Fonds Grothendieck, cote n° 156-1, pages 21–26 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-26

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 156-1 [Chapitre] I. Vers une géométrie des formes (topologiques) : notes manuscrites (05/06/1986). Pages 21 à 26 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 2 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. 1986Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/156-1.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \add devient supplied ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

 https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project français, avec la notation mathématique de l'auteur Première passe de transcription. Export TEI depuis la source LaTeX.

p. 19 de sa pagination (le chiffre surcharge un chiffre antérieur). Le premier exemple, jusqu'à « x < y \Longleftrightarrow px < py et », est barré de quatre traits obliques et s'interrompt là

Exemple : Considérons un nb réel irrationnel r, et considérons l'ens \mathcal{L} = \underbrace{\bigl(\mathbb{Q} \cap {]{-\infty}, r]}\bigr)}_{L_1} \amalg \underbrace{\bigl(\mathbb{Q} \cap [r, +\infty]\bigr)}_{L_2} \times E où E est un ens quelconque de card \geq 2. On pose a donc \mathcal{L} \xrightarrow{\;p\;} \mathbb{Q} \quad (\text{surjectif}), \qquad \mathcal{L} \xrightarrow{\;q\;} E \amalg \{0\}, \quad q(x) = 0 \text{ si } x \in \mathcal{L} l'indice de ce dernier \mathcal{L} (on attend L_1) n'est pas visible et si x, y \in \mathcal{L}, on pose x < y \Longleftrightarrow px < py \ \underline{\text{et}} « px » : la première lettre surcharge un autre signe ; la phrase reste inachevée

Ex Soit \mathcal{L}_0 un ordonné non vide filtrant croissant et filtrant str. filtrant. loc. str. filtrant croiss. et décroissant, et telle que \exists\, x \in \mathcal{L}_0, \exists\, x' < a < a'', et soit \mathcal{L}_i (i \in I) une famille d'ens ordonnés, satisfaisant les mêmes conditions. Soit \mathcal{L} = \mathcal{L}_0 \amalg \coprod_i \mathcal{L}_i. On munit \mathcal{L} de la relation d'ordre « non vide » est inséré au-dessus de la ligne, après un mot biffé ; « x' < a < a'' » : sic, on attend x' < x < x'' x < y \ \text{ssi} \ \left|\ \begin{array}{l} \text{ou bien } x, y \text{ dans un même } \mathcal{L}_i, \text{ et } x < y \text{ dans cet } \mathcal{L}_i \\ \text{ou bien } x \in \mathcal{L}_0,\ y \in \mathcal{L}_i \ (i \in I) \end{array}\right. la première ligne porte des corrections : « dans \mathcal{L}_0 ou », avec au-dessus une insertion lue « = \mathcal{L}_0 ou » d'une lecture incertaine ; « un même » est écrit « un = » ; « cet » surcharge « »

Elle satisfait les mêmes conditions que \mathcal{L}_0, \mathcal{L}_i mais n'est pas filtrante croissante !

p. 20 de sa pagination, surchargeant un chiffre antérieur

F_6) Soient I, J \in S, x \in \mathcal{L} tels que x \in \partial I, x \in \partial J, et que I, J définissent la = branche i.e. \exists\, y \in I^{\circ} \cap J^{\circ}, y \neq x, tel que I_{x,y} = J_{x,y}. Alors \exists\, K \in S tel que x \in \partial K, I^{\circ} \cup J^{\circ} \subset K^{\circ}. « x \in \mathcal{L} » et « y \neq x » sont écrits au-dessus de la ligne ; « = » est mis pour « même », comme ailleurs

En d'autres termes, l'ens. des I^{\circ}, I \in S tels que x \in \partial I, et que I définisse une branche donnée, est filtrant croissant pour l'inclusion. (on comparera avec F3) « I^{\circ} » est inséré au-dessus de la ligne

NB On n'exige pas que les intersections I \cap J des I soient dans K. Mais on celles de ces extrémités régulières dans K. Comme on une des propriétés (cor. 2 p. 7) note oblique dans la marge gauche, à une cinquantaine de degrés, très raturée ; lue en partie seulement

On a donc : Soient I, J \in S, x \in \mathcal{L} tels que x \in \partial I \cap \partial J. Alors

a) Pour qu'il existe y \in I^{\circ} \cap J^{\circ} tel que I_{x,y} = J_{x,y}, il f. et s. qu'il existe K \in S tel que x \in \partial K, I \cup J \subset K.

b) Si cette condition n'est pas vérifiée, alors \exists\, u \in I^{\circ}, v \in J^{\circ} tels que I_{x,u} \cap I_{x,v} = \{x\}. sic : on attend J_{x,v}

p. 21 de sa pagination

(7 juin) Une modèle de 1-forme au sens précédent (ensemble de lieux \mathcal{L}, avec ens de « segments » S \subset \mathfrak{P}(L), et \forall\, I \in S, un \partial I \in \mathfrak{P}_2(I), de façon à satisfaire les conditions (F_1) : (F_6)) est appelé un réseau.

Les lieux critiques ou singuliers ou de branchement sont appelés aussi nœuds du réseau. Les comp. connexes de \mathcal{L}_r \smallsetminus \underbrace{\mathcal{L}_s}_{\text{nœuds}} sont appelées les lignes du réseau (de préférence : arêtes). Composantes connexes : les composantes du réseau. « ou singuliers » est écrit au-dessus de la ligne ; l'indice r de \mathcal{L}_r est d'une lecture incertaine

On parlera de l'ordre ou de la multiplicité d'un nœud (plus généralement, d'un lieu du réseau — elle est égale à 2 pour un lieu régulier).

On dira qu'un segment réseau est divisible si pour tt segment I, I^{\circ} \neq \emptyset. On dira qu'il est réduit si pour tt segment I, I^{\circ} = \emptyset i.e. I = \partial I i.e. \operatorname{card} I = 2, (ou encore si \mathcal{L}_r = \emptyset), i.e. tous ses lieux sont des nœuds. « ou encore si \mathcal{L}_r = \emptyset » est inséré sous la ligne

p. 22 de sa pagination

La donnée d'une structure de réseau réduit sur \mathcal{L} revient à celle d'une structure partie S de \mathfrak{P}_2(L) [les axiomes F_1) : F_6) sont vides !] donc une structure de graphe réduit.

un trait horizontal sépare ici deux passages

[Je reviens : l'étude des réseaux réguliers et connexes (et non vides, i.e. 0-connexes)]

Lemme On va étudier les cas de figure de deux segments « consécutifs » Rappelons que y régulier

\begin{tikzcd} x \arrow[r, no head, "I"] & y \arrow[r, no head, "J"] & z \end{tikzcd}

y \in \mathcal{L}_r. y \in \partial I \cap \partial J avec \operatorname{br}_y(I) \neq \operatorname{br}_y(J), Je distingue deux cas : sur la figure, le trait de I porte une pointe vers x ; la première lettre de la note marginale peut se lire x ou y, la figure suggère y

I) I \cap J = \{y\} alors par axiome de recollement, \exists !\, K \in S, K \supset I \cup J, \partial K = \{x, z\}, et I = K_{x,y}, J = K_{\struck{x}y,z}. Situation bien comprise.

II) I \cap J \neq \{y\}. On Soit

a) x = z = \{y, x\}

\begin{tikzcd} x \arrow[r, bend left=50, "I"] & y \arrow[l, bend left=50] \end{tikzcd}

cette figure est barrée d'un trait horizontal, comme les lignes qui l'entourent

b) I \cap J \neq \{y, x\} (\partial \neq \{y\})

\exists\, t \in I \cap J, t \neq y. les lignes b) sont couvertes de hachures obliques ; le cas II) est repris à la page suivante

p. 23 de sa pagination

II) I \cap J \neq \{y\} Deux cas

a)

\begin{tikzcd} x \arrow[r, bend left=50, "I"] & y \arrow[l, bend left=50, "J"] \end{tikzcd}

figure barrée de traits obliques

b) x \neq y Soit w \in I \cap J, w \neq y et considérons \underbrace{J_{y,w}}_{\in S} \subset J, I_{w,y}

\begin{tikzcd} w \arrow[r, bend left=50, "I_{w,y}"] & y \arrow[l, bend left=50, "J_{y,w}"] \end{tikzcd}

dans la marge gauche, une petite figure analogue : un cercle passant par x, t et y, flèches sur l'arc supérieur vers y NB w régulier sauf si w \in \{x, z\} w = x = z i.e. si on a x \overset{I}{\frown} z

Je dis que I_{w,y} \cap Je vais donc étudier d'abord la situation

\begin{tikzcd} & t \arrow[dr, bend left=20, "I"] \arrow[d, dashed, no head] & \\ x \arrow[ur, bend left=20, no head] & t \arrow[l, bend left=20, "J"] & y \arrow[l, bend left=20, no head] \end{tikzcd}

figure redessinée : un cercle, x à gauche, y à droite ; l'arc supérieur I passe par un point t et est fléché vers y, l'arc inférieur J passe par un point t et est fléché vers x ; les deux t sont reliés par un trait pointillé vertical \operatorname{br}_y I \neq \operatorname{br}_y J NB On ne va plus supposer y régulier

I \cap J : \partial I = \partial J, I \cap J = ?

Je dis que \operatorname{br}_x(I) \neq \operatorname{br}_x(J). Sinon, en vertu de l'axiome F_6, existerait K \in S, tel que x \in \partial K, et I = K_{x,y}, J = K_{x,y} donc I = J, donc \operatorname{br}_y(I) = \operatorname{br}_y J, absurde.

Je dis que I \cap J = \{x, y\}. Si en effet t \in I \cap J, t \notin \{x, y\}, alors t \in I^{\circ} \cap J^{\circ}, on applique ce qui précède à I_{x,t}, J_{x,t}

p. 24 de sa pagination ; la page ne porte que ces quatre lignes

(où \underset{\substack{\parallel \\ \operatorname{br}_x I}}{\operatorname{br}_x I_{x,t}} \neq \underset{\substack{\parallel \\ \operatorname{br}_x (J)}}{\operatorname{br}_x J_{x,t}}) on aurait \operatorname{br}_t I_{x,t} \neq \operatorname{br}_t J_{x,t}, donc en vertu de l'axiome des branches pts réguliers (F_5) on aurait \operatorname{br}_t le texte s'arrête ici