Cote n° 154 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · [Système de pseudo-droites] : notes manuscrites (1983-1984, s.d.)
Datation de l’inventaire : 1983-1984
Édition de démonstration

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61\[F = F_D \longrightarrow F_{D'} = F'\] \[\begin{array}{ccc} \omega(F_D) & \xrightarrow[\text{cond.\ via les } \operatorname{Pol}(D)]{\alpha \ \text{transport parallèle}} & \omega(F_{D'}) \\ \wr & & \wr \\ \omega(F) & \xrightarrow[\text{l'orientation sur } \mathcal{X}]{\beta \ \text{transport de}} & \omega(F') \\ \wr & & \wr \\ \omega(D) & \xrightarrow{\alpha' \ \text{transport parallèle}} & \omega(D') \end{array}\] notes au crayon, écrites par-dessus un listing d'ordinateur ; elles reprennent, pour un chemin de \(F = F_D\) à \(F' = F_{D'}\), le transport des orientations de l'alinéa « 4.1. » de la page 60 (lot 3). Le « cond. » sous la première flèche est d'une lecture douteuse ; dans \(\omega(F)\) de la deuxième ligne, le \(F\) est écrit sur une autre lettre

\[\alpha = \alpha' \qquad \beta = \alpha\alpha' \ \text{ssi nb de } \struck{\text{points}}\ \text{\uncertain{sing.}}\ N \text{ est pair}\]

ex \(F = F_{D'}\), \(\alpha = \alpha' = -1\) alors \(\beta = -1\) ssi tel \(N\) pair

donc la page s'arrête sur « donc ». « \(N\) » est ajouté au-dessus de la ligne ; le mot biffé qui le précède se lit mal. Figures au crayon, à droite : un cercle pincé en huit, une flèche en boucle le long de son bord ; au-dessous, deux droites horizontales raccordées par un palier en S, traversées de trois verticales, deux points noirs aux croisements

62et tout chemin \(c\) définit des iso. d'une […] équivariants \[\begin{array}{ccc} \underline{\omega}(F) \simeq \underline{\omega}(D) & \xrightarrow{\ \underline{\omega}_{\ast}(c)\ } & \underline{\omega}(F') \simeq \underline{\omega}(D') \\[4pt] \varepsilon_s(F) = \varepsilon_s(D) & \longrightarrow & \varepsilon_s(F') \simeq \varepsilon_s(D') \\[4pt] \varepsilon_a(F) \simeq \varepsilon_a(D) & \longrightarrow & \varepsilon_a(F') \simeq \varepsilon_a(D') \end{array}\] la page continue la fin de la page 60 (lot 3), où sont introduits \(\chi_{\ast}\) et les \(\varepsilon_s(F)\), \(\varepsilon_a(F)\) (« sommets », « arêtes ») ; nous gardons ces notations. Les lettres rendues \(\varepsilon\) sont des majuscules en forme d'epsilon ou de sigma ; l'indice rendu \(a\) est un petit rond, et l'indice rendu \(\ast\) (ici et dans \(\underline{\omega}_{\ast}\), \(\chi_{\ast}\)) une petite croix, lue comme au lot 3 — lectures probables. Le « \(c\) » de « chemin \(c\) » est ajouté au-dessus de la ligne

Les iso. ne sont pas indépendants, de quoi pour en deux déterminer le troisième, par la relation \[\underline{\omega}(F) \simeq \varepsilon_s(F) \wedge \varepsilon_a(F)\] et les deux relations similaires, équivalentes. Au niveau des caractères correspondants sur \(\pi_1(\mathcal{X}, F)\), cela donne \[\boxed{\chi_{\ast}(F) = \chi_s(F)\,\chi_a(F)}\] \[\begin{array}{c} \| \\ \chi_{\ast}(D) = \chi_s(D)\,\chi_a(D) \\ \| \\ \underline{\omega}(D) \end{array}\] et on a […] plus symétriquement que \[\chi_{\ast}(F)\,\rho_s(F)\,\chi_a(F) = 1.\] dans la dernière formule, le deuxième facteur est écrit \(\rho_s\) plutôt que \(\chi_s\) ; nous transcrivons tel quel

En plus de ces trois caractères, il y en a deux autres, \(\chi_{\mathcal{X}} = {}\)caractère d'orientation de \(\mathcal{X}\) (qui diffère de \(X\) par la structure cellulaire), et \(\chi_c\) (« combinatoire »), qui est défini par la parité[ des longueurs]. Le système ⌜sous-système⌝ local correspondant […] défini par les \((\underline{\omega}(F))\), mais ceci était […] déduit des transitions opposées à celles données par […] le transport parallèle sur \(X\) défini par les \(\underline{\omega}_{\ast}(c)\) — donc on trouve \[\underline{\omega}_{\mathcal{X}}(c) = \operatorname{par}(c)\,\underline{\omega}_{\ast}(c)\] où \(\operatorname{par}(c)\) désigne la parité de \(c\). Le système Le système local associé à \(\chi_c\) formé de a comme fibres les ens. \(\lbrace \pm 1 \rbrace\), mais les morphismes de transition donnés par les \(\operatorname{par}(c)\). On trouve donc \[\boxed{\chi_{\mathcal{X}} = \chi_a\,\chi_c}\] dans la formule encadrée, le deuxième indice est le même petit rond que plus haut ; la formule précédente donnerait plutôt \(\chi_{\ast}\chi_c\), comme à la dernière ligne de la page. Nous transcrivons ce que porte la page « des longueurs » : ajout interlinéaire d'une lecture douteuse

Compte tenu de ces […], on dispose de trois caractères fondamentaux, ⌜privilégiés⌝ je choisis \[\chi_{\ast}, \quad \chi_s, \quad \chi_c\] […] les deux autres […] \[\chi_a = \chi_{\ast} \chi_s \quad \text{et surtout} \quad \chi_{\mathcal{X}} = \chi_{\ast} \chi_c.\] On a \(\chi_c = 1\), cf. verso ! note écrite dans la marge de droite et séparée du texte par un long trait oblique ; le « verso » est la page 63

Il y a lieu d'expliciter les valeurs des caractères précédents, à fortiori, ainsi que celles de la représentation \[u : \pi_1(\mathcal{X}, F_D) \longrightarrow \operatorname{Aut}(\operatorname{Pol}(D)),\]

Attention, […] […] fixé, dans […] il faut […] […] […] […] déterminant […] […] (qui […] […] […] […] […] note écrite en biais au bas de la colonne de gauche, reliée par une flèche à la formule \(\chi_{\ast}(F)\rho_s(F)\chi_a(F) = 1\) ; elle se lit mal

63Pour les circuits fondamentaux sur \(\mathcal{X}\), qui sont de deux espèces « fondamentaux » : le mot est écrit dans la marge au-dessus de « a) », avec un trait de renvoi

a) Circuit autour d'une […] ⌜composante⌝ exceptionnelle de \(K\) (ou le franchissant une fois), soit \(l_{D_i}\) le circuit correspondant à la ps. droite \(D_i \in \Sigma\). On trouve \[u(l_{\vec{D}_i}) = \text{translation par } n-1\] (dans le sens de l'orientation de la position rel. \(D\) voisine de \(D_i\)), valeurs des caractères fondamentaux \[\chi_{\mathcal{X}}(l_{D_i}) = 1, \quad \chi_s(l_{D_i}) = (-1)^{n-1}\] \(\chi_c(l_{D_i}) = 1\) dans la première valeur, un signe est surchargé en \(1\) ; dans la deuxième, un « \(=\) » est surchargé et un premier second membre biffé devant \((-1)^{n-1}\) ; la troisième égalité, donnée à la suite, est biffée. L'indice de \(\chi\) dans la première est un \(\mathcal{X}\) cursif

b) Demi-circuit autour d'un pt de \(X\) (qui peut être soit dans une face, soit dans une arête, soit ⌜être⌝ un sommet). Le point fait […] de ce parcours dans \(\operatorname{Pol}(D)\) induit […] par \(u(l)\), qui est de signe \(-1\), donc on trouve toutes les symétries, donc \[u_D : \pi_1(\mathcal{X}, F_D) \longrightarrow \operatorname{Aut}(F_D)\] est surjectif ouf ! l'alinéa b) est marqué d'un double trait vertical dans la marge de gauche ; « surjectif » est souligné deux fois

* Il semble que le caractère \(\chi_c\) soit trivial ! En effet, si pour une p.r. \(D\) donnée, on désigne par \(\operatorname{sing}_D\) (« singularités de \(D\) ») le nb de sommets de \(\Sigma\) qu'elle contient, je dis que pour deux voisines \(D\) et \(D'\), on a \[\text{poids } c \equiv \operatorname{sing}_{D'} - \operatorname{sing}_D \pmod 2\] (donc poids \(c\) pair, si \(D = D'\) !) […] […] […] […] si on […] \(c\) […] de longueur \(1\), auquel cas la formule est triviale (on se ramène au cas où la générisation « balaye » au-dessus d'une droite ⌜d'un sommet⌝, ou d'une droite \(D_i \in \Sigma\), le poids est \(2\)). Donc finalement, on trouve \[\boxed{\chi_{\mathcal{X}} = \chi_{\ast}}\] il n'y a pas d'autre caractère […] que ceux provenant de \(\mathbb{D}_2\) ! l'alinéa est marqué d'un astérisque ; la congruence porte « (2) » à droite, lu comme « modulo \(2\) ». « pair » est souligné ; « d'un sommet » est écrit après « d'une droite » biffé. Les mots avant « si on » se lisent mal

643.1.84 date de sa main, en tête de la page, au-dessus des figures

figures : deux grands disques côte à côte. À gauche, \(\Delta_{D'}\), au bord vert foncé (légende \(D'\)) : deux pseudo-droites orange qui se croisent en \(s\) juste au-dessous du bord, en haut, où un segment épais noir marque l'arc \(a\) et un arc pointillé l'arc \(a'\) ; un petit cercle vert clair y figure le recollement ; une croix orange (point double) près du bord. À droite, \(\Delta_D\), au bord vert clair (légende \(D\), \(\Delta_D\)) : deux pseudo-droites orange, un segment épais noir en bas (l'arc \(b\), près de \(s\)) et une rangée de points noirs en haut (l'arc \(b'\)), une croix orange

[…] huit façons « standard » de recoller \(\Delta_D\) à \(\Delta_{D'}\), suivant […] un isom. (combinatoire) d'un des deux arcs de transition \(a, a'\) sur \(\Delta_{D'}\), avec l'un des deux arcs privilégiés \(b\) (de transition) et \(b'\) (son antipodique) sur \(\Delta_D\), deux choix pour chaque choix d'un couple dans \(\lbrace a, a' \rbrace \times \lbrace b, b' \rbrace\). Donc huit façons, ⌜cellulairement⌝ a priori, de construire une surface : toutes ont le graphe \(\Gamma_{\underline{\Sigma}} = \Gamma\), mais (sauf pour les polygones d'un couloir rouge, peut-être) il n'y a que quatre cas différents de surfaces, on sait qu'on obtient par un choix \((\alpha, \beta, \rho)\) […] recollés et \((\alpha', \beta', \sigma')\) (où \(\alpha', \beta', \sigma'\) déduits en changeant […] […] les antipodismes) sont can. isom. (ils correspondent à la même circularisation de \(\Gamma\), et les mêmes isomorphismes de transition par les or. loc. correspondantes). « a priori » est écrit au-dessus de « façons », « cellulairement » au-dessous. Les lettres du troisième terme des triplets, lues \(\rho\) et \(\sigma'\), sont peu nettes

On peut les supposer, quitte à changer les notations […] […] et d'autre, que \(\beta = b\) — ce qui revient à faire un choix de la manière dont s'apparaît […] au voisinage des lieux de transition choisis, sur les surfaces recollées, bien qu'il soit associé en antipodes, ce qui a l'air un peu idiot !)

Reste les quatre choix (en fait, les huit) qui les deux dernières lignes de la colonne de droite sont barrées de deux traits obliques ; la suite, en tête de la page 65, est elle-même annulée

65[…] […] qu'elles […] […] une application canonique […] […] […] surface recollée dans \(X\) ! Si on recolle \(b\) à \(a'\), ⌜Non, c'est vrai pourvu […]⌝ […] que, par ce choix, on choisisse l'identification les cinq premières lignes de la colonne de gauche sont barrées de trois traits obliques ; « Non, c'est vrai pourvu … » est écrit au-dessus de « Si on recolle \(b\) à \(a'\) », lui-même biffé d'un trait

Si on veut une application naturelle de la surface recollée dans \(X\), qui sur \(\Delta_D\), \(\Delta_{D'}\) se réduise (semble-t-il) aux plongements canoniques, il faut que \(b\) et \(\alpha\) se réalisent ⌜ensemble⌝ par le […] segment plongé dans \(X\), ce qui imposerait \(\alpha = a\) ! Mais si on convient de remplacer \(\Delta_D\) par un disque un peu plus petit \(\Delta^{*}_D\), ⌜dont le bord⌝ passe par \(s\) (cf gribouillis ci-contre), et d'y […] […] […] […] \(b\) en \(b^{*}\), et faire le recollement le long de \(b^{*}\) plutôt que \(b\), et pareil pour le disque \(\Delta_{D'}\) (de façon à faire coïncider les images de \(a\) et \(a'\) […] […] dans \(X\)), on voit qu'on arrive à […] […] une application de la surface recollée dans \(X\), même en choisissant \(\alpha = a\). figure au crayon, dans la marge de gauche : un disque traversé de deux cordes qui se croisent en \(s\) près du bord, un arc épais brun marqué \(b^{*}\), légende \(\Delta^{*}_D\) — le « gribouillis » auquel il renvoie

Le choix le plus naturel quand même (dans l'optique d'une application dans \(X\)) semblerait \(\alpha = a'\). Donc, sur le terrain, cela donne une continuation d'une rive par la suivante — l'application \(\mathcal{X} \to X\) est une immersion. figure : deux pseudo-droites orange se croisant sur une droite vert foncé marquée \(s\) (?) à son extrémité ; au-dessous, une rangée de points noirs, hachurée de vert clair au-dessus (marqué \(\omega\)) et de vert foncé au-dessous (marqué \(\omega'\)) ; plus bas, une droite vert clair fléchée marquée \(\omega_D\). « continuation » et « immersion » sont soulignés

Dans cette optique[, donc], la rive de \(D'\) i.e. l'arc sur \(\partial\Delta_{D'}\) qui exprime l'opération de spécialisation ⌜générisation⌝ vers \(D\) est \(a'\) — i.e. celle qui « fait face » : la rive \(a\), et non \(a\) que on eût déduit par « transport parallèle » […] […] de la déformation de spécialisation \(D \to D'\). Ce choix semble parfait — mais on trouve à l'inverse, « générisation » est écrit au-dessus de « spécialisation » biffé. « et non \(a\) » : la lettre est peu nette et devrait désigner l'autre rive ; nous transcrivons ce que la page semble porter

66c'est qu'il semble que sur l'autre \(\mathcal{X}\) obtenue par recollement, on n'ait aucune interprétation des « trous » (ou sommets, quand on a bouché les trous) en termes de la géométrie de \(\underline{\Sigma}\).

[…] Il faudrait quand même que je revoie […] […], pour voir si je ne m'étais pas mélangé les pinceaux […] […] […] (pas en faisant le recollement), et qui […] […] continuent une orientation choisie \(\omega\) de \(\Delta_D\) (défini par une or. \(\omega_D\) de \(D\)) en passant de \(\Delta_D\) dans \(\Delta_{D'}\) via l'arc de transition, on trouve que une orientation \(\omega'\) de \(\Delta_{D'}\), qui induit sur \(D'\) une orientation \(\omega_{D'}\) qui est […] ⌜[…]⌝ de celle déduite de \(\omega_D\) par […] transport parallèle ! Voilà donc […] transport […] […], […] vérifié […] […] […] dans les deux sens ! le mot biffé après « qui est » est barré de deux traits ; ce qui est écrit au-dessus ne se lit pas. La fin de la colonne de gauche se lit mal

Venons-en à l'autre choix qui donne lieu à \(\mathcal{X} \to X\), savoir \(\alpha = a\). On est obligé ici d'ajuster comme j'avais dit \((\Delta_D, b)\) et \((\Delta_{D'}, a)\), pour faire se rencontrer \(b\) et \(a\) dans \(b^{*} \cup a^{*} \subset X\). On trouve la figure figure : deux pseudo-droites orange se croisant sur une ligne de points noirs marquée \(\delta\), un segment épais brun au point de croisement ; au-dessus, des hachures alternées vert clair et vert foncé, avec les orientations \(\omega\) et « \(\omega' = -\omega\) » en petites flèches courbes ; au-dessous, une courbe vert foncé en cloche fléchée à gauche (\(\omega_{D'}\)) et une droite vert clair fléchée à droite (\(\omega_D\))

i.e. on recolle […] […] — à la même rive le long de la ligne critique de spécialisation \(\delta\), l'identification \(b^{*} \to a^{*}\), comme tantôt, et l'iso. de transport. Ici, la combinaison (⌜d'objets⌝ choix de structure polygonale sur l'arc des transitions associés à une p.r.) est opposée au choix […]

67de tantôt, pour réaliser une op. de générisation \(D' \to D\) par un « arc de spécialisation générisation » sur \(\partial\Delta_{D'}\) ; on prend maintenant, non la rive qui « fait face » : celle de \(b\), mais par contre celle qui en résulte par transport parallèle. Je […] ⌜Quand à l'isom.⌝ de transition \(\underline{\omega}_{\Delta_D} \to \underline{\omega}_{\Delta_{D'}}\) pour les orientations, faisant […] […] […] \[\omega \text{ or.\ de } \Delta_D \longleftrightarrow \omega_D \text{ or.\ de } D\] \[\omega' \text{ or.\ de } \Delta_{D'} \longleftrightarrow \omega_{D'} \text{ or.\ de } D',\] une flèche coudée, légendée « transport », va de \(\omega\) à \(\omega'\) on trouve […] […] que \(\omega_{D'}\) est opposée à l'orientation de \(D\) déduite de \(\omega_D\) par transport parallèle !

Pendant ces deux dernières semaines, c'est […] cette opération de recollage que j'ai […]. Avant, j'avais pris […] ⌜[…]⌝ iso. de transition pour les orientations, le transport parallèle […] et comme […] recollage, si je me rappelle bien, le recollage

1°) de la […] — je croyais avoir interprété contradictoirement la construction de recollement de 1°), mais je m'étais mélangé les pinceaux deux fois, il me semble :

1) je m'étais trompé sur les isom. de transition pour les orientations, et

2) je m'étais trompé également sur l'identification associée à une op. de générisation ⌜pour \(D'\)⌝ par un arc sur \(\partial\Delta_{D'}\) ; on prenait au lieu de la rive « d'en face » celui qui […] se déduit de \(a\) par transport parallèle, alors que c'est l'autre qu'il (l'antipodique), qu'il fallait prendre).

Pour résumer les quatre possibilités sont indiquées dans la liste suivante « opposée » est souligné. La colonne de droite reprend en « 1°) » la fin de la colonne de gauche ; les deux erreurs sont numérotées 1) et 2), le premier chiffre peu net. La liste annoncée suit à la page 68

68A) Recollements donnant lieu à une application naturelle \[\mathcal{X} \to X,\] ce qui revient à […], ou l'isom. \(\alpha : a \to \beta\) ⌜(correspondant à l'antipodisme)⌝ est obtenu par transport parallèle — ou encore, combinatoirement, où l'isom. de transition \(\omega_D \to \omega_{D'}\) est opposé au transport parallèle. Il y a deux possibilités (car tjrs \(\beta = b\))

1) Cas \(\alpha = a'\) — on recolle l'arc de […] […] […] \(b\) […] l'arc de spéc. \(b\) sur \(\Delta_D\) à un ⌜l'arc⌝ […] de […] \(a'\) sur \(\Delta_{D'}\) qui est sur la rive opposée face à celle de \(b\), i.e. opposé à celle obtenue par transport parallèle : C'est Alors \(\mathcal{X} \to X\) est une immersion. On repère

Pour définir la structure polygonale sur l'ens. des transitions partant d'une p.r. donnée \(D'\), on repère d'une face une générisation par la rive de celle vers laquelle on va, qui est dans la direction : le trait bleu qui déplace \(D'\) par générisation marque la rive « tirée » sur \(D'\) pour la déplacer vers lui. le début de l'alinéa porte un signe biffé ; plusieurs mots sont récrits sur des biffures

2) Cas \(\alpha = a\), — on recolle \(b\) avec l'arc \(a\) qui s'en déduit par transport parallèle. Maintenant \(\mathcal{X} \to X\) est une immersion sur chaque face \(F^{*}\), mais c'est un « retournement » le long d'un arc de transition commun à deux faces.

On repère une op. de générisation par […] l'arc de gén. qui est opposé à la rive dans laquelle on pousse va — le trait bleu marquant cette rive « poussée » sur \(D'\) par la générisation, et la direction dans laquelle […] le sommet envisagé. « retournement » : lecture probable d'un mot rapide ; la fin de la colonne de droite se lit mal

69B) Recollements ⌜ne⌝ donnant pas lieu à une application naturelle \(\mathcal{X} \to X\), i.e. l'isom. \(\alpha : a \to \beta\) est opposé à celui obtenu par transport par la composition de […] […] antipodisme — ou encore, l'isom. de transition \(\underline{\omega}(D) \to \underline{\omega}(D')\) est opposé celui du transport parallèle. Deux cas à envisager encore

1) Cas \(\alpha = a'\). C'est le cas où on repère une op. de générisation ⌜sur \(D'\)⌝ par l'arc qui fait face à l'arc de spécialisation correspondant sur \(D\) — c'était un cas que je crois avoir un peu vite j'avais écarté (c'était vraiment un bâton-dans-les-roues, rétrospectivement !).

2) Cas \(\alpha = a\) — c'est le cas ⌜déjà rejeté⌝ où on repère une op. de générisation par l'arc [(]déduit de l'arc de spécialisation correspondant par transport parallèle. Je me suis amplement convaincu qu'il est impossible de « tourner » une p.r. […] […] quelques […] successives de l'opération […] de « tourner autour d'un trou (ou sommet […]) ».

Je crois me rappeler maintenant que j'avais écarté aussi le cas 1), car il donnait lieu aussi à des circuits qui menaient […] […] […] […] […] d'une p.r. proche d'une supersingulière, \(D_i\), on s'écarte de \(D_i\) au lieu de tourner autour comme on devrait normalement. « B) » est écrit sur un chiffre surchargé ; « ne » est ajouté au-dessus de la ligne. « bâton-dans-les-roues » est une lecture hasardeuse d'un mot composé rapide. La deuxième colonne continue la dernière phrase de la première

Si je viens de vérifier, cet ennui se présente aussi bien pour B1) que pour B2), et […] pour A1), […], je viens de voir, pour A2 visiblement, dans un […] ce dernier alinéa est barré de quatre traits obliques ; les renvois B1), B2), A1), A2 sont écrits sur des lettres surchargées

70cas en question, c'est dû au fait que je n'ai pas tenu compte des arcs de spécialisation exceptionnels (vers les p.r. supersingulières). Le cas, il y a deux variantes, suivant qu'on se permet de se spécialiser vers une pos. rel. supersingulière, ou qu'on l'évite, en passant directement à la position voisine opposée les neuf premières lignes sont barrées de trois traits obliques

Je viens de vérifier, sauf erreur (j'ai fait […] une d'erreurs encore dans le cours de la vérification !) que les trois possibilités \(A_1\), \(A_2\), \(B_1\) donnent lieu aux bons circuits autour d'une position supersingulière, il n'y a que \(B_2\) que dérange complètement (or il semblerait que c'était sur \(B_2\) que je m'étais arrêté pendant une paire de semaines, Dieu sait pourquoi !). La plus intéressante, après \(A_2\), semble bien être \(A_1\), mais je viens encore d'essayer de comprendre les circuits auxquels il donne naissance, sans y réussir. « \(B_1\) » : l'indice, sous une surcharge, est peu net. La colonne de droite de la feuille est blanche

71Je voudrais revenir à la question de faire une surface avec les p.r. stables. Pour une telle \(D\), \(\Delta_D\) n'a comme arcs de transition que des arcs de spécialisation. Comment recoller \(\Delta_D\) et \(\Delta_{D'}\), quand \(D\), \(D'\) sont déduits l'une de l'autre par balayage au-dessus d'un sommet ? Ici, il n'y a pas d'ambiguïté possible sur les arcs le long desquels faire le recollement, ce sont les antipodiques des arcs de spécialisation — et c'est plus utile (il faudrait les voir pour l'utiliser pour recoller !). Ici, il est très tentant de remplacer encore \(\Delta_D\), \(\Delta_{D'}\) par \(\Delta^{\wedge}_D\), \(\Delta^{\ast}_{D'}\) déduits en balayant le bord jusqu'aux points \(s\) « critiques » qui nous intéressent, […] ⌜[…]⌝ de recoller. « stables » et « spécialisation » sont soulignés ; un double trait et un point d'exclamation, en marge, marquent la parenthèse. Les exposants de \(\Delta^{\wedge}_D\) et \(\Delta^{\ast}_{D'}\) sont deux petits signes peu nets. Figure à gauche : deux pseudo-droites, \(D'\) (vert foncé) et \(D\) (vert clair), qui se séparent en passant de part et d'autre d'un point où concourent trois pseudo-droites orange

Prenant une figure symétrique (à partir de la position semi-stable intermédiaire) on a à priori \(8\) possibilités de recollement, suivant […] les quatre possibilités d'échanges dans \(\lbrace a, a' \rbrace \times \lbrace b, b' \rbrace\), puis le choix d'orientation pour recoller \(\alpha \in \lbrace a, a' \rbrace\) avec \(\beta \in \lbrace b, b' \rbrace\). Mais déjà le choix d'un couple \((a, b')\) ou \((b, a')\) est exclu, à cause de la nécessaire symétrie à respecter. Donc il reste deux couples \((a, b)\), \((a', b')\), et pour chacun choix parmi les deux possibilités de recollage — transport parallèle, ou l'opposé. Mais moyennant application transformation, par antipodisme des […] […] droite (qui ne change […] la surface \(\mathcal{X}\) obtenue par recollement […] des \(D \in \Sigma\) disposition de \(L\) dedans) \((a', b')\) équivaut à \((a, b)\). figures, en haut de la colonne de droite : un disque au bord vert clair traversé de deux pseudo-droites rouges qui se croisent près du haut et du bas, des arcs épais noirs marqués \(a'\) et \(a\) ; une droite au crayon le traverse et touche un second disque esquissé au crayon. Au-dessous, un disque au bord vert foncé, deux pseudo-droites rouges se croisant en haut et en bas, entourées de petits arcs vert foncé et vert clair, avec des arcs épais noirs marqués \(b^{\ast}\), \(a'\) en haut, \(b'\), \(b\) et \(a\) en bas. La dernière ligne de la page est écrite sous une ligne raturée

72\(N = 4n\) \[\sigma_0 \sigma_1 \cdots \sigma_{N-1} \quad \Big| \quad \sigma_N = \sigma_0\] \[\rho_1 = \sigma_0\sigma_1 \quad \rho_2 = \sigma_1\sigma_2 \quad \cdots \quad \rho_N = \sigma_{N-1}\sigma_N = \sigma_{N-1}\sigma_0\] \[\rho_1\rho_2 = \sigma_0\sigma_2 \quad \rho_2\rho_3 =\] \(\sigma_i^2 = 1\), \(\rho_i^2 = 1\) i.e. deux \(\sigma_i\) consécutifs (circulairement) commutent notes au crayon sur un listing d'ordinateur, la feuille tenue à l'envers du listing ; « \(\rho_2\rho_3 =\) » reste sans second membre. Croquis au crayon : un polygone régulier (octogone) rayonné depuis son centre, une ligne brisée en zigzag épaissie le long d'une partie de son bord et des faisceaux de droites autour ; plusieurs faisceaux de droites sur une droite, avec les légendes « \(n-1\) » et « \((n-1) - (N-1) - (N'-1)\) » lues en partie ; une pseudo-droite fusiforme esquissée en haut de la page

73figures en tête de la page : un réseau de hachures vert foncé et jaune coupé par deux pseudo-droites rouges qui se croisent sur une droite pointillée, un petit segment épais noir au croisement ; légendes \(\omega_{D'}\), \(\omega_D\) (flèches), \(\omega_F\) et \(\omega_{F'}\) (flèches courbes). Une accolade renvoie à une seconde figure analogue, légendée « ou \((a', b')\) » et, à droite, « Cas un peu vicieux, et sans intérêt ! »

[…] Cas \((a, b)\) […] de prolongation des rives.

1) On choisit comme recollement le transport parallèle. On trouve un \(\mathcal{X}\) avec \(\varphi : \mathcal{X} \to X\) qui est une immersion. Dans \(\mathcal{X}\), on a un graphe top. \(K\), et les faces de \((\mathcal{X}, K)\) correspondent aux p.r. stables. […] On a un \(L = \varphi^{-1}(X_1)\), qui matérialise la corr. entre faces et p.r. stables — en remplaçant chaque face \(F\) par la face \(F^{\sim}\) obtenue en la « renflant » aux pts qui « critiquent » de \(S_K\) i.e. les pts de \(K \cap S(L)\). « de prolongation des rives » est souligné ; le numéro qui précède « Cas » est surchargé, peut-être un 2. \(S_K\) : lecture probable

NB Ici, on […] \(\Delta^{\ast}_D \cap\) […] […] \(\Delta_{D'}\) […] \(D \cap \Delta_{D'}\) note écrite en biais entre les deux colonnes ; elle se lit mal

Partons d'une orientation \(\omega = \omega_F\) de \(F = \Delta^{\ast}_D\), ou d'une \(\omega_D\) orientation de \(D\), prenons l'orientation \(\omega'\) de \(\Delta^{\ast}_{D'}\) déduite par transport via le recollement, d'où orientation \(\omega_{D'}\) de \(D'\), on constate avec surprise que c'est l'opposée de celle obtenue par transport parallèle ! L'ennui, c'est que les circuits acceptables ne s'obtiennent pas pour les bons circuits supersinguliers !

2) Recollement par l'iso. ⌜\(a \simeq b\)⌝ opposé au transport parallèle. Cette fois, c'est au niveau de la transition \(\underline{\omega}_F \to \underline{\omega}_{F'}\), interprétée comme \(\underline{\omega}_D \to \underline{\omega}_{D'}\), qu'on obtient le transport parallèle. Contrairement à ce que je ⌜croyais⌝ (voyais), on trouve les bons circuits autour des positions supersingulières. « l'opposée » est souligné ; la note marginale, à droite, est séparée du texte par un trait. « croyais » est écrit au-dessus de « (voyais) », qui n'est pas biffé

74Mais les circuits plus généraux restent mystérieux pour moi — je ne sais s'ils sont valables !

Les deux procédés correspondent à la même structure polygonale sur l'ens. des arcs de spécialisation ⌜(\(=\) transition)⌝ pour une p.r. stable \(D\) — mais il y a une autre structure polygonale, dans le fait que les […] les arcs de spécialisation sur \(D\) (au lieu de \(\widetilde{D}\)) sont mutuellement disjoints, donc on peut prendre la structure polygonale correspondante, dans la réalisation top. usuelle de \(D\) linéaire. L'ennui, c'est que cette fois-ci, un polygone […] ⌜d'ordre \(n\)⌝ n'est pas réalisé géométriquement comme un \(2n\), […] mais […] correspondant plutôt par un disque \(n\)-gonal plus ou moins clair. Mais peut-être est-ce une indication pour obtenir simultanément des deux façons, antipodiques, les disques \(\Delta^{\ast}_D\), \(\Delta^{\ast}_{D'}\), de façon à obtenir un ruban de Möbius peut-être ? « sur \(D\) », « simultanément » et « des deux façons » sont soulignés ; « d'ordre \(n\) » est écrit au-dessus d'un mot biffé. Le passage entre « un polygone » et « Mais peut-être » se lit mal

L'idée maintenant c'est de prendre le découpage de \(X\) suivant la partie commune de \(D\) et \(D'\) (cf. figure) se donne dans un ruban de Möbius, […] […] ⌜divisé par la ligne⌝ pointillée en une bande rectangulaire. Un prend les orientations ⌜(twistées par \(\omega(D)\) ?)⌝ des rubans de Möbius, ⌜des orientations de \(D'\)⌝ (ordre \(2\) des rubans) qui est formé de deux rectangles recollés en \(2\) paires d'arêtes. Sauf erreur, c'est l'identification […] simultanée de \(\hat{a}\) avec \(b\), […] de \(\hat{a}'\) avec \(b'\), suivant le transport parallèle. Mais ce qui est décisif, en faisant tous ces recollements pour chaque […], au lieu de \(\Delta^{\ast}_D\), c'est celle bien de la surface cellulaire obtenue par le graphe \(\Gamma_{\Sigma}\) et sa structure de polygonalisation et de transport ?, obtenue figure en tête de la colonne de droite : deux pseudo-droites, vert foncé et vert clair, confondues aux deux bouts et s'écartant en fuseau au milieu, une ligne pointillée noire le long de l'axe du fuseau, deux pseudo-droites rouges se croisant sur cet axe. La colonne se lit mal par endroits ; les lettres \(\hat{a}\), \(\hat{a}'\) portent un chapeau ajouté et sont écrites sur un signe biffé

75par recollement de polygones d'ordre \(n\), non \(2n\) ? Celle-là première ne serait-elle pas plutôt un revêtement d'ordre deux de la seconde, ramifié en chacun des pts des centres — en effet, on voit difficilement ⌜que les⌝ antipodismes dans les \(\Delta^{\ast}_D\) sont compatibles avec les identifications, et on peut passer au quotient, cela va donner justement la carte cellulaire envisagée… On peut aussi, […] plutôt […] interpréter la nouvelle carte comme associée à un graphe ⌜(défini cellulairement)⌝ dont les sommets sont les p.r. stables, que pour deux p.r. \(D\), \(D'\) adjacentes, l'on va maintenant envisager deux flèches ou arêtes entre eux, savoir \(a_D : D \to D'\) (de l'arête \(a\) vers \(b'\)) et \(a_{D'} : D' \to D\) (de l'arête \(b\) vers \(a'\)), munies chacune d'une orientation — le balayage de \(D\) vers \(D'\), et de \(D'\) vers \(D\), qu'on identifie « d'ordre \(n\) » et « Celle » sont soulignés ; « deux » est souligné. Plusieurs mots de cette colonne, rapide, sont d'une lecture incertaine

Maintenant, les arcs de transition (ou plutôt) pour \(D\) i.e. sur \(\partial\Delta_D\), sont les arcs de spécialisation et leurs antipodiques, organisés en polygone de la façon habituelle. Une arête orientée qui part de l'un ou l'autre, en dit […] vers une position rel. adjacente.

La surface \(\mathcal{X}\) obtenue, immergée dans \(X\) par une immersion, et l'image inverse ⌜\(L\)⌝ de \(X_1\) […] donne lieu à une l'écriture précédente habituelle des […] p.r. stables associée à une face de \((\mathcal{X}, K)\). « et leurs antipodiques » est souligné

Description combinatoire

1) graphe \(\Gamma\) \(\left\lbrace \begin{array}{l} \text{sommets : p.r.\ stables } D \\ \text{arêtes orientées : paires } (D, a),\ a \text{ un arc de transition sur } D \\ \quad \text{(de spécialisation, ou antipodique d'un tel)} \end{array} \right.\) sous « arêtes orientées », un « or. » est biffé ; la parenthèse est ajoutée au-dessous de la ligne

76antipodique d'un opposée d'une arête orientée \((D, a)\) : l'arête \((D', a')\), où \(D'\) est déduite de \(D\) par balayage ⌜via l'arc⌝ […] \(\operatorname{antip}(a)\), et \(a'\) ⌜antipodique de celle⌝ déduite de \(a\) par transport parallèle, i.e. « opposé à \(a\) ». Origine de \((D, a)\) est \(D\). « antipodique de celle » est ajouté au-dessous de la ligne ; la suite de la liste commencée page 75

2) Structure polygonale sur l'ens. des arêtes orientées issues de \(D\) : évidente.

3) Transport d'orientations : inverse du transport parallèle des orientations des p.r. ! le mot souligné de 3) est écrit sur un autre ; lecture douteuse

Hélas on ne trouve pas les bons circuits supersinguliers — ce n'est pas l'aboutissement, si alléchant que cela paraisse ! Si cependant on modifie comme donné de transport 3), en prenant pour les orientations le transport parallèle, on trouve les bons circuits supersinguliers (mais pas d'application naturelle \(\mathcal{X} \to X\) !).

Il y a une autre (au moins !) possibilité de construction encore, c'est de recoller \(a\) à \(b'\), \(b\) à \(a'\), ainsi figure en tête de la colonne de droite : un réseau de hachures vert foncé et jaune coupé par deux pseudo-droites rouges qui se croisent sur une droite pointillée ; légendes \(\omega_{D'}\), \(\omega_{F'}\), \(\omega_F\) (flèches), et au bas une droite vert clair fléchée \(\omega_D\)

en utilisant pour le recollement le transport parallèle, de façon donc à avoir toujours \(\mathcal{X} \to X\), mais cette fois-ci pas une immersion, mais des application avec pliure le long des arêtes de \(K\).

La description combinatoire est analogue à celle qui précède, la seule modification est dans 1) la description de l'opposée d'une arête, maintenant ⌜c'est⌝ l'opposée \((D', a')\) de \((D, a)\), où \(a'\) déduit de \(a\) par transport parallèle. Pour 2), 3), on retrouve « 2), 3) » : le chiffre \(3\) est écrit sur un autre, lecture probable. La phrase se poursuit à la page 77

77Il s'ensuit que la qualité de \(\mathcal{X}\) par antipodisme est la même que précédemment, et que les suites des p.r. intervenant dans un circuit sont les ⌜mêmes⌝ […] pour les deux — donc cette variante n'est pas plus satisfaisante, en ce qui concerne les circuits supersinguliers ! Il faudrait modifier 3), en prenant la prescription opposée pour définir le transport d'orientation, pour trouver des bons circuits supersinguliers. « mêmes » est écrit au-dessous d'un mot biffé ; « qualité » est d'une lecture douteuse

Que se passe-t-il dans le cas où \(\underline{\Sigma}\) est un syst. de droites dans un ⌜vrai⌝ plan projectif réel \(X\) — quand on regarde le système des droites dans \(X^{\vee}\) correspondant aux sommets de \(\underline{\Sigma}\), i.e. les droites joignant deux à deux les pts \(\delta_i\) correspondant aux droites \(D_i\) ? On suppose que les \(\delta_i\) ⌜choisis⌝ sont non alignés \(3 : 3\) (i.e. \(\underline{\Sigma}\) stable), et que les sommets ⌜(distincts des \(\delta_i\))⌝ (de ce syst. de \(\frac{n(n-1)}{2}\) droites) soient simples (quitte à perturber un peu le syst. des \(\delta_i\)). Donc il n'y a que des sommets d'ordre \(2\), en dehors des sommets « supersinguliers » \(\delta_i\). « droites » est souligné ; « vrai » est ajouté au-dessus de « plan projectif » ; le « \(2\) » de « d'ordre \(2\) » est d'une lecture probable. La phrase passe d'une colonne à l'autre après « non »

Considérons une face \(F\) de \(\check{\underline{\Sigma}}\), par définition dans une p.r. \(D = D_F\), et considérons les arêtes incidentes ⌜\(a_\alpha\) de \(F\), \(= \Delta_\alpha \cap F\)⌝, qui correspondent à certaines spécialisations \(D \to D_\alpha\) (où \(\alpha\) est l'indice d'une droite ⌜\(s_\alpha\)⌝ de \(\Sigma\), \(\Delta_\alpha\) la droite correspondante dans \(X^{\vee}\)). Le sommet \(s_\alpha\) est le sommet d'un triangle de spécialisation pour \(D\), dont \(a_\alpha\) l'arc de spécialisation correspondant. Je voudrais « certaines » est souligné. \(\check{\underline{\Sigma}}\) rend son \(\Sigma\) doublement souligné surmonté d'un accent inversé (le système dual). La phrase se poursuit à la page 78

78interpréter la structure polygonale sur l'ens. des \(a_\alpha\), en termes des \(s_\alpha\) correspondants. Notons déjà qu'il y a correspondance entre les structures ⌜orientations⌝ de \(F\), et celles de \(D\), et que le transport continu de l'orientation de \(F\) vers une face adjacente \(F'\) (le long de \(a_\alpha\) disons) correspond au transport continu (ou « parallèle ») de l'orientation de \(D\) au cours du balayage correspondant. (D. Ce dessin paraît rendre plausible le choix « naïf » du transport d'orientation, qui dans le contexte des recollements de p.r. stables via balayage, du point de vue semble en effet meilleur, du pt de vue des « circuits ». Le fait qu'on n'obtienne pas de l'application naturelle \(\mathcal{X} \to X\) se rapproche du fait qu'il n'y a pas d'application naturelle \(X^{\vee} \to X\). « orientations » est écrit au-dessus de « structures » biffé ; deux mots de l'avant-dernière phrase se lisent mal

figures dans la colonne de droite. En haut, au crayon : un arrangement de droites, dont un faisceau par un point, et une face \(F\) orientée (\(\omega_F\)) ; sur son bord, les arêtes \(a_\alpha\), \(a_\beta\) et les sommets \(\delta_0\), \(\delta_1\), \(\delta_2\), une flèche allant de \(\delta_0\) à \(\delta_1\). Au-dessous, en couleur : une droite vert clair \(D = D_{\delta_0}\) orientée (\(\omega_D\)), des pseudo-droites vert clair en pointillé marquées \(D_1\), \(D_2\) au-dessus, et quatre paires de pseudo-droites rouges qui se croisent en des sommets dont \(s_\alpha\), \(s_\beta\) ; sur \(D\), des segments épais noirs, l'un marqué \(a'_\alpha\) ; une flèche courbe au point \(x\) de \(D\)

Partons avec une orientation \(\omega_F\) de \(F\) (\(\mapsto \omega_D\) de \(D\)) et une arête \(a_\alpha\) (\(\mapsto\) \(s_\alpha\) sommet de \(\Sigma\)) allant de \(\delta_0 \in F\) (\(\mapsto D = D_{\delta_0}\)) au ⌜point⌝ voisin \(\delta_1\) […] droites vers un pt \(\delta_1\) voisin de \(a_\alpha\) — i.e. faisons pivoter un pt \(x\) sur \(D\) et une orientation de rotation en \(x\), et faisons pivoter la fin de la colonne se lit mal ; la phrase se poursuit à la page 79. Les lettres grasses rendues \(F\) sont un F doublé, écrit sur une lettre biffée

79\(D = D_0 = D_{\delta_0}\) autour de \(x\) dans le sens de l'orientation donnée, jusqu'à ce que \(D_1\) passe par \(s_\alpha\) (cette opération correspond, en termes de \(\check{\underline{\Sigma}}\), à avancer pour commencer par un point \(\delta_1\) voisin de \(a_\alpha\)). Puis suivant le long de \(a_\alpha\) suivant l'orientation induite par \(F\) — ce qui signifie pour \(D_1\) pivoter autour de \(s_\alpha\), dans un sens qu'il faudra expliciter […] (déterminé par l'orientation de \(D_1\) déduite de celle de \(D_0\) par transport, et la rive privilégiée dont on dispose. Notons que l'orientation ⌜\(\omega_\alpha\)⌝ de \(\Delta_\alpha\) fixé par \(a_\alpha\), celle […] ⌜\(\omega_{\delta_1}\)⌝ du point \(\delta_1\) sur \(\Delta_\alpha\), et la rive \(\rho_\alpha\) de \(\Delta_\alpha\) en \(s\) déterminée par \(F\), forment un syst. compatible au sens des flèches, et qu'il s'ensuit que les orientations correspondantes au contact du contact \((s_\alpha, D_1)\), \(\omega = \omega_\alpha \in \underline{\omega}(X, s_\alpha)\), \(\omega_{\delta_1} = \omega_{D_1}\), et \(\rho'_\alpha = {}\)rive de balayage, forment un système antiscompatible, i.e. l'orientation \(\omega_{D_1}\) de \(D_1\) est opposée à celle induite par \(\omega\) sur la rive de balayage (cf. figure) ⌜dit autrement⌝ ceci permet de propager le long de \(a_\alpha\) […] faisant tourner « antiscompatible » (lecture probable) et « opposée » sont soulignés ; plusieurs mots de la fin de la colonne, écrits sur des ajouts interlinéaires, se lisent mal

\(D_1\) autour de \(s_\alpha\) dans la direction indiquée, jusqu'à ce moment où, en traversant un premier sommet (qui sera \(s_\beta\)), qui est aussi celui où le point variable \(\delta\) sur \(a_\alpha\) arrive au sommet \(\delta_2\), rencontre de […] \(a_\alpha\) et \(a_\beta\) i.e. de \(\Delta_\alpha\) et \(\Delta_\beta\) [Bien sûr, entre les […] […] déplacements de \(D_\delta\), […] spécialisations correspondant à des \(a_\beta\), il peut y avoir, dans un sens comme dans les autres (\(\omega_D\) ou l'orientation opposée) bien d'autres arcs de spécialisation, mais correspondant à des sommets \(s_\gamma\) qui ne sont pas atteints au cours du balayage.] À partir de \(s_\beta\), \(D_\beta\) on continue comme précédemment. « (qui sera \(s_\beta\)) » est ajouté au-dessous de la ligne. Les crochets sont de sa main

80page de dessins en couleur, avec une seule légende : quatre disques au bord jaune ou vert, chacun traversé d'un arrangement de pseudo-droites orange (pleines ou pointillées) et d'un faisceau de lignes grises au crayon allant d'un point du bord au point antipodique. Sur le premier, une corde rouge épaisse suit le diamètre ; sur le deuxième et le troisième, deux arcs rouges épais forment un fuseau entre deux points antipodiques ; sur le quatrième, le fuseau s'est refermé en une ligne grise le long du diamètre. Des flèches mènent du premier aux trois autres, avec les légendes « \(\frac12\) circuits autour de pts d'ordre \(1\), \(2\) » et « ou \(0\) »