(G\)⌝, \(F'\) et \(G'\) le sont. l'insertion est écrite au-dessus de la ligne et reprise en tête de la suivante ; sa construction est celle de la page

Cor Soient \(F\) et \(G\), \(H\) deux ⌜trois⌝ figures, […] \(F\), \(G\) compatibles. Pour que \(H\) soit compatible à \(F \cup G\), il f. et s. qu'il le soit à \(F\) et à \(G\). Plus gén., soit \((F_i)_{i \in I}\) une configuration, \(F\) la figure […] réunion. Pour que \(H\) soit compatible à \(F\), il f. et s. que \(H\) soit compatible aux \(F_i\). on lit \(F_i\) à la dernière ligne, qui porte \(F\) suivi d'un signe

59Donc, en termes d'une structure portée par un ens. ordonné \(\mathcal{M}\) (cf. remarque page 58), on trouve ceci. On a sur Définition \(\mathcal{M}\) une relation \(R\) (« compatibilité ») qui est réflexive symétrique (donc équivalente […] et) telle que […] \(S \subset \mathfrak{P}_2(\mathcal{M})\)), implique la donnée de \(R(X, Y)\) implique \(R(X', Y')\) pour \(X' \leq X\), \(Y' \leq Y\). compatible avec \(\leq\). Cela permet, à peu de choses près, de reconstituer \((\mathfrak{F}, \leq)\), en tant que ens. de parties de \(\mathcal{M}\). Pour l'explication, « page 58 » renvoie sans doute à la remarque de la page 57, qui s'achève sur « TSVP » ; la parenthèse sur \(S \subset \mathfrak{P}_2(\mathcal{M})\) est écrite au-dessus de la ligne et n'est lue qu'en partie

Quelques terminologies (⌜strates maximales⌝) « Composantes irréductibles » d'une figure \(F\) : strates maximales de \(F\) (\(\exists\) toujours si l'ens. \(\overline{F}\) des strates de \(F\) est fini (on dit alors que \(F\) est une figure finie) et \(F \neq \emptyset_{\mathfrak{F}}\)).

Figure de type ⌜de type⌝ fini : qui est borne sup. de ses « composantes » irréductibles en nombre fini (qui est de t.f.), (exemple : toute figure finie \(F\) / qui est […] borne sup. […] d'une […] \(\operatorname{Sup} X\) […] […] figures irréductibles. […] (NB Dans les figures les plus importantes, toute figure est finie, et a fortiori de type fini.) la phrase entre « exemple » et « irréductibles » est corrigée et en partie barrée ; elle n'est lue qu'en partie

Ceci dit si \(\mathfrak{F}_{\mathrm{t.f.}}\) désigne l'ens. figures \(\mathfrak{F}_{\mathrm{t.f.}}\), l'ens. de type fini, on récupère […] ens. de parties correspondant de \(\mathcal{M}\), par la seule connaissance de \((\mathcal{M}, \leq, R)\),

60de la façon suivante : ce sont les \(A \subset \mathcal{M}\) tels que \(A = \bigcup_i A_{X_i}\), où \(\lbrace X_i \rbrace\) […] est un ens. fini d'éléments de \(\mathcal{M}\), mutuellement compatibles (au sens de \(R\)). la page porte \(A \in \mathcal{M}\)

Donc une structure \((\mathfrak{F}, \leq)\) satisfaisant C 1, C 2, C 3 + figures toutes de type fini, équivaut à \((\mathcal{M}, \leq, R)\), où \(R\) rel. symétrique réfl. ⌜i.e. reliée à \(\leq\) et \(R\)⌝ satisfaisant deux conditions :

a)[…] (condition […] \(\leq\)) Pour \(A\) partie fermée majorée \(A\) de \(\mathcal{M}\), \(A\) est de type fini, i.e. de la forme \(\bigcup \mathcal{M}_{\leq X_i}\), où les \(X_i \in A\) forment un ens. fini [[…] il suffit que les \(\mathcal{M}_{\leq X}\) soient finis]
b)(compatibilité de \(\leq\) et \(R\)) si \((X, Y) \in R\), et \(X' \leq X\), \(Y' \leq Y\), alors \((X', Y') \in R\).

[…] donc […] fermée […] fini la note marginale oblique, en face de a), n'est lue qu'en fragments ; le crochet final de a) est écrit en marge droite

Les « figures » de \(\mathcal{M}\) sont alors les parties fermées ⌜\(A\)⌝ de \(\mathcal{M}\) qui ont les propriétés suivantes :

a)\(A\) est fermée
b)\(A\) est de type fini
c)\(\forall X, Y \in A\), on a \((X, Y) \in R\).

([…] propriété Cont 2 de p. 33) « p. 33 » renvoie à la page 33, au deuxième lot