(9 juin)
Soit L un tronçon ordonné.
Un sous-ensemble dans sous-tronçon fermé de L est un sous-ens. de la forme [a,
cette définition inachevée est encadrée et barrée de plusieurs traits obliques
(1) Topologie sur L : base d'ouverts les ]a,b[ (pour a < b), L_{<a}, L_{>b}
[NB si L n'a pas de plus petit élément (resp. de plus grand élt), on peut omettre les L_{<a} (resp. les L_{>b}).
Une caractérisation Pour que soit (s'il y en a) est fermé, mais fermé, il faut que OK .
qu'on généralise ?, top Alors b \in \overline{\{a\}} i.e. \overline{\{b\}} \subset \overline{\{a\}}, équivalant à b \supset a ]
ces lignes sont très surchargées ; seules les formules sont sûres
Il en résulte que \overline{\{a\}} = \overline{\{b\}} \Leftrightarrow a = b. Cela exprime que la top. L satisfait l'axiome T_0, il est « prisotope » i.e. s'injecte dans le prisotopifié) — je ne sais si c'est le cas pour tout tronçon, ni si un tronçon, avec sa top. canonique, est sobre (donc, de plus, toute partie fermée irréductible aurait un pt générique…) Ainsi, les « segments » [a,b] ne sont pas néc. fermés pour la top. canonique. Ce n'est que lorsque L est tot ordonné qu'on peut conclure que les pts sont fermés (réciproque ?) et en fait, L est séparé, et de plus les [a,b], L_{\geq a}, L_{\leq a} sont fermés.
On peut définir une autre topologie, ayant comme base fondamentale de fermés les [a,b], L_{\geq a}, L_{\leq a} (étant entendu qu'on prend les intersections finies des réunions finies, pour avoir tous les fermés)
Mais maintenant, on est ennuyé, car ]a,b[ n'a plus aucune raison d'être ouvert !
Ici On peut bien sûr prendre la topologie la moins fine des deux, ayant comme base d'ouverts
\begin{array}{ll}
L_{<a},\ L_{>a},\ ]a,b[ & (a < b) \\
\complement L_{\geq a},\ \complement L_{\leq a},\ [a,b] & (a \leq b)
\end{array}
ainsi sur la page ; on attendrait \complement [a,b] dans la seconde ligne
Dire que ]a,b[ est Est-il vrai, si a \leq b, et Mais b n'est pas plus grand élément, que Avec b \in [a,b
\overline{]a,b[} = [a,b] \ ?
\overline{L_{<a}} = L_{\leq a} \ ? \quad \text{(si $a$ n'est pas plus petit élément ($a \neq 0_L$))}
\overline{L_{>a}} = L_{\geq a} \ ? \quad \text{(si $a$ n'est pas plus grand élément ?)}
Pour Le cas crucial, dans le premier cas, est de prouver (i.e.) a \in \overline{]a,b[}, et pour cela, il suffit de voir que qu'un ouvert « élémentaire » qui contient a, contient un ]a, \varepsilon[, avec a < \varepsilon < b. Mais c'est faux déjà pour un ens. de lieux associé à une faille topologique, cf. [pratiquement] él. \complement[x,y]
que a \in \complement\,[x,y] mais ]a,b[ \subset [x,y]
la marge porte un croquis : une bande hachurée sur laquelle sont marqués x, a, b, y, la partie entre a et b plus fortement hachurée
Finalement, on travaillera avec la top. définie d'abord (base formée les « intervalles »), et on appellera néanmoins par abus de langage, les [a,b], L_{\leq a}, L_{\geq b} (ainsi que L) sous-tronçons ordonnés (ou biordonnés) « fermés », [NB on les suppose non réduits à un pt, i.e. a < b resp. a \neq 0(L) resp. b \neq \omega(L)]
la lettre lue \omega est douteuse ; elle désigne le plus grand élément de L
Un sous-tronçon fermé large est une sous-tronçon partie qui est soit un ss-tronçon, soit réduite à un pt. Pour une telle partie T, on pose
\partial T = \{ t \in T \mid t \in \ldots \} bord absolu de T = ensemble canonique fini de ses extrémités = \overline{T} \cap \complement T
(NB \mathrm{card}\, \partial T \in \{0,1,2\})
On voit que pour un tronçon fermé (NB non réduit à un pt) on a
\partial [a,b] = \{a,b\}, \quad \partial L_{\leq a} = \{a\}, \quad \partial L_{\geq a} = \{a\}, \quad \partial L = \emptyset
tout ce passage, depuis « on pose », est encadré et traversé de traits obliques ; il est repris à la page suivante
pour
\partial T = \text{bord absolu de } T = \Bigl\{ t \in T \;\Big|\; t \text{ est un plus petit ou plus grand élément de } T \Bigr\}
Si T est réduit à un pt, On a donc
\begin{array}{ll}
\partial \{a\} = \{a\} & \\
\partial [a,b] = \{a,b\} & \text{si } a \leq b \\
\partial L_{\geq a} = \partial L_{\leq a} = \{a\} & \forall a \in L \\
\partial L = \partial L \ \text{(sic)} &
\end{array}
devant la dernière ligne, un mot biffé et illisible ; le « (sic) » est de sa main
( = \partial L
Notons que
\dot{T} \cap T \subset \partial T \subset (\dot{T} \cap T) \cup \partial L
i.e. tout t \in T qui est pt frontière, est dans le bord de T, et l'inverse est vrai si t \notin \partial L. Plus précisément
si \mathrm{card}\, T = 1, \partial T = \dot{T} = T ; sinon \dot{T} \cap T = \partial T \smallsetminus (\partial T \cap \partial L), \partial T = (\dot{T} \cap T) \cup T \cap \partial L
ce premier énoncé, encadré, est barré de traits obliques et remplacé par la formule encadrée qui suit
\boxed{\partial T = (\dot{T} \cap T) \sqcup (T \cap \partial L)}
Tronçons : C'est une partie réduite de T qui forme T' = T \smallsetminus \alpha, avec \alpha \subset \partial T. Tronçons un ens. de la forme
\left\{
\begin{array}{ll}
]a,b],\ [a,b[,\ ]a,b[ & (a < b) \\
L_{<a} & (a \neq 0_L) \\
L_{>a} & (a \neq \omega_L) \\
L &
\end{array}
\right.
après L_{<a}, une surcharge biffée illisible
NB Cette écriture est unique (on pose T = \overline{T'} : c'est une adhérence, le plus petit fermé contenant T')
Les tronçons ]a,b[, L_{<a}, L_{>a}, L sont dits ouverts (NB ils sont (ce sont bien ceux qui sont ouverts pour la top. can.), (ce sont bien ceux et ]a,b] qui sont ouverts et [b,a[ sont dits semi-ouverts.
« [b,a[ » sur la page ; on attend [a,b[
Attention le tronçon Si a plus petit élément, alors [a,b[,
Un tronçon généralisé ou ps.-tronçon est une partie de L qui est soit réduite à un pt, soit un tronçon. Pour un tronçon de la forme
T' = T \smallsetminus \alpha \qquad (T \text{ tronçon fermé, } \alpha \subset \partial T)
Soient deux Deux ps.-tronçons T, T' sont dits en pos. relative modérée (abrég. (T,T') modérée ou \{T,T'\} modérée) si \partial T et \partial T' le sont, i.e. \partial T \cup \partial T' est tot. ordonné.
bornes de T bornes \partial T \cup \partial T'
Prop Si T, T' sont des ps.-tr. en position rel. modérée, alors T \cap T' est vide ou est un ps.-tr., et on a
\partial (T \cap T') \subset \partial T \cup \partial T'
Immédiat. On va introduire une relation (pas d'inclusion !) d'ordre entre ps.-tronçons. On dit que
T \prec T'
si a) T est en pos. rel. modérée T'
\forall t \in T,\ t' \in T' \Longrightarrow t < t'
Si c'est Si il faut que T et T' en pos. rel. mod. et T \cap T' = \emptyset
C'est évidemment transitif.
Soit T \prec T'. Comme T est majoré, il s'ensuit que \partial T \neq \emptyset T a un plus grand élément a, tel que T \subset L_{\leq a}. Comme De même, \partial T' a un plus petit élément b, donc que T' \subset L_{\geq b},
Position relative de raccordement impropre : a = b, et a \in T ou b \in T' (à l'exclusion l'un de l'autre, puisque T \cap T' = \emptyset)
Dans la suite, on l'excluant de On renforcera la relation \prec en \ll :
T \ll T' \iff T \prec T', \text{ et position relative propre}
\iff \exists x \in L \text{ tel que } T \subset L_{\leq x},\ T' \subset L_{>x}
l'indice de L_{\leq x} est surchargé ; on attend L_{<x}, comme à la page suivante
psTronçon interstitiel
Prop Soient T, T' ps.-tr. tels que T \prec T', a = \mathrm{Sup}\, T, b = \mathrm{Inf}\, T', Conditions équivalentes (si a = \mathrm{Sup}\, T, b = \mathrm{Inf}\, T') si a \in :
a) T \prec T' et T, T' ne se raccordent pas, i.e.
(a \in T \text{ ou } b \in T') \Longrightarrow a \neq b
b) \exists x \in L b) \exists x \in L tel que T \subset L_{<x}, T' \subset L_{>x}
NB b) implique que T \prec T'
c) \exists ps.-tr. S tel que
T \prec S \prec T'
et tel que T et S, S et T' se raccordent.
De plus, S est unique, et \partial S = \{a,b\}. S est formé des x \in L tels que
T \subset L_{<x}, \quad T' \subset L_{>x} \qquad \text{(cf. b))}
On appelle S le ps.-tr. interstitiel entre T et T'.
Cor 1 Soit T un tronçon, et supposons que T soit minoré strictement. Alors l'ens. des minorants stricts, i.e. des x \in L tels que T \subset L_{>x} (ens. des minorants stricts) est un tronçon ps.-tr. S, qui satisfait satisf caractérisent S.
Cor 2 Ensemble On appelle S le pstronçon interstitiel gauche de T. On définit de même (si T majoré) le pstr. interstit. droit de T.
Définition
Soit \mathrm{Tr}(L) l'ens. ordonné des ps.-tronçons de L, ordonné par \ll. Pour toute partie finie tot. ordonnée \Phi de \mathrm{Tr}(L), considérons
X_{\Phi} = \bigcup_{i \in \Phi} T_i \qquad \text{(NB réunion disjointe)}
Prop
Alors l'application
\Phi \longmapsto X_{\Phi}, \qquad \underbrace{\mathrm{Drap}^{*}_{\ll}(\mathrm{Tr}(L))}_{\text{drapeaux de } \mathrm{Tr}(L), \text{ y inclus}\ \ldots} \longrightarrow \mathfrak{P}(L)
sous « y inclus », un mot illisible
est injective.
Les ens. de la forme \mathcal{U}_{\Phi} s'appellent modérés. Pour un tel
X_{\Phi} = \bigcup T_i
on pose
\mathrm{Fr}(X_{\Phi}) = \underbrace{\Bigl( \bigcup \partial T_i \Bigr)}_{\partial \mathcal{U}, \text{ drapeau de } L} \smallsetminus \varepsilon
\varepsilon = \Bigl\{ t \in \partial L \cap \mathcal{U} \;\Big|\; \{t\} \notin \Phi \Bigr\}
i.e. \{t\} n'est pas parmi les T_i ; i.e. \mathcal{U} est un voisinage de t dans L i.e. \{t\} pas isolé dans \mathcal{U}…
dans l'accolade de la page, un mot biffé illisible avant « \{t\} \notin \Phi » ; les « i.e. » qui suivent sont écrits à l'intérieur de l'accolade
une ligne biffée, « i.e. \exists x \in L … », précède « i.e. \mathcal{U} est un voisinage »
« frontière » relative dans L (mais pas pour la topologie de L…)
Les T_i s'appellent les « composantes » (connexes !) de
Ainsi Soit X = X_{\Phi} une partie modérée. Un x \in L est dit en posit. rel. modérée avec X, s'il l'est avec les T_i (composantes de X) i.e. s'il l'est avec \bigcup \partial T_i = \partial \mathcal{U}, ou avec \mathrm{Fr}(X). Par exemple si x \in X, ou x \in \partial \mathcal{U}, a fortiori x \in \mathrm{Fr}(X), a cette propriété. Soit
X' = C_{\mathrm{mod}}(\mathcal{U}) = \bigl\{ x \in L \smallsetminus \mathcal{U} \;\big|\; x \text{ est en pos. rel. mod. p.r. à } \mathcal{U} \bigr\}
Alors \mathcal{E} X' est modérée, et c'est la plus grande partie modérée X de L telle que X Y \subset L \smallsetminus X, et Y en position relative modérée par rapport à X. Si
\{ T_1 \ll T_2 < \cdots \ll T_n \}
est le drapeau définissant X, le drapeau définissant X' est défini par le drapeau formé des n-1 tronçons interstitiels entre pour (T_1, T_2), (T_2, T_3), …, (T_{n-1}, T_n), plus le cas échéant (s'ils existent) les tronçons interstitiel gauche de T_1, et le tronçon interstitiel droit de T_n.
Plus généralement, si X, Y \partial \mathcal{U} et \partial \mathcal{V} \partial X, \partial Y le sont, i.e. si \mathrm{Fr}\, X, \mathrm{Fr}\, Y . Ex : si X \subset Y, alors (X,Y) modérée
note marginale oblique, en partie surchargée
Si n' est le cardinal du \Phi' \in \mathrm{Drap}^{\alpha}_{\ll}(\mathrm{Tr}(L)) qui définit X', on aura
n' \in \{ n-1, n, n+1 \}
donc
\bigl| \mathrm{Card}\, \pi_0(X) - \mathrm{Card}\, \pi_0(X') \bigr| \leq 1
De façon précise
\begin{array}{ll}
T_1 \text{ non minoré, } T_n \text{ non majoré} & : n' = n-1 \\
T_1 \text{ minoré et } T_n \text{ non majoré, ou l'inverse} & : n' = n \\
T_1 \text{ minoré et } T_n \text{ majoré} & : n' = n+1 .
\end{array}
()
On considère l'ens. ordonné des parties modérées de L, \mathcal{M} = \mathrm{Mod}(L). Il y a des structures remarquables
a) Ordre X \subset Y
b) Relation : \{X,Y\} modérée (NB X \subset Y \Rightarrow \{X,Y\} modérée)
Cette relation est-elle déterminable à l'aide de la relation d'ordre — p. ex. \{X,Y\} mod. ssi X \wedge Y existe ???
c) Partie \mathcal{M}_f = \mathrm{Modfer}(L) formée des parties modérées dites « fermées » (i.e. X = X_{\Phi}, où les T_i (i \in \Phi) sont des ps. tr. fermés)
Propriétés
1) Pour la relation d'ordre, il y a un plus petit élément \emptyset, et un plus grand élément L (noté 1)
2) X \subset Y \Longrightarrow \{X,Y\} modérée
3) Si \{X,Y\} modérée, X \wedge Y et X \vee Y existent (inf et sup)
3') Si \{X, Y_i\} modérées (distributivité) mult. mod., X \wedge (\bigvee Y_i) = \bigvee (X \wedge Y_i)
4) Parmi les \forall X \in \mathcal{M}
5) \emptyset, 1 \in \mathcal{M}_f
6) \forall X \in \mathcal{M}, il existe un plus petit 4') Y \in \mathcal{M}_f tel que X \subset Y (on pose Y = \overline{X}).
(*) De plus Si X, Y \in \mathcal{M} tels que \{X,Y\} mod., alors \overline{X \vee Y} = \overline{X} \vee \overline{Y}
7) Si \{X,Y\} modérée \{\overline{X}, Y\} aussi (donc \{\overline{X}, \overline{Y}\} aussi)
Attention X \vee Y n'est pas l'union X \cup Y !!
Dire : Si
8) \forall X \in \mathcal{M}, soit X' son « complémentaire ». Comme \{X, X'\} modérée, alors \{\overline{X}, \overline{X'}\} \mathrm{Fr}\, X est Cela dit \{X, Y\} modérée
NB Si X' est dense On dit que X est rare si X^{\circ} = \emptyset i.e. \overline{X'} = 1 (X' dense). Dans le cas d'espèce, X est rare ssi X est un ens. fini (partie de L), ou encore ssi \mathrm{Fr}\, X
Dans le cas d'espèce, conditions équivalentes sur X \in \mathcal{M} :
a) X \subset \struck{\ill{}}\ \dot{X} (i.e. X^{\circ} = \emptyset i.e. \overline{X'} = 1 i.e. X' « dense »)
b) X = \dot{X} (i.e. X fermé rare i.e. X' ouvert dense)
c) X est fini en tant que partie de L
Conditions sur un ordonné \mathcal{M} satisfaisant les conditions 1) à 7) (avec 4) singulièrement comme il a été dit ; dans la notation algébrique, on a
\begin{array}{ll}
X + Y = (X \vee Y) \wedge (X \wedge Y)' & \qquad X \vee Y = X + Y - XY \\
X \cdot Y = X \wedge Y & \qquad X \wedge Y = X \cdot Y \\
0 = \text{plus petit él.}, \ 1 = \text{plus grd él.} & \qquad X \leq Y \iff X \cdot Y = X
\end{array}
la colonne de droite est encadrée, une flèche la rattachant à la ligne « dans la notation algébrique »
Soit A \in \mathcal{M}. On va « relativiser » \mathcal{M}_X = \mathcal{M}_{\leq X}
\mathcal{M}_A = \mathcal{M}_{\leq A} = \{ Y \in \mathcal{M} \mid Y \subset A \}
\mathcal{M}_A muni de la relation d'ordre induite par \mathcal{M}, \{X, Z\} est mod. dans \mathcal{M}_A ssi il l'est dans \mathcal{M}, X \in \mathcal{M}_A est fermé ssi X = \overline{X} \wedge A i.e. ssi \exists Z \in \mathcal{M}_f, \{Z, A\} mod. et X = Z \wedge A.
Je dis que les conditions 1) à 7) sont encore satisfaites :
1) \emptyset_{\mathcal{M}_A} = \emptyset_{\mathcal{M}}, 1_{\mathcal{M}_A} = X
« = X » sur la page ; on attend A
2)
3) item car
4) X < A, X \in \mathcal{M}_A, considérons les Y \in \mathcal{M}_Y en position mod. p.r. à X, telles que Y \wedge X = \emptyset i.e.
Considérons des X_i X_i \in \mathcal{M}_A mutuellement modérés, et les opérations \complement_A, \wedge, \vee i.e. i.e. des X_i \subset A mut. mod. et mod. p.r. à A aussi) on regarde les op. \complement_A \wedge, \vee (binaires) \complement_{\mathcal{M}_A} (unaire) \wedge, \vee (binaires) et on ajoute 0_{\mathcal{M}_A}, 1_{\mathcal{M}_A}), on voit que c'est pareil que
7) Je fais remarquer que \{X, Y\} mod. \Rightarrow \{\complement_{\mathcal{M}_A} X, \complement_{\mathcal{M}_A} Y\} mod., mais \{\complement_{\mathcal{M}} X, \complement_{\mathcal{M}} Y\} est mod., donc comme
5) Trivial
6) Soit X \subset A, les fermés dans A sont les Z = \struck{\ill{}}\ Y \wedge A, avec Y \in \mathcal{M}_f, \{Y, A\} mod.
plus petit possible est Y = \overline{X}, d'où Z = \overline{X}
\overline{X}^{(\mathcal{M}_A)} = \overline{X}^{\mathcal{M}} \wedge A
Soient X, Y \in \mathcal{M}_A, \{X, Y\} modérée, alors
\overline{X \vee Y}^{\mathcal{M}_A} = \underbrace{\overline{X \vee Y}^{\mathcal{M}}}_{} \wedge A = (\overline{X} \vee \overline{Y}) \wedge A = \underbrace{(\overline{X} \wedge A)}_{\overline{X}^{A}} \vee (\overline{Y} \wedge A) = \overline{X}^{A} \vee \overline{Y}^{A}
la page dispose ces égalités sur deux lignes, reliées par des accolades
7) X, Y \in \mathcal{M}_A, \{X, Y\} modérée, donc \{\overline{X}^{\mathcal{M}}, Y^{\mathcal{M}}\} \{X, Y, A\} mod., donc \{\overline{X}, Y, A\} mod., donc \{\overline{X} \wedge A = \overline{X}^{A}, Y\} modérée. OK
Composantes
On dit qu'un \mathcal{M} est connexe si \forall X fermé et ouvert. \forall X \in \mathcal{M}, X fermé et X ouvert \Longrightarrow X = \emptyset ou X = 1
NB Soit X tel que X fermé et ouvert, qu'il soit mod. . ainsi, Alors LE Y. S'il en est ainsi, les X en question engendrent une algèbre de Boole.
de Boole en question est finie, alors les comp. connexes sont les X \neq \emptyset minimaux qui sont ouverts et fermés. [On suppose 0 \neq 1 i.e. \mathcal{M} non réduit à un pt — sinon on a une aussi une structure « vide »…]
Ex Reprenons \mathcal{M} = \mathrm{Mod}(L), et \mathcal{M}_A où A \in \mathcal{M} = \mathrm{Mod}(L), donc A partie modérée d'un tronçon. On a donc
A = X_{\Phi} = \bigcup T_i, \qquad \Phi \in \mathrm{Drap}^{*}_{\ll}(\mathrm{Tr}(L))
Je dis que les comp. connexes de A sont les ps.-tronçons composants T_i. En effet, on a bien sûr
A = \bigvee_i T_i \text{ dans } \mathcal{M}, \quad \struck{\text{et}} \text{ et } T_i \wedge T_j = \emptyset \text{ si } i \neq j,
il suffit donc de prouver que a) Chaque T_i est ouvert et fermé dans A, et b) Chaque T_i est connexe, i.e. ne peut s'écrire comme réunion disjointe de deux parties
Pour a), il suffit de prouver que T_i est fermé dans
NB Si T = T_i est un ps.-tr., son « adhérence » modérée n'est autre que le ps.-tr. fermé associé (= T si T réduit à un pt). Il suffit de voir ce que quand T n'est pas fermé, a \in \ill{} \mathrm{Fr}(T) = \ill{} tel que un a \in \partial T \smallsetminus T … Si T = \{a\} trivial. Sinon T NB (\mathcal{M}_L)_T = \mathcal{M}_T,
b) T connexe : on regarde T comme un tronçon en lui-même. Donc ramène OPS T = L. Mais si X est modéré, Et la frontière modérée est la réunion des \partial T_i, elle est vide ssi les \partial T_i sont vides. Mais \partial T_i = \emptyset \Longrightarrow T_i = L donc X = \emptyset (I = \emptyset) ou X = L (I \neq \emptyset) OK.
NB Soit (X_{\alpha}) famille finie de parties modérées de L, mut. mutuellement modérées, i.e. telles que
S = \bigcup_{\alpha} \dot{X}_{\alpha}
soit une partie tot. ordonnée : t_1 < t_2 < \cdots < t_n. Alors l'alg. de Boole engendrée par les X_{\alpha} est admet comme composantes parties ( des parties comme partie de L (et ps. tr.) « composants » ( )
\underset{\text{si } t_1 \notin \partial L}{[L_{<t_1}]},\ \{t_1\},\ ]t_1, t_2[,\ \{t_2\},\ ]t_1, t_3[,\ \{t_3\}, \ldots, \{t_n\},\ \underset{\text{si } t_n \notin \partial L}{[L_{>t_n}]}
« ]t_1, t_3[ » tel qu'il se lit ; on attend ]t_2, t_3[
Ainsi, cette alg. de Boole est connue quand on connaît S, comme t_1 < \cdots < t_n ( « décomposition » ou « subdivision » des tronçons).
les lignes du milieu de la page, avant la liste, sont barrées de deux longs traits et d'une surcharge ; leur lecture est fragmentaire
Caractérisation d'un intervalle ordonné, en tant que réseau
le titre est de sa main ; « réseau intervalle » biffé en tête de la deuxième ligne
par la donnée de
S \subset \underset{\displaystyle \mathrm{Drap}_2(L)}{\overset{\|}{\mathfrak{P}_2(L)}}
et pour \varepsilon = \{a,b\} \in S, la décomposition de L en
\complement_{\mathrm{mod}}\, \varepsilon = \bigl\{ x \in L \;\big|\; \{a,x\}, \{b,x\} \in S \bigr\}
en « composantes connexes » (par relation R_{\varepsilon})
J'ai commencé à faire l'exercice, mais j'ai l'impression que je n'ai pas la peine de l'expliciter jusqu'au bout. Ça doit avoir été fait depuis longtemps (Hilbert ?) dans le cas totalement ordonné (et divisible) (en termes de la relation : s est entre a et b…)