Cote n° 156-1 · batch 2 · pages 21–26 · Transcription · [Chapitre] I. Vers une géométrie des formes (topologiques) : notes manuscrites (05/06/1986).
Datation de l’inventaire : 1986
Édition de démonstration

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21p. 19 de sa pagination (le chiffre surcharge un chiffre antérieur). Le premier exemple, jusqu'à « \(x < y \Longleftrightarrow px < py\) et », est barré de quatre traits obliques et s'interrompt là

Exemple : Considérons un nb réel irrationnel \(r\), et considérons l'ens \[\mathcal{L} = \underbrace{\bigl(\mathbb{Q} \cap {]{-\infty}, r]}\bigr)}_{L_1} \amalg \underbrace{\bigl(\mathbb{Q} \cap [r, +\infty]\bigr)}_{L_2} \times E\] où \(E\) est un ens […] quelconque de card \(\geq 2\). On pose a donc \[\mathcal{L} \xrightarrow{\;p\;} \mathbb{Q} \quad (\text{surjectif}), \qquad \mathcal{L} \xrightarrow{\;q\;} E \amalg \{0\}, \quad q(x) = 0 \text{ si } x \in \mathcal{L}\] l'indice de ce dernier \(\mathcal{L}\) (on attend \(L_1\)) n'est pas visible et si \(x, y \in \mathcal{L}\), on pose \[x < y \Longleftrightarrow px < py \ \underline{\text{et}}\] « \(px\) » : la première lettre surcharge un autre signe ; la phrase reste inachevée

Ex Soit \(\mathcal{L}_0\) un ordonné [non vide] filtrant croissant et filtrant str. filtrant. loc. str. filtrant croiss. et décroissant, et telle que \(\exists\, x \in \mathcal{L}_0\), \(\exists\, x' < a < a''\), et soit \(\mathcal{L}_i\) (\(i \in I\)) une famille d'ens ordonnés, satisfaisant les mêmes conditions. Soit \(\mathcal{L} = \mathcal{L}_0 \amalg \coprod_i \mathcal{L}_i\). On munit \(\mathcal{L}\) de la relation d'ordre « non vide » est inséré au-dessus de la ligne, après un mot biffé ; « \(x' < a < a''\) » : sic, on attend \(x' < x < x''\) \[x < y \ \text{ssi} \ \left|\ \begin{array}{l} \text{ou bien } x, y \text{ dans un même } \mathcal{L}_i, \text{ et } x < y \text{ dans cet } \mathcal{L}_i \\ \text{ou bien } x \in \mathcal{L}_0,\ y \in \mathcal{L}_i \ (i \in I) \end{array}\right.\] la première ligne porte des corrections : « dans \(\mathcal{L}_0\) ou », avec au-dessus une insertion lue « \(= \mathcal{L}_0\) ou » d'une lecture incertaine ; « un même » est écrit « un \(=\) » ; « cet » surcharge « […] »

Elle satisfait les mêmes conditions que \(\mathcal{L}_0\), \(\mathcal{L}_i\) mais n'est pas filtrante croissante !

22p. 20 de sa pagination, surchargeant un chiffre antérieur

F\(_6\)) Soient \(I, J \in S\), [\(x \in \mathcal{L}\)] tels que \(x \in \partial I\), \(x \in \partial J\), et que \(I\), \(J\) définissent la \(=\) branche i.e. \(\exists\, y \in I^{\circ} \cap J^{\circ}\), [\(y \neq x\)], tel que \(I_{x,y} = J_{x,y}\). Alors \(\exists\, K \in S\) tel que \(x \in \partial K\), \(I^{\circ} \cup J^{\circ} \subset K^{\circ}\). « \(x \in \mathcal{L}\) » et « \(y \neq x\) » sont écrits au-dessus de la ligne ; « = » est mis pour « même », comme ailleurs

En d'autres termes, l'ens. des \(I^{\circ}\), \(I \in S\) tels que \(x \in \partial I\), et que \(I\) définisse une branche donnée, est filtrant croissant pour l'inclusion. (on comparera avec F3) « \(I^{\circ}\) » est inséré au-dessus de la ligne

NB On n'exige pas […] que les intersections […] \(I \cap J\) des \(I\) soient dans […] \(K\). Mais […] on […] celles de ces extrémités […] régulières […] dans \(K\). Comme on […] une des propriétés […] (cor. 2 p. 7) note oblique dans la marge gauche, à une cinquantaine de degrés, très raturée ; lue en partie seulement

On a donc : Soient \(I, J \in S\), \(x \in \mathcal{L}\) tels que \(x \in \partial I \cap \partial J\). Alors

a) Pour qu'il existe \(y \in I^{\circ} \cap J^{\circ}\) tel que \(I_{x,y} = J_{x,y}\), il f. et s. qu'il existe \(K \in S\) tel que \(x \in \partial K\), \(I \cup J \subset K\).

b) Si cette condition n'est pas vérifiée, alors \(\exists\, u \in I^{\circ}\), \(v \in J^{\circ}\) tels que \[I_{x,u} \cap I_{x,v} = \{x\}.\] sic : on attend \(J_{x,v}\)

23p. 21 de sa pagination

(7 juin) Une modèle de 1-forme au sens précédent (ensemble de lieux \(\mathcal{L}\), avec ens de « segments » \(S \subset \mathfrak{P}(L)\), et \(\forall\, I \in S\), un \(\partial I \in \mathfrak{P}_2(I)\), […] de façon à satisfaire les conditions (F\(_1\)) : (F\(_6\))) est appelé un réseau.

Les lieux critiques [ou singuliers] ou de branchement sont appelés aussi nœuds du réseau. Les comp. connexes de \(\mathcal{L}_r \smallsetminus \underbrace{\mathcal{L}_s}_{\text{nœuds}}\) sont appelées les lignes du réseau (de préférence : arêtes). Composantes connexes : les composantes du réseau. « ou singuliers » est écrit au-dessus de la ligne ; l'indice \(r\) de \(\mathcal{L}_r\) est d'une lecture incertaine

On parlera de l'ordre ou de la multiplicité d'un nœud (plus généralement, d'un lieu du réseau — elle est égale à 2 pour un lieu régulier).

On dira qu'un segment réseau est divisible si […] pour tt segment \(I\), \(I^{\circ} \neq \emptyset\). On dira qu'il est réduit si pour tt segment \(I\), \(I^{\circ} = \emptyset\) i.e. \(I = \partial I\) i.e. \(\operatorname{card} I = 2\), [(ou encore si \(\mathcal{L}_r = \emptyset\))], i.e. tous ses lieux sont des nœuds. « ou encore si \(\mathcal{L}_r = \emptyset\) » est inséré sous la ligne

24p. 22 de sa pagination

La donnée d'une structure de réseau réduit sur \(\mathcal{L}\) revient à celle d'une structure partie \(S\) de \(\mathfrak{P}_2(L)\) [les axiomes F\(_1\)) : F\(_6\)) sont vides !] donc une structure de graphe réduit.

un trait horizontal sépare ici deux passages

[Je reviens : l'étude des réseaux réguliers [et] connexes (et non vides, i.e. 0-connexes)]

Lemme On va étudier les cas de figure de deux segments « consécutifs » Rappelons que […] \(y\) régulier

\begin{tikzcd}
x \arrow[r, no head, "I"] & y \arrow[r, no head, "J"] & z
\end{tikzcd}

\(y \in \mathcal{L}_r\). \(y \in \partial I \cap \partial J\) avec \(\operatorname{br}_y(I) \neq \operatorname{br}_y(J)\), Je distingue deux cas : sur la figure, le trait de \(I\) porte une pointe vers \(x\) ; la première lettre de la note marginale peut se lire \(x\) ou \(y\), la figure suggère \(y\)

I) \(I \cap J = \{y\}\) alors […] par axiome de recollement, \(\exists !\, K \in S\), \(K \supset I \cup J\), \(\partial K = \{x, z\}\), et \(I = K_{x,y}\), \(J = K_{\struck{x}y,z}\). Situation bien comprise.

II) \(I \cap J \neq \{y\}\). On Soit […]

a) \(x = z\) […] \(= \{y, x\}\)

\begin{tikzcd}
x \arrow[r, bend left=50, "I"] & y \arrow[l, bend left=50]
\end{tikzcd}

cette figure est barrée d'un trait horizontal, comme les lignes qui l'entourent

b) \(I \cap J \neq \{y, x\}\) […] (\(\partial \neq \{y\}\)) […]

\(\exists\, t \in I \cap J\), \(t \neq y\). les lignes b) sont couvertes de hachures obliques ; le cas II) est repris à la page suivante

25p. 23 de sa pagination

II) \(I \cap J \neq \{y\}\) Deux cas

a) […]

\begin{tikzcd}
x \arrow[r, bend left=50, "I"] & y \arrow[l, bend left=50, "J"]
\end{tikzcd}

figure barrée de traits obliques

b) \(x \neq y\) Soit \(w \in I \cap J\), \(w \neq y\) et considérons \(\underbrace{J_{y,w}}_{\in S} \subset J\), \(I_{w,y}\)

\begin{tikzcd}
w \arrow[r, bend left=50, "I_{w,y}"] & y \arrow[l, bend left=50, "J_{y,w}"]
\end{tikzcd}

dans la marge gauche, une petite figure analogue : un cercle passant par \(x\), \(t\) et \(y\), flèches sur l'arc supérieur vers \(y\) NB \(w\) régulier sauf si \(w \in \{x, z\}\) \(w = x = z\) […] i.e. si on a \(x \overset{I}{\frown} z\)

Je dis que \(I_{w,y} \cap\) Je vais donc étudier d'abord la situation

\begin{tikzcd}
& t \arrow[dr, bend left=20, "I"] \arrow[d, dashed, no head] & \\
x \arrow[ur, bend left=20, no head] & t \arrow[l, bend left=20, "J"] & y \arrow[l, bend left=20, no head]
\end{tikzcd}

figure redessinée : un cercle, \(x\) à gauche, \(y\) à droite ; l'arc supérieur \(I\) passe par un point \(t\) et est fléché vers \(y\), l'arc inférieur \(J\) passe par un point \(t\) et est fléché vers \(x\) ; les deux \(t\) sont reliés par un trait pointillé vertical \(\operatorname{br}_y I \neq \operatorname{br}_y J\) NB On ne va plus supposer \(y\) régulier

\(I \cap J\) : \(\partial I = \partial J\), \(I \cap J = ?\)

Je dis que \(\operatorname{br}_x(I) \neq \operatorname{br}_x(J)\). Sinon, en vertu de l'axiome F\(_6\), existerait […] \(K \in S\), tel que \(x \in \partial K\), et \(I = K_{x,y}\), \(J = K_{x,y}\) donc \(I = J\), donc \(\operatorname{br}_y(I) = \operatorname{br}_y J\), absurde.

Je dis que \(I \cap J = \{x, y\}\). Si en effet \(t \in I \cap J\), \(t \notin \{x, y\}\), alors \(t \in I^{\circ} \cap J^{\circ}\), on applique ce qui précède à \(I_{x,t}\), \(J_{x,t}\)

26p. 24 de sa pagination ; la page ne porte que ces quatre lignes

(où \(\underset{\substack{\parallel \\ \operatorname{br}_x I}}{\operatorname{br}_x I_{x,t}} \neq \underset{\substack{\parallel \\ \operatorname{br}_x (J)}}{\operatorname{br}_x J_{x,t}}\)) on aurait \[\operatorname{br}_t I_{x,t} \neq \operatorname{br}_t J_{x,t},\] donc en vertu de l'axiome des branches pts réguliers (F\(_5\)) on aurait \(\operatorname{br}_t\) le texte s'arrête ici