Cote n° 156-4 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · [Chapitre] IV. Analysis situs (première mouture) : notes manuscrites (10/06/1986)
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

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Analysis situs (première mouture)

titre de sa main, souligné, en tête de la page 1, suivi de « (première mouture) » ; dessous, la date de sa main « (10 Juin 1986) ». Dans l'angle supérieur droit, dans un angle tracé à la plume, « GF IV » (le chiffre souligné) : Géométrie des formes, chapitre IV. Il numérote ses pages de 1 à 20 en haut des feuillets ; sa numérotation coïncide ici avec celle des archivistes

1. Comme modèle « ensembliste topologique » de l'axiomatique d'un « modèle de formes ⌜topologiques⌝ » (cas d'une « contrée »), considérons les notions suivantes. Modèle : un « espace » \(\pm\) ordinaire. « topologiques » est écrit sous la ligne et renvoyé par un trait après « formes »

On suppose ici que \(\mathbb{X}\) [est] un espace topologique séparé, ou un espace modéré (pas néc. compact) pour une théorie modérée donnée. Dans ce cas « partie fermée » signifie « partie fermée modérée ». l'espace ambiant est noté par un X double, encadré ou barré, rendu ici \(\mathbb{X}\) ; le mot sous « partie fermée », à la fin de la ligne, est surchargé

I) Figures. Une figure \(F\) / de \(\mathbb{X}\) est une partie fermée \(X\), munie d'une décomposition de \(Y\) en […] ⌜parties⌝ \(X_i\) : \[\{X_i\} \in \mathfrak{P}(Y) \qquad X = \bigcup X_i\] appelées les strates fermées. On fait les hypothèses « de \(Y\) », « \(\mathfrak{P}(Y)\) » : sic, pour la partie fermée appelée \(X\) une ligne plus haut \(X\) est appelé […] le support de la figure \(|F|\) note oblique dans la marge gauche, en face de la définition ; lue en partie

les ajouts à a) et c) sont écrits au-dessus de la ligne, serrés contre le bord droit ; la fin de la ligne a) est surchargée et n'est lue qu'en partie NB on pose \(i \leq j \Leftrightarrow X_i \subset X_j\), \(i < j \Leftrightarrow X_i \subsetneq X_j\)

2est fermé dans tous les \(X_i\), par a) b) c)) alors \[\mathrm{int}(X_i) = X_i \smallsetminus \partial X_i\] (qui est donc un ouvert ⌜rel.⌝ dans \(X_i\) ⌜[…] \((X_j)\)⌝, et non vide puisque \(X_i\) l'est) […] ⌜soit⌝ 1°) une variété 2°) connexe. (NB dans le cas \(\mathbb{X}\) modéré, on prend « variété » au sens modéré, entendu.) « soit » et « \((X_j)\) » sont écrits au-dessus de la ligne ; « variété » est souligné deux fois

f) \(X_i \cap X_j\) est réunion ⌜de⌝ \(F\), \(X_k\). lettre « f) » écrite sur un autre signe ; le « \(F\) » gras est écrit au-dessus de « de », sans doute pour « de strates de \(F\) » e) Si \(X_i < X_j\), alors dim […] \((X_{ij})\) […] les […] la condition e) est écrite en oblique dans la marge gauche, en partie biffée, avec un trait fléché et les signes « \(+1\) », « \(+0\) » près d'un gribouillis ; elle n'est lue que par fragments

Donc une figure ⌜\(F\)⌝ peut s'identifier à l'ens. de ses strates, qui est un ens. de parties fermées de \(X\) \[F \subset \mathfrak{P}_f(X) \qquad \text{i.e.} \qquad F \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}_f(X))\] (\(X\) se reconstituant ⌜\(\{X_i\}\)⌝ comme \(\bigcup X_i\)), satisfaisant certaines conditions ⌜(qui vérifient […], a) à d))⌝. On a donc l'ens. des figures, […] soit \(\mathfrak{F}\), qui est donc un ens. de parties de \(\mathfrak{P}_f(X)\) \[\mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathfrak{P}_f) \qquad \text{i.e.} \qquad \mathfrak{F} \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathfrak{P}_f(X)))\] \(\mathfrak{P}_f(X)\) : l'indice \(f\) semble désigner ici les parties fermées ; à la page 2 le \(X\) de \(\mathfrak{P}_f(X)\) est écrit en gras

À chaque \(F \in \mathfrak{F}\) est associé l'ens. ordonné \(\Sigma_F\) de ses strates. L'ens. somme \[\Sigma = \coprod_{F \in \mathfrak{F}} \Sigma_F \longrightarrow \mathfrak{F}\] s'identifie à l'ens. des couples \((F, X_i)\), […] où \(F\) est une figure et \(X_i\) est une strate de \(F\) i.e. \(X_i \in F\). la flèche est verticale sur la page, de \(\Sigma\) vers \(\mathfrak{F}\) les fibres sont les \(\Sigma_F\) NB Dans le cas d'espèce, […] à \(\Sigma_F = F\) mais […] […]

3Si \(F\), \(F'\) sont deux figures, on dit que \(F'\) est une sous-figure de \(F\), si toute strate de \(F'\) est une strate de \(F\), i.e. \(F' \subset F\). Donc le support on a \(\sigma(F)\) et \[|F'| \subset |F|\] NB Si \(X_i \in F'\), et \(Y_j \in F\) est tel que \(Y_j \subset X_i\), alors \(Y_j \in F'\) En effet […] \(Y \in\) […] \((Y_j)\), alors La relation

On écrit \(F' \leq F\) pour cette relation, qui est une relation d'ordre dans \(\mathfrak{F}\). L'ens. des sous-figures de \(F\) est en corr. 1-1 avec l'ens. des parties \(\Phi\) ⌜(\(\subset \Sigma_F\))⌝ de \(\Sigma\) \(\Sigma_F\) ⌜(ens. des strates)⌝ qui ont la propriété que ⌜(\(i, j \in \Sigma_F\), \(i \in \Phi\))⌝ \[j \leq i \Longrightarrow j \in \Phi\] (idéaux […] « fermés » de l'ens. […] ordonné, pour la top. […] ⌜sur \(\Sigma_F = \Sigma\)⌝ de fermés d'ouverts / ⌜décroissants les⌝ les \(\Sigma_{\leq i}\)). \(\Phi\) rend une capitale cursive barrée, la même qu'aux pages 5, 8-11 pour une partie de \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\). La fin de la parenthèse est surchargée : l'indice de \(\Sigma_{\leq i}\) est écrit sur un signe biffé

Ainsi, on a une relation d'ordre sur 11.6. plus loin on dira « multistrate » dans la marge gauche, en oblique, « 11.6. » souligné, puis quelques mots ; ils semblent renvoyer au 11 juin (page 18) et au terme « multistrate » que la page 19 substitue à « figure élémentaire » Figure élémentaire : qui a une strate maximale i.e. \(\Sigma_F\) a un plus grand élément. Soit \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\) l'ens. des figures élémentaires. Alors \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\) est entouré d'un cercle

Pour toute figure \(F\), les sous-figures élémentaires sont en corr. 1-1 avec les

4strates de \(F\). Donc on peut dire

On a : \[\Sigma'_F \simeq \Sigma_F, \qquad \Sigma'_F \subset \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\] l'inclusion \(\Sigma'_F \subset \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\) est écrite verticalement sous \(\Sigma'_F\) \(F\) est connu quand on connaît \(\Sigma'_F \subset \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\), car \(F\) est l'ens. des strates des \(F' \in \Sigma'_F\).

Mais la relation d'inclusion entre figures s'interprète comme une relation d'inclusion entre parties de \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\).

Donc Considérons la relation d'inclusion \(\leq\) entre figures élémentaires. Alors ⌜Ainsi,⌝ \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\) est un ens. ordonné. ⌜Si⌝ Donc \(F\) est une figure, \(\Sigma'_F\) est une figure dont dites partie fermée de l'ens. ordonné \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\). L'inclusion entre figures est l'inclusion entre ces parties fermées. au-dessus de la ligne biffée, « \(F\) est une figure » est récrit ; « Ainsi » et « Si » sont écrits au-dessus des mots biffés

5Pour qu'une partie \(\Phi\) de \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\) soit de la forme \(\Sigma'_F\), il faut et suffit :

a) Que \(\Phi\) soit une partie fermée de \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\)

b) Que la famille […] […] \(|\varphi|\), […]

⌜\(F\), \(F'\)⌝ Deux figures […] dites

Considérons deux figures \(F\), \(F'\), vérifiant les conditions \(|F| \cap |F'|\) le haut de la page, jusqu'à « \(|F| \cap |F'|\) », est barré de longs traits obliques, les dernières lignes étant de plus enfermées dans un contour

Soit \(F\) une figure, une partie \(A\) de \(|F| = \mathrm{supp}\, F\) est dite […] \(F\)-saturée, si saturée (pour \(F\)) i.e. elle est saturée pour la relation d'équivalence définie par les \(X_i\) \(\mathrm{int}(X_i)\) ⌜(strates « ouvertes »)⌝. Si […] \((X_i)\) est l'ens. des strates), cela signifie que […] réunion de strates (fermées)

[…] relation […] \(\cap\), \(\cup\) […] \(|F|\) […] \(A\) […] \(F'\) […] \(A\) […] \(|F|\) […] figure […] \(F' \subset (F')\) […] \(|F'|\) […] une longue note oblique couvre la marge gauche du bas de la page ; seuls des fragments en sont lus

Soient \(F\), \(F'\) deux figures. Considérons les conditions

a) \(|F| \cap |F'|\) est \(F\)-saturée et \(F'\)-saturée

a) \(\forall\, X \in \Sigma_F\), \(X' \in \Sigma_{F'}\), \(X \cap X'\) est […] \(F_X\)-saturée dans \(F_X\) et \(F'_{X'}\)-saturée

6c) \(\exists\) sous-figure \(F''\), telle que

1°) \(F''\) sous-figure de \(F\), et de \(F'\)

2°) […] \((|F| \cap |F'|) = |F''|\)

Si \(X\) \(U\) strate connexe de \(F\), \(U'\) strate ces lignes sont barrées de traits obliques

b) Si \(U_i\) est une cellule ⌜strate⌝ ouverte de \(F\), \(U'_j\) strate ouverte de \(F'\), alors on a \[U_i \cap U'_j = \emptyset \quad \text{\emph{ou}} \quad U_i = U'_j .\]

Ces conditions sont équivalentes

b \(\Rightarrow\) a trivial (puisque \(|F| = \bigcup X_i\), \(|F'| = \bigcup X'_j\))

[…] b) \(\Longrightarrow\) a) trivial, prouvons

a) \(\Longrightarrow\) b) Si Supposons que ⌜prouvons \(U_i = U'_j\),⌝ \(U_i \cap U'_j \neq \emptyset\), \(U_i \neq U'_j\) donc […] \(X_i \neq X'_j\) Considérons \(X_i \cap X'_j\) (\(\neq \emptyset\)), soit ⌜\(x \in\)⌝ \(U_i \cap U'_j\), Considérons \(X_i \cap X'_j\), est ⌜fermée⌝ \(F_{X_i}\)-saturée, […] ⌜et⌝ et le […] […] \(x \in U_i\), […] \(X_i \subset X_i \cap X'_j\), […] \(X_i \cap X'_j\) i.e. \(X_i \subset X'_j\). […] \(= X'_j \subset X_i\) \[X_i = X'_j .\] Donc On en conclut […] directement […] \(\partial X_i = \partial X'_j\). Mais \(X_i\) \(U_i = U'_j\), on a ⌜i.e. a) \(\Rightarrow\) b)⌝ On le prouve ⌜par récurrence sur⌝ \(\sup(\dim F, \dim F')\) (on est […] ramené ⌜ramené⌝ au cas des figures \(F_{X_i}\), \(F'_{X'_j}\) ⌜de dim.⌝ i.e. finie…) le raisonnement est écrit vite et beaucoup corrigé : plusieurs débuts de ligne, dans la marge gauche, sont biffés ; l'ordre des ajouts interlinéaires n'est pas sûr

7On dit que \(F\), \(F'\) sont compatibles si les conditions en question sont satisfaites. Pour ceci, il faut et il suffit que pour toutes \(F_0 \in \Sigma'_F\), \(F'_0 \in \Sigma'_{F'}\), \(F_0\) et \(F'_0\) soient compatibles.

Donc, dans l'ens. ⌜ordonné \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\)⌝ des figures élémentaires, on a introduit une relation symétrique, réflexive) \[\mathcal{R} \subset \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} \times \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\] […] \(F_0\) comp. avec \(F'_0\) ou encore \[S \subset \mathfrak{P}_2(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}})\] paires compatibles les deux gloses sont écrites à droite des formules ; devant la première, un mot est raturé

NB Si […] \(F_0\), \(F'_0\) sont des fig. él. telles que \(F_0 \leq F'_0\), alors elles sont compatibles. Mieux, si \(F'_0, F''_0 \leq F\), alors \(F_0\) et \(F'_0\) sont compatibles entre elles sic : « \(F_0\) et \(F'_0\) » après « si \(F'_0, F''_0 \leq F\) » ; la fin de la phrase est écrite sous la ligne

Configuration Ens. de figures deux à deux compatibles. Configuration élémentaire : ens. de figures élémentaires deux à deux compatibles.

8Soit \(F\) une figure, \(\Sigma'\) \[\Sigma'_F = \Phi \subset \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\] la partie de \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\) associée. Alors On a les conditions

\(\mathfrak{F}_1\), \(\mathfrak{F}_2\) : il écrit ici deux éléments de \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\) avec la même capitale cursive que \(\mathfrak{F}\)

[…] si on veut exclure le cas des figures infinies, il faut aussi considérer dans \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\) […] donnée des parties loc. finies (i.e. dont la famille des supports dans \(X\) est loc. finie) qui forment un antifiltre dans \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\).

Inversement, tout \(\Phi\) satisfaisant a) b) c) provient d'une figure et d'une seule.

9Ainsi, on est arrivé à la structure suivante

les nombres (1) à (4) sont cerclés sur la page. La définition de « configuration » dans (3) est écrite au-dessus et à droite de la ligne, par-dessus un mot biffé […] deux à deux compatibles […] note oblique dans la marge gauche, en face de (3) et (4), lue en partie

Avec propriétés d'antifiltre :

au-dessus de c), un mot (« l'[…] ») rattaché à la fin de b), qui porte peut-être sur la partie fermée engendrée par \(\Phi\) (les configurations […] « […] ») : loc. finies […] […] \(X\) […] finies seconde note oblique dans la marge gauche, en face de a)–d), lue par fragments

10On définit dans l'ens. \(\mathfrak{F}\) des figures, comme l'ens. des parties \(\Phi = \Sigma'_F\) de \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\), qui sont

un « \(F\) » est écrit au-dessus de « figures » Figures finies : parties finies de \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\) satisfaisant a) et b). satisfaisant a) […] c) […] […] \(X \ill{} \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\) […] figures […] […] deux notes obliques couvrent la marge gauche en face de ces lignes, en partie sur « finies » ; elles ne sont lues que par fragments

Notons encore une propriété, en plus des propriétés a) à d) ⌜(p. 9)⌝ ci-dessus, de la relation entre (2) et (3) (2) et (3) sont cerclés ; ils renvoient aux données (2), (3) de la page 9, dont viennent aussi les propriétés a) à d)

Axiome d.

Fig\(_1\) Si \(\mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2 \leq \mathbf{X}\) sont des fig. él. alors \(\{\mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2\} \in \mathcal{R}\) i.e. \(\{\mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2\}\) est une configuration. [Dans l'ens. ⌜des \(\mathbf{X}'\)⌝ \(\mathbf{X}' \leq \mathbf{X}\) est une configuration, et en vertu de a) b) c) donc est une figure : la figure associée à \(F\)…] à partir d'ici il note les figures élémentaires par un \(X\) barré, rendu \(\mathbf{X}\) ; le premier \(\mathbf{X}_1\) est écrit sur un signe biffé. Le « \(F\) » de la fin est sic, pour \(\mathbf{X}\) […] figure élémentaire associée […] note oblique dans la marge gauche, en face du crochet, lue en partie

11Fig\(_2\) ⌜Soit \(\mathbf{X} \in \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\),⌝ Considérons l'ens. ordonné des \(\mathbf{X}' \leq \mathbf{X}\) est de dim. comb. finie, i.e. il existe un entier \(n\), tel que les parties finies […] majorées par \(\mathbf{X}\), ⌜et tot. ordonnées⌝ sont de cardinal \(\leq n\). l'ajout « Soit \(\mathbf{X} \in \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\), » est écrit au-dessus de la ligne et renvoyé devant « Considérons » ; « et tot. ordonnées » est écrit au-dessus de la ligne. Fig\(_1\) et Fig\(_2\) sont réunis par un trait vertical dans la marge

La dimension combinatoire d'un \(\mathbf{X} \in \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\) est le Sup des cardinaux des parties finies \(\Phi\) précédentes, diminués de 1. Donc la dim combinatoire est \(\geq 0\), et elle est nulle ssi \(\mathbf{X}\) est un élément minimal de \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\).

Dans les exemples types, ce les figures élémentaires minimales correspondent aux parties fermées de \(X\) qui sont des variétés connexes.

Si \(\Phi \subset \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\) est une figure, sa dim combinatoire est le dim combinatoire, en tant qu'ens. ordonné, i.e. c'est le sup des dim combin. \(\mathbf{X}\), pour \(\mathbf{X} \in \Phi\). Elle est nulle ssi \(\Phi \neq \emptyset\) et \(\Phi\) est formé de […] la relation

12d'ordre sur \(\Phi\) est discrète i.e. \(\Phi \neq \emptyset\) et formé d'éléments minimaux de \(\mathfrak{F}\). sic : \(\mathfrak{F}\), pour \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\)

Ce sont donc les ens. configurations parties de \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}\,\mathrm{min}}\) qui ont les propriétés suivantes « formé de fig. él. » est écrit à droite, au bout de la ligne

Dans les exemples types, ceci correspond aux parties ⌜fermées⌝ \(Y\) de \(X\) qui sont des sous-variétés ⌜non vides⌝, décomposées en strates par les composantes connexes.

Ainsi, les figures de dim \(\leq 0\) s'identifient les sous-variétés (en sens strict, i.e. avec stratification triviale). La sous-variété vide correspond à la configuration vide.

13Subdivision d'une figure. […] On se reporte au cas-type. Soit une figure \(F\), fermée de \(X\) et de […] de ses strates \(X_i\). Une subdivision de figure \(F'\) qui est une subdivision de \(F\) est […] définie par les propriétés le \(\mathfrak{F}\) en tête de la ligne suivante est barré ; « fermée de \(X\) et de ses strates \(X_i\) » : sic, la phrase n'est pas achevée

a) \(|F'| = |F|\) b) la relation d'équiv. dans \(X = |F|\) définie par \(F'\) est plus fine que celle définie par \(F\).

La condition b) implique

b') \(\forall\, X_i\), strate (fermée) de \(X\) pour \(F\), \(X_i\) est réunion de strates de \(X\) pour \(F'\), et ⌜elle⌝ […] est \(=\) équivalente. Ainsi, les strates pour \(F'\) qui sont \(\subset X_i\), forment une figure, qui ⌜est une subdivision de \(F_{X_i}\)⌝ ⌜élémentaire⌝ […] (la figure ⌜induite⌝ par \(F\) sur \(X_i\)) Mais en fin de compte cette figure, de support \(X_i\), n'est pas nécessairement élémentaire (une subdivision d'une figure élém. peut n'être pas élémentaire) « est une subdivision de \(F_{X_i}\) », « élémentaire » et « induite » sont écrits au-dessus des lignes ; leur place exacte dans la phrase n'est pas sûre

14On va dire les choses autrement, en introduisant une autre relation d'ordre dans \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\), plus fine que l'inclusion. […]

Soient \(F\), \(F'\) deux fig. élémentaires. Je dis que \(F' \ll F\) (que \(F'\) raffine \(F\)) si toute cellule strate ouverte de \(F'\) est contenue dans une ⌜(unique, bien sûr)⌝ strate ouverte de \(F\). NB On a aussi […] donc \(|F'| \subset |F|\), mais pas nécessairement \(|F'| = |F|\)) C'est une relation d'ordre sur l'ens. des figures, plus forte que celle d'inclusion (qui signifie […] que toute ⌜strate⌝ cellule ouverte de \(F'\) est une ⌜strate⌝ cellule ouverte de \(F\)). Cette relation […] […] […] […] se déduit de la relation d'ordre induite sur l'ens. des figures élémentaires, \(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\), […] on a dans la première formule, les indices et exposants de \(F\), \(F'\) sont surchargés (restes d'une notation \(F_0\), \(F'_0\) abandonnée) ; on garde la lecture finale \(F' \ll F\). Au-dessus de la ligne, une parenthèse fermante renvoie après « \(|F'| = |F|\) »

\(F'\) raffine \(F\) ssi pour tout \(F'_{X'}\) (\(X' \in \Sigma_{F'}\)), \(\exists\, X \in \Sigma_F\), telle que \(F'_{X'}\) raffine \(F_X\)

15Ceci dit, une figure \(F'\) est une subdivision d'une figure \(F\) ssi elle raffine \(F'\), et ⌜si⌝ elle a même support. Mais (cf plus bas) cela équivaut : ⌜ssi⌝ \(F\) est maximale ⌜par⌝ parmi les figures qui raffinent \(F\). […] Ainsi, on trouve … […] […] de structure : sic : « raffine \(F'\) », pour « raffine \(F\) ». Cette phrase est très corrigée : « ssi », « Mais (cf plus bas) », « par » sont écrits au-dessus de la ligne ; « la relation \(\leq\), pour tout […] les » est intercalé et n'est lu qu'en partie

(5) est cerclé, à la suite des données (1) à (4) de la page 9. Devant \(\forall\) et devant \(F\), des signes sont raturés

Ceci posé : \(X \leq X'\) ssi ⌜Pour \(X, X' \in \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\), on a :⌝ \(F_{X'}\) […] \(\{X, X'\}\) comp. et \(X \ll X'\).

(6) On appellera subdivision d'une figure \(F\), \(F' \subset \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\), on a […] des figures \(F \ll F'\)

Conséquence \(\Longrightarrow\) \(F\), \(F'\) compatibles, et

\(F \leq F'\) un (6) cerclé ouvrait ces lignes ; le passage est barré de plusieurs traits Dans les structures (3) et (5), […] structure (1) […] note oblique dans la marge gauche, en face du passage biffé ; (3), (5), (1) y sont cerclés

Ceci posé, on dira qu'une figure \(F'\) est une subdivision d'une autre \(F\), si c'est un raffinement, et si elle est maximale, pour la relation \(\subset\), parmi les raffinements de \(F\).

16Justification (?) Revenons au cas type, ⌜de \(F\)⌝ \(F'\) un raffinement, tel que \(|F'| \neq |F|\). Montrons que \(F'\) n'est pas ⌜pour \(\leq\),⌝ maximal, parmi les raffinements de \(F\). On va définir un raffinement canonique ⌜\(F''\)⌝ de \(F\), qui est […] une subdivision, et qui contient la figure \(F'\). (donc strictement, puisque \(\underbrace{|F'|}_{X'} \neq \underbrace{|F|}_{X} = |F''|\)) Les cellules strates ouvertes de \(F''\) seront

« \(U'_j\) » et « \(V_{i\alpha}\) » sont écrits au-dessus des lignes a), b), rattachés par un trait ; « \(U_i \cap X'\) » est souligné d'une accolade Il faut prouver les conditions […] de stratification, et pour commencer […] d'une \[\partial V_{i\alpha} \overset{\mathrm{déf}}{=} \overline{V_{i\alpha}} \smallsetminus V_{i\alpha} \quad \text{est réunion de strates}\] Donc dire que \(\partial V_{i\alpha} \cap U_i \subset\) Frontière de \(V_{i\alpha}\) dans \(U_i\) ⌜\(\subset X' \cap U_i\)⌝ il y a un pb, qui a l'air intéressant, de topologie d'un espace stratifié ⌜\((X' \cap U_i)\)⌝ dans une variété (top. ou modérée) \((U_i)\) la fin de la page est serrée et en partie surchargée ; « topologie » est écrit au-dessus d'un mot biffé

À […] […], […] […] raffinement […] […] subdivision […] […] […] \(F'\) […] […] \(X'\) […] \(U_i \cap F \cup\) […] \(F''\) […] figure […] \(F'\) […] une longue note oblique occupe toute la marge gauche de la page ; elle n'est lue que par fragments

17Une contrée est définie par la ⌜donnée⌝ […]

au-dessus de 1°) et 2°), des mots obliques (« régulière » ?) et, entre les lignes 2°) et 3°), une insertion oblique « \(\leq\) ou […] » ne sont lus qu'en partie ; « compatibilité » est écrit sur un mot biffé ; le numéro « 4°) » est dans la note de marge et n'est pas sûr NB […] […] […] […] 4°) […] […] configuration […] […] […] contrée finie […] plutôt « configuration » […] figure […] longue note oblique dans la marge gauche, lue par fragments

Contr\(_1\) Si ⌜Soient⌝ deux fig. élémentaires \(\mathbf{X}\), \(X'\), on pose \(X' \leq \mathbf{X}\) ssi (déf) \(X' \ll X\), et \(X'\) et \(X\) sont comp. alors on trouve une relation d'ordre,

De plus, en termes de cette relation d'ordre, on a les propriétés Fig\(_1\) ⌜et \(\mathrm{Fig}_2\)⌝ \[(\Longleftrightarrow [\text{si } X', X'' \ll X, \text{ sont compatibles à } X \text{, ils sont compatibles entre eux}])\] Fig\(_2\) (dim combinatoire finie) On va « et Fig\(_2\) » (ou « Fig\(_{1,2}\) ») est écrit sous « Fig\(_1\) » ; « et à \(X\), \(X'\) » est écrit au-dessus de « sont compatibles ». Un double trait vertical marque la ligne entre crochets dans la marge

18la raffinement ⌜renforcer⌝. – « renforcer » est écrit au-dessus du mot biffé ; il continue « On va » de la page 17

Contr\(_2\) Si \(\mathbf{X} \in \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\), dans l'ens. […] […] \(\{X' \in \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} \mid X' \ll \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\}\) ces lignes sont barrées de traits obliques ; sic, « \(X' \ll \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\) »

Contr\(_2\) Pour \(\forall\, \mathbf{X} \in \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\), considérons la dim comb. (pour \(\leq\)) des \(X' \in \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\) tel que qui raffinent \(\mathbf{X}\). Alors les dim. comb. de ces \(X'\) est majorée.

[…] Leur borne sup. s'appelle la dimension ⌜(géom.)⌝ de \(X\). La dim géom d'une figure, est par déf. le sup des […] dim géom. des figures élémentaires constituantes. C'est donc le sup ⌜des \(n\)⌝ pour ⌜les⌝ longueurs des chaînes \((X_0, X_1, \ldots, X_n)\) avec \[X_0 < X_1 < \cdots < X_{n-1} \ll X_n \in F .\] Donc la dimension […] le « \(\ll\) » est écrit plus gras que les « \(<\) » ; au bout de la ligne, une insertion serrée (« Elle […] […] […] \(F\) […] \(F\) raffine \(F\), élément […] subdivision ») n'est lue qu'en partie

(11 juin) date de sa main, soulignée, dans la marge gauche en face de ce paragraphe : « (11 juin) », c'est-à-dire le 11 juin 1986, le lendemain du 10 juin de la page 1 On aurait pu dire […] « […] » […] un […] la notion de parties ⌜([…])⌝ constructibles, et […] admissions ⌜[…] figures […]⌝ […] […] constructibles […] comme […] […] […] ⌜d'une figure⌝ de variétés ⌜à une figure⌝ […] donnée par […] […] \[\ll, \quad \text{compatibilité sur } \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} \struck{\ill{}}.\] […] sérieusement. Pour la peine ultérieurement, j'ai envie de pousser […] un peu dans la direction \(\ll\), compatibilité Aussi […] […] […] figures […] […] […] […] le bas de la page est un palimpseste : plusieurs lignes d'insertions obliques, en partie biffées, se chevauchent au-dessus du texte principal et dans la marge gauche ; seul le fil principal est donné, par fragments

19j'en arrive à la notion de lieu, et d'interprétation des domaines en termes de lieux.

Mais en terminologie, au lieu de « figure élémentaire », je préfère dorénavant « multistrate », plus parlant. Donc une figure quelconque est un ens. de multistrates mutuellement compatibles, fermé pour \(\leq\), et loc. fini.

[…] On appelle multi lieux de la contrée, un multistrate qui est minimal pour \(\ll\), i.e. qui n'a d'autre raffinement que lui-même. C'est donc C'est donc Dans les (Dans les exemples-types, ils sont réduits à une […] […] de parties de \(\mathbf{X}\), réduits à une seule partie, qui est ponctuelle – donc les lieux sont les pts de \(X\) –) Ce sont donc aussi des multistrates minimaux pour \(\leq\), […] ⌜i.e. faits des⌝ « variétés » […] non vides – ce sont les sous-variétés \(0\)-connexes qui n'ont pas de raffinement autre qu'elle-même. à droite des deux lignes biffées « C'est donc », quelques mots raturés dans la marge. \(\mathbf{X}\) est ici l'\(X\) barré ; « \(0\)-connexes » : lecture du chiffre sûre, du sens non

Soit \(\mathcal{L}\) l'ensemble des lieux, \[\struck{\text{Pour tout}}\ \mathcal{L} \subset \mathcal{M} \quad (= \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} = \text{ensemble des multistrates})\] sous « Pour tout » biffé, un mot (« donc » ?) ; \(\mathcal{M}\) est sa capitale cursive M

20toute Pour tout multistrate \(X\), soit \(\mathcal{L}_X\) ⌜\(\in \mathfrak{P}(\mathcal{L})\)⌝ l'ens. des lieux qui raffinent \(X\). \(\widehat{\mathcal{L}}_X\) et soit \[\widehat{\mathcal{L}}_X \subset \mathfrak{P}(X) \qquad \text{i.e.} \qquad \widehat{\mathcal{L}}_X \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(X))\] l'ensemble des […] \(\mathcal{L}_Y\) pour \(Y \leq X\) (\(Y\) sous-multistrate de \(X\)). Considérons les J'aimerais reconstituer les structures \(\ll\) et comp. sur \(\mathcal{M}\), en termes de l'application \[X \longmapsto \widehat{\mathcal{L}}_X \qquad \mathcal{M} \longrightarrow \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(X)) .\] le chapeau de \(\widehat{\mathcal{L}}_X\) est écrit par-dessus un signe raturé ; \(\mathfrak{P}(X)\) : sic, on attendrait \(\mathfrak{P}(\mathcal{L})\), comme plus bas

Contr\(_3\) Notons que pour \(\mathcal{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M})\), sous-ens. figures, on pose \[\struck{\ill{}}\ \mathcal{L}_{\mathcal{F}} = \text{ens. des lieux qui raffinent } \mathcal{F} \quad \text{i.e.} \quad \mathcal{L}_{\mathcal{F}} = \bigcup_{X \in \mathcal{F}} \mathcal{L}_X \in \mathcal{L}\] \[\widehat{\mathcal{L}}_{\mathcal{F}} = \{\mathcal{L}_X \mid X \in \mathcal{F}\} \in \mathfrak{P}(\mathcal{L}) \qquad \text{i.e.} \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{L}))\] qui nous donne \[\mathcal{F} \longmapsto \widehat{\mathcal{L}}_{\mathcal{F}} \qquad \mathcal{F} \longrightarrow \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(X))\] il note ici une figure \(\mathcal{F}\) par sa capitale cursive F ; « sous-ens. » est écrit au-dessus de la ligne, lecture douteuse. Sic : « \(\in \mathcal{L}\) » pour \(\subset \mathcal{L}\), « \(\in \mathfrak{P}(\mathcal{L})\) » corrigé en « \(\in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{L}))\) », et \(\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(X))\) en fin de page

Contr\(_3\) a) Pour que \(X \ll Y\) faut-il \(X, Y \in\)

Soient \(X\), \(Y\) deux multistrates. Si Supposons \(X \ll Y\). Alors pour tout \(X_i \leq X\), […] ces dernières lignes sont barrées de traits obliques ; la page s'arrête là