Cote n° 156-3, pages 21–40

Cote n° 156-3 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · [Chapitre] III. Réseaux via découpages : notes manuscrites (08/06/1986).
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-02.fr.xml

21la page continue l'énoncé de la fin de la page 20 : le plus petit ensemble fermé modéré $Z$ contenant $C_{\mathrm{mod}}(Y,X)$

Si on pose $F$ = frontière relative de $Y$ dans $X$, (F Alors $F$ est fermé, [modéré,] en pos. mod. par rapport à $Y$, donc $F \subset Z$, […] […] $F$ ne […] contient pas de pts isolés de $Z$. le $F$ de la première ligne et celui de la formule ci-dessous sont tracés d'une barre verticale en surcharge ; le mot « modéré » est inséré au-dessus de la ligne Comp \[C_{\mathrm{mod}}(Y,X) = C_{\mathrm{mod}}(F, Z)\]

(9 juin)

Soit $L$ un tronçon ordonné.

Un sous-ensemble […] dans sous-tronçon fermé de $L$ est un sous-ens. de la forme $[a,$ cette définition inachevée est encadrée et barrée de plusieurs traits obliques

(1) Topologie sur $L$ : base d'ouverts les $]a,b[$ (pour $a < b$), $L_{<a}$, $L_{>b}$

[NB si $L$ n'a pas de plus petit élément (resp. de plus grand élt), on peut omettre les $L_{<a}$ (resp. les $L_{>b}$). Une caractérisation […] Pour que […] soit […] (s'il y en a) est fermé, mais fermé, il faut […] que OK […]. […] qu'on généralise ?, […] […] pour $a \in L$, $\{a\}$ n'est pas [néc.] fermé. Si $L$ est l'un des lieux d'une top […] […] Alors $b \in \overline{\{a\}}$ i.e. $\overline{\{b\}} \subset \overline{\{a\}}$, équivalant à $b \supset a$ […]] ces lignes sont très surchargées ; seules les formules sont sûres

22Il en résulte que $\overline{\{a\}} = \overline{\{b\}} \Leftrightarrow a = b$. Cela exprime que la top. $L$ satisfait l'axiome $T_0$, il est « prisotope » i.e. s'injecte dans le prisotopifié) — je ne sais si c'est le cas pour tout tronçon, ni si un tronçon, avec sa top. canonique, est sobre (donc, de plus, toute partie fermée irréductible aurait un pt générique…) Ainsi, les « segments » $[a,b]$ ne sont pas néc. fermés pour la top. canonique. Ce n'est que lorsque $L$ est tot ordonné qu'on peut conclure que les pts sont fermés (réciproque ?) et en fait, $L$ est séparé, et de plus les $[a,b]$, $L_{\geq a}$, $L_{\leq a}$ sont fermés.

On peut définir une autre topologie, ayant comme base fondamentale de fermés les $[a,b]$, $L_{\geq a}$, $L_{\leq a}$ (étant entendu qu'on prend les intersections finies des réunions finies, pour avoir tous les fermés)

23Mais maintenant, on est ennuyé, car $]a,b[$ n'a plus aucune raison d'être ouvert !

Ici On peut bien sûr prendre la topologie la moins fine des deux, ayant comme base d'ouverts \[\begin{array}{ll} L_{<a},\ L_{>a},\ ]a,b[ & (a < b) \\ \complement L_{\geq a},\ \complement L_{\leq a},\ [a,b] & (a \leq b) \end{array}\] ainsi sur la page ; on attendrait $\complement [a,b]$ dans la seconde ligne

Dire que $]a,b[$ est […] Est-il vrai, si $a \leq b$, et Mais $b$ n'est pas plus grand élément, que Avec […] $b \in [a,b$ \[\overline{]a,b[} = [a,b] \ ?\] \[\overline{L_{<a}} = L_{\leq a} \ ? \quad \text{(si $a$ n'est pas plus petit élément ($a \neq 0_L$))}\] \[\overline{L_{>a}} = L_{\geq a} \ ? \quad \text{(si $a$ n'est pas plus grand élément ?)}\]

Pour Le cas crucial, dans le premier cas, est de prouver (i.e.) $a \in \overline{]a,b[}$, et pour cela, il suffit de voir que qu'un ouvert « élémentaire » qui contient $a$, contient un $]a, \varepsilon[$, avec $a < \varepsilon < b$. Mais c'est faux déjà pour un ens. de lieux associé à une faille topologique, cf. [pratiquement] él. $\complement[x,y]$

[…] […] que $a \in \complement\,[x,y]$ mais $]a,b[ \subset [x,y]$ la marge porte un croquis : une bande hachurée sur laquelle sont marqués $x$, $a$, $b$, $y$, la partie entre $a$ et $b$ plus fortement hachurée

24Finalement, on travaillera avec la top. définie d'abord (base formée […] les « intervalles »), et on appellera néanmoins par abus de langage, les $[a,b]$, $L_{\leq a}$, $L_{\geq b}$ (ainsi que $L$) sous-tronçons ordonnés (ou biordonnés) « fermés », [NB on les suppose non réduits à un pt, i.e. $a < b$ resp. $a \neq 0(L)$ resp. $b \neq \omega(L)$] la lettre lue $\omega$ est douteuse ; elle désigne le plus grand élément de $L$

Un sous-tronçon [fermé] large est une sous-tronçon partie qui est soit un ss-tronçon, soit réduite à un pt. Pour une telle partie $T$, on pose $\partial T$ = $\{ t \in T \mid t \in \ldots \}$ […] bord absolu de $T$ = ensemble canonique fini de ses extrémités $= \overline{T} \cap \complement T$ (NB $\mathrm{card}\, \partial T \in \{0,1,2\}$)

On voit que pour un tronçon fermé (NB non réduit à un pt) on a \[\partial [a,b] = \{a,b\}, \quad \partial L_{\leq a} = \{a\}, \quad \partial L_{\geq a} = \{a\}, \quad \partial L = \emptyset\] tout ce passage, depuis « on pose », est encadré et traversé de traits obliques ; il est repris à la page suivante

25pour \[\partial T = \text{bord absolu de } T = \Bigl\{ t \in T \;\Big|\; t \text{ est un plus petit ou plus grand élément de } T \Bigr\}\]

Si $T$ est réduit à un pt, On a donc \[\begin{array}{ll} \partial \{a\} = \{a\} & \\ \partial [a,b] = \{a,b\} & \text{si } a \leq b \\ \partial L_{\geq a} = \partial L_{\leq a} = \{a\} & \forall a \in L \\ \partial L = \partial L \ \text{(sic)} & \end{array}\] devant la dernière ligne, un mot biffé et illisible ; le « (sic) » est de sa main ([…] […] […] $= \partial L$

Notons que \[\dot{T} \cap T \subset \partial T \subset (\dot{T} \cap T) \cup \partial L\] i.e. tout $t \in T$ qui est pt frontière, est dans le bord [de $T$], et l'inverse est vrai si $t \notin \partial L$. Plus précisément si $\mathrm{card}\, T = 1$, $\partial T = \dot{T} = T$ ; sinon $\dot{T} \cap T = \partial T \smallsetminus (\partial T \cap \partial L)$, $\partial T = (\dot{T} \cap T) \cup T \cap \partial L$ ce premier énoncé, encadré, est barré de traits obliques et remplacé par la formule encadrée qui suit \[\boxed{\partial T = (\dot{T} \cap T) \sqcup (T \cap \partial L)}\]

Tronçons : C'est une partie […] réduite […] de $T$ […] qui forme $T' = T \smallsetminus \alpha$, avec $\alpha \subset \partial T$. […] Tronçons […] un ens. de la forme \[\left\{ \begin{array}{ll} ]a,b],\ [a,b[,\ ]a,b[ & (a < b) \\ L_{<a} & (a \neq 0_L) \\ L_{>a} & (a \neq \omega_L) \\ L & \end{array} \right.\] après $L_{<a}$, une surcharge biffée illisible NB Cette écriture est unique (on pose $T = \overline{T'}$ : c'est une adhérence, le plus petit fermé contenant $T'$)

26Les tronçons $]a,b[$, $L_{<a}$, $L_{>a}$, $L$ sont dits ouverts (NB ils sont (ce sont bien ceux qui sont ouverts pour la top. can.), (ce sont bien ceux et $]a,b]$ qui sont ouverts et $[b,a[$ sont dits semi-ouverts. « $[b,a[$ » sur la page ; on attend $[a,b[$

Attention le tronçon Si $a$ plus petit élément, alors $[a,b[$, […] semi-ouvert pour la terminologie précédente, est aussi ouvert pour la top. canonique, et il est égal à $L_{<b}$. Kif kif dualement. $L$ est à la fois ouvert et fermé.

Un tronçon généralisé [ou ps.-tronçon] est une partie de $L$ qui est soit réduite à un pt, soit un tronçon. Pour un tronçon de la forme \[T' = T \smallsetminus \alpha \qquad (T \text{ tronçon fermé, } \alpha \subset \partial T)\] […] on pose \[\partial T' = \partial T\] \[\partial T' = \dot{T}' \sqcup \partial L \ \ldots\] lecture douteuse de cette seconde formule Attention, cette fois ce n'est pas le $\partial$ absolu de $T'$ pour la structure d'ordre induite. NB $\partial T \neq \emptyset$ sauf si […] $T' = L$, $L$ non […] […] […] les $T'$ […] (cas $T'$ ouvert) (cas $T'$ semi-ouvert) (cas $T'$ […]) […]

Soient deux Deux ps.-tronçons $T$, $T'$ sont dits en pos. relative modérée (abrég. $(T,T')$ modérée ou $\{T,T'\}$ modérée) si $\partial T$ et $\partial T'$ le sont, i.e. $\partial T \cup \partial T'$ est tot. ordonné. […] bornes de $T$ […] bornes […] $\partial T \cup \partial T'$

27Prop Si $T$, $T'$ sont des ps.-tr. en position rel. modérée, alors $T \cap T'$ est [vide ou est] un ps.-tr., et on a \[\partial (T \cap T') \subset \partial T \cup \partial T'\]

Immédiat. On va introduire une relation (pas d'inclusion !) d'ordre entre ps.-tronçons. On dit que \[T \prec T'\] si a) $T$ est en pos. rel. modérée […] $T'$ \[\forall t \in T,\ t' \in T' \Longrightarrow t < t'\] Si c'est Si il faut que $T$ et $T'$ en pos. rel. mod. et $T \cap T' = \emptyset$ C'est évidemment transitif.

Soit $T \prec T'$. Comme $T$ est majoré, il s'ensuit que $\partial T \neq \emptyset$ $T$ a un plus grand élément $a$, tel que $T \subset L_{\leq a}$. Comme De même, $\partial T'$ a un plus petit élément $b$, donc que $T' \subset L_{\geq b}$, […] et on voit de suite que $a \leq b$.

Position relative [de raccordement] impropre : $a = b$, et $a \in T$ ou $b \in T'$ (à l'exclusion l'un de l'autre, puisque $T \cap T' = \emptyset$)

Dans la suite, on l'excluant de On renforcera la relation $\prec$ en $\ll$ : \[T \ll T' \iff T \prec T', \text{ et position relative propre}\] \[\iff \exists x \in L \text{ tel que } T \subset L_{\leq x},\ T' \subset L_{>x}\] l'indice de $L_{\leq x}$ est surchargé ; on attend $L_{<x}$, comme à la page suivante

psTronçon interstitiel

Prop Soient $T$, $T'$ ps.-tr. tels que $T \prec T'$, $a = \mathrm{Sup}\, T$, $b = \mathrm{Inf}\, T'$, Conditions équivalentes (si $a = \mathrm{Sup}\, T$, $b = \mathrm{Inf}\, T'$) si $a \in$ :

a) $T \prec T'$ [et $T$, $T'$] ne se raccordent pas, i.e. \[(a \in T \text{ ou } b \in T') \Longrightarrow a \neq b\]

b) $\exists x \in L$ b) $\exists x \in L$ tel que $T \subset L_{<x}$, $T' \subset L_{>x}$ NB b) implique que $T \prec T'$

c) $\exists$ ps.-tr. $S$ tel que \[T \prec S \prec T'\] et tel que $T$ et $S$, $S$ et $T'$ se raccordent.

De plus, $S$ est unique, et $\partial S = \{a,b\}$. $S$ est formé des $x \in L$ tels que \[T \subset L_{<x}, \quad T' \subset L_{>x} \qquad \text{(cf. b))}\]

On appelle $S$ le ps.-tr. interstitiel entre $T$ et $T'$.

Cor 1 Soit $T$ un tronçon, et supposons que $T$ soit minoré [strictement]. Alors l'ens. des [minorants stricts, i.e. des $x \in L$ tels que] $T \subset L_{>x}$ (ens. des minorants stricts) est un tronçon ps.-tr. $S$, qui satisfait […] \[(*) \qquad S \prec T, \quad S \text{ et } T \text{ se raccordent}, \quad S \text{ sans minorant}\] et les conditions satisf caractérisent $S$.

Cor 2 Ensemble On appelle $S$ le pstronçon interstitiel gauche de $T$. On définit de même (si $T$ majoré) le pstr. interstit. droit de $T$.

29Définition

Soit $\mathrm{Tr}(L)$ l'ens. ordonné des ps.-tronçons de $L$, ordonné par $\ll$. Pour toute partie finie tot. ordonnée $\Phi$ de $\mathrm{Tr}(L)$, considérons \[X_{\Phi} = \bigcup_{i \in \Phi} T_i \qquad \text{(NB réunion disjointe)}\] Prop Alors l'application \[\Phi \longmapsto X_{\Phi}, \qquad \underbrace{\mathrm{Drap}^{*}_{\ll}(\mathrm{Tr}(L))}_{\text{drapeaux de } \mathrm{Tr}(L), \text{ y inclus}\ \ldots} \longrightarrow \mathfrak{P}(L)\] sous « y inclus », un mot illisible est injective.

Les ens. de la forme $\mathcal{U}_{\Phi}$ s'appellent modérés. Pour un tel \[X_{\Phi} = \bigcup T_i\] on pose \[\mathrm{Fr}(X_{\Phi}) = \underbrace{\Bigl( \bigcup \partial T_i \Bigr)}_{\partial \mathcal{U}, \text{ drapeau de } L} \smallsetminus \varepsilon\] \[\varepsilon = \Bigl\{ t \in \partial L \cap \mathcal{U} \;\Big|\; \{t\} \notin \Phi \Bigr\}\] i.e. $\{t\}$ n'est pas parmi les $T_i$ ; i.e. $\mathcal{U}$ est un voisinage de $t$ dans $L$ i.e. $\{t\}$ pas isolé dans $\mathcal{U}$… dans l'accolade de la page, un mot biffé illisible avant « $\{t\} \notin \Phi$ » ; les « i.e. » qui suivent sont écrits à l'intérieur de l'accolade une ligne biffée, « i.e. $\exists x \in L$ … », précède « i.e. $\mathcal{U}$ est un voisinage » « frontière » relative dans $L$ (mais pas pour la topologie […] de $L$…) Les $T_i$ s'appellent les « composantes » (connexes !) de […] $X$ (mais pas pour la top. canonique) l'ens. de ces composantes on va noter parfois $\pi_0(X)$

30Ainsi Soit $X = X_{\Phi}$ une partie modérée. Un $x \in L$ est dit en posit. rel. modérée avec $X$, s'il l'est avec les $T_i$ [(composantes de $X$)] i.e. s'il l'est avec $\bigcup \partial T_i = \partial \mathcal{U}$, ou avec $\mathrm{Fr}(X)$. Par exemple si $x \in X$, ou $x \in \partial \mathcal{U}$, a fortiori $x \in \mathrm{Fr}(X)$, a cette propriété. Soit \[X' = C_{\mathrm{mod}}(\mathcal{U}) = \bigl\{ x \in L \smallsetminus \mathcal{U} \;\big|\; x \text{ est en pos. rel. mod. p.r. à } \mathcal{U} \bigr\}\] Alors $\mathcal{E}$ $X'$ est modérée, et c'est la plus grande partie modérée $X$ de $L$ telle que $X$ $Y \subset L \smallsetminus X$, et $Y$ en position relative modérée par rapport à $X$. Si \[\{ T_1 \ll T_2 < \cdots \ll T_n \}\] est le drapeau définissant $X$, le drapeau définissant $X'$ est défini par le drapeau formé des $n-1$ tronçons interstitiels entre [pour] $(T_1, T_2)$, $(T_2, T_3)$, …, $(T_{n-1}, T_n)$, plus le cas échéant (s'ils existent) les tronçons interstitiel gauche de $T_1$, et le tronçon interstitiel droit de $T_n$.

Plus généralement, si $X$, $Y$ […] modérées, on dit que $X$, $Y$ sont en pos. rel. modérée si $\partial \mathcal{U}$ et $\partial \mathcal{V}$ $\partial X$, $\partial Y$ le sont, i.e. si […] $\mathrm{Fr}\, X$, $\mathrm{Fr}\, Y$ […] […]. Ex : si $X \subset Y$, alors $(X,Y)$ […] modérée note marginale oblique, en partie surchargée

31Si $n'$ est le cardinal du $\Phi' \in \mathrm{Drap}^{\alpha}_{\ll}(\mathrm{Tr}(L))$ qui définit $X'$, on aura \[n' \in \{ n-1, n, n+1 \}\] donc \[\bigl| \mathrm{Card}\, \pi_0(X) - \mathrm{Card}\, \pi_0(X') \bigr| \leq 1\] De façon précise \[\begin{array}{ll} T_1 \text{ non minoré, } T_n \text{ non majoré} & : n' = n-1 \\ T_1 \text{ minoré et } T_n \text{ non majoré, ou l'inverse} & : n' = n \\ T_1 \text{ minoré et } T_n \text{ majoré} & : n' = n+1 . \end{array}\] ([…])

On considère l'ens. ordonné des parties modérées de $L$, $\mathcal{M} = \mathrm{Mod}(L)$. Il y a des structures remarquables

a) Ordre $X \subset Y$

b) Relation : $\{X,Y\}$ modérée (NB $X \subset Y \Rightarrow \{X,Y\}$ modérée) Cette relation est-elle déterminable à l'aide de la relation d'ordre — p. ex. $\{X,Y\}$ mod. ssi $X \wedge Y$ existe ???

c) Partie $\mathcal{M}_f = \mathrm{Modfer}(L)$ formée des parties modérées dites « fermées » (i.e. $X = X_{\Phi}$, où les $T_i$ ($i \in \Phi$) sont des ps. tr. fermés)

Propriétés

321) Pour la relation d'ordre, il y a un plus petit élément $\emptyset$, et un plus grand élément $L$ (noté $1$)

2) $X \subset Y \Longrightarrow \{X,Y\}$ modérée

3) Si $\{X,Y\}$ modérée, $X \wedge Y$ et $X \vee Y$ existent (inf et sup)

3') Si $\{X, Y_i\}$ modérées […] (distributivité) […] mult. mod., $X \wedge (\bigvee Y_i) = \bigvee (X \wedge Y_i)$

4) Parmi les $\forall X \in \mathcal{M}$ […], parmi les $Y \in \mathcal{M}$ tels que $\{X,Y\}$ modérée, et $X \wedge Y = \emptyset$, il y a un plus grand élément $X'$. C'est aussi l'unique élément $X'$ tel que \[\{X', X\} \text{ modérée}, \quad X' \wedge X = \emptyset, \quad X' \vee X = 1\] L'application $X \longmapsto X'$ est involutive, renverse la relation d'ordre (antiisomorphisme), […]. De plus $\{X', Y'\}$ modérée${}^{*}$ ssi $\{X,Y\}$ mod. et dans [ce cas] \[(X \wedge Y)' = X' \vee Y', \quad (X \vee Y)' = X' \wedge Y'\]

5) $\emptyset, 1 \in \mathcal{M}_f$

6) $\forall X \in \mathcal{M}$, il existe un plus petit 4') $Y \in \mathcal{M}_f$ tel que $X \subset Y$ (on pose $Y = \overline{X}$).

(*) De plus Si $X, Y \in \mathcal{M}$ tels que $\{X,Y\}$ mod., alors $\overline{X \vee Y} = \overline{X} \vee \overline{Y}$

7) Si $\{X,Y\}$ modérée $\{\overline{X}, Y\}$ aussi (donc $\{\overline{X}, \overline{Y}\}$ aussi)

Attention $X \vee Y$ n'est pas l'union $X \cup Y$ !! Dire […] : Si […] $\{X_i\}$ […] famille d'éléments mutuellement modérés, alors ils engendrent une sous-alg. […] les op. $\wedge$, $\vee$, $'$ […] de Boole, […] finie si $I$ fini * En fait, $\forall X, Y$ $\{X,Y\}$ mod. ssi $\{X, Y'\}$ mod. (donc ssi $\{X', Y'\}$ mod. […] ssi $\{X', Y\}$ aussi) Par passage au complément définir $X^{\circ} = (\overline{X'})'$

338) $\forall X \in \mathcal{M}$, soit $X'$ son « complémentaire ». Comme $\{X, X'\}$ modérée, alors $\{\overline{X}, \overline{X'}\}$ […] fermé […] \[\left\{ \begin{array}{l} \mathrm{Fr}\, X \overset{\mathrm{def}}{=} \overline{X} \wedge \overline{X'} \\ (\mathrm{Fr}\, X)' = X^{\circ} \vee X'^{\circ} \end{array} \right.\] $\mathrm{Fr}\, X$ est […] Cela dit $\{X, Y\}$ modérée […] $\{\mathrm{Fr}\, X, \mathrm{Fr}\, Y\}$ est modérée $\Longrightarrow$ $\mathrm{Fr}\, X \cup \mathrm{Fr}\, X$ est modérée. « $\mathrm{Fr}\, X \cup \mathrm{Fr}\, X$ » sur la page propriété spécifique au cas des modérés de $L$, un […] de dimension $1$

NB Si $X'$ est dense On dit que $X$ est rare si $X^{\circ} = \emptyset$ i.e. $\overline{X'} = 1$ ($X'$ dense). Dans le cas d'espèce, $X$ est rare ssi […] […] […] $X$ est un ens. fini (partie de $L$), ou encore ssi $\mathrm{Fr}\, X$ ce NB est barré de quatre traits obliques ; il est repris juste après

Dans le cas d'espèce, conditions équivalentes sur $X \in \mathcal{M}$ :

a) $X \subset \struck{\ill{}}\ \dot{X}$ (i.e. $X^{\circ} = \emptyset$ i.e. $\overline{X'} = 1$ i.e. $X'$ « dense »)

b) $X = \dot{X}$ (i.e. $X$ fermé rare i.e. $X'$ ouvert dense)

c) $X$ est fini en tant que partie de $L$

Conditions sur un ordonné $\mathcal{M}$ satisfaisant les conditions 1) à 7) (avec 4) […] singulièrement comme il a été dit ; dans la notation algébrique, on a \[\begin{array}{ll} X + Y = (X \vee Y) \wedge (X \wedge Y)' & \qquad X \vee Y = X + Y - XY \\ X \cdot Y = X \wedge Y & \qquad X \wedge Y = X \cdot Y \\ 0 = \text{plus petit él.}, \ 1 = \text{plus grd él.} & \qquad X \leq Y \iff X \cdot Y = X \end{array}\] la colonne de droite est encadrée, une flèche la rattachant à la ligne « dans la notation algébrique »

34Soit $A \in \mathcal{M}$. On va « relativiser » […] par rapport à $A$. Soit $\mathcal{M}_X = \mathcal{M}_{\leq X}$ \[\mathcal{M}_A = \mathcal{M}_{\leq A} = \{ Y \in \mathcal{M} \mid Y \subset A \}\] $\mathcal{M}_A$ muni de la relation d'ordre induite par $\mathcal{M}$, $\{X, Z\}$ est mod. dans $\mathcal{M}_A$ ssi il l'est dans $\mathcal{M}$, $X \in \mathcal{M}_A$ est fermé ssi $X = \overline{X} \wedge A$ i.e. ssi $\exists Z \in \mathcal{M}_f$, $\{Z, A\}$ mod. et $X = Z \wedge A$.

Je dis que les conditions 1) à 7) sont encore satisfaites :

1) $\emptyset_{\mathcal{M}_A} = \emptyset_{\mathcal{M}}$, $1_{\mathcal{M}_A} = X$ « $= X$ » sur la page ; on attend $A$

2) […] trivial

3) item car […] $X \overset{\mathcal{M}}{\wedge} Y$ et $X \overset{\mathcal{M}}{\vee} Y$ sont dans $\mathcal{M}_A$ dans ce cas et sont les bornes inf et sup dans $\mathcal{M}_A$.

4) $X < A$, $X \in \mathcal{M}_A$, considérons les $Y \in \mathcal{M}_Y$ en position mod. p.r. à $X$, telles que $Y \wedge X = \emptyset$ i.e. […] on a $X \subset A$, on considère les $Y \subset A$ tels que $\{X, Y\}$ mod. et $X \wedge Y = \emptyset$. Les $Y$ sont $\leq X'$ (déf. de $X'$) et $\leq A$, donc $\leq X' \wedge A$, qui a les propriétés voulues, et c'est le plus grand de tous, OK. « $\mathcal{M}_Y$ » sur la page ; on attend $\mathcal{M}_A$

35Considérons des $X_i$ $X_i \in \mathcal{M}_A$ mutuellement modérés, et les opérations $\complement_A$, $\wedge$, $\vee$ i.e. i.e. des $X_i \subset A$ mut. mod. et mod. p.r. à $A$ aussi) on regarde les op. $\complement_A$ $\wedge$, $\vee$ (binaires) […] $\complement_{\mathcal{M}_A}$ (unaire) $\wedge$, $\vee$ (binaires) et on ajoute $0_{\mathcal{M}_A}$, $1_{\mathcal{M}_A}$), on voit que c'est pareil que […] de prendre $\complement_{\mathcal{M}}$, $\wedge$, $\vee$, $0_{\mathcal{M}}$, $1_{\mathcal{M}}$ — et de multiplier par $A$. Mais alors on sait que l'on trouve un idéal d'une alg. de Boole, c'est une alg. de Boole…

7) Je fais remarquer que $\{X, Y\}$ mod. $\Rightarrow$ $\{\complement_{\mathcal{M}_A} X, \complement_{\mathcal{M}_A} Y\}$ mod., mais $\{\complement_{\mathcal{M}} X, \complement_{\mathcal{M}} Y\}$ […] est mod., donc comme […] […] sont mod. avec $A$) $\{A \wedge X', A \wedge Y'\}$ modérée, OK.

5) Trivial

6) Soit $X \subset A$, les fermés dans $A$ sont les $Z = \struck{\ill{}}\ Y \wedge A$, avec $Y \in \mathcal{M}_f$, $\{Y, A\}$ mod. […] Le $Z$ qui contient $X$ […], donc $Y$ t.q. $Y \supset X$ i.e. $Y \supset \overline{X}$, et le

36plus petit possible est $Y = \overline{X}$, d'où $Z = \overline{X}$ \[\overline{X}^{(\mathcal{M}_A)} = \overline{X}^{\mathcal{M}} \wedge A\] Soient $X, Y \in \mathcal{M}_A$, $\{X, Y\}$ modérée, alors \[\overline{X \vee Y}^{\mathcal{M}_A} = \underbrace{\overline{X \vee Y}^{\mathcal{M}}}_{} \wedge A = (\overline{X} \vee \overline{Y}) \wedge A = \underbrace{(\overline{X} \wedge A)}_{\overline{X}^{A}} \vee (\overline{Y} \wedge A) = \overline{X}^{A} \vee \overline{Y}^{A}\] la page dispose ces égalités sur deux lignes, reliées par des accolades

7) $X, Y \in \mathcal{M}_A$, $\{X, Y\}$ modérée, donc $\{\overline{X}^{\mathcal{M}}, Y^{\mathcal{M}}\}$ […] $\{X, Y, A\}$ mod., donc $\{\overline{X}, Y, A\}$ mod., donc $\{\overline{X} \wedge A = \overline{X}^{A}, Y\}$ modérée. OK

Composantes

On dit qu'un $\mathcal{M}$ est connexe si $\forall X$ fermé et ouvert. $\forall X \in \mathcal{M}$, $X$ fermé et $X$ ouvert $\Longrightarrow X = \emptyset$ ou $X = 1$

NB Soit $X$ tel que $X$ fermé et ouvert, […] qu'il soit mod. […] […]. […] […] ainsi, Alors LE $Y$. S'il en est ainsi, les $X$ en question engendrent une algèbre de Boole. […] […] […] […] […]

37de Boole en question est finie, alors les comp. connexes sont les $X \neq \emptyset$ minimaux qui sont ouverts et fermés. [On suppose $0 \neq 1$ i.e. $\mathcal{M}$ non réduit à un pt — sinon on a une aussi une structure « vide »…]

Ex Reprenons $\mathcal{M} = \mathrm{Mod}(L)$, et $\mathcal{M}_A$ où $A \in \mathcal{M} = \mathrm{Mod}(L)$, donc $A$ partie modérée d'un tronçon. On a donc \[A = X_{\Phi} = \bigcup T_i, \qquad \Phi \in \mathrm{Drap}^{*}_{\ll}(\mathrm{Tr}(L))\] Je dis que les comp. connexes de $A$ sont les ps.-tronçons composants $T_i$. En effet, on a bien sûr \[A = \bigvee_i T_i \text{ dans } \mathcal{M}, \quad \struck{\text{et}} \text{ et } T_i \wedge T_j = \emptyset \text{ si } i \neq j,\] il suffit donc de prouver que a) Chaque $T_i$ est ouvert et fermé dans $A$, et b) Chaque $T_i$ est connexe, i.e. ne peut s'écrire comme réunion disjointe de deux parties […] disjointes et [fermées] $\neq \emptyset$.

38Pour a), il suffit de prouver que $T_i$ est fermé dans […] $A$ (les $T_j$, $j \neq i$, l'étant aussi, $T_i$ est aussi ouvert…) […] i.e. que \[\underbrace{\overline{T_i} \cap A}_{} = T_i ,\] sous l'accolade, de sa main : « […] […] modérés bien sûr ! » C'est immédiat.

NB Si $T = T_i$ est un ps.-tr., son « adhérence » modérée n'est autre que le ps.-tr. [fermé] associé (= $T$ si $T$ réduit à un pt). Il suffit de voir ce que […] quand $T$ n'est pas fermé, $a \in \ill{}$ $\mathrm{Fr}(T) = \ill{}$ tel que un $a \in \partial T \smallsetminus T$ … Si $T = \{a\}$ trivial. Sinon $T$ […] […] NB $(\mathcal{M}_L)_T = \mathcal{M}_T$,

b) $T$ connexe : on regarde $T$ comme un tronçon en lui-même. Donc […] ramène OPS $T = L$. Mais si $X$ est modéré, […] donc \[X = X_{\Phi} = \bigcup_{i \in I} T_i ,\] alors Et la frontière modérée est la réunion des $\partial T_i$, elle est vide ssi les $\partial T_i$ sont vides. Mais $\partial T_i = \emptyset \Longrightarrow T_i = L$ donc $X = \emptyset$ ($I = \emptyset$) ou $X = L$ ($I \neq \emptyset$) OK.

39NB Soit $(X_{\alpha})$ famille [finie] de parties modérées de $L$, mut. mutuellement modérées, i.e. telles que \[S = \bigcup_{\alpha} \dot{X}_{\alpha}\] soit une partie tot. ordonnée : $t_1 < t_2 < \cdots < t_n$. Alors l'alg. de Boole engendrée par les $X_{\alpha}$ est […] admet comme composantes parties ([…] […] des parties […] comme partie de $L$ (et ps. tr.) « composants » ([…] […] […] […]) […] […] \[\underset{\text{si } t_1 \notin \partial L}{[L_{<t_1}]},\ \{t_1\},\ ]t_1, t_2[,\ \{t_2\},\ ]t_1, t_3[,\ \{t_3\}, \ldots, \{t_n\},\ \underset{\text{si } t_n \notin \partial L}{[L_{>t_n}]}\] « $]t_1, t_3[$ » tel qu'il se lit ; on attend $]t_2, t_3[$

Ainsi, cette alg. de Boole est connue quand on connaît $S$, comme […] […] $t_1 < \cdots < t_n$ ([…] « décomposition » [ou] « subdivision » des tronçons). les lignes du milieu de la page, avant la liste, sont barrées de deux longs traits et d'une surcharge ; leur lecture est fragmentaire

Caractérisation d'un intervalle ordonné, en tant que réseau

le titre est de sa main ; « réseau intervalle » biffé en tête de la deuxième ligne

par la donnée de \[S \subset \underset{\displaystyle \mathrm{Drap}_2(L)}{\overset{\|}{\mathfrak{P}_2(L)}}\] et pour $\varepsilon = \{a,b\} \in S$, la décomposition de $L$ en \[\complement_{\mathrm{mod}}\, \varepsilon = \bigl\{ x \in L \;\big|\; \{a,x\}, \{b,x\} \in S \bigr\}\] en « composantes connexes » (par relation $R_{\varepsilon}$)

J'ai commencé à faire l'exercice, mais j'ai l'impression que je n'ai pas la peine de l'expliciter jusqu'au bout. Ça doit avoir été fait depuis longtemps (Hilbert ?) dans le cas totalement ordonné [(et divisible)] (en termes de la relation : $s$ est entre $a$ et $b$…)