Fonds Grothendieck, cote n° 156-4, pages 1–20

Analysis situs (première mouture)

titre de sa main, souligné, en tête de la page 1, suivi de « (première mouture) » ; dessous, la date de sa main « (10 Juin 1986) ». Dans l'angle supérieur droit, dans un angle tracé à la plume, « GF IV » (le chiffre souligné) : Géométrie des formes, chapitre IV. Il numérote ses pages de 1 à 20 en haut des feuillets ; sa numérotation coïncide ici avec celle des archivistes

1. Comme modèle « ensembliste topologique » de l'axiomatique d'un « modèle de formes topologiques » (cas d'une « contrée »), considérons les notions suivantes. Modèle : un « espace » \pm ordinaire. « topologiques » est écrit sous la ligne et renvoyé par un trait après « formes »

On suppose ici que \mathbb{X} est un espace topologique séparé, ou un espace modéré (pas néc. compact) pour une théorie modérée donnée. Dans ce cas « partie fermée » signifie « partie fermée modérée ». l'espace ambiant est noté par un X double, encadré ou barré, rendu ici \mathbb{X} ; le mot sous « partie fermée », à la fin de la ligne, est surchargé

I) Figures. Une figure F / de \mathbb{X} est une partie fermée X, munie d'une décomposition de Y en parties X_i : \{X_i\} \in \mathfrak{P}(Y) \qquad X = \bigcup X_i appelées les strates fermées. On fait les hypothèses « de Y », « \mathfrak{P}(Y) » : sic, pour la partie fermée appelée X une ligne plus haut X est appelé le support de la figure |F| note oblique dans la marge gauche, en face de la définition ; lue en partie

a)Les X_i fermés non vides et loc. connexes (pas néc. connexes) (loc. c'est automatique si \mathbb{X} l'est, i.e. \mathbb{X} ) la note de marge est entre accolades sur la page b)La famille des X_i est loc. finie c)Si (dans hyp. a) b)) \Rightarrow réunion de strates est fermée X_i \subset X_j, X_i \neq X_j (i.e. i < j) alors X_i rare dans X_j d)Posant \partial X_i = \struck{\ill{}} \bigcup_{j < i} X_j (dans X_i

les ajouts à a) et c) sont écrits au-dessus de la ligne, serrés contre le bord droit ; la fin de la ligne a) est surchargée et n'est lue qu'en partie NB on pose i \leq j \Leftrightarrow X_i \subset X_j, i < j \Leftrightarrow X_i \subsetneq X_j

est fermé dans tous les X_i, par a) b) c)) alors \mathrm{int}(X_i) = X_i \smallsetminus \partial X_i (qui est donc un ouvert rel. dans X_i (X_j), et non vide puisque X_i l'est) soit 1°) une variété 2°) connexe. (NB dans le cas \mathbb{X} modéré, on prend « variété » au sens modéré, entendu.) « soit » et « (X_j) » sont écrits au-dessus de la ligne ; « variété » est souligné deux fois

f) X_i \cap X_j est réunion de F, X_k. lettre « f) » écrite sur un autre signe ; le « F » gras est écrit au-dessus de « de », sans doute pour « de strates de F » e) Si ~~X_i < X_j~~, alors dim (X_{ij}) les la condition e) est écrite en oblique dans la marge gauche, en partie biffée, avec un trait fléché et les signes « +1 », « +0 » près d'un gribouillis ; elle n'est lue que par fragments

Donc une figure F peut s'identifier à l'ens. de ses strates, qui est un ens. de parties fermées de X F \subset \mathfrak{P}_f(X) \qquad \text{i.e.} \qquad F \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}_f(X)) (X se reconstituant \{X_i\} comme \bigcup X_i), satisfaisant certaines conditions (qui vérifient , a) à d)). On a donc l'ens. des figures, soit \mathfrak{F}, qui est donc un ens. de parties de \mathfrak{P}_f(X) \mathfrak{F} \subset \mathfrak{P}(\mathfrak{P}_f) \qquad \text{i.e.} \qquad \mathfrak{F} \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathfrak{P}_f(X))) \mathfrak{P}_f(X) : l'indice f semble désigner ici les parties fermées ; à la page 2 le X de \mathfrak{P}_f(X) est écrit en gras

À chaque F \in \mathfrak{F} est associé l'ens. ordonné \Sigma_F de ses strates. L'ens. somme \Sigma = \coprod_{F \in \mathfrak{F}} \Sigma_F \longrightarrow \mathfrak{F} s'identifie à l'ens. des couples (F, X_i), où F est une figure et X_i est une strate de F i.e. X_i \in F. la flèche est verticale sur la page, de \Sigma vers \mathfrak{F} les fibres sont les \Sigma_F NB Dans le cas d'espèce, à \Sigma_F = F ~~mais~~

Si F, F' sont deux figures, on dit que F' est une sous-figure de F, si toute strate de F' est une strate de F, i.e. F' \subset F. Donc ~~le support~~ on a ~~\sigma(F)~~ et |F'| \subset |F| NB Si X_i \in F', et Y_j \in F est tel que Y_j \subset X_i, alors Y_j \in F' ~~En effet Y \in (Y_j), alors~~ ~~La relation~~

On écrit F' \leq F pour cette relation, qui est une relation d'ordre dans \mathfrak{F}. L'ens. des sous-figures de F est en corr. 1-1 avec l'ens. des parties \Phi (\subset \Sigma_F) de ~~\Sigma~~ \Sigma_F (ens. des strates) qui ont la propriété que (i, j \in \Sigma_F, i \in \Phi) j \leq i \Longrightarrow j \in \Phi (idéaux « fermés » de l'ens. ordonné, pour la top. sur \Sigma_F = \Sigma ~~de fermés~~ ~~d'ouverts~~ / décroissants les les \Sigma_{\leq i}). \Phi rend une capitale cursive barrée, la même qu'aux pages 5, 8-11 pour une partie de \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}. La fin de la parenthèse est surchargée : l'indice de \Sigma_{\leq i} est écrit sur un signe biffé

~~Ainsi, on a une relation d'ordre sur~~ 11.6. plus loin on dira « multistrate » dans la marge gauche, en oblique, « 11.6. » souligné, puis quelques mots ; ils semblent renvoyer au 11 juin (page 18) et au terme « multistrate » que la page 19 substitue à « figure élémentaire » Figure élémentaire : qui a une strate maximale i.e. \Sigma_F a un plus grand élément. Soit \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} l'ens. des figures élémentaires. ~~Alors~~ \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} est entouré d'un cercle

Pour toute figure F, les sous-figures élémentaires sont en corr. 1-1 avec les

strates de F. ~~Donc on peut dire~~

F figure \Sigma_F ens. de ses strates \Sigma'_F ens. des sous-figures élémentaires.

On a : \Sigma'_F \simeq \Sigma_F, \qquad \Sigma'_F \subset \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} l'inclusion \Sigma'_F \subset \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} est écrite verticalement sous \Sigma'_F F est connu quand on connaît \Sigma'_F \subset \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}, car F est l'ens. des strates des F' \in \Sigma'_F.

Mais la relation d'inclusion entre figures s'interprète comme une relation d'inclusion entre parties de \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}.

~~Donc~~ Considérons la relation d'inclusion \leq entre figures élémentaires. ~~Alors~~ Ainsi, \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} est un ens. ordonné. Si ~~Donc~~ F est une figure, \Sigma'_F est une ~~figure dont dites~~ partie fermée de l'ens. ordonné \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}. L'inclusion entre figures est l'inclusion entre ces parties fermées. au-dessus de la ligne biffée, « F est une figure » est récrit ; « Ainsi » et « Si » sont écrits au-dessus des mots biffés

~~Pour qu'une partie \Phi de \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} soit de la forme \Sigma'_F, il faut et suffit :~~

~~a) Que \Phi soit une partie fermée de \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}~~

~~b) Que la ~~famille~~ |\varphi|,~~

~~F, F' Deux figures dites~~

~~Considérons deux figures F, F', vérifiant les conditions |F| \cap |F'|~~ le haut de la page, jusqu'à « |F| \cap |F'| », est barré de longs traits obliques, les dernières lignes étant de plus enfermées dans un contour

Soit F une figure, une partie A de |F| = \mathrm{supp}\, F est dite F-saturée, si saturée (pour F) i.e. elle est saturée pour la relation d'équivalence définie par les ~~X_i~~ \mathrm{int}(X_i) (strates « ouvertes »). Si (X_i) est l'ens. des strates), cela signifie que réunion de strates (fermées)

relation \cap, \cup |F| A F' A |F| figure F' \subset (F') |F'| une longue note oblique couvre la marge gauche du bas de la page ; seuls des fragments en sont lus

Soient F, F' deux figures. Considérons les conditions

~~a) |F| \cap |F'| est F-saturée et F'-saturée~~

a) \forall\, X \in \Sigma_F, X' \in \Sigma_{F'}, X \cap X' est F_X-saturée ~~dans F_X~~ et F'_{X'}-saturée

~~c) \exists ~~sous-~~figure F'', telle que~~

~~1°) F'' sous-figure de F, et de F'~~

~~2°) (|F| \cap |F'|) = |F''|~~

~~Si X U strate connexe de F, U' strate~~ ces lignes sont barrées de traits obliques

b) Si U_i est une ~~cellule~~ strate ouverte de F, U'_j strate ouverte de F', alors on a U_i \cap U'_j = \emptyset \quad \text{\emph{ou}} \quad U_i = U'_j .

Ces conditions sont équivalentes

~~b \Rightarrow a trivial (puisque |F| = \bigcup X_i, |F'| = \bigcup X'_j)~~

b) \Longrightarrow a) trivial, prouvons

a) \Longrightarrow b) Si Supposons que prouvons U_i = U'_j, U_i \cap U'_j \neq \emptyset, ~~U_i \neq U'_j donc~~ ~~X_i \neq X'_j Considérons X_i \cap X'_j (\neq \emptyset),~~ soit x \in U_i \cap U'_j, Considérons X_i \cap X'_j, est fermée F_{X_i}-saturée, et ~~et le~~ x \in U_i, X_i \subset X_i \cap X'_j, ~~X_i \cap X'_j~~ i.e. X_i \subset X'_j. = X'_j \subset X_i X_i = X'_j . ~~Donc~~ On en conclut directement \partial X_i = \partial X'_j. Mais ~~X_i~~ U_i = U'_j, ~~on a~~ i.e. a) \Rightarrow b) On le prouve par récurrence sur \sup(\dim F, \dim F') (on est ~~ramené~~ ramené au cas des figures F_{X_i}, F'_{X'_j} de dim. i.e. finie…) le raisonnement est écrit vite et beaucoup corrigé : plusieurs débuts de ligne, dans la marge gauche, sont biffés ; l'ordre des ajouts interlinéaires n'est pas sûr

On dit que F, F' sont compatibles si les conditions en question sont satisfaites. Pour ceci, il faut et il suffit que pour toutes F_0 \in \Sigma'_F, F'_0 \in \Sigma'_{F'}, F_0 et F'_0 soient compatibles.

Donc, dans l'ens. ordonné \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} des figures élémentaires, on a introduit une relation symétrique, réflexive) \mathcal{R} \subset \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} \times \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} F_0 comp. avec F'_0 ou encore S \subset \mathfrak{P}_2(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}}) paires compatibles les deux gloses sont écrites à droite des formules ; devant la première, un mot est raturé

NB Si F_0, F'_0 sont des fig. él. telles que F_0 \leq F'_0, alors elles sont compatibles. Mieux, si F'_0, F''_0 \leq F, alors F_0 et F'_0 sont compatibles entre elles sic : « F_0 et F'_0 » après « si F'_0, F''_0 \leq F » ; la fin de la phrase est écrite sous la ligne

Configuration Ens. de figures deux à deux compatibles. Configuration élémentaire : ens. de figures élémentaires deux à deux compatibles.

Soit F une figure, ~~\Sigma'~~ \Sigma'_F = \Phi \subset \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} la partie de \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} associée. ~~Alors~~ On a les conditions

a)\Phi est fermée dans l'ens. ordonné \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} b)Si ~~F_0, F'_0 \in~~ \mathfrak{F}_1, \mathfrak{F}_2 \in \Phi, \mathfrak{F}_1 \neq \mathfrak{F}_2 alors \mathfrak{F}_1, \mathfrak{F}_2 sont compatibles, i.e. \Phi est une configuration c)\Phi est « loc. fini » en un sens convenable.

\mathfrak{F}_1, \mathfrak{F}_2 : il écrit ici deux éléments de \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} avec la même capitale cursive que \mathfrak{F}

si on veut exclure le cas des figures infinies, il faut aussi considérer dans \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} donnée des parties loc. finies (i.e. dont la famille des supports dans X est loc. finie) qui forment un antifiltre dans \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}.

Inversement, tout \Phi satisfaisant a) b) c) provient d'une figure et d'une seule.

Ainsi, on est arrivé à la structure suivante

(1)\mathfrak{F}_{\mathrm{él}} ens. des « figures élémentaires » (2)relation d'ordre sur \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}, \leq (inclusion des figures) (3)relation symétrique réflexive \mathcal{R} « F et G compatibles ». Configuration (élémentaire) partie de \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} formée d'él. deux à deux compatibles (4)~~Antifiltre sur \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} des parties~~ Parmi les configurations, celles qui sont « loc. finies », un de l'ens. \mathrm{Conf}_{\mathrm{l.f.}} \subset \mathfrak{P}(\mathfrak{F}_{\mathrm{él}})

les nombres (1) à (4) sont cerclés sur la page. La définition de « configuration » dans (3) est écrite au-dessus et à droite de la ligne, par-dessus un mot biffé deux à deux compatibles note oblique dans la marge gauche, en face de (3) et (4), lue en partie

~~Avec~~ propriétés d'antifiltre :

a)Toute configuration réduite à une seule figure él. est loc. finie b)Si \Phi est une configuration, \Phi loc. finie ssi la partie fermée (pour la rel. d'ordre \leq) c)Si \Phi est une configuration, ~~\Phi, \Psi~~ loc. finie dans la, toute \Psi \subset \Phi est loc. finie d)Si \Phi est une configuration, \Phi = \bigcup \Phi_i (réunion finie) où les \Phi_i sont loc. finies, alors \Phi aussi.

au-dessus de c), un mot (« l' ») rattaché à la fin de b), qui porte peut-être sur la partie fermée engendrée par \Phi (les configurations « ») : loc. finies X finies seconde note oblique dans la marge gauche, en face de a)–d), lue par fragments

On définit dans l'ens. \mathfrak{F} des figures, comme l'ens. des parties \Phi = \Sigma'_F de \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}, qui sont

a)des configurations b)fermées pour la relation d'ordre c)loc. finies.

un « F » est écrit au-dessus de « figures » Figures finies : parties finies de \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} satisfaisant a) et b). satisfaisant a) c) X \ill{} \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} figures deux notes obliques couvrent la marge gauche en face de ces lignes, en partie sur « finies » ; elles ne sont lues que par fragments

Notons encore une propriété, en plus des propriétés a) à d) (p. 9) ci-dessus, de la relation entre (2) et (3) (2) et (3) sont cerclés ; ils renvoient aux données (2), (3) de la page 9, dont viennent aussi les propriétés a) à d)

~~Axiome d.~~

Fig_1 Si \mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2 \leq \mathbf{X} sont des fig. él. alors \{\mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2\} \in \mathcal{R} i.e. \{\mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2\} est une configuration. [Dans l'ens. des \mathbf{X}' \mathbf{X}' \leq \mathbf{X} est une configuration, et en vertu de a) b) c) donc est une figure : la figure associée à F…] à partir d'ici il note les figures élémentaires par un X barré, rendu \mathbf{X} ; le premier \mathbf{X}_1 est écrit sur un signe biffé. Le « F » de la fin est sic, pour \mathbf{X} figure élémentaire associée note oblique dans la marge gauche, en face du crochet, lue en partie

Fig_2 Soit \mathbf{X} \in \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}, Considérons l'ens. ordonné des \mathbf{X}' \leq \mathbf{X} est de dim. comb. finie, i.e. il existe un entier n, tel que les parties finies majorées par \mathbf{X}, et tot. ordonnées sont de cardinal \leq n. l'ajout « Soit \mathbf{X} \in \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}, » est écrit au-dessus de la ligne et renvoyé devant « Considérons » ; « et tot. ordonnées » est écrit au-dessus de la ligne. Fig_1 et Fig_2 sont réunis par un trait vertical dans la marge

La dimension combinatoire d'un \mathbf{X} \in \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} est le Sup des cardinaux des parties finies \Phi précédentes, diminués de 1. Donc la dim combinatoire est \geq 0, et elle est nulle ssi \mathbf{X} est un élément minimal de \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}.

Dans les exemples types, ce les figures élémentaires minimales correspondent aux parties fermées de X qui sont des variétés connexes.

Si \Phi \subset \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} est une figure, sa dim combinatoire est le dim combinatoire, en tant qu'ens. ordonné, i.e. c'est le sup des dim combin. \mathbf{X}, pour \mathbf{X} \in \Phi. Elle est nulle ssi \Phi \neq \emptyset et ~~\Phi est formé de~~ la relation

d'ordre sur \Phi est discrète i.e. \Phi \neq \emptyset et formé d'éléments minimaux de \mathfrak{F}. sic : \mathfrak{F}, pour \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}

Ce sont donc les ~~ens.~~ ~~configurations~~ parties de \mathfrak{F}_{\mathrm{él}\,\mathrm{min}} qui ont les propriétés suivantes « formé de fig. él. » est écrit à droite, au bout de la ligne

a)c'est une configuration, i.e. mutuellement ~~dis~~ compatibles, et elle est non vide b)Elle est loc. finie.

Dans les exemples types, ceci correspond aux parties fermées Y de X qui sont des sous-variétés non vides, décomposées en strates par les composantes connexes.

Ainsi, les figures de dim \leq 0 s'identifient les sous-variétés (en sens strict, i.e. avec stratification triviale). La sous-variété vide correspond à la configuration vide.

Subdivision d'une figure. On se reporte au cas-type. Soit une figure F, fermée de X et de de ses strates X_i. Une ~~subdivision~~ de figure F' qui est une subdivision de F est définie par les propriétés le \mathfrak{F} en tête de la ligne suivante est barré ; « fermée de X et de ses strates X_i » : sic, la phrase n'est pas achevée

a) |F'| = |F| b) la relation d'équiv. dans X = |F| définie par F' est plus fine que celle définie par F.

La condition b) implique

b') \forall\, X_i, strate (fermée) de X pour F, X_i est réunion de strates de X pour F', et elle est = équivalente. Ainsi, les strates pour F' qui sont \subset X_i, forment une figure, qui est une subdivision de F_{X_i} élémentaire (la figure induite par F sur X_i) Mais en fin de compte cette figure, de support X_i, n'est pas nécessairement élémentaire (une subdivision d'une figure élém. peut n'être pas élémentaire) « est une subdivision de F_{X_i} », « élémentaire » et « induite » sont écrits au-dessus des lignes ; leur place exacte dans la phrase n'est pas sûre

On va dire les choses autrement, en introduisant une autre relation d'ordre dans \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}, plus fine que l'inclusion.

Soient F, F' deux fig. ~~élémentaires~~. Je dis que F' \ll F (que F' raffine F) si ~~toute~~ ~~cellule~~ strate ouverte de F' est contenue dans une (unique, bien sûr) strate ouverte de F. NB On a aussi donc |F'| \subset |F|, mais pas nécessairement |F'| = |F|) C'est une relation d'ordre sur l'ens. des figures, plus forte que celle d'inclusion (qui signifie que toute strate ~~cellule~~ ouverte de F' est une strate ~~cellule~~ ouverte de F). Cette relation se déduit de la relation d'ordre induite sur l'ens. des figures élémentaires, \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}, on a dans la première formule, les indices et exposants de F, F' sont surchargés (restes d'une notation F_0, F'_0 abandonnée) ; on garde la lecture finale F' \ll F. Au-dessus de la ligne, une parenthèse fermante renvoie après « |F'| = |F| »

F' raffine F ssi pour tout ~~F'_{X'}~~ (X' \in \Sigma_{F'}), \exists\, X \in \Sigma_F, telle que F'_{X'} raffine F_X

Ceci dit, une figure F' est une subdivision d'une figure F ssi elle raffine F', et si elle a même support. Mais (cf plus bas) cela équivaut : ssi F est maximale par ~~parmi~~ les figures qui raffinent F. Ainsi, on trouve … de structure : sic : « raffine F' », pour « raffine F ». Cette phrase est très corrigée : « ssi », « Mais (cf plus bas) », « par » sont écrits au-dessus de la ligne ; « la relation \leq, ~~pour~~ tout les » est intercalé et n'est lu qu'en partie

(5)Une relation d'ordre \ll sur \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} (« raffinement »), impliquée par \leq, d'où une relation, pour deux figures F \subset \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} et F' \subset \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}, F raffine F' : \struck{\ill{}}\ \forall\, X \in F, \quad \exists\, X' \in F' \text{ telle que } X \ll X'.

(5) est cerclé, à la suite des données (1) à (4) de la page 9. Devant \forall et devant F, des signes sont raturés

Ceci posé : X \leq X' ssi Pour X, X' \in \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}, on a : ~~F_{X'}~~ \{X, X'\} comp. et X \ll X'.

~~(6) On appellera subdivision d'une figure F, F' \subset \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}, on a des figures F \ll F'~~

~~Conséquence \Longrightarrow F, F' compatibles, et~~

~~F \leq F'~~ un (6) cerclé ouvrait ces lignes ; le passage est barré de plusieurs traits Dans les structures (3) et (5), structure (1) note oblique dans la marge gauche, en face du passage biffé ; (3), (5), (1) y sont cerclés

Ceci posé, on dira qu'une figure F' est une subdivision d'une autre F, si c'est un raffinement, et si elle est maximale, pour la relation \subset, parmi les raffinements de F.

Justification (?) Revenons au cas type, de F F' un raffinement, tel que |F'| \neq |F|. Montrons que F' n'est pas pour \leq, maximal, parmi les raffinements de F. On va définir un raffinement canonique F'' de F, qui est une subdivision, et qui contient la figure F'. (donc strictement, puisque \underbrace{|F'|}_{X'} \neq \underbrace{|F|}_{X} = |F''|) Les ~~cellules~~ strates ouvertes de F'' seront

a)les strates U'_j ouvertes de F' b)Les comp. connexes V_{i\alpha} des U_i \smallsetminus U_i \cap X' (U_i est une strate ouverte de F) (i.e. chaque fois que ce n'est pas \emptyset)

« U'_j » et « V_{i\alpha} » sont écrits au-dessus des lignes a), b), rattachés par un trait ; « U_i \cap X' » est souligné d'une accolade Il faut prouver les conditions de stratification, et pour commencer d'une \partial V_{i\alpha} \overset{\mathrm{déf}}{=} \overline{V_{i\alpha}} \smallsetminus V_{i\alpha} \quad \text{est réunion de strates} Donc dire que \partial V_{i\alpha} \cap U_i \subset Frontière de V_{i\alpha} dans U_i \subset X' \cap U_i il y a un pb, qui a l'air intéressant, de topologie d'un espace stratifié (X' \cap U_i) dans une variété (top. ou modérée) (U_i) la fin de la page est serrée et en partie surchargée ; « topologie » est écrit au-dessus d'un mot biffé

À , raffinement subdivision F' X' U_i \cap F \cup F'' figure F' une longue note oblique occupe toute la marge gauche de la page ; elle n'est lue que par fragments

Une contrée est définie par la donnée

1°)Un ensemble de « figures élémentaires », \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} 2°)Une relation d'ordre ~~\leq~~ \ll (raffinement) parmi les figures élémentaires 3°)Une relation réflexive symétrique \mathcal{R} (« compatibilité ») parmi les figures élémentaires 4°) un antifiltre dans l'ens. des parties de \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}, appelées loc. « finies » – dans le cas de nos « contrées » finies, ce sont les parties finies qui sont des « configurations » i.e. formées de figures él. deux à deux compatibles, satisfaisant à des conditions convenables, à dégager. Il y a déjà celle-ci :

au-dessus de 1°) et 2°), des mots obliques (« régulière » ?) et, entre les lignes 2°) et 3°), une insertion oblique « \leq ou » ne sont lus qu'en partie ; « compatibilité » est écrit sur un mot biffé ; le numéro « 4°) » est dans la note de marge et n'est pas sûr NB 4°) configuration contrée finie plutôt « configuration » figure longue note oblique dans la marge gauche, lue par fragments

Contr_1 Si Soient deux fig. élémentaires \mathbf{X}, X', on pose X' \leq \mathbf{X} ssi (déf) X' \ll X, et X' et X sont comp. alors on trouve une relation d'ordre,

De plus, en termes de cette relation d'ordre, on a les propriétés Fig_1 et \mathrm{Fig}_2 (\Longleftrightarrow [\text{si } X', X'' \ll X, \text{ sont compatibles à } X \text{, ils sont compatibles entre eux}]) Fig_2 (dim combinatoire finie) On va « et Fig_2 » (ou « Fig_{1,2} ») est écrit sous « Fig_1 » ; « et à X, X' » est écrit au-dessus de « sont compatibles ». Un double trait vertical marque la ligne entre crochets dans la marge

la ~~raffinement~~ renforcer. – « renforcer » est écrit au-dessus du mot biffé ; il continue « On va » de la page 17

~~Contr_2 Si \mathbf{X} \in \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}, dans l'ens. \{X' \in \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} \mid X' \ll \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}\}~~ ces lignes sont barrées de traits obliques ; sic, « X' \ll \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} »

Contr_2 Pour \forall\, \mathbf{X} \in \mathfrak{F}_{\mathrm{él}}, considérons la dim comb. (pour \leq) des X' \in \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} ~~tel que~~ qui raffinent \mathbf{X}. Alors les dim. comb. de ces X' est majorée.

Leur borne sup. s'appelle la dimension (géom.) de X. La dim géom d'une figure, est par déf. le sup des dim géom. des figures élémentaires constituantes. C'est donc le sup des n pour les longueurs des chaînes (X_0, X_1, \ldots, X_n) avec X_0 < X_1 < \cdots < X_{n-1} \ll X_n \in F . ~~Donc la dimension~~ le « \ll » est écrit plus gras que les « < » ; au bout de la ligne, une insertion serrée (« Elle F F raffine F, élément subdivision ») n'est lue qu'en partie

(11 juin) date de sa main, soulignée, dans la marge gauche en face de ce paragraphe : « (11 juin) », c'est-à-dire le 11 juin 1986, le lendemain du 10 juin de la page 1 On aurait pu dire « » un la notion de parties () constructibles, et admissions figures constructibles comme d'une figure de variétés à une figure donnée par \ll, \quad \text{compatibilité sur } \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} \struck{\ill{}}. sérieusement. Pour la peine ultérieurement, j'ai envie de pousser un peu dans la direction \ll, compatibilité Aussi figures le bas de la page est un palimpseste : plusieurs lignes d'insertions obliques, en partie biffées, se chevauchent au-dessus du texte principal et dans la marge gauche ; seul le fil principal est donné, par fragments

j'en arrive à la notion de lieu, et d'interprétation des domaines en termes de lieux.

Mais en terminologie, au lieu de « figure élémentaire », je préfère dorénavant « multistrate », plus parlant. Donc une figure quelconque est un ens. de multistrates mutuellement compatibles, fermé pour \leq, et loc. fini.

On appelle ~~multi~~ lieux de la contrée, un multistrate qui est minimal pour \ll, i.e. qui n'a d'autre raffinement que lui-même. ~~C'est donc~~ ~~C'est donc~~ ~~Dans les~~ (Dans les exemples-types, ils sont réduits à une de parties de \mathbf{X}, réduits à une seule partie, qui est ponctuelle – donc les lieux sont les pts de X –) Ce sont donc aussi des multistrates minimaux pour \leq, i.e. faits des « variétés » ~~non vides~~ – ce sont les sous-variétés 0-connexes qui n'ont pas de raffinement autre qu'elle-même. à droite des deux lignes biffées « C'est donc », quelques mots raturés dans la marge. \mathbf{X} est ici l'X barré ; « 0-connexes » : lecture du chiffre sûre, du sens non

Soit \mathcal{L} l'ensemble des lieux, \struck{\text{Pour tout}}\ \mathcal{L} \subset \mathcal{M} \quad (= \mathfrak{F}_{\mathrm{él}} = \text{ensemble des multistrates}) sous « Pour tout » biffé, un mot (« donc » ?) ; \mathcal{M} est sa capitale cursive M

~~toute~~ Pour tout multistrate X, soit \mathcal{L}_X \in \mathfrak{P}(\mathcal{L}) ~~l'ens.~~ des lieux qui raffinent X. \widehat{\mathcal{L}}_X et soit \widehat{\mathcal{L}}_X \subset \mathfrak{P}(X) \qquad \text{i.e.} \qquad \widehat{\mathcal{L}}_X \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(X)) l'ensemble des \mathcal{L}_Y pour Y \leq X (Y sous-multistrate de X). ~~Considérons~~ ~~les~~ J'aimerais reconstituer les structures \ll et comp. sur \mathcal{M}, en termes de l'application X \longmapsto \widehat{\mathcal{L}}_X \qquad \mathcal{M} \longrightarrow \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(X)) . le chapeau de \widehat{\mathcal{L}}_X est écrit par-dessus un signe raturé ; \mathfrak{P}(X) : sic, on attendrait \mathfrak{P}(\mathcal{L}), comme plus bas

~~Contr_3~~ Notons que pour \mathcal{F} \subset \mathfrak{P}(\mathcal{M}), sous-ens. figures, on pose \struck{\ill{}}\ \mathcal{L}_{\mathcal{F}} = \text{ens. des lieux qui raffinent } \mathcal{F} \quad \text{i.e.} \quad \mathcal{L}_{\mathcal{F}} = \bigcup_{X \in \mathcal{F}} \mathcal{L}_X \in \mathcal{L} \widehat{\mathcal{L}}_{\mathcal{F}} = \{\mathcal{L}_X \mid X \in \mathcal{F}\} \in \mathfrak{P}(\mathcal{L}) \qquad \text{i.e.} \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{L})) qui nous donne \mathcal{F} \longmapsto \widehat{\mathcal{L}}_{\mathcal{F}} \qquad \mathcal{F} \longrightarrow \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(X)) il note ici une figure \mathcal{F} par sa capitale cursive F ; « sous-ens. » est écrit au-dessus de la ligne, lecture douteuse. Sic : « \in \mathcal{L} » pour \subset \mathcal{L}, « \in \mathfrak{P}(\mathcal{L}) » corrigé en « \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathcal{L})) », et \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(X)) en fin de page

~~Contr_3 a) Pour que X \ll Y ~~faut-il~~ X, Y \in~~

~~Soient X, Y deux multistrates. Si Supposons X \ll Y. Alors pour tout X_i \leq X,~~ ces dernières lignes sont barrées de traits obliques ; la page s'arrête là